FUNCIONES LINEALES Y
MATRICES
En los grupos abelianos, que aqu´ı siempre denotaremos aditivamente, “se repet´ıa” sobre los n´umeros enterosZ, tomandoa+a+a+...+a= na cuando en la izquerda hay n aes. Se tom´o adem´as 0·a = 0 y (−n)a=−(na).
Estudiaremos las implicaciones de tomar las repeticiones no sobre Z sino sobre un campo cualquierdaK, los casos m´as usuales sonK=R, K =C.
Espacios Vectoriales
1.1 Definici´on:
i Sea V un grupo abeliano y K un campo. Llamamos una mul-tiplicaci´on por escalar en V, a una funci´on K×V → V tal que, si denotamos la imagen de (α, v) porα·v, entonces: M.E.1 ∀α, β ∈K,∀v∈V, (α+β)·v=α·v+β·v. M.E.2 ∀α∈K,∀v, w∈V,α·(v+w) =α·v+α·w. M.E.3 ∀v∈V, 1·v=v.
M.E.4 ∀α, β ∈K,∀v∈V,α·(β·v) = (α·β)·v.
ii A una tripla (V, K, K×V →V) en dondeV es un grupo abeliano, K es un campo yK×V →V una multiplicaci´on por escalar se le llama un espacio vectorial.
Cuando digamos, “sea V un espacio vectorial sobre K” entendemos queV es un grupo abeliano, K es un campo y que una multiplicaci´on por escalarK×V →V ha sido seleccionada.
1.2 Ejemplos:
i Sea K un campo. Entonces Kn =KL
KL
...L
K (ncopias deK) es un grupo abeliano con suma coordenada a coordenada, si x = (x1, x2, ..., xn) y tomamos α·x = (αx1, αx2, ..., αxn)
en-toncesKn es un espacio vectorial sobre K. En particularK es un espacio vectorial sobreK.
ii Sean V1, V2, ..., Vn espacios vectoriales sobre K, entonces
V1LV2L...LVn={(v1, v2, ..., vn)|vi ∈V,∀i∈I} es un grupo abeliano con suma coordenada a coordenada. Si tomamosα·(v1, v2, ..., vn) = (α·v1, α·v2, ..., α·vn) entonces esta es una multiplicaci´on por escalar y
n
M
i=1
Vies un espacio vectorial.
iii En particular KmL
KmL
...L
Km = (Km)n es un espacio vectorial sobreK. En este caso se da un nombre y una escritura especial. A unan-upla
X1 X2 .. . Xn
donde Xi ∈ Km se llama una matriz n×m, donde Xi = (ai1, ai2, ..., aim).
y: X1 X2 .. . Xn =
a11 a12 · · · a1m a21 a22 · · · a2m
..
. ... ... an1 an2 · · · anm
Cuando no hay posibilidad de error se escribe simplemente
X1 X2 .. . Xn
= (aij)
Se tiene pues que (aij) + (bij) = (aij+bij) y α(aij) = (αaij). iv SeaV un espacio vectorial sobreKy seaAun conjunto cualquiera.
Entonces VA={f :A→V |f es funci´on}es un grupo abeliano para la suma: (f +g)(a) =f(a) +g(a) y para el producto por escalar: (αf)(a) = αf(a). En particular cuando A = [a, b] y V =R.
v Si K es un campo, K[x], el conjunto de los polinomios con co-eficientes en K (indeterminada x) es un grupo abeliano para la suma:
∞
X
i=0
aixi+
∞
X
i=0
bixi =
∞
X
i=0
(ai+bi)xi
que es la suma corriente de polinomios. (Recuerde que en un poli-nomio
∞
X
i=0
aixi,ai = 0 S.P.U.N.F.I se toma
∞
X
i=0
aixi =
∞
X
i=0
(αai)xi).
vi Kn[x] ={p(x)∈K[x]|grp(x)≤n}es un subgrupo deK[x]. Se toma la misma multiplicaci´on por escalar, que en el ejemplo iv.
Funciones Lineales
1.3 Definici´on:
SeanV yW espacios vectoriales sobreK, se dice quef :V →W es una funci´on K-lineal (o morfismo de K-espacios) si f :V → W es homomorfismos de grupos abelianos que preserva el producto por escalar
Note que en una funci´onf :V →W esK-lineal si y s´olo si∀v1, v2 ∈V,
∀α1, α2 ∈K,f(α1v1+α2v2) =α1f(v1) +α2f(v2).
1.4 Definici´on:
Una funci´on f :V1 → V2 K-lineal se dice un isomorfismo si es
biyectiva.
1.5 Ejemplos:
i Si V es un K-espacio vectorial, 1V : V → V es una funci´on K-lineal. M´as a´un es un isomorfismo.
ii Si f :V →W es un isomorfismo tambi´en lo es f−1 :W →V. iii Si f :V →W yg:W →Z son funcionesK-lineales tambi´en lo
esg◦f :V →Z y sif yg son isomorfismo tambi´en lo esg◦f. iv D×D[a, b]→C[a, b] dado porDX(f) =f0 (la derivada def) es
una funci´on (operador) lineal.
v Sean V yW espacios vectoriales sobre K. SeanHomK(v, w) =
{f :V → W |f es K-linea}. Es claro que HomK(V, W) es un subespacio de WV. En particular HomK(K, K) es un espacio sobre K.
vi Sea φ:K → HomK(K, K) dada as´ı: Para k ∈K, ϕ(k) denota la funci´on ϕ(k) : K → K con ϕ(k)(x) = kx, ∀x ∈ K. Se tiene pues queϕ es un isomorfismo.
