EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

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(1)

GUIA APOYO EDUCATIVO

TRANSFORMADA DE LAPLACE

El método de la transformada de Laplace es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales, ya que su uso hace posible que diversas funciones sinusoidales amortiguadas y exponenciales, se puedan convertir en funciones algebraicas de una variable compleja s, y reemplazar operaciones como la diferenciación y la integración, por operaciones algebraicas en de funciones compleja equivalentes. Por tanto, una ecuación diferencial lineal se puede transformar en una ecuación algebraica de la variable compleja s. Si esa ecuación algebraica se resuelve en s para la variable dependiente, se obtiene la solución de la ecuación diferencial. Este procedimiento que implica la transformada inversa de Laplace de la variable dependiente, se realiza empleando una tabla de transformadas de Laplace, o mediante la técnica de expansión en fracciones parciales.

Es característico del método de la Transformada de Laplace, el uso de técnicas gráficas para predecir y/o analizar el funcionamiento de un sistema sin tener que resolver el sus ecuaciones diferenciales. Otra ventaja es que con este método se resuelve la ecuación diferencial obteniendo, simultáneamente, las componentes del estado transitorio y estacionario de la solución.

VARIABLE COMPLEJA s

La variable s es de tipo complejo con una componente variable real y una imaginaria: La notación empleada para s se indica en la siguiente ecuación:

s= +

σ

j

ω

Donde

σ

es la parte real y w es la parte imaginaria.

FUNCIÓN COMPLEJA F(s)

Una función complejaF s( ), tiene una parte real y una imaginaria:

8 ) x y

F s =F + jF

Donde F y x F son cantidades reales. La magnitud de y F s es ( )

2 2

x y

(2)

Y el ángulo θ de F s es ( )

1

tan x

y

F F − 

   

El ángulo se mide de derecha a izquierda a partir del semieje real positivo. El complejo conjugado de F s es ( )

( ) x y

F s =FjF

Se dice que una función compleja F s es analítica en una región, si ( ) F s y todas sus ( ) derivadas existen en esa región.

0 0

( )

( ) lim s lim s

d G s s G

G s

ds ∆ − s ∆ − s

+ ∆ ∆

= =

∆ ∆

Los puntos del plano s en los que la función F s es analítica, reciben el nombre de ( ) puntos ordinarios, mientras que los puntos del plano s en los que la función F s no es ( ) analítica, se denominan puntos singulares. A dichos puntos también se les denomina polos. Los puntos en los que la función F s es igual a cero, se denominan ceros ( )

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Primero se presenta una definición de la Transformada de Laplace; y un breve análisis de las condiciones de existencia de la transformada de Laplace.

Definimos: ( )

f t = una función de tiempo t tal que ( )f t =0 para t<0 s= una variable compleja

( )

F s = transformada de Laplace de ( )f t

L= un símbolo operacional que indica que la cantidad a la que precede debe transformarse por la integral de Laplace.

0

st

e dt

Entonces la transformada de Laplace de ( )f t está dada por

[

]

[

]

0 0

( ) ( ) st ( ) ( ) st

f t F s e dt f t f t e dt

∞ ∞

− −

= =

=

l

El proceso inverso de hallar en tiempo f t , a partir de la transformada de Laplace ( ) ( )

(3)

l−1 así

[

]

1

( ) ( ) F s f t

=

l

EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

La transformada de Laplace de una función f t existe si la integral de Laplace ( ) converge. La integral ha de converger si f t es seccionalmente continua en todo ( ) intervalo finito dentro del rango t>0 y si es de orden exponencial cuanto t tiende a infinito. Se dice que una función f t es de orden exponencial, ( ) s si existe una constante real, positiva θ tal que la función

( )

t

e−θ f t

tiende a cero cuanto t tiene a infinito. Si el limite de la función ( )

t

e−θ f t

tiende a cero para θ mayor que cθ y el límite tiene a infinito para θ menor que cθ , el valor cθ recibe el nombre de abcisa de convergencia.

