COLEGIO DE BACHILLERES DE SAN LUIS POTOSI

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COLEGIO DE BACHILLERES DE SAN LUIS POTOSI

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MTRO. EN ADMINISTRACIÓN:

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MAE. J. GUADALUPE FELIPE CASILLAS

CEDRAL, S.L.P. ENERO DE 2014

NOMBRE DEL ALUMNO: _________________________________________

GRUPO: _____________

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DATOS DEL ALUMNO:

Nombre

Grado y grupo Horario

EVALUACIÓN

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ACTIVIDADES PRÁCTICAS E INVESTIGACIONES ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN ASISTENCIA Y PARTICIPACIÓN EXAMEN O PROYECTO TIC’S TOTAL

FECHAS DE EVALUACIÓN

CORTE FECHA

PRIMERO SEGUNDO TERCERO CUARTO TALLER

OPORTUNIDAD

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EXPECTATIVAS SOBRE EL CURSO

1. ¿Qué sabes acerca de esta materia?

2. ¿Qué esperas aprender en este curso?

3. ¿Cuál es tu compromiso con esta materia?

4. ¿Crees que te servirá para algo el conocer esta materia?

5. ¿En que lo podrás aplicar?

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CONTRATO PEDAGOGICO

El presente contrato tiene como finalidad estipular las condiciones de trabajo, evaluación y aprovechamiento de los alumnos que cursan la materia de _________________________________________ en el Colegio de Bachilleres plantel _____ de la ciudad de __________________________________________________, S.L.P. durante el semestre _________________ bajo las siguientes cláusulas:

1. las partes que firman este contrato son: el (la) joven:

_________________________________________________________

Quien en lo sucesivo se denominará alumno,

El Sr.: __________________________________________________________________________________ Que en adelante se denominará Padre de familia o tutor,

La Sra.: _________________________________________________________________________________ Que en lo sucesivo se denominará madre de familia y el Sr.

___________________________________________________Quien en lo sucesivo se denominará Instructor.

2. Las obligaciones del alumno son:

a) Asistir puntualmente a clases en el horario asignado, aseado, con uniforme completo, pelo corto (hombres) o recogido (mujeres).

b) Mostrar una actitud de respeto hacia los compañeros y hacia el instructor, manteniendo la disciplina en el aula.

c) Tener disponibilidad para trabajar tanto en el aula, centro de cómputo y en actividades extractase.

d) Cumplir con las tareas, prácticas e investigaciones en la fecha solicitada, mostrando limpieza, claridad y legibilidad en la escritura.

e) Integrarse a los equipos de trabajo designados por el instructor.

f) Entregar la evaluación de cada corte firmada por el padre de familia en la clase siguiente a la evaluación y en caso de no hacerlo, se quedará sin calificación del corte.

3. Los derechos del alumno son:

a) Recibir un trato respetuoso y cordial por parte de los compañeros y del instructor. b) Recibir las asesorías y aclaraciones necesarias.

c) Conocer las evaluaciones oportunamente en las fechas señaladas por el calendario escolar, participando activamente en la evaluación.

d) Justificar las inasistencias presentando el justificante expedido por la subdirección con un máximo de 3 días después de la falta.

e) Asistir al centro de cómputo en el horario de clases que corresponda.

4. las obligaciones del instructor son:

a) Asistir puntualmente a clases en el horario asignado, con buena presentación, aseado y pelo corto. b) Mostrar una actitud de respeto hacia los alumnos y compañeros de trabajo.

c) Preparar con anticipación sus clases, considerando estrategias de enseñanza, estrategias de aprendizaje, trabajo en equipo y prácticas.

d) Revisar y calificar las tareas, prácticas e investigaciones solicitadas a los alumnos.

e) Evaluar cada corte, con la participación del alumno, mostrando siempre la transparencia y con base en las evidencias de trabajo.

f) Reportar a la subdirección y al padre de familia los casos de alumnos que requieran de atención.

g) Mantener un ambiente de trabajo agradable, disciplinado, propiciando y organizando el trabajo en equipo. g) Cumplir con las comisiones asignadas por la dirección de la escuela.

5. Los derechos del instructor son:

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b) Impartir la clase de acuerdo con los lineamientos señalados en la reforma curricular.

c) Solicitar tareas, practicas e investigaciones a los alumnos, de acuerdo con los contenidos programáticos. d) Solicitar a los alumnos la calificación firmada por el padre de familia

6. Las obligaciones del padre de familia son:

a) Dotar al alumno con los materiales necesarios para su desempeño en el aula (libro de texto, cuaderno, colores, reglas, plumas, borrador, etc.)

b) Mostrar actitud de respeto hacia el alumno, instructor y directivos c) Vigilar el cumplimiento de tareas, prácticas e investigaciones.

c) Firmar la calificación de cada corte del alumno y asegurarse de que el alumno la entregue para su registro. d) Asistir a los llamados del instructor o de la subdirección

7. Los derechos del padre de familia son:

a) Recibir un trato cordial y respetuoso del instructor y directivos. b) Recibir los avisos y notificaciones sobre el desempeño del

d) Justificar las inasistencias del alumno ante la subdirección inmediatamente después de que se haya presentado o por anticipado cuando sea posible.

c) Acudir al Colegio cuando lo considere necesario y recibir las aclaraciones pertinentes por parte del instructor en primera instancia.

Hemos leído y entendido en su totalidad el presente contrato y estamos de acuerdo por lo que firmamos aceptando las condiciones estipuladas.

EVALUACIÓN

ASPECTOS PORCENTAJE

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

PRACTICAS E INVESTIGACIONES

ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN

CONDUCTA

EXAMEN

TIC’S

ACEPTO ACEPTO ACEPTO

FIRMA DEL PADRE DE FAMILIA

FIRMA DEL ALUMNO

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DEDICATORIA

Esta segunda parte del libro de matemáticas financieras, es fruto de muchos años de trabajo y dedicación al área docente y aquí he querido plasmar los conocimientos adquiridos tanto en el área pedagógica, didáctica, educativa y disciplinar del área de las matemáticas y de las finanzas, así como en el área de la informática.

Agradezco a mi familia por la paciencia que me han tenido y al permitirme quitarles algo del tiempo que les corresponde, por dedicarme a este trabajo, en especial a mi esposa Ma. Isela y mis hijos Ilbhin, Brayan, Yahel y Alesi, también lo dedico a mis Padres y hermanos.

Mtro. J. Guadalupe Felipe Casillas

Docente del plante 03, Cedral, S.L.P.

AGRADECIMIENTOS

Mi más sincero agradecimiento para todas las personas que de una o de otra manera me han apoyado en el desarrollo de mi vida, particularmente a mis compañeros de trabajo tanto del plantel 03, de Cedral, S.L.P. dirigido por el Mtro. Alfredo Ramírez Rivera y la Mtra. Juana Ma. Tello Martínez, así como los demás compañeros de todo el subsistema Colegio de Bachilleres de S.L.P.

Agradezco también a las autoridades de la Dirección General de Colegio de Bachilleres en particular al Ing. Mónico Jiménez Medina por apoyarnos en la formación continua y capacitación para mejorar nuestras capacidades, habilidades y actitudes. Un sincero reconocimiento para nuestros representantes sindicales que luchan por el bienestar de todos los trabajadores del Colegio de Bachilleres de San Luis Potosí.

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PROLOGO

En la presente obra se podrá encontrar la continuación de la materia matemáticas financieras I en la que se repasan los principios básicos de las matemáticas como las leyes de signos, las fracciones y sus operaciones básicas, los números y su clasificación, cálculos del tanto por ciento, se abordan las progresiones aritméticas y geométricas, el interés simple, además de los descuentos. En esta segunda parte no menos importante, se estudia el interés compuesto, las anualidades, tanto las ordinarias como las ciertas, las cuales se pueden dividir en anticipadas y diferidas y algunas aplicaciones de las matemáticas financieras.