vii Consideremos VA ya ∈A, existe una funci´on llamada la eva-luaci´on en a Ea:VA→V dado por Ea(f) =f(a). Entonces Eaes una funci´onK-lineal cuandoV es unK-espacios vectorial. viii Sif :V1 →W yg:V2 →V son funcionesK-lineales tambi´en lo
esV1LV2→W (denotada a´unf+g) dada por (f+g)(v1, v2) =
f(v1) +g(v2).
ix Si F : V1LV2 → W es una funci´on K-lineal entonces F es
v 7→ (v,0) y v7→ (0, v) respectivamente (o si lo prefiere i1(v) =
(0, v)) entoncesi1,i2sonK-lineales (siV1, V2, W sonK-espacios)
y adem´asF = (F ◦i1) + (F◦i2). La pareja de funciones F◦i1
y F ◦i2 se llama la descomposici´on a izquierda de F y se
denota F1 yF2.
x Si F :R2LR3 →R4, ((a, b),(c, d, e))7→(2a+ 4c,6b+ 7e,0,0). Entonces F es una funci´on R-lineal y la descomposici´on a iz-quierda de F ser´a
F1(a, b) =F((a, b),(0,0,0))= (2a+4·0,6b+7·0,0,0) = (2a,6b,0,0) F2(x, y, z) = F((0,0),(x, y, z)) = (2·0 + 4x,6·0 + 7z,0,0)
= (4x,7z,0,0)
xi Si fi : Vi → W es K-lineal, i = 1,2, ..., n, tambi´en lo es n
X
i=1
fi n
M
i=1
Vi→W
!
dada por n
X
i=1
fi
!
(x) = n
X
i=1
fi(xi) si x= (x1, x2, ..., xn).
xii Si F : n
M
i=1
Vi → W es K-lineal tambi´en lo es F ◦ij = Fj :
Vi → W en donde ij : Vi →
n
M
i=1
Vi, x 7→ (0, ..., i
∧
x,0, ...,0) en
donde ∧i significa “en la i-´esima coordenada”, as´ı pues sin= 3, i1 : V1 → V1LV2LV3 estar´a dada por i1(v) = (v,0,0)
y F1(v) = (F ◦i1)(v) = F(i1(v)) = F(v1,0,0). i2 : V2 →
V1L
V2L
V3 est´a dada por i
2(v) = (0, v,0) y F2 :V2 → W
conF2(v) = (F◦i2)(v) =F(i2(v)) =F(0, v2,0).
De la misma manera se tiene que para i3 y F3. Se tiene
en-tonces que F =F1+F2+F3 en efecto
(F1+F2+F3)(v1, v2, v3) =F1(v1) +F2(v1) +F3(v3)
=F(v1,0,0) +F(0, v2,0) +F(0,0, v3)
=F((v1,0,0) + (0, v2,0) + (0,0, v3))
xiii Pi : n
M
i=1
Vi →Vj dada porPj(v1, v2, ..., vn) =vj es una funci´on
K-lineal la cual se llama laj-´esima proyecci´on.
xiv Si fi :W →Vi es K-lineal, entonces tambi´en lo es F :W →
n
M
i=1
Vi dada por F(w) = (f1(w), ..., fn(w)) en este caso F se
denota F = (f1, f2, ..., fn) = (fi)i. Es decir que (fi)i(v) =
(f1(v), f2(v), ..., fn(v)). Ahora bien siF :W →
n
M
i=1
Vi entonces lan-upla de funcionesFi =Pi◦F se llama la descomposici´on de F a derecha. Se tiene que F = (F1, F2, ..., Fn) = (Fi)i.
Primer Teorema de Caracterizaci´on de Funciones Lineales
Sea K un campo. Deseamos dar, de ser posible, una caracterizaci´on de todas las funciones linealesKm→Kn. Deseamos saber si podemos decir a “ojo” (son solo mirar la f´ormula de la imagen) si una funci´on Km→Kn dada esK-lineal.
Veamos para iniciar un caso “peque˜no”. Supogamos queF :R3→R2 lineal. Entonces F = (F1, F2) en donde F1 :R3 → R, (F1 =P1◦F),
F2 : R3 → R, (F2 = P2 ◦F). Por otra parte F1 : R3 → R tiene descomposici´on a izquierda,
R→i1 R3→F1 R, R→i2 R3 →F1 R, R→i3 R3 →F1 R o lo que es lo mismo
F1◦i1 = (Fi)1, F1◦i2= (F1)2, F1◦i3 = (F1)3
Si es complicado escribir (F1)i entonces escribirmosF1i y tenemos que
F1 =F11+F12+F13
y de la misma manera F2 = F21+F22+F23 as´ı pues F = (F1, F2) =
(F1
lineal. Del ejemplo 1.5, partev se tiene quef :R→ResR-lineal si y s´olo si existea∈Rtal quef(x) =ax,∀x∈R. En efecto a=f(1). Se tiene entonces que cada uno de los Fi
j est´a dada por un n´umero real as´ı:
F11(x) =a11x F21(x) =a12x F12(x) =a21x F22(x) =a22x F13(x) =a31x F23(x) =a32x Veamos como es pues la funci´on F.
F(x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z))
= ((F11+F12+F13)(x, y, z),(F21+F22+F23)(x, y, z)) = (F11(x) +F12(y) +F13(z), F21(x) +F22(y) +F23(z)) = (a11(x) +a21(y) +a31(z), a12(x) +a22(y) +a32(z)) = (a11x+a21y+a31z, a12x+a22y+a32z)
As´ı pues, toda funci´onF :R3→R2 est´a determinada y determina, de manera ´unica n´umerosa11,a21,a13,a12,a22,a32; para facilitar el recordarlo lo escribimos en forma de matriz
a11 a21 a31 a12 a22 a32
Se nota quea11x+a21y+a31zse obtiene de los vectores (triplas) (a11, a21, a31) y (x, y, z) multiplicando coordenada a coordenada y despu´es sumando los resultados, esto da lugar a una funci´on,R3×R3→R, llamada un
producto escalar (distinto de “por” escalar), as´ı: (x1, x2, x3)(y1, y2, y3) =x1y1+x2y2+x3y3
Se tiene entonces que hay una matriz
A1
A2
determinada y que determina a F.
