• No se han encontrado resultados

0 Derivadas 1º BAC

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2020

Share "0 Derivadas 1º BAC"

Copied!
161
0
0

Texto completo

(1)

Que é o Cálculo?

O Cálculo é a matemática dos cambios, velocidades e aceleracións.

Estúdianse as rectas tanxentes, pendentes, áreas, volúmenes, lonxitudes de arco,... e unha grande variedade de conceptos para crear modelos para as situacións da vida real.

tasa de variación media

t=a t=b tasa de variación instantánea ent=c

Describe un obxecto que se move con velocidade constante

Describe a velocidade dun obxecto que se move aceleradamente

Describe a pendente dunha recta Describe a pendente dunha curva

Describe o área dun rectángulo Describe o área baixo unha curva

Dx Dy

dx dy Matemáticas previas ao Cálculo

Estáticas

Cálculo

(2)

Derivadas

A velocidade: Como cambia a posición co tempo

A potencia: Cómo cambia a enerxía co tempo

A forza: Cómo cambia a enerxía potencial coa posición

La inflación: Como cambian os prezos co tempo

El cáncer: Cómo crecen os tumores co tempo

(3)

Un coche sae dunha poboación e aumente progresivamente a súa velocidade

A gráfica mostra o espacio percorrido polo automóbil nos dez primeiros minutos

a) Calcula a velocidade media en estes dez minutos

b) Calcula a velicidade media nos seguintes intervalos:

[0 , 3] , [0,5] , [0 , 8] , [2 , 4] , [7 , 9] , [8 , 10]

O espacio que recorre ven dado

pola ecuación:

onde e e o espacio percorrido no tempo t.

2

1

e t

10

(4)

VARIACIÓN DUNHA FUNCIÓN NUN INTERVALO

En cambio, o seu crecemento medio é moi distinto:

Taxa de variación media

Chámase taxa de variación media ( T.V.M.) dunha función, y = f (x), nun intervalo [a, b] o cociente:

(5)

Para unha función f(x) defínese a tasa de variación media de f nun intervalo [a, b], mediante o cociente:

f(b) – f(a)

b – a

T

m

f[a, b] =

La

tasa de variación media

nun intervalo [a, b], e o cociente entre a

variación da función e a loxitude do intervalo.

(6)

Tasa de variación Media no intervalo [a,a+h]

Tasa de variación media dunha función

Si b – a = h o calcular a tasa de variación media no intervalo de lonxitude h utilizaremos esta otra notación

TVM

[a,a+h]

=

f (a

h) f (a)

h

 

X

Y

a a + h f(a)

f(a + h)

f(a + h) – f(a)

Outra notación:

y

x

y

h

(7)
(8)
(9)

O dono do coche recibiu unha multa por exceso de velocidade xusto cando pasaban oito minutos desde que saira da poboación. A multa foi por pasar unha limitación de 60 km/h. Vamos a facer unha estimación da velocidade os 8 minutos calculando a velocidade media en intervalos de tempo próximos a ese tempo:

Calcula:

V[8,9] = V[8, 8.1] =

V[8, 8.001] = V[8, 8.01] =

V[7, 8] = V[7.9 , 8] = V[7.99, 8] = V[7.999, 8] =

Que velocidade podemos conxeturar que levaba o coche os 8 min de sair da poboación?

Volvemos o problema de introdución. Lembra que a función que da o espazo recorrido en función do tempo era : 1 2

e t

10

(10)

Podemos definir a velocidade instantánea ( v ) os 8 min de recorrido

como o límite das velocidades medias nos intervalos de tempo [8 , b] cando b se aproxima a 8

 

[8,b]

Se a velocidade media no int ervalo 8,b é: e(b) e(8) v b 8    8´ b 8

A velocidade ins tan tánea os 8minutos será : e(b) e(8) v lim b 8     8´ h 0

Ou ben, chamando h b 8

e(8 h) e(8)

v lim h      

Calcula, aplicando as dúas fórmulas anteriores, V lembrando que 1 2

e(t) t

(11)

[

1

]

2

[

1,4

]

1,5

[

1,41

]

1,42

[

1,414

]

1,415

2

A sucesión de intervalos encaixados determina un único número real

(12)

X Y

Interpretación xeométrica da tasa de variación media

m

s

= tg  =

f a

h

  

f a

h

= TVM

[a,a+h]

A pendente da recta secante á curva, por P e Q é:

a

f(a)

a + h

f(a + h)

h

f(a + h) - f(a)

P

Q

(13)

13

x

y

0

x

)

(

x

0

f

)

(

x

0

h

f

h

x

0

h

(14)

14

x

y

0

x

)

(

x

0

f

)

(

x

0

h

f

h

x

0

(15)

15

x

y

0

x

)

(

x

0

f

)

(

x

0

h

f

h

x

0

(16)

16

x

y

0

x

)

(

x

0

f

)

(

x

0

h

f

h

x

0

(17)

17

x

y

0

x

)

(

x

0

f

)

(

x

0

h

f

h

x

0

(18)

18

x

y

0

x

)

(

x

0

f

)

(

x

0

h

f

h

x

0

(19)

19

x

y

0

x

)

(

x

0

f

)

(

x

0

h

f

h

x

0

(20)

20

x

y

0

x

)

(

x

0

f

)

(

x

0

h

f

h

x

0

(21)

21

x

y

0

x

)

(

x

0

f

)

(

x

0

h

f

h

x

0

(22)

