Que é o Cálculo?
O Cálculo é a matemática dos cambios, velocidades e aceleracións.
Estúdianse as rectas tanxentes, pendentes, áreas, volúmenes, lonxitudes de arco,... e unha grande variedade de conceptos para crear modelos para as situacións da vida real.
tasa de variación media
t=a t=b tasa de variación instantánea ent=c
Describe un obxecto que se move con velocidade constante
Describe a velocidade dun obxecto que se move aceleradamente
Describe a pendente dunha recta Describe a pendente dunha curva
Describe o área dun rectángulo Describe o área baixo unha curva
Dx Dy
dx dy Matemáticas previas ao Cálculo
Estáticas
Cálculo
Derivadas
A velocidade: Como cambia a posición co tempo
A potencia: Cómo cambia a enerxía co tempo
A forza: Cómo cambia a enerxía potencial coa posición
La inflación: Como cambian os prezos co tempo
El cáncer: Cómo crecen os tumores co tempo
Un coche sae dunha poboación e aumente progresivamente a súa velocidade
A gráfica mostra o espacio percorrido polo automóbil nos dez primeiros minutos
a) Calcula a velocidade media en estes dez minutos
b) Calcula a velicidade media nos seguintes intervalos:
[0 , 3] , [0,5] , [0 , 8] , [2 , 4] , [7 , 9] , [8 , 10]
O espacio que recorre ven dado
pola ecuación:
onde e e o espacio percorrido no tempo t.
2
1
e t
10
VARIACIÓN DUNHA FUNCIÓN NUN INTERVALO
En cambio, o seu crecemento medio é moi distinto:
Taxa de variación media
Chámase taxa de variación media ( T.V.M.) dunha función, y = f (x), nun intervalo [a, b] o cociente:
Para unha función f(x) defínese a tasa de variación media de f nun intervalo [a, b], mediante o cociente:
f(b) – f(a)
b – a
T
mf[a, b] =
La
tasa de variación media
nun intervalo [a, b], e o cociente entre a
variación da función e a loxitude do intervalo.
Tasa de variación Media no intervalo [a,a+h]
Tasa de variación media dunha función
Si b – a = h o calcular a tasa de variación media no intervalo de lonxitude h utilizaremos esta otra notación
TVM
[a,a+h]=
f (a
h) f (a)
h
X
Y
a a + h f(a)
f(a + h)
f(a + h) – f(a)
Outra notación:
y
x
y
h
O dono do coche recibiu unha multa por exceso de velocidade xusto cando pasaban oito minutos desde que saira da poboación. A multa foi por pasar unha limitación de 60 km/h. Vamos a facer unha estimación da velocidade os 8 minutos calculando a velocidade media en intervalos de tempo próximos a ese tempo:
Calcula:
V[8,9] = V[8, 8.1] =
V[8, 8.001] = V[8, 8.01] =
V[7, 8] = V[7.9 , 8] = V[7.99, 8] = V[7.999, 8] =
Que velocidade podemos conxeturar que levaba o coche os 8 min de sair da poboación?
Volvemos o problema de introdución. Lembra que a función que da o espazo recorrido en función do tempo era : 1 2
e t
10
Podemos definir a velocidade instantánea ( v8´ ) os 8 min de recorrido
como o límite das velocidades medias nos intervalos de tempo [8 , b] cando b se aproxima a 8
[8,b]
Se a velocidade media no int ervalo 8,b é: e(b) e(8) v b 8 8´ b 8
A velocidade ins tan tánea os 8minutos será : e(b) e(8) v lim b 8 8´ h 0
Ou ben, chamando h b 8
e(8 h) e(8)
v lim h
Calcula, aplicando as dúas fórmulas anteriores, V8´ lembrando que 1 2
e(t) t
[
1
]
2
[
1,4
]
1,5
[
1,41
]
1,42
[
1,414
]
1,415
2
A sucesión de intervalos encaixados determina un único número real
X Y
Interpretación xeométrica da tasa de variación media
m
s= tg =
f a
h
f a
h
= TVM
[a,a+h]A pendente da recta secante á curva, por P e Q é:
a
f(a)
a + h
f(a + h)
h
f(a + h) - f(a)
P
Q
13
x
y
0
x
)
(
x
0f
)
(
x
0h
f
h
x
0
h
14
x
y
0
x
)
(
x
0f
)
(
x
0h
f
h
x
0
15
x
y
0
x
)
(
x
0f
)
(
x
0h
f
h
x
0
16
x
y
0
x
)
(
x
0f
)
(
x
0h
f
h
x
0
17
x
y
0
x
)
(
x
0f
)
(
x
0h
f
h
x
0
18
x
y
0
x
)
(
x
0f
)
(
x
0h
f
h
x
0
19
x
y
0
x
)
(
x
0f
)
(
x
0h
f
h
x
0
20
x
y
0
x
)
(
x
0f
)
(
x
0h
f
h
x
0
21
x
y
0
x
)
(
x
0f
)
(
x
0h
f
h
x
0
22
x
y
0
x
)
(
x
0f
)
(
x
0h
f
h
x
0
23
x
y
0
x
)
(
x
0f
)
(
x
0h
f
h
x
0
24
x
y
0
x
)
(
x
0f
)
(
x
0h
f
h
x
0
25
x
y
0
x
)
(
x
0f
)
(
x
0h
f
h
x
0
26
x
y
0
x
)
(
x
0f
)
(
x
0h
f
h
x
0
27
x
y
0
x
)
(
x
0f
)
(
x
0h
f
h
x
0
28
x
y
0
x
)
(
x
0f
)
(
x
0h
f
h
x
0
29
x
y
0
x
)
(
x
0f
)
(
x
0h
f
h
x
0
30
x
y
0
x
)
(
x
0f
)
(
x
0h
f
h
x
0
31
x
y
0
x
)
(
x
0f
)
(
x
0h
f
h
x
0
32
x
y
0
x
)
(
x
0f
)
(
x
0h
f
h
x
0
33
x
y
0
x
)
(
x
0f
)
(
x
0h
f
h
x
0
34
x
y
0
x
)
(
x
0f
)
(
x
0h
f
h
x
0
35
x
y
0
x
)
(
x
0f
)
(
x
0h
f
h
x
0
36
x
y
0
x
)
(
x
0f
)
(
x
0h
f
h
x
0
A recta tanxente como límite de rectas secantes
Q
1Q
2Q
3Q
ns
1s
2s
3s
nt
X
Y
•
P
•
•
•
•
...