El proceso que hicimos indica como determinar la matriz deF. Adem´as es claro como dar la funci´on lineal de una matriz
A1
A2
de la siguiente manera (en la cual usaremos notaci´on
a b c
en cambio
de (a, b, c) para aconstumbrarnos a un uso corriente en ´algebra lineal.
F(X) =
A1·X
A2·X
que tambi´en se escribe
A1·X
A2·X
=
A1
A2
·X
Por ejemplo siA1= (2,3,4),A2= (−2,6,3) entonces:
F(x, y, z) =
2 3 4
−2 6 3
x y z
=
(2,3,4)·(x, y, z) (−2,6,3)·(x, y, z)
=
2x+ 3y+ 4z
−2x+ 6y+ 3z
Ahora bien 2x+ 3y+ 4z es una combinaci´on lineal de x, y, z es decir es una suma de productos de x, y, z cada uno por un escalar (en R en este caso). De la misma manera −2x + 6y + 3z es una combinaci´on lineal de x, y, z. Se nota entonces F :R3 → R2 es una funci´on lineal sobre Rsi cada una de las coordenadas deF(x, y, z) es una combinaci´on lineal dex,y,z con coeficientes enR.
Miremos ahora las propiedades del producto escalar.
1.6 Proposici´on:
Seanx, y, z ∈Kn. Entonces: i x·y=y·x.
iii (αx)·y=α(x·y).
1.7 Proposici´on:
Sea A1 .. . An
una matriz de n×m de elementos de K (o con
coordenadas enK), es decirAi ∈Kn, entonces la funci´onF:Km→Kn dada por
F(X) =
A1·X
A2·X
.. . An·X
(denotado tambi´en A·X si A=
A1 A2 .. . An )
es una funci´on K-lineal.
1.8 Proposici´on:
Sea F : Km → Kn una funci´on K-lineal entonces existe una matriz A∈Mn×m(K) tal que F(X) =A·X,∀X ∈Kn.
Demostraci´on:
Puesto que F : Km → Kn es K-lineal F se descompone en F = (F1, F2, ..., Fm) en dondeFj :Km →K es lineal, comoFj es lineal, Fj se descompone en:
Fj1 :K →K Fj2 :K →K · · · Fjm :K →K o lo que es lo mismo Fj =
m
X
i=1
Fji conFji :K →K lineal.
Como Fji : K → K entonces existe aij ∈ K tal que Fji(x) = aij(x),
∀x∈K. As´ı pues
Fj(x) = m
X
i=1
Fji(xi) = m
X
i=1
Si denotamosAj = (a1j, a2j, ..., anj) entoncesFj(X) =Aj·X, se tiene entonces escribiendo en forma de columna
F(X) =
F1(X)
F2(X)
.. . Fn(X) =
A1·X
A2·X
.. . An·X
=A·X, si tomamosA=
A1 A2 .. . An 1.9 Nota:
A la matrizAque se hizo corresponder aF :Kn→Km en 1.7 la llamaremosF y la denotaremos M(F).
Note que la escritura en forma de columna tiene m´as ventajas. As´ı si F :R3 →R4 es la funci´on
F(X) =
2x+ 3y+ 4z 5x+ 6z 7x+ 9y+ 8z 9y+ 6z
Entonces es claro queF es lineal sobreRpuesto que
F x y z =
2x+ 3y+ 4z 5x+ 0y+ 6z 7x+ 9y+ 8z 0x+ 9y+ 6z
Y cada coordenada deF(X) (cuandox= (x, y, z)) es una combinaci´on lineal dex,y,z. Adem´as es obvio que
M(F) =
2 3 4 5 0 6 7 9 8 0 9 6
O sea la matriz de los coeficientes de las combinaciones lineales orde-nadas. En efecto si Aes la matriz dicha
A·X =
(2,3,4)·X (5,0,6)·X (7,9,8)·X (0,9,6)·X
=
2x+ 3y+ 4z 5z+ 0y+ 6z 7x+ 9y+ 8z 0x+ 9x+ 6y
Los Elementos del Caso General V →W
Si nos preguntamos ahora bajo que condiciones una funci´on K-lineal f :V →W, en dondeV yW sonK-espacios cualesquiera, se puede dar por medio de una matriz como en el caso acotado para poder responder a esta pregunta se requiere tratar algunos elementos fundamentales. En efecto un elemento fundamental que usaremos, fue que en Kn un elemento tiene “coordenadas”, y de hecho est´a determinado de manera ´
unica por ellas. Usaremos adem´as “combinaciones lineales”. Estos dos elementos est´an adem´as conectados. He aqu´ı los elementos b´asicos que nos permitiran generalizar el problema.
1.10 Definici´on:
SeaV un K-espacio vectorial yS un subconjunto de V. A una suma de la forma k1s1+K2s2+...+knsn en dondeki∈K ysi ∈S,
∀i = 1, ..., n, lo llamamos una combinaci´on lineal de elementos de S.
En los elementos de 1.10 resulta que 0 es una combinaci´on lineal de elementos de S. En efecto 0 = 0s con s ∈ S es una combinaci´on lineal de elementos deS. En efecto s= 1·s. Esto ´ultimo lo sabemos, es la condici´on M.E.3. Para lo segundo comencemos por remediar la omisi´on de las propiedades elementales de un espacio vectorial.
1.11 Proposici´on:
SiV es un espacio sobreK entonces: i ∀v∈V, 0v= 0.
ii (−α)v=−(αv),∀α∈K,∀v∈V.
