Texto5 Tranasformaciones pdf

TRANSFORMACIONES LINEALES

Martínez Héctor Jairo

Sanabria Ana María

5.1.

Introducción

Recordemos que unafunciónT :A−→Bes una “regla de asociación” entre los elementos deAy los elementos deB, tal que a cada elemento adeA se le asocia un único elementobde B al que le llamamosimagen de

apor medio de T y denotamosb =T(a). A los conjuntos Ay B les llamamosdominio y codominio deT, respectivamente, y al subconjunto deB formado por todas las imágenes de los elementos de Alo llamamos conjunto imagen deT y lo denotamos Im(T).

En este capítulo, estamos interesados en el estudio de las funciones entre espacios vectoriales que sean “compatibles” con las operaciones de suma y multiplicación por escalar definidas en cada uno de ellos; es decir, que la imagen de una suma de vectores sea la suma de las imágenes y que la imagen de una multiplicación por escalar de un vector sea también una multiplicación por escalar de la imagen del vector.

5.2.

Definición y Propiedades Básicas

Precisemos la idea planteada en la introducción con la siguiente definición.

Definición 1: [Transformación Lineal] Dados dos espacios vectoriales V y W, diremos que la función

T :V −→W es unatransformación lineal deV enW si

1. T(v1+v2) =T(v1) +T(v2)para todov1,v2∈V.(Propiedad aditiva) 2. T(λv1) =λT(v1)para todov1∈V y todoλ∈R. (Propiedad homogénea)

Observación: Es importante aclarar que estamos denotando de la misma forma la suma y el producto por escalar definidos tanto en el espacio vectorial V como en el espacio vectorial W, asi sean operaciones diferentes. Igualmente, el vector0deV y el deW los denotaremos igual, asi sean vectores diferentes.

Ejemplo 1: Consideremos la funciónT :R3_−→R2_{, tal queT}   x y z  = µ

x−2y

2z−x ¶

. Verifiquemos queT

es una transformación lineal.

Veamos queT satisface la propiedad aditiva. Sean(x1, y1, z1)T y(x2, y2, z2)T vectores deR3, entonces

T     x1 y1 z1  +   x2 y2 z2   

 = T





x1+x2

y1+y2

z1+z2



= µ

(x1+x2)−2(y1+y2) 2(z1+z2)−(x1+x2)

¶

=

µ

(x1−2y1) + (x2−2y2) (2z1−x1) + (2z2−x2)

¶

=

µ

x1−2y1 2z1−x1

¶

+

µ

x2−2y2 2z2−x2

¶ = T   x1 y1 z1 

+T   x2 y2 z2  .

Para verificar queT satisface la propiedad homogénea, tomemos el escalarλy el vector(x, y, z)T

. Entonces T  λ   x y z   

 = T

  λx λy λz   = µ

(λx)−2(λy) 2(λz)−(λx)

¶

= λ µ

x−2y

2z−x ¶ = λT   x y z  . ¤

Ejemplo 2: Sea T: R3 −→ P2, tal queT   a b c 

= (a+c)x+ 2bx2. Veamos queT es una transformación

lineal.

Para probar lapropiedad aditiva, tomemos dos vectores deR3_,(a

1, b1, c1)T y(a2, b2, c2)T. Entonces,

T     a1 b1 c1  +   a2 b2 c2   

 = T





a1+a2

b1+b2

c1+c2





= [(a1+a2) + (c1+c2)]x+ 2(b1+b2)x2 = [(a1+c1)x+ 2b1x2] + [(a2+c2)x+ 2b2x2]

= T   a1 b1 c1 

+T   a2 b2 c2  .

Para verificar queT satisface la propiedad homogénea, tomemos el escalarλy el vector(a, b, c)T

.Entonces T  λ   a b c   

 = T

= (λa+λc)x+ 2λbx2

= λ[(a+c)x+ 2bx2]

= λT   a b c  . ¤

Ejemplo 3: Sea TR2_{−→ P2, tal queT}

µ a b

¶

= 1 +ax+ 2bx2_{. Determinemos siT es una transformación} lineal.

Para probar lapropiedad aditiva, tomemos dos vectores deR2,(a1, b1)T y(a2, b2)T. Entonces,

T ·µ a1 b1 ¶ + µ a2 b2 ¶¸ =T µ

a1+a2

b1+b2

¶

= 1 + (a1+a2)x+ 2(b1+b2)x2,

pero T µ a1 b1 ¶ +T µ a2 b2 ¶

= (1 +a1x+ 2b1x2) + (1 +a2x+ 2b2x2) = 2 + (a1+a2)x+ 2(b1+b2)x2,

de donde, T ·µ a1 b1 ¶ + µ a2 b2 ¶¸ 6=T µ a1 b1 ¶ +T µ a2 b2 ¶ ;

por tanto,T no es una transformación lineal. ¤

Ejemplo 4: SeaAuna matrizm×ny sea la funciónT :Rn _−→

Rm _{tal que}

T(x) =Ax. Determinemos si

T es una transformación lineal.

Por el Teorema 2 del Capítulo 2, dadosx,y∈Rn

yλ∈R,A(x+y) =Ax+AyyA(λx) =λAx, de donde

concluimos queT es una transformación lineal. ¤

A las transformaciones como la del Ejemplo 4, las llamamostransformaciones matriciales. Veremos que todas las transformaciones lineales deRn enRmson matriciales. Por ejemplo, notemos que la transformación lineal del Ejemplo 1 es una transformación matricial:

T   x y z  = µ

x−2y

2z−x ¶ =x µ 1 −1 ¶ +y µ −2 0 ¶ +z µ 0 2 ¶ = µ

1 −2 0 −1 0 2

¶   x y z  ,

y por el resultado del Ejemplo 4, esto seria suficiente para demostrar queT es una transformación lineal.

Ejemplo 5: Verifiquemos que la función que a cada punto deR2 le asigna el punto de su reflexión a través del EjeX es una transformación lineal.

