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Ejercicios de logaritmos

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Academic year: 2020

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(1)

1. Calcula:

1 log )

49 log )

3 log )

1 log )

3 7 3 2

d c b a

a h

g f e

a a log )

1 log )

16 log )

5 log )

4 5

1 log

log )

0 log

1 log )

2 16 log )

1 5 log )

0 1 log )

2 7 log 49 log )

1 3 log 3 log )

0 2 log 1 log )

1 0 4

5 3

2 7 7

1 3 3

0 2 2

= =

= =

= =

=

= =

= =

= =

a a

h

a g

f e d c b a

SOLUCIÓN

a a

a a

2. Calcula los siguientes logaritmos:

2 3 9

3 3

5 2 2 8 4 2

8 4 2 2

1 ln )

81 log )

81 log )

2 log )

1000 1 log )

512 1 log )

512 1 log )

16 1 log )

16 1 log )

64 log )

64 log )

64 log )

8 log )

e m l k

j i h g f e d c b a

3 2

5 3

11 5

4 2

5 2 7 5

3 2 3 3

5

3 4

128 1 log )

81 log )

5 log

)

64 log )

8 log

)

49 1 log )

125 1 log

)

243 1 log )

) 32 ( log )

81 log )

) 27 ( log )

ln )

1 ln )

− − −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛−

− −

− − − − − − −

− − − −

z y x w v u t s r q p

e o

(2)

2 ln

1 ln )

3 2 9 log 81

log 81 log )

3 4 3 log 81

log 81 log )

5 1 2 log 2 log )

3 10 log 1000

1 log )

9 2 log 512

1 log )

3 8 log 512

1 log )

2 4 log 16

1 log )

4 2 log 16

1 log )

2 8 log 64 log )

3 4 log 64 log )

6 2 log 64 log )

3 2 log 8 log )

2 2

3 2 9 3 1 9 3

9

3 4 3 3 1 3 3

3

5 1 2 5

2

3 9 2 2

3 8 8

2 4 4

4 2 2

2 8 8

3 4 4

6 2 2

3 2 2

− = =

= =

=

= =

=

= =

− = =

− = =

− = =

− = =

− = =

= =

= =

= =

= =

− −

− − − −

e e

m l k

j i h g f e d c b a

4 6 64 log )

5 3 8 log

)

2 49

1 log )

3 125

1 log

)

5 243

1 log )

5 ) 32 ( log )

4 ) 3 ( log 81 log )

3 ) 3 ( log ) 27 ( log )

2 5 ln

)

3 4 ln

1 ln )

4 2

5 2 7 5

3 2

4 3 3

3 3 3

5

3 4

3 4

= = −

− = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

− = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛−

− = −

= −

= − =

= − =

− − =

− =

− − − −

− −

− −

− −

w v u t s r q p

e o

e e

(3)

3 7 128 1 log )

5 4 81 log )

11 1 5 log

)

3 2

5 3

11 5

− = −

= = −

− − −

z y x

3. Calcula los siguientes logaritmos:

7

7 7 7 / 1

5 2 / 3

3 5 / 1

5 / 1

3 / 1

3 / 1

2 / 1

2 / 1 2 2

49 log )

49 log

)

4 9 log )

5 log )

125 1 log

)

243 log )

81 1 log )

8 log )

8 1 log )

8 1 log )

8 log )

k j i h g f e d c b a

2 3 log )

27 125 log

)

3 4 log )

27 8 log )

100 log

)

10 1 log )

10 log

)

1000 1 log

)

2 3

5 3

3 4 3

2 3

5 10 10

5 10 1 10 1

(4)

1 2 3 log )

2 3 27 125 log

)

3 1 3 4 log )

3 27

8 log )

5 2 100 log

)

2 1 10 1 log )

1 10 log )

2 3 1000

1 log

)

7 2 49 log )

7 2 49 log

)

5 2 4 9 log )

3 1 5 log )

2 3 125

1 log

)

5 3

1 log 243 log )

4 3 1 log 81

1 log )

3 2

1 log 8 log )

3 2 1 log 8 1 log )