(β1s01+β2s20+...+βqs0q) =α1s1+α2s2+...+αtst+(−β1)s10 +(−β2)s02+
...+ (−βq)s0q y sabemos que 0 es combinaci´on lineal de elementos de S. Qu´e estructura est´a revuelta en este subgrupo? Se completa a algo como subespacio? La respuesta es s´ı. He aqu´ı la formalizaci´on del concepto.
Subespacios Vectoriales
1.12 Definici´on:
SeanW yV espacios vectoriales sobreK. Se dice que W es un subespacio de V (sobre K) si W ⊆V y la suma y el producto deW son las restricciones de la suma y el producto enV.
Dado un subconjunto W de un espacio vectorial V sobre K diremos que W es un subespacio de V (sobre K) si W es cerrado para las operaciones suma y producto por escalar y W con las operaciones incluidas en un subespacio deV. Se tiene un teorema correspondiente al caso de grupos abelianos.
1.13 Proposici´on:
Sea V un espacio vectorial sobre K. Sea W ⊆ V, W 6= φ. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:
i W es un subespacio deV sobre K.
ii W es un subgruupo de (V,+) cerrado para el producto por es-calar.
iii ∀w1, w2∈W,∀α ∈K,w1−w2∈W,αw1∈W.
iv ∀w1, w2∈W,∀α1, α2∈K,α1w1+α2w2∈W.
1.14 Ejemplos:
iii Para K un campo, sea T = {(0, a2, a3,0, a5) | ai ∈ K} es un
subespacio de K5.
iv C[a, b] = {f : [a, b] → R | f es continua} es un subespacio de R[a,b] sobre R.
v D[a, b] = {f : [a, b]→ R |f es diferenciable} es un subespacio de C[a, b].
La propiedad fundamental que nosotros queremos es.
1.15 Proposici´on:
SeaS⊆V. Sea< S >el conjunto de las combinaciones lineales de elementos de S (con coeficientes en K). Entonces < S > es un subespacio de K 2
1.16 Definici´on:
i < S >de la proposici´on anterior se conoce como elsubespacio generado por S.
ii SiG=< S >decimos queS es un conjunto degeneradores de
G.
Estamos frente a una parte de la teor´ıa de grupos abelianos que “pasan” de manera directa (´unicamente teniendo cuidado de “preservar la mul-tiplicaci´on por escalar”) del caso de grupos abelianos al caso de espa-cios vectoriales. All´ı se ten´ıa el subgrupo generado por un subconjunto. Aqu´ı tambi´en hay la noci´on de generaci´on y podr´ıa haberse usado la misma t´ecnica que all´a. As´ı se podr´ıa haber demostrado que la inter-secci´on de subespacios es un subespacio, en tal caso se tendr´ıa que:
∩{W |W subespacio de V,W ⊇S}
1.17 Proposici´on:
< S > es el subespacio m´as peque˜no de V sobre K que cotiene a S. Es decir el subespacio < S > cumple que si T es un subespacio < S > cumple que si T es un subespacio de V y T ⊇ S entonces < S >⊆T 2
Note que la parte de homomorfismo de grupos abelianos produce pro-piedades conocidas que se extienden tambi´en a la preservaci´on del producto por escalar. As´ı por ejemplo, si f : A → B es un homo-morfismo de grupos abelianos, entonces, Im f es un subgrupo de B. La propiedad correspondiente en el caso que estudiamos ser´ıa (tradu-ciendo): Si f : A → B es K-lineal entonces Im f es un subespacio de B. La parte correspondiente a grupos ya se conoce. En efecto sa-bemos que si f es K-lineal entonces es un homo de grupos abelianos, por tanto Im f es un subgrupo de B. Resta demostrar que es cerra-do para el producto por escalar: Si x ∈ Im f y α ∈ K entonces αx ∈ Im f. En efecto: x ∈ Im f ↔ x = f(a) para a ∈ A. As´ı que αx=αf(a) =f(αa)∈Im f.
Las propiedades tambi´en pueden ser demostradas directamente, por ejemplo la anterior demostraci´on de manera directa ser´ıa: Sean x, y que pertencene aIm f,α, β∈K y veamos queαx+βy∈Im f. Pero comox, y∈Im f,x=f(a),y=f(b) con a, b∈A. Se tiene entonces
αx+βy=αf(a) +βf(b) =f(αa+βb)∈Im f
De las propiedades siguientes aconsejamos que la mitad que haga de manera directa y la mitad usando el caso correspondiente a grupos abelianos.
1.18 Proposici´on:
Seaf :V1→V2 una funci´on K-lineal entonces:
i Si W1 es un subespacio deV1,f(W1) es un subespacio deV2.
ii Si W2 es un subespacio deV2,f−1(W2) es un subespacio deV1.
iii Im f es un subespacio de V2.
v f es 1−1 si y s´olo si ker f = 0.
Tenemos adem´as una relaci´on con generaci´on que nos interesa.
1.19 Proposici´on:
Seaf :V1 → V2 una funci´on K-lineal sobreyectiva. Si S genera
a V1 entoncesf(S) genera a V2.
Demostraci´on:
En efecto si y ∈ V2 entonces y = f(x) con x ∈ V1. Entonces x =
n
X
i=1
αisi consi ∈S,αi∈K. As´ı que
y=f(x) =f n
X
i=1
αisi
!
= n
X
i=1
f(si)∈< f(S)> 2
Bases
Ahora bien, en el caso de grupos abelianos se ten´ıan descomposiciones muy precisas cundo se pod´ıa minimizar el conjunto de generadores. Por ejemplo, en el caso de un elemento se encontraron los grupos c´ıclicos. Si Ges un grupo c´ıclicoG∼=Z´oG∼=Zp para alg´un p. En el caso nuestro la relaci´on es mucho m´as precisa. Antes extenderemos el simbolo∼=.