(2,1)

(2,−1) (a, b)

(a,−b)

x y -6 * * * *

De la figura anterior, es fácil ver que la función en cuestión es T :R2_−→R2_{, dondeT}

µ a

b ¶

=

µ a

−b ¶

. Por lo tanto,

T µ

a b

¶

=a µ

1 0

¶

+b µ

0 −1

¶

=

µ

1 0 0 −1

¶ µ a

b ¶

,

lo que muestra queT es una transformación matricial y por consiguiente una transformación lineal. ¤ Ejemplo 6: Sea la función T :V −→ W tal que T(v) = 0para todo v∈ V. Verifiquemos que T es una transformación lineal.

Seanv1yv2vectores deV. Por serV un espacio vectorial,v1+v2está enV y por tanto,T(v1+v2) =0. De otro lado,T(v1)+T(v2) =0+0=0, de donde concluimos que la propiedad aditiva se satisface. Queda como ejercicio para el lector verificar la propiedad homogénea. A esta transformación la llamamostransformación

nula. ¤

Ejemplo 7: Sea la función T : V −→ V tal que T(v) = v para todo v ∈ V. Es fácil verificar que T es una transformación lineal, lo que dejamos como ejercicio para el lector. A esta transformación la llamamos

transformación idéntica. ¤

Podemos ver que las propiedades que caracterizan a una transformación lineal nos permiten demostrar que la imagen de una combinación lineal de vectores por medio de una transformación lineal es la combinación lineal de las imágenes de los vectores con los mismos coeficientes de la combinación lineal inicial. La demostración consiste básicamente en aplicar la propiedad aditiva iteradamente y luego aplicar la propiedad homogénea a cada sumando.

Teorema 1

SeanT :V −→W una transformación lineal,v1,v2, . . . ,vn vectores de V y λ1, λ2, . . . , λn escalares deR. Entonces

T(λ1v1+λ2v2+. . .+λnvn) =λ1T(v1) +λ2T(v2) +. . .+λnT(vn).

De este resultado, se tiene trivialmente que una transformación lineal asigna el vector cero del dominio en el vector cero del codominio y, por su importancia, lo enunciamos en el siguiente corolario.

Corolario 1.1

SeaT :V −→W una transformación lineal, entonces

T(0) =0.

El Teorema 1 también establece que, para el caso de las transformaciones lineales de Rn _a

Rm_{, las rectas} son enviadas en rectas o en el vector 0y los planos son enviados en planos, en rectas o en el vector0. En general, el Teorema 1 permite demostrar que una transformación lineal asigna a un subespacio del dominio un subespacio del codominio (Ver ejercicios).

Recordemos que dos funciones definidas sobre un mismo dominio y codominio son iguales, si y solo si, tienen las mismas imágenes para todos y cada uno de los elementos del dominio. Aunque una transformación lineal es una función, sus características especiales simplifican enormemente la propiedad de igualdad entre transformaciones, como lo expresamos en el siguiente teorema.

Teorema 2

SeanB={v1,v2, . . . ,vn} una base del espacio vectorialV yT :V −→W yS :V −→W dos transforma-ciones lineales.

T =S, si y solo si,S(v1) =T(v1), S(v2) =T(v2), . . . , S(vn) =T(vn).

Por el Teorema 1 y la igualdad de las imágenes de los elementos de la base bajo las dos transformaciones, tenemos

T(v) = λ1T(v1) +λ2T(v2) +. . .+λnT(vn) = λ1S(v1) +λ2S(v2) +. . .+λnS(vn) = S(v)

¤

Por los teoremas anteriores, es fácil ver que si conocemos la imagen de cada uno de los elementos de una base del dominio de una transformación, podemos conocer la imagen de cualquier otro vector del dominio. En otras palabras, que una transformación lineal queda completamente determinada por las imágenes de cada uno de los elementos de una base del dominio, como lo enunciamos en el siguiente teorema.

Teorema 3

Si B={v1,v2, . . . ,vn} es una base del espacio vectorialV, existe una única transformaciónT :V −→W, tal quew1=T(v1),w2=T(v2), . . . ,wn=T(vn)conw1,w2, . . . ,wn∈W.

Demostración: Tenemos que B es una base de V, así queB es un conjunto generador de V y por tanto, para cualquier vector vdeV existen escalares λ1, λ2, . . . , λn tales quev=λ1v1+λ2v2+. . .+λnvn. Así, que si sabemos quew1 =T(v1),w2 =T(v2), . . . ,wn =T(vn), podemos encontrar la imagen de cualquier vectorvdeV. En efecto, por el Teorema 1,

T(v) =λ1w1+λ2w2+. . .+λnwn.

Nos queda por demostrar la unicidad de esta transformación. Supongamos que existen dos transformaciones linealesT1yT2tales queT1(vi) =wi=T2(vi)parai= 1,2, . . . , n. Por el Teorema 2,T1yT2 son la misma

transformación. ¤

Ejemplo 8: Sea T : P2 −→ R3 la transformación lineal tal que T(1) = (1,0,0)T_,

T(x) = (1,1,0)T_y

T(x2) = (1,1,1)T

.CalculemosT(a+bx+cx2).

Dado que{1, x, x2_{} es la base canónica deP2,a+bx+cx}2_{=a·1 +b·x+c·x}2_{, de tal forma que}

T(a+bx+cx2) =a T(1) +b T(x) +c T(x2) =a 



1 0 0



+b 



1 1 0



+c 



1 1 1



= 



a+b+c b+c

c 

.

¤ Ejemplo 9: Dados los vectores u1 = (−1,3,−2)T yu2= (2,0,1)TdeR3, encontremos una transformación linealT deR2 en el planoH =©

v∈R3:v=tu1+su2, t, s∈RªdeR3.

Si tomamos{e1,e2}, la base canónica deR2, y dos vectores arbitrarios deH, por ejemplo,u1yu2, podemos definirT(e1) =u1 yT(e2) =u2, de tal manera que

T µ

x y

¶

=x T(e1) +y T(e2) =x 



−1 3 −2



+y 



2 0 1



= 



−x+ 2y

3x

−2x+y 

.