...
A recta tanxente a unha curva C nun punto P é a recta que pasa por P e é a
posición límite das rectas secantes que pasan por P e Q cando Q é calquera
punto de C que tende a P ó largo da curva
P(a,f(a))
a a+h
Q(a+h,f(a+h))
Calculamos a pendente da recta secante PQ coas coordenadas dos dous puntos P e Q.
h
f(a+h)-f(a)
(
)
( )
f a
h
f a
m
h
+
-=
1 0
1 0
( ) ( ) f x f x Lembra m
x x -=
-Si h é moi pequeno, a+h está moi cerca de a. De esta forma:
P
a a+h
Q
P
a a+h
Q
h 0
Q está moi próximo a P
A secante PQ “casi” se confunde coa tanxente t A pendente da secante QP é “casi” a pendente de t
Agora ben, o valor de h non pode ser 0, anque sí todo o pequeno que se
queira. E aquí intervén o concepto de límite.
P
a a+h
Q Q está moi próximo a P
A secante QP “case” se confunde coa tanxente t A pendente da secante QP é “case” a pendente de t
0
lim(pendentes das secantes)= pendente da tanxente
h®
0
(
)
( )
lim
th
f a
h
f a
m
h
®
+
Definición de incremento:
y = y1 – y0
ou
y = f(x1) – f(x0),
ou aínda:
y = f(x0 + x) – f(x0)
x incremento de x
y incremento de y
Incremento é a diferencia entre pares de Variábeis correspondentes. Na figura do lado, temos:
X Y
Tasa de variación media dunha función
Para unha función f(x) defínese a tasa de variación media de f nun intervalo [a, b],
contido no dominio f(x), mediante o cociente:
A
tasa de variación media
é unha medida da variación que experimenta
unha función, nun intervalo, por unidad de variable independiente
X
Y
a
b
f(a)
f(b)
T
mf[a, b] > 0
f(b) – f(a) > 0
a
b
f(a)
f(b)
f(b) – f(a) < 0
Tasa de variación Media no intervalo [a,a+h]
Tasa de variación media dunha función
Si b – a = h o calcular a tasa de variación media no intervalo de lonxitude h utilizaremos esta otra notación
TVM
[a,a+h]=
f (a
h) f (a)
h
X
Y
a a + h f(a)
f(a + h)
f(a + h) – f(a)
Outra notación:
y
x
y
h
X Y
Interpretación xeométrica da tasa de variación media
m
s= tg =
f a
h
f a
h
= TVM
[a,a+h]A pendente da recta secante á curva, por P e Q é:
a
f(a)
a + h
f(a + h)
h
f(a + h) - f(a)
P
Q
Tasa de variación instantanea nun punto.
Concepto de número derivada
O calcular a taxa de variación media en intervalos de lonxitude cada
vez máis pequena, con extremo nun punto a, intentamos obter unha
medida do rápido que varía a función en a.