22

x

y

0

x

)

(

x

0

f

)

(

x

0

h

f

h

x

0

(23)

23

x

y

0

x

)

(

x

0

f

)

(

x

0

h

f

h

x

0

(24)

24

x

y

0

x

)

(

x

0

f

)

(

x

0

h

f

h

x

0

(25)

25

x

y

0

x

)

(

x

0

f

)

(

x

0

h

f

h

x

0

(26)

26

x

y

0

x

)

(

x

0

f

)

(

x

0

h

f

h

x

0

(27)

27

x

y

0

x

)

(

x

0

f

)

(

x

0

h

f

h

x

0

(28)

28

x

y

0

x

)

(

x

0

f

)

(

x

0

h

f

h

x

0

(29)

29

x

y

0

x

)

(

x

0

f

)

(

x

0

h

f

h

x

0

(30)

30

x

y

0

x

)

(

x

0

f

)

(

x

0

h

f

h

x

0

(31)

31

x

y

0

x

)

(

x

0

f

)

(

x

0

h

f

h

x

0

(32)

32

x

y

0

x

)

(

x

0

f

)

(

x

0

h

f

h

x

0

(33)

33

x

y

0

x

)

(

x

0

f

)

(

x

0

h

f

h

x

0

(34)

34

x

y

0

x

)

(

x

0

f

)

(

x

0

h

f

h

x

0

(35)

35

x

y

0

x

)

(

x

0

f

)

(

x

0

h

f

h

x

0

(36)

36

x

y

0

x

)

(

x

0

f

)

(

x

0

h

f

h

x

0

(37)

A recta tanxente como límite de rectas secantes

Q

1

Q

2

Q

3

Q

n

s

1

s

2

s

3

s

n

t

X

Y

P

...

...

A recta tanxente a unha curva C nun punto P é a recta que pasa por P e é a

posición límite das rectas secantes que pasan por P e Q cando Q é calquera

punto de C que tende a P ó largo da curva

(38)

P(a,f(a))

a a+h

Q(a+h,f(a+h))

Calculamos a pendente da recta secante PQ coas coordenadas dos dous puntos P e Q.

h

f(a+h)-f(a)

(

)

( )

f a

h

f a

m

h

+

-=

1 0

1 0

( ) ( ) f x f x Lembra m

x x -=

(39)

-Si h é moi pequeno, a+h está moi cerca de a. De esta forma:

P

a a+h

Q

(40)

P

a a+h

Q

h 0

Q está moi próximo a P

A secante PQ “casi” se confunde coa tanxente t A pendente da secante QP é “casi” a pendente de t

Agora ben, o valor de h non pode ser 0, anque sí todo o pequeno que se

queira. E aquí intervén o concepto de límite.

(41)

P

a a+h

Q Q está moi próximo a P

A secante QP “case” se confunde coa tanxente t A pendente da secante QP é “case” a pendente de t

0

lim(pendentes das secantes)= pendente da tanxente

h®

0

(

)

( )

lim

t

h

f a

h

f a

m

h

®

+

(42)

Definición de incremento:

y = y1 – y0

ou

y = f(x1) – f(x0),

ou aínda:

y = f(x0 +x) – f(x0)

x  incremento de x

y  incremento de y

Incremento é a diferencia entre pares de Variábeis correspondentes. Na figura do lado, temos:

(43)

X Y

Tasa de variación media dunha función

Para unha función f(x) defínese a tasa de variación media de f nun intervalo [a, b],

contido no dominio f(x), mediante o cociente:

A

tasa de variación media

é unha medida da variación que experimenta

unha función, nun intervalo, por unidad de variable independiente

X

Y

a

b

f(a)

f(b)

T

m

f[a, b] > 0

f(b) – f(a) > 0

a

b

f(a)

f(b)

f(b) – f(a) < 0

(44)

Tasa de variación Media no intervalo [a,a+h]

Tasa de variación media dunha función

Si b – a = h o calcular a tasa de variación media no intervalo de lonxitude h utilizaremos esta otra notación

TVM

[a,a+h]

=

f (a

 

h) f (a)

h

X

Y

a a + h f(a)

f(a + h)

f(a + h) – f(a)

Outra notación:

y

x

y

h

(45)

X Y

Interpretación xeométrica da tasa de variación media

m

s

= tg  =

f a

h

  

f a

h

= TVM

[a,a+h]

A pendente da recta secante á curva, por P e Q é:

a

f(a)

a + h

f(a + h)

h

f(a + h) - f(a)

P

Q

(46)

Tasa de variación instantanea nun punto.

Concepto de número derivada

O calcular a taxa de variación media en intervalos de lonxitude cada

vez máis pequena, con extremo nun punto a, intentamos obter unha

medida do rápido que varía a función en a.