Existe otra transformación deR2 _{en el planoH? ¤}

5.3.

Espacios Vectoriales Asociados a una Transformación Lineal

Definición 2: [Núcleo de una Transformación Lineal] Dada una transformación lineal T : V −→ W, definimosnúcleo de T como el conjuntoN u(T)de todos los vectores deV cuya imagen es el vector0deW. En otras palabras,

N u(T) ={v∈V :T(v) =0}.

Definición 3: [Imagen de una Transformación Lineal] Dada una transformación lineal T : V −→ W, definimosimagen de T como el conjuntoIm(T)de todos los vectores deW para los cuales existe un vector

vdeV, tal queT(v) =w. En otras palabras,

Im(T) ={w∈W : existev∈V tal que T(v) =w}.

Ejemplo 10: Consideremos la transformación linealT :M2×2−→ M2×2, tal queT

µ a b c d

¶

=

µ

a b

0 c+d ¶

e identifiquemosN u(T)eIm(T). ComoT

µ a b c d

¶

=

µ

a b

0 c+d ¶

=0implica quea=b= 0yc=−d, concluimos que

N u(T) =

½µ a b c d

¶

:a= 0, b= 0, c=−d, a, b, c, d∈R ¾

=

½µ

0 0 −r r

¶

:r∈R ¾

.

Como las únicas matrices que son imágenes bajoT tienen la forma

µ r s

0 t ¶

(en efecto,T µ

r s

t−α α ¶

=

µ r s

0 t ¶

, para cualquierα∈R), tenemos queIm(T) =

½µ r s

0 t ¶

, r, s, t∈R ¾

. ¤

Ejemplo 11: SeaT :P2−→R3 la transformación lineal del Ejemplo 8. IdentifiquemosN u(T)eIm(T).

Como vimos en el Ejemplo 8,T(a+bx+cx2_{) =}





a+b+c b+c

c 

, de tal forma queT(a+bx+cx2) =0implica

quea=b=c= 0 y que cualquier vector deR3es imagen bajoT (en efecto,T((p−q) + (q−r)x+rx2) = (p, q, r)T_{, para cualquier vector (}

p, q, r)T _∈

R3), por lo tanto,

N u(T) ={0} e Im(T) =R3.

¤

Como ocurrió con los conjuntos asociados a una matriz, los conjuntos asociados a una transformación lineal que acabamos de definir también son espacios vectoriales. En efecto, el núcleo es un subespacio del dominio de la transformación y la imagen es un subespacio del codominio de la transformación, lo cual demostramos en el siguiente teorema.

Teorema 4

SeanV yW espacios vectoriales yT :V −→W una transformación lineal. Entonces 1. N u(T)es subespacio vectorial deV.

2. Im(T)es subespacio vectorial deW.

Demostración: Por el Teorema 1 del Capítulo 4, un subconjuntoH no vacío de un espacio vectorial es un subespacio vectorial, si y solo si, los elementos deH satisfacen las propiedades clausurativas para la suma y el producto por escalar (Axiomas 1 y 6 de la definición de espacio vectorial).

1. Por el Corolario 1.1,0es un elemento deN u(T), asi queN u(T)es no vacío. De otro lado, si tomamos dos vectoresuyvdeN u(T)y un escalarλ, tenemos queT(u) =0yT(v) =0, de modo que

T(u+v) = T(u) +T(v) =0+0=0

de donde concluimos que u+vyλuestán enN u(T).

2. De nuevo por el Corolario 1.1, 0es un elemento deIm(T), asi que Im(T) es no vacío y si tomamos dos vectores w1 yw2 deIm(T)y un escalarλ, tenemos que existenv1 yv2, vectores deV tales que

T(v1) =w1 yT(v2) =w2, de modo que

w1+w2 = T(v1) +T(v2) =T(v1+v2)

λw1 = λT(v1) =T(λv1)

de donde concluimos que w1+w2 yλw1 están enIm(T). ¤

5.4.

Matriz Asociada a una Transformación Lineal

Ya sabemos que una transformación lineal queda completamente determinada por la forma como actúa en una base del dominio y que la función deRm

aRn

definida porT(x) =Axpara una matrizm×ndada es una transformación lineal, la cual llamamos transformación matricial. En esta sección, demostraremos que toda transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita puede ser representada como una transformación matricial. Con este propósito, dadas una base del dominio y una base del codominio, para cada transformación lineal, definamos una matriz asociada a ella, como la matriz cuyas columnas son las coordenadas en la base del codominio de las imágenes bajoT de los elementos de la base del dominio.

Definición 4: [Matriz Asociada a una Transformación Lineal Respecto a las BasesB yB′

] Dadas la trans-formación linealT :V −→W y las bases B={v1,v2, . . . ,vn} yB′ deV yW, respectivamente, definimos comomatriz asociada a la transformación linealT respecto a las bases ByB′

a la matriz [AT]BB′= [[T(v1)]B′ [T(v2)]B′· · ·[T(vn)]B′]

Mientras no haya necesidad de aclarar, denotaremos simplemente porAT la matriz asociada a la transfor-mación, respecto a las bases dadas.

Ejemplo 12: Sea T : P2 −→ R2 la transformación lineal tal que T(a+bx+cx2) =

µ a−b

c ¶

y sean B = {1,1 +x,1 +x−x2} y B′ ₌

½µ

1 0

¶ ,

µ

0 1

¶¾

bases de P2 y R2, respectivamente. Encontremos la matriz asociada a la transformación, respecto a las bases dadas.

Tenemos que T(1) =

µ

1 0

¶

= [T(1)]B′, T(1 +x) =

µ

0 0

¶

= [T(1 +x)]B′ y T(1 +x−x2) =

µ

0 −1

¶

=

[T(1 +x−x2_)]

B′, de donde la matriz asociada aT respecto a las bases dadas es

AT =

µ

1 0 0 0 0 −1

¶ .

-6

?