Desta forma obteremos o número derivada ou tasa instantánea da
función f en x=a como o límite o que tende a TVM
(a,b)cando b
→ a
b a
f ( b )
f ( a )
f ( a )
lim
b
a
Derivada de f no punto de abcisa a: o límite ten que
existir e ser finito
X
Y
Tasa de variación instantánea nun punto. Concepto de
número derivada
a a + h f(a)
f(a + h)
f(a + h) – f(a)
h 0f ( a h ) f ( a )
f ( a ) lim
h
Interpretación xeométrica da derivada
O facer que h 0, ocorrerá que
• p + h tende (acércase) a p
• Q recorre a curva acercándose a P
• A recta secante á curva se converte na recta tanxente
• A inclinación da recta secante tende á inclinación da recta tanxente
0
(
)
( )
lim
( )
t
h
f p
h
f p
m
f
p
h
Ecuación da recta tanxente
a
f(a)
t
tEntón:
• Pendente da tanxente: mt = f '(a)
t
Ecuación da recta que pasa por un punto A(a, b) e de pendiente m:
y – b = m (x – a)
Ecuación da recta tanxente:
Vamos a calcular a a derivada dun punto xenérico x = a
0
( ) ( ) ´( ) lim
h
f a h f a f a
h
4. Determina a derivada de f(x) = x2 – 2x nos puntos de abscisas –2, –1, 0, 1, 2, 3 e 4.
f(x) = x2 – 2x
f(a +h)= (a+h)2– 2(a+h) = a2 +2ah + h2 - 2a – 2h
f(a)= a2 - 2a
2 2 2
0
2 2 2 2 ´( ) lim
h
a ah h a h a a f a h 2
0 0 0
2 2 (2 2)
lim lim lim(2 2) 2 2
h h h
ah h h h a h
a h a
h h
Función derivada de outra
f '(3) = h0
lim f(3 +h)
–
f(3) h =h0
lim (3 + h)
2
–
32 h =h0
lim h (h + 6) h = 6
• Derivada de f(x) = x2 no punto 2:
Para obter a derivada no punto x
f '(x) =
h0
lim f(x + h) – f(x)
h =
h0
lim (x + h)
2 – x2
h =
h0
lim h (h + 2x)
h = 2x
• Derivada de f(x) = x2 no punto 3:
f '(2) =
h0
lim f(2 +h)
–
f(2) h =h0
lim (2 + h)
2
–
22 h =
h0
lim h (h + 4)
h = 4
Dícese que a función derivada (o simplemente a derivada) de y = x2 é f '(x) = 2x
Función derivada doutra
Probar que a función derivada de f (x) = x2 – 2x é f ' (x) = 2x – 2.
Para probalo, imos obter a derivada de f (x) = x2 – 2x nun punto calquera, x, paso a paso,
como o fixemos no exercicio anterior:
2
0 0
( ) ( ) 2 2
lim lim
h h
f x h f x xh h h
h h
f (x + h) = (x + h)2 – 2 (x + h) = x 2 + 2xh + h2 – 2x – 2h
f (x + h) – f (x) = (x2 + 2xh + h2 – 2x – 2h) – (x2 – 2x) = 2xh + h2 – 2h
0
(
)
( )
lim
h
f x
h
f x
h
0 0
(2 2)
lim lim(2 2) 2 2
h h
h x h
x h x
h
x f´(x)
0
(
)
( )
( )
´( )
lim
h
f x
h
f x
Df x
f x
h
Chámase función derivada de f (ou simplemente derivada de f ) unha función f ' que asocia a cada abscisa, x, a derivada de f nese punto, f ' (x),
0 0lim
lim
lim
x x h xf x
f x
df
x
dx
x
x
f x
h
f x
df
x
dx
h
f x
x
f x
df
x
dx
x
A derivada. Diversas formas de escribila
df x
df
x
Df
f
x
dx
dx
x 0
y
f ( x )
lim
x
h 0y
f ( x )
lim
h
REGRAS PARA OBTER AS DERIVADAS DALGUNHAS FUNCIÓNS
Na páxina anterior calculamos a derivada dalgunhas funcións aplicando a definición de derivada. O proceso é longo e pesado. Con todo, existen unhas sinxelas regras prácticas coas que se pode determinar, moi facilmente, a derivada de calquera función elemental.
Todas as regras que imos dar pódense demostrar, pero iso deixarémolo para o próximo curso. Agora, limitarémonos a dar as regras e a entender como se poñen en práctica.