Para la función

( ) t

f t = Ae−α

limt−∞e−θt Ae−αt

Tiende a cero si θ > −α. La abcisa de convergencia en este caso es θc= −α. La integral

0

( ) st f t e dt

converge solamente si θ, la parte real de s, es mayor que la abcisa de convergencia c

θ . Así hay que elegir el operador s como una constante tal que esta integral converja. En términos de los polos de la función F s , la abcisa de convergencia c( ) θ corresponde ala parte real del polo ubicado en posición más alejada hacia la derecha en el plano s. Para funciones como

(4)

la abcisa de convergencia es igual a cero. Para funciones como

ct

e

ct

teectsen tω

Y similares, la abcisa de convergencia es igual ac. Para funciones que aumentan más rápidamente que la función exponencial, sin embargo, no es posible encontrar valores adecuados de la abcisa de convergencia. Por lo tanto, funciones tales como

2

t

e 2

t

te

no tienen transformada de Laplace

Si una función f t tiene transformada de Laplace, la transformada de la función ( ) ( )

Af t , donde A es una constante, está dada por

[

Af t( )

]

=A

[

f t( )

]

l l

Esto es obvio, partiendo de la definición de transformada de Laplace. En forma similar, si las funciones

1( ) y f ( )2 f t t

tienen transformada de Laplace, la transformada de Laplace de la función

1( ) f ( )2 f t + t

está dada por

[

f t1( )+ f t2( )

] [

= f t1( )

] [

+ f t2( )

]

l l l

Nuevamente, la prueba de esta relación es evidente a partir de la definición de la transformada de Laplace.

A continuación, se determinan las transformadas de Laplace de algunas funciones habitualmente encontradas.

FUNCIÓN EXPONENCIAL

(5)

t para t 0 Ae−α

= ≥

donde A y

α

son constantes. La transformada de Laplace de esta función exponencial puede obtenerse como sigue:

como puede verse, la función exponencial produce un polo en el plano complejo.

Puede demostrarse, empleando algunos postulados de la teoría de variable compleja, que esta solución resulta válida para cualquier valor complejo de s en el cual F s es ( ) analítica, es decir, con excepción de los polos de F s ( ).

0

t t st

Aeα Ae e dtα ∞

 = =

 

l

( ) 0

s t

A e α dt

− +

=

=

A s α =

+

FUNCIÓN ESCALÓN

Sea la función: ( ) 0

f t = para t<0 ( )

f t = A para t>0

donde A es una constante. Obsérvese que se trata de un caso especial de la función exponencial

t

Ae−α

donde α =0. La función escalón queda indefinida en t =0. Su transformada de Laplace está dada por la expresión siguiente, la transformada obtenida, es válida en todo el plano s excepto en el polo s=0.

[ ]

0

st A

A Ae dt s

=

=

l

La función escalón cuya altura es la unidad, recibe el nombre de función escalón unitario. La función escalón unitario que se produce en t=to, se denota a menudo como

0 0

( ) o 1(t-t ) u tt

La función escalón de altura A , también se puede escribir como ( ) 1( )

(6)

La transformada de Laplace de la función escalón unitario, definida como 1( )t =0 para t<0

1( ) 1t = para t>0 es

1 s o

[ ]

1( )t 1 s = l

Físicamente, una función escalón producida en t=0 corresponde a una señal constante aplicada súbitamente al sistema en el instante en que el tiempo t es igual a cero.

FUNCIÓN RAMPA

Sea la función rampa siguiente: ( ) 0

f t = para t<0

( )

f t = At para t≥0

donde A es una constante. La transformada de Laplace de esta función rampa, resulta dada por

[ ]

0

st

At Ate dt

=

=

l

0 0

st st

e Ae

At dt

s s

− −

= −

0

st

A

e dt s

∞ −

=

=

A2 s =

FUNCIÓN SINUSOIDAL

La transformada de Laplace de la función sinusoidal ( ) 0

f t = para t

( ) 0

f t = Asen tω para t≥0

(7)

1

( )

2

j t jomagat

sen t e e

j ω

ω =

por lo tanto

[

]

0

( )