3 2

log 8 1 log )

3 2 log 8 log )

2 3

5 3

3 4 3

2 3

5 10 10 10 1 10 1

7 7

7 7 / 1

5 2 / 3

3 5 / 1

5 / 1

5 3 / 1 3

/ 1

4 3 / 1 3

/ 1

3 2 / 1 2

/ 1

3 2 / 1 2

/ 1

3 2 2

3 2 2

= − =

− =

− =

= − =

− =

= =

− = =

− =

=

− = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

− = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

− = =

= =

− − −

s r q p o n m l k

(5)

4. Halla el valor de x en las siguientes expresiones:

5 32

1 log )

3 1 log

)

6 log

)

2 log )

2 64 log )

1 log )

5 log

)

3 125 log )

8 1 2 3 2 3 2

= =

= =

= =

− =

=

x x x

h

x g

x f

x e

d

x c

x b

a

9 4 )

8 )

0 )

32 1 2 )

5 )

5

= = =

= = =

x e

x d

x c

x b

x a

SOLUCIÓN

2 1 )

2 1 8 1 )

8 ) 2 ( )

3 6

= = =

= =

x h

x g

x f

5. Calcula los siguientes logaritmos:

27 9 log )

125 log

)

32 8 log )

ln )

ln )

10 10 log )

3 3

7 5

2 3

2

f e d

e e c

e e b

a

5 2

3 5

3 / 1

4 2 / 1

2 4 log )

5 25 log )

27 3 log )

32 32 log

)

− −

− −

(6)

5 9 ) 2 ( log ) 2 ( ) 2 ( log 2 4 log ) 3 1 ) 5 ( log ) 5 ( ) 5 ( log 5 25 log ) 2 1 3 3 log 27 3 log ) 4 5 2 1 log 2 log 2 2 log 32 32 log ) 6 16 3 log 3 3 log 27 9 log ) 14 3 5 log 5 log 125 log ) 2 7 2 log 2 2 log 32 8 log ) 6 1 ln ln ln ln ) 2 3 ln ln ln ) 2 1 10 log 10 10 log 10 10 log ) 5 9 2 5 1 2 2 5 2 3 1 5 1 3 2 5 3 5 2 3 3 / 1 3 / 1 4 5 2 1 4 5 2 1 4 5 2 5 2 1 4 2 / 1 3 6 2 3 3 6 2 3 3 3 2 1 · 7 3 5 2 1 7 3 5 7 5 5 2 3 2 5 2 3 2 2 6 1 2 1 3 1 2 1 3 1 3 2 3 2 1 2 2 2 1 2 1 = − = − − = − − = − = − − = − − = = − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = − = = = = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − = = = − = = = = = = = = = = − − − − − − − − − − − − j i h g f e d e e e e e e c e e e e e b a

6. Calcula los siguientes logaritmos:

(7)

7 3 125 log

)

2 5 1

ln )

5 4 81

1 log )

4 16

1 log )

7 5

5 5 3 2

= −

− =

− =

− =

d

e c

b a

SOLUCIÓN

3 1 10

log 100 10 log )

2 3 27 log

)

2 4 1 log )

3 2 1 3

3 / 1

2 / 1

= =

− = =

g

f e

2 7 1

ln )

5 3 27

1 log )

5 32

1 log )

7 5 3

2

− =

− =

− =

e j

i h

2 1 10

log 1000 100 log )

3 27 log )

6 64

1 log )

2 3 2 3

/ 1

2 / 1

= =

− =

=

m l k

7. Utiliza las propiedades de los logaritmos para expresar las siguientes sumas y restas de logaritmos como un único logaritmo:

w z

y x e

w z y

x d

z y

x c

z y

x b

z y

x a

ln 3 ln ) ln (ln 3 2 )

) ln ln 2 ( ) ln 3 (ln 2 1 )

ln 5 ln 5 3 ln 3 )

log 3 2 ln 2 1 ln 2 )

log 3 log 2 log )

− − +

+ −

+ − +

+ +

+ +

) log 2 1 2 ( log 1 )

log 3 1 1 log 3 )