1.20 Definici´on:
SeaV yW K-espacios vectoriales. Decimos queV esisomorfo
a W si y s´olo si existe f :V →W que es un isomorfismo. Como siempre se tiene.
1.21 Proposici´on:
Ahora bien, el caso deZyZp para espacios vectoriales as´ı.
1.22 Proposici´on:
Si V es un espacio vectorial sobre K tal que V =< a > para alg´una∈V, entoncesV ∼=K.
Demostraci´on:
f : V → K, αa 7→ α es claramente un isomorfismo. Aqu´ı juega un papel muy importante el hecho que {a} es el m´ınimo conjunto (en cuantoan´umero) de generadores posibles.
Decimos queSes un conjunto minimal de generadores deV siG=< S > y si s0 ∈ S (propiamente) entonces < S0 >⊆ G. Estos conjuntos se caracterizan as´ı:
1.23 Proposici´on:
SeaS ⊆V. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes.
i S es un conjunto minimal de generadores de V.
ii α1s1 +...+αtst = 0 (con t ∈ N, αi ∈ K, st ∈ S con los si
distintos) implicaαi= 0, ∀i= 1,2, ..., t.
iii Cada elemento v de V se escribe de una ´unica manera como combinaci´on lineal de elementos de la base.
Antes de hacer la demostraci´on notemos lo siguiente: En cambio de ii se dice que S es linealmente independiente sobre K. Aqu´ı resumimos escribiendo LIK. La parte iii quiere decir que siS1 yS2
son dos conjuntos finitos deS y consideramos los elementos X s∈S1
αssy
X
t∈S2
βtt (αs, βt6= 0) es decir un elemento de< S1 >y uno de < S2 >
entonces si
X
s∈S1
αss=
X
t∈S2
Dicho en cristiano: Si usted toma x ∈< S > lo escribe como com-binaci´on lineal de elementos de S y simplifica y si lo escribe de otra manera y tambi´en simplifica entonces en ´ultimas, las dos escrituras son identicas salvo por el orden.
Demostraci´on Proposici´on 1.23:
i→ii Suponga que S es minimal y suponga que α1s1+...+αtst = 0.
Si alg´un αi 6= 0, por ejemplo el primero entonces s1 =
α2
α1
s2+
α3
α1
s3+...+
αt α1
stcon lo que se puede eliminar si como generador porque es ya generado pors1,...st. Es decirS− {s1}genera aV
(si por ejemplo x=β1s1+αv+δw conv, w∈S entonces
V =β1
α2
α1
s2+β1
α3
α1
s3+...+β1
αt α1
st+αv+δw
y els1se elimina cambiando por la combinaci´on lineal des2, ..., st). ii→i Suponga que S1, S2 son finitos y S1∩S2 =T y que
X
s∈S1
αss=
X
t∈S2
βtt con αs 6= 0 y βt 6= 0 entonces
X
s∈S1
αss−
X
t∈S2
βtt = 0, simplificando
X
s∈S1−S2
αss+
X
s∈S1∩S2
(αs−βs)s+
X
t∈S2−S1
(−βtt) = 0
entonces αs = 0,∀s∈S1−S2, βt= 0, ∀t∈S2−S1 yαs =βs,
∀s ∈ S1 ∩S2. Como αs, βt 6= 0 por hip´otesis, S1 −S2 = φ,
S2−S1=φ, as´ı que S1 =S1∩S2=S2 yαs=βs,∀s∈S1∩S2.
iii→ii Si T ⊂ S y G =< T >=< S >, entonces existe s ∈ S tal que s /∈T. Entonces comos∈< T >,
s=α1t1+...+αqtq conαi ∈K,ti ∈T,αi6= 0
Por escritura ´unica de S y como si, ti ∈S, entonces solo hay un sumando en la derecha digamos s = α1t1 y adem´as α1 = 1 y
1.24 Definici´on:
Un conjunto S que cumpla cualquiera de las condiciones equiva-lentesi,ii,iii(entonces todas) de la proposici´on previa y siY =< S > se le llamauna base de V sobre K.
Recordemos de
M
i∈I
Vi={f :I → [
i∈I
Vi|f(i)∈Vi, f(i) = 0 S.P.U.N.F.I}
como grupo abeliano. Adem´as (αf)(i) = α(f(i)) define un producto escalar en M
i∈I
Vi as´ı que es un espacio vectorial sobre K. Cuando Vi =V se escribeM
I V.
1.25 Proposici´on:
SiS es una base de V sobre K entoncesV ∼=M S
K.
Demostraci´on:
Seaϕ :V → M
S
K la funci´on dada as´ıϕ X S
αsS
!
es un elemento de L
K; por tanto para describirla debo dar sui-´esima coordenada.
ϕ X
s∈S αsS
!!
(i) =αi
Como cada elemento deV tiene escritura ´unica con base en S y est´a bien definida, veamos que
ϕ X
s∈S αsS+
X
s∈S βsS
!
=ϕ X
s∈S αsS
!
+ϕ X
s∈S βsS
!
En efecto calculando lai-´esima coordenada en los dos lados tenemos:
ϕ X
s∈S αsS+
X
s∈S βsS
!!
(i) =ϕ X s∈S
(αs+βs)S
!
ϕ X s∈S
αsS
!
+ϕ X
s∈S βsS
!!
(i) (=∗) ϕ X s∈S
αsS
!!
(i)
+ ϕ X
s∈S βsS
!!
(i) =αi+βi
(∗) Recuerde que lai-´esima coordenada de una suma es la suma de las i-´esimas coordenadas, o sea (f+g)(i) =f(i) +g(i).
Si ϕ X s∈S
αsS
!
= 0 entonces ϕ X s∈S
αsS
!
(i) = 0, ∀i ∈ S. Es decir αi= 0, ∀ ∈S. As´ı queX
s∈S
αsS = 0 por tanto ϕes 1−1.