2

j t j t st

A

Asen t e e e dt

j

ω ω

ω

=

l

1 1

2 2

A A

j s j

ω

j s j

ω

= − =

− +

2 2

A s

ω

ω

= +

En forma similar, la transformada de Laplace de A cos wt se puede obtener de la siguiente forma:

[

cos

]

2 2

As

A t

s

ω

ω

= + l

La transformada de cualquier función f t transformable de Laplace, se puede obtener ( ) fácilmente multiplicando f t por ( ) est e integrando el producto desde t=0 hasta

.

t= ∞ Una vez conocido el método para obtener la transformada de Laplace, no es necesario derivar la transformada de Laplace de ( )f t cada vez.

TRASLACIÓN DE UNA FUNCIÓN

Se requiere obtener la transformada de Laplace de una función trasladada.

( )1( )

f t

α

t

α

donde

α ≥0

esta función es cero para t<

α

.

Por definición, la transformada de Laplace de

( )1( )

f t

α

t

α

es

[

0

( )1( ) ( )1( ) st

f t

α

t

α

f t

α

t

α

e dt

− − =

− −

l

cambiando la variable independiente de a

t

τ

donde

t

τ

= −

α

se obtiene

( )

0 0

( ) st ( )1( ) s

f t

α

e dt f

τ τ

e τ α dt

∞ ∞

− − +

− =

(8)

0

( ) st s f

τ

e e α d

τ

− − =

0 ( )

s st

eα f

τ

e d

τ

=

=

s ( ) e F sα =

donde

[

]

0

( ) ( ) ( ) st

F s f t f t e dt

=l =

y entonces

0

( )1( ) s ( )

f t t e α F s

α

α

α

=

 

 

l

Esta última ecuación establece que la traslación de la función f t( )1( )t por

α

(donde 0

α ≥ ) corresponde a la multiplicación de la transformada 6 ( )

s

e

F s α

− por

FUNCIÓN PULSO

Sea la función pulso siguiente:

0 ( ) A f t

t

= para 0< <t t0

( ) 0

f t = para t<0, t0 <t donde A y t son constantes. 0

La función pulso se puede considerar como una función escalón de altura A t que / 0 comienza al tiempo t=0 y a la que se superpone una función escalón negativa de altura

0 /

A t que comienza al tiempo t=t0, es decir,

0

0 0

( ) A1( ) A1( )

f t t t t

t t

= − −

Entonces se obtiene la transformada de Laplace de ( )f t comoo

[ ]

0

0 0

( )t A1( )t A1(t t )

t t

   

=  −  − =

   

l l l

0

0 0

st

A A

e t s t s

(9)

0

0

(1 st ) A

e t s

= −

FUNCIÓN IMPULSO

La función impulso es un caso especial limitativo de la función pulso. Sea la función impulso

0 0 0 ( ) limt A f t

t

= para 0< <t t0

( )f t =0 para t<0, t0 <t

Como la altura de la función impulso es A t y la duración es / 0 t , el área cubierta bajo 0 el impulso es igual a A . A medida que la duración t tiende a cero, la altura 0 A t / 0 tiende a infinito, pero el área cubierta por el impulso permanece igual a A . Nótese que la magnitud de un impulso viene dada por su área.

La transformada de Laplace de esta función impulso resulta ser:

[

]

0

0 0 0

( ) limt A (1 st )

f t e

t s − −

 

=  − 

 

l

0

0 0 0

0 0

(1 )

lim

( )

st

t

d

A e

dt As

A

d s

t s dt

 

= = =

Por lo tanto la transformada de Laplace de una función impulso es igual al área bajo el impulso.

La función impulso cuya área es igual a la unidad, recibe el nombre de impulso unitario o Delta de Dirac. La función impulso unitario que se produce en el tiempo t =t0 se designa generalmente por

0 (t t )

δ

y satisface las siguientes condiciones:

0 (t t ) 0

δ

− = para tt0 0

(t t )

δ

− para t=t0

0 0

(t t dt) 1

δ

− =

(10)

Es preciso señalar que un impulso que tiene una magnitud infinita y duración cero es una fracción matemática, y no ocurre en sistemas físicos. Sin embargo, si la magnitud del impulso de entrada a un sistema es muy grande, y su duración es muy breve en comparación con las constantes de tiempo del sistema, el impulso de entrada se puede aproximar por una función impulso.

