Billares y superficies planas

Ferr´

an Valdez

Centro de Ciencias Matem´

aticas, UNAM

www.matmor.unam.mx/~ferran/

´

_{Indice general}

Introducci´on 1

1. Billares poligonales 3

1.1. Motivaci´on: el problema de las ´orbitas peri´odicas . . . 4

1.2. La construcci´on de Katok-Zemljakov. . . 7

1.3. Geod´esicas en la superficieSP . . . 9

1.4. Singularidades y topolog´ıa de la superficie SP . . . 10

1.4.1. Caso racional . . . 11

1.4.2. Caso irracional . . . 13

2. Superficies planas y grupos de Veech. 17 2.0.3. Superficies planas: punto de vista euclidiano. . . 17

2.0.4. Superficies planas: punto de vista anal´ıtico . . . 20

2.0.5. Conexiones de silla y vectores de holonom´ıa. . . 23

2.0.6. Difeomorfismos afines y el grupo de Veech. . . 24

3. La dicotom´ıa de Veech 33 3.1. Rudimentos de geometr´ıa hiperb´olica . . . 33

3.2. Acci´on del grupo de Veech sobreH. . . 37

3.3. Dicotom´ıa de Veech: el caso del toro . . . 40

3.4. Dicotom´ıa de Veech: enunciado general . . . 41

Introducci´

on

Estas son las notas para el curso Flat surfaces and polygonal billiards que se imparti´o en la III Escola Brasileira de Sistemas Dinˆamicos del 20 al 24 de octubre de 2014 en Bento Goncalves, Rio Grande do Sul, Brasil. Esta obra est´a bajo la licencia Creative Commons CC BY 4.0 1.

En este curso estudiaremos primero el juego de billar en un mesa con for-ma de pol´ıgono. El ejemplo fundamental es el billar en el cuadrado. Veremos que la din´amica de las trayectorias de una bola de billar en un cuadrado satisface la siguiente dicotom´ıa: para una direcci´on fija o bien toda trayectoria es peri´odica o bien se distribuyen en la mesa de manera uniforme. En este sentido, diremos que el billar en el cuadrado tienepropiedades din´amicas ´optimas.

Un problema natural es determinar en cu´ales mesas de billar tenemos una di-cotom´ıa similar. El objetivo principal de este curso es llegar a entender un resultado cl´asico de Veech que nos da una condici´on suficiente para que el la din´amica de un billar poligonal sea ´optima.

Teorema 1. [Vee89] Sea S una superficie plana tal que su grupo de Veech Γ(S) es una ret´ıcula. Entonces para cada direcci´onθ ∈R/2πZel flujo geod´esicogt_θ es o bien peri´odico o bien ´unicamente erg´odico con respecto a la medida de Lebesgue µ.

Como veremos m´as adelante, este teorema generaliza un resultado cl´asico sobre la din´amica de geod´esicas en un toro plano (atribuido a Weyl, pero probablemente conocido desde mucho antes). Es de notar que la palabra billar no aparece en el enunciado del teorema de Veech. Esto se debe a que para estudiar la din´amica del billar en realidad lo que se analiza es el flujo geod´esico en una superficie plana

asociada a la mesa de billar.

C´omo leer este texto. Despu´es de dar una motivaci´on para el estudio de los billares, en el cap´ıtulo§1 explicaremos con calma c´omo asociar a cualquier pol´ıgono

P una superficie S(P) con una m´etrica “plana”. En el cap´ıtulo §2 estudiaremos las superficies planas en general y susinvariantes afines. El invariante af´ın que nos

1_{Para m´as detalles ver}

creativecommons.org/licenses/by/4.0/

interesa m´as es el llamadogrupo de Veech. ´Este est´a formado por las diferenciales de difeomorfismos afines de una superficie plana fija y es, para el caso que nos interesa, un subgrupo discreto (Fuchsiano) de SL(2,R). Por tanto, el grupo de Veech act´ua por transformaciones de M¨obius sobre el plano hiperb´olicoH2. Esta acci´on as´ı como la prueba del enunciado del teorema de Veech conforman el contenido del cap´ıtulo

Cap´ıtulo 1

Billares poligonales

A lo largo de este texto, unbillar ser´a un sistema din´amico compuesto de tres ingredientes: una bola, una mesa y una ley de reflexi´on. En este curso nos concen-traremos en estudiar billares donde los ingredientes tienen los siguientes “sabores”:

1. La mesa es la cerradura de un abierto conexo del espacio euclidiano R2 _cuya

frontera es una l´ınea poligonal.

2. La bola es una masa puntual que se desplaza en l´ınea recta (i.e. a lo largo de un segmento de geod´esica) a velocidad constante.

3. La colisi´on de la bola con la parte suave de la mesa es perfectamente el´astica y el momento tangencial se preserva.

El primero de los sabores nos dice que la mesa tiene forma de pol´ıgono, en un sentido amplio. El segundo es otra manera de decir que la bolano experimenta fricci´on con la mesa, ergo una vez que comienza a moverse no se detiene a menos que encuentre una parte no suave de la frontera de la mesa, en cuyo caso convenimos que el movi-miento de ´esta se detiene, como si hubiera un agujero infinitesimal. El ´ultimo implica la llamadaley de reflexi´on de Descartes que nos dice queel ´angulo de incidencia de la trayectoria es igual al ´angulo de reflexi´on despu´es de la colisi´on.

Ejercicio 1. Demuestra la ley de reflexi´on de Descartes a partir de suponer que la colisi´on de la bola con la parte suave de la mesa es perfectamente el´astica y el momento tangencial se preserva.

Ejercicio 2. Intenta definir un billar para mesas en R3 _{que sea lo m´as parecido en}

su definici´on a la que acabamos de dar. ¿Podr´ıas hacerlo lo mismo para mesas en

Rn?

Nota. Los sabores de los tres ingredientes que hemos escogido pueden variar y esto produce otros tipos de billares que no consideraremos en este texto. Por ejemplo, puede suponerse que la bola no es un punto y tomar en cuenta su momento angular y fricci´on con la mesa. La mesa puede ser un pol´ıgono del plano hiperb´olico y la bola desplazarse siguiendo segmentos de geod´esicas hiperb´olicas. O bien, podemos pensar que el ´angulo de reflexi´on de la trayectoria de la bola al chocar con la mesa es funci´on del ´angulo de incidencia (distinta de la identidad).

Definici´on 1. A todo punto de de la frontera de la mesa de billar que no sea suave lo llamaremos una buchaca1_{. Consideremos el billar en una mesa T ⊂ R}2_.

Una trayectoria de billar que comience en un punto p ∈ T con una velocidad v se dice peri´odica si despu´es de un n´umero finito de rebotes la bola regresa al punto p

con la misma velocidad. Una trayectoria cuyo inicio y fin es una buchaca se llama

diagonal generalizada o trayectoria peri´odica singular. Lalongitud combinatoria de una trayectoria peri´odica corresponde al n´umero de rebotes que la bola hace con∂T

antes de regresar a su posici´on original.

En particular, toda trayectoria de billar regresa al punto donde comenz´o con la misma direcci´on con la que sali´o.

Ejercicio 3. Determina todos las posibles longitudes combinatorias de una trayecto-ria de billar en un cuadrado y en un tri´angulo equil´atero. ¿Notas alguna diferencia?

Ejercicio 4. ¿Existe alguna mesa poligonal que no tenga trayectorias peri´odicas de periodo dos? ¿Existe alguna mesa que tenga trayectorias peri´odicas de todos los posibles periodos?

1.1.

Motivaci´

on: el problema de las ´

orbitas

pe-ri´

odicas

Sin duda, una de las conjeturas m´as famosas en la teor´ıa de billares poligonales es la siguiente:

Conjetura 1. Todo billar triangular tiene una ´orbita peri´odica

Seg´un R.E. Schwarz [Sch09], esta conjetura tiene por lo menos dos siglos. En los p´arrafos que siguen trataremos de dar sustento a esta conjetura procediendo de manera sistem´atica.

´

Orbitas peri´odicas en tri´angulos agudos. Todo billar en un tri´angulo agudo

1.1. MOTIVACI ´ON: EL PROBLEMA DE LAS ´ORBITAS PERI ´ODICAS 5 tiene al menos una ´orbita peri´odica. Este resultado se le debe al conde Fagnano y data de 1775. Originalmente, Fagnano lo prob´o cuando trato de resolver el si-guiente problema variacional: encontrar en un tri´angulo agudo, el tri´angulo inscrito (no degenerado) de menor per´ımetro. La ´orbita peri´odica en cuesti´on es el llamado

tri´angulo pedal o tri´angulo ´ortico, que es el que se obtiene al unir los pies de las alturas. M´as precisamente, si el tri´angulo agudo “original” es 4ABC, entonces el tri´angulo ´ortico ser´a 4P QR como se muestra en la siguiente figura:

A

Q

C P

R

B

El tri´angulo ´ortico.

Ejercicio 5. Da una prueba elemental de que el tri´angulo ´ortico de un tri´angulo agudo es una ´orbita peri´odica del billar. (En clase veremos una parte de la prueba).

Ejercicio 6. Demuestra si ponemos la bola de billar suficientemente cerca de uno de los lados de tri´angulo ´ortico y le pegamos con una direcci´on paralela a dicho lado entonces obtendremos tambi´en una trayectoria peri´odica. ¿Puedes calcular su longitud combinatoria?

Dicho de otra manera, la ´orbita peri´odica del billar definido por el tri´angulo ´

ortico pertenece a una familia de ´orbitas peri´odicas paralelas.

Ejercicio 7. ¿Hasta donde puedes extender la familia de trayectorias peri´odicas que define el tr´ıangulo ´ortico de un tri´angulo agudo? ¿Podr´ıas cubrir toda la mesa?