En esta obra se intenta proporcionar al alumno una formación integral considerando diferentes tipos de habilidades y buscando desarrollar las competencias genéricas del bachiller y disciplinares del campo de las matemáticas para ello se cuenta con actividades de aprendizaje en las que alumno desarrollará sus habilidades de síntesis y análisis de la información relevante.

Para abordar los ejercicios y problemas, primero se resuelven uno o dos ejemplos en forma grupal y con la guía del instructor, después se tiene una actividad práctica en la que el alumno debe resolver los ejercicios de manera autónoma, aplicando las diferentes fórmulas, en la mayoría de los casos se ofrecen problemas de la vida diaria y del ámbito empresarial y comercial en los cuales se pueden encontrar las condiciones reales que ofrecen los bancos e instituciones financieras y demás organizaciones del sector privado.

En todos los bloques se incluye un proyecto de evaluación que se sugiere resolver en equipo y tiene como finalidad reafirmar los conceptos así como preparar al alumno para la presentación del cuestionario de evaluación parcial, también se ofrece una sección para que los alumnos utilicen las Tecnologías de la información y Comunicación, mediante el programa de hoja de cálculo electrónica Microsoft Excel con el cual se pueden resolver los problemas vistos en clase y que se resolvieron de forma manual.

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INTRODUCCIÓN

Para iniciar el primer bloque se conocen los conceptos de interés, interés compuesto, monto compuesto, el periodo y la frecuencia de capitalización, la tasa nominal y efectiva, cálculo del monto compuesto, cálculo del valor presente o del capital inicial, cálculo de la tasa de interés efectiva, cálculo del tiempo, los pagos parciales y la depreciación, se resuelven algunas ecuaciones de valor.

En el bloque dos se estudian las anualidades ordinarias que también se conocen como vencidas, porque se pagan al vencimiento, es decir después de que ha transcurrido cierto periodo de tiempo, aunque el término anualidad anteriormente se refería a periodos de tiempo de un año, en la actualidad se aplica para cualquier periodo de tiempo, que pueden ser semestralidades, trimestralidades, bimestralidades, mensualidades, etc. Además se aplican las diferentes fórmulas para su valor futuro, se calcula el monto acumulado, el valor de la anualidad, el tiempo y la tasa de interés.

Al finalizar cada bloque, se ha agregado una sección denominada utiliza las TIC’S, que pretende hacer que los estudiantes adquieran el dominio de la hoja de cálculo electrónico Microsoft Office Excel 2007, utilizando las funciones equivalentes para cada fórmula utilizada, igualmente se cuenta con un proyecto de evaluación el cual se propone que se haga en equipo para resolver dudas y adquirir más seguridad en la utilización de las fórmulas, para cerrar el bloque se cuenta con una coevaluación que es un instrumento de evaluación que elabora en binas y de ahí se obtiene la calificación del corte.

En el bloque tres se estudian las anualidades ordinarias y su valor presente, el valor de la anualidad, el tiempo y la tasa de interés. Para culminar la primera unidad se analizan las tasas de interés nominal y efectiva y su efecto en las inversiones.

Las anualidades ciertas anticipadas y diferidas se estudian en el bloque cuatro, se muestra su funcionamiento y se analiza su valor presente y su valor futuro, se calcula el monto acumulado y la anualidad. De las anualidades ciertas diferidas se muestra su funcionamiento, se inicia con el valor futuro de las anualidades diferidas tanto anticipadas como las vencidas y después se analiza el valor presente de las anualidades diferidas también las anticipadas y las vencidas.

En el quinto bloque, se analizan las amortizaciones, las tablas de amortización, y las hipotecas, se describe como hacer una tabla de amortización y se ofrecen algunos ejemplos. También se estudia el concepto de depreciación, los métodos para depreciar y su aplicación.

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CONTENIDO

Expectativas 3

Contrato pedagógico 4

Dedicatoria y agradecimientos 6

Prologo 7

Introducción 8

Evaluación diagnóstica 11

BLOQUE I RESUELVES CASOS DE INTERÉS COMPUESTO 12

1.1 Interés compuesto y monto compuesto 13

1.2 Periodo y frecuencia de capitalización, tasa nominal y tasa efectiva 16

1.3 Cálculo del monto compuesto 19

1.4 Cálculo del valor presente o capital inicial 26

1.5 Cálculo del tiempo y de la tasa de interés efectiva 29

1.6 Ecuaciones de valor 33

Utiliza las Tic’s 37

Proyecto de evaluación 39

Coevaluación 41

BLOQUE II CALCULAS TIPOS DE ANUALIDADES 42

2.1 Aspectos básicos de las anualidades 43

2.2 Las anualidades ordinarias y su valor futuro 50

2.3 Calculo de la renta, del tiempo y de la tasa de una anualidad futura 58

2.4 Las anualidades ordinarias y su valor presente 77

2.5 Cálculo del importe, de la tasa de interés, del tiempo y las tasas nominales y

efectivas del valor presente de una anualidad ordinaria 81

2.6 Las anualidades anticipadas, su valor presente y futuro 99

2.7 las anualidades diferidas, su valor futuro 106

Utiliza las TIC’S 111

Proyecto de evaluación 115

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BLOQUE III APLICAS AMORTIZACIÓN DE CRÉDITOS 120

3.1 Elementos de la amortización de préstamos 121

3.2 Tablas de amortización 124

3.3 Hipotecas 129

BLOQUE IV CALCULAS LA DEPRECIACIÓN DE ACTIVOS FIJOS 134

4.1 Conceptos y elementos de la depreciación 135

4.2 Métodos de depreciación 140

4.3 Cálculo de la depreciación 143

Proyecto de evaluación

Coevaluación 149

BIBLIOGRAFIA 150

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EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA

Objetivo de la evaluación diagnóstica:

Verificar el nivel de conocimientos de los alumnos sobre el interés compuesto, las anualidades vencidas con su valor futuro así como su valor presente, las anualidades anticipadas y diferidas con su valor presente y futuro, así como las amortizaciones y las hipotecas en los problemas financieros de la vida cotidiana y del ámbito empresarial y comercial.

1. ¿Qué es el interés compuesto?

2. ¿Qué es el monto compuesto?

3. ¿Cuál es la diferencia entre la tasa nominal y la tasa efectiva?

4. ¿Qué son las anualidades?

5. ¿Qué tipos de anualidades existen?

6. ¿Cómo es una anualidad ordinaria?

7. ¿Qué es una anualidad anticipada?

8. ¿Cómo se define una anualidad diferida?

9. ¿Qué es una amortización?

10. ¿Cómo defines una hipoteca?

11. ¿Qué es la depreciación?

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BLOQUE I

RESUELVES CASOS DE INTERÉS COMPUESTO

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COMPETENCIAS A DESARROLLAR DURANTE EL BLOQUE

GENÉRICAS DISCIPLINARES DEL CAMPO MATEMÁTICO

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos

aplicando diferentes enfoques.

1.1 INTERÉS COMPUESTO Y MONTO COMPUESTO

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INTERES COMPUESTO

Como ya se vio, en el interés simple el capital inicial permanece constante durante el plazo del préstamo; en cambio cuando el capital inicial se invierte durante varios periodos y al final de cada periodo se suman los intereses obtenidos al capital y se reinvierten, es claro que se están calculando intereses sobre los intereses devengados, y a esto se le conoce como interés compuesto.

MONTO COMPUESTO

El monto compuesto es la cantidad que resulta de sumar al capital inicial todos los intereses calculados al final de cada uno de los periodos contemplados en el lapso considerado.

EJEMPLO:

1. Se tiene un capital de $1,000.00 a una tasa de interés del 3% anual, invertido durante tres años, ¿Cuál será el monto compuesto al final de los tres años?

Año Capital inicial Intereses Capital final

2. Se tiene un capital $5,600.00 a una tasa de interés del 5% anual ¿Cuál será el monto compuesto al final de cuatro años?

3. Se tiene un capital de $10,300.00 a una tasa de interés del 8% anual ¿Cuál será el monto compuesto al final de cuatro años?