) 2 (log 2 1 log )

) log (log

3 1 log 3 log )

ln 5 3 ln 5 2 ln 5 1 ln 3 )

7 7

5 5

3 3

2 2

2 2

y x

j

y x

i

y x

h

b a

y x

g

w z

y x

f

+ − +

− −

+ ⋅

− +

+ −

+

− −

(8)

y x y x j y x y x i y x y x y x h ab xy b a y x g w yz x w yz x w z y x f zw y x zw y x w z y x e w z y x w z y x w z y x d z y x z y x z y x c z y x z y x z y x b z xy z y x z y x a · 49 7 log ) log 2 1 2 ( log 1 ) · 5 log log 3 1 1 log 3 ) ) 9 ( 3 log ) 9 log (log 2 3 log log ) 2 (log 2 1 log ) log ) log (log 3 1 log 3 log ) ln ln ln ln 5 3 ln 5 2 ln 5 1 ln 3 ) ln ) ln( ln ln 3 ln ) ln (ln 3 2 ) · · ln ) · ln( · ln ) ln ln 2 ( ) ln 3 (ln 2 1 ) · ln ln ) · ln( ln 5 ln 5 3 ln 3 ) ) · · ln( ln ln ln ln 3 2 ln 2 1 ln 2 ) ) log( log log log log 3 log 2 log ) 7 7 7 3 3 5 5 5 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2

5 2 3

3

5 2 3

3

3

3 2 2

3

3 2 2

2 3 2 3 5 5 3 3 5 5 3 3 3 2 2 3 2 2 3 2 3 2 = + − + = − − = + − + = + ⋅ − + = + − + = − = − − − = − = − − + = − = + − + = − = − + = + + = + + = + + = + +

8. Utiliza las propiedades de los logaritmos para expresar cada uno de los siguientes logaritmos como sumas y restas de logaritmos:

(9)

z y

z y i

y x

y x h

z y

x xyz

g

y x

y x f

z y

x yz

x e

w z

y x

zw y x d

c b

a c

b a c

d c

b a d

c b a b

c b

a c

ab c

ab a

SOLUCIÓN

3 3

3 5

3

2 2

2

5 5

5 3

5

3 3

3 2 3

2 2

2 3

3 2

3 3 7

5 2

5 2

3 3

log 6 5 log 3 1 log

)

log 4 1 log 2 1 log

)

) log log

(log 3 1 1

log )

log 3 1 log 2 2 9 log )

log 2 3 log 2 1 log 3 1 2

log )

log 3 1 log 3 1 log 3 log 2 1 log

)

ln 7 ) ln ln 2 ( 5 1 ln

)

) ln 5 ln 2 ( ) ln ln 3 ( 2 1 ln

)

log 3 log 2 1 log 2 1 log 3 log

log )

+ =

+ =

+ +

− =

− −

=

− −

+ =

− −

+ =

− + =

+ −

+ =

− +

= −

=

9. Sabiendo que log 2 = 0,301 y que log 3 = 0,477 utiliza las propiedades de los logaritmos para calcular los siguientes logaritmos:

200 log )

60 log )

36 log )

18 log )

12 log )

6 log )

30 log )

81 log )

8 log )

4 log )

j i h g f e d c b a

04 , 0 log )

8 , 0 log )

125 log )

25 log )

15 log )

50 log )

5 log )

3 , 0 log )

25 , 0 log )

5 , 0 log )

(10)

2 301 , 0 2 100

4 log 04 , 0 log )

1 301 , 0 3 10

8 log 8 , 0 log )

) 301 , 0 1 ( 3 125 log )

) 301 , 0 1 ( 2 25 log )

301 , 0 477 , 0 1 2 30 log 15 log )

301 , 0 2 2 100 log 50 log )

301 , 0 1 2 10 log 5 log )

1 477 , 0 10

3 log 3 , 0 log )

301 , 0 2 2

log 4 1 log 25 , 0 log )

301 , 0 2

log 2 1 log 5 , 0 log )

301 , 0 2 200 log )