´

Orbitas peri´odicas en tri´angulos rect´angulos. Al viajar del mundo de los tri´angulos agudos a los rect´angulos, el tri´angulo ´ortico no sobrevive y degenera en una altura. Sin embargo sus hermanitas paralelas s´ı sobreviven, como pedimos probar en el siguente ejercicio.

A

B

C _h

Una ´orbita peri´odica en el tri´angulo rect´angulo y una altura.

Ejercicio 9. ¿Define el tri´angulo ´ortico de un tri´angulo obtuso una trayectoria pe-ri´odica del billar? ¿Qu´e tal una trayectoria paralela a uno de los lados del tri´angulo ´

ortico?

´

Orbitas peri´odicas en tri´angulos obtusos. El tri´angulo ´ortico de un tri´angulo obtuso est´a fuera de la mesa y por tanto el truco que funcionaba en los dos casos anteriores no funciona en este. Buscar trayectorias peri´odicas paralelas al tri´angulo ´

ortico de un tri´angulo obtuso tampoco funciona.

Proposici´on 1 ([Vor92]). Para todo n ∈ N existe un tri´angulo obtuso 4(n) en donde toda trayectoria peri´odica tiene longitud combinatoria al menos n.

Ejemplos expl´ıcitos de ´orbitas peri´odicas en algunas familias de tri´angulos obtusos han sido construidas por G.A. Vorobets [Vor92]. Usando el programa Mc-Billiards, R.E. Schwartz pudo probar el siguiente

Teorema 2. [Sch09] Todo tri´angulo cuyo ´angulo obtuso es menor a 100 grados posee una ´orbita peri´odica.

Llamemos a un pol´ıgono racional si todos sus ´angulos interiores son de la forma p_qπ, es decir, m´ultiplos racionales de π. Un pol´ıgono que no sea racional lo llamaremos irracional. El siguiente teorema de H. Masur implica la existencia un conjunto denso de medida cero en el espacio de tri´angulos formado por tri´angulos que admiten ´orbitas peri´odicas.

1.2. LA CONSTRUCCI ´ON DE KATOK-ZEMLJAKOV. 7 Este resultado es puramente existencial, es decir, no muestra la manera c´omo se construyen dichas ´orbitas peri´odicas. En resumen: a grosso modo la conjetura sigue abierta para todo tri´angulo obtuso irracional cuyo ´angulo obtuso mide m´as de 100 grados.

En la siguiente secci´on abordaremos una idea central: el estudio de la din´amica de los billares se puede traducir en el estudio de la din´amica de un flujo geod´esico en una superficie “plana” asociada a la mesa de billar. ´Esta idea permite contextua-lizar el problema de las ´orbitas peri´odicas, al menos para pol´ıgonos racionales, en el mundo de la geometr´ıa compleja y los espacios de Teichmueller. Es en este ´ultimo contexto donde la prueba del teorema de Masur tiene lugar.2

1.2.

La construcci´

on de Katok-Zemljakov.

En esta secci´on presentamos una construcci´on que asocia a cada billar poli-gonal P una superficie “plana” SP. Como veremos m´as adelante, el estudio de las

trayectorias de billar es equivalente al estudio de las geod´esicas en S(P).

La construcci´on que presentamos ha sido atribu´ıda en repetidas ocasiones a Katok y Zemljakov [Zem75], sin embargo las ideas en que ´esta est´a basada pueden encontrarse en los trabajos de los a˜nos 30 del siglo XX de Fox y Kerschner [Fox36]. Tomemos P un pol´ıgono euclidiano de lados {e1, . . . , en} y ´angulos interiores

{α1,· · · , αn}. Sea σi la reflexi´on del plano con respecto a la recta que contiene

al lado ei. Definimos H < Isom(R2) como el grupo generado por las isometr´ıas

del plano {σ1, . . . , σn}. La multiplicaci´on dentro de H se realiza por la izquierda.

Consideremos la familia de copias deP:

(1.1) P := G

h∈H

P ×h

SobreP definimos dos identificaciones de manera intuitiva:

1. Consideremos P ×h y P ×h0 y supongamos que hσi = h0 para alguna i =

i, . . . , n. Entonces identificamos P ×h y P ×h0 a lo largo del i-´esimo lado de

P de manera que se preserve la orientaci´on de ´este.

2. ConsideremosP ×h yP ×h0 y supongamos queh0h−1 _{es una translaci´on.}

En-tonces identificamos P×h puntualmente conP×h0 usando dicha translaci´on.

2_{De hecho Masur prob´o su teorema para diferenciales cuadr´aticas en superficies de Riemann}

Al conjunto que resulta de aplicar sobre P la primera identificaci´on lo denotamos porSe_P. Al conjunto que resulta de aplicar sobreP las dos identificaciones anteriores

lo denotamos por SP.

Ejemplo 1. SiP es el cuadrado unitario, SeP es la teselaci´on por cuadrados del plano R2 _{y S}

P un toro plano teselado por cuatro copias de P.

Tenemos tres proyecciones naturales:

e

SP π1

π2 //

SP

π

~

~

}}}}}} }}

P

Fijemos un encaje deP en el plano y denotemos por P0 al pol´ıgono P privado de sus v´ertices. Denotaremos porSe_P0 y S_P0 a los conjuntos que resultan de quitarle a Se_P y

SP aquellos puntos que se proyectan sobre v´ertices deP v´ıaπ1 yπ2 respectivamente.

Por construcci´on, los conjuntos Se_P0 y y S_P0 admiten un atlas donde los cambios de

coordenadas son translaciones. Es decir, cuando quitamos los v´ertices del pol´ıgono, los conjuntos que acabamos de construir son superficies.

Definici´on 2. Una superficie3 _{Sse dicede translaci´on si los cambios de coordenadas}

de su atlas son siempre translaciones del plano.

Lema 1. Toda superficie de translaci´on hereda del planoCuna m´etrica de curvatura cero.

Demostraci´on. La m´etrica es el pull back de la m´etrica |dz| por cualquier carta de la estructura. Se deja al lector los detalles de que dicha definici´on no depende de la carta.

Llamaremos a esta m´etrica heredada del plano, la m´etrica natural de la su-perficie de translaci´onS. El lema anterior implica que todo punto en una superficie de translaci´on tiene una vecindad isom´etrica a un abierto del plano C. En partici-lar, la m´etrica |dz| define por pull-back m´etricas de curvatura constante cero en las superficies Se_P0 y S_P0 .

Ejercicio 10. Determine el g´enero de SP cuando P es:

1. Un tri´angulo equil´atero.

2. El tri´angulo rect´angulo de ´angulos interiores (π₈,3π₈ ).

1.3. GEOD ´ESICAS EN LA SUPERFICIE SP 9

3. El tri´angulo is´oceles de ´angulos interiores (π₅,π₅).

Sugerencia: dada una triangulaci´on de SP con C caras, V v´ertices y A aristas,

la caracter´ıstica de Euler de la superficie SP se define como el n´umero χ(P) =

V +A−C. Luego, el g´enero g(SP) de la superficie SP satisface:

2−2g(SP) =χ(SP)

1.3.

Geod´

esicas en la superficie

S

Disclaimer: el tratamiento que daremos de las superficiesSP no utiliza el

for-malismo de la geometr´ıa diferencial propio a flujos geod´esicos en variedades Rieman-nianas. Hemos escogido un tratamiento diferente para simplificar la presentaci´on. En los siguientes p´arrafos veremos c´omo el estudio del juego de billar en el pol´ıgono puede llevarse a cabo estudiando el “flujo” geod´esico en la superficie SP. En la

sec-ci´on anterior, vimos que tanto para el caso racional como el irracional, la superficie

S_P0 tiene una estructura de superficie de translaci´on. El fibrado tangente de este tipo de superficies tiene una estructura muy simple.

Lema 2. SeaSuna superficie de translaci´on. Entonces el fibrado tangente es trivial,

i.e. T S=S×R2.

Demostraci´on. En general, los cociclos del fibradoT S son de la forma D(ϕj◦ϕ−i 1),

donde (U, ϕi) y (U, ϕj) son cartas S. Como S es superficie de translaci´on, siempre

tenemos que D(ϕj ◦ϕi−1) = IdR2, lo que implica que el fibrado tangente de S es trivial.

As´ı las cosas, podemos considerar aS superficie de translaci´on con la m´etrica que hereda del plano. Entonces, el fibrado tangente unitario de S puede escribirse comoS×R/2πZ. Las fibras de la proyecci´on en la segunda coordenada

(1.2) π :S×R/2πZ→R/2πZ

son campos de vectores paralelos en S. Denotaremos Vθ al campo correspondiente

a π−1(θ). Llamaremos a una curva integral maximal de Vθ una geod´esica paralela

a la direcci´on θ. El nombre se justifica pues se estas curvas integrales son geod´ esi-cas de la m´etrica plana de S heredada del plano. Denotaremos por g_θt al flujo4 del

4_{En realidad como veremos m´as adelanteg}t

θen el caso de una superficie plana que proviene del

campo Vθ y lo llamaremosflujo geod´esico en la direcci´on θ. Denotaremos al

conjun-to de geod´esicas paralelas a la direcci´onθ porGθ. Este conjunto define unafoliaci´on.