El concepto de función impulsiva resulta muy útil al diferenciar funciones discontinuas. La función impulso unitario

δ

(tt0) puede considerarse como la derivada de la función escalón unitario 1(tt0) en el punto de discontinuidad t=t0, o

0 0

(t t ) d1(t t ) dt

δ

− = −

Inversamente, si se integra la función impulso unitario

δ

(tt0), el resultado de la función escalón unitario 1(t=t0). Con el concepto de la función impulsiva se puede diferenciar una función que contenga discontinuidades, dando impulsos cuyas magnitudes son iguales a las de la discontinuidad correspondiente.

MULTIPLICACIÓN DE ( )f t

Si la función f t es transformable por Laplace, y esa transformada es ( ) F s , la ( ) transformada de

( )

t

e−α f t

se puede obtener del siguiente modo:

0

( ) ( )

t t st

e α f t e α f t e dt

− − −

 = =

 

l

=F s( +

α

) Puede verse que la multiplicación de

( ) f t por

t

e−α

tiene el efecto de reemplazar s por (s+

α

) en la transformada de Laplace. Inversamente, reemplazar s por (s+

α

) es equivalente a multiplicar.

( ) f t por

t

(11)

Nótese que

α

puede ser real o compleja.

La relación dada es útil para hallar la transformada de Laplace en funciones como

t

e−α sen t

ω

y

cos

t

e−α

ω

t

TEOREMA DE DIFERENCIACIÓN REAL

La transformada de Laplace de la derivada de una función ( )f t está dada por:

( ) ( ) (0)

d

f t sF s f dt

 

= −

 

 

l

donde (0)f es el valor inicial de ( )f t evaluada en t=0.

Para una función f t dada los valores de ( ) f(0 )+ y f(0 )− pueden ser iguales o diferentes. La distinción entre f(0 )+ y f(0 )− es importante cuando f t tiene una ( ) discontinuidad en t=0 porque en ese caso df t( ) /dt comprende una función impulsiva en t=0. Si

(0 ) (0 ) f + ≠ f

La ecuación quedaría:

( ) ( ) ( )

d

f t sF s f o dt

 

= − +

 

 

l

( ) ( ) ( )

d

f t sF s f o dt

 

= − −

 

 

l

Para probar el teorema de diferenciación real, se procede como sigue. Integrando la integral de Laplace por partes, se tiene

0

0 0

( ) ( ) ( )

st st

st e d e

f t e dt f t f t dt

s dt s

∞ − ∞ −

=  

 

−   −

por tanto

(0) 1

( ) f d ( )

F s f t

s s dt

 

= +

 

(12)

de ahí sigue que

( ) ( ) (0)

d

f t sF s f dt

 

= −

 

 

l

En forma similar, se obtiene la siguiente relación para la segunda derivada de ( )f t : 2

2

2 ( ) ( ) (0) (0)

d

d t s F s sf f dt

 

= − −

 

 

l

donde f(0) es el valor de df t( ) /dt evaluado como t=0. Para deducir esta ecuación, se define:

( ) ( ) d

f t g t

dt =

entonces

[ ]

2

2 ( ) ( ) ( ) (0)

d d

f t g t s g t g

dt dt

 

= = −

  

 

l l l

s d f t( ) f(0) dt

 

=

 

l

=s F s2 ( )−sf(0)− f(0)

En forma similar, para n-ésima derivada de ( )f t , se obtiene

.1 2

( ) ( ) (0) (0) .... (0) (0)

n

n n n

n

d

f t s F s s f s f sf f dt

 

= − − − − −

 

 

l

TEOREMA DEL VALOR FINAL

El teorema del valor final relaciona el comportamiento en estado estacionario de f t ( ) con el de sF s en la vecindad ( ) s=0. Sin embargo, el teorema se aplica si, y solamente si, existe

limt−∞ f t( )

(lo que significa que f t asume finalmente un valor definido cuanto t ). Si todos ( ) los polos de sF s quedan en el semiplano izquierdo del plano ( ) s, existe el

(13)

Pero si sF s tiene polos sobre el eje imaginario o en el semiplano positivo del plano( ) s, ( )

f t contendrá funciones oscilatoria o exponencialmente creciente en el tiempo, respectivamente, y el

limt−∞ f t( ) no existirá.