477 , 0 301 , 0 1 60 log )

477 , 0 2 301 , 0 2 36 log )

477 , 0 2 301 , 0 18 log )

477 , 0 301 , 0 2 12 log )

477 , 0 301 , 0 3 2 log 6 log )

477 , 0 1 10 3 log 30 log )

477 , 0 4 81 log )

301 , 0 3 8 log )

301 , 0 2 2 log 2 2 log 4 log )

2 1 2

− ⋅

= =

− ⋅

= =

− ⋅ =

− ⋅ =

− +

= =

− = =

− = =

− =

=

⋅ − = =

=

− = =

= + =

+ +

=

⋅ + ⋅

=

⋅ + =

+ ⋅

=

+ =

⋅ =

+ = ⋅ =

⋅ =

⋅ =

⋅ = =

=

− −

s r q p o ñ n m l k

j i h g f e d c b a

10.Expresa en función de log 7:

07 , 0 · 2401

7 · 343 log )

49 70 · ) 0343 , 0 ( log )

3 3

2

(11)

2 7 log 6 7 2 7 log 7 log 3 4 7 log 2 1 7 log 3 100

7 log 7 log 3 1 7 log 2 1 7 log )

7 7 log 3 19 7 log 3 2 1 7 log 8 7 log 6 7 log 3 1 10 7 log 10

7 log 2 )

4 3

2 4

3

+ =

+ −

− +

= −

− +

− =

− + +

− =

− ⋅ +

b a

SOLUCIÓN

11.Calcula el valor de los siguientes logaritmos utilizando la calculadora:

239 log )

75 , 1 log )

17 log )

213 log )

5 log )

3 , 1

4 2 7 3

e d c b a

874 , 20 239 log )

404 , 0 75 , 1 log )

087 , 4 17 log )

755 , 2 7 ln

213 ln 7 log

213 log 213 log )

465 , 1 3 ln

5 ln 3 log

5 log 5 log )

3 , 1

4 2 7 3

= = =

= =

=

= = =

e d c b a

SOLUCIÓN

12. ¿Verdadero o falso?

121 log log

49 log )

3 ·log 2 01 , 0 log )

2 log 3 002 , 0 log )

log log

log )

log log 2 1 log

)

log 2 100 log )

) log(

) log( 2 )

) log(

) log( ) log( )

11 7

7

3 2 2

2 2

2 2

+ =

− =

+ − =

+ =

+ = =

+ =

+

− =

− +

+

x x

h g f

y x

y x e

y x xy

d

x x

c

n m n

m b

n m n

m n

m a

SOLUCIÓN

a) Verdadero: log(m+n)+log(mn)=log(m+n)(mn)=log(m2 n2) b) Falso: 2log(m+n)=log(m+n)2 =log(m2 ++2mn+n2)

(12)

d) Falso: (log log ) 2

log xy = x+ y

e) Falso: (2log 2log ) log 2 2

2 1 log

logx+ y= x+ y = x y

f) Verdadero: log0,002=log210−3 =log2+log10−3 =log23 g) Verdadero: log0,01=−2=−2⋅log33

h) Verdadero: log749x=2+log7 x=log11121+log7 x

13. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. Comprueba si las soluciones obtenidas son correctas.

2 ) 6 5 ( log 2 1 )

1 ) 1 log( 2 1 )

5 log ) 5 log( 2 1 ) 1 log( )

) 1 log( ) 1 3 log( ) 1 log( ) 4 2 log( )

1 ) 4 , 2 log( log

2 )

1 ) 5 ( log ) 7 5 ( log )

) 7 ( log 1 ) 5 3 ( log )

3 log 2 ) 2 3 ( log ) 5 3 ( log )

) 2 5 log( ) 1 log( 2 )

3

2 2 2

5 5

3 3

3

= +

= −

− =

+ −

+ −

− =

− −

= + −

= + −

+

− =

+ −

= − +

+

− =

x i

x h

x x

x g

x x

x x

f

x x

e

x x

d

x x

c

x x

x b

x x

a

(

)

; 2 ;