Geod´esicas y trayectorias de billar. La superficie SP no es una superficie de

translaci´on en el sentido escrito de la palabra pues aquellos puntos que se proyectan sobre v´ertices del pol´ıgono P donde el ´angulo interior no es de la forma π_n no tienen vecindades isom´etricas el plano. Sin embargo, podemos relajarnos y pensar que aSP

le hemos quitado dichos puntos. Esto no es descabellado pues en el caso en el que

P sea un pol´ıgono racional la cantidad de dichos puntos es finita y en el resto de los casos forma un subconjunto discreto. As´ı las cosas, podemos pensar que SP es una

superficie de translaci´on salvo por un peque˜no conjunto de puntos “problem´aticos” y que en ella tenemos un flujo geod´esico bien definido. Notemos que por la manera co-mo definico-mos la construcci´on de Katok-Zemljakov la proyecci´on π :SP →P manda

geod´esicas en trayectorias de billar. En particular, geod´esicas cerradas se proyectan en trayectorias peri´odicas.

Flujos geod´esicos en el toro. El toroR2_{/Z×Z es una superficie de translaci´on}

compacta. El siguiente teorema es un resultado cl´asico que describe la din´amica del flujo geod´esico en el todo y por tanto a la din´amica de las trayectorias de billar en un cuadrado.

Teorema 4. Sea θ∈S1 _{=R/2πZ y g}t

θ el flujo geod´esico del toro en la direcci´on θ.

Entonces:

1. Toda ´orbita de gt

θ es cerrada y del mismo periodo si y s´olo si θ es un m´ultiplo

racional de π.

2. El flujo g_θt es ´unicamente erg´odico y la medida invariante es Lebsi y s´olo si θ

es un m´ultiplo irracional de π.

M´as adelante abordaremos la noci´on de ergodicidad y ergodicidad ´unica con m´as detalle. N´otese que el teorema precedente nos dice que el flujo geod´esico en el toro satisface una dicotom´ıa.

1.4.

Singularidades y topolog´ıa de la superficie

S

Como vimos en el cap´ıtulo anterior, la m´etrica euclidiana |dz|deC define v´ıa pull-back m´etricas en las superficies de translaci´onSe_P0 yS_P0 . En los siguientes p´

arra-fos describiremos m´etricamente las vecindades de los puntos en Se_P y S_P. Luego,

1.4. SINGULARIDADES Y TOPOLOG´IA DE LA SUPERFICIESP 11

Recordemos que tenemos dos casos:

1. El casoracional. ´Este es el caso cuando todos los ´angulos interiores de P son m´ultiplos raciones5 _{deπ. As´ı las cosas, diremos queP es un pol´ıgono racional.}

2. El casoirracional. ´Este es el caso cuando existe al menos un ´angulo interior de

P que no es m´ultiplo racional deπ. En este caso diremos queP es un pol´ıgono irracional.

1.4.1.

Caso racional

Consideremos la funci´onfn(z) =zn definida de Ca C. Si quisi´eramos definir

la funci´on inversa f_n−1 : C → C tendr´ıamos un problema de multivaluaci´on. Para resolver este problema consideramos el cubriente c´ıclico n : 1 ramificado sobre el origen

(1.3) ρn : Σn →C

Este cubriente tiene una estructura de superficie de Riemann natural y hereda del plano la m´etrica ρ∗|dz|.

Supongamos que el ´angulo interior de P en un v´ertice v es racional, i.e. de la forma p_qπconpyqprimos relativos. En este caso, llamemosσi yσj a los generadores

de H que son reflexiones respecto a las dos rectas que contienen a los lados de P

que se intersectan en v.

Lema 3. Sea x∈SP tal que πP(x) = v es un v´ertice de P donde el ´angulo interior

es de la forma p_qπ con p y q primos relativos. Entonces existe una vecindad V dex

isom´etrica a un cubriente c´ıclico p: 1 ramificado de un disco.

Prueba. Queremos probar que existe una vecindad V de x y ε > 0 tal que, si ε_D

denota el disco de radioε centrado en el origen de Ccon respecto a la m´etrica|dz|, entoncesV \x, que es superficie de translaci´on, es isom´etrico a la superficieρ−1

n (εD)

con respecto a la m´etrica ρ∗|dz|. Notemos que, en S(P) el conjunto de copias de P

que contienen ax∈π−_P1(v) est´a naturalmente indexado por los elementos del grupo (1.4) Hij :=< σi, σj > .

El grupo Hij es isomorfo al grupo di´edrico D2q. Como cada copia indexada por un

elemento de Hij contribuye con un incremento angular de pπ_q la contribuci´on total

es de 2pπ.

Definici´on 3. A cada uno de los puntos x ∈ SP para los que existe una vecindad

V isom´etrica a un cubriente c´ıclico p : 1 del disco, con p > 1, les llamaremos

singularidades c´onicas de ´angulo 2pπ.

Ejercicio 11. Sea P un tri´angulo rect´angulo racional con un ´angulo de la forma π_n. Determina el n´umero y ´angulo total de las singularidades que presenta la superficie

SP.

Ejercicio 12. El tri´angulo is´oceles P de ´angulos interiores (π₅,π₅) produce una super-ficie SP plana con una singularidad c´onica de ´angulo total 6π. ¿Es el conjunto de

pol´ıgonosP tales queSP tiene s´olo una singularidad c´onica de ´angulo total 6πfinito

o infinito?

Ejercicio 13. ¿Es el conjunto de pol´ıgonosP tales queSP tiene s´olo una singularidad

c´onica de ´angulo total kπ, k ≥2 finito o infinito? ¿Puede ser vac´ıo?

Ejercicio 14. SiP es un pol´ıgono racional, la estructura de superficie de translaci´on deS_P0 se extiende de manera ´unica en una estructura deSP de superficie de Riemann.

Es decir, en una estructura donde, si pensamos a cambios de coordenadas como funciones deCenC, estos resultan holomorfos. ¿Puedes dar una expresi´on expl´ıcita de la carta de esta superficie en una vecindad de una singularidad de tipo c´onico?

Ejercicio 15. Seax∈SP punto que se proyecta a v´ertice deP donde el ´angulo

inte-rior es de la forma π_n. Demuestra que la m´etrica plana de la superficie de translaci´on

S_P0 se extiende a S_P0 ∪ {x}.

Lema 4. Sea P un pol´ıgono racional. Entonces SP es una superficie compacta.

Demostraci´on. Denotemos por T rans(H) = T rans(R2_{) ∩ H, el subgrupo de H}

formado por todas las translaciones. Notemos que por construcci´on, el n´umero de copias de P que tesela a la superficie SP est´a en biyecci´on con los elementos del

grupo H/T rans(H). Cuando el pol´ıgono P es racional, H/T rans(H) es un grupo finito.

De hecho, contanto el n´umero de pol´ıgonos que teselan la superficieSP cuando

P es un poligono racional, podemos calcular la caracter´ıstica de Euler de la superficie

SP, refinar el resultado anterior y probar el siguiente:

Lema 5. Supongamos que los ´angulos interiores del pol´ıgonoP son de la forma piπ

qi , i = 1, . . . , k, con pi y qi primos relativos. Sea N el m´ınimo com´un m´ultiplo de los

q_i0s. Entonces

(1.5) g´enero(SP) = 1 +

N

2

k−2−X 1

qi

1.4. SINGULARIDADES Y TOPOLOG´IA DE LA SUPERFICIESP 13

La demostraci´on de este lema es un bonito ejercicio de combinatoria que se deja al lector.

Observaci´on. El lema anterior nos dice que para pol´ıgonos racionales, la to-polog´ıa de la superficie SP depende de los ´angulos interiores del pol´ıgono.

1.4.2.

Caso irracional

´

Este es sin duda alguna el caso m´as interesante pues es el caso gen´erico. El siguiente lema nos implica que la construcci´on de Katok-Zemljakov tal cual la defini-mos para el caso racional produce un espacio topol´ogico que no puede ser variedad.

Lema 6. Sea P un pol´ıgono irracional y SP el espacio topol´ogico que resulta de

la construcci´on de Katok-Zemljakov tal como la definimos para el caso racional. EntoncesSP no es localmente compacto.

Demostraci´on. Como en el caso racional, tenemos una proyecci´on π : SP → P.

Tomemos ahora un punto x ∈ SP tal que π(x) sea un v´ertice donde el ´angulo

interior deP sea de la formaλπ,λ∈R\Q. En este caso el grupoHij que definimos

en (1.4) no es finito y por tanto existe una vecindad dex isom´etrica a un cubriente c´ıclico infinito del disco.

Para poder obtener a partir de un pol´ıgono irracional una superficie debemos realizar una peque˜na modificaci´on a la construcci´on de Katok-Zemljakov que utili-zamos para el caso racional. Sea entoncesP un pol´ıgono irracional y P0 el pol´ıgono que resulta de quitar todos los v´ertices donde el ´angulo interior sea un m´ultiplo irra-cional de π. Consideremos entonces, como en (1.1) la uni´on disjunta de los puntos (x, h)salvo que x ahora s´olo puede ser un punto en P0 . Escribimos, abusando de la notaci´on, SP como el cociente que resulta de considerar aplicar la construcci´on de

Katok-Zemljakov al pol´ıgonoP0_.

Ejercicio 16. Demuestra que para un pol´ıgono irracional el conjunto SP admite una

estructura de superficie de Riemann.

Claramente la superficie SP est´a teselada por un n´umero infinito de copias

del “pol´ıgono” P0_{. Denotaremos por S}

P al conjunto que resulta de pegarle a cada

copia de P que tesela SP los v´ertices del pol´ıgono donde el ´angulo interior es un

hacen conmutar el siguiente diagrama:

SP π

 _//

SP π

P0  //_P

Ejercicio 17. Demuestra que si quitamos de SP todos los puntos que se proyectan

en v´ertices de P donde el ´angulo interior es un m´ultiplo deπ que no es de la forma

π

n entonces obtenemos una superficie con una estructura natural de superficie de

translaci´on.

Definici´on 4. Sea x∈SP un punto tal que toda vecindad V dex es no compacta.