(1,0)

(0,−1) (0,1)

e1

−e2

e2

x y

Rotación de 90o

en el sentido de las manecillas del reloj

-6

Ejemplo 13: Calculemos la matriz asociada a la transformación lineal S, que a cada vector del plano cartesiano lo rota 90o

en el sentido de las manecillas del reloj respecto a las base canónica de R2_{. Sea} B={e1,e2}la base canónica deR2. Por la definición de S y la figura anterior,S(e1) =−e2 yS(e2) =e1; por lo tanto, la matriz asociada aS respecto a la base canónica es

AS =

µ

0 1 −1 0

¶ .

¤

Podemos ver que la matriz asociada a una transformación lineal permite expresar el vector de coordenadas de la imagen de cualquier vector, en términos de su vector de coordenadas respecto a la base del dominio, de tal manera que, en términos de los vectores de coordenadas, todas las transformaciones lineales resultan ser matriciales, como lo expresa la siguiente propiedad de la matriz asociada a una transformación.

Teorema 5

Dadas la transformación linealT :V −→W, conV yW espacios vectoriales de dimensión finita y las bases B={v1,v2, . . . ,vn} yB′ deV yW, respectivamente, la matriz asociada a la transformaciónT respecto de estas bases,[AT], es la única matriz tal que, para todov∈V

[T(v)]B′ =AT[v]B.

Demostración: Siv=λ1v1+λ2v2+. . .+λnvn, por el Teorema 1,T(v) =λ1T(v1)+λ2T(v2)+. . .+λnT(vn). De donde, por el Teorema 14 del Capítulo 4, la combinación se conserva para los vectores de coordenadas respectivos respecto a una misma base; es decir, [T(v)]B′ =λ1[T(v1)]B′+λ2[T(v2)]B′ +. . .+λn[T(vn)]B′. Así que, por definición deAx, tenemos que

[T(v)]B′ =AT[v]B.

La unicidad se deja como ejercicio para el lector. (Ayuda:Ver demostración del Numeral 1 del Teorema 16

V T - W

B B′

v w=T(v)

? ?

-AT

Rn Rm

[v]B [w]B′ =AT[v]B

Ejemplo 14: Verifiquemos el teorema anterior con la transformación y las bases del Ejemplo 12. Si T : P2 −→ R2 es la transformación lineal T(a+bx+cx2) =

µ a−b

c ¶

y B = {1,1 +x,1 +x−x2} y B′ ₌

½µ

1 0

¶ ,

µ

0 1

¶¾

son bases de P2 y R2, respectivamente, la matriz asociada a la transformación, respecto a las bases dadas esAT =

µ

1 0 0 0 0 −1

¶

. De otro lado, puesto que la baseB′

es la base canónica deR2,[T(a+bx+cx2)]B′ =

µ a−b

c ¶

y, al resolver la ecuacióna+bx+cx2=λ1(1)+λ2(1+x)+λ3(1+x−x2),

tenemos queλ1=a−b,λ2=b+c yλ3=−c, asi que[a+bx+cx2]B=



 a−b b+c

−c 

.

Verifiquemos, finalmente, que

[T(a+bx+cx2)]B′ =AT[a+bx+cx2]B=

µ

1 0 0 0 0 −1

¶ 

 a−b b+c

−c 

= µ

a−b c

¶ .

¤

El hecho de que fijadas las bases del dominio y codominio de una transformación lineal, ésta tenga una matriz asociada, nos permite establecer las siguientes relaciones entre el espacio nulo de la matriz y el núcleo de la transformación y entre el espacio columna de la matriz y la imagen de la transformación.

Teorema 6

Dadas la transformación linealT :V −→W, conV yW de dimensión finita, y las basesB yB′ _de

V yW, respectivamente, siAT es la matriz asociada a la transformación respecto a las bases dadas, entonces

1. v∈N u(T), si y solo si,[v]B∈NA_T 2. w∈Im(T), si y solo si,[w]B′ ∈CA_T

Demostración: 1. Tenemos que

v∈N u(T) si y solo si T(v) =0∈W

si y solo si [T(v)]B′ =0 (Teorema 14, Capítulo 4) si y solo si AT[v]B=0 (Teorema 5)

2. Similarmente,

w∈Im(T) si y solo si existev∈V tal queT(v) =w

si y solo si [w]B′ = [T(v)]B′ =AT[v]B (Teorema 5)

si y solo si [w]B′ ∈CA_T.

¤

Es importante que resaltemos queN u(T)es un subespacio deV, el dominio deT, y queNA_T es un subespacio deRn

, de tal manera que siv∈N u(T), el vector que está enNA_T es el vector de coordenadas devrespecto a la base dada deV, nov. Similarmente,Im(T)es un subespacio de W, el codominio deT, y CA_T es un subespacio de Rm

y si w ∈ Im(T), el vector que está en el espacio columna de la matriz es el vector de coordenadas dew respecto a la base dada de W, no w. Sin embargo, debemos anotar que las dimensiones deN u(T)eIm(T)coinciden con las de NA_T yCA_T y por consiguiente,

dim(N u(T)) +dim(Im(T)) =dim(V).

Cuando la transformación lineal va de un espacio en si mismo y tomamos la misma base, tanto en el dominio como en el codominio, hablaremos simplemente de la matriz asociada a la transformación lineal respecto a la base. Asi, por ejemplo, cuando tenemos la transformación idéntica, la matriz asociada resulta ser la matriz idéntica, independientemente de la base que se tome.

De otro lado, al tomar distintas bases, tenemos distintas matrices asociadas a una misma transformación. El siguiente teorema nos establece una relación entre dos matrices asociadas a una misma transformación y la matriz cambio de base.

Teorema 7

SeaT :V −→V una transformación lineal, conV un espacio vectorial de dimensión finita y seanByB′

dos bases deV. SiP es la matriz de transición deBa B′

,AT es la matriz asociada aT respecto aByA′T es la matriz asociada aT respecto aB′

, entonces

A′TP =P AT. (5.1)

Demostración: SiP es la matriz de transición deBaB′_,[w]

B′ =P[w]B, para todow∈V y en particular,

[T(v)]B′ =P[T(v)]B, para todov∈V. De otro lado, como AT es la matriz asociada aT respecto a la base B,[T(v)]B=AT[v]B; así que

[T(v)]B′ =P[T(v)]B=P(AT[v]B) = (P AT)[v]B .