Ejemplos:
0
f'(x)
K
Máis exemplos:
1 f'(x) x
f(x)
1 n n
n·x f'(x) x
f(x)
Derivada de una constante por una función k · f(x)
K·g'(x)
f'(x)
K·g(x)
f(x)
Derivada da suma de funcións, f (x) + g (x)
Por exemplo:
h'(x)
g'(x)
f'(x)
h(x)
g(x)
( ) cos( )
f(x) sen x f'(x) x f(x) cos( )x f'(x) sen x( ) 2
1 tan 2
1
f(x) tg(x) f'(x) x
cos (x)
1 ( )
f(x) Ln x f'(x) x
x x
f(x) e f'(x) e
1 ( )
·
a
f(x) log x f'(x)
lna x
ln
x x
2
h(x)
g(x)·h'(x) g'(x)·h(x)
f'(x) h(x)
g(x)
f(x)
g(x)·h'(x)
g'(x)·h(x)
f'(x)
g(x)·h(x)
Composición de
funcións
x f(x) g(f(x))
f g
f composto con g
(g
of)(x)=g(f(x))
f
x
f(x)
g
Función composta
A función h1(x) = sen 2x é a composición de dúas funcións: • g(x) = 2x = t
• f(t) = sen t
x
2x = t
sen t = sen 2x
R
R
g
R
f
x
sen 2x
h
1(x) = f(g(x)) = f(2x) = sen 2x
g(x) = 2x
f(t) = sen t
Saída 2x
Entrada x
Entrada t= 2x
Saída
sen t = sen 2x
h
2(x) = f(g(x))
REGRA DA CADENA
Exemplos:
'(x)
g'(h(x))·h
f'(x)
g(h(x))
Aplicacións da derivada
•
Pendente da recta tanxente á gráfica dunha función
nun punto
•
Estudio da monotonía dunha función
(crecemento/decrecemento)
•
Optimización (Máximos e mínimos locais)
•
Concavidade e puntos de inflexión dunha función
Ecuación da recta tanxente
a
f(a)
t
tEntón:
• Pendente da tanxente: mt = f '(a)
t
Ecuación da recta que pasa por un punto A(a, b) e de pendiente m:
y – b = m (x – a)
Ecuación da recta tanxente:
A aplicación inmediata da interpretación xeométrica é que as rectas tanxente a unha curva y = f(x) no punto P(a, f(a)) na súa forma punto-pendente é:
y – f(a) = f '(a)(x – a)
Exemplo
Atopa a recta tanxente á curva f(x) = x2 – 6x + 11 para x = 4.
a) Calcúlase o punto P(a, f(a)):
Se x = 4 → f(4) = 42 – 6 · 4 + 11 = 16 – 24 + 11 = 27 – 24 = 3 → P(4, 3)
b) A derivada para x = 4 é:
A pendente da recta tanxente é: m = f'(4) = 2
c) A recta tanxente é:
y – 3 = 2(x – 4) → y – 3 = 2x – 8 → y = 2x – 5
f´(x)= 2x – 6 → f´(4) = 2·4-6 = 2
☛ Determina as pendentes das rectas tanxentes trazadas neses puntos. Indica f ' nos puntos de abscisas –3, 0 e 4.
X Y
Monotonía: crecimiento y
decrecimiento en un intervalo
[ a ] b x f(x) x+h f(x+h) h
Función creciente en [a, b]
f(x) < f(x+h), (x, x+h) y h >0
X Y [ a ] b x f(x)
Función decreciente en [a, b]
f(x) < f(x+h), (x, x+h) y h >0
f(x+h)
x+h
X Y
A
tasa de variación media
é unha medida da variación que experimenta
unha función, nun intervalo, por unidad de variable independiente
X
Y
a a+h
f(a)
f(a+h)
T
mf[a, a+h] > 0
f(a+h) – f(a) > 0
a
a+h
f(a)
f(a+h)
f(a+h) – f(a) < 0
T
mf[a, a+h] < 0
TVM
[a,a+h]
=
f(a h) f(a)
h
Derivada nun punto máximo ou mínimo
Sexa f(x) unha función definida no intervalo (a, b). Si a función alcanza un máximo ou mínimo nun punto c (a, b) e é derivable nel, entón f '(c) = 0
Si a función é constante entonces f '(c) = 0
Si A é máximo, a tanxente en x = c é horizontal. A súa
pendente é 0
Si A é mínimo, a tanxente en x = c é horizontal. Súa
pendente é 0
f '(c) = 0
X Y
Derivadas e monotonía II
[ a
] b
Función crecente en [a, b]
X Y
[ a
] b
Función decrecente en [a, b]
x
a
f '(x) = tg a > 0 x [a, b]
x
a
f '(x) = tg a > 0 función crecente f '(x) = tg a < 0 función decrecente
Sexa f(x) unha función derivable en (a,b), entón: 1. si f '(x) é positiva en (a,b), f(x) é crecente.
2. si f '(x) é negativa en (a,b), f(x) é decrecente. 3. si f '(x) é nula en (a,b), f(x) é constante ou ten un punto singular.
Discriminación de máximos e mínimos relativos
f ' < 0
f ' > 0
f ' < 0
b
f ' (a) = 0
f ' (b) = 0
mínimo relativo de coordenadas
(a, f(a))
máximo relativo de coordenadas
(b, f(b))
• Si unha función ten en a un máximo ou mínimo relativo e en ese punto é derivable entón f '(a) = 0.
Segunda derivada e extremos relativos
a
b
f ' (a) = 0
f ' (b) = 0
mínimo
máximo
f " > 0
f " (b) < 0
f " (a) > 0
f " < 0
”Si unha función f ten su derivada primeira nula nun punto, de abscisa a, e a súa derivada segunda nese punto é negativa, entón a función f presenta un máximo relativo no punto (a, f (a))”.
“Si unha función f ten súa derivada primeira nula nun punto, de abscisa a, e a súa derivada segunda nese punto é positiva, entón a función f presenta un mínimo relativo no punto (a, f (a))”.
• Si unha función ten en a un máximo ou mínimo relativo e en ese punto é derivable entón f '(a) = 0.
