Combinatoria algebraica funciones simétricas y multisimétricas

Pontificia Universidad Javeriana.

Facultad de Ciencias.

Departamento de Matem´aticas.

COMBINATORIA ALGEBRAICA. FUNCIONES

SIM´

ETRICAS Y MULTISIM´

ETRICAS.

Por: David Ortiz Mu˜noz.

Directora: Eddy Parigu´an.

´Indice general

Agradecimientos . . . 4

Introducci´on . . . 5

1. Preliminares 10 2. Teor´ıa de Polya 13 2.1. Acciones de grupos sobre conjuntos . . . 14

2.2. Grupo Diedral D2n . . . 16

2.2.1. Coloraciones . . . 19

2.2.2. Aplicaci´on del Lema de Burnside . . . 21

2.2.3. Polinomio indicador de ciclos . . . 23

2.2.4. Aplicaci´on del polinomio indicador de ciclos al problema de colora-ciones . . . 26

3. Funciones Sim´etricas Cl´asicas 31 3.1. Acci´on del grupo sim´etrico Sn sobre Rn . . . 31

3.2. ´Algebra de Invariantes y Coinvariantes . . . 32

3.3. Funciones Sim´etricas Cl´asicas . . . 33

3.3.1. Funciones Sim´etricas Monomiales . . . 33

3.3.2. Funciones Sim´etricas Homog´eneas . . . 34

4. Funciones de Sch¨ur 39

4.1. Tablas de Young . . . 40

4.2. Funciones de Sch¨ur . . . 43

5. Anillo de Funciones Multisim´etricas 50

Agradecimientos

A la Pontificia Universidad Javeriana por la financiaci´on parcial de este trabajo a

trav´es de los proyectos identificados con ID 00005841 y ID 00005024. A la profesora Eddy

Pariguan por dirigir el trabajo y confiar en mis capacidades. A la profesora Beatriz Gra˜na

por sus valiosos aportes en la correcci´on de este trabajo.

A los profesores de la carrera de matem´aticas de la Pontificia Universidad Javeriana por

todo lo que me ense˜naron y aportaron a lo largo de mi formaci´on como matem´atico. A

mis compa˜neros Gabriel, Lucas, Juan Camilo Rodr´ıguez, Juan Camilo Vallejo con los que

estudie estos ´ultimos a˜nos y de los que aprend´ı bastante. A mi familia por todo el apoyo

Introducci´

on

Cuando se habla de Combinatoria, se puede hablar de una rama de las Matem´aticas,

con recientes avances, que estudia la manera de contar objetos dentro de un conjunto con

propiedades determinadas, y construir estructuras a partir de ´estos. Inici´o gracias a que

despert´o, desde tiempos muy antiguos, curiosidad e inquietud entre los matem´aticos que

estudiaban problemas de probabilidad, como por ejemplo, los cuadrados m´agicos de orden

n. Luego de muchos a˜nos de investigaci´on en el tema, se logr´o consolidar un objeto de

estudio independiente.

Los or´ıgenes hist´oricos de la Combinatoria pueden ser indagados desde tiempos

anti-guos y fue creciendo al lado de otras ramas de las Matem´aticas como el ´Algebra, la Teor´ıa

de N´umeros y la Probabilidad. Sin embargo, en occidente surgi´o con los matem´aticos

Blaise Pascal y Pierre Fermat en el siglo XVII con su trabajo sobre la teor´ıa de juegos de

azar. El actual t´ermino de “Combinatoria” se le debe al fil´osofo y matem´atico Gottfried

Leibniz, por su libro titulado “Dissertatio de Arte Combinatoria” [14]. Seguido a esto, ha habido aportes de la familia Bernoulli, el suizo Leonhard Euler, y Arthur Cayley

princi-palmente en la Teor´ıa de Grafos [21]. El gran salto lo dio Gian-Carlo Rota, considerado

el padre de la combinatoria.