Desta forma obteremos o número derivada ou tasa instantánea da

función f en x=a como o límite o que tende a TVM

(a,b)

cando b

→ a

b a

f ( b )

f ( a )

f ( a )

lim

b

a

(47)

Derivada de f no punto de abcisa a: o límite ten que

existir e ser finito

X

Y

Tasa de variación instantánea nun punto. Concepto de

número derivada

a a + h f(a)

f(a + h)

f(a + h) – f(a)

h 0

f ( a h ) f ( a )

f ( a ) lim

h

 

(48)

Interpretación xeométrica da derivada

O facer que h0, ocorrerá que

p + h tende (acércase) a p

• Q recorre a curva acercándose a P

• A recta secante á curva se converte na recta tanxente

• A inclinación da recta secante tende á inclinación da recta tanxente

0

(

)

( )

lim

( )

t

h

f p

h

f p

m

f

p

h

(49)

Ecuación da recta tanxente

a

f(a)

t

t

Entón:

• Pendente da tanxente: mt = f '(a)

t

Ecuación da recta que pasa por un punto A(a, b) e de pendiente m:

y – b = m (x – a)

Ecuación da recta tanxente:

(50)
(51)
(52)
(53)
(54)
(55)
(56)
(57)

Vamos a calcular a a derivada dun punto xenérico x = a

0

( ) ( ) ´( ) lim

h

f a h f a f a

h

 

4. Determina a derivada de f(x) = x2 – 2x nos puntos de abscisas –2, –1, 0, 1, 2, 3 e 4.

f(x) = x2 – 2x

f(a +h)= (a+h)2– 2(a+h) = a2 +2ah + h2 - 2a – 2h

f(a)= a2 - 2a

2 2 2

0

2 2 2 2 ´( ) lim

h

a ah h a h a a f a h          2

0 0 0

2 2 (2 2)

lim lim lim(2 2) 2 2

h h h

ah h h h a h

a h a

h h

  

   

      

(58)

Función derivada de outra

f '(3) = h0

lim f(3 +h)

f(3) h =

h0

lim (3 + h)

2

32 h =

h0

lim h (h + 6) h = 6

• Derivada de f(x) = x2 no punto 2:

Para obter a derivada no punto x

f '(x) =

h0

lim f(x + h) – f(x)

h =

h0

lim (x + h)

2 – x2

h =

h0

lim h (h + 2x)

h = 2x

• Derivada de f(x) = x2 no punto 3:

f '(2) =

h0

lim f(2 +h)

f(2) h =

h0

lim (2 + h)

2

22 h =

h0

lim h (h + 4)

h = 4

Dícese que a función derivada (o simplemente a derivada) de y = x2 é f '(x) = 2x

(59)

Función derivada doutra

Probar que a función derivada de f (x) = x2 – 2x é f ' (x) = 2x – 2.

Para probalo, imos obter a derivada de f (x) = x2 – 2x nun punto calquera, x, paso a paso,

como o fixemos no exercicio anterior:

2

0 0

( ) ( ) 2 2

lim lim

h h

f x h f x xh h h

h h

 

   

 

f (x + h) = (x + h)2 – 2 (x + h) = x 2 + 2xh + h2 – 2x – 2h

f (x + h) – f (x) = (x2 + 2xh + h2 – 2x – 2h) – (x2 – 2x) = 2xh + h2 – 2h

0

(

)

( )

lim

h

f x

h

f x

h

 

0 0

(2 2)

lim lim(2 2) 2 2

h h

h x h

x h x

h

 

   

x f´(x)

0

(

)

( )

( )

´( )

lim

h

f x

h

f x

Df x

f x

h

Chámase función derivada de f (ou simplemente derivada de f ) unha función f ' que asocia a cada abscisa, x, a derivada de f nese punto, f ' (x),

(60)

 

 

 

 

 

 

 

0 0

lim

lim

lim

x x h x

f x

f x

df

x

dx

x

x

f x

h

f x

df

x

dx

h

f x

x

f x

df

x

dx

x

   

 

 

  

A derivada. Diversas formas de escribila

 

df x

 

 

df

x

Df

f

x

dx

dx

x 0

y

f ( x )

lim

x

 

h 0

y

f ( x )

lim

h

(61)
(62)

REGRAS PARA OBTER AS DERIVADAS DALGUNHAS FUNCIÓNS

Na páxina anterior calculamos a derivada dalgunhas funcións aplicando a definición de derivada. O proceso é longo e pesado. Con todo, existen unhas sinxelas regras prácticas coas que se pode determinar, moi facilmente, a derivada de calquera función elemental.

Todas as regras que imos dar pódense demostrar, pero iso deixarémolo para o próximo curso. Agora, limitarémonos a dar as regras e a entender como se poñen en práctica.

Ejemplos:

0

f'(x)

K

(63)

Máis exemplos:

1 f'(x) x

f(x)  

1 n n

n·x f'(x) x

f(x)   

(64)

Derivada de una constante por una función k · f(x)

K·g'(x)

f'(x)

K·g(x)

f(x)

(65)

Derivada da suma de funcións, f (x) + g (x)

Por exemplo:

h'(x)

g'(x)

f'(x)

h(x)

g(x)

(66)

( ) cos( )

f(x)sen x f'(x)x f(x)cos( )x f'(x) sen x( ) 2

1 tan 2

1

f(x) tg(x) f'(x) x

cos (x)

    

1 ( )

f(x) Ln x f'(x) x

  

x x

f(x)e f'(x)e

1 ( )

·

a

f(x) log x f'(x)

lna x

  

ln

x x

(67)

2

h(x)

g(x)·h'(x) g'(x)·h(x)

f'(x) h(x)

g(x)

f(x)   

g(x)·h'(x)

g'(x)·h(x)

f'(x)

g(x)·h(x)

(68)
(69)
(70)

Composición de

funcións

x f(x) g(f(x))

f g

f composto con g

(g

o

f)(x)=g(f(x))

f

x

f(x)

g

(71)

Función composta

A función h1(x) = sen 2x é a composición de dúas funcións: • g(x) = 2x = t

• f(t) = sen t

x

2x = t

sen t = sen 2x

R

R

g

R

f

x

sen 2x

h

1

(x) = f(g(x)) = f(2x) = sen 2x

g(x) = 2x

f(t) = sen t

Saída 2x

Entrada x

Entrada t= 2x

Saída

sen t = sen 2x

h

2

(x) = f(g(x))

(72)
(73)
(74)
(75)

REGRA DA CADENA

Exemplos:

'(x)

g'(h(x))·h

f'(x)

g(h(x))

(76)
(77)
(78)
(79)
(80)

Aplicacións da derivada

Pendente da recta tanxente á gráfica dunha función

nun punto

Estudio da monotonía dunha función

(crecemento/decrecemento)

Optimización (Máximos e mínimos locais)

Concavidade e puntos de inflexión dunha función

(81)

Ecuación da recta tanxente

a

f(a)

t

t

Entón:

• Pendente da tanxente: mt = f '(a)

t

Ecuación da recta que pasa por un punto A(a, b) e de pendiente m:

y – b = m (x – a)

Ecuación da recta tanxente:

(82)

A aplicación inmediata da interpretación xeométrica é que as rectas tanxente a unha curva y = f(x) no punto P(a, f(a)) na súa forma punto-pendente é:

y – f(a) = f '(a)(x – a)

Exemplo

Atopa a recta tanxente á curva f(x) = x2 – 6x + 11 para x = 4.

a) Calcúlase o punto P(a, f(a)):

Se x = 4 → f(4) = 42 – 6 · 4 + 11 = 16 – 24 + 11 = 27 – 24 = 3 P(4, 3)

b) A derivada para x = 4 é:

A pendente da recta tanxente é: m = f'(4) = 2

c) A recta tanxente é:

y – 3 = 2(x – 4) → y – 3 = 2x – 8 → y = 2x – 5

f´(x)= 2x – 6 → f´(4) = 2·4-6 = 2

(83)
(84)

☛ Determina as pendentes das rectas tanxentes trazadas neses puntos. Indica f ' nos puntos de abscisas –3, 0 e 4.

(85)
(86)
(87)

X Y

Monotonía: crecimiento y

decrecimiento en un intervalo

[ a ] b x f(x) x+h f(x+h) h

Función creciente en [a, b]

f(x) < f(x+h), (x, x+h) y h >0

X Y [ a ] b x f(x)

Función decreciente en [a, b]

f(x) < f(x+h), (x, x+h) y h >0

f(x+h)

x+h

(88)

X Y

A

tasa de variación media

é unha medida da variación que experimenta

unha función, nun intervalo, por unidad de variable independiente

X

Y

a a+h

f(a)

f(a+h)

T

m

f[a, a+h] > 0

f(a+h) – f(a) > 0

a

a+h

f(a)

f(a+h)

f(a+h) – f(a) < 0

T

m

f[a, a+h] < 0

TVM

[a,a+h]

=

f(a h) f(a)

h

(89)

Derivada nun punto máximo ou mínimo

Sexa f(x) unha función definida no intervalo (a, b). Si a función alcanza un máximo ou mínimo nun punto c(a, b) e é derivable nel, entón f '(c) = 0

Si a función é constante entonces f '(c) = 0

Si A é máximo, a tanxente en x = c é horizontal. A súa

pendente é 0

Si A é mínimo, a tanxente en x = c é horizontal. Súa

pendente é 0

f '(c) = 0

(90)
(91)

X Y

Derivadas e monotonía II

[ a

] b

Función crecente en [a, b]

X Y

[ a

] b

Función decrecente en [a, b]

x

a

f '(x) = tg a > 0 x [a, b]

x

a

(92)

f '(x) = tg a > 0  función crecente f '(x) = tg a < 0  función decrecente

Sexa f(x) unha función derivable en (a,b), entón: 1. si f '(x) é positiva en (a,b), f(x) é crecente.

2. si f '(x) é negativa en (a,b), f(x) é decrecente. 3. si f '(x) é nula en (a,b), f(x) é constante ou ten un punto singular.

(93)

Discriminación de máximos e mínimos relativos

f ' < 0

f ' > 0

f ' < 0

b

f ' (a) = 0

f ' (b) = 0

mínimo relativo de coordenadas

(a, f(a))

máximo relativo de coordenadas

(b, f(b))

• Si unha función ten en a un máximo ou mínimo relativo e en ese punto é derivable entón f '(a) = 0.

(94)

Segunda derivada e extremos relativos

a

b

f ' (a) = 0

f ' (b) = 0

mínimo

máximo

f " > 0

f " (b) < 0

f " (a) > 0

f " < 0

”Si unha función f ten su derivada primeira nula nun punto, de abscisa a, e a súa derivada segunda nese punto é negativa, entón a función f presenta un máximo relativo no punto (a, f (a))”.

“Si unha función f ten súa derivada primeira nula nun punto, de abscisa a, e a súa derivada segunda nese punto é positiva, entón a función f presenta un mínimo relativo no punto (a, f (a))”.

• Si unha función ten en a un máximo ou mínimo relativo e en ese punto é derivable entón f '(a) = 0.

(95)

Cálculo dos intervalos de monotonía

Sempre positivo

2x

Intervalos de monotonía de y =

1 + x

2

y ' =

2(1 – x)(1 + x)

(1 + x

2

)

2

(1 + x

2

)

2

2(1 – x)(1 + x)

= 0

x =

1

;

–1

1

y ' < 0

decrecente

y ' > 0

crecente

y ' < 0

decrecente

(96)

Intervalos de crecemento e decrecemento.

Máximos e mínimos

O dominio de definición dunha función queda dividido en intervalos de monotonía polos puntos nos que a derivada primeira anulase ou non existe. Estudiase o signo de f(x) en cada un destes intervalos.

Si f(x) > 0 a función é crecente nese intervalo e si f ‘(x) < 0 a función é decrecente nese intervalo.

(97)

Facemos un cadro para estudiar o signo de f´

(-∞, -1) (-1, 3) (3,+ ∞)

f´(x) + - +

f(x)

-1 3

Estudia onde é crecente ou decrecente a función f(x) = x3 - 3x2 - 9x + 5

Paso 1.- Derivamos a función

Paso 2.- Facemos f´(x) =0. (Igualamos a cero a derivada)

2

3x 6x 9 0   x 1 ; x  3

Paso

3.-f é crecente en (- ∞, -1) e (3, + ∞) f é decrecente en ( -1, 3)

No punto M( -1, 10 )

ten un MAXIMO

No punto m (3, -22)

(98)
(99)

Estudiar o crecemento e decrecemento da función 2

1

f(x)

x

1

1) Calculase f´(x)

2

2

1 2 ) (     x x x f

2) Búscanse os valores de x para os que f´(x) = 0 ou non exista f´(x)

0 ) 1 ( 2 2 2  

x

x

x = 0 A derivada anúlase para x = 0

e non existe f´(x) en x = 1 e x = 1.

3) Divídese o dominio de definición da función en intervalos de extremos os puntos calculados no apartado anterior e estudiase o signo de f´ en cada un destes

intervalos. Para iso facemos o cadro seguinte:

x ( , -1) (-1,0) (0,1) (1, +)

f´ + +

-

-f crecente crecente decrecente decrecente

Máximo (0, 1)

Crecente en (, 1) (1, 0), decrecente en (0, 1) (1, +), Máximo (0, 1)

(100)

2 1 f(x)

x 1 

(101)
(102)
(103)

Criterio de crecimiento y decrecimiento

17

Sea f continua en [a,b] y derivable en (a,b) [Con a,b, reales,  o - ]

1. f´(x) 0, x(a,b) f es creciente en [a,b]

2. f´(x) 0, x(a,b) f es decreciente en [a,b]

3. f´(x) = 0, x(a,b) f es constante en [a,b]

Hallar los intervalos abiertos en los que

f es creciente o decreciente

f

(

x

)

x

3

2

3

x

2

Nótese que f es continua en toda la recta real. Para

hallar sus números críticos,

igualamos a cero su derivada

0

,

1

0

)

1

)(

(

3

0

3

3

)

´(

2

x

x

x

x

x

x

f

Hacer f´=0

Factorizar

Números críticos Intervalo

Valor prueba Signo de f´(x)

Conclusión

- x0 0x1 1x  

x=-1 x=1/2 x=2

f´(-1)=60 f´(1/2)=-3/4 0 f´(2)=60

(104)

Criterio de concavidad

21

Sexa f unha función que teña segunda derivada nun intervalo aberto I.

1. Si f´´(x) 0 para todo x en I, a gráfica de f é convexa en I 2. Si f´´(x) 0 para todo x en I, a gráfica de f é cóncava en I

Localizar os valores da x nos que f´´(x)=0

Localizar os valores da x nos que f´´(x) non está definida

(105)

P Q

f

f

Unha función f ten un punto de inflexión nun punto cando nese punto a función pasa de cóncava a convexa, ou ben, de convexa a cóncava.

(106)

Aplicación del criterio de concavidad

Signo de f´´(x)

Hallar los intervalos abiertos para los que la gráfica es cóncava o convexa

2

1

3

6

)

(

x

x

f

f es contínua en toda la recta real.

Hallamos f´y f´´

Intervalo - x-1 -1x1 1x  

f´´  0

Cóncava

f´´ 0

Convexa

f´´ 0

Convexa

2

3

3

12

)

´(

x

x

f

0

3

1

36

)

´´(

3 2 2

x

x

x

f

x = 1

convexa cóncava convexa

Conclusión

Valor prueba x=-2

f´´(-2) 0

x=0

f´´(0) 0

x=2

(107)

(-∞, 2) (2, +∞)

f¨¨

-

+

f ∩ U

Si una función es tal que x  (a, b), f ”(x) > 0, entonces f es convexa en (a, b).

(108)

Hallar los ptos. de inflexión y discutir la concavidad de

f

(

x

)

x

4

4

x

3

f está definida y es continua en todos los reales

Intervalo - x 0 0x2 2 x  

cóncava convexa

Hallamos f´y f´´

2 3

12

4

)

´(

x

x

x

f

12

2

0

)

´´(

x

x

x

f

x = 0, x = 2Posibles ptos. de inflexión

convexa

Valor prueba Signo de f´´(x)

x=-1 f´´(-1) 0

x=1 f´´(1) 0

x=3 f´´(3) 0 Conclusión

Convexa

Convexa

(109)

Puntos críticos: f '(a) = 0

Mínimo f "(a) > 0

Máximo f "(a) < 0

f´<0

f´<0

Q é un punto de inflexión

Q

Observa que unha función pode ser crecente nun punto e é cero a súa derivada nel. f' ten o mesmo signo a ambos os lados do punto

PUNTOS SINGULARES OU CRÍTICOS

(110)

Para saber se un punto singular é máximo relativo, mínimo relativo ou punto de inflexión, estudaremos o signo da derivada nas proximidades do punto, á súa esquerda e á súa dereita.

MÁXIMO f' > 0 á súa esquerda f' < 0 á súa dereita

MÍNIMO f' < 0 á súa esquerda f' > 0 á súa dereita

INFLEXIÓN f' ten o mesmo signo a ambos os lados do punto

Na práctica, isto pode facerse obtendo valores da función en puntos moi próximos ao estudado.

Regra para identificar extremos relativos ( resumo )

Se f' (x0) = 0 e existe f'' (x0), daquela:

f'' (x0) > 0  f ten un mínimo relativo en x0 f'' (x0) < 0  f ten un máximo relativo en x0

Derivada primeira

(111)

Criterio para detectar o tipo de curvatura (resumo)

f'' (x0) > 0  f é convexa en x0 ( U )

f'' (x0) < 0  f é cóncava en x0 ( ∩ )

f'' (x0) = 0 e f''' (x0) ≠ 0  f ten un punto de inflexión en x0

(112)

Procedemento para atopar máximos e mínimos relativos ( derivada primeira)

Por exemplo, para a función f (x) = 3x5 – 5x3 sabemos que a súa derivada,

f' (x) = 15x4 – 15x2, se anula en x = –1, x = 0, x = 1.

Para saber como é cada un deses puntos singulares, podemos proceder así:

Fariamos o cadro:

(-∞, -1) (-1, 0) (0, 1) (1,+∞)

+ - - +

f crecente decrecente decrecente crecente

Ou ben, obtendo valores da función en puntos moi próximos ao estudado.

(113)

Procedemento para atopar os máximos e mínimos relativos coa derivada segunda

Para atopar os máximos e mínimos relativos dunha función, séguese o seguinte procedemento:

Exemplo: Atopa os máximos e mínimos da función f(x)= x3 – 3x

a) Calcúlase a 1ª derivada, f '(x). f‘(x) = 3x2 – 3

b) Resólvese a ecuación, f '(x) = 0. 3x2 – 3 = 0 x2 – 1 = 0 x2 = 1 x = 1

x = –1

c) Atópase a 2ª derivada, f ''(x)

d) Substitúense as abscisas dos posibles máximos e mínimos relativos na 2ª derivada, f ''(x).

Se f ''(x) < 0 → máximo relativo Se f ''(x) > 0 → mínimo relativo

f ''(1) = 6 · 1 = 6 > 0 (+) → Se x= 1 mínimo

f ''(–1) = 6(– 1) = – 6 < 0 (–) →Se x= -1 máximo

c) Substitúense as raíces de f '(x) = 0 na función inicial y = f(x) e obtéñense as coordenadas dos máximos e mínimos relativos.

x = 1 → y = 13 – 3 · 1 = 1 – 3 = = –2 A(1, –2) mínimo

(114)

Procedemento para atopar os máximos e mínimos relativos coa derivada segunda

Para atopar os máximos e mínimos relativos dunha función, séguese o seguinte procedemento:

Exemplo: Atopa os máximos e mínimos da función f(x)= x3 – 3x

a) Calcúlase a 1ª derivada, f '(x). f‘(x) = 3x2 – 3

b) Resólvese a ecuación, f '(x) = 0. 3x2 – 3 = 0 x2 – 1 = 0 x2 = 1 x = 1

x = –1

c) Atópase a 2ª derivada, f ''(x)

d) Substitúense as abscisas dos posibles máximos e mínimos relativos na 2ª derivada, f ''(x).

Se f ''(x) < 0 → máximo relativo Se f ''(x) > 0 → mínimo relativo

f ''(1) = 6 · 1 = 6 > 0 (+) → Se x= 1 mínimo

f ''(–1) = 6(– 1) = – 6 < 0 (–) →Se x= -1 máximo

c) Substitúense as raíces de f '(x) = 0 na función inicial y = f(x) e obtéñense as coordenadas dos máximos e mínimos relativos.

x = 1 → y = 13 – 3 · 1 = 1 – 3 = = –2 A(1, –2) mínimo

(115)

(-∞, 0) (0, 4/3) (4/3, +∞)

f¨¨ + - +

f U ∩ U

Si una función es tal que x  (a, b), f ”(x) > 0, entonces f es convexa en (a, b).

(116)
(117)
(118)

Representación gráfica: Esquema

1. Estudar o dominio e continuidade.

3. Puntos de corte cos eixes.

4. Calcular posibles asíntotas.

5. Monotonía. Estudar derivada primeira.

6. Curvatura. Estudar derivada

segunda.

{

{

Verticais: Puntos que non están no dominio.

Horizontais ou oblicuas: achando límites no infinito.

2. Comprobar simetrías e periodicidade.

{

Eixe X

:

Eixe Y:

f

(

x

) = 0

f

(0)

{

Posibles extremos : Crecemento:

Decrecemento:

f

(

x

) = 0

f ‘

(

x

) > 0

f ‘

(

x

)

<

0

Posibles puntos de inflexión:

Convexa:

Cóncava:

f “

(

x

) = 0

f “

(

x

) > 0

(119)

Ejemplos

a. Función polinómica D = R f (x)  x3 2x3 D = R

b. Funciones racionales, no están definidas para los valores los que se anula el denominador.

2 6 5 3 ) ( 2 2      x x x x x

f D = R {1, 2}

c. Funciones irracionales: f(x)n g(x)

Si n impar D = R

Si n par D = {xR / g (x)  0}

f (x) x2 4 D = {xR / x2 4  0} = ] , 2[  ]2, + [

d. Funciones logarítmicas, f(x) loga g(x) D = {xR / g (x) > 0} f (x) ln (x5) D = {xR / x + 5 > 0} = ]5, + [

e. Funciones exponenciales f (x) ax ; a R, a > 0, a  1 D = R

f. Funciones trigonométricas f (x) sen x D = R

f (x) cos x D = R

f (x)  tg x D =

        kx R 2 f (x) arcsenx D = [1, 1] f (x) arccosx D = [1, 1]

Dominio dunha función

(120)

Puntos de corte con los ejes

Son los puntos en los cuales la gráfica de la función f corta el eje de abscisas y el eje de ordenadas.

Para determinar los puntos de corte con el eje de abscisas se resuelve el sistema:

0

)

(

y

x

f

y

Para determinar los puntos de corte con el eje de ordenadas se resuelve el sistema:

0

)

(

x

x

f

y

Ejemplo

Puntos de corte de la gráfica de la función f (x) = x2  4 con los ejes de coordenadas

      0 4 2 y x y

Puntos de corte con el eje de abscisas (2, 0) y (2, 0) Punto de corte con el eje de ordenadas (0, 4)

      0 4 2 x x y y=0 x=0 y=f(x)

x2 - 4 = 0 → x= ±2

(121)

Simetrías axiais: Funcións pares

Consideramos a función f(x) = x4-2x2

A función é simétrica respecto do eixe Y.

x=0

d

d

Unha

función

que

presenta

este

tipo

de

simetría

denomínase

función par.

Polo tanto,

f(-x) = (-x)4-2(-x)2 = x4-2x2 = f(x)

-x

x

(122)

Simetrías centrais: Funcións impares

Consideramos a función f(x) = x3-x

A función é simétrica respecto da orixe de coordenadas.

Unha

función

que

presenta

este

tipo

de

simetría

denomínase función impar.

Polo tanto,

f(-x) = (-x)3-(-x) = -x3+x = -f(x)

-x x

Se unha función é impar:

f(

– x) = – f(x)

xD (D: dominio de la función).

(123)

Periodicidade

 Unha función f é periódica si existe un número real p > 0 tal que para todo x no dominio de f tense que x + p pertence tamén o dominio de f y f(x + p) = f(x)

 Si esta igualdade cúmprese para un certo valor p tamén se cumpre para p1 = 2p, p2 = 3p, etc.

 Chámase período de f o menor valor de p que cumpre a condición de

periodicidade f(x) = f(x + p)

x

f(x)

x + p f(x + p) =

(124)

Asíntotas

Las asíntotas de una curva pueden ser verticales, horizontales y oblicuas.

Verticales

La recta x = a es una asíntota vertical de una función f cuando existe, al menos, uno de los siguientes límites

y=f(x)

y=f(x)

y=f(x)

a a

a

y=f(x)

y=f(x)

y=f(x)

Las ramas de la curva que se aproximan a una asíntota vertical se llaman ramas infinitas verticales

 

f (x) lim a x   

f (x) lim a x   

f (x) lim a x   

f (x) lim

a x

 

f (x) lim

a

x lim f (x)  

(125)

Horizontales

La recta y = b es una asíntota horizontal de una función f cuando existe, al menos, uno de los siguientes límites:

b

x

f

lim

x

(

)

b x

f lim

x ( ) 

y=f(x)

y=f(x)

b b

En la funciones racionales si y = b es asíntota por la derecha también lo ese por la izquierda. No es así en otras funciones como, por ejemplo, aquellas que tienen radicales o exponenciales.

Las ramas de la curva que se aproximan a una asíntota horizontal se llaman ramas infinitas horizontales.

(126)

Oblicuas

Unha recta y = mx + n, m  0 é unha asíntota oblicua si

(

)

0

 

f

x

mx

n

lim

x

(

)

0

 

f

x

mx

n

lim

x

Os valores de m e n se calculan:

x

x

f

lim

m

x

)

(

  

n

lim

f

x

mx

x

 

(

)

Nas funciones racionais si y = mx + b é asíntota pola dereita tamén o é pola esquerda.

As funciones racionais teñen asíntotas oblicuas si o grao do numerador é unha unidade superior que o grado do denominador.

Pode ocorrer que a gráfica da función corte á asíntota oblicua. Este estudio faise discutindo ol sistema de ecuacións formado pola ecuación da función e a ecuación da asíntota.

As ramas da curva que se aproximan a unha asíntota oblicua chámanse ramas infinitas oblicuas hiperbólicas.

ou

(127)

RESUMO DA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONS

DOMINIO DA FUNCIÓN

PUNTOS DE CORTE COS EIXES COORDENADOS:

• Eixe x: facemos y=0 •Eixe y : facemos x=0

SIMETRÍAS

Simétrica respecto o eixe y: Si f(x) = f(‐x) (f. par) Simétrica respecto a orixe: Si f(x) = ‐ f(‐x) (f. impar)

ASÍNTOTAS (ramas parabólicas)

ASÍNTOTAS VERTICALES

Buscamos os valores de x para os cales a función tende a ±∞ , , , a ecuación da asíntota vertical será x=a

lim ( )

xaf x   

ASÍNTOTAS OBLICUAS

Son as rectas da forma y = m x + n. Calculamos m e n determinando o valor dos límites:

( ) lim x f x m x 

lim ( )

x

n f x mx



 

lim ( )

xf xb

ASÍNTOTAS HORIZONTAIS

(128)

Para saber se un punto singular é máximo relativo, mínimo relativo ou punto de inflexión, estudaremos o signo da derivada nas proximidades do punto, á súa esquerda e á súa dereita. MÁXIMO f' > 0 á súa esquerda f' < 0 á súa dereita

MÍNIMO f' < 0 á súa esquerda f' > 0 á súa dereita

INFLEXIÓN f' ten o mesmo signo a ambos os lados do punto .

CRECEMENTO E DECRECEMENTO (MÁXIMOSMÍNIMOS).

Se f' (x0) = 0 e existe f'' (x0), daquela:

f'' (x0) > 0  f ten un mínimo relativo en x0 f'' (x0) < 0  f ten un máximo relativo en x0

1º MÉTODO. Derivada primeira

2º MÉTODO. Derivada segunda:

1. si f '(x) é positiva en (a,b), f(x) é crecente.

2. si f '(x) é negativa en (a,b), f(x) é decrecente.

3. si f '(x) é nula en (a,b), f(x) é constante.(Punto crítico)

f'' (x0) > 0  f é convexa en x0 ( U ) f'' (x0) < 0  f é cóncava en x0 ( ∩ )

f'' (x0) = 0 e f''' (x0) ≠ 0  f ten un punto de inflexión en x0

(129)
(130)
(131)
(132)
(133)
(134)

(135)
(136)
(137)
(138)

(0, 1)

f´ - + + + +

-f

( , 3) ( 3, 1) (1, 3 ) ( 3, )

3 2 3

2x 6x

f´´(x)

(1 x )

 

F´´

(139)
(140)

¿Por que se utiliza a derivada?

Para coñecer a variación dunha magnitude en función de outra.

APLICACIÓN DA DERIVADA A OUTRAS ÁREAS

A derivada permitenos coñecer por exemplo:

A variación do espacio en función do tempo.

O crecemento dunha bacteria en función do tiempo.

O desgaste dun neumático en función do tiempo.

Os beneficios en función do tiempo.

¿Pero a variación dunha magnitud vai ser sempre en función do tempo?.

(141)

• A ecuación que describe o movemento dun corpo.

• A velocidade: é a derivada do espacio en función do tempo

• A aceleración é a derivada da velocidade respecto o tempo, o la 2ª derivada de espacio respecto o tempo

2 0 0

2

1

)

(

t

x

v

t

at

x

)

(

2 2

t

a

dt

x

d

at

v

t

v

dt

dx

0

)

(

A derivadas pódese utilizar en calquera situación da vida real.

Na Física.

Si e=f(t) nos da a posición dun móvil respecto o tempo, entón v=f '(t) danos a velocidade dese móbil en cada instante

Se v=g(t) nos da a velocidade dese móbil en función do tempo, entón a=g'(t)

danos a súa aceleración.

Exemplo:

(142)

d(t)=0.2t2+0.03t3

V(t)=d’(t) =0.4t+0.09t2

v(2)=d’(2)=0.4*2+0.09*22=1.16 m/s, velocidade ós 2 seg

v(5)=d’(5)=0.4*5+0.09*52=4.25 m/s, velocidade ós 5 seg

v(6)=d’(6)=0.4*6+0.09*62=5.64 m/s, velocidade ós 6 seg

Si v=46.8 Km/h  Si v(t)=d’(t)=0.4*t+0.09*t2=13 m/s,

0.4*t+0.09*t2-13=0

0.09*t2+0.4*t -13=0 resolvendo esta ecuación queda t=10 seg

Ós10 segundos poden fallar os frenos do coche.

•Un cocheciño teledirixido lanzase por unha costa. A distancia recorrida en metros o cabo de t segundos ven dada por d=0.2t2+0.03t3

a) ¿Qué velocidade leva os 2 seg, 5 seg, y 6 seg?

b) Cando el cocheciño alcanza unha velocidade de 46.8 km/h, os frenos son insuficientes¿Cánto tempo pode permanecer baixando sen que o condutor teña que preocuparse polos frenos?

Referencias

Documento similar

Si bien el neofuncinalismo no niega el objetivo final de la unidad política — a ñ o s antes Monnet había influido sobre Churchill para que el primer ministro inglés lanzara

Entre los cuatro hermanos se encuentran diferentes sentimientos relacionados con el duelo que están experimentando; echar de menos a sus hermanas pequeñas, saber que no

Análisis Se observa que todos los nodos son frontera, excepto el 5, que es in- terior. Por lo tanto, se tiene que apoyar en los balances de energía para obtener las ecuaciones

Se deben extremar las precauciones cuando se administre tramadol a niños para el alivio del dolor postoperatorio y debe acompañarse de una estrecha vigilancia de los síntomas

II.- CIMENTACIONES, MUROS Y ESTRUCTURAS EN CONTACTO Micropilote Ø150. TODOS

· Si te funciona más, puedes comer sólo 3 veces al día, pero NO omitas los snacks, mueve el snack propuesto para media mañana al desayuno y el snack de media tarde para la comida

expresando con naturalidad sus sentim ientos y experiencias al ir m adurando. Una herm ana que había vivido durante varios años lejos de su hogar se vio

La velocidad instant´anea para cada movimiento en el instante N de un sensor se ha calculado como la distancia eucl´ıdea dividida por el tiempo entre muestras (∆ t ) y se calcula