Una situación didáctica para la enseñanza de la función exponencial, dirigida a estudiantes de las carreras de Humanidades.

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESCUELA DE GRADUADOS

UNA SITUACIÓN DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL, DIRIGIDA A ESTUDIANTES DE LAS CARRERAS DE

HUMANIDADES

TESIS

PARA OBTENER EL GRADO DE:

MAGÍSTER EN ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS

QUE PRESENTA:

ELIZABETH MILAGRO ADVÍNCULA CLEMENTE

ASESOR DE TESIS: DR. ULDARICO MALASPINA

MIEMBROS DEL JURADO: MARIANO GONZALEZ ULDARICO MALASPINA

NORMA RUBIO

A la memoria de mi querida madre.

A mis queridos padre y hermano

ÍNDICE

Página

INTRODUCCIÓN

CAPÍTULO 1: PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

1.1. Antecedentes 1

1.2. Definición del problema 3

1.3. Objetivos 7

1.4. Hipótesis 8

CAPÍTULO 2: MARCO TEÓRICO Y METODOLOGÍA DE LA

INVESTIGACIÓN

2.1. Teoría de situaciones didácticas 9

2.2. Ingeniería didáctica 17

CAPÍTULO 3: SITUACIÓN DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL, DIRIGIDA A ESTUDIANTES DE LAS CARRERAS DE HUMANIDADES

3.1. Análisis preliminar 24

3.2. Concepción de la situación didáctica 58

3.3. Análisis a priori 71

3.4. Experimentación en aula 96

3.5. Situación didáctica modificada 138

CAPÍTULO 4: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 172

ANEXOS

Anexo 1: Silabo de Matemáticas Anexo 2: Ficha de observación en aula

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo de investigación surge a partir de mi preocupación por contribuir con la enseñanza de la Matemática, en particular con la enseñanza de la Matemática dirigida a estudiantes de las carreras de humanidades, quienes tienen en su plan de estudio un curso de Matemática que cumple un papel formativo fundamental, considerando las exigencias y demandas de la sociedad en la que nos encontramos. El curso requiere especial atención, máxime teniendo en cuenta el poco gusto por el estudio de esta materia y de las dificultades que presentan muchos alumnos de humanidades para aprender los conceptos matemáticos.

La propuesta de este trabajo parte de una reflexión sobre mi tarea docente, en la que se requiere tener presente que se aprende matemática haciendo matemática; es decir, en la interacción activa del alumno con el saber matemático a través de la resolución de problemas, de modo que los estudiantes construyan los conceptos matemáticos. También es parte de esta reflexión tener presente que la enseñanza de la Matemática en la universidad, en particular en las carreras de humanidades, dentro de un marco de interdisciplinariedad, busca vincular esta materia no solo con las otras materias de estudio sino también con la tecnología y la cultura de nuestra sociedad, convirtiéndose en una herramienta útil para resolver problemas cotidianos.

desintegración de una sustancia radiactiva, etc. La segunda, debido a las dificultades que presentan los estudiantes de las carreras de humanidades para aprender este concepto.

A través de este trabajo pretendo poner de manifiesto la importancia que debería tener la dimensión didáctica en la enseñanza de la Matemática; es decir, la importancia que se le debe asignar al uso de una teoría didáctica al proponer alternativas de enseñanza para esta materia. Por ello, la propuesta de este trabajo se basa en la teoría de situaciones didácticas de Brousseau, en la que se propone una situación didáctica que permita, en la interacción entre alumno, concepto matemático y docente, que los estudiantes participen y construyan el concepto de la función exponencial. Resaltando que es el docente el encargado de crear las condiciones adecuadas que favorezcan el aprendizaje del concepto de función exponencial por parte de los alumnos, a través de actividades individuales o grupales que promuevan la participación activa de los mismos en la construcción de dicho conocimiento, respondiendo a los retos y demandas de nuestra universidad y de la sociedad al exigir profesionales altamente calificados.

Este trabajo consta de cuatro capítulos. En el primer capítulo, se presenta el problema de investigación que incluye los antecedentes, la definición del problema, los objetivos e hipótesis de investigación. En el segundo capítulo, se presenta el marco teórico y la metodología de investigación utilizada, el marco teórico que está basado en la teoría de situaciones didácticas propuesto por Brousseau y la metodología de investigación que es la ingeniera didáctica. En el tercer capítulo, se presenta la situación didáctica propuesta para la enseñanza de la función exponencial dirigida a estudiantes de las carreras de humanidades, que incluye el análisis preliminar, la concepción de la situación didáctica, el análisis a priori, la experimentación en aula y la situación didáctica modificada que es la propuesta de este trabajo. En el cuarto capítulo, se presentan las conclusiones de la investigación y algunas recomendaciones que podrían ser parte de futuros trabajos de investigación.

Capítulo 1:

Problema de investigación

En este capítulo presentaremos los antecedentes de este trabajo de investigación, la definición del problema que le dio origen, así como los objetivos e hipótesis de investigación.

1.1

Antecedentes

La noción de función es de suma importancia en el currículo de Matemática de nuestro país, tanto en el nivel secundario como en el superior. Una muestra de ello es que a partir del concepto de función se articulan todas las nociones fundamentales del cálculo diferencial e integral, así como de otras disciplinas científicas.

la que los estudiantes reciben los diferentes enfoques y representaciones de este concepto.

Ante esta problemática, cabe tener presente a Eisenberg1 (1992) quien señala que la función es un concepto crucial en la comprensión de la matemática y desarrollar en los estudiantes una sensibilidad hacia las funciones debería ser un objetivo principal del currículo de la escuela media y universitaria.

En el presente trabajo de investigación, abordaremos el tema de la función exponencial, considerando la dificultad que presentan los estudiantes para entender la noción y el comportamiento de esta función tal como lo señalan De Faria (1997) y Rivera (2009), en sus investigaciones. De Faria (1997), menciona tres dificultades que tienen los estudiantes para construir la noción de esta función: dificultades para elevar números a distintas potencias e interpretar el significado de esas operaciones, dificultades para interpretar la naturaleza y estructura de la función exponencial y dificultades para relacionarla con la función logarítmica. Rivera (2009), en su análisis sobre el comportamiento de la función exponencial x

a

y , para valores reales de a, señala que los estudiantes tienen dificultades para representar esta función en forma gráfica, tabular o analítica; las mismas que presentan al estudiar la función ax

e x

f( ) ,

para valores de a que pertenecen al campo de los números complejos.