En tales casos, no se aplica el teorema del valor final.

El teorema del valor final puede enunciarse como sigue. Si f t y ( ) df t( ) / ( )d t son transformables por Laplace, si F s es la transformada de Laplace de ( )( ) f t y si existe

limt−∞ f t( ) entonces

0 ( ) lim ( ) lim ( )

t s

f f t sF s

−∞ −

∞ = =

El teorema del valor final establece que el comportamiento de f t en estado ( ) estacionario, es igual al de sF s en la vecindad de ( ) s=0. Así, el valor de f t en t ( ) igual a infinito se puede obtener directamente de F s . ( )

TEOREMA DEL VALOR INICIAL

El teorema del valor inicial es la contraparte del teorema del valor final. Utilizando este teorema se puede hallar el valor de f t en ( ) t= +0 directamente de la transformada de Laplace de f t . El teorema del valor inicial no da el valor de ( ) f t exactamente en ( )

0

t= , sino en un tiempo ligeramente mayor que cero.

El valor inicial puede presentarse como sigue: si f t y ( ) df t( ) /dt son transformadas por Laplace, y si existe el

lims−∞sF s( ) entonces

(0 ) lim ( )

s

f sF s

−∞ + =

(14)

el dominio del tiempo, sin tener que transformar de nuevo las funciones en s a funciones del tiempo

TEOREMA DE INTEGRACIÓN REAL

Si f t es de orden exponencial, entonces existe la transformada de ( ) f t y esta dada ( ) por

1

( ) (0)

( ) F s f

f t dt

s s

 = +

l

donde

[

]

( ) ( )

F s =l f t

y 1

(0) ( )

f− =

f t dt

evaluada en t=0. Como vemos, la integración en el dominio del tiempo se convierte en división en el dominio de s. Si el valor inicial de la integral es cero, la transformada de Laplace de la integral de ( )f t queda dada por F s( ) /s .

El teorema de integración real dado por la ecuación se puede modificar levemente, para afrontar el caso de la integral definida.

de f t . Si ( ) f t es de orden exponencial, la transformada de Laplace de la integral ( ) definida

0 ( )

t

f t

queda dada por donde

0

( ) ( )

t

F s f t dt

s

 

=

 

l

[

]

( ) ( )

F s =l f t

(15)

TEOREMA DE DIFERENCIACIÓN COMPLEJA

Si ( )f t es transformable por Laplace, entonces, excepto en los polos de F s , ( )

[

tf t( )

]

d F s( )

ds

l

donde

[

]

( ) ( )

F s =l f t

Esto se denomina teorema de diferenciación compleja. También 2

2

2

( ) d ( )

t f t F s

ds  = −

 

l

En general,

( ) ( 1) ( )

n

n n

n

d

t f t F s

ds

 = −

 

l

(n=1, 2, 3,...)

INTEGRACIÓN DE CONVOLUCIÓN

Considere la transformada de Laplace de

1 2

0

( ) ( )

t

f t

τ

f

τ τ

d

Esta integral a menudo se expresa como

1( ) * 2( ) f t f t

La operación matemática anterior se denomina convolución. Nótese que si se coloca =

t− , entonces

0

1 2 1 2

0

( ) ( ) ( ) ( )

t

t

f t

τ

f

τ τ

d = − f

ξ

f t

ξ ξ

d

1 2

0

( ) ( )

t

f

τ

f t

τ τ

d

=

(16)

1 2 1 2 0

( ) * ( ) ( ) ( )

t

f t f t =

f t

τ

f

τ τ

d

1 2 0

( ) ( )

t

f

τ

f t

τ τ

d

=

= f t2( ) *f t1( )