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Realiza los ejercicios siguientes:

4. Con un capital de $13,000.00 a una tasa de interés del 12% anual ¿Cuál será el monto compuesto al final del quinto año?

5. Se realizo una inversión por $20,000.00 a una tasa de interés del 17% anual ¿Cuál será el monto acumulado al final de seis años?

6. Se invirtieron $30,000.00 a una tasa de interés del 23% anual ¿Cuál será el monto acumulado al final de siete años?

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1.2 PERIODO, FRECUENCIA DE CAPITALIZACION, TASA NOMINAL Y EFECTIVA

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PERIODO DE CAPITALIZACIÓN

Un periodo de capitalización es el intervalo al final del cual se reinvierten los intereses. Puede ser en meses o días. Para obtener el periodo se divide 12 entre la frecuencia de capitalización cuando sea menor o igual a 12. Cuando sea mayor se divide entre 364 y el periodo resultará en días.

Por ejemplo:

1. Si un interés se capitaliza dos veces al año, el periodo de capitalización es de seis meses. 2. Si el interés se capitaliza cuatro veces al año, el periodo de capitalización es de 3 meses.

1. ¿Cuál es el periodo de capitalización si el interés se compone tres veces al año? Periodo de capitalización =

2. ¿Cuál es el periodo de capitalización si el interés se compone seis veces al año? Periodo de capitalización =

3. ¿Cuál es el periodo de capitalización si el interés se compone doce veces al año? Periodo de capitalización =

4. ¿Cuál es el periodo de capitalización si el interés se compone 24 veces al año? Periodo de capitalización =

5. ¿Cuál será el periodo de capitalización, si el interés se compone 52 veces al año? Periodo de capitalización =

6. ¿Cuál será el periodo de capitalización, si el interés se compone 26 veces al año? Periodo de capitalización =

FRECUENCIA DE CAPITALIZACIÓN

La frecuencia de capitalización es el número de veces por año en el interés se suma al capital. Para obtenerla se divide 12 entre el periodo de capitalización. Para catorcenas y semanas se divide 364 entre el periodo de capitalización.

EJEMPLOS:

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1. ¿Cuál es la frecuencia de capitalización, si el interés se capitaliza semestralmente? Frecuencia de capitalización =

2. ¿Cuál es la frecuencia de capitalización, si el interés se capitaliza mensualmente? Frecuencia de capitalización =

3. ¿Cuál es la frecuencia de capitalización, si el interés se capitaliza tetramestralmente? Frecuencia de capitalización =

4. ¿Cuál es la frecuencia de capitalización, si el interés se capitaliza catorcenalmente? Frecuencia de capitalización =

5. ¿Cuál es la frecuencia de capitalización, si el interés se capitaliza semanalmente? Frecuencia de capitalización =

6. ¿Cuál es la frecuencia de capitalización si el interés se capitaliza quincenalmente? Frecuencia de capitalización =

TASA NOMINAL

Cuando el interés es convertible más de una vez al año, la tasa anual dada se conoce como tasa nominal, se le llama así porque representa al porcentaje de rendimiento aparente y se denota por 𝑖𝑚 Para realizar los cálculos del interés con periodos de capitalizable menores a un año la tasa de interés anual se debe convertir al periodo correspondiente, dividiendo la tasa anual entre la frecuencia de capitalización.

TASA EFECTIVA

Es la tasa de interés a la que efectivamente está colocado el capital y se denota por i, la tasa efectiva es menor que la tasa nominal debido a que el interés se capitaliza m veces al año. Pero en términos anuales la tasa efectiva es mayor que la nominal.

EJEMPLOS:

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1.3 CALCULO DEL MONTO COMPUESTO

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Para calcular el monto compuesto sobre un capital, se utiliza la formula siguiente: 𝑆 = 𝑃 (1 + 𝑖)𝑛

Para obtener los intereses de una inversión con capitalización compuesta se utiliza la formula siguiente: 𝐼 = 𝑆 − 𝑃

EJEMPLOS:

1. JON DIPOT hace una inversión por $10,000.00 a una tasa de interés del 6% anual capitalizable anualmente ¿Cuál es el monto acumulado en cuatro años? ¿Cuál será el interés ganado?

2. RESTAURANTE EL SAHUARO depositó $15,000.00 a una tasa de interés del 8% anual capitalizable anualmente ¿Cuál será el monto compuesto en tres años? ¿Cuánto será de intereses?

3. Sigma Foods invirtió $30,000.00 a un plazo de tres años con una tasa de interés anual del 18% capitalizable anualmente ¿Cuál será el monto acumulado? ¿Cuánto ganará de intereses?

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5. INDUSTRIAS KNIGT hace una inversión de $100,000.00 a una tasa de interés de 24% anual capitalizable anualmente ¿Cuánto se acumulará en 9 años?

6. CORPOBELO invirtiÓ $60,000.00 a una tasa de interés del 11% anual, capitalizable anualmente, ¿Cuánto se acumulará en 13 años? ¿Cuánto ganará de intereses?

7. MATERIALES RODRIGUEZ depósito $70,000.00 en una inversión que paga intereses del 14% anual, capitalizable anualmente cuanto se acumulara en 15 años? ¿Cuánto ganará de intereses?

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MONTO COMPUESTO CON PERIODOS MENORES A UN AÑO.

EJEMPLOS:

1 ACROPOLIS hace una inversión por $10,000.00 a una tasa de interés del 12% anual capitalizable semestralmente ¿Cuál es el monto acumulado en dos años?

2 MIX BEER depositó $15,000.00 a una tasa de interés del 16% anual capitalizable trimestralmente ¿Cuál será el monto compuesto en cinco años?

3 RESTAURANTE BAR LAS VIAS depósito de $33,000.00 a una tasa de interés del 26% anual capitalizable semanalmente ¿Cuánto se acumulará en 1 año? ¿Cuánto ganará de intereses?

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5 ¿Cuánto se acumulará en una inversión de Azulejos Modernos, con un depósito de $50,000.00 con una tasa de interés del 15% anual capitalizable tetramestralmente? ¿Cuánto ganará de intereses en 2 años?

6 Muebles de la Huasteca hace una inversión de $100,000.00 a una tasa de interés de 24% anual capitalizable quincenalmente ¿Cuánto se acumulará en 9 meses? ¿Cuál será el interés ganado?

7 Artesanías Potosinas invierte $75,000.00 a una tasa de interés de 39% anual capitalizable catorcenalmente ¿Cuál será el monto compuesto en 1 año? ¿Cuál será el interés ganado?

8 La empresa Multi Proveedor del Altiplano hizo una inversión de $200,000.00 a una tasa de interés del 36% anual capitalizable bimestralmente ¿Cuánto se acumulará en 2 años? ¿Cuánto se ganará de intereses?

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MONTO COMPUESTO CON TABLAS FINANCIERAS

Para facilitar el cálculo del monto compuesto se han diseñado unas tablas financieras, en las que se muestra el factor de acumulación de capital con interés compuesto, en estas tablas ya se ha calculado el resultado de la fórmula del monto compuesto para las tasas de interés y los plazos más comunes. El cálculo está basado en la formula: (1 + 𝑖)𝑛 para obtener el factor del monto acumulado, por lo que ya solo es necesario sustituir los valores y se obtendrá el monto acumulado. 𝑆 = 𝑃 (1 + 𝑖)𝑛

La notación para el factor del monto compuesto es la siguiente: (F/P, %, n) = (1 + 𝑖)𝑛

Por lo tanto si se desea calcular el monto compuesto de una inversión por $10,000 a una tasa de interés del 10% a 5 años, el procedimiento para expresar la notación y para localizar el factor en las tablas, es el siguiente:

S = P (F/P, %, n) sustituyendo quedaría S = P (F/P, 10%, 5)

En la tabla del valor futuro de un presente o F/P,%,n se localiza la columna del 10% y luego se desliza hacia abajo hasta la fila 5, en la intersección se encuentra el factor, el cual se multiplica por la cantidad invertida, y así se obtiene el monto acumulado.