Llamaremos a dichos puntos singularidades c´onicas de ´angulo infinito deSP oSP.

Esta nomenclatura se justifica pues la imagen m´etrica de peque˜nas vecinda-des de una singularidad de tipo infinito es la de un helicoide infinito donde hemos colapsado el eje a un punto.

Ejercicio 18. ¿Se extiende la estructura de superficie de Riemann de SP a las

sin-gularidades de tipo infinito?

Las superficies compactas orientables est´an caracterizadas, m´odulo homeomor-fismo, por su g´enero. Una vez que conocemos el g´enero sabemos exactamente el n´umero de toros que tenemos que sumar conexamente para obtener la superficie. En el caso de las superficies no compactas el invariante topol´ogico es un poco m´as complicado, sin embargo bastante intuitivo. Las superficies no compactas orienta-bles est´an caracterizadas, m´odulo homeomorfismo, por dos invariantes: el g´enero (que puede ser infinito) y el espacio de fines. A grandes rasgos, los fines forman una extensi´on natural de un espacio topol´ogico no compacto y como conjunto pueden ser provistos de una topolog´ıa. El espacio (topol´ogico) de fines es un invariante to-pol´ogico. Para m´as detalles sobre la noci´on de fin de un espacio topol´ogico el lector puede consultar el trabajo fundador de Freudenthal [Fre31], o [Ray60] y para el caso particular de las superficies los trabajos de Richars [Ric63].

Definici´on 5. Llamamos monstruo del lago Ness a la ´unica superficie orientable (m´odulo homeomorfismo) de g´enero infinito cuyo espacio de fines es s´olo un punto. La nomenclatura puede atribu´ırsele a Ghys [Ghy95], aunque su uso se remonta a trabajos de Sullivan. El monstruo del lago Ness es la superficie topol´ogica de g´enero infinitom´as sencilla. El siguiente teorema nos dice que ´esta juega un papel destacado en el mundo de los billares poligonales.

Teorema 5. [Val09] SeaP un pol´ıgono irracional, entoncesSP es homemomorfa al

1.4. SINGULARIDADES Y TOPOLOG´IA DE LA SUPERFICIESP 15

En particular, en el caso irracional, la topolog´ıa de la superficie SP no depende

Cap´ıtulo 2

Superficies planas y grupos de

Veech.

En el cap´ıtulo anterior vimos c´omo se le asocia a un pol´ıgono euclidiano P

una superficie “plana” SP. En este cap´ıtulo veremos c´omo SP se inscribe dentro de

un marco m´as general, el de las ´erroneamente llamadas superficies planas. En este cap´ıtulo introduciremos estos objetos desde dos puntos de vista:el geom´etrico y el

anal´ıtico. Luego, definiremos el grupo de Veech asociado a una superficie plana. A lo largo de ´este, y salvo que se especifique lo contrario,P denota un pol´ıgono euclidiano racional, i.e. donde todos los ´angulos son m´ultiplos racionales de π.

2.0.3.

Superficies planas: punto de vista euclidiano.

Consideremos el plano R2 _{con su m´etrica est´andar. Un sector en R}2 _{es la}

cerradura de una componente conexa de R2 _{\ {r}

1 ∪r2} donde ri es un rayo que

emana del origen. El ´angulo de un sector se define como el ´angulo interior de la componente conexa de R2 _{\ {r}

1 ∪r2} que tomamos. Por ejemplo, ´el ´angulo del

tercer cuadrante en el plano es π₂. Dos sectores se pueden unir a lo largo de uno de sus bordes usando una isometr´ıa. Uncono euclidianoes la superficie obtenida cuando unimos, usando isometr´ıas, un n´umero finito de sectores en un orden c´ıclico. El punto que corresponde al origen se denomina v´ertice del cono euclidiano. El ´angulo de un cono euclidianoes la suma de todos los ´angulos de los sectores que lo definen. N´otese que el ´angulo de un cono puede ser estrictamente mayor que 2π. Llamamos punto c´onico de un cono euclidiano al punto que corresponde al origen.

Ejercicio 19. ¿Tiene todo cono euclidiano una estructura de superficie C∞_{? ¿De}

superficie de Riemann?

Por construcci´on, todo cono euclideano desprovisto de su v´ertice hereda una m´etrica de R2 _{v´ıa pull-back. De ahora en adelante consideraremos a los conos}

eu-clidianos provisto de esta m´etrica. N´otese que la completaci´on m´etrica de un cono euclidiano se logra a˜nadiendo el v´ertice que quitamos.

Ejercicio 20. Prueba que dos conos Euclidianos son isom´etricos si y s´olo si tienen el mismo ´angulo.

Definici´on 6. Sea S una superficie (topol´ogica) orientable. Una estructura de su-perficie euclideana c´onica sobre S es un atlasA con cartas de la forma {(U, ϕ)}i∈I

para S\Σ, donde Σ es un subconjunto discreto de puntos, tal que:

1. Toda funci´on de transici´onϕj◦ϕ−i 1 definida por cartas deAes una translaci´on

del plano.

2. Con respecto a la m´etrica plana natural heredada del plano, todo p∈S tiene una vecindad U tal que isom´etrica a una vecindad del v´ertice de un cono euclidiano de ´angulo total θ(p).

3. Para todap∈S\Σ, se tiene queθ(p) = 2π.

En otras palabras, una estructura de superficie euclideana c´onica es casi una estructura de superficie de translaci´on. Elcasi son los puntos del conjunto Σ. N´otese que siS es una superficie euclidiana c´onica compacta entonces el conjunto de puntos dondeθ(p)6= 2π es finito. Tales puntos reciben el nombre depuntos o singularidades c´onicas. El siguiente es un teorema fundamental en la teor´ıa de superficies euclidianas c´onicas.

Teorema 6(Gauss-Bonnet, versi´on combinatoria). SiS es una superficie euclidiana c´onica compacta, entonces

(2.1) X

p

(2π−θ(p)) = 2πχ(S)

donde χ(S) denota la caracter´ıstica de Euler de S y la suma se toma sobre todos los puntos c´onicos.

Prueba. Sea T = {T1, . . . , TC} una triangulaci´on de S tal que la intersecci´on de

cada Ti con el conjunto de los puntos c´onicos de S son exactamente los v´ertices de

Ti. Denotemos porV al n´umero total de v´ertices en T (correspondiente al total de

singularidades c´onicas) y porAal n´umero total de aristas deT. Seanαi+βi+γi =π

los ´angulos interiores del tri´anguloTi. Entonces

(2.2)

P

p(2π−θ(p)) = 2πV −(

P

iαi+

P

iβi+

P

iγi)

19

En una triangulaci´on, cualesquiera dos tri´angulos distintos son o bien disjuntos o bien se intersectan en un v´ertice o en una arista. Esto implica que cada Ti ∈ T

contribuye con 3₂ al n´umero total de aristas A de T. En otras palabras A = 3₂C =

C+ C₂, ergo

(2.3) X

p

(2π−θ(p)) = 2π(V − C

2) = 2π(V +C−A) = 2πχ(S).

Definici´on 7. Llamamossuperficie plana a toda superficie euclidiana c´onica para la cual θ(p) es un m´ultiplo entero positivo de 2π. A todo punto p tal que θ(p) = 2πk, con k 6= 1, lo llamamos singularidad c´onica de ´angulo total 2πk. Al conjunto de singularidades c´onicas de una superficie plana lo denotamos por Sing(S)

Observaci´on. El teorema anterior implica que no existen superficies planas compac-tas de g´enero mayor o igual que dos sin singularidades c´onicas.

Ejercicio 21. ¿Existen superficies planas cerradas pero no compactas sin singulari-dades c´onicas?

La nomenclatura “superficie plana” se justifica pues S\Sing(S) admite una m´etrica de curvatura constante cero. En efecto, como en la secci´on anterior vimos, dicha m´etrica est´a definida por el pullback de la m´etrica plana est´andar del plano

|dz|.

Ejemplo 2. El toroR2_{/Z×Z, el cilindroR}2_{/Zy el plano son ejemplos de superficies}

planas completas.

Ejemplo 3. Sea P un pol´ıgono racional. Entonces SP es una superficie plana.

Dos recetas para construir superficies planas.

Origamis. Consideremos T = R2_{/Z× Z y sea π : O → T una superficie}

cubriente ramificada en a lo m´as un puntop∞ ∈T. Al espacioOse le llamaOrigami

osuperficie teselada por cuadrados.

Ejercicio 22. Sea π : O → T un origami. Demuestra que O \π−1_(p

∞) hereda de

T \p∞ una estructura de superficie de translaci´on. Demuestra que si el cubriente

es finito entonces esta estructura se extiende en una ´unica estructura de superficie plana sobre todo O. ¿Qu´e pasa cuando el cubriente es infinito?

Pegando pol´ıgonos. Consideremos P = {P1, . . . , Pn} una familia finita de

pol´ıgonos disjuntos en el plano (no necesariamente congruentes). Sea Λ ={li}ki=1 el

conjunto formado por todos los lados de los pol´ıgonos en P. Supongamos que existe una biyecci´onB : Λ→Λ sin puntos fijos tal que para cada i∈ {1, . . . k} existe una translaci´on Ti del plano que satisface B(li) = Ti(li). Definimos entonces S = S(P)

como la superficie que resulta de identificar a cada lado li ∈ Λ con el lado B(li)

usando la translaci´onT(li). M´as precisamente, identificamos x∈Li con Ti(x).

Ejercicio 24. Demuestra que el proceso de construcci´on descrito anteriormente pro-duce una superficie plana compacta S.

Ejercicio 25. ¿Qu´e tipo de objetos obtendr´ıamos si en la construcci´on anterior us´ ara-mos familias infinitas de pol´ıgonos P.

Ejercicio 26. ¿Cu´al es el n´umero m´ınimo M(g) y m´aximo N(g) de singularidades c´onicas que puede tener una superficie plana de g´enero g?

Ejercicio 27. Supongamos quep∈S es una singularidad c´onica tal queθ(p) = 2πk, con k > 1. Llamamos a 2πk el ´angulo total de la singularidad (nota la similitud con la nomenclatura del cap´ıtulo anterior). Sup´on que el g´enero deS esg. Describe todas posibles configuraciones que puede tener el conjunto de singularidades c´onicas deS. Esto es, describe que puede tener este conjunto y en cada caso el ´angulo total de las singularidades en cuesti´on.Ejemplo: una superficie de g´enero dos puede tener una singularidad c´onica de ´angulo total 6π o dos singularidades c´onicas de ´angulos 4π.

2.0.4.

Superficies planas: punto de vista anal´ıtico

En los siguientes p´arrafos veremos c´omo las superficies planas que definimos en la secci´on anterior admiten una interpretaci´on anal´ıtica. Esto es, desde el punto de vista de las superficies de Riemann y las 1-formas holomorfas.

Definici´on 8. Sea M una superficie de Riemann con atlas {(Ui, ϕi)}i∈I. Una haz

lineal holomorfo, o simplemente un haz lineal L sobre M, est´a formado por una colecci´onL= (L, π, tji) donde

(1) Para cada par Ui∩Uj 6=∅ loscociclos:

(2.4) tji :Ui∩Uj −→C∗

son biholomorfismos que satifacen

21

tij·tji = 1 en todo Ui∩Uj 6=∅

tik·tkj·tji = 1 en todo Ui∩Uj∩Uk 6=∅

(2) Les el espacio (topol´ogico) total que resulta de considerar la uni´on disjunta de

Ui ×C, i ∈ I e identificar parejas de la siguiente forma: (p, v) ∈ Ui ×C se

identifica con (q, w)∈Uj ×Csi y s´olo si p=q y w=tij(p)v.

La funci´on proyecci´onπ :L−→M est´a dada por π(p, v) = p.

Toda superficie de Riemann tiene asociados varios haces lineales “naturales”. Para nuestro contexto nos interesar´a el siguiente.

Definici´on 9. Sea M ={(Ui, ϕi)}i∈I una superficie de Riemann. Definimos el haz

can´onico como

(2.5) tji = (D(ϕj◦ϕ−i 1)) −1

Aqu´ı,D(ϕj◦ϕi−1) denota la derivada holomorfa del cambio de coordenadasϕj◦ϕ−i 1.

Denotamos al haz can´onico de M por KM.

Definici´on 10. Sea M = {(Ui, ϕi)}i∈I una superficie de Riemann. Una secci´on

holomorfa de un haz lineal (L, π, tji) sobre M es una colecci´ons ={si} tal que

1. Cada si :Ui ⊂M −→Cson funciones holomorfas.

2. Para cada Ui∩Uj 6=∅ tenemos que sj =tjisi.

En otra palabras, la colecci´on s = {si} define una funci´on s : M −→ L

descrita localmente por funciones holomorfas que asocia a cada p ∈ M un punto

s(p)∈π−1_{(p) de manera que π◦s=Id} M.

Definici´on 11. Una 1-forma holomorfa ω en M es una secci´on holomorfa del haz can´onico KM.

Las formas holomorfas sobre M forman un C-espacio vectorial. Un resultado cl´asico nos dice que siM es una superficie de Riemann compacta de g´enerogentonces la dimensi´on de este espacio es justamenteg. Para m´as detalles sobre el tema el lector puede consultar [Muci˜no-Brambilla]. Estos ahora a punto para definir la noci´on de superficie plana desde el punto de vista anal´ıtico.

Justifiquemos ahora esta nomenclatura. Toda 1-forma holomorfa se escribe localmente como f(z)dz donde f(z) es una funci´on holomorfa y dz = dx +idy. DefinamosZ(ω) como el conjunto de ceros de la formaωyM0 =M\Z(ω). Entonces, para cada p0 ∈M0 podemos definir la carta

(2.6) z(p) =

Z p

p0

ω

en una vecindad de p cercanas a p0. N´otese que en la coordenada z tenemos que

ω =dz. Obs´ervese que si cambiamos “punto base” (p0 por un q0 cercano) entonces

las cartas coordenadas cambian por una translaci´on. En efecto:

(2.7) c:=

Z p

p0

ω−

Z p

q0

ω=

Z q0

p0

ω

dondeces una constante que no depende dep. Ergo, los cambios de coordenadas en la estructura definida por las cartas (2.6) son todos de la forma z →z+c, es decir, translaciones.

Observaci´on. Notemos que en la definici´on anteriornunca solicitamos que la super-ficie M sea compacta.

Ejercicio 28. Consideremos p ∈ M un cero de orden k de la forma ω. ¿C´omo se extiende anal´ıticamente la estructura que define el atlas de las cartas (2.6) a p ? ¿Cu´al es el modelo m´etrico de la superficie plana (X, ω) en una vecidad de p?

Ejercicio 29. Usando el ejercicio anterior, demuestra que toda superficie de plana

compacta desde el punto de vista geom´etrico lo es desde el punto de vista anal´ıtico y viceversa.

Definici´on 13. Llamaremos a todo punto z0 ∈M tal que ω(z0) = 0 una

singulari-dad c´onica de la superficie plana (M, ω).

Ejercicio 30. Justifica la nomenclatura de la definici´on anterior. Establece la relaci´on entre el orden de z0 como cero de ω y el ´angulo total de la singularidad c´onica

correspondiente.

La ventaja de este punto de vista es que nos otorga de un contexto “anal´ıtico” para tratar a todas las superficies planas de un mismo g´enero. Dicho contexto es el llamado fibrado de Hodge sobre el espacio de m´oduli de superficies de RiemannMg,

que se denota por lo general Ω∗Mg (ya que se piensa desprovisto de la secci´on cero).

En este contexto es posible reformular el teorema 3 de una manera m´as precisa:

Teorema 7 (H. Masur, [Mas86]). Sea (X, ω)∈Ω∗Mg una superficie plana.

Enton-ces el conjunto de direcciones θ para los cualesGθ presenta una ´orbita peri´odica es

denso en R/2πZ.

Corolario 1. El conjunto de direcciones en las que un billar racional presenta una ´

23

2.0.5.

Conexiones de silla y vectores de holonom´ıa.

Recordemos que entre las trayectorias de billar hay unas que se distinguen por su comportamiento singular. ´Estas son las que llam´abamos en el cap´ıtulo 1 diago-nales generalizadas y corresponden a trayectorias de billar cuyo inicio y fin es una buchaca. Si pensamos en la proyecci´on natural πP : SP → P, entonces las

diago-nales generalizadas son “la sombra” de un tipo especial de geod´esicas en SP que se

caracterizan por tener su inicio y fin en singularidades c´onicas1. Cada una de este tipo especial de geod´esicas se denomina una conexi´on de silla. Como veremos en la secci´on siguiente, las conexiones de silla nos permiten construir invariantes afines de cada superficie plana que luego nos dan informaci´on sobre el grupo de Veech.

M´as formalmente, consideremos una superficie planaSy seaSing(S) el conjun-to de sus singularidades c´onicas. Como vimos en la secci´on anterior,S0 =S\Sing(S) es una superficie de translaci´on y por tanto para cada direcci´on θ ∈ R/2πZ tene-mos un campo constante unitario Vθ en S0 de vectores paralelos a dicha direcci´on.

Dentro de todas las curvas integrales del campo Vθ, que llam´abamos geod´esicas,

distinguimos aquellas con extremidades en Sing(S).

Definici´on 14. Toda curva integral maximal deVθ cuyo dominio m´aximo de

defini-ci´on sea un intervalo de longitud finita se llama conexi´on de silla. Toda γ geod´esica enS0 que tenga un extremo en una singularidad c´onica recibe el nombre de separa-triz.

A cada conexi´on de sillaγ le podemos asociar el vector enR2 _{cuya norma es}

igual a la longitud deγ y cuya direcci´on es la direcci´on del vector γ0(t).

Definici´on 15. Seaγ : (a, b)→S0 una conexi´on de silla de longitudL(γ) del campo

Vθ. Llamamos alvector de holonom´ıa asociado a γ al vector enR2 en la direcci´onθ

de norma L. Denotamos a dicho vector porvγ y definimos:

(2.8) Vhol(S) :={v ∈R2 |v es vector de holonom´ıa de S}

Notemos que siγ es una conexi´on de silla del campoVθ entonces el campoVθ+π

tiene una conexi´on de silla η tal que vγ = −vη. El siguiente lema es fundamental

para el resto de nuestra exposici´on:

Lema 7. Sea S una superficie de translaci´on compacta de g´enero al menos dos. EntoncesVhol(S) es un subconjunto discreto deR2.

Prueba. El argumento original de la prueba de este lema se debe a Ya. Vorobets. En las superficies compactas, las conexiones de silla aparacen a partir de g´enero

1_{Salvo el caso especial de las diagonales generalizadas cuyo inicio es una buchaca donde el}

´

dos. Tomemos v ∈R2 que suponemos es un vector de holonom´ıa. Mostraremos que

v no puede ser l´ımite de vectores en Vhol(S) por contradicci´on. Consideremos A el

conjunto formado por todas las geod´esicas γ que tienen como extremidades puntos en Sing(S) y que son paralelas a la direcci´on del vector v. Como la superficie S es compacta entoncesSing(S) y el n´umero de geod´esicas en Afinito. Seap∈Sing(S) una de las extremidades de una conexi´on de silla γ tal que su vector de holonom´ıa sea exactamente v. Denotemos por Bε(p) la vecindad de radio ε > 0 centrada en

p∈S. ComoSing(S) es finito, existe un n´umero positivoε >0 tal que (2.9) Bε(p)∩Sing(S) = p, ∀p∈Sing(S)

Como s´olo hay un n´umero finito de conexiones de silla paralelas al vector v podemos suponer que todo vector de holonom´ıa suficientemente cercano avdebe corresponder a una conexi´on de silla que tenga una de sus extremidades enBε(p)\ {p}para alg´un

p∈Sing(S). Sin empargo, por (2.9) esto es imposible.