Si f t y 2( ) f t son continuas por segmentos y de orden exponencial, la transformada 2( ) de Laplace de

1 2

0

( ) ( )

t

f t

τ

f

τ τ

d

puede obtenerse como sigue:

1 2 1 2

0

( ) ( ) ( ) ( )

t

f t

τ

f

τ τ

d F s F s

 

− =

 

l

donde

[

]

1 1 1

0

( ) ( ) st ( )

F s f t e dt f t

=

=l

[

]

2 2 2

0

( ) ( ) st ( )

F s f t e dt f t

=

=l

1 2 1 2

0 0

( ) ( ) (/ )1( ) ( )

t

f t

τ

f

τ τ

d f t

τ

t

τ

f

τ τ

d

− = − −

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

El proceso matemático de pasar de la expresión en variable compleja a la expresión en función del tiempo, se denomina transformación inversa. Como notación para la transformación inversa, se utiliza

1 , − l

de modo que

[

]

1

( ) ( ) F s f t

=

l

(17)

1

( ) ( )

2

c j

st c j

f t F s e ds

j

π

+ ∞

− ∞

=

(t >0)

donde c, la abcisa de convergencia, es una constante real elegida mayor que las partes reales de todos los puntos singulares de F s . Así, el camino de integración es paralelo ( ) al eje jw y esta desplazado del mismo una distancia c. Este camino de integración esta a la derecha de todos los puntos singulares.

Afortunadamente, para hallar f t a partir de ( ) F s hay procedimientos más simples ( ) que efectuar esta integración directamente. Un modo conveniente es utilizar una tabla de transformadas de Laplace. En este caso, en la tabla la transformada de Laplace debe aparecer en forma inmediatamente reconocible. Frecuentemente la función buscada puede no aparecer en las tablas de transformadas de Laplace. Si no se encuentra en la tabla una transformada F s determinada, se puede desarrollar en fracciones parciales, ( ) y escribir F s en términos de funciones simples de ( ) s, para las cuales se conocen las transformadas inversas de Laplace.

Nótese que estos métodos simples para hallar transformadas inversas de Laplace, se basan en el hecho de que la correspondencia única entre una función del tiempo y su transformada Laplace inversa, se mantiene para cualquier función del tiempo que sea continua.

MÉTODO DE EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES PARA HALLAR TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACE.

( )

F s , la transformada de Laplace de ( )f t , frecuentemente es de la forma

( ) ( )

( ) B S F s

A s =

donde ( ) B(s)A s y son polinomios en s, y el grado de ( )B S es menor que el de ( )A s . Si ( )F s se descompone en sus componentes

1 2

( ) ( ) ( ) .... n( ) F S =F s +F s + +F s

y si las transformadas inversas de Laplace de la segunda parte de la igualdad son obtenidas fácilmente, entonces

[

]

[

]

[

]

[

]

1 1 1 1

1 2

( ) ( ) ( ) ... n( )

F s F s F s F s

=++ +

l l l l

(18)

La transformada inversa de Laplace así obtenida F s , es única, excepto posiblemente ( ) en puntos donde la función de tiempo es discontinua.

La ventaja del procedimiento de expansión es que los términos individuales son funciones muy simples, en consecuencia, no es necesario recurrir a una tabla de transformadas de Laplace, si se memorizan algunos pares de transformadas simples. Conviene señalar, sin embargo, que al aplicar la técnica de expansionó en fracciones parciales en búsqueda de la transformada inversa de Laplace, deben conocerse previamente las raíces del polinomio denominador ( )A s :

En la expansionó F s( )=B s( ) / ( )A s en forma de fracciones parciales, es importante que la potencia más elevada de s en ( )A s sea mayor que la potencia de s en ( )B s . Si ese no es el caso, el numerador B s debe dividirse entre el denominador ( ) A s para ( ) producir un polinomio en s más un resto (una relación de polinomios en s cuyo numerador sea grado menor que el del denominador).

EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES CUANDO F s( ) CONTIENE ÚNICAMENTE POLOS DISTINTOS.

Sea F s escrita en su forma factorizada. ( )

1 2

1 2

( )( )....( )

( )

( ) (m<n)

( ) ( )( )....( )

m n

K s z s z s z B s

F s

A s s p s p s p

+ + +

= =

+ + +

Donde los factores p y z son cantidades reales o complejas, pero para cada complejo 1

p , o zi, debe aparecer el respectivo conjugado. Si F s( ) contiene solamente polos distintos, puede expandirse en una suma de fracciones parciales simples, es decir:

1 2

1 2

( )

( ) ...

( )

n n

a

a a

B s F s

A s s p s p s p

= = + + +

+ + +

donde ak (k=1, 2,...,n) son constantes. El coeficiente ak se denomina residuo en el

polo de s= -pk. El valor de ak puede hallarse multiplicando ambos miembros de la

ecuación por (s+ pk) y haciendo s= -pk, lo que da

Como puede verse, todos los términos expandidos desaparecen, excepto a. Entonces se halla que el residuo es

1 2

1 2

( )

( ) ( ) ( )

( ) k

k k k

s p

a a

B s

s p s p s p

A s = s p s p

 

+ = + + +

  + +

  

... ( ) ... ( )

k

k n

k k

k n s p

a a

s p s p

s p s p =

+ + + + + + 

+ + 

(19)

( ) ( ) ( )

k

k k

s p

B s

a s p

A s =

 

= + 

 

Nótese que, como f t( ) es una función real del tiempo, si p1 y p2 son complejos conjugados, los residuos a1 y a2 también son complejos conjugados, por lo que solo uno de los dos debe evaluarse, ya que el otro se conoce automáticamente.

Como

1 k p tk

k k

a

a e s p

− −  =

 

+

 

l

se obtiene ( )f t como

[

]

1 2

1

1 2

( ) ( ) p t p t ... p tn (t 0)

n

f t =l− F s =a e− +a e− + +a e− ≥

EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES CUANDO F s( ) TIENE POLOS MÚLTIPLES

En lugar de tratar el caso general, se utiliza un ejemplo para mostrar como obtener la expansión en fracciones parciales de F s( ).

Sea la siguiente F s( ): 2

3

2 3

( )

( 1) s s F s

s

+ + =

+

La expansión en fracciones parciales de esta F s( ) cubre tres términos

3 2 1

3 2

( ) ( )

( ) ( 1) ( 1) 1

b b b

B s F s

A s s s s

= = + +

+ + +

donde b3, b y b2 1 se determinan como sigue. Multiplicando ambos miembros de esta última ecuación por (s+1) 3∧ , se obtiene

3 2

3 2 1

( )

( 1) ( 1) ( 1)

( ) B s

s b b s b s

A s

+ = + + + +

Haciendo entones s= −1, la ecuación anterior da 3

3 1 ( ) ( 1)

( ) s B s

s b

A s =−

 

+ =

 

 

(20)

3

2 1

( )

( 1) 2 ( 1)

( )

d B s

s b b s

ds A s

 

+ + +

 

 

Si se hace s= −1, en la ecuación anterior, entonces

3

2 1 ( ) ( 1)

( ) s

d B s

s b

ds A s =−

 

+ =

 

 

Diferenciando ahora ambos miembros de la ecuación respecto a s, el resultado es 2

3

1 2

( )

( 1) 2

( )

d B s

s b

ds A s

 

+ =

 

 

Del análisis precedente se puede ver que los valores b1, b y b2 3 puede determinarse sistemáticamente del siguiente método:

3 3

1 ( ) ( 1)

( ) s B s

b s

A s =−

 

= + 

 

=(s2+2s+3)s=−1

3 2

1 ( )

(( 1) )

( ) s

d B s

b s

ds A s =−

 

= + 

 

2

1

( 2 3)

s d s s ds =−   = + +  

=(2s+2)s=−1 =0 2

3

1 2 1

1 ( )

( ( 1) )

2! ( ) s

d B s

b s

ds A s =−

  =  +    2 2 2 1 1

( 2 3)

2! s d s s ds =−   =  + +   

1(2) 1 2

(21)

Así, se obtiene

[

]

.1

( ) ( )

f t =l F s

1 1 1

3 2

2 0 1

(s 1) (s 1) s 1

−   −   −   =  + +  + +  +

   

l l l

=t e2 −t + +0 et =(t2+1)et (t≥0)

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES EN EL TIEMPO

En esta sección se utiliza el método de la transformada de Laplace para solucionar ecuaciones diferenciales lineales, invariantes en el tiempo.