F/P,%,n = (1+i)n

n 3.50% 3.75% 4.00% 4.50% 5.00% 5.50% 6.00% 7% 8% 9% 10% 11%

1 1.0350 1.0375 1.0400 1.0450 1.0500 1.0550 1.0600 1.0700 1.0800 1.0900 1.1000 1.1100 2 1.0712 1.0764 1.0816 1.0920 1.1025 1.1130 1.1236 1.1449 1.1664 1.1881 1.2100 1.2321 3 1.1087 1.1168 1.1249 1.1412 1.1576 1.1742 1.1910 1.2250 1.2597 1.2950 1.3310 1.3676 4 1.1475 1.1587 1.1699 1.1925 1.2155 1.2388 1.2625 1.3108 1.3605 1.4116 1.4641 1.5181 5 1.1877 1.2021 1.2167 1.2462 1.2763 1.3070 1.3382 1.4026 1.4693 1.5386 1.6105 1.6851 6 1.2293 1.2472 1.2653 1.3023 1.3401 1.3788 1.4185 1.5007 1.5869 1.6771 1.7716 1.8704 7 1.2723 1.2939 1.3159 1.3609 1.4071 1.4547 1.5036 1.6058 1.7138 1.8280 1.9487 2.0762 8 1.3168 1.3425 1.3686 1.4221 1.4775 1.5347 1.5938 1.7182 1.8509 1.9926 2.1436 2.3045

P = 10,000 i = 10% n = 5

S = P (F/P, %, n) S = 10,000 (1.6105) S = 16,105

EJEMPLOS:

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2. TELAS Y ALFOMBRAS DEL SUR, hace una inversión por $50,000.00 con una tasa de interés del 22% anual capitalizable trimestralmente a un plazo de 4 años ¿Cuál será el monto acumulado? ¿Cuánto ganará de intereses?

3. COMPUTRONICK deposita $60,000.00 en una inversión que paga el 18% anual capitalizable tetramestralmente ¿Cuánto se ganará de intereses durante tres años? ¿Cuál será el monto acumulado?

4. ¿Cuál será el monto acumulado y los intereses de una inversión que hizo la empresa PINTURAS DIAMANTE por $85,000.00 al 24% anual capitalizable bimestralmente durante tres años?

5. ¿Cuánto acumulará la FERRETERÍA LA BISAGRA si invierte $120,000.00 a una tasa de interés del 30% anual capitalizable mensualmente? ¿Cuánto ganará de intereses en 2 años?

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1.4 CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL O DEL VALOR PRESENTE

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Cuando sea necesario conocer el valor presente de una cantidad acumulada se despeja el valor de P en formula del monto acumulado:

𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑃 = 𝑆

(1 + 𝑖)𝑛 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑃 = 𝑆(1 + 𝑖)−𝑛

En caso de utilizar tablas financieras se utiliza la notación (P/F, %, n) para obtener el factor de valor presente de un futuro.

(P/F, %, n) = 𝑆

(1+𝑖)𝑛 Por lo tanto P = S (P/F, %, n)

EJEMPLOS:

1. ¿Cuál es el valor presente de una deuda de CONCRETOS DEL ALTIPLANO por $1,500.00 a pagar dentro de cinco años, con un interés del 4% anual convertible semestralmente?

Datos Formula Tablas

2. ¿Cuál es el valor presente de una deuda de HOTEL MIRAMAR por $3,500.00 a pagar dentro de 25 años con una tasa de interés del 6% anual?

3. ¿Cuál será el valor presente de un préstamo a FIMSA durante 6 años por $75,000 con una tasa de interés del 21% anual capitalizable trimestralmente?

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1. ¿Cuál es el valor presente de una deuda de METALES FINOS por $420,000.00 a pagar dentro de 15 años, si la tasa de interés nominal es del 12% anual convertible bimestralmente?

2. ¿Cuál es el valor presente de una deuda de GRUPO KEOPS por $11,000.00 a pagar dentro de 10 años, si la tasa de interés es de 36% anual?

3. ¿Cuál será el valor presente de un adeudo de BANDAMEX por $150,000.00 a pagar dentro de 4 años, si la tasa de interés es del 44% anual capitalizable trimestralmente?

4. ¿Cuánto se deberá pagar en este momento por una deuda de COUNTRY CLUB por $5,000.00 a dos años con una tasa de interés del 18% anual convertible mensualmente?

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1.6 CALCULO DEL TIEMPO Y DE LA TASA DE INTERÉS EFECTIVA

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CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS EFECTIVA

En ocasiones se conoce el capital inicial y el monto acumulado, además del tiempo que dura una inversión, por lo que es necesario encontrar el valor de la tasa de interés efectiva, esto se puede hacer despejando i de la fórmula del monto compuesto: 𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑖 = √𝑆

𝑃

𝑛

− 1 EJEMPLOS:

1. ¿Cuál es la tasa de interés anual efectiva, necesaria para que un capital inicial de $2,500.00 se

incremente a $3,500.00 en 3 años?

2. ¿Cuál es la tasa de interés anual efectiva, necesaria para que un capital inicial de $12,000.00 se incremente a $16,000.00 en 6 años?

3. ¿Cuál será la tasa de interés anual efectiva, que se obtuvo en una inversión cuyo capital inicial

era de $25,000.00 y se acumuló $32,480.00 en un plazo de 2 años?

1. ¿Cuál es la tasa de interés anual efectiva, que se pagará en una inversión con un capital inicial

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2. ¿Cuál es la tasa de interés anual necesaria para que un capital de $130,000.00 se convierta en

$251,000 en 5 años?

3. ¿Cuál será la tasa de interés anual efectiva que se ganará con una inversión de $18,900.00 y se

busca acumular $32,780.00 en cuatro años?

CÁLCULO DEL TIEMPO

Cuando se conoce el capital inicial, el capital final y a tasa de interés, es necesario buscar el tiempo que dura una inversión para obtener el monto acumulado, es estos casos se despeja el valor de n: 𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 _{𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎𝑟𝑖𝑎 (1 + 𝑖)}𝑛 ₌ 𝑆

𝑃

Después por medio de interpolación lineal se obtiene el valor exacto.

EJEMPLOS:

1. Encontrar el tiempo n, en que un capital de $2,000.00 se convertirá en $2338.00, si la tasa de interés efectiva es del 4% anual.

(1 + 𝑖)𝑛 =2338

2000 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 (1 + 𝑖)

𝑛 _{= 1.169}

Luego se procede a buscar el valor 1.169 en las tablas financieras del factor del monto compuesto tomando como base la columna del 4% y desplazándose hacia abajo hasta encontrar el factor, en este caso n = 4

FACTOR DEL MONTO COMPUESTO F/P, %, n = (1+i)n

(32)

2. Buscar el periodo de tiempo que se necesita para que una inversión por $18,000.00 se convierta en un capital de $31,888.00, la tasa de interés efectiva es del 10% anual.

1. Encontrar el tiempo n, en que un capital de $35,000.00 se convertirá en $812,505.00 con una

tasa de interés del 18% anual

2. Buscar el periodo de tiempo n que se necesita para que una inversión de $20,000.00 se

convierta en $48,728.00 al 16% anual?

3. Calcular el tiempo que será necesario para acumular $68,761.00 a partir de un capital de

(33)

1.6 ECUACIONES DE VALOR

(34)

Una ecuación de valor es una igualdad que establece que la suma de los valores de un conjunto de obligaciones a determinada fecha, es igual a la suma de los valores a esa misma fecha de otro conjunto de obligaciones.

En el caso de las ecuaciones de valor para problemas de interés compuesto, se puede escoger cualquier fecha focal o de evaluación para todas las obligaciones, ya que no influye en los resultados.

Para facilitar el planteamiento de problemas sobre ecuaciones de valor, es conveniente graficar las obligaciones de la misma forma que en las de interés simple, como por ejemplo:

EJEMPLOS:

1. TRAKALO S.A. tiene dos deudas una de $1,600.00 pagadera dentro de 6 años y otra de $2,000.00 a cubrir dentro de 3 años. Si desea liquidarlas en un solo pago dentro de 2 años ¿Cuál será el monto de este pago si el dinero gana un interés efectivo del 12% anual?