Finalmente si f ∈ M
S
K entonces f(s) ∈ K, ∀s ∈ S y f(S) = 0 S.P.U.N.F.I. Consideremos x = X
s∈S
f(s)s y veamos que ϕ(x) = f. En efecto calculamos la i-´esima coordenada de cada lado y veamos que coinciden.
(ϕ(x))(i) =ϕ X s∈S
f(s)S
!
(i) =f(i)
El procedimiento del teorema anterior es m´as general. En efecto cons-tituye la base fundamental de la construcci´on de las funciones lineales.
1.26 Teorema:
SeaS una base de V sobre K yf una funci´on de S (que es un conjunto) en un espacio W, entoncesf se extiende de manera ´unica a una funci´on K-linealF :V →W tal queF(S) =f(S),∀s∈S.
Demostraci´on:
Por escritura ´unica F X s∈S
αsS
!∗
= X
s∈S
puesto que (adem´as) las sumatorias son finitas (αs = 0 S.P.U.N.F.I). Adem´as F(s) =f(1s) = 1f(s) =f(s). Que F es lineal se deja como ejercicio. La parte∗ muestra la ´unica posible definici´on deF.
1.27 Ejemplos:
i e1 = (1,0), e2 = (0,1) generan R2 sobre R. En efecto, (a, b) = (a,0) + (0, b) =a(1,0) +b(0,1). Adem´as, {e1, e2} es L.I.R. En efecto siαe1+βe2= 0 entoncesα(1,0)+β(0,1) = (α,0)+(0, β) =
(α, β) = 0. As´ı queα=β = 0 y por tantoR2 =<(1,0),(0,1)> o lo que es lo mismo {e1, e2} forman una base de R2 sobre R llamada labase (en el orden) can´onica.
ii e1 = (0, ...,1i, ...,0)∈Kn se llama el i-´esimo vector unitario
coordenado deKn. Se tiene que {e1, e2, ..., en}es una base de
Kn sobreK. iii Sea ei ∈M
I
K donde se tiene ei(j) =
0 si i6=j
1 si i=j . Entonces ei se llama eli-´esimo vector unitario coordenado de
M
I K
y forma una base deM I
K sobre F.
iv {1, X, X2, ..., Xn} forma una base deKn[x] sobre K.
v Si (a, b) y (c, d) est´an en la rectay =mx entonces ab = dc o sea ad−bc = 0. Suponga que (a, b) 6= (0,0) 6= (c, d) y que (a, b) y (c, d) no est´an sobre una misma recta que pase por el origen de R2. Entonces {(a, b),(c, d)} es una base de R2 sobre R. En efecto,α(a, b) +β(c, d) = 0↔(αa+βc, αb+βd) = 0↔αa+β= 0∧αb+βd= 0 se tiene que α = 0 y β = 0 de otra manera si por ejemplo β 6= 0 entonces (multiplicando la primera igualdad porby la segunda pora) se eliminan t´erminos con αy se recibe β(bc−ad) = 0 lo cual implica bc−ad= 0.
Adem´as si se deben hallar x, y ∈R tales quex(a, b) +y(c, d) = (R, S) entonces por la condici´onad−bc6= 0 se despejan f´acilmente del sistema de ecuaciones enR,
vi Pregunta: Hay una funci´on lineal F :R2 → R3 que env´ıe (2,1) en (3,4,6) y (−2,1) en (−3,4,6)? C´uantos de ellos hay?
Soluci´on: Como (−2,1) y (2,1) no est´an en una recta que pase por el origen entonces forman una base de R2 sobre R. As´ı pues existe una ´unica funci´on lineal F : R2 → R3 que env´ıa (2,1) en (3,4,6) y (−2,1) en (−3,4,6). Recordemos como se construye. Primero, si (x, y) ∈ R2 buscamos α, β ∈ R tal que α(2,1) +β(−2,1) = (x, y). Es decir
2α+ 2β = x α+β = y
↔α= x+ 2y 4 , β=
2y−x 4
por tanto (x, y) = (x+24y)(2,1) + (2y4−x)(−2,1) (ver´ıfiquelo). As´ı pues
F(x, y) = (x+24 y)F(2,1) +(2y4−x)F(−2,1) = (x+24 y)(3,4,6) +(2y4−x)(−3,4,6)
=3(x+24 y)+−3(24y−x),(x+ 2y)+(2y−x),6(x+24 y)+6(2y4−x)
= 34(2x),4y,64(4y) = 32x,4y,6y
Expl´ıcitamente F(x, y) = 32x,4y,6y
.
Ahora si f :I → J es una funci´on 1−1 y sobre se ve f´acilmente que F : M
I
K → M
J
K. Dada por F(ei) = eF(i) (seg´un e teorema es
suficiente dar la funci´on sobre la base) es un isomorfismo. El inverso es tambi´en es cierto pero solo lo enunciamos.
1.28 Teorema: M
I
K∼=M J
1.29 Corolario:
i Kn∼=Km →n=m.
ii Si S1 yS2 son bases sobre K entoncesS1∼=S2.
Demostraci´on de ii:
V ∼=M S1
K yV ∼=M S2
K por tanto M S1
K ∼=M S2
K →S1 ∼=S2.
El ´ultimo teorema que enunciamos pero no demostramos es esta parte tiene la siguiente base intuitiva: Supongamos que < S >=VS sobre K con, digamos S = {S1, S2, ..., Sn}. Bien S es un minimal o no lo es. Si no lo es se puede eliminar un elemento (digamos Sn) y tener a´un un conjunto de generadoresS− {Sn} el cual es o no minimal. De esta manera se encuentra enSun subconjunto minimal de generadores y por tanto una base. Ahora bien, uno puede encontrar siempre un conjunto de generadores: V =< V >pero como no siempre puede en-contrar uno finito, el proceso de eliminar generadores sobrantes puede no tener fin. Tambi´en se podr´ıa iniciar con un conjunto LIK. SiS es LIK es decir V no est´a generado por S. Entonces S∪ {v} es lineal-mente independiente. Si no, αv +α1s2 +...+αtst = 0 con no todo αi = 0. As´ı queα6= 0 de otra maneraα1s1+...+αtst= 0 y comoS
esLIK,α1 =α2 =...=αt= 0.