Además, en este trabajo de investigación nos interesa el estudio de la función exponencial debido a la importancia que tiene su presencia dentro del campo de las Matemáticas y también fuera de ella, en aplicaciones que modelan fenómenos reales vinculados con la economía, la medicina, la química o la física, como por ejemplo la reproducción de las bacterias, el crecimiento de algunas poblaciones, la inflación, la capitalización de un dinero colocado a interés compuesto, la desintegración de una sustancia radiactiva, etc. Sobre este punto Ferrari (2001), en su estudio sobre una

1 _{Tomado de: http://www.fismat.umich.mx/mateduca/Carlos/mem9sem/monsoy/monsoy.htm.}

visión socio epistemológica de la función logaritmo, menciona la necesidad de proponer una alternativa de enseñanza que permita que los estudiantes participen en la construcción del concepto de la función a partir de situaciones que los acerque a algunas de sus aplicaciones; y Lezama (1999), en su estudio sobre el fenómeno de reproducibilidad de la función exponencial, desde la perspectiva socioepistemológica, menciona la necesidad de proponer una situación didáctica que le permita al estudiante dotar de un significado propio y útil al conocimiento que se desea impartir, así como percatarse de que el conocimiento adquirido pueda ser utilizado en la resolución de otros problemas, no solo dentro del campo de las Matemáticas.

1.2

Definición del problema

Desde nuestra experiencia docente en la enseñanza de las funciones, en particular de la función exponencial, con estudiantes de las carreras de humanidades, observamos que en las clases se presentan las dificultades señaladas en las investigaciones citadas anteriormente. A lo mencionado, añadimos que la mayoría de estudiantes asocia la función exponencial con crecimiento, pero tienen dificultades para reconocer esta característica de crecimiento en los problemas, pues la mayoría representa dicho crecimiento con líneas rectas crecientes.

Por otro lado, revisamos algunos textos en los que se presenta la función exponencial para tener información de cómo se desarrolla este tema en dichos textos, lo que incluye observar: cuál es la secuencia de contenidos, cómo se define a la función exponencial, qué propiedades se presentan, qué ejemplos se utilizan para mostrar sus características y qué ejercicios o problemas de aplicación se proponen.

 Advíncula, E., Barrantes, E., Gaita, C., Henostroza, J., Jabo, F. y Luna, M. (2009). Matemáticas para no matemáticos. Lima: Pontificia Universidad Católica del Perú.

En este texto, se empieza comentando sobre la presencia de la función exponencial en situaciones reales, tales como el crecimiento de poblaciones, la velocidad de propagación de algún tipo de virus o enfermedad o virus informático, la depreciación del costo de un vehículo a través del tiempo, etc. Luego, se propone una situación problema, cuya solución requiere de una función de tipo exponencial; y se presenta un problema resuelto cuya solución involucra a una función de tipo exponencial.

También, se presenta la definición de función exponencial, su representación gráfica y se señalan algunas características de esta función.

Finalmente, se propone una lista de ejercicios y situaciones relacionadas con las aplicaciones de la función exponencial en fenómenos reales.

 Haeussler, S. (2003). Matemáticas Aplicadas a la Administración y Economía. México, D.F.: Pearson Educación.

En este texto, se empieza comentando algunas aplicaciones de la función exponencial como es la propagación de virus biológicos a través de los organismos o virus de computadoras por medio de redes o correo electrónico. Luego, se presenta la definición de función exponencial, se comenta sobre los valores irracionales que puede tomar x en la expresión ₂x, se les recuerda algunas reglas de los exponentes, y se presenta dos ejemplos resueltos para evaluar funciones exponenciales.

Luego, se describe como se realiza las aproximaciones para el número e y se presenta la función exponencial natural con ejemplos de crecimiento poblacional o decaimiento radioactivo.

Después se propone una lista de ejercicios y problemas de modelación con funciones exponenciales. Luego, se desarrolla la función logarítmica.

Por último, se presenta una aplicación más de la función exponencial relacionada con la dosis de medicamento en el organismo de una persona.

 Lima, E., Morgado, A., Pinto, P. y Wagner, E. (2000). La Matemática de la Enseñanza Media. Lima: Instituto de Matemáticas y Ciencias Afines.

En este texto, se presenta la definición de función exponencial, las propiedades de la función exponencial demostrando cada una de ellas. Luego, se grafica funciones exponenciales presentando dos casos.

A continuación, se compara una función exponencial x

y2 con una función polinómica 10

x

y , utilizando sus respectivos gráficos.

Además, se presenta las características que son propias de una función exponencial relacionadas con la variación relativa que es constante (no depende de

x) y con las progresiones.

Posteriormente, se presenta la función logarítmica, la función exponencial de base

e y ejemplos relacionados con el capital a interés fijo, desintegración radiactiva y

concentración de una solución.

Finalmente, se propone una lista de problemas de modelación.

 Stewart, J. (2001). Precálculo. México D. F.: Thomson

En este texto, se empieza comentando la rapidez con la que crecen los valores de la función x

x

aproximaciones con potencia racionales; y se presenta la definición de función exponencial, comentando que pasaría si la base es 1.

Después, se presenta ejemplos para evaluar funciones exponenciales utilizando la calculadora, ejemplos de gráficos de funciones exponenciales y otros ejemplos resueltos en los que se utilizan transformaciones.

Luego, se compara una función exponencial x x

f( )2 con una función cuadrática _{( )} 2

x x

g  , utilizando sus respectivos gráficos.

También, se presenta la función exponencial natural, utilizando ejemplos relacionados con interés compuesto u otros modelos exponenciales. Luego, se propone una lista de ejercicios y problemas de modelación.

Finalmente, se presenta un proyecto de descubrimiento relacionado con el crecimiento exponencial explosivo.

De esta revisión de textos, observamos que en ninguno de ellos se incluye una actividad inicial que permita descubrir la característica propia de la función exponencial y a partir de ella construir el concepto de esta función. En la mayoría de ellos, como en muchos otros, primero se presenta la definición de la función exponencial y luego se comentan algunas características relacionadas con su dominio, su rango, su representación gráfica y su presencia en fenómenos de la realidad.

Por tanto, en el problema de investigación de este trabajo nos planteamos las siguientes preguntas de investigación:

 ¿Qué situación didáctica se podría diseñar para enseñar la función exponencial a estudiantes de las carreras de humanidades, de manera que participen en la construcción de dicho conocimiento?

 ¿Qué secuencia didáctica se recomienda seguir para enseñar la función exponencial a estudiantes de las carreras de humanidades, de manera que en la interacción con el profesor y la situación didáctica puedan construir el concepto de la función exponencial?