12

; 0 24 10 ;

10 4 , 2 )

1 ;

10 2 7 5 ; 2 5

7 5 )

) (

14 18 ;

7 )

5 3 ( 5 )

9 10

; 9 10 9 9 ; ) 3 ( log ) 2 3 )( 5 3 ( log )

) (

2 2

; 4 ;

2 5 2

1 ); 2 5 log( 1

log )

2 1

2 2

2 2

2 3 3

2 1

2 2

2

− = =

= − − =

+

= +

= + =

+ +

= −

= − =

= − + =

− +

= −

=

= −

= + − −

= −

x x

x x

x x e

x x

x x

x d

válida es no x

x x

c x

x x

x x

x x

b

válida es no x

y x

x x x

x x

x a

(13)

15 ;

81 6 5 ; 9 6 5 )

101 ;

100 1 ; 10 1 )

) (

3 ;

4 ;

0 12 ;

0 24 2 2

; 25 1 2 ;

25 1 ; 5 5

1 )

; 3 1 ;

3 1

; 1 4 3 4 2 ); 1 )( 1 3 ( 4 2 ; 1

1 3 1 4 2 )

2 1

2 2

2 2

2 2

1

2 2

= =

+ =

+

= =

− =

− = =

= − − =

− −

− = + − −

= − −

= + −

= −

=

+ − = − −

− = − +

− = − −

x x

x i

x x

x h

válida es no x

x x

x x

x

x x

x x x

x x

x g

válida es solución Ninguna

x x

x x x x

x x x

x x

x f

14. El nivel de intensidad, D, de un sonido de intensidad, I, viene expresado por:

0

log 10

I I D= ⋅

donde D es el nivel de intensidad en decibelios e I es la intensidad en watios/m2. La intensidad del sonido más débil perceptible por el oído humano en determinadas condiciones es I0= 10-12.

a) Calcula el nivel de intensidad para las siguientes intensidades: Conversación normal 3,4 · 10-6

Sonido trompeta 2 · 10-3 Coche fórmula uno: 7 · 102

b) Calcula la intensidad de los siguientes niveles de intensidad en decibelios: Grito humano: 80

Interior de una discoteca: 115 Motocicleta: 90

SOLUCIÓN.-

A) Conversación normal: 12

6

10 10 4 , 3 log

10

⋅ =

D = 65,31 decibelios

Sonido trompeta: 93,01 decibelios Coche fórmula uno: 148,45 decibelios B) Grito humano:

12 8 12

8 12

12 ; 8 log10 ; 10 10 ; 10 10

10 log 10

80= I = I = I I = ⋅ − = 10-4 watios/ m2

(14)

escala logarítmica en base 10. Un terremoto de grado 2 es 10 veces más intenso que uno de grado 1. El terremoto de San Francisco de 1906 fue el primer gran terremoto del que se obtuvieron datos y su magnitud fue de 8,2. En 1992 se produjo un terremoto en la costa colombiana de una intensidad de 6,6. ¿Cuántas veces fue mayor la potencia del primero que la del segundo?

Todos los terremotos son comparados con el denominado nivel cero del terremoto, cuya lectura del sismógrafo mide 0,001 mm a una distancia de 100 km del epicentro.

Un terremoto cuya lectura del sismógrafo mide x milímetros tiene una magnitud 001

, 0 log x M =

La intensidad de un terremoto es

001 , 0

x I = .

¿Cuál es la intensidad y la magnitud de un terremoto cuya lectura en el sismógrafo es de 0,1 mm?

SOLUCIÓN.-

39,81 veces mayor. I = 100, M = 2.

16. El valor de un libro se duplica cada 10 años. El libro fue valorado originariamente en 1,5 €. ¿Cuál es la expresión que representa el valor del libro en función del tiempo? ¿Cuál es la expresión que representa el tiempo trascurrido desde la primera edición del libro en función de su valor?