Por el Teorema 16 del Capítulo 4,P−1 _{es la matriz de transición deB}′ _{a B. Por tanto,}

[T(v)]B′ = (P AT)[v]B= (P AT)(P

−1_[v]

B′) = (P ATP

−1_)[v]

B′.

Finalmente, por el Teorema 5, (P ATP−1)es la matriz asociada a T respecto a la base B′. Así, que A′T =

P ATP−1, de donde se sigue la ecuación (5.1), que es lo que queríamos demostrar. ¤

Ejemplo 15: Verifiquemos el teorema anterior con la transformación linealT :R2_−→R2 _{tal que}

T µ x y ¶ = µ x+y

2x−y ¶

y las basesB=

½µ 1 0 ¶ µ 1 1 ¶¾

yB′ ₌

½µ 1 0 ¶ , µ 0 1 ¶¾ .

Por serB′ _{la base canónica, la matriz de transición deBa B}′ _es

P = µ 1 1 0 1 ¶ . De otro lado, tenemos que

T µ 1 0 ¶ = µ 1 2 ¶ = −1 µ 1 0 ¶ + 2 µ 1 1 ¶

; es decir,

· T µ 1 0 ¶¸ B = µ −1 2 ¶ T µ 1 1 ¶ = µ 2 1 ¶ = 1 µ 1 0 ¶ + 1 µ 1 1 ¶

; es decir,

Así que, la matriz asociada a T respecto a B es AT = · · T µ 1 0 ¶¸ B · T µ 1 1 ¶¸ B ¸ = µ −1 1 2 1 ¶ . Similarmente, tenemos que

T µ 1 0 ¶ = µ 1 2 ¶ = 1 µ 1 0 ¶ + 2 µ 0 1 ¶

; es decir,

· T µ 1 0 ¶¸ B′ = µ 1 2 ¶ T µ 0 1 ¶ = µ 1 −1 ¶ = 1 µ 1 0 ¶ −1 µ 0 1 ¶

; es decir,

· T µ 0 1 ¶¸ B′ = µ 1 −1 ¶ .

Por lo tanto, la matriz asociada aT, respecto aB′

esA′T =

· · T µ 1 0 ¶¸ B′ · T µ 0 1 ¶¸ B′ ¸ = µ 1 1 2 −1 ¶ . Finalmente,

P AT =

µ 1 1 0 1 ¶ µ −1 1 2 1 ¶ = µ 1 2 2 1 ¶ y A′

TP =

µ 1 1 2 −1 ¶ µ 1 1 0 1 ¶ = µ 1 2 2 1 ¶

de donde vemos claramente que se cumple el teorema. ¤

Todas las matrices asociadas a una misma transformación (pero en diferente base) satisfacen la ecuación (5.1) para alguna matriz invertible (que resulta ser la matriz cambio de base). A lasmatrices que satisfacen esta ecuación las llamamosmatrices semejantes, como lo establece la siguiente definición.

Definición 5: [Matrices Semejantes] Dadas dos matrices n×n, A yB, decimos queA y B son matrices semejantes, si existe una matriz invertibleP, tal queBP =P Ao lo que es lo mismo,B=P AP−1_.

Ejemplo 16: En el Ejemplo 15, las matricesAT yA′T son semejantes. ¤

5.5.

Isomorfismos

Aunque hay infinidad de espacios vectoriales, veremos que muchos de ellos son “ esencialmente el mismo” respecto a la estructura de espacio vectorial. En esta sección, nos ocuparemos por analizar este concepto de similitud, para lo cual utilizaremos las propiedades de ciertas transformaciones especiales, cuyas definiciones damos a continuación.

Definición 6: [Transformación Inyectiva] Diremos queT :V −→W es unatransformación lineal inyectiva, si y solo si, para cadawdeIm(T), existe un únicov∈V tal que T(v) =w.

Ejemplo 17: Determinemos si la transformación del Ejemplo 10 es inyectiva. Es fácil ver que la transformación no es inyectiva, ya que, por ejemplo,

T µ 1 1 1 3 ¶ = µ 1 1 0 4 ¶ =T µ 1 1 2 2 ¶ . ¤ Ejemplo 18: Verifiquemos que la transformación lineal del Ejemplo 11 es una transformación inyectiva. Tenemos que demostrar que siT(a1+b1x+c1x2) =T(a2+b2x+c2x2), entoncesa1=a2,b1=b2yc1=c2, lo que es fácil de concluir al resolver la ecuación vectorial





a1+b1+c1

b1+c1

c1



= 



a2+b2+c2

b2+c2

c2



Como lo habiamos mencionado al definir el núcleo y la imagen de una transformación, conocer estos su-bespacios vectoriales nos permite identificar algunas propiedades de la transformación. Veamos algunas de ellas.

Teorema 8

SeaT :V −→W una transformación lineal. La transformaciónT es inyectiva, si y solo si,N u(T) ={0}.

Demostración: Supongamos queT es inyectiva. ComoT(0) =0,0es el único elemento deN u(T). Demostremos ahora la implicación contraria. Supongamos queN u(T) ={0} y veamos que siT(u) =T(v), entoncesu=v. ComoT(u) =T(v), entonces T(u-v)=T(u)−T(v) =0, lo que implica queu−v∈N u(T). Pero, comoN u(T) ={0}, entoncesu−v=0y por tantou=v. ¤

Un resultado bastante útil, que consignaremos en el siguiente teorema, es el que las transformaciones lineales inyectivas envían conjuntos de vectoresl.i.en conjuntos de vectoresl.i., así, conocida una base del dominio, podemos encontrar una base del espacio imagen de la transformación.

Teorema 9

Si T : V −→ W es una transformación lineal inyectiva y {v1,v2, . . . ,vn} es un conjunto de vectores l.i., entonces{T(v1), T(v2), . . . , T(vn)}es un conjunto de vectoresl.i.

Demostración: Supongamos queλ1T(v1)+λ2T(v2)+. . .+λnT(vn) =0. Por el Teorema 1,T(λ1v1+λ2v2+

. . .+λnvn) =0. ComoT es inyectiva,λ1v1+λ2v2+. . .+λnvn =0, lo que implica, por la independencia lineal de{v1,v2, . . . ,vn}, queλ1=λ2=. . .=λn= 0. ¤

Definición 7: [Transformación Sobreyectiva] Diremos que T : V −→ W es una transformación lineal sobreyectiva, si y solo si,Im(T) =W.

Ejemplo 19: Determinemos si la transformación del Ejemplo 10 es sobreyectiva. Dado que T

µ a b c d

¶

=

µ

a b

0 c+d ¶

, es fácil ver que para que una matriz esté en la imagen de T, la componente (1,2) debe ser 0, lo que nos indica queIm(T)6=M2×2 y por tantoT no es sobreyectiva. ¤

Ejemplo 20: Verifiquemos que la transformación del Ejemplo 12 es sobreyectiva. Tenemos que verificar que para cualquier vector

µ u v

¶

∈R2, existe un polinomio(a+bx+cx2)∈ P2, tal queT(a+bx+cx2) =

µ a−b

c ¶

=

µ u v

¶

, para lo cual basta con tomarc=vyaybtales quea−b=u.¤

Con los conceptos de inyectividad y sobreyectividad y los resultados hasta ahora obtenidos, podemos ver que si una transformación entre los espacios vectoriales V yW es tanto inyectiva, como sobreyectiva (iso-morfismo), es porque tienen esencialmente la misma estructura de espacio vectorial; en otra palabras, son “esencialmente los mismos” (isomorfos), como lo expresamos en la siguiente definición.

Definición 8: [Isomorfismo] Diremos que una transformación lineal T :V −→W es unisomorfismo, si y solo si,T es inyectiva y sobreyectiva.

Definición 9: [Espacios Vectoriales Isomorfos] Si dados dos espacios vectorialesV yW, existe un isomor-fismoT :V −→W, diremos queV yW son isomorfos.

Ejemplo 21: Determinemos siT :R3_{−→ P2tal que T}



 a

b c



=a+bx+cx2 es unisomorfismo.

determinar siT es inyectiva supongamos que

T 

 a1

b1

c1



=a1+b1x+c1x2=T



 a2

b2

c2



=a2+b2x+c2x2

de donde, por igualdad de polinomios,a1=a2,b1=b2yc1=c2, lo que implica queT es inyectiva.

Ahora, al tomar un polinomio arbitrarioa+bx+cx2, podemos exhibir un elemento deR3, a saber,



 a b c





tal queT 

 a

b c



=a+bx+cx2lo que implica queT es sobreyectiva y por lo tanto,T es un isomorfismo¤

Ejemplo 22: La transformación del Ejemplo 10 resultó no ser sobreyectiva (ver Ejemplo 19), por tanto no

es un isomorfismo. ¤

Cuando el dominio y el codominio tienen la misma dimensión, cualquier transformación lineal que sea inyectiva o sobreyectiva resulta ser un isomorfismo, lo cual demostramos en el siguiente teorema.

Teorema 10

SiT:V −→W es una transformación lineal, conV yW espacios vectoriales de dimensión finita ydim(V) =

dim(W), entonces

1. siT es inyectiva,T es sobreyectiva. 2. siT es sobreyectiva,T es inyectiva.

Demostración:

1. SiTes inyectiva y{v1,v2, . . . ,vn}es una base deV, entonces,{T(v1), T(v2), . . . , T(vn})es una base de

Im(T), por los Teoremas 1 y 9. Así quedim(V) =dim(Im(T)). Pero por hipótesis,dim(W) =dim(V), por lo tanto, Im(T) =W, de donde concluimos queT es sobreyectiva.

2. Por el Teorema 6, dim(N u(T)) +dim(Im(T)) = dim(V). Por ser T sobreyectiva, dim(Im(T)) =

dim(W) y por hipótesisdimV =dimW, así que dim(N u(T)) = 0, es decir, N u(T) ={0}, de donde

podemos concluir, por el Teorema 8, que T es inyectiva. ¤

Entre dos espacios de igual dimensión siempre se puede construir un isomorfismo, basta con asignarle a cada vector de una base del dominio, un vector (diferente) de una base del codominio, como veremos en la demostración del siguiente resultado.

Teorema 11

SiV yW son espacios vectoriales de dimensión finita, entonces

dim(V) =dim(W), si y solo si, V yW son isomorfos.

Demostración: Supongamos queV yW son isomorfos, asi que existe un isomorfismoT :V →W, de tal manera que si{v1,v2, . . . ,vn}es una base deV, entonces,{T(v1), T(v2), . . . , T(vn})es una base deIm(T) y por tanto,dim(V) =dim(Im(T)) =dim(W).

Para ver la otra implicación, supongamos quedim(V) =dim(W)y sean{v1,v2, . . . ,vn}y{w1,w2, . . . ,wn} bases deV yW, respectivamente. Podemos ver que la transformación linealT :V →W, dondeT(vi) =wi, resulta ser un isomorfismo. En efecto,T es sobreyectiva ya que{w1,w2, . . . ,wn} es base, tanto de Im(T), como de W, lo que implica queIm(T) = W. En consecuencia, por el Resultado 2 del Teorema 10, T es

Volviendo sobre la identificación de una transformación y su matriz asociada, podemos ver que las propiedades de las transformaciones se caracterizan por el número de pivotes de la forma escalonada de sus matrices asociadas, como lo establecemos en el siguiente teorema, cuya demostración dejamos como ejercicio para el lector.

Teorema 12

SeanT :V −→W una transformación lineal, conV yW de dimensión finita yAT la matrizm×nasociada a la transformación, respecto a dos bases dadas. Entonces,

1. T es inyectiva, si y solo si, la forma escalonada deAT tienenpivotes. 2. T es sobreyectiva, si y solo si, la forma escalonada deAT tienem pivotes. 3. T es un isomorfismo, si y solo si,AT es invertible.