El método de la transformada de Laplace brinda la solución completa (la solución particular, más la complementaria) de las ecuaciones diferenciales ordinarias invariantes en el tiempo. Los métodos clásicos para hallar la solución completa de una ecuación diferencial requieren evaluar las constantes de integración a partir de las condiciones iniciales. En el caso de la transformada de Laplace, no es necesario calcular las constantes de integración a partir de las condiciones iniciales, ya que estas quedan incluidas automáticamente en la transformada de Laplace de la ecuación diferencial. Si todas las condiciones iniciales son cero, la transformada de Laplace de la ecuación diferencial, se obtiene substituyendo simplemente d dt/ por , d 2 /sdt∧2 por s∧2, etc. Al resolver ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo, por el método de la transformada de Laplace, se deben efectuar dos pasos.

1. tomando la transformada de Laplace de cada término en la ecuación diferencial dada, convierte la ecuación diferencial en una ecuación algebraica en s, y reordenando la ecuación algebraica, obtener la expresión de la transformada de Laplace de la variable dependiente.

2. La solución temporal de la ecuación diferencial se obtiene, hallando la transformada inversa de Laplace de la variable dependiente.

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

En análisis de sistemas se utilizan frecuentemente funciones denominadas funciones de transferencia, para caracterizar las relaciones de entrada-salida de componentes o sistemas que pueden describirse por ecuaciones diferenciales lineales, invariantes en el tiempo.

(22)

(función respuesta_) y la transformada de Laplace de la entrada (función excitación), bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero.

Sea el sistema lineal invariante en el tiempo definido por las siguientes ecuaciones diferenciales:

a y0 +a y1 + +.... an1y+a yn

0 1 .... m1 m (n m)

b x b x b x b x

= + + + + ≥

Donde y es la salida del sistema y x es la entrada. La función de transferencia de este sistema se obtiene, tomando las transformadas de Laplace de ambos miembros de la ecuación anterior, bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero, o sea

Función de transferencia

[

]

[

]

sin

( ) salida condicione icialescero G s

salida

= =l

l

1

0 1 1

1

0 1 1

... ( )

( ) ....

m m

m m

n n

n n

b s b s b s b

Y s

X s a s a s a s a

− −

+ + + +

= =

+ + + +

Utilizando este concepto de función de transferencia, se puede representar la dinámica de un sistema por ecuaciones algebraicas en s. Si la potencia más alta de s en el denominador de la función transferencia es igual a n, se dice que el sistema es de orden

n.

COMENTARIOS SOBRE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

La aplicación del concepto de función transferencial queda limitada a sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, invariantes en el tiempo. No obstante, el procedimiento de función transferencia es de uso extensivo en el análisis y diseño de tales sistemas. A continuación, se listan importantes comentarios sobre la función de transferencia.

1. La función de transferencia de un sistema es un modelo matemático en el sentido de que es un método operacional de expresar la ecuación diferencial que relaciona la variable salida con la variable de entrada.

2. La función de transferencia es una propiedad de un sistema en si, independiente de la magnitud y naturaleza de la entrada o función impulsora.

3. La función de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con la salida; no obstante, no brinda ninguna información respecto a la estructura física del sistema (Las funciones de transferencia de muchos sistemas físicamente distintos pueden ser idénticas).

4. Si se conoce la función de transferencia de un sistema, se puede estudiar la salida o respuesta para diversas formas de entradas con el objetivo de lograr una compresión de la naturaleza del sistema.

(23)

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