5 , 1 log 10 ) (

2 5 , 1 ) (

2 1 , 0

x x

t t f

SOLUCIÓN t

⋅ =

⋅ =

17. El proceso de aprendizaje de una determinada actividad viene dada por la función: f(t)=75(1e−0,3t)

(15)

SOLUCIÓN.-

Puntuación: f(20)=75(1e−0,3⋅20)=74,81; Días de estudio: 9 días aproximadamente

86 , 8 3 , 0

66 , 2 ;

3 , 0 66 , 2 ; ln 07 , 0 ln

; 07

, 0 ; 1

93 , 0 ; 1

93 , 0 ); 1

( 75 70

3 , 0

3 , 0 3

, 0 3

, 0 3

, 0

= − − = −

= − =

= −

= − −

= −

⋅ =

− −

− −

t t e

e e

e e

t

t t

t t

18. Si se depositan 6000 € en una cuenta de ahorros bancaria a un interés del 5% trimestral durante 3 años ¿Cuánto nos devolverán al finalizar este período? ¿Cuánto tiempo será necesario para obtener 500 € de intereses?

SOLUCIÓN.-

10775 euros;

euros C

años en

tiempo el

es t donde t

C t

10775 )

05 , 1 ( 6000 )

3 (

) 05 , 1 ( 6000 )

(

3 4 4

= ⋅

= ⋅ =

1,64 trimestres

trimestres años

t t t

t t

t

64 , 1 41

, 0 ; 4 634 , 1 ; 4 05 , 1 log

083 , 1 log

; ) 05 , 1 ( log 083 , 1 log ; ) 05 , 1 ( 083 , 1 ; ) 05 , 1 ( 6000

6500 4

05 , 1 05

, 1 4

4

= =

= =

= =

⋅ =

19. El crecimiento de una población de un determinado país viene dado por: f(t)= Ae0,15t

donde A es la población inicial del año 1990 que era 350 000 habitantes; 0,15 es la tasa de crecimiento anual en tanto por uno; y t, el tiempo expresado en años desde 1990. ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse la población si se mantiene la tendencia expuesta?

SOLUCIÓN.- 4,62 años

20. Un cultivo de bacterias crece según la función: t

e t

f 0,25 2

30 )

(

+ =

(16)

Inicialmente hay 10 bacterias, después de 10 días, 14,41.

14,41

2 30 )

10 ( ;

10 2

30 )

0

( 0,250 0,2510 =

+ = =

+

=

e f

e f

Hay 12 bacterias a los 2,77 días.

77 , 2 ;

69 , 0 25 , 0 ; 5 , 0 ln ln

; 5 , 0 ;

12 24 30 ;

30 12

24 ; 2

30 12

25 , 0

25 , 0 25

, 0 25

, 0 25

, 0

= −

= −

=

= −

= =

+ +

=

− −

− −

t t

e

e e

e e

t

t t

t t

21. En una universidad se ha elaborado el siguiente modelo para estimar el porcentaje de respuestas correctas, f(n), en un cuestionario de opción múltiple en función del número de preguntas, n.

n e n

f 0,5

1 75 , 0 )

(

+ =

Estima el porcentaje de respuestas correctas de un cuestionario de 20 preguntas. ¿cuántas preguntas debe tener un cuestionario con un porcentaje del 50% de respuestas correctas?

SOLUCIÓN.- 75%;

1,38 preguntas

22. El ser humano pierde la capacidad de memoria con los años. Se estima que el porcentaje f(x) retenido en la memoria al cabo de x semanas se puede hallar mediante la expresión.

f(x)=40+70e−0,4x

¿Qué porcentaje se retendrá en la memoria al cabo de 1 semana? ¿Y de 3 semanas? ¿Cuántas semanas deben transcurrir para que dicho porcentaje sea del 50%?

SOLUCIÓN.-

Al cabo de una semana, 86,92%; Al cabo de tres semanas, 61,08%. Deben transcurrir 4,86 semanas

23. En Química se utiliza para medir la acidez de disoluciones un número denominado pH y que se define por:

pH =log

[ ]

H+

donde [H+] es la concentración en iones de hidrógeno en moles por litro. Calcula el pH: a) De la cerveza, sabiendo su [H+]=6,3 · 10-5

(17)

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