5.6.

Algebra de transformaciones lineales

Dado que las transformaciones lineales son casos particulares de funciones, podemos definir la suma, la multiplicación por escalar y la composición de transformaciones, como se hace en las funciones de valor real. Adicionalmente, veremos que estas operaciones están relacionadas con las operaciones matriciales de sus matrices asociadas.

Definición 10: [Suma y Multiplicación por Escalar de Transformaciones] Dadas dos transformaciones li-nealesT, S:V −→W y un escalarλ∈R, definimosT+S, la suma deT yS, como la función

(T+S) :V −→W, tal que (T+S)(v) =T(v) +S(v), para todo v∈V

y definimosλT, lamultiplicación deT por el escalar λ, como la función

(λT) :V −→W, tal que (λT)(v) =λ[T(v)], para todo v∈V.

Ejemplo 23: Dadas las transformaciones linealesT, S:R2_{−→ P1, tal queT}

µ a b

¶

=a+bxyS µ

a b

¶

=

a−2bx, calculemos(T+S)

µ

−2 5

¶

y(−3T)

µ

−2 5

¶

. Por la definición anterior,

(T+S)

µ

−2 5

¶

=T µ

−2 5

¶

+S µ

−2 5

¶

= (−2 + 5x) + (−2−10x) =−4−5x

y

(−3T)

µ

−2 5

¶

=−3

· T

µ

−2 5

¶¸

=−3(−2 + 5x) = 6−15x.

¤

Teorema 13

Si S, T :V −→W son transformaciones lineales yµes un escalar, entonces las funciones (T+S) :V −→W y (µT) :V −→W

Demostración: Seanv1,v2∈V, entonces

(S+T)(v1+v2) = S(v1+v2) +T(v1+v2) =S(v1) +S(v2) +T(v1) +T(v2) = S(v1) +T(v1) +S(v2) +T(v2) = (S+T)(v1) + (S+T)(v2)

(S+T)(λv) = S(λv) +T(λv) =λ[S(v) +λT(v)] = λ[S(v) +T(v)] =λ(S+T)(v),

de donde podemos concluir que (S+T)es también una transformación lineal. De otro lado, (µT)(v1+v2) = µ[T(v1+v2)] =µ[T(v1) +T(v2)]

= µ[T(v1)] +µ[T(v2)] = (µT)(v1) + (µT)(v2)

(µT)(λv) = µ[T(λv)] =µ[λT(v)] = (µλ)[T(v)] =λ[(µT)(v)],

de donde(µT)también es una transformación lineal. ¤

El conjunto de transformaciones lineales T : V −→ W, con la suma y multiplicación por escalar antes definidas, satisfacen las propiedades que caracterizan a los espacios vectoriales.

Teorema 14

Dadas las transformaciones linealesR, S, T:V −→W y los escalaresλ, µ, entonces 1. R+ (S+T) = (R+S) +T

2. S+T =T +S

3. T+0=0+T =T

4. T+ (−T) = (−T) +T =0

5. λ(S+T) =λS+λT

6. (λ+µ)T =λT +µT

7. (λµ)T =λ(µT) =µ(λT) 8. 1T =T

9. 0T =0

Demostración: Se deja como ejercicio para el lector.

Definiremos ahora la composición, una operación que está definida en funciones tales que el codominio de una de las funciones coincide con el dominio de la otra. En este caso, nos restringiremos a transformaciones lineales.

Definición 11: [Composición de Transformaciones] Sean T : U −→ V y S : V −→ W transformaciones lineales. DefinimosS◦T, lacomposición deS con T, como la función

(S◦T) :U −→W tal que (S◦T)(u) =S(T(u)) para todo u∈U .

Teorema 15

DadasT :U −→V yS:V −→W transformaciones lineales, la composición deScon T,(S◦T) :U −→W,

Demostración: Seanu,u1,u2∈U yλ∈R, entonces

(S◦T)(u1+u2) = S(T(u1+u2)) =S(T(u1) +T(u2))

= S(T(u1)) +S(T(u2)) = (S◦T)(u1) + (S◦T)(u2).

(S◦T)(λu) = S(T(λu)) =S(λT(u)) = λ[S(T(u))] =λ(S◦T)(u).

Por consiguiente,S◦T es una transformación lineal. ¤

Ejemplo 24: Dadas las transformaciones lineales T :R3 _{−→ P1 y S :P1 −→ R}2_{, tal que T}



 a

b c



=

(a+b) +cx y S(α+βx) =

µ α−β

β ¶

, calculemos(S◦T)





1 −2 3



.

Por la definición,

(S◦T)





1 −2 3



=S 

T 



1 −2 3



 

=S(−1 + 3x) = µ

−1−3 3

¶

=

µ

−4 3

¶ .

¤

La composición de transformaciones lineales también satisface propiedades algebraicas, las cuales consigna-mos en el siguiente teorema.

Teorema 16

SeanR, S yT transformaciones lineales tales que, en cada caso, las composiciones están bien definidas y sea

λun escalar, entonces

1. (T◦S)◦R=T ◦(S◦R). 2. T◦(S+R) = (T ◦S) + (T◦R). 3. (T+S)◦R= (T ◦R) + (S◦R). 4. λ(T◦S) = (λT)◦S=T◦(λS). 5. I◦T =T◦I=T.

6. 0◦T =0 y T◦0=0.

Demostración: Demostraremos las Propiedades 1. y 4. Las demás las dejamos como ejercicio para el lector.

1. Por definición de la composición de transformaciones,

((T◦S)◦R)(v) = (T◦S)(R(v)) =T(S(R(v))) = T((S◦R)(v)) = (T◦(S◦R))(v).

4. Igualmente, por la definición de la composición de transformaciones,

de otro lado,

λ(T◦S)(v) = (T◦S)(λv) =T(S(λv)) = T(λS(v)) = [T◦(λS)] (v).