Cálculo dos intervalos de monotonía
Sempre positivo
2x
Intervalos de monotonía de y =1 + x
2y ' =
2(1 – x)(1 + x)
(1 + x
2)
2(1 + x
2)
22(1 – x)(1 + x)
= 0
x =
1
;
–1
1
y ' < 0
decrecente
y ' > 0
crecente
y ' < 0
decrecente
Intervalos de crecemento e decrecemento.
Máximos e mínimos
O dominio de definición dunha función queda dividido en intervalos de monotonía polos puntos nos que a derivada primeira anulase ou non existe. Estudiase o signo de f (x) en cada un destes intervalos.
Si f (x) > 0 a función é crecente nese intervalo e si f ‘(x) < 0 a función é decrecente nese intervalo.
Facemos un cadro para estudiar o signo de f´
(-∞, -1) (-1, 3) (3,+ ∞)
f´(x) + - +
f(x)
-1 3
Estudia onde é crecente ou decrecente a función f(x) = x3 - 3x2 - 9x + 5
Paso 1.- Derivamos a función
Paso 2.- Facemos f´(x) =0. (Igualamos a cero a derivada)
2
3x 6x 9 0 x 1 ; x 3
Paso
3.-f é crecente en (- ∞, -1) e (3, + ∞) f é decrecente en ( -1, 3)
No punto M( -1, 10 )
ten un MAXIMO
No punto m (3, -22)
Estudiar o crecemento e decrecemento da función 2
1
f(x)
x
1
1) Calculase f´(x)
2
21 2 ) ( x x x f
2) Búscanse os valores de x para os que f´(x) = 0 ou non exista f´(x)
0 ) 1 ( 2 2 2
x
x
x = 0 A derivada anúlase para x = 0
e non existe f´(x) en x = 1 e x = 1.
3) Divídese o dominio de definición da función en intervalos de extremos os puntos calculados no apartado anterior e estudiase o signo de f´ en cada un destes
intervalos. Para iso facemos o cadro seguinte:
x ( , -1) (-1,0) (0,1) (1, +)
f´ + +
-
-f crecente crecente decrecente decrecente
Máximo (0, 1)
Crecente en (, 1) (1, 0), decrecente en (0, 1) (1, +), Máximo (0, 1)
2 1 f(x)
x 1
Criterio de crecimiento y decrecimiento
17
Sea f continua en [a,b] y derivable en (a,b) [Con a,b, reales, o - ]
1. f´(x) 0, x (a,b) f es creciente en [a,b]
2. f´(x) 0, x (a,b) f es decreciente en [a,b]
3. f´(x) = 0, x (a,b) f es constante en [a,b]
Hallar los intervalos abiertos en los que
f es creciente o decreciente
f
(
x
)
x
3
2
3
x
2Nótese que f es continua en toda la recta real. Para
hallar sus números críticos,
igualamos a cero su derivada
0
,
1
0
)
1
)(
(
3
0
3
3
)
´(
2
x
x
x
x
x
x
f
Hacer f´=0Factorizar
Números críticos Intervalo
Valor prueba Signo de f´(x)
Conclusión
- x 0 0 x 1 1 x
x=-1 x=1/2 x=2
f´(-1)=60 f´(1/2)=-3/4 0 f´(2)=60
Criterio de concavidad
21
Sexa f unha función que teña segunda derivada nun intervalo aberto I.
1. Si f´´(x) 0 para todo x en I, a gráfica de f é convexa en I 2. Si f´´(x) 0 para todo x en I, a gráfica de f é cóncava en I
Localizar os valores da x nos que f´´(x)=0
Localizar os valores da x nos que f´´(x) non está definida
P Q
f
f
Unha función f ten un punto de inflexión nun punto cando nese punto a función pasa de cóncava a convexa, ou ben, de convexa a cóncava.
Aplicación del criterio de concavidad
Signo de f´´(x)
Hallar los intervalos abiertos para los que la gráfica es cóncava o convexa
2
13
6
)
(
x
x
f
f es contínua en toda la recta real.
Hallamos f´y f´´
Intervalo - x -1 -1 x 1 1 x
f´´ 0
Cóncava
f´´ 0
Convexa
f´´ 0
Convexa
2
33
12
)
´(
x
x
f
0
3
1
36
)
´´(
3 2 2x
x
x
f
x = 1convexa cóncava convexa
Conclusión
Valor prueba x=-2
f´´(-2) 0
x=0
f´´(0) 0
x=2
(-∞, 2) (2, +∞)
f¨¨
-
+
f ∩ U
Si una función es tal que x (a, b), f ”(x) > 0, entonces f es convexa en (a, b).