2. El señor López debe $25,000.00 pagaderos a 5 años y $28,000.00 a 3 años. Si abona

(35)

1. La original banda LA MANDARINA, tiene una deuda de $20,000.00 pagaderos en un año y

$130,000.00 a pagar en cuatro años. Si en este momento se pagan $40,000.00 y el resto dentro de 2 años ¿Cuánto tendrá que pagarse al final de 2 años suponiendo una tasa de rendimiento del 5% anual convertible semestralmente?

2. La empresa METALMEX obtiene un préstamo por $150,000.00 a una tasa de interés del 8%

anual. Acepta pagar $10,000.00 dentro de un año, $120,000.00 en dos años y el saldo en tres años hallar el pago final.

3. El antro MACHO-MEN tiene una deuda de $250,000.00 pagaderos en 2 años y otra de

(36)

(37)

UTILIZA LAS TIC’S

Resuelve los problemas utilizando la hoja de cálculo Excel

Las formulas financieras de Excel nos ayudan a obtener los cálculos de una manera fácil y rápida, solamente hay que asegurarse de escribir bien los parámetros y checar los resultados, es importante considerar que algunas cantidades llevan signos negativos, ya sea por qué es la inversión o los pagos que se deben hacer. La función VF se puede utilizar para obtener el monto compuesto

1. Se hace una inversión por $10,000.00 a una tasa de interés del 6% anual capitalizable anualmente ¿Cuál es el monto acumulado en cuatro años? ¿Cuál será el interés ganado?

2. Se depositaron $15,000.00 a una tasa de interés del 8% anual capitalizable anualmente ¿Cuál será el monto compuesto en tres años? ¿Cuánto será de intereses?

3. Se hace una inversión por $10,000.00 a una tasa de interés del 12% anual capitalizable semestralmente ¿Cuál es el monto acumulado en dos años?

(38)

Para obtener el valor presente se utiliza la función VA, para obtener la tasa de interés efectiva se utiliza la función TASA y para obtener el periodo de tiempo, se utiliza la función NPER.

5. ¿Cuál es el valor presente de una deuda de $1,500.00 a pagar dentro de cinco años, con un interés del 4% anual convertible semestralmente?

6. ¿Cuál es el valor presente de una deuda de $3,500.00 a pagar dentro de 25 años con una tasa de interés del 6% anual?

7. ¿Cuál es la tasa de interés anual efectiva, necesaria para que un capital inicial de $2,500.00 se incremente a $3,500.00 en 3 años?

(39)

PROYECTO DE EVALUACIÓN

1. El despacho de consultoría Felipe, Casillas y Asociados depositaron $25,000.00 a una tasa de

interés del 28% anual capitalizable anualmente ¿Cuál será el monto compuesto en cuatro años? ¿Cuánto será de intereses?

2. El taller mecánico EL BOLA hace una inversión por $100,000.00 a una tasa de interés del 22%

anual capitalizable semestralmente ¿Cuál es el monto acumulado en cinco años?

3. El Cibernet EL MOSCO invirtió $80,000.00 a un plazo de un año con una tasa de interés anual

del 36% anual capitalizable mensualmente ¿Cuál será el monto acumulado? ¿Cuánto será de intereses?

4. ¿Cuál será el valor presente de un préstamo a 7 años por $35,000.00 con una tasa de interés

del 24% anual capitalizable trimestralmente?

5. ¿Cuál es la tasa de interés anual efectiva, necesaria para que un capital inicial de $22,000.00

(40)

6. Buscar el periodo de tiempo que se necesita para que una inversión por $38,000.00 se

convierta en un capital de $123,574.00, la tasa de interés efectiva es del 14% anual.

7. Boutique LADY CHESS tiene dos deudas una de $26,000.00 pagadera dentro de 7 años y otra

de $20,000.00 a cubrir dentro de 4 años. Si se desea liquidarlas en un solo pago dentro de 3 años ¿Cuál será el monto de este pago si el dinero gana un interés efectivo del 16% anual?

8. ¿Cuál será la tasa de interés anual efectiva que se ganará con una inversión de $48,500.00 y se

busca acumular $79,078.00 en cuatro años?

9. Encontrar el tiempo n, en que un capital de $55,000.00 se convertirá en $66,000.00 con una

tasa de interés del 18% anual

10. ¿Cuánto deberá pagar en este momento la panadería EL BIZCOCHO por una deuda por

(41)

COEVALUACION

COLEGIO DE BACHILLERES, S.L.P.

PLANTEL ____________________________________________________ INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS II

ALUMNO(A): __________________________________________________________________ BLOQUE: ___________ SEMESTRE:______________________ GRUPO:________________ FECHA:_______________________

Instrucciones: Verificar que el trabajo contenga los aspectos señalados, si cumple con el aspecto anotar la cantidad correspondiente en la columna Si, o anotar (una palomita) en caso de que no cumpla,.

LISTA DE COTEJO LISTA DE COTEJO

CUMPLE CUMPLE CUMPLE

NO ACTIVIDADES DE

APRENDIZAJE SI NO

ACTIVIDADES

PRÁCTICAS SI NO

EVALUACIONES

FORMATIVAS SI NO

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10 SUMA

GUIA DE OBSERVACIÓN: COEVALUACIÓN

ACTA DE EVALUACIÓN PARCIAL

No ASPECTO VALOR ASPECTO PORCENTAJE _OBTENIDOPUNTAJE PUNTUACION _DEFINITIVA 1. Asiste regularmente a

clases (1.0) CUESTIONARIO

40%

2. Participa activamente en clase (1.0)

ACTIVIDADES DE

APRENDIZAJE 10%

3. Cumple con su parte de

trabajo (1.0) ACTIVIDADES PRÁCTICAS

10%

4. Hace aportaciones valiosas (1.0)

EVALUACIONES

FORMATIVAS 10%

5. Respeta a sus compañeros (1.0)

GUIA DE OBSERVACION

(COEVALUACION) 20%

6. Mantiene la disciplina en

clases (5.0) TIC´S

10%

CALIFICACION FINAL DEL COMPONENTE

REVISÓ ENTERADO: PADRE O

TUTOR

INSTRUCTOR

(42)

BLOQUE II

CALCULAS TIPOS DE ANUALIDADES

(43)

COMPETENCIAS A DESARROLLAR DURANTE EL BLOQUE

GENÉRICAS DISCIPLINARES DEL CAMPO MATEMÁTICO

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 7. Aprende por iniciativa e interés propio

a lo largo de la vida.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

2.1 ASPECTOS BÁSICOS DE LAS ANUALIDADES

(44)

LOS FACTORES FINANCIEROS

Las seis llaves maestras de las matemáticas financieras: En las matemáticas financieras es posible manejar cualquier operación, evaluar diversas alternativas de inversión con seis fórmulas. Como una unidad, estas seis fórmulas, reciben el nombre de factores financieros. Estos seis factores financieros derivan de la fórmula general del interés compuesto. Tanto los pagos como los ingresos efectuados en la empresa son fundamentales para el fortalecimiento de la institución, razón por la cual deben ser evaluados constantemente con el objeto de determinar el impacto que producen en el entorno empresarial, realizar proyecciones financieras y estudios de nuevos proyectos.

El uso de factores permite calcular con rapidez las variables del monto (VF), del valor actual (VA) y del pago periódico o renta (C). Para determinar estos factores debemos conocer con antelación las variables “i” y “n”. En todo caso, se asume que “C”, “VF” o “VA” toman el valor de 1.

Estos factores son seis:

1. FSC también conocido como FACTOR DE MONTO ACUMULADO. Transforma el valor actual (VA) en valor futuro (VF). Con la fórmula general del interés compuesto.

2. FSA conocido también como FACTOR DE VALOR PRESENTE. Permite transformar valores futuros en valores actuales.

3. FAS conocido como FACTOR DE VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD. Permite pasar de series uniformes a valor actual. Transforma series de pagos uniformes equivalentes a valor actual o valor actual neto (VAN).