A medida que la ciencia fue avanzando y estudiando interacciones entre la

Combi-natoria, Teor´ıa de Representaciones, Geometr´ıa Algebraica y otros campos del ´Algebra,

resultados m´as importantes de esta rama fue el despertar un nuevo inter´es por el

estu-dio las funciones sim´etricas, definidas a partir de la acci´on del grupo sim´etrico Sn sobre

R_{[x1, . . . .xn], donde los polinomios sim´etricos son los polinomiosSn-invariantes [2].}

La Teor´ıa de Polya es una rama de la Teor´ıa Combinatoria, llamada as´ı por el

ma-tem´atico George Polya, quien naci´o en Budapest, Hungr´ıa, en 1887, y obtuvo su t´ıtulo

como doctor en matem´aticas en 1912. Desde 1940 se radic´o en los Estados Unidos hasta

el a˜no 1985, cuando muri´o a los 97 a˜nos, despu´es de haber trabajado como profesor e

investigador en Brown University y Stanford University. Polya se interes´o por problemas

de Probabilidad, Teor´ıa de N´umeros y An´alisis Num´erico entre otros. Entre los resultados

m´as importantes de Polya est´an por ejemplo: En 1923 mostr´o que la transformada de

Fourier de una medida de probabilidad es un funci´on caracter´ıstica. En 1920 realiz´o

in-vestigaciones sobre la distribuci´on normal e introdujo el t´ermino “Teorema Central del

l´ımite”, que se usa en la actualidad. En An´alisis Complejo investig´o singularidades en

series de potencias, representaciones de funciones enteras de tipo exponencial y

localiza-ci´on de ceros. En 1921 demostr´o su teorema sobre caminos aleatorios en ret´ıculos enteras.

Polya tambi´en le interesaba mucho la pedagog´ıa, por lo que escribi´o 3 libros donde trata

el tema de como resolver problemas. “ ¿C´omo plantear y resolver problemas?” [19].

Objetos de la Geometr´ıa Sim´etrica y enumeraci´on de clases de simetr´ıa fueron de gran

inter´es para ´el, como los 17 grupos cristalogr´aficos planos, sin embargo la mayor

contri-buci´on que hizo Polya a la combinatoria fue su teorema de enumeraci´on publicado en 1937.

En este trabajo estudiaremos el problema de conteo planteado por Polya, que

esta-blece c´omo calcular el n´umero de coloraciones distintas que se pueden realizar sobre los

v´ertices de pol´ıgonos regulares. El planteamiento de dicho problema se realiza por medio

de una acci´on del grupo diedral D2n sobre el conjunto de v´ertices de un pol´ıgono regular

de n lados. Este grupo tiene gran cantidad de representaciones en la naturaleza y otras

cla-sificar estructuras de mol´eculas y cristales, al igual que en el dise˜no, la arquitectura y

arte donde estos grupos son la base para la elaboraci´on de dise˜nos decorativos, edificios y

obras de arte. En la naturaleza, un ejemplo est´a en los copos de nieve, los cuales poseen

un simetr´ıa equivalente a la del grupoD6 del hex´agono. En el sector empresarial tambi´en

se utiliza por las m´as grandes multinacionales, quienes le dan a sus im´agenes publicitarias

una simetr´ıa igual a la de grupos diedrales.

Polya obtuvo una f´ormula general para el problema ya mencionado de calcular el

n´umero de coloraciones distintas de los v´ertices de un pol´ıgono regular con un n´umero

dado de colores. Para ello, Polya introduce el polinomio indicador de ciclos, que sirve como

f´ormula para dicho conteo y adem´as es un polinomio sim´etrico. El polinomio indicador de

ciclos est´a estrechamente ligado al Lema de Burnside, un resultado de la Teor´ıa de Grupos

que permite calcular el n´umero de ´orbitas cuando un grupo finito act´ua sobre un

con-junto finito. El lema se plantea y demuestra por el matem´atico alem´an Ferdinand Georg

Frobenius (1849-1917) pero por una equivocaci´on de la historia, el lema tom´o el nombre

de Burnside, ya que no se conoci´o hasta que el londinense William Burnside (1852-1927)

lo public´o en su libro [6] mientras era profesor en Cambridge University.

Dentro de la Combinatoria Algebraica se da el estudio de funciones sim´etricas,

tam-bi´en conocidas como funciones sim´etricas de MacMahon debido a que fueron estudiadas

por el Brit´anico Percy Alexander MacMahon (1854-1929), quien las aplic´o en el

proble-ma de meter bolas en cajas y en la Teor´ıa de Cuadrados Latinos. Estas funciones son

de especial inter´es en Matem´aticas y en F´ısica Matem´atica, y aparecen en el estudio de

´algebra elemental y Teor´ıa de Representaciones del Grupo Sim´etrico, entre otras. Gracias

a esa relaci´on con la Teor´ıa de Representaciones, la Teor´ıa de Funciones Sim´etricas tiene

diversas aplicaciones en la F´ısica Matem´atica, por ejemplo, ´estas aparecen en la

corres-pondencia entre Bosones y Fermiones, que es de gran importancia en la Teor´ıa de Cuerdas

de los espacios de Moduli de superficies de Riemann [15].