2.0.6.

Difeomorfismos afines y el grupo de Veech.

En esta secci´on definimos uno de los objetos principales de estas notas: el grupo de Veech de una superficie plana.

Definici´on 16. Sea S una superficie plana. Llamamos difeomorfismo af´ın de S a todo homeomorfismo f :S →S tal que:

1. Permute los puntos de Sing(S).

2. En coordenadas locales (afines) de S0 =S\Sing(S) sea de la forma:

(2.10)

a b c d

x y

+

λ1

λ2

donde

A=

a b c d

∈GL(2,R).

La matrizA dependea priori de las coordenadas (x, y) que nos escojamos. El siguiente lema nos dice que tal no es el caso.

25

Prueba. Consideremos (Ui, φi) y (Vi, ψi),i= 1,2 cartas dez yf(z) respectivamente.

Comof es af´ın entonces:

(2.11) D(ψi◦f ◦ϕ−i 1)(ϕi(z)) = Ai i= 1,2

para todoz ∈U1∩U2. Por otro lado:

A1 = D(ψ1◦f ◦ϕ−11)(ϕ1(z))

= D(ψ1◦ψ−21◦ψ2◦f◦ϕ2−1 ◦ϕ2◦ϕ−11)(ϕ1(z))

= D(ψ1◦ψ−21)(ψ2(f(z)))D(ψ2◦f ◦ϕ−21)(ϕ2(z))D(ϕ2 ◦ϕ1)(ϕ1(z))

= D(ψ2◦f ◦ϕ2−1)(φ2(z)) =A2

Con esto probamos que para todo z ∈ S que no sea un punto c´onico existe una vecindad z ∈U tal que Df(z) es una matriz constante. El resultado se sigue de la conexidad por arcos deS.

El conjunto de difeomorfismos afines que preservan la orientaci´on de una su-perficie plana es un grupo cuando consideramos la composici´on de funciones. Deno-tamos a dicho grupo por Aff+(S). El lema anterior y la regla de la cadena implican

que la funci´on que a cada f ∈ Aff+(S) asigna su matriz derivada Df define un

morfismo de grupos

(2.12) D: Aff+(S)→GL+(2,R)

Definici´on 17. A la imagen del morfismo (2.12) se le llama grupo de Veech de la superficie planaS. Lo denotamos por Γ(S).

Observaci´on. Por consideraciones que veremos m´as adelante, algunos autores consi-deran al grupo de Veech como la imagen de Γ(S) en

P GL+(2,R) =GL+(2,R)/{±Id}.

Fijar el grupo Aff+(S) es s´olo una convenci´on, bien pudimos haber considerado todos

los difeomorfismos afines de una superficie plana en cuyo caso la imagen de (2.12) vivir´ıa en GL(2,R).

Ejemplo 4. SiS =R2 entonces toda matriz A∈GL+(2, R) define un difeomorfismo

af´ın de S y rec´ıprocamente, para toda A∈GL+(2,R) existe un difeomorfismo af´ın

f tal que Df =A. En otras palabras, Γ(R2_{) =GL}

Ejercicio 31. Sea S una superficie plana compacta. Demuestre que el kernel de

D : Aff+(S)→ GL+(2, S) es un conjunto finito. Sugerencia: use el hecho de que el

grupo de automorfismos conformes de una superficie de Riemann compacta siempre es finito.

Ejercicio 32. Encuentre un ejemplo de una superficie plana no compacta tal que

D: Aff+(S)→GL+(2, S) no sea finito.

Ejercicio 33. Consideremos el cilindro C :=R2/Z. Calcule Γ(C).

Ejemplo 5. En este ejemplo veremos que el grupo de Veech del toro es SL(2,Z). Consideremos el toro T := R2_{/Z×Z y la proyecci´on desde el cubriente universal}

π :R2 →T. Entonces, para toda

A =

a b c d

∈SL(2,Z)

consideramos la funci´onfA[x, y] = [ax+by, cx+dy].

Ejercicio 34. Demuestra que fA:T →T define un difeomorfismo af´ın

En otras palabras, Γ(T) contiene al grupo SL(2,Z). Tomemos ahora f ∈

Aff+(T) y sea fe : R2 → R2 un levantamiento de f al cubriente universal. Un

c´alculo elemental muestra quefedebe preservar la ret´ıcula de puntos enteros Z×Z.

Esto s´olo es posible siDf ∈SL(2,Z).

Ejercicio 35. Sea τ ∈ C un n´umero complejo tal que Im(τ) > 0. Definimos Λτ = Z⊕τZ y el toro Tτ =C/Λτ. Calcula el grupo de Veech de Tτ.

Diremos que dos toros Tτ y Tτ0 son conformemente equivalentes si existe un

biholomorfismo f :Tτ →Tτ0.

Ejercicio 36. Demuestra que Tτ y Tτ0 son conformemente equivalentes si y s´olo si

existe una matriz

A =

a b c d

∈SL(2,Z)

tal que τ0 = aτ_cτ+d+b. Describe la relaci´on que existe entre los grupos de Veech de dos toros dentro de una misma clase conforme.

Observaci´on. Toda superficie plana hereda un elemento de ´area natural via pullback del plano R2. Si S es una superficie de ´area finita, entonces todo difeomorfismo af´ın f :S → S debe respetar el ´area de S. Esto implica que necesariamente Df ∈

SL(2,R).

Acci´on de Γ(S) sobre Vhol(S). SeaS una superficie plana. Todo elementof

del grupo af´ın Aff+(S) se extiende de manera continua a las singularidades c´onicas

27

´

angulo total 2πk en una singularidad de ´angulo total 2πk, donde k∈N∪ {∞}. Notemos que si γ : (a, b) → S es una conexi´on de silla entonces f ◦γ es una curva cuya traza es la traza de una conexi´on de silla ψ : (a0, b0) → S. La curva f ◦γ no es necesariamente una conexi´on de silla pues la norma del vector (f◦γ)0(s) = Df·γ0(s) no es necesariamente 1. Para entender la acci´on del grupo de Veech Γ(S) sobre Vhol(S) debemos expresar al vector de holonom´ıa vψ en t´erminos

deDf yvγ. Para esto reparametrizamos a la curvaf◦γ por longitud de arco usando

una funci´on af´ıng : (a0, b,)→(a, b). Dado que la norma del vector _∂t∂(f◦γ◦g) debe ser uno, deducimos que g0(t) = _bb0₋−a_a0 = _||Df·1_γ0_(s)||, ergo b0−a0 = (b−a)||Df·γ0(s)||.

As´ı las cosas

(2.13) vψ = (b0−a0)

Df ·γ0(s)

||Df ·γ0_(s)|| = (b−a)Df ·γ

0_{(s) = Df·v} γ.

En resumen, tenemos bien definida una acci´on lineal del grupo de Veech sobre el conjunto de vectores de holonom´ıa:

(2.14) Vhol(S)×Γ(S) −→ Vhol(S) (v, Df) −→ Df ·v

Proposici´on 2. Sea S una superficie plana tal que Vhol(S) es discreto y contiene

por lo menos dos vectores linealmente independientes, entonces el grupo de Veech Γ(S)< GL+(2,R) es discreto.

Demostraci´on. Procedemos por contradicci´on. Supongamos que existe una sucesi´on en el grupo de VeechAn →Id y sean v, w∈Vhol(S) dos vectores linealmente

inde-pendientes. Entonces alguna de las sucesiones Anv, Anw contiene una subsucesi´on

infinita que por continuidad converge a alguno de los vectoresv ow. Esto contradice el que Vhol(S) sea un subconjunto discreto del plano.

Ejercicio 37. Encuentre una superficie plana tal que el conjunto de vectores de holonom´ıa sea infinito pero no contenga dos vectores linealmente independientes.

Las matrices de 2×2 tienen una topolog´ıa est´andar cuando identificamos dicho conjunto conR4_:

(2.15)

a b c d

→(a, b, c, d)

Dentro de dicho conjunto tenemos al conjunto cerrado SL(2,R) formado por las matrices con determinante 1. Otorgamos a SL(2,R) la topolog´ıa de subespacio.

Ejercicio 38. Demuestra que la imagen de SL(2,R) bajo (2.15) es una subvariedad deR4 homeomorfa a S1×R2.

Definici´on 18. Todo subgrupo discreto de SL(2,R) se llama grupo Fuchsiano. Un subgrupo de Γ < SL(2,R) se dice cocompacto2 _{si el espacio topol´ogico cociente}

SL(2,R)/Γ es compacto.

Dado que el conjunto de vectores de holonom´ıa de una superficie de g´enero al menos dos es discreto y el del toro es SL(2,Z) obtenemos el siguiente, y adem´as el grupo de Veech correspondiente act´ua de manera lineal en el conjunto de vectores de holonom´ıa, obtenemos el siguiente:

Corolario 2. El grupo de Veech de una superficie plana compacta siempre es un grupo Fuchsiano.

El siguiente lema ilustra otra propiedad del grupo de Veech que ser´a funda-mental para probar el teorema de la dicotom´ıa de Veech.

Lema 9. El grupo de Veech de una superficie compacta nunca es cocompacto. Para probar este lema introduciremos un nuevo punto de vista para los grupos de Veech.

Acci´on de GL+(2,R) sobre el espacio de superficies planas. En este

cur-so no entraremos en detalle cur-sobre lo que quiere decir espacio de superficies planas. S´olo diremos que ´este, para superficies compactas de g´enerog, corresponde al fibrado de Hodge (privado de la secci´on cero) sobre el espacio de m´oduli Mg de superficies

de Riemann de g´enero g.

Lo que nos interesa realmente en esta secci´on es definir una acci´on del grupo especial lineal SL+(2,R) sobre dicho conjunto3. Entonces consideremos S una

su-perficie plana con su atlasA ={(U, ϕ)}y una matrix A∈SL(2,R). DefinimosA·S

como la superficie plana cuyo atlas est´a dado por A· A := {(U, A·ϕ)}. En otras palabras, A·S tiene como estructura de superficie plana el atlas que se obtiene del atlas de S postcomponiendo cada carta por la funci´on lineal que define la matrix A.

Ejercicio 39. Verifica que en efecto A·S es una superficie plana. Verifica que las superficies planasA yA·S tienen la misma cantidad de singularidades c´onicas (con las mismas multiplicidades). Demuestra que Vhol(A·S) =A·Vhol(S).

Como vimos anteriormente el conjuntoVhol(S) es un subconjunto discreto de R2. Esto implica que para toda superficie plana S existe una conexi´on de silla de longitud m´ınima. Definimos entonces m(S) como la longitud m´ınima de una conexi´on de silla enS.

Lema 10. [Vor96] Sea S una superficie plana compacta fija. La funci´on: (2.16) L: SL+(2,R)→R

definida por L(A) = m(A·S) es continua.

29

Prueba del lema 9. Si la superficie es de g´enero 1 ya vimos que el grupo de Veech es SL+(2,Z) que no es cocompacto. Ahora bien, si S tiene g´enero al menos

dos presenta al menos una conexi´on de silla que sin p´erdida de generalidad podemos suponer es vertical. Entonces la ´orbita deS bajo el subgrupo et ₀

0 e−t

es una familia de superficies planas donde la longitud de la conexi´on de silla m´ınima tiene de cero. Entonces Γ(S) no puede ser cocompacto pues en dicho caso la funci´on L deber´ıa tener un m´ınimo y esto contradice lo que acabamos de decir.

El grupo de Veech como un estabilizador. Diremos que dos estructuras de superficie planaS1 = (S,A1) y S2 = (S,A2) son isomorfas si existe

(2.17) F :S1 →S2

homeomorfismo tal que para cualesquiera par de cartas (U, ϕ) y (V, ψ) de A1 y A2

respectivamente, se tiene que:

(2.18) (ψ◦F ◦ϕ−1)(x) = x+λ ∀x∈ϕ(U ∩F−1(V)).

Si dos estructuras son isomorfas escribimosS1 ∼=S2.

Definimos ahora el grupo

(2.19) Γ1(S) :={A∈SL(2,R)|A·S ∼=S}

El siguiente es un ejercicio fundamental para entender mejor al grupo de Veech de una superficie plana.

Ejercicio40. SeaSuna superficie plana. Demuestra que Γ(S) = Γ1(S). ¿Es necesario

que la superficie sea compacta?

Clasificaci´on de elementos en SL(2,R). SeaA ∈SL(2,R) ytr(A) su traza. La siguiente clasificaci´on es cl´asica:

1. La matriz A se llama el´ıptica si|tr(A)|<2. 2. La matriz A se llama parab´olica si |tr(A)|= 2. 3. La matriz A se llama hiperb´olica si |tr(A)|>2.

A A

B B

C C

D D

El flujo geod´esico en la direcci´on horizontal descompone este origami en dos cilindros

C1 y C2 cuyas fronteras est´an formadas por conexiones de silla. Si pensamos que

los cuadrados que forman el origami son unitarios, el cilindro C1 mide w1 = 2 de

ancho y h1 = 1 de alto. Definimos, siguiendo la tradici´on, el m´odulo de C1 como

µ1 := w_h11 = 2₁ = 2. An´alogamente, para el cilindroC2 tenemos queµ2 = w_h22 = 1₁ = 1.

Coloquemos al cilindroC1en el planoxycon un v´ertice en el origen y otro en el punto

(2,0). En estas coordenadas podemos definir el difeomorfirmo af´ınf :C1 →C1como

f(x, y) = (x+µ1y m´odw1, y). An´alogamenteg(x, y) = (x+µ2y m´odw1, y) define

un difeomorfirmo af´ın de C2. Notemos que ambos difeomorfismos restringidos a la

frontera de sus respectivos cilindros son la identidad. Entonces es posible pegarlos para definir una funci´on af´ın por pedazosF del origamiS. Notemos queF no define elemento de Af f+(S) ya que

Df =

1 2 0 1

6

=

1 1 0 1

=Dg

Sin embargo notemos que (Dg)2 _{=Df. Entoncesg}2_{yf pueden pegarse a lo largo de}

la frontera de los cilindrosC1 yC2 para definir un elementoGenAf f+(S). Notemos

que en este ejemplo tr(DG) = 2, es decir, obtenemos un elemento en el grupo de Veech de tipo parab´olico.

Ejercicio 41. Considera el flujo geod´esico de origami S en la direcci´on vertical y encuentra una descomposici´on en cilindros de S que te permita encontrar otros elementos parab´olicos del grupo de Veech.

Definici´on 19. Sea S una superficie plana compacta. Decimos que una direcci´on

θ ∈ R/2πZ es totalmente peri´odica si el flujo geod´esico de S en la direcci´on θ des-compone a S en un n´umero finito de cilindros C1, . . . , Cn cuyos m´odulos µ1, . . . , µn

son conmesurables. Es decir, para todo i 6= j tenemos que existen ni, nj ∈ Z tales

31

Ejercicio 42. Sea S una superficie plana compacta y sup´on que la direcci´on hori-zontal es totalmente peri´odica. Demuestra que en este caso existe un elemento en el grupo de Veech de la forma:

1 λ

0 1

¿Puedes dar una expresi´on para λ en t´erminos de los m´odulos µ1, . . . , µn ?

Ejercicio 43. Sea S una superficie plana compacta y sup´on que la direcci´on vertical es totalmente peri´odica. Demuestra que en este caso existe un elemento en el grupo de Veech de la forma:

1 0

λ 1

¿Puedes dar una expresi´on para λ en t´erminos de los m´odulos µ1, . . . , µn ?

Ejercicio 44. Investiga cuando el subgrupo de SL(2,R) generado por las matrices

1 0

λ 1

,

1 µ

0 1

es libre.

Cap´ıtulo 3

La dicotom´ıa de Veech

Como vimos en el cap´ıtulo anterior, el grupo de Veech de una superficie pla-na compacta S es un grupo Fuchsiano, nunca cocompacto y act´ua sobre el plano hiperb´olicoH. En este cap´ıtulo comenzamos con un breve repaso de algunos concep-tos b´asicos de la geometr´ıa hiperb´olica. Para un tratamiento m´as extenso del tema se refiere al lector al libro de S. Katok [Kat10]. Despu´es abordaremos la llamada

dicotom´ıa de Veech es su caso m´as simple: el del toro. Finalmente abordaremos el teorema central de este curso.

3.1.

Rudimentos de geometr´ıa hiperb´

olica

Es esta secci´on revisamos las nociones b´asicas de la geometr´ıa hiperb´olica que nos son necesarias para poder enunciar la dicotom´ıa de Veech. Muchos teoremas se enunciar´an sin prueba. La referencia para dichas pruebas es el libro de S. Katok [Kat10]. Consideremos en Cel semiplano superior:

(3.1) H:={z ∈C|Im(z)>0}

Las coordenadas de H son de la forma z = x+iy. Definimos entonces, para cada vector tangente v = (v1, v2) en el plano tangente (real) TzH, la m´etrica hiperb´olica

como

(3.2) ||v||H :=

p

v2 1+v22

y

Al plano H provisto de la m´etrica g se le conoce como en plano hiperb´olico. Escri-bamos vj = ξj +iηj, j = 1,2; entonces la m´etrica hiperb´olica es inducida por la

m´etrica Riemanniana:

(3.3) < v1, v2 >z:=

1

(Im(z))2(ξ1ξ2+η1η2)

Si tomamos una curva diferenciable por pedazosγ =γ1+iγ2 : [0,1]→H. Definimos

la longitud hiperb´olica de γ como el valor de la integral:

(3.4) lH(γ) =

Z 1

0

q

γ0 1(t)

2

+γ0 2(t)

2

γ2(t)

dt =

Z 1

0

|γ0(t)|

Im(γ(t))dt

Esto nos permite definir la distancia hiperb´olica dH(z, w) como el ´ınfimo de las

longitudes hiperb´olicas de curvas diferenciables por pedazos que unan a z con w.

Lema 11. Para todo z, w ∈H tenemos que

(3.5) dH(z, w) = ln

|z−w¯|+|z−w| |z−w¯| − |z−w|

La m´etrica 3.3 nos permite definir la noci´on de ´angulo entre dos vectores o dos curvas y la noci´on de transformaci´on conforme (aqu´ellas que preservan ´angulos).

Teorema 8. Las geod´esicas enHde la m´etrica hiperb´olica son semic´ırculos o l´ıneas, ortogonales al eje real R.

SiD⊂H definimos el ´area hiperb´olica de D como:

(3.6) AH(D) =

Z

D

dxdy y2

si dicha integral existe.

Acci´on del grupo unimodular.

Para toda matriz

(3.7) A=

a b c d

∈SL(2,R)

definimos la transformaci´on de M¨obius TA:H→Cdada por la regla de

correspon-dencia

(3.8) z → az+b

cz+d

3.1. RUDIMENTOS DE GEOMETR´IA HIPERB ´OLICA 35 1. El conjunto de las transformaciones de M¨obius forma un grupo con respecto

a la composici´on de funciones.

2. La correspondenciaA→TA define un morfismo de grupos entreSL(2,R) y el

grupo de las transformaciones de M¨obius. N´otese queTA=T−Apara cualquier

par de matricesA∈SL(2,R). Demuestre que el grupo de transformaciones de M¨obius es isomorfo a PSL(2,R) = SL(2,R)/{±Id}.

Notaci´on. De ahora en adelante denotaremos al grupo de las transformaciones de M¨obius por PSL(2,R).

Definici´on 20. Una funci´on f : H → H se llama una isometr´ıa de si dg(z, w) =

dg(f(z), f(w)) para todo par z, w ∈H.

Las isometr´ıas de H forman un grupo que denotaremos porIsom(H).

Teorema 9. Las transformaciones de M¨obius forman un subgrupo del grupo de isometr´ıas deH.

Prueba. Primero probaremos que toda transformaci´on de M¨obius define un homeo-morfismo deH. Luego probaremos que para toda curva γ diferenciable por pedazos y TA transformaci´on de M¨obius, se tiene

(3.9) lg(γ) =lg(TA(γ))

Por el ejercicio 46 tenemos que T_A−1 =TA−1 . Como el punto de indefinici´on de T_A es−d

c ∈R, la transformaci´onTA es continua para todaA ∈SL(2,R). Para ver que

TA es un homeomorfismo basta entonces probar que TA(H)⊂H. Notemos que

(3.10)

w = az+b_cz+d = (az+b)(c¯_(cz+d)(c¯z+d)_z+d)

= (az+b)(c¯_|cz+dz+d)_|2 =

ac|z|2_{+adz+bc¯z+bd}

|cz+d|2

de donde se deduce que

(3.11) Im(w) = z−z¯ 2i|cz+d|2 =

Im(z)

|cz+d|2

Entonces, siz ∈H, claramentew=T(z)∈H. Para ver ahora que PSL(2,R)⊂

Isom(H) notemos que

(3.12) ∂TA(z)

∂z =

Entonces, si γ : [a, b]→H es una curva diferenciable por pedazos tenemos

(3.13)

lg(TA(γ)) =

Rb a

|∂T(γ(t))

∂t |

Im(T(γ(t)))dt =

Rb a

1 (cγ(t)+d)2|

∂γ(t)

∂t | Im(γ(t)) (cγ(t)+d)2

dt

= R_ab _Im(z)|γ0(t)|dt = lg(γ(t)).

En siguiente teorema describe todo el grupo de isometr´ıas de H.

Teorema 10. El grupo Isom(H) est´a generado por las transformaciones de M¨obius y la transformaci´on z → −z¯. Si S∗L(2,R) denota las matrices de determinante±1, tenemos que Isom(H) es isomorfo a S∗L(2,R)/±Id.

En particular, el grupo de transformaciones de M¨obius es un subgrupo de ´ındice 2 de Isom(H) que act´ua sobreHpor homeomorfismos que preservan la orien-taci´on. Ahora veamos que el ´area tambi´en es un invariante de las transformaciones de M¨obius.

Teorema 11. El ´area hiperb´olica es invariante bajo cualquier transformaci´on en PSL(2,R)

Prueba. Tomemos D ⊂ H para el cual el ´area existe (ver 3.6). Consideremos la transformaci´on TA(z) = w = u+ iv, donde z = x +iy. Un c´alculo simple nos

muestra que TAsatisface las ecuaciones de Cauchy Riemann, ergo podemos calcular

el Jacobiano de TA:

(3.14) ∂(u, v)

∂(x, y) =

∂u ∂x ∂v ∂y − ∂u ∂y ∂v ∂x = ∂u ∂x 2 + ∂v ∂x 2 = dTA dz 2 = 1

|cz+d|4

Entonces: (3.15)

AH(TA(D)) =

Z

TA(D) dudv

v2 =

Z

A

∂(u, v)

∂(x, y)

dxdy v2 =

Z

A

1

|cz+d|4

|cz+d|4

y2 dxdy=AH(D)

Ejercicio 47. Demuestra que toda transformaci´on de M¨obius es conforme.

Pol´ıgonos hiperb´olicos y el teorema de Gauss-Bonnet. La cerradura euclideana de He es la cerradura de H como subconjunto de la esfera de Riemann.

As´ı,He =H∪R∪{∞}. Un pol´ıgono hiperb´olico denlados es un subconjunto cerrado

de He cuya frontera est´a formada por segmentos de geod´esicas hiperb´olicas. Estos

3.2. ACCI ´ON DEL GRUPO DE VEECH SOBRE H. 37

Teorema 12. (Gauss-Bonnet) Sea ∆ un tri´angulo hiperb´olico de ´angulos interiores

α, β y γ. Entonces

(3.16) AH(∆) =π−α−β−γ

En particular notemos que la suma de los ´angulos interiores de un tri´angulo hiperb´olico es siempre menor queπ.

3.2.

Acci´

on del grupo de Veech sobre H.

En el caso de que S fuera una superficie compacta, vimos que su grupo de Veech Γ(S) es un subgrupo de SL(2,R). El grupo SL(2,R) no act´ua de manera fiel1

sobre H, el que lo hace es PSL(2,R), por ello de ahora en adelante llamaremos, abusando del lenguaje, grupo de Veech de una superficie plana compacta S a la imagen de Γ(S) en P SL(2,R) y, abusanto tambi´en de la notaci´on, lo seguiremos denotando por Γ(S). As´ı las cosas, Γ(S) act´ua sobreHpor isometr´ıas y preservando ´

areas. Luego, podemos considerar el cociente H/Γ(S). En los p´arrafos que siguen veremos que, m´odulo quitar un n´umero finito de puntos, H/Γ(S) tiene estructura de superficie hiperb´olica.

Definici´on 21. Una superficie hiperb´olica es una superficie Σ con un atlas maximal

AH ={(Ui, ϕi)}i∈I tal que para todo i∈I se tiene que:

1. ϕi(Ui)⊂H

2. ϕj◦ϕ−i 1 es un elemento en Isom(R2).

Acciones de grupos.Comenzaremos con un breve recordatorio en el contexto de variedades diferenciables. La acci´on de un grupo (G,∗) sobre un conjuntoX (por la izquierda) se puede definir de dos maneras equivalentes:

1. Es una funci´onρ:G×X →X que satisface:

a) (Identidad) Para todo x ∈ X, ρ(e, x) = x, donde e ∈ G es el elemento neutro.

b) (Asociatividad) Para todo x∈X,g, h∈G, ρ(g∗h, x) =ρ(g, ρ(h, x)) 2. De la definici´on anterior se sigue que la funci´on x→ρ(g, x) es una biyecci´on.

Es por eso que, si denotamos por Biy(X) el conjunto de biyecciones de M

entonces la acci´on del grupo (G,∗) sobre X (por la izquierda) se define de manera equivalente como un homomorfirmos de grupos ρ : G→ Biy(X) que satisface ρ(g∗h) = ρ(g)∗ρ(h).

Ejercicio 48. En una acci´onpor la izquiera el productog∗hact´ua sobre un elemento en un orden preciso: primero h y luegog. En una acci´onpor la derecha el producto

g ∗h act´ua sobre un elemento en el orden opuesto: primero g y luego h. ¿Puedes escribir con detalle la definici´on de una acci´on por la derecha? Busca un ejemplo de un grupoGque act´ue por la derecha y por la izquiera sobre un conjuntoX. ¿Puedes pensar en un ejemplo donde Gno sea conmutativo?

Definici´on 22. Una acci´on (G, ρ) sobre una variedad diferenciable es de claseCk _si

para cada g ∈G la funci´onx→ρ(g, x) es de clase Ck_.

Definici´on 23. Una acci´on (G, ρ) sobre un conjunto X se dice libre si para todo

x∈X el estabilizador dex:

(3.17) Stab(x) ={g ∈G|ρ(g, x) =x}

es trivial. Decimos que el grupo G act´ua propia y discontinuamente sobre una va-riedad topol´ogica M si la acci´on correspondiente es continua y para toda x ∈ M

existe una vecindad Ux tal que

(3.18) #{g ∈G|ρ(g)Ux∩Ux 6=∅}<∞

Proposici´on 3. [Boo86] SeaM una variedad diferenciable de claseCk_{y supongamos}

que G act´ua de manera Ck_{, libre, propia y discontinuamente. Entonces existe una}

´

unica estructura de variedad diferenciable de clase Ck _{para M/G, el conjunto de}

´

orbitas de la acci´on, tal que

(3.19) p:M →M/G

sea un difeomorfismo local de clase Ck_.

La prueba de este teorema se puede adaptar cuando G es un subgrupo de Isom(H) que act´ua de manera libre, propia y discontinua. El resultado en este caso ser´a M/G una variedad hiperb´olica. Como vemos en el siguiente teorema, este es casi el caso de todo grupo Fuchsiano.

Teorema 13. [Kat10] Un subgrupo Γ de SL(2,R) es discreto (Fuchsiano) si y s´olo si su imagen en PSL(2,R) act´ua de manera propia y discontinua en H.

Ejemplo 6. Consideremos el toro T = R2/Z×Z. Como vimos antes, en este caso Γ(T) = SL(2,Z). El grupo SL(2,Z) est´a generado por las matrices

(3.20)

1 1 0 1

0 1

−1 0