4. FRC denominado FACTOR DE RECUPERACIÓN DEL CAPITAL. Transforma un stock inicial VA en un flujo constante o serie uniforme C. Conocido en el mundo de las finanzas como FRC, definido como el factor que transforma un VP a serie de pagos uniformes equivalentes.

5. FCS llamado también FACTOR DE MONTO COMPUESTO DE UNA ANUALIDAD. Factor para pasar de series uniformes a valor futuro (Capitalización de una serie uniforme). Transforma los pagos e ingresos uniformes a valor futuro único equivalente al final del período n. Este factor convierte pagos periódicos iguales de fin de período C, en valor futuro VF.

6. FDFA conocido como FACTOR DE FONDO DE AMORTIZACIÓN. Factor utilizado para transformar stocks finales VF en flujos o series (depósitos) uniformes C. O también, transforma valores futuros del final del período n en valores uniformes equivalentes periódicos.

CONCEPTO DE ANUALIDAD

Una anualidad es una serie de pagos periódicos, liquidados a intervalos iguales de tiempo y generalmente por el mismo monto, que se efectúan mientras persista cierta situación.

(45)

En su origen la palabra “anualidad” se restringía a pagos anuales, pero en la práctica se ha extendido hasta incluir pagos en periodos menores a un año, como por ejemplo semestralidades, tetramestralidades, trimestralidades, bimestralidades, mensualidades, quincenalidades y hasta semanalidades. Las anualidades no siempre están referidas a períodos anuales de pago. Las fórmulas de las anualidades permiten desplazar en el tiempo un grupo de capitales a la vez.

Algunos ejemplos de anualidades son:

* Los pagos mensuales por renta. * El cobro quincenal o semanal de sueldos. * Los abonos mensuales a una cuenta de crédito. * Los pagos de hipotecas de una vivienda * Los pagos de un automóvil a crédito * Los pagos por electrodomésticos a plazo * Los pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida.

LOS PRINCIPALES ELEMENTOS QUE CONFORMAN LA ANUALIDAD SON:

1. C Pago Periódico, llamado también renta. Es el importe cobrado o pagado, según sea el caso, en cada período y que no cambia en el transcurso de la anualidad.

2. VF, el valor futuro viene a ser la suma de todos los pagos periódicos (C), capitalizados al final del enésimo período.

3. VA, el valor actual viene a ser la suma de todos los pagos periódicos (C), descontados o actualizados a una tasa de interés.

4. i, es la tasa de interés por período, tiene la característica de ser simultáneamente nominal y efectiva. También representa la tasa anual de efectivo (TEA).

5. n, obtenemos el número de períodos multiplicando el tiempo por la frecuencia de capitalización de los intereses (n=t*m).

Las anualidades cumplen con las siguientes condiciones:

1. Todos los pagos son de igual valor. 2. Todos los pagos son a iguales intervalos.

3. Todos los pagos son llevados al principio o al final de la serie a la misma tasa. 4. El número de pagos debe ser igual al número de períodos.

DEFINICIONES IMPORTANTES DE LAS ANUALIDADES

1 RENTA. Valor de cada pago periódico.

2 RENTA ANUAL. Suma de todos los pagos hechos durante un año.

3 PLAZO DE LA ANUALIDAD. Tiempo que transcurre entre el comienzo del primer periodo de la renta y el final del último periodo.

4 INTERVALO DE PAGO O PERIODO. Tiempo transcurrido entre cada pago sucesivo de una anualidad.

(46)

CLASES DE ANUALIDADES

Atendiendo a la variedad de componentes que intervienen, las anualidades se clasifican en:

A) De acuerdo con las fechas de iniciación y término éstas son:

1 Anualidades ciertas. Sus fechas son fijas, establecidas de antemano. Ejemplo: En una compra a crédito, tanto la fecha que corresponde al primer y último pago son conocidos. 2 Anualidad contingente. En este tipo de anualidades, tanto la fecha del primer y último pago,

generalmente no se establecen anticipadamente. Ejemplo: Una renta vitalicia o perpetua que tiene que abonar un cónyuge a la muerte del otro. Al morir el cónyuge se inicia la renta y ésta fecha es desconocida.

B) De acuerdo a los intereses (a su periodo de capitalización), las anualidades son:

3) Simples. Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalización de los intereses. Ejemplo: El pago de una renta mensual con intereses al 32% de capitalización mensual. 4) Generales. Aquellas en las que el periodo de pago no coincide con el de capitalización. Ejemplo: El pago de una renta semestral con intereses al 36% anual capitalizable

trimestralmente.

C) De acuerdo con el vencimiento de los pagos, éstas son:

5) Vencidas. Las anualidades vencidas, ordinarias o pospagables son aquellas en que los pagos son a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo. Ejemplo, el pago de salarios a los empleados, el trabajo es primero, luego el pago.

6) Anticipadas. Las anualidades anticipadas o prepagables efectuadas al principio de cada periodo. Ejemplo, el pago mensual por la renta de una casa, primero es el pago, luego el uso del inmueble.

D) De acuerdo al momento de inicio o momento de valoración:

7) Inmediatas. Las más comunes. Los cobros o pagos tienen lugar en el periodo inmediatamente siguiente a la formalización del trato. Valoramos la anualidad en su origen o en su final. Ejemplo: Hoy adquirimos un producto a crédito, a pagar mensualmente. El primer pago puede realizarse hoy o el mes siguiente, las cuotas pueden ser anticipadas (prepagables) o vencidas (pospagables).

8) Diferidas. Los cobros o pagos son llevados a cabo tiempo después de formalizado el trato (se pospone o aplaza), es decir, el primer pago es después de transcurrido cierto número de períodos. La valoración de la anualidad es en un momento posterior a su origen. Significa el valor actual o futuro de una anualidad en n períodos a la tasa i, pospagables (vencidas) o prepagables (anticipadas).

E) Según la clase de interés

9) Simple o en progresión aritmética y, 10) Compuesta o en progresión geométrica

(47)

Identifica los conceptos anteriores en los siguientes problemas

1. El señor Juárez acuerda liquidar una deuda mediante doce pagos trimestrales de $750.00 cada uno, con una tasa de interés del 8% anual convertible semestralmente

Datos:

Renta (trimestral):_________________ Renta anual:______________________ Renta total: _______________________

Plazo de la anualidad: ______________ Intervalo de pago: _________________ Tasa nominal anual: ________________

2. CALIZAS DEL CENTRO acuerda liquidar una deuda mediante 15 pagos semestrales de $500.00 cada uno, con una tasa de interés del 6% anual convertible trimestralmente. Datos:

Renta (semestral):_________________ Renta anual:______________________ Renta total: _______________________

3. Banda LA ARROLLADORA acuerda liquidar una deuda mediante 24 pagos mensuales de $1000.00 cada uno, con una tasa de interés del 12% anual convertible mensualmente.

Datos:

Renta (mensual):_________________ Renta anual:______________________ Renta total: _______________________

4. Restaurante EL MESÓN acuerda liquidar una deuda mediante 24 pagos bimestrales de $2000.00 cada uno, con una tasa de interés del 18% anual convertible bimensualmente.

Datos:

Renta (bimestral):_________________ Renta anual:______________________ Renta total: _______________________

(48)

Identificar a qué tipo de anualidades pertenecen los siguientes problemas:

1. Una persona acuerda liquidar una deuda mediante 10 pagos de $1,000.00 semestrales

efectuados al final de cada semestre

2. Una persona acuerda liquidar una deuda mediante 5 pagos de $2,000.00 trimestrales,

efectuados al comienzo de cada trimestre.

3. Una persona acuerda liquidar una deuda mediante pagos de $5,000.00 semestrales

efectuados después de transcurridos cinco años, al final de cada semestre, durante 6 años.

4. Una persona acuerda liquidar una deuda mediante pagos de $1,500.00 semestrales

efectuados en forma indefinida, al final de cada semestre

5. Una persona acuerda liquidar una deuda mediante 8 pagos de $4,000.00 semestrales, que

se pagarán después de transcurridos 2 años, efectuados al comienzo de cada semestre.

6. Una persona acuerda liquidar una deuda mediante 12 pagos de $20,000.00 anuales,

efectuados al comienzo de cada año.

7. Una persona acuerda liquidar una deuda mediante pagos de $2,500.00 anuales efectuados en forma indefinida, al principio de cada año

8. Una persona acuerda liquidar una deuda mediante 20 pagos de $3,000.00 trimestrales

efectuados al final de cada trimestre

9. Una persona acuerda liquidar una deuda mediante 18 pagos de $6,000.00 tetramestrales,

que se pagarán después de transcurridos 2 años, efectuados al comienzo de cada tetramestre.

10. Una persona acuerda liquidar una deuda mediante 52 pagos de $900.00 quincenales,

(49)

Elabora un cuadro sinóptico de la secuencia didáctica 2.1

ASPECTOS BÁSICOS DE LAS ANUALIDADES

FACTORES FINANCIEROS CONCEPTO DE ANUALIDAD

ELEMENTOS DE UNA ANUALIDAD

DEFINICIONES IMPORTANTES DE LAS ANUALIDADES

(50)

2.2 LAS ANUALIDADES ORDINARIAS Y SU VALOR FUTURO

(51)

CALCULO DEL MONTO DE ANUALIDADES ORDINARIAS

El monto de una anualidad cierta ordinaria, o su valor futuro, es el valor acumulado de una serie de pagos periódicos efectuados al final de cada intervalo de pago, cuya fecha de evaluación se considera al término del plazo de la anualidad.

Para calcular el monto de una anualidad se utiliza la formula conocida como el factor del monto compuesto de una anualidad y se muestra a continuación:

𝑭 = 𝑨 [(𝟏 + 𝒊) 𝒏_{− 𝟏}

𝒊 ]

En donde:

F Es el valor futuro de la anualidad después de n periodos A Es el monto de cada anualidad

i Es la tasa de interés por periodo n Es el número de periodos

EJEMPLOS:

1. Durante los próximos 4 años, una persona depositará $15,000.00 al final de cada año en una cuenta de ahorro la cual paga el 8% anual efectivo ¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta inmediatamente después de haber hecho el cuarto depósito?

Además de la formula se puede resolver con las tablas financieras, para lo cual se utiliza la notación siguiente: (F/A, %, n)

(52)

2. Calcular el monto acumulado que se obtendrá MOSAICOS QUETZAL, invirtiendo $2,500.00 al final de cada uno de los próximos diez años, si el dinero trabaja al 5% anual.

3. La compañía MANUFACTURAS VINCI quiere depositar $500,000.00 cada año en una inversión que produce intereses al 14% anual capitalizable anualmente ¿Cuánto se acumulará al final de 8 años? ¿Cuánto será de intereses?

1. Calcular el monto que obtendrá FERRETERIA LA PALMA al final de 8 años, si ha estado invirtiendo anualmente $25,000.00 a una tasa de interés efectiva de 8% anual.

2. Calcular el monto acumulado que obtiene TRIVAL DE MONTEMORELOS invirtiendo $40,000.00 anuales durante 3 años, si el dinero trabaja al 5% anual.

(53)

3. El grupo VIOLENCIA MUSICAL planea depositar al final del año en curso $1,000.00 en un plan de ahorros exento de impuestos y una suma igual al final de cada uno de los tres años siguientes, se tiene una tasa de interés de 6% anual capitalizable anualmente ¿A qué cantidad llegará la inversión al efectuar el cuarto deposito?

4. La banda LOS MUY CODOS desea depositar $7,500.00 anuales en la cuenta que produce intereses al 9% anual capitalizables anualmente, ¿Cuál será el total acumulado al depositar el décimo pago? ¿Cuánto se percibirá por concepto de intereses?

5. Los HEROES DEL SUR depositarán $32,500.00 cada uno de los tres próximos años para saldar una cuenta ¿Cuánto reunirá al finalizar el tercer año en un banco que le otorga una tasa de interés del 6.5% anual?

6. Una compañía TELEVIVA pagará $120,000.00 anuales cada uno de los cinco años siguientes ¿Cuánto reunirá en 6 años si la tasa de interés es de 9%?

(54)

ANUALIDADES CON VENCIMIENTO MENOR A UN AÑO

Anteriormente el término anualidad se aplicaba a pagos anuales, pero en la actualidad se aplica para cualquier plazo, semestralidades, trimestralidades, mensualidades, quincenalidades, semanalidades, aunque también estos nombres se han estado utilizando.

Cuando se desea hacer pagos con menor frecuencia que un año, se deben considerar el número de periodos que contiene un año para dividir la tasa de interés que generalmente es anual y también obtener el número de periodos que hay en un año.

Por ejemplo, cuando se dice que se harán pagos semestrales durante cinco años y que la tasa de interés es 10% anual, capitalizable semestralmente, esto significa que se harán 10 pagos semestrales porque cada año cuenta con dos semestres y la tasa de interés a considerar sería 10%/2, porque la tasa de 10% es para un año y se divide entre dos porque en un año hay dos semestres, por lo tanto cada semestre se pagará un 5% de interés.

Así al aplicar la fórmula de anualidades n=10 y la tasa de interés i=5%

Para pagos tetramestrales se considerarán tres tetramestres en un año y la tasa de interés anual se dividirá entre tres.

Cuando se hacen pagos trimestrales se debe considerar que en un año hay cuatro trimestres, por lo que el número de pagos será de 4 por año y la tasa de interés se dividirá entre cuatro.

En el caso de las bimestralidades se consideran 6 bimestres en un año y la tasa de interés se divide entre 6.

Cuando se hagan pagos mensuales, se considerarán doce meses y la tasa de interés se dividirá entre 12.

Para el caso de las quincenalidades se consideran 24 quincenas en un año y la tasa de interés se dividirá entre 24.

Para el caso de las catorcenalidades se consideran 26 catorcenas en un año y la tasa de interés se divide entre 26.

(55)

EJEMPLO:

1.El grupo PESA-1000 desea depositar $2,000.00 al final de cada semestre para estudiar una carrera universitaria, la tasa de interés es de 8% anual capitalizable semestralmente ¿Cuál será el saldo de su cuenta al final de 6 años? ¿Cuánto tiene de intereses?

2.Bodega AHORRARA desea depositar $5,000.00 anuales por 5 años, si obtiene intereses del 10% anual, calcule la cantidad en que se convertirán los depósitos si:

a) La capitalización es anual

b) La capitalización es semestral y los depósitos son por $2,500.00 semestrales

c) La capitalización es trimestral y los depósitos son por $1,250.00 trimestrales

(56)

1. La tienda GUALMAR desea depositar $12,000.00 anuales en una cuenta, hará pagos durante los próximos 4 años, la tasa de interés es de 12% cuanto acumulará al finalizar el último depósito si los pagos y la capitalización son:

A) Semestral

B) Tetramestral

C) Trimestral

D) Bimestral

E) Mensual

F) Quincenal

G) Catorcenal

(57)

2. La empresa Tulipanes blancos depositará $70,000 mensuales durante 5 años a una tasa de interés del 18% capitalizable mensualmente, ¿Cuánto dinero acumulará al finalizar el último deposito?

3. Acrílicos del Norte desea ahorrar $3,500.00 bimestrales en una cuanta que paga una tasa de interés de 16% anual, capitalizable bimestralmente ¿Cuánto reunirá en 6 años?

4. La empresa Manchester United depositará $30,000 quincenales durante 2 años a una tasa de interés del 36% capitalizable quincenalmente, ¿Cuánto dinero acumulará al finalizar el último deposito?

(58)

2.3 CALCULO DE LA RENTA, DEL TIEMPO Y DE LA TASA DE UNA ANUALIDAD FUTURA

(59)

Para determinar la renta que debe pagarse periódicamente para acumular al final de n años, cierta suma de dinero colocada a una tasa efectiva de interés, es necesario despejar el valor de la renta de la fórmula del monto compuesto de una anualidad.

Este factor también es conocido como fondo de amortización, y se utiliza principalmente para determinar el monto de una anualidad que permita llegar a reunir la cantidad estipulada después de cierto número de periodos.

La fórmula es:

𝑨 = 𝑭 [ 𝒊

(𝟏 + 𝒊)𝒏_{− 𝟏}]

La notación para resolver los problemas con tablas financieras es la siguiente:

(A/F, %, n)

EJEMPLOS:

1. La empresa GUAL-2 desea acumular $30,000.00 dentro de cuatro años para adquirir una motocicleta, ¿Cuánto deberá depositar al final de cada año, si el banco le otorga un interés efectivo del 8%?

2. determine la renta anual necesaria para que FARMACIAS DEL GASTO acumule $45,000.00 al final de 5 años, si la tasa efectiva de interés es de 12% anual

3. PERFILES Y TUBULARES DE ACERO necesita acumular $22,500.00 dentro de 8 años para saldar una cuenta ¿Cuánto deberá depositar al final de cada año en un banco que le otorga una tasa de interés efectiva del 5.5% anual

(60)

4. Determine la renta anual necesaria para que la fonda GORDITAS LA SOBRINA acumular $1,800.00 al final de 10 años, si la tasa efectiva de interés es del 12% anual.

5. La cadena de farmacias del DR. PRIMI desea establecer un fondo de amortización a fines del presente año, se harán depósitos anuales al final de cada año durante los próximos 10 años si la tasa de interés es de 8% anual, capitalizable anualmente ¿Cuánto dinero habrá que depositar para acumular 12 millones al momento del décimo depósito? ¿cuánto se recibirá de intereses

6. Una familia desea ahorrar para hacer un viaje a Europa planea realizarlo dentro de 4 años y quiere reunir $100,000.00 si efectúan 16 depósitos trimestrales y la tasa de interés es de 10% anual, capitalizable trimestralmente ¿De cuánto deberá ser cada depósito? ¿Cuánto será de intereses?

7. La ciudad de San Luis Potosí desea establecer un fondo de amortización para pagar deudas de $60,000,000.00 que se vencen en 5 años, el municipio puede obtener intereses del 11% anual capitalizable semestralmente. Si el primer depósito se realizará dentro de 6 meses ¿Qué deposito semestral se necesita para acumular los $60 millones? ¿Cuánto se recibirá de intereses.

(61)

8. Cuánto dinero se debe depositar al final del año si TRANSPORTES ZENBA pretende acumular $50,000.00 al final de 10 años, la tasa de interés es de 12% anual capitalizable anualmente ¿Qué intereses se ganará?

9. Cuánto dinero se debe depositar al final de cada tetramestre si LONAS TOLTECA pretende acumular $250,000.00 al final de 9 años, la tasa de interés es de 13% anual capitalizable tetramestralmente ¿Qué intereses se ganará?

10. Cuando se deberá paga cada bimestre, si CHESTER CHECOS desea acumular $80,000.00 al finalizar 3 años, si la tasa de interés es de 9% anual capitalizable bimestralmente

11. Cuánto dinero se debe depositar al final del año si GRUPO INAGARRABLE pretende acumular $150,000.00 al final de 10 años, la tasa de interés es de 13% anual capitalizable anualmente ¿Qué intereses se ganará?

(62)

Para determinar el número de años requeridos para que una renta anual acumule cierta cantidad a una tasa efectiva de interés anual, es necesario despejar el valor del tiempo n en la formula o bien realizar el proceso inverso con las tablas financieras, para ello es necesario dividir el monto de la anualidad entre el valor futuro de la anualidad y dará como resultado el factor de amortización, el cual se buscará en las tablas financieras, en la columna correspondiente a la tasa de interés declarada, y por tanto se localizará el número de años o periodos n. la fórmula es la siguiente:

𝑨 𝑭= (

𝒊

(𝟏+𝒊)𝒏_−𝟏)También se puede utilizar la formula

𝑭 𝑨= (

(𝟏+𝒊)𝒏−𝟏

𝒊 )

Nota: es posible que en algunas ocasiones no coincida exactamente el valor de las tablas con el de la división por lo que se tomará el más cercano.

FACTOR PARA EL FONDO DE AMORTIZACION (A/F, %, n) =i/ (1+i)n _-1.

n 3.75% 4.00% 4.50% 5.00% 5.50% 6.00% 7% 8% 9%

1 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

2 0.4908 0.4902 0.4890 0.4878 0.4866 0.4854 0.4831 0.4808 0.4785

3 0.3211 0.3203 0.3188 0.3172 0.3157 0.3141 0.3111 0.3080 0.3051

4 0.2364 0.2355 0.2337 0.2320 0.2303 0.2286 0.2252 0.2219 0.2187

5 0.1856 0.1846 0.1828 0.1810 0.1792 0.1774 0.1739 0.1705 0.1671

6 0.1517 0.1508 0.1489 0.1470 0.1452 0.1434 0.1398 0.1363 0.1329

7 0.1276 0.1266 0.1247 0.1228 0.1210 0.1191 0.1156 0.1121 0.1087

8 0.1095 0.1085 0.1066 0.1047 0.1029 0.1010 0.0975 0.0940 0.0907

9 0.0955 0.0945 0.0926 0.0907 0.0888 0.0870 0.0835 0.0801 0.0768

10 0.0843 0.0833 0.0814 0.0795 0.0777 0.0759 0.0724 0.0690 0.0658

11 0.0751 0.0741 0.0722 0.0704 0.0686 0.0668 0.0634 0.0601 0.0569

EJEMPLOS:

1. ¿Cuántos pagos anuales completos de $1896.7 debe cubrir MARISCOS DEL CENTRO con objeto de acumular al 6% anual, la cantidad de $25,000.00?

Datos Formula V FUTURA ANUALIDAD FORMULA FONDO AMORT

2. El presidente de la compañía MIXE desea crear un fondo de pensiones para sus empleados por un millón de pesos. Para ello autoriza el pago de $15,000.00 al fondo al final de cada año; si el fondo paga el 5% de intereses, ¿Cuánto tiempo se necesitará para acumular el millón de pesos?

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3. ¿Cuántos pagos semestrales de $2,500 deberá hacer PC & LAP para acumular a una tasa de interés de 8% anual capitalizable semestralmente, la cantidad de $23,041.47?

Datos Formula V FUTURA ANUALIDAD FORM FONDO AMORT

4. RADIO FORMATO depositará al final de cada trimestre un pago de $9,936 y su objetivo es acumular $600,000.00, la tasa de interés es de 8% anual capitalizable trimestralmente, cuantos pagos tendrá que realizar y en cuantos años logrará su objetivo.

5. Un joven desea ahorrar para comprar un modular, para ello depositará $516 trimestralmente y quiere reunir $10,000.00, la tasa de interés es de 10% anual capitalizable trimestralmente ¿Cuántos pagos tendrá que hacer? ¿en cuántos años logrará su meta?

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6. La empresa CALCETINES FINOS desea establecer un fondo de amortización para fin de año y hará depósitos semestrales por $430,200 la tasa de interés es de 8% capitalizable semestralmente, si se desean acumular doce millones de pesos ¿en cuántos pagos se logrará obtener el monto? ¿Cuántos años serán?

7. Una niña de 12 años empieza a ahorrar para cursar una carrera universitaria, planea depositar $500.00 en una inversión al final de cada trimestre, si le pagan intereses del 8% anual capitalizable trimestralmente, ¿En cuántos pagos acumulará $15,210.93? ¿Cuántos años se llevará?

8. El grupo BONITA VENCIDAD deposita $2,000.00 al final de cada semestre a una tasa de interés de 8% anual, capitalizable semestralmente ¿en qué tiempo se reunirá la cantidad de $30,051.6?

9. TRANSPORTES FLECHA NARANJA depositará $10,000 anuales, a una tasa de interés de 6% anual capitalizable anualmente, ¿en cuánto tiempo reunirá $43,746.62?