1.3

Objetivos

El objetivo general del presente trabajo de investigación es proponer una situación didáctica, que permita que los estudiantes de las carreras de humanidades construyan el concepto de la función exponencial.

Los objetivos específicos de este trabajo de investigación son:

1. Diseñar una situación didáctica basada en la teoría de situaciones didácticas, que permita que los estudiantes de las carreras de humanidades construyan el concepto de la función exponencial.

2. Elaborar el análisis a priori de la situación didáctica diseñada para enseñar la función exponencial a estudiantes de las carreras de humanidades, utilizando la ingeniería didáctica.

3. Realizar la experimentación en aula de la situación didáctica diseñada para enseñar la función exponencial a estudiantes de las carreras de humanidades.

1.4

Hipótesis

Las hipótesis de este trabajo de investigación son:

1. La experimentación en aula de la situación didáctica diseñada brindará información sobre las estrategias de solución o dificultades que presentan los estudiantes al resolver los problemas propuestos en cada situación.

Capítulo 2:

Marco teórico y Metodología de la investigación

2.1 Teoría de situaciones didácticas

El marco teórico de esta investigación se basa en la Teoría de situaciones didácticas, que surgió en Francia a fines del siglo XX y fue concebida por Guy Brousseau bajo una hipótesis sobre la construcción del significado de una noción. Brousseau desarrolló la teoría de las situaciones didácticas basándose en algunas ideas de Piaget, quien considera que un individuo aprende en la medida en que construye o resignifica un concepto, incorporándolo a su estructura cognitiva a través de un proceso de asimilación y acomodación, en un medio que es factor de desequilibrios y dificultades.

Brousseau (1986), influenciado por el constructivismo, postula que el sujeto aprende adaptándose a un medio que es factor de contradicciones, de dificultades, de desequilibrios, un poco como lo hace la sociedad humana. Es decir, el sujeto produce conocimiento o adquiere un saber como resultado de la adaptación a un medio resistente con el que interactúa y lo manifiesta por medio de respuestas nuevas.

Asimismo, Brousseau (1986) postula que para todo conocimiento matemático existe una situación fundamental cuya problemática permita la emergencia de dicho conocimiento. Es decir, es una situación en la que este conocimiento se constituye en la estrategia óptima para resolver el problema involucrado.

adquiera. Por ello, postula la necesidad de un medio que sea pensado y sostenido con una intencionalidad didáctica.

Para Brousseau (2000), una situación didáctica es un conjunto de relaciones establecidas de modo explícito o implícito entre el saber matemático, el profesor y el alumno con el objetivo de hacer que el alumno construya un conocimiento previamente establecido. Además, señala que el profesor es el encargado de elaborar el medio didáctico en el que ocurrirá la interacción entre los tres elementos de la situación didáctica de modo que se lleve a cabo la construcción del conocimiento.

La situación didáctica comprende el proceso en el que el docente proporciona el medio didáctico donde el estudiante construye el conocimiento. Además, engloba las situaciones a-didácticas, en las que una vez que el estudiante ha construido el

conocimiento, se le plantea un problema diferente a lo trabajado en la situación didáctica, que debe afrontar y resolver sin la intervención del docente.

En esta teoría, una situación es a-didáctica cuando el alumno asume el problema planteado como propio y entra en un proceso de búsqueda autónoma de la solución, sin la intervención directa del profesor. En una situación a-didática no aparece explícita la intención de enseñar, pero dicha intención existe de manera implícita. Para Brousseau (1986), una situación es a-didáctica cuando el alumno tiene la posibilidad de leer sus relaciones con los elementos del sistema didáctico como nuevas situaciones y de ese modo aportar respuestas apropiadas.

El alumno construye o adquiere un conocimiento en su adaptación a situaciones didácticas que le son propuestas; es decir, cuando asume personalmente la resolución de los problemas que se proponen en estas situaciones. De allí que el docente debe proponer a los alumnos situaciones que les permitan interactuar con el saber; es decir, que les permitan formular, probar y construir modelos, lenguajes, conceptos y teorías que intercambie con otros.

En el proceso de interacción del alumno con el saber aparece la idea de la devolución. Para Brousseau (1986) la devolución se define como el acto a través del cual el profesor hace que el alumno acepte la responsabilidad de una situación de aprendizaje (situación a-didáctica) y acepte al mismo tiempo las consecuencias de esta transferencia.

Por otro lado, para la realización de la devolución entre el profesor y el alumno aparecen obstáculos, que según Perrín-Glorian2 (1997) son:

 Falta de establecimiento de los conocimientos previos, ya sea en lo concerniente a su utilización o ya sea por la posibilidad de una eventual puesta en discusión.  Falta de confiabilidad de las técnicas operatorias, lo que acarrea una distracción de

la atención del objetivo principal y un alto costo para los procedimientos complejos.

 Falta de capacidad para una lectura global del problema para identificar lo que se pide, que comúnmente se sustituye con una lectura selectiva y local con la finalidad de dar una pronta respuesta.

En el acto de devolución de alumno a profesor o viceversa, se debe tener en cuenta la presencia de un contrato pedagógico, que busque reglamentar los cambios entre dos partes tomando para ello un sistema de derechos y deberes recíprocos por un periodo limitado. El cumplimiento de este contrato es un acto que supone un consentimiento mutuo de ambas partes ya que se funda en el enunciado de reglas de juego a las que cada una de ellas debe someterse libremente.

Brousseau plantea las situaciones didácticas como una forma para modelar el proceso de enseñanza-aprendizaje. En este sentido, dentro de la interrelación entre profesor, alumno y medio didáctico, hay dos conceptos que vienen a integrarse: la transposición didáctica y el contrato didáctico. En esta parte nos ocuparemos del contrato didáctico, ya que al igual que la situación a-didáctica es una componente de una situación didáctica.

Para Brousseau (1986), el contrato didáctico es un conjunto de reglas, con frecuencia no enunciadas explícitamente, que organizan las relaciones entre el contenido enseñado, los alumnos y el profesor dentro de una clase de Matemática.

2 _{Tomado de: Lezama, J. (1999). Un estudio de reproducibilidad: El caso de la función exponencial.}

Brousseau, construye esta noción para explicar las relaciones entre profesores y alumnos, las cuales son condicionadas por un proyecto social exterior a ambos, que se les impone y les da razón de ser; y que además, evoluciona y se transforma a la par de los conocimientos puestos en juego.

Como el profesor de Matemáticas tiene una dimensión social que se le impone, le corresponde lograr el aprendizaje de cada alumno y asegurar la homogeneidad de la construcción de los saberes y su coherencia a nivel de toda la clase. Por ello, todo contrato debe garantizar la devolución pues de no ser así, se producen las rupturas y se hace necesaria la búsqueda de nuevos contratos.

También, podemos decir que el contrato didáctico comprende el conjunto de comportamientos que el profesor espera del alumno y el conjunto de comportamientos que el alumno espera del profesor en la interacción que se da entre ellos. Cabe señalar que las cláusulas de este contrato tienen un carácter implícito y no rigen todos los aspectos de la relación que se da entre el profesor y el alumno, sino solo lo referente a la construcción del conocimiento matemático involucrado.

Por otro lado, dado que la teoría de las situaciones didácticas es una teoría, de tipo constructiva, en la que el aprendizaje se produce mediante la resolución de problemas, y el conocimiento matemático incluye no solo conceptos sino también sistemas de representación simbólica, no solo procesos de desarrollo, sino también validaciones de nuevas ideas matemáticas, debemos considerar las siguientes fases o tipos de situaciones:

su modelo implícito ya que puede actuar sobre la situación problema, evaluar el resultado de su acción y modificarla sin la intervención del profesor, a partir de la información que recibe de la misma situación, y así llegar a la resolución del problema y adquisición del conocimiento.

Fase de formulación, en la que se favorece la adquisición de modelos y lenguajes explícitos. El uso de un lenguaje explícito permite producir mensajes e intercambiar informaciones codificadas según dicho lenguaje. Es decir, el alumno intercambia información y comunica sus observaciones a sus compañeros, utilizando un vocabulario y un lenguaje matemático común (información codificada). En esta fase, para que el alumno pueda explicitar su modelo implícito y para que esta formulación tenga sentido para él, tiene que necesariamente utilizarla para obtener o hacer obtener a otro compañero un resultado.

Fase de validación, en la que se requiere por parte de los alumnos la explicitación de pruebas; es decir, en la que se requiere explicaciones de las teorías utilizadas y procedimientos seguidos en los procesos de demostración. El conocimiento de las teorías utilizadas permite que el alumno construya sus propios juicios y pueda intercambiarlos.

En esta fase, el alumno debe demostrar ante otros compañeros por qué el modelo que construyó es válido.

complementario al de la devolución, ya que los estudiantes deben cambiar el status de sus conocimientos aún no oficiales al conocimiento utilizable oficialmente. Esta fase cae bajo la responsabilidad del profesor, quien debe presentar los resultados en forma ordenada para lograr pasar de un conocimiento a un saber oficial.

Brousseau (1986) entiende el aprendizaje como adaptación al medio, lo que implica: rupturas cognitivas, acomodaciones, cambio de modelos o concepciones implícitas y cambio de lenguajes o sistemas cognitivos. Estas rupturas son tan necesarias como para tener que ser previstas por el estudio directo de las situaciones e indirectamente por los comportamientos de los alumnos. A partir de estas ideas contradictorias, Brousseau introduce el término obstáculo.

Para Bachelard3 (1938) la idea de un obstáculo epistemológico debe comprenderse como el efecto limitativo de un sistema de conceptos sobre el desarrollo del pensamiento, y para ello da un listado extenso de los mismos, que impiden que un modo de pensamiento pre-científico conciba asimismo el enfoque científico. Brousseau, retoma las ideas de Bachelard, y considera obstáculos a los errores que no son imprevisibles; es decir, a los errores que no son efecto de la ignorancia, de la incertidumbre o del azar, sino a los que son efecto de conocimientos previos que se revelan falsamente o inadaptados.

Según Brousseau (1986) un obstáculo es un conocimiento que ha sido en determinado momento eficiente para resolver algún tipo de problemas, pero que falla cuando se aplica a otro problema. Debido a su éxito previo en cierto tipo de problemas se resiste a ser modificado o a ser rechazado y se convierte en una barrera para un aprendizaje posterior. Se revela por medio de los errores específicos que son constantes y resistentes.

Brousseau4 distingue tres tipos de obstáculos: de origen ontogenético, de origen didáctico y de origen epistemológico. Los obstáculos ontogenéticos, llamados también obstáculos psicogenéticos, se deben a las características del desarrollo del sujeto; los obstáculos didácticos, resultan de las elecciones didácticas realizadas para establecer la situación de enseñanza; y los obstáculos epistemológicos, están intrínsecamente relacionados con el propio concepto a enseñar.

La superación de un obstáculo implica el diseño de acciones racionales que se concreten en una situación didáctica susceptible de evolucionar y de hacer evolucionar al alumno mediante un proceso dialéctico que le permita confrontar sus concepciones anteriores y recrear el nuevo conocimiento. Es decir, se requiere de situaciones didácticas diseñadas de modo tal que los alumnos sean conscientes de la necesidad de cambiar sus concepciones y puedan lograrlo.

En la teoría de situaciones didácticas, otro elemento importante es la variable didáctica, que puede ser modificada por el profesor y que afecta a la jerarquía de las estrategias de la solución que sigue el alumno, sea por el costo, por la validez, por la complejidad, etc. (Brian5, 1996). En otras palabras, las variables didácticas son elementos, de la situación didáctica, que el profesor modifica con la finalidad de provocar un cambio de estrategia en el alumno y de esa manera este pueda llegar al saber deseado. De allí que resulta esencial la elección y gestión de variables didácticas por parte del profesor, al igual que la identificación de los obstáculos inherentes al conocimiento.

Asimismo, es importante tener en cuenta que uno de los principales problemas de investigación de la teoría de situaciones didácticas es el estudio de las condiciones

4 _{Tomado de: http://s3.amazonaws.com/lcp/didactica24/myfiles/teoria_situaciones-1-.pdf.}

Recuperado el 20 de diciembre de 2009.

5 _{Tomado de: Ruiz, L. (1998). La noción de función: Análisis epistemológico y didáctico. Tesis de}

en las cuales se constituye el saber matemático, a fin de lograr que estas sean las más favorables para la enseñanza aprendizaje del concepto matemático en cuestión y puedan ser reproducidas en distintas situaciones de enseñanza escolar. El estudio de las condiciones o fenómenos que ocurren dentro del aula durante el proceso de enseñanza aprendizaje de un contenido matemático, incluye el análisis de los conocimientos impartidos, la forma en la cual se enseña, la forma mediante la cual aprenden los alumnos y las posibles restricciones bajo las cuales se llevan a cabo las actividades propuestas.

En este trabajo de investigación, la situación didáctica propuesta ha sido diseñada buscando las condiciones favorables para que los alumnos puedan construir y adquirir los conceptos relacionados con la función exponencial.

2.2 Ingeniería didáctica

En este trabajo se empleará como metodología de investigación la Ingeniería didáctica, que surge en Francia a principios de los años ochenta, como una metodología asociada a la teoría de Situaciones didácticas de Brousseau (1997) y a la teoría de la Transposición didáctica de Chevallard (1991).

situaciones de enseñanza y aprendizaje. En este trabajo de investigación, la ingeniería didáctica se utilizará como metodología de investigación.

Sobre la ingeniería didáctica como producción de situaciones de enseñanza, Douady6 (1996, p. 241) señaló que:

“el término ingeniería didáctica designa un conjunto de secuencias de clase diseñadas, organizadas y articuladas en el tiempo de forma coherente por

un profesor-ingeniero para lograr un proyecto de aprendizaje de un

contenido matemático, dado para un grupo específico de alumnos. A lo

largo de los intercambios entre el profesor y los alumnos, el proyecto

evoluciona bajo las reacciones de los alumnos en función de las decisiones

y elecciones del profesor. Así, la ingeniería didáctica es, al mismo tiempo,

un producto, resultante de un análisis a priori, y un proceso, resultante de

una adaptación de la puesta en funcionamiento de un producto acorde con

las condiciones dinámicas de una clase”.

Artigue (1998, p. 40) distingue tres dimensiones relacionadas con los procesos de construcción de la ingeniería didáctica: la dimensión epistemológica, asociada a las características del saber puesto en funcionamiento; la dimensión cognitiva, asociada a las características cognitivas de los alumnos a quienes se dirige la enseñanza; y la dimensión didáctica, asociada a las características del funcionamiento del sistema de enseñanza.

La ingeniería didáctica es una metodología que tiene como referentes a la teoría de Situaciones didácticas de Brousseau (1997) y a la teoría de la Transposición didáctica de Chevallard (1991), ya que ambas tienen una visión sistémica al considerar a la didáctica de las matemáticas como el estudio de las interacciones entre el saber, el

6 _{Tomado de: Artigue, M., Douady, R. y Moreno, L. (1998). Ingeniería didáctica en educación}

sistema educativo y el alumno, mostrado en el siguiente esquema7, con el objetivo de optimizar los modos de apropiación del saber por parte del alumno (Brousseau, 1997).

En este esquema, cabe señalar que Chevallard (1991) lo denomina sistema didáctico, siendo de su interés el estudio de la transposición didáctica, que es un proceso de adaptación en el que el saber erudito pasa a ser un saber a enseñar, luego de ser validado por una noosfera que le confiere el status de conocimiento al ser aprobado en la escuela; con la finalidad de evitar que la enseñanza transmita significados inadecuados sobre los objetos matemáticos que constituyen el saber que se desea enseñar.

La ingeniería didáctica como metodología de investigación se caracteriza, en primer lugar, por un esquema experimental basado en las realizaciones didácticas en el aula, que incluye la concepción, realización, observación y análisis de secuencias de enseñanza. En segundo lugar, basada en la experimentación en clase, se caracteriza por

ubicarse en el registro de los estudios de caso y por su validación, esencialmente interna, teniendo en cuenta la confrontación entre el análisis a priori y a posteriori (Artigue, 1995).

Dependiendo de la importancia de la realización didáctica involucrada en la investigación, se distinguen dos niveles para la ingeniería didáctica: nivel de ingeniería y nivel de macro-ingeniería. Las investigaciones al nivel de micro-ingeniería son las que tienen por objeto el estudio de un determinado tema, son locales y toman en cuenta la complejidad de los fenómenos en el aula. Las investigaciones a nivel de macro-ingeniería son las que permiten componer la complejidad de las investigaciones de micro-ingeniería con las de los fenómenos asociados a la duración de las relaciones entre enseñanza y aprendizaje. Ambos niveles son importantes y se complementan, sin embargo, las investigaciones de micro-ingeniería son más fáciles de llevar a la práctica, mientras que las de macro-ingeniería implican dificultades metodológicas e institucionales.

El presente trabajo de investigación se ubica en el nivel de micro-ingeniería ya que solo nos interesa observar y analizar la complejidad de los fenómenos que se dan en el aula de clase al enseñar la función exponencial.

Por otro lado, la Ingeniería didáctica como metodología de investigación presenta las siguientes fases8:

Análisis preliminar. En esta fase luego de definir los objetivos específicos de la investigación, se analizan y determinan cada uno de los elementos del sistema didáctico así como las relaciones que existen entre ellos, para lo cual se toma en cuenta tres componentes: el componente cognitivo, el componente didáctico y el componente socio-cultural. Este análisis incluye: el conocimiento matemático que se desarrolla en

8 _{Tomado de: Artigue, M., Douady, R. y Moreno, L. (1998). Ingeniería didáctica en educación}

las escuelas y el devenir de este saber (componente epistemológico), las concepciones de los estudiantes, sus dificultades y los obstáculos a los que se deben enfrentar y superar para apropiarse de las nociones puestas en escena por la situación implementada (componente cognitivo), cómo vive el contenido matemático dentro de la escuela y los efectos que ocasiona (componente didáctico).

Concepción y análisis a priori de las situaciones didácticas de la ingeniería. En esta fase se eligen las variables didácticas que serán modificadas y la forma en que serán controladas y manipuladas. En esta fase, también, se elaboran las hipótesis de trabajo considerando los resultados que se esperan de la interacción de los alumnos con la situación didáctica diseñada al tratar de resolverla. Es decir, en esta fase se intenta predecir el comportamiento y la forma de conducirse de los alumnos al enfrentarse a la situación diseñada. Luego de determinar las variables didácticas, y teniendo claro el objetivo, se diseña una situación didáctica que sea capaz de crear un medio adecuado para que el alumno pueda actuar y se sienta desafiado a apropiarse del saber matemático que se desea.

Experimentación. En esta fase se procede a la puesta en aula de la situación didáctica diseñada, en condiciones que deben ser estrictamente controladas por el investigador. En esta fase es importante el control de las actividades y el registro de los sucesos, pues el conocimiento y caracterización de los mismos redundará en la siguiente fase.

De estas fases, se deducen dos aspectos relevantes: la precisión que se debe tener en el análisis preliminar y el estricto control que se debe ejercer durante la experimentación.

A continuación mostramos de forma esquemática la relación entre las fases de la ingeniería didáctica según Lezama (2003), quien considera a la ingeniería como metodología de investigación e instrumento para la elaboración de productos para la enseñanza.

Capítulo 3:

Situación didáctica para la enseñanza de la función exponencial,

dirigida a estudiantes de las carreras de humanidades

3.1 Análisis preliminar

En el análisis preliminar de este trabajo se incluirá el análisis epistemológico de los contenidos contemplados en la enseñanza de la función exponencial, el análisis de las concepciones de los estudiantes, de las dificultades y obstáculos que determinan su evolución y el análisis del campo de restricciones donde se va a situar la realización didáctica efectiva, teniendo en cuenta los objetivos del trabajo de investigación. Este análisis incluye tres dimensiones: la dimensión epistemológica, asociada a las características propias de la función exponencial que se quiere enseñar; la dimensión cognitiva, asociada a las características cognitivas de los estudiantes de las carreras de humanidades; y la dimensión didáctica, asociada a las características del sistema de enseñanza en la Facultad de Estudios Generales Letras de la Pontificia Universidad Católica del Perú.

a. Análisis epistemológico

En este análisis tomaremos en cuenta la revisión de algunos textos utilizados en la enseñanza de la función exponencial dirigida a estudiantes de las carreras de humanidades y las dificultades epistemológicas encontradas en otras investigaciones relacionadas con esta función.

Revisión de textos

En este análisis incluiremos la revisión de cuatro textos que son utilizados en la enseñanza de la función exponencial dirigida a estudiantes de las carreras de humanidades, con la finalidad de conocer las definiciones y propiedades que presentan sobre esta función. Estos textos son:

 Texto 1:

Advíncula, E., Barrantes, E., Gaita, C., Henostroza, J., Jabo, F. y Luna, M. (2009). Matemáticas para no matemáticos. Lima: Pontificia Universidad Católica del Perú.

 Texto 2:

Haeussler, S. (2003). Matemáticas Aplicadas a la Administración y Economía. México, D.F.: Pearson Educación.

 Texto 3:

Lima, E., Morgado, A., Pinto, P. y Wagner, E. (2000). La Matemática de la Enseñanza Media. Volumen 1. Lima: Instituto de Matemáticas y Ciencias Afines.

 Texto 4:

Stewart, J. (2001). Precálculo. México D. F.: Thomson.

 Texto 1:

Advíncula, E., Barrantes, E., Gaita, C., Henostroza, J., Jabo, F. y Luna, M. (2009). Matemáticas para no matemáticos. Lima: Pontificia Universidad Católica del Perú.

En este texto, sobre la función exponencial se presenta una definición, algunas características y su representación grafica, tal como se muestra a continuación.

Definición

¿Qué es una función exponencial?

Una función exponencial es una correspondencia de variable real y de valor real definida por:

x

Ka x f x f

   

) ( :



donde a0,a1; Dom(f ) =  y K es una constante positiva.

Si se considera K1, se pueden presentar los siguientes casos, de acuerdo con

el valor que tome la constante a.

Caso 1: Si a1, la función f(x)ax es estrictamente creciente. Se analizará, a manera de ejemplo, x

Caso 2: Si 0a1, la función f(x)ax es estrictamente decreciente. Se analizará, a manera de ejemplo,

x

x

f 

     

2 1 )

( .

En ambos casos, según las gráficas, se observa que el dominio de f es .

 Texto 2:

Haeussler, S. (2003). Matemáticas Aplicadas a la Administración y Economía. México, D.F.: Pearson Educación.

Definición

La función f definida por

x b x f( )

donde b0,b1, y el exponente x es cualquier número real, se llama función

exponencial con base b.

Observación. Si b1, entonces f(x)1x 1 conocida como función

constante.

Graficas de funciones exponenciales

Existen dos formas básicas para las gráficas de las funciones exponenciales y dependen de la base involucrada.

Si 0b1, la gráfica de f(x)bx desciende de izquierda a derecha.

Propiedades de la función exponencial x b x f( )

1. El dominio de una función exponencial consiste de todos los números reales.

El rango consiste de todos los números positivos. 2. La gráfica de x

b x

f( ) tiene intersección con el ejeYen (0; 1).

No hay intersección con el eje X .

3. Si b1, la gráfica asciende de izquierda a derecha.

Si 0b1, la gráfica desciende de izquierda a derecha.

4. Si b1, la gráfica se acerca al eje X conforme x se vuelve más y más negativa.

Si 0b1, la gráfica se acerca al eje X y x se vuelve más y más negativa.

Función exponencial con base e

El número e2,718281828459 donde la aproximación dada es correcta hasta 12

 Texto 3:

Lima, E., Morgado, A., Pinto, P. y Wagner, E. (2000). La Matemática de la Enseñanza Media. Volumen 1. Lima: Instituto de Matemáticas y Ciencias Afines.

En este texto, sobre la función exponencial se presenta una definición, sus principales propiedades, su representación gráfica, su característica fundamental y su relación con las progresiones aritmética y geométrica, tal como se muestra a continuación.

Definición

Sea a un número real positivo, que supondremos siempre diferente de 1. La función exponencial de base a, f :, indicada por la notación f(x)ax,

debe ser definida de modo que tenga las siguientes propiedades, para cualquier 

 y x, :

1. x y x y

a a

a .  

2. a1 a

3. x y

a a y

x   cuando a1

x y

a a y

Definida x

a , para todo x, que cumple las propiedades anteriores, también

cumple las siguientes propiedades:

4. La función _:

f definida por f(x)ax, es ilimitada superiormente.

5. La función exponencial es continua. 6. La función exponencial _:

f , f(x)ax, a1, es sobreyectiva.

En la siguiente figura se muestra el gráfico de x

a x

f( ) en los casos a1 y

1 0a .

Caracterización de la función exponencial

Teorema. Sea _:

f una función monótona inyectiva (esto es, creciente o

decreciente). Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. n

x f nx

f( ) ( ) para todo nZ y todo x.

2. x

a x

f( ) para todo x, donde a f(1).

3. f(xy) f(x).f(y), para cualquier x,y.

Observación. El teorema de la caracterización puede ser enunciado de modo diferente, sustituyendo la hipótesis de monotonicidad por la suposición de que

f sea continua.

) 1 ( )

(x a a

f x

) 1 0

( )

(x a a

En general, se dice que una función g: es de tipo exponencial cuando se

tiene que x

ba x

g( ) para todo x, donde a,b son constantes reales positivos. Si a1, g es creciente y si 0a1, g es decreciente.

Si la función g: es de tipo exponencial, entonces para cualquier 

 h

x, , los cocientes:

1 ) ( ) ( ) (     h a x g x g h x g

y h

a x g h x g   ) ( ) (

dependen de h, y no de x.

Observación. También se cumple la recíproca que se muestra en el siguiente teorema.

Teorema. Sea _:

g una función monótona inyectiva (esto es, creciente o

decreciente) tal que, para cada x,h cualesquiera, el incremento relativo

) ( ) ( ) ( x g x g h x

g  

depende apenas de h, y no de x. Entonces, si bg(0) y

) 0 ( ) 1 ( g g

Funciones exponenciales y progresiones

Sea f : tal que f(x)bax una función de tipo exponencial.

Si x1,x2,x3,...,xn es una progresión aritmética de razón h, estos es,

h x

x_n  _n1 , entonces los valores

( ) 1

1

x

ba x

f  , ( ) 2

2

x

ba x

f  , ( ) 3

3

x

ba x

f  , … , xn

n ba

x

f( ) , …

forman una progresión geométrica de razón h

a pues

x x h x h h

a x f a ba ba ba x

f( ₂) 2  1  1  ( ₁)

x x h x h h

a x f a ba ba ba x

f( ₃) 3  2  2  ( ₂)

. . h n h x h x x

n ba ba ba a f x a

x

f( ) n n ( n ) ( )

2

1 1 2 2 

        h n h x h x x

n ba ba ba a f x a

x

f( ) n n ( n ) ( )

1 1 1   _{ }    

En conclusión, como el n-ésimo término de la progresión aritmética dada es

nh x

xn  1  , el n-ésimo término de la progresión geométrica se puede escribir

de la forma h n

n f x a

x

f( ) ( ₁)( ) .

En particular, si x₁ 0, entonces f(x₁)ba0 b. Además, si Aah, la

progresión geométrica está dada por:

b, bA, bA2, … , bAn, …

Teorema. Sea _:

f una función monótona inyectiva, esto es, creciente o

decreciente, que transforma toda progresión aritmética x₁,x₂,x₃,...,xn,... es una progresión geométrica y₁,y₂,y₃,...,y_n  f(x_n),... Si ponemos b f(0) y

) 0 ( / ) 1 ( f f

a para todo x.

Función exponencial con base e

La función exponencial con base e es una función f : de la forma

ax

be x

f( ) .

 Texto 4:

Stewart, J. (2001). Precálculo. México D. F.: Thomson.

En este texto, sobre la función exponencial se presenta una definición, algunas características, su representación gráfica y la función exponencial natural, tal como se muestra a continuación.

Definición

La función exponencial con base a se define para todos los números reales x por

x

a x f( )

donde a0 y a1.

Observación. Se supone que a1 porque la función f(x)1x 1 es una

función constante.

Gráficas de funciones exponenciales

La función exponencial

x

a x

f( ) (a0,a1)

tiene dominio  y rango





horizontal de f .

La gráfica de f tiene una de las formas siguientes:

x

a x

f( ) para a1 f(x)ax para 0a1

Función exponencial natural

La función exponencial natural es la función exponencial

x e x f( )

Comentarios sobre la revisión de textos

Luego de la revisión de los cuatro textos señalados anteriormente presentamos un cuadro resumen que nos permitirá comparar la información encontrada en cada uno de ellos, considerando cuatro aspectos: definición, representación gráfica, propiedades y otras definiciones.

Aspectos Texto 1 Texto 2 Texto 3 Texto 4

Definición x Ka x f x f     ) ( :  , 1 , 0   a a 0  K x b x f( )

1 ,

0 

 b

b ,x

x

a x f( )

1 , 0   a a ,   x x a x f( )

0



a , a1

Representa ción gráfica

Caso 1: a1

x

a x

f( ) es

estrictamente creciente. Caso 2:

1 0a

x a x

f( ) es

estrictamente decreciente.

Si b1:

La gráfica de

x b x

f( ) asciende

de izquierda a derecha.

Si 0b1:

La gráfica de x

b x f( )

desciende de izquierda a derecha.

La función

x

a x

f( ) presenta

dos casos: a1 y 1

0a .

x

a x

f( ) para

1  a x a x

f( ) para 1

Propieda

des No se menciona _ninguna

propiedad.

 El dominio es .  El rango es __.

 La gráfica de

x b x f( )

interseca al eje

Y en (0; 1). Pero

no interseca al eje X .

 Si b1, la

gráfica asciende de izquierda a derecha. Si

1 0b , la

gráfica desciende de izquierda a derecha.  Si b1, la

gráfica se acerca al eje X

conforme x se vuelve más negativa. Si

1 0b , la

gráfica se acerca al eje X

conforme x se vuelve más negativa.

Para x,y.

 _ax_.ay _axy  a1 a

 Cuando 1  a y x a a y

x  

Cuando0a1 y x

a a y

x  

 La función

    : f , x a x

f( ) , es

ilimitada superiormente.  La función

exponencial es continua.

 La función exponencial     : f , x a x

f( ) , a1,

es sobreyectiva. Caracterización de una función exponencial

 Si la función

   :

g es de

tipo exponencial, para x,h,

entonces los cocientes: 1 ) ( ) ( ) (     h a x g x g h x g

y h

a x g

h x

g  _

) (

) (

no dependen de x, solo de h.

No se menciona ninguna

 Dada la función    : f , x ba x

f( ) de tipo

exponencial, si

... ; ; _{2 3}

1 x x

x forman

una progresión aritmética de

razón h,

entonces )... ( ); ( );

(x₁ f x₂ f x₃ f

forman una progresión

geométrica de razón h

a .

Otras definicio nes

No se presenta ninguna

definición adicional.

Función

exponencial con

base e,

59 7182818284 , 2  e Función exponencial con base e

ax

be x f( )

Función exponencial natural x e x f( )

Con la información encontrada en la revisión de textos y considerando los cuatro aspectos indicados en el cuadro anterior, señalamos lo siguiente:

1. Sobre la definición de función exponencial, solo en los textos 1 y 3 se presenta una regla de correspondencia para definir a esta función, con una diferencia en el orden de aparición. En el texto 1, se define la función exponencial de la forma _f(x)_Kax, al empezar el tema; mientras que en el texto 3, primero se

define la función exponencial de la forma _f(x)_ax, y luego se generaliza a la

forma x

ba x

f( ) . En los otros dos textos, solo se presenta la definición

sencilla de la forma x

a x

f( ) . Sobre este aspecto, creemos que en los textos

se empieza presentando la definición de la forma x

a x

f( ) para facilitar la

función exponencial, tal como kx

a C x

f( ) , pues es la forma que aparece con

mayor frecuencia en los problemas que modelan fenómenos de la realidad.