¤

En la Sección 5.2, vimos que existe una estrecha relación entre las transformaciones y las matrices, a saber, si T es una transformación linealT :V −→ W, B y B′ _{son bases de}

V yW, respectivamente yAT es la matriz asociada aT, respecto a las basesByB′_{, entonces}

[T(v)]B′ =AT[v]B.

Mediante esta relación entre transformaciones y matrices, podemos establecer una correspondencia entre las operaciones algebraicas de las transformaciones y las operaciones algebraicas de las matrices asociadas a ellas, como lo consignamos en el siguiente teorema.

Teorema 17

SeanB,B′ _yB′′_{bases de los espacios vectoriales}

U,V yW, respectivamente;T, S:U −→V yR:V −→W

transformaciones lineales;AT yASlas matrices asociadas aT ySrespecto a las basesByB′yARla matriz asociada aRrespecto a las basesB′ _yB′′_{, entonces la matriz asociada a la transformación}

1. T+S respecto a las basesByB′

esAT +AS. 2. T−S respecto a las basesByB′

esAT −AS. 3. −T respecto a las basesByB′

es−AT. 4. λT respecto a las basesByB′ _es

λAT. 5. R◦T respecto a las basesB yB′′_es

ARAT.

Demostración: Demostremos la Propiedad 5; las demás las dejamos como ejercicio para el lector. Por la definición de matriz asociada a una transformación,

[(R◦T)(u)]B′′= [R(T(u))]B′′=AR[T(u)]B′ =AR(AT[u]B) = (ARAT)[u]B

y por la propiedad de unicidad del Teorema 5, la matriz asociada a (R◦T) respecto a las basesB y B′

es

ARAT. ¤

Como ocurre en general para el conjunto de funciones, la composición de transformaciones permite caracte-rizar las transformaciones lineales que son invertibles, como lo consignamos en la siguiente definición.

Definición 12:[Transformación Invertible] Diremos queT :V −→W es unatransformación lineal inverti-ble, si existe una transformación linealS:W −→V tal que(T◦S) =IW :W −→Wy(S◦T) =IV :V −→V. A la transformaciónS la llamamos inversadeT.

Ejemplo 25: Verifiquemos queT :R2−→ P1 tal queT µ

a b

¶

= (a+b) + (a−b)xes una transformación invertible.

Veamos que S : P1 −→ R2 tal que S(u+vx) =

µ u+v

2 ,

u−v

2

¶T

es una transformación lineal tal que

T◦S=IP₁ yS◦T =IR2.

(T◦S)(u+vx) =T(S(u+vx)) =T µ u+v

2 u−v

2

¶

= u+v 2 +

u−v

2 +

µ u+v

2 −

u−v

2

¶

(S◦T)

µ a

b ¶

=S µ

T µ

a b

¶¶

=S((a+b) + (a−b)x) =

à _{(a+b)+(a−b)}

2 (a+b)−(a−b)

2

!

=

µ a

b ¶

=IR2

µ a b

¶

. ¤

Al igual que con las funciones en general y que con las matrices, la inversa de una transformación lineal es única, como lo planteamos en el siguiente teorema, cuya demostración dejamos como ejercicio para el lector.

Teorema 18

Sea T :V →W una transformación lineal. Si existenS1, S2 :W →V, dos transformaciones lineales tales queT◦S1=T◦S2=IW yS1◦T =S2◦T =IV, entoncesS1=S2.

Similarmente como hicimos en el caso de las matrices, la inversa de la transformaciónT la denotamosT−1 y demostremos la relación de equivalencia entre las transformaciones invertibles y los isomorfismos.

Teorema 19

SeaT :V →W una transformación lineal, entoncesT es invertible, si y solo si,T es un isomorfismo.

Demostración: Supongamos queT es invertible y queS es su inversa. Tomemosv1,v2∈V y supongamos queT(v1) =T(v2), así queS(T(v1)) =S(T(v2)), de donde concluimos quev1=v2y por consiguiente que

T es inyectiva. Tomemos ahoraw∈W y seav=S(w), así queT(v) =T(S(w)) =w, de donde concluimos queT es sobreyectiva y por tanto es un isomorfismo.

Supongamos ahora que T es un isomorfismo, asi queT es inyectiva y sobreyectiva. Sea w ∈W, entonces existe un único v∈V, tal queT(v) =w. Definimos S, de tal forma queS(w) = v, cuandoT(v) =w. Es

fácil demostrar queS es la inversa de T ¤

Ejemplo 26: Utilicemos el teorema anterior para determinar si la transformación del Ejemplo 1 es invertible. Si la transformación del Ejemplo 1, que va de R3 _{a R}2 _{fuese invertible, por el teorema anterior,T seria un} isomorfismo y por lo tanto, los espacios vectoriales R3 _{y R}2 _{serian isomorfos, lo cual, por el Teorema 11,} no es posible ya que sus dimensiones son distintas. En consecuencia, la transformación del Ejemplo 1 no es

invertible. ¤

Por último, veremos que para determinar si una transformación es invertible, es suficiente que su matriz asociada lo sea, como lo establecemos en el siguiente teorema.

Teorema 20

SeanByB′_{bases de los espacios vectoriales}

V yW, respectivamente,T :V →W una transformación lineal yAT la matriz asociada a la transformación respecto a las basesByB′. Entonces

1. T es invertible, si y solo si,AT es invertible.

2. Si T es invertible, entoncesA−T1 es la matriz asociada a la transformación lineal T

−1_{, respecto a las} bases B′

yB.

Demostración: La dejamos como ejercicio para el lector.

Ejemplo 27: Utilicemos el teorema anterior para determinar si la transformación del Ejemplo 25 es invertible. SeanB y B′ _{las bases canónicas de}

R2 y P1 respectivamente. La matriz asociada a T en las bases B y B′

esAT = [ [T(e1)]B′[T(e1)]B′ ] =

µ

1 1 1 −1

¶

, cuyo determinante es −2, por lo tanto AT es invertible y en