Hallar los ptos. de inflexión y discutir la concavidad de
f
(
x
)
x
4
4
x
3f está definida y es continua en todos los reales
Intervalo - x 0 0x 2 2 x
cóncava convexa
Hallamos f´y f´´
2 3
12
4
)
´(
x
x
x
f
12
2
0
)
´´(
x
x
x
f
x = 0, x = 2Posibles ptos. de inflexiónconvexa
Valor prueba Signo de f´´(x)
x=-1 f´´(-1) 0
x=1 f´´(1) 0
x=3 f´´(3) 0 Conclusión
Convexa
Convexa
Puntos críticos: f '(a) = 0
Mínimo f "(a) > 0
Máximo f "(a) < 0
f´<0
f´<0
Q é un punto de inflexión
Q
Observa que unha función pode ser crecente nun punto e é cero a súa derivada nel. f' ten o mesmo signo a ambos os lados do punto
PUNTOS SINGULARES OU CRÍTICOS
Para saber se un punto singular é máximo relativo, mínimo relativo ou punto de inflexión, estudaremos o signo da derivada nas proximidades do punto, á súa esquerda e á súa dereita.
MÁXIMO f' > 0 á súa esquerda f' < 0 á súa dereita
MÍNIMO f' < 0 á súa esquerda f' > 0 á súa dereita
INFLEXIÓN f' ten o mesmo signo a ambos os lados do punto
Na práctica, isto pode facerse obtendo valores da función en puntos moi próximos ao estudado.
Regra para identificar extremos relativos ( resumo )
Se f' (x0) = 0 e existe f'' (x0), daquela:
f'' (x0) > 0 f ten un mínimo relativo en x0 f'' (x0) < 0 f ten un máximo relativo en x0
Derivada primeira
Criterio para detectar o tipo de curvatura (resumo)
f'' (x0) > 0 f é convexa en x0 ( U )
f'' (x0) < 0 f é cóncava en x0 ( ∩ )
f'' (x0) = 0 e f''' (x0) ≠ 0 f ten un punto de inflexión en x0
Procedemento para atopar máximos e mínimos relativos ( derivada primeira)
Por exemplo, para a función f (x) = 3x5 – 5x3 sabemos que a súa derivada,
f' (x) = 15x4 – 15x2, se anula en x = –1, x = 0, x = 1.
Para saber como é cada un deses puntos singulares, podemos proceder así:
Fariamos o cadro:
(-∞, -1) (-1, 0) (0, 1) (1,+∞)
f´ + - - +
f crecente decrecente decrecente crecente
Ou ben, obtendo valores da función en puntos moi próximos ao estudado.
Procedemento para atopar os máximos e mínimos relativos coa derivada segunda
Para atopar os máximos e mínimos relativos dunha función, séguese o seguinte procedemento:
Exemplo: Atopa os máximos e mínimos da función f(x)= x3 – 3x
a) Calcúlase a 1ª derivada, f '(x). f‘(x) = 3x2 – 3
b) Resólvese a ecuación, f '(x) = 0. 3x2 – 3 = 0 → x2 – 1 = 0 → x2 = 1 x = 1
x = –1
c) Atópase a 2ª derivada, f ''(x)
d) Substitúense as abscisas dos posibles máximos e mínimos relativos na 2ª derivada, f ''(x).
Se f ''(x) < 0 → máximo relativo Se f ''(x) > 0 → mínimo relativo
f ''(1) = 6 · 1 = 6 > 0 (+) → Se x= 1 mínimo
f ''(–1) = 6(– 1) = – 6 < 0 (–) →Se x= -1 máximo
c) Substitúense as raíces de f '(x) = 0 na función inicial y = f(x) e obtéñense as coordenadas dos máximos e mínimos relativos.
x = 1 → y = 13 – 3 · 1 = 1 – 3 = = –2 → A(1, –2) mínimo
Procedemento para atopar os máximos e mínimos relativos coa derivada segunda
Para atopar os máximos e mínimos relativos dunha función, séguese o seguinte procedemento:
Exemplo: Atopa os máximos e mínimos da función f(x)= x3 – 3x
a) Calcúlase a 1ª derivada, f '(x). f‘(x) = 3x2 – 3
b) Resólvese a ecuación, f '(x) = 0. 3x2 – 3 = 0 → x2 – 1 = 0 → x2 = 1 x = 1
x = –1
c) Atópase a 2ª derivada, f ''(x)
d) Substitúense as abscisas dos posibles máximos e mínimos relativos na 2ª derivada, f ''(x).
Se f ''(x) < 0 → máximo relativo Se f ''(x) > 0 → mínimo relativo
f ''(1) = 6 · 1 = 6 > 0 (+) → Se x= 1 mínimo
f ''(–1) = 6(– 1) = – 6 < 0 (–) →Se x= -1 máximo
c) Substitúense as raíces de f '(x) = 0 na función inicial y = f(x) e obtéñense as coordenadas dos máximos e mínimos relativos.
x = 1 → y = 13 – 3 · 1 = 1 – 3 = = –2 → A(1, –2) mínimo
(-∞, 0) (0, 4/3) (4/3, +∞)
f¨¨ + - +
f U ∩ U
Si una función es tal que x (a, b), f ”(x) > 0, entonces f es convexa en (a, b).
Representación gráfica: Esquema
1. Estudar o dominio e continuidade.
3. Puntos de corte cos eixes.
4. Calcular posibles asíntotas.
5. Monotonía. Estudar derivada primeira.
6. Curvatura. Estudar derivada
segunda.
{
{
Verticais: Puntos que non están no dominio.Horizontais ou oblicuas: achando límites no infinito.
2. Comprobar simetrías e periodicidade.
{
Eixe X:
Eixe Y:
f
(
x
) = 0
f
(0)
{
Posibles extremos : Crecemento:Decrecemento:
f
‘(
x
) = 0
f ‘
(
x
) > 0
f ‘
(
x
)
<
0
Posibles puntos de inflexión:
Convexa:
Cóncava:
f “
(
x
) = 0
f “
(
x
) > 0
Ejemplos
a. Función polinómica D = R f (x) x3 2x3 D = R
b. Funciones racionales, no están definidas para los valores los que se anula el denominador.
2 6 5 3 ) ( 2 2 x x x x x
f D = R {1, 2}
c. Funciones irracionales: f(x) n g(x)
Si n impar D = R
Si n par D = {x R / g (x) 0}
f (x) x2 4 D = {x R / x2 4 0} = ] , 2[ ]2, + [
d. Funciones logarítmicas, f(x) loga g(x) D = {x R / g (x) > 0} f (x) ln (x5) D = {x R / x + 5 > 0} = ]5, + [
e. Funciones exponenciales f (x) ax ; a R, a > 0, a 1 D = R
f. Funciones trigonométricas f (x) sen x D = R
f (x) cos x D = R
f (x) tg x D =
kx R 2 f (x) arcsenx D = [1, 1] f (x) arccosx D = [1, 1]
Dominio dunha función
Puntos de corte con los ejes
Son los puntos en los cuales la gráfica de la función f corta el eje de abscisas y el eje de ordenadas.
Para determinar los puntos de corte con el eje de abscisas se resuelve el sistema:
0
)
(
y
x
f
y
Para determinar los puntos de corte con el eje de ordenadas se resuelve el sistema:
0
)
(
x
x
f
y
EjemploPuntos de corte de la gráfica de la función f (x) = x2 4 con los ejes de coordenadas
0 4 2 y x y
Puntos de corte con el eje de abscisas (2, 0) y (2, 0) Punto de corte con el eje de ordenadas (0, 4)
0 4 2 x x y y=0 x=0 y=f(x)
x2 - 4 = 0 → x= ±2
Simetrías axiais: Funcións pares
Consideramos a función f(x) = x4-2x2
A función é simétrica respecto do eixe Y.
x=0
d
d
Unha
función
que
presenta
este
tipo
de
simetría
denomínase
función par.
Polo tanto,
f(-x) = (-x)4-2(-x)2 = x4-2x2 = f(x)
-x
x
Simetrías centrais: Funcións impares
Consideramos a función f(x) = x3-x
A función é simétrica respecto da orixe de coordenadas.
Unha
función
que
presenta
este
tipo
de
simetría
denomínase función impar.
Polo tanto,f(-x) = (-x)3-(-x) = -x3+x = -f(x)
-x x
Se unha función é impar:
f(
– x) = – f(x)
x D (D: dominio de la función).Periodicidade
Unha función f é periódica si existe un número real p > 0 tal que para todo x no dominio de f tense que x + p pertence tamén o dominio de f y f(x + p) = f(x)
Si esta igualdade cúmprese para un certo valor p tamén se cumpre para p1 = 2p, p2 = 3p, etc.
Chámase período de f o menor valor de p que cumpre a condición de
periodicidade f(x) = f(x + p)
x
f(x)
•
•
x + p f(x + p) =
Asíntotas
Las asíntotas de una curva pueden ser verticales, horizontales y oblicuas.
Verticales
La recta x = a es una asíntota vertical de una función f cuando existe, al menos, uno de los siguientes límites
y=f(x)
y=f(x)
y=f(x)
a a
a
y=f(x)
y=f(x)
y=f(x)
Las ramas de la curva que se aproximan a una asíntota vertical se llaman ramas infinitas verticales
f (x) lim a x
f (x) lim a x
f (x) lim a x
f (x) lim
a x
f (x) lim
a
x lim f (x)
Horizontales
La recta y = b es una asíntota horizontal de una función f cuando existe, al menos, uno de los siguientes límites:
b
x
f
lim
x
(
)
b x
f lim
x ( )
y=f(x)
y=f(x)
b b
En la funciones racionales si y = b es asíntota por la derecha también lo ese por la izquierda. No es así en otras funciones como, por ejemplo, aquellas que tienen radicales o exponenciales.
Las ramas de la curva que se aproximan a una asíntota horizontal se llaman ramas infinitas horizontales.
Oblicuas
Unha recta y = mx + n, m 0 é unha asíntota oblicua si
(
)
0
f
x
mx
n
lim
x
(
)
0
f
x
mx
n
lim
xOs valores de m e n se calculan:
x
x
f
lim
m
x)
(
n
lim
f
x
mx
x
(
)
Nas funciones racionais si y = mx + b é asíntota pola dereita tamén o é pola esquerda.
As funciones racionais teñen asíntotas oblicuas si o grao do numerador é unha unidade superior que o grado do denominador.
Pode ocorrer que a gráfica da función corte á asíntota oblicua. Este estudio faise discutindo ol sistema de ecuacións formado pola ecuación da función e a ecuación da asíntota.
As ramas da curva que se aproximan a unha asíntota oblicua chámanse ramas infinitas oblicuas hiperbólicas.
ou
RESUMO DA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONS
DOMINIO DA FUNCIÓN
PUNTOS DE CORTE COS EIXES COORDENADOS:
• Eixe x: facemos y=0 •Eixe y : facemos x=0
SIMETRÍAS
Simétrica respecto o eixe y: Si f(x) = f(‐x) (f. par) Simétrica respecto a orixe: Si f(x) = ‐ f(‐x) (f. impar)
ASÍNTOTAS (ramas parabólicas)
ASÍNTOTAS VERTICALES
Buscamos os valores de x para os cales a función tende a ±∞ , , , a ecuación da asíntota vertical será x=a
lim ( )
xaf x
ASÍNTOTAS OBLICUAS
Son as rectas da forma y = m x + n. Calculamos m e n determinando o valor dos límites:
( ) lim x f x m x
lim ( )
x
n f x mx
lim ( )
xf x b
ASÍNTOTAS HORIZONTAIS
Para saber se un punto singular é máximo relativo, mínimo relativo ou punto de inflexión, estudaremos o signo da derivada nas proximidades do punto, á súa esquerda e á súa dereita. MÁXIMO f' > 0 á súa esquerda f' < 0 á súa dereita
MÍNIMO f' < 0 á súa esquerda f' > 0 á súa dereita
INFLEXIÓN f' ten o mesmo signo a ambos os lados do punto .
CRECEMENTO E DECRECEMENTO (MÁXIMOS ‐ MÍNIMOS).
Se f' (x0) = 0 e existe f'' (x0), daquela:
f'' (x0) > 0 f ten un mínimo relativo en x0 f'' (x0) < 0 f ten un máximo relativo en x0
1º MÉTODO. Derivada primeira
2º MÉTODO. Derivada segunda:
1. si f '(x) é positiva en (a,b), f(x) é crecente.
2. si f '(x) é negativa en (a,b), f(x) é decrecente.
3. si f '(x) é nula en (a,b), f(x) é constante.(Punto crítico)
f'' (x0) > 0 f é convexa en x0 ( U ) f'' (x0) < 0 f é cóncava en x0 ( ∩ )
f'' (x0) = 0 e f''' (x0) ≠ 0 f ten un punto de inflexión en x0
f´
(0, 1)
f´ - + + + +
-f
( , 3) ( 3, 1) (1, 3 ) ( 3, )
3 2 3
2x 6x
f´´(x)
(1 x )
F´´
¿Por que se utiliza a derivada?
◦
Para coñecer a variación dunha magnitude en función de outra.
APLICACIÓN DA DERIVADA A OUTRAS ÁREAS
A derivada permitenos coñecer por exemplo:
A variación do espacio en función do tempo.
O crecemento dunha bacteria en función do tiempo.
O desgaste dun neumático en función do tiempo.
Os beneficios en función do tiempo.
…
¿Pero a variación dunha magnitud vai ser sempre en función do tempo?.
• A ecuación que describe o movemento dun corpo.
• A velocidade: é a derivada do espacio en función do tempo
• A aceleración é a derivada da velocidade respecto o tempo, o la 2ª derivada de espacio respecto o tempo
2 0 0
2
1
)
(
t
x
v
t
at
x
)
(
2 2t
a
dt
x
d
at
v
t
v
dt
dx
0
)
(
A derivadas pódese utilizar en calquera situación da vida real.
Na Física.
Si e=f(t) nos da a posición dun móvil respecto o tempo, entón v=f '(t) danos a velocidade dese móbil en cada instante
Se v=g(t) nos da a velocidade dese móbil en función do tempo, entón a=g'(t)
danos a súa aceleración.
Exemplo:
d(t)=0.2t2+0.03t3
V(t)=d’(t) =0.4t+0.09t2
v(2)=d’(2)=0.4*2+0.09*22=1.16 m/s, velocidade ós 2 seg
v(5)=d’(5)=0.4*5+0.09*52=4.25 m/s, velocidade ós 5 seg
v(6)=d’(6)=0.4*6+0.09*62=5.64 m/s, velocidade ós 6 seg
Si v=46.8 Km/h Si v(t)=d’(t)=0.4*t+0.09*t2=13 m/s,
0.4*t+0.09*t2-13=0
0.09*t2+0.4*t -13=0 resolvendo esta ecuación queda t=10 seg
Ós10 segundos poden fallar os frenos do coche.
•Un cocheciño teledirixido lanzase por unha costa. A distancia recorrida en metros o cabo de t segundos ven dada por d=0.2t2+0.03t3
a) ¿Qué velocidade leva os 2 seg, 5 seg, y 6 seg?
b) Cando el cocheciño alcanza unha velocidade de 46.8 km/h, os frenos son insuficientes¿Cánto tempo pode permanecer baixando sen que o condutor teña que preocuparse polos frenos?