2. Sobre la representación gráfica, en todos los textos se presentan dos casos para graficar a una función exponencial, y estos se muestran a partir de ejemplos específicos con diferentes bases. Sobre este aspecto, consideramos pertinente primero utilizar ejemplos sencillos para graficar funciones exponenciales que muestren los dos casos posibles, que involucran bases mayores que 1 y bases entre 0 y 1; y luego generalizar estas formas en dos casos.

3. Sobre las propiedades, solo en los textos 2 y 3 se enuncian las principales propiedades de una función exponencial de la forma x

a x

f( ) , con algunas

diferencias en cuanto a la inclusión de demostraciones. En el texto 2 se presentan las características relacionadas con su continuidad y su comportamiento estrictamente creciente o decreciente, sin incluir demostraciones; mientras que en el texto 3 se presentan las mismas características, pero se agregan algunas demostraciones. En el texto 3, también se presenta la característica propia de la función exponencial, relacionada con la variación porcentual constante y las progresiones, que consideramos importante comentar.

4. Sobre la función exponencial y la variación porcentual

Si g: es una función de tipo exponencial de la forma g(x)bax,

entonces, para cualquier x,h, los cocientes:

1 )

(

) ( )

(   _ h _

a x

g

x g h x g

y h

a x g

h x

g  _

) (

) (

Consideramos importante señalar que en esta definición, si h representa un

incremento constante que se da en la variable x, entonces

) ( ) ( ) ( x g x g h x

g  

representa una variación porcentual (incremento o disminución) constante pues 1 ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ( )          h x h x x x h x a ba a ba ba ba ba x g x g h x g ,

donde h es una constante real.

Asimismo, consideramos importante tener presente la forma del cociente

) ( ) ( ) ( x g x g h x

g  

, ya que posteriormente aparecerá en el diseño de la situación

didáctica como variación porcentual, definida de la siguiente manera:

% 100 %    inicial Cantidad inicial Cantidad final Cantidad Variación

5. Sobre la función exponencial y las progresiones

Sea f : una función de tipo exponencial de la forma f(x)bax. Si

n

x x x

x₁, ₂, ₃,..., forman una progresión aritmética de razón h, entonces

) ( ..., ), ( ), ( ),

(x₁ f x₂ f x₃ f x_n

f forman una progresión geométrica de razón ah.

Consideramos importante reconocer que si h es la razón de la progresión

aritmética: x1,x2,x3,...,xn, esta progresión se puede escribir de la forma:

h x h x h x

x1, 1 , 2  ,..., n1 , donde xk xk1h, para n

k 2,3,...,

o de la forma: x₁,x₁h,x₁2h,...,x₁nh, donde x_n x₁nh, para k 2,3,...,n

lo que posteriormente permitirá reconocer que h

a es la razón de la progresión

geométrica que forman f(x₁),f(x₂),f(x₃),..., f(xn), pues

n x x x x ba ba ba

se puede escribir de la forma: h x h x h x x _n ba ba ba

ba 1, 1 , 2 ,..., 1 o de la forma:

nh x h x h x x ba ba ba

ba 1, 1 , 12 ,..., 1

que también es equivalente a: x x h x h h x n h h

a ba a ba a ba

ba 1,( 1) ,( 1 ) ,...,( 1( 1) ) , donde h

a es una constante real.

También, consideramos importante tener presente que h y a son valores reales constantes. Por ello, al formar la progresión aritmética

h x h x h x

x1, 1 , 2 ,..., n1 , donde cada término (a partir del segundo) se

obtiene sumando la constante h (razón aritmética) al término anterior, los

valores de la función f forman la siguiente progresión geométrica

h n h h a x f a x f a x f x

f( ₁), ( ₁) , ( ₂) ,..., ( _1) , donde cada término (a partir del

segundo) es el producto del término anterior por la constante h

a (razón

geométrica). Es decir,

h k k f x a

x

f( ) ( _1) , para k 2,3,...,n

de donde obtenemos:

) ( ) ( 1   k k h x f x f a

que también se puede escribir como:

) ( ) ( 1 1     k k h x f h x f

a , para k 2,3,...,n, que

es un valor constante y hace evidente su relación con los resultados expuestos en el punto anterior.

Cabe señalar que este enfoque de las progresiones es muy útil en el análisis de las situaciones con variación discreta.

Finalmente, consideramos importante tener presente que h

a es un valor

razón

inicial Cantidad

final Cantidad

que es parte de la definición de variación porcentual,

pues

% 100 1 %

100

% _

  

 

 

 



inicial Cantidad

final Cantidad inicial

Cantidad

inicial Cantidad final

Cantidad Variación

6. Sobre otras definiciones, en todos los textos, excepto en el texto 1, se presenta una definición para la función exponencial natural o función exponencial con base e, señalando la característica de número irracional para esta base e. En el texto 1, no se presenta una definición para la función x

e x

f( ) , pero se incluye en los problemas propuestos

7. Tomando en cuenta los puntos 4 y 5, y reconociendo que el objetivo de la situación didáctica diseñada es que el estudiante construya el concepto de la función exponencial, consideramos indispensable que la situación didáctica diseñada en este trabajo permita que el concepto de la función exponencial surja asociada a su característica propia; es decir, que emerja relacionada con la variación porcentual y las progresiones.

Dificultades epistemológicas

En este análisis, incluiremos los resultados de tipo epistemológico ligados a la noción de función y en particular a la noción de función exponencial.

gráfico que le posibilite la transferencia de campos conceptuales, estableciendo un isomorfismo operativo entre el lenguaje algebraico y el lenguaje gráfico.

Cabe mencionar que desde nuestra experiencia podemos confirmar que la dificultad señalada anteriormente por Cantoral y Farfán, relacionada con la noción y representación de una función, se presenta en el caso particular de la función exponencial.

Respecto a las dificultades epistemológicas que presentan los estudiantes para construir el concepto de función exponencial, tomaremos en cuenta las dificultades que señala De Faria (2006) en su investigación:

 Dificultades para elevar números a distintas potencias y en ocasiones dificultad para interpretar el significado de esas operaciones.

 Dificultades para interpretar la naturaleza y estructura en la función exponencial (estructura creciente, forma de crecimiento y la justificación del trazo continuo de su representación gráfica).

 Dificultades para relacionarla con la función logarítmica.