Las funciones sim´etricas se extienden a un caso multivariado, d´ando origen a las

fun-ciones multisim´etricas, las cuales fueron objeto de estudio de matem´aticos como Francesco

Vaccarino [27], Percy MacMahon, Mercedes Rosas [22] y John Dalbec [7].

Lo mencionado anteriormente, permite plantear el objetivo principal de este trabajo,

que es hacer un estudio detallado del art´ıculo [27] de Francesco Vaccarino, donde se

pre-senta el anillo de funciones multisim´etricas y una f´ormula general para la multiplicaci´on

de funciones multisim´etricas elementales. Para ello, se realiz´o una recopilaci´on

bibliogr´afi-ca sobre los principales conceptos combinatorios que se deben manejar antes de iniciar el

estudio de las funciones sim´etricas y multisim´etricas.

Este trabajo se encuentra organizado de la siguiente manera: un cap´ıtulo de

prelimi-nares, donde se muestran definiciones y resultados de Teor´ıa de Grupos, haciendo ´enfasis

en el grupo sim´etrico Sn y adem´as se introducir´a la notaci´on que utilizaremos a lo largo

del trabajo. En el segundo cap´ıtulo se introducen conceptos tales como: permutaci´on,

acci´on de grupos sobre conjuntos, ´orbitas, puntos fijos y estabilizador. Se define el grupo

diedral D2n como subgrupo del grupo sim´etrico Sn y se muestran ejemplos expl´ıcitos de

los grupos D8 yD6 utilizando dibujos y mostrando c´omo pueden definirse en t´erminos de

permutaciones. Esto sirve como motivaci´on para el problema de c´omo calcular el n´umero

de coloraciones distintas que se pueden realizar sobre los v´ertices de un pol´ıgono regular

con un n´umero dado de colores, que se resuelve por medio del Teorema de Polya. Previo

al teorema y su demostraci´on, se enuncia el lema de Burnside con su respectiva prueba

para despu´es definir el polinomio indicador de ciclos. El lema de Burnside y el polinomio

indicador de ciclos son fundamentales para la prueba del Teorema de Polya. Toda

El tercer cap´ıtulo comienza con el estudio de funciones sim´etricas, definiendo los

poli-nomios sim´etricos, que son los polipoli-nomios en varias variables f(x1, . . . , xn) tal que, para

cada permutaci´onσ ∈Sn, tenemos

f(xσ(1), xσ(2), . . . , xσ(n)) = f(x1, x2, . . . , xn),

es decir, los polinomios en R[x1, . . . , xn] invariantes bajo la acci´on del grupo sim´etrico.

El anillo de polinomios invariantes bajo la acci´on de Sn es denotado porR[x1, . . . , xn]Sn.

Se definen y se muestran ejemplos de las funciones sim´etricas homog´eneas, monomiales y

elementales, donde cada una de ellas forman una base para R[x1, . . . , xn]Sn.

En el cuarto cap´ıtulo se muestra un estudio detallado de las Funciones Sim´etricas de

Sch¨ur Sλ, introduciendo tres definiciones equivalentes de ´estas, cada una con ejemplos

expl´ıcitos de c´omo calcularlas. La primera definici´on es la definici´on formal de Funciones

de Sch¨ur que se encuentra en el art´ıculo [12] de Jacobi, donde se introduce la f´ormula de

Cauchy para calcular Funciones de Sch¨ur por medio de un cociente de determinantes. Las

otras dos definiciones utilizan propiedades de tablas semiest´andar de Young [29], por lo

que el cap´ıtulo inicia con una secci´on dedicada a las tablas y diagramas de Young que son

objetos combinatorios introducidas por el matem´atico brit´anico Alfred Young (1873-1940)

[29]. Los ejemplos que se encuentran en este cap´ıtulo muestran la expansi´on que puede

te-ner cada funci´on de Sch¨ur en t´erminos de Funciones Sim´etricas monomiales y elementales.

En el sexto y ´ultimo cap´ıtulo se muestra el estudio del caso multivariado de las

fun-ciones sim´etricas. En este cap´ıtulo se definen las Funfun-ciones Multisim´etricas Elementales

y se calculan ejemplos propios donde se ilustra el comportamiento de dichas funciones. Se

enuncia y se muestra la prueba del resultado principal de Francesco Vaccarino en el

art´ıcu-lo [27], el cual da una f´ormula general de multiplicaci´on para las Funciones Multisim´etricas

Elementales. Seguido a este teorema, se escriben dos ejemplos expl´ıcitos de multiplicaci´on

para mostrar la aplicaci´on del teorema y hacer la comparaci´on de los resultados utilizando

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Se presentar´an las definiciones de grupo, subgrupo, grupo sim´etrico Sn y

permutacio-nes con su descomposici´on en ciclos, conceptos importantes para la lectura del trabajo.

Se enunciar´an algunos resultados de la Teor´ıa de Grupos cuyas pruebas se consideran

conocidas, para el lector que desee conocerlas se encuentran en [10].

Definici´on 1. Sea G un conjunto, junto a una operaci´on binaria usualmente llamada multiplicaci´on, que asigna a todo par (a, b) de elementos de G un elemento en G deno-tado por ab. Decimos que G es un grupo bajo esta operaci´on si satisface las siguientes propiedades.

1. Asociatividad. (ab)c=a(bc), para todo a, b, c∈G.

2. Elemento identidad.Existe un elementoe llamado identidad enGtal queae =ea =

a, para todo a∈G.

3. Elemento inverso. Para todo elemento a ∈ G, existe b ∈ G llamado inverso de a

talque ab=ba=e. b se denota como a−1_.

Teorema 3. Sea Gun grupo y H un subconjunto no vac´ıo de G. H es un subgrupo deG

si ab−1 _{∈H para todo a, b∈H.}

En todo este trabajo utilizaremos la siguiente notaci´on: Dado n ∈N_{, denotamos por}

[0, n] :={0,1,2, . . . , n} y [n] :={1,2, . . . , n}.

Para todo conjunto finito X, |X| denotar´a la cardinalidad del conjutno X.

Para todo n ∈Z+_{, si λ es una partici´on de n escribiremos λ⊢n.}

Definici´on 4. Diremos que σ es una permutaci´on de n letras si σ : [n] −→ [n] es una funci´on biyectiva. Denotaremos Sn = {σ : [n] −→ [n]| σ es una permutaci´on}. Sn se

llama Grupo Sim´etrico en n letras el cual es un grupo bajo la composici´on de funciones. Dado n ∈Z+ _{y dado σ ∈Sn denotaremos los elementos del grupo de la siguiente manera}

σ=



 1 2 3 . . . n

σ(1) σ(2) σ(3) . . . σ(n)



.

Ejemplo 5. Los elementos deS3 son todas las funciones biyectivasσ : [3]−→[3]. Expl´ıci-tamente los elementos de S3 son

 

 

 1 2 3

1 2 3



, 

 1 2 3

1 3 2



, 

 1 2 3

2 1 3



, 

 1 2 3

2 3 1



, 

 1 2 3

3 1 2



, 

 1 2 3

3 2 1

     .

Observe que |S3|= 3! = 6.

Definici´on 6. Seank ≤n, x1, x2, . . . , xk ∈[n] elementos distintos. Seaσ= (x1x2. . . xk),

dada por

σ =



 x1 x2 x3 . . . xk

x2 x3 x4 . . . x1



,

y el resto de los elemento de [n] est´an fijos por σ. A σ = (x1x2. . . xk) se llama un ciclo

de tama˜no k.

Todo elementoσ ∈Snadmite una descomposici´on en ciclos seg´un muestra el Teorema

Teorema 7. Toda permutaci´on de Sn distinta de la identidad se descompone de forma

´

unica, salvo el orden de los factores, como producto de ciclos disjuntos cada uno de longitud mayor o igual que 2.

Ejemplo 8. Considere los siguientes elementos de S3.



 1 2 3

1 2 3



, 

 1 2 3

3 1 2



, 

 1 2 3

2 1 3



.

La respectiva descomposici´on en ciclos de cada elemento est´a dada por



 1 2 3

3 2 1



= (13)(2)



 1 2 3

2 1 3



= (12)(3)

.

Observe que las dos permutaciones anteriores tienen la misma estructura de ciclos ya

Cap´ıtulo 2

Teor´ıa de Polya

George Polya (1887-1985), matem´atico h´ungaro, profesor de la Universidad de

Stan-ford en California, cuyos aportes a la Matem´atica los hizo en Combinatoria, Teor´ıa de

Probabilidad, Teor´ıa de N´umeros y An´alisis Num´erico, [18] estudi´o de forma muy

es-pec´ıfica la influencia que tiene la descomposici´on en ciclos de una permutaci´on del grupo

sim´etrico Sn y como esta, acompa˜nada del grupo diedral D2n puede ser utilizada para

resolver problemas de coloraciones.

A lo largo de este cap´ıtulo, se utilizar´a el grupo diedral D2n como subgrupo del

gru-po sim´etrico Sn para estudiar problemas de coloraciones. Posteriormente se enunciar´a y

demostrar´a el Lema de Cauchy-Frobenious, como motivaci´on para definir el polinomio

indicador de ciclos asociado a una acci´on de un grupo de permutaciones Gsobre un

con-junto finito X. Se demuestra el Teorema de Polya y se muestran aplicaciones y ejemplos

del mismo. Finalmente utilizaremos el polinomio indicador de ciclos como herramienta

para calcular las distintas coloraciones que se pueden hacer sobre los v´ertices de pol´ıgonos

2.1.

Acciones de grupos sobre conjuntos

Las acciones de grupos sobre conjuntos finitos son la base de la Teor´ıa de Polya, y

dan lugar a diversos resultados importantes importantes de dicha teor´ıa. Se introducir´a el

concepto de acci´on, acompa˜nado de la definici´on de conjuntos de puntos fijos, ´orbitas

y estabilizadores, los cuales ser´an fundamentales para los teoremas que se enunciar´an y

demostrar´an en este cap´ıtulo.

Definici´on 9. SeaG un grupo y seaX un conjunto no vac´ıo. Decimos queG act´ua sobre

X si existe una aplicaci´on:

·: G×X −→ X

(g, x) 7−→ g·x

tal que

1. e·x=x, ∀x∈X, donde e es la identidad de G. 2. (gh)·x=g·(h·x), ∀g, h∈G, ∀x∈X.

En este caso decimos que G act´ua sobre X a izquierda.

Ejemplo 10. Acci´on por traslaci´on: Sea G un grupo y sea H un subgrupo de G, H

act´ua sobre G de la siguiente manera:

·: H×G −→ G

(h, x) 7−→ h·x=hx.

Veamos que · es una acci´on:

1. e∈H, x∈G, luego e·x=ex=x.

Ejemplo 11. Sea G un grupo y H, K dos subgrupos de G. Sea X = {xK : x ∈ G}

el conjunto de las clases laterales izquierdas de K en G, entonces H act´ua sobre X por traslaci´on:

·: H×X −→ X

(h, xK) 7−→ h·xK =hxK

1. e∈H, luego e·xK =exK = (ex)K =xK.

2. h, h′ _{∈ h, xK ∈ X, entonces (hh}′_{)·(xK) = hh}′_{xK = h(h}′_{xK) = h(h}′ _{·xK) =}

h·(h′·xK).

Ejemplo 12. Acci´on por conjugaci´on: Sea G un grupo y H un subgrupo de G, y definimos la acci´on:

·: H×G −→ G

(h, x) 7−→ h·x=hxh−1

1. e∈H, entonces e·x=exe−1 _{=x, ∀x∈G.}

2. Sean h, h′ _{∈H y x∈G, entonces}

(hh′)·x=hh′x(hh′)−1 =hh′xh′−1h−1 =h(h′·x)h−1 =h·(h′·x).

Definici´on 13. Sea G un grupo,X un conjunto no vac´ıo. Suponga que Gact´ua sobre X

·: G×X −→ X

(g, x) 7−→ g·x

definimos:

Para todox∈X, la ´orbitade x denotada porx¯, es el conjunto x¯={g·x:g ∈G}.

Para todo x∈X, el estabilizador de x, es el subgrupo de G,

Gx ={g ∈G:g·x=x},

Para todog ∈G, lospuntos fijos de ges el conjuntofixX(g) = {x∈X :g·x=x}.

Definici´on 14. Sea G un grupo, y H ⊂G un subgrupo de G.