De nuevo se tiene< S∪ {v}>=V o no, sino existe v1∈V −S∪ {v},
as´ı que S∪ {v} ∪ {v1} es LI. El proceso puede continuar pero nadie
garantiza que se agote. De hecho may casos en que no se agota, peero tenemos el teorema que no demostramos.
1.30 Teorema:
SiS esLIK en V, entonces existe una baseB de V sobre K tal queS ⊆B 2
1.31 Definici´on:
i A los espacios con bases finitas se les llama finito dimensio-nales y al n´umero de elementos de cualquier base se le llama la
dimensi´on del espacio.
ii Si un espacio no tiene base finita se le dice infinito dimen-sional.
Hagamos enf´asis en el siguiente punto: Si V es un espacio sobreK y
{b1, b2, ..., bn}es una base de V sobre K entonces cada elemento xde
V se puede escribir de una ´unica manera salvo por el orden en la forma X =
n
X
i=1
αiβi.
Descomposici´on en Suma Directa
Ahora bien, sabemos que en tal casoV ∼=Kn=KL
...L
K cada una de estas copias de K est´a representada por < bi > (en V) que es un subespacio de dimensi´on 1 sobreK. Pero el orden de colocaci´on puede ser cualquiera. En realidad el isomorfismo se puede ver internamente y permite seleccionar un orden con el cual trabajar.
1.32 Definici´on:
SeaW1, W2, ..., Wnsubespacios deV. Decimos queV se
descom-pone en la suma directa de W1, W2, ..., Wn si i V =W1+W2+...+Wn.
ii w1+w2+...+wn= 0 (wi ∈Wi) entonceswi= 0,∀i= 1,2, ..., n. En tal caso denotamos V =W1LW2L...LWn.
1.33 Proposici´on:
Demostraci´on:
Es claro que si x ∈ V, x = v1 +v2 +...vn con vi ∈ Wi de manera ´
unica. Por que si v1 +v2+...+vn = w1 +w2 +...+wn entonces (v1−w1) +...(vn−wn) = 0 y por tanto vi−wi = 0,∀io sea vi =wi,
se tiene queϕ :V → W1LW2L....LWn, (w1+w2+...+wn) 7→ (w1, w2, ..., wn) es un isomorfismo.
Funciones Lineales y Matrices
Pero note que si V y W son espacios V L
W 6= W 6= V as´ı que cuando escribimosV =W1
L
...L
Wnestamos asegurando que hemos fijado un orden de escritura de los elementos. Se tiene entonces que V =w1L...Lwn se comporta como suma. Compare 1.5−x hasta
1.9.
1.34 Proposici´on:
Suponga queV =w1L...wn entonces:
i Wj Lj
→V,vj 7→vj es lineal.
ii Si fi :Vi → W entonces V →F W dado por F(P
vi) =P
fi(v)
es lineal. Denotado n
X
j=1
F◦ij.
iii Si F :V →W es lineal entonces F = n
X
j=1
F◦ij 2
Si denotamosF◦ij =Fi se tendr´a en iii de 1.34 queF = n
X
j=1
Fj.
1.35 Proposici´on:
SiV =W1L...LWn entonces: i Pj :V →Wj,
n
X
j=1
ii Si hj : W → Wj es lineal tambi´en lo es H :W → V dado por H(v) =P
hj(v). Denotemos H= (hj)i.
iii Si H : W → V y denotamos W →H V →Pj Vj por Hj entonces H = (Hi)i.
Se tiene que si V = V1L...LVn y W = W1L...LWm entonces una funci´on F :V → W se descompone enF = (Fj)j=1,...,m en donde Fj :V →Wj por tanto Fj =
n
X
i=1
Fji dondeFji:Vi→Wj.
Si los espacios Vi y Wi son espacios complicados entonces lo hecho no ayuda mucho. Pero si son espacios de dimensi´on 1 entonces el procedimiento ayuda. En este caso la funci´on f :< a >→< b > lineal est´a determinada y determina un escalar. Sik∈K entonces la funci´on ϕ :< a >→< b > tal que ϕ(a) = kb es lineal por supuesto. Adem´as para hallar el escalar que determina a ϕ se halla la imagen de a. Si ϕ(a) = kb entonces k determina a ϕ. De hecho ϕ(αa) = αϕ(a) = k(αb).
Supongamos entonces que Vi =< ai> yWj =< bj >, entonces existe kij que determina a Fji. De hecho tenemos que Fji(αai) =αFji(ai) = αki
jbj.
La escritura se facilita si usamos coordenadas. En
V =< a1 >
M
...M< an>= n
M
i=1
< ai > (∗)
SiX =α1a1+α2a2+...+αnan lo escribimos
x=
α1
.. . αn
y llamamos aαi lacoordenada i-´esima de X en (*). De nuevo α1 α2 .. . αn · B1 B2 .. . Bn = n X i=1
αiBi
Se tiene entonces como antes:
1.36 Teorema:
Sean V = n
M
i=1
< ai >, W = m
M
j=1
< bj >. Entonces para la
funci´on linealF :V →W existe una y una sola matriz
A= A1 A2 .. . An
∈Mn×M(K)
Total que
F(X) =
A1·X
A2·X
.. . An·X
=A·X, ∀X∈
n
M
i=1
< ai>
Demostraci´on:
F(X) = n
X
j=1
Fj(X) = n X j=1 m X i=1
Fji(xjaj)
! = n X j=1 m X i=1
xjkjibj
!
= m
X
i=1
xjkij
!
bj = n
X
j=1
(AjX)bj =
A1X
.. . AnX
=A·X
1.37 Teorema:
Para F : n
M
i=1
< ai >→
m
M
j=1
< bj > sea M(F) la matriz del teorema previo. Entonces
M :HomK
n
M
i=1
< ai >, m
M
j=1
< bj >
→Mn×M(K), F 7→M(F)
PROBLEMAS
1 Demuestre que si R2 =< x, y > entonces{x, y} es una base de R2.
2 Considere las ecuaciones en R
ax+by= 0 cx+dy= 0
a Muestre que el sistema tiene soluci´on ´unica (x= 0, y = 0) si y s´olo siad−bc6= 0.
b Sea a, b, c, d∈Rtales que ax+cy= 0 bx+dy= 0
→x= 0∧y = 0
Muestre que
a c b d
6
= 0.
c Muestre que si aij,i, j = 1,2,3 son tales que a11x+a21ya31z= 0
a12+a22ya32z= 0
a13+a23ya33z= 0
→x= 0, y= 0, z= 0
entonces
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
6
= 0
3 Muestre que enR2 si{x, y}esL.I.Rentonces{x, y}es una base deR2 sobre R.
4 Son 1,2 y 3 ciertos en general para un campo K cualquiera? 5 Muestre que< V1, ..., Vn>=V sobre K entonces{V1, V2, ..., Vn}
contiene una base deV. (Use inducci´on sobren).
6 Muestre que si dim V = n y < V1, V2, ..., Vn >= V entonces
7 Muestre que si dim V = n y dim W = m sobre K entonces dim(V L
W) =n+m. O dicho de otro mododim(V L
W) = dim V +dim W. Use este teorema para demostrar dim Kn=n. Muestre que KnL
Km ∼=Kn+m.
8 Muestre que si dim V = n y {V1, ..., Vn} es L.I.K entonces
{V1, V2, ..., Vn} es una base deV sobre K.
9 Muestre que si S1 ⊆S2 ⊆V, entonces < S1 > es un subespacio
de < S2 > y que < S2 > es un subespacio de V y V es de
dimensi´on finita, entoncesdim < S1 >≤dim < S2>≤dimV.
10 D´e todos los subespacios deRsobre R.
11 D´e todos los subespacios deR2 sobreR que tienen dimensi´on 1. Graf´ıquelos enR2. En seguida d´e todos los subespacios deR2en R de dimensi´on 2.
12 Clasifique y gr´afique los subespacios de dimensi´on 1, 2, 3 deR3. 13 Muestre que sif :V →W esk-lineal y 1−1 entoncesV ∼=f(V). En tal caso se dice que f(V) es una representaci´on de V en
W.
a D´e tres representaciones deRen R2 (graf´ıquelos). b D´e cuatro representaciones deR2 en R3.
c D´e una representaci´on de Ren R4. d D´e una representaci´on de R3 en R4.
14 Muestre que siV1 tiene una representaci´on enV2 yV2 tiene una
representaci´on en V3 entoncesV1 tiene una representaci´on en V3.
Muestre que si V1 tiene una representaci´on enV2 yV1 tiene una
representaci´on en V1 entoncesV1∼=V2.
15 Cu´antas funciones R-linealesR2 →F R3 existe tales quef(1,2) = (3,4,6) yf(2,6) = (5,3,7).
k) entonces f preserva la independiencia lineal. D´e un ejemplo de una funci´onk-lneal que preserva la independencia lineal pero que no esk-singular. Muestre que sif preserva la independencia lineal entonces es singular odim kerf = 1.
17 Sea S1 ∩S2 = φ y S1 ∪S2 una base de V sobre K entonces
V =< S1 >L< S2 >.
18 Sea f :V →W esk-lineal. Suponga que ker f 6= 0. Sea S una base deker f. Sea T una base de V que contiene a S. (C´omo sabe queT existe?). Muestre que:
a V =ker fL
< TS >.
b f |<T−S>:< T −S >→W es 1−1. c f(T−S) es una base deIm f.
d Si V es finito dimensional entonces dim V = dim ker f+ dim Im f.
19 En cada caso damos un conjunto S y un elemento (vector X) de un emporio V, decida si S en una base de V y halle las coordenadas deX en la base dada con el orden dado.
V S X
i R2 {(1,2),(3,4)} (−3,1) ii R2 {(3,4),(1,2)} (−3,1) iii R3 {(1,2,3),(3,4,−1)} (1,6,7) iv R3 {(1,2,3),(3,4,0)} (1,6,7) v R3 {(1,2,3),(3,4,0),(2,0,1)} (1,6,7)
20 Puede una funci´on f :R3 →R2 lineal sobre Rser 1−1? Puede una funci´on f :R2 →R3 lineal sobre Rser sobre?
21 Sea f :R3 →R2 dado porf(x, y, z) = (2x+y, y+z). Diga a Im f = 0.
22 Sea f :R3 → R2 dado por f(x, y, z) = (2x+y, y+z). Calcule f[x, y, z] cuando se usa la base ordenada S de R3 yT de R2.
S T
i {e1, e2, e3} {(2,1),(3,1)}
ii {(1,2,3),(3,4,0),(2,0,1)} {(2,1),(3,1)}
23 C´alculeM(f) en 21 cuando S y T son como en 22−ii. 24 ConsidereS yT como en 22−ii.
i Calcule M(f) si f : R2 → R3 est´a dado por f((x, y)) = (2x+ 3y, x+ 5y,6x).
ii Si M(f) =
1 2
−3 −5
4 6
paraS yT d´e f(x, y) cuando se