Si G act´ua por conjugaci´on sobre s´ı mismo, entonces la ´orbita de x∈G,

¯

x={gxg−1 _{:g ∈G} se llama la clase de conjugaci´on de x.}

Si H act´ua por conjugaci´on sobre G, entonces el grupo de isotrop´ıa

Hx ={h∈H :hxh−1 =x}={h∈H :hx=xh}, se llama centralizador dex∈H.

Sea S = {K ⊂ G : K es subgrupo de G}. Si H act´ua por conjugaci´on sobre S, entonces el subgrupo fixS(h) ={K ∈S : hKh−1 =K}, es llamado el normalizador

de K en H y denotado NH(K). El grupo NG(K) es llamado el normalizador de K.

Claramente todo subgrupo K es normal en NG(K); K es normal en G s´ı y solo

s´ıNG(K) = G.

2.2.

Grupo Diedral

D

El conjunto de simetr´ıas de un pol´ıgono regular de n lados (n ≥ 3), conformado por

las rotaciones y reflexiones que se pueden realizar sobre ´este, forma un grupo bajo la

composici´on de funciones, llamado el grupo diedral de orden 2n, que se denotar´a porD2n.

Dado que, las rotaciones y reflexiones son algunas de las permutaciones que se pueden

hacer sobre los v´ertices del pol´ıgono, entonces el grupo diedral es un subgrupo del grupo

sim´etrico Sn, es decir, D2n⊂Sn.

El grupo diedral D2n tambi´en se conoce como el grupo de simetr´ıas del pol´ıgono regular

den lados.

Definici´on 15. Sean ∈N_{, n≥3, el grupo diedralD2n es un grupo de orden2n generado}

por σ, τ ∈Sn que satisfacen

σn_{=e, σ}k _{6=e, 0< k < n;}

τ σ=σ−1_τ;

donde e es la identidad de Sn.

Ejemplo 16. El grupo diedral D6 = {R0, R1, R2, S0, S1, S2}, es el grupo de simetr´ıas del tri´angulo. La identidad para D6 es R0 que viene siendo la configuraci´on inicial del tri´angulo sin realizarle ninguna rotaci´on o reflexi´on.(La configuraci´on inicial se fija arbi-trariamente).

R0 R1 R2

S0 S1 S2

Figura 2.1: Simetr´ıas del tri´angulo

En t´erminos de permutaciones, tenemos que

R0 =



 1 2 3

1 2 3



, R1 =



 1 2 3

3 1 2



, R2 =



 1 2 3

2 3 1



,

S0 =



 1 2 3

1 3 2



, S₁ = 

 1 2 3

3 2 1



, S₂ = 

 1 2 3

2 1 3



.

Ejemplo 17. El grupo diedral D8 est´a conformado por las simetrias del cuadrado,

Figura 2.2: Simetr´ıas del cuadrado

En t´erminos de permutaciones D8 ⊂S4 viene dado por

D8 =

                     

 1 2 3 4

1 2 3 4



, 

 1 2 3 4

2 3 4 1



, 

 1 2 3 4

3 4 1 2



, 

 1 2 3 4

4 1 2 3



,



 1 2 3 4

4 3 2 1



, 

 1 2 3 4

3 2 1 4



, 

 1 2 3 4

1 4 3 2



, 

 1 2 3 4

2 1 4 3

                      

Haciendo la correspondencia con la descomposici´on en ciclos de cada permutaci´on tenemos que

D8 ={(1)(2)(3)(4), (1234), (13)(24), (1432), (14)(23), (13)(2)(4), (1)(24)(3), (12)(34)}.

En este caso se tiene D8 =h(1234),(14)(23)i.

En lo que sigue vamos a considerar los v´ertices de un pol´ıgono indexados sobre el

conjunto [n]. En general vamos a considerar un grupo de permutaciones actuando sobre

acci´on a considerar est´a dada por σ·i= σ(i), para todo i v´ertice del pol´ıgono yg en el

grupo.

2.2.1.

Coloraciones

El problema a trabajar ser´a contar de cu´antas maneras distintas podemos colorear las

perlas de un collar con un n´umero dado de colores, lo cual se puede pensar como una

funci´on entre las perlas y el conjunto de colores, de la siguiente manera: dados N y R

conjuntos finitos, una funci´on f :N −→R, es una coloraci´on de N con los colores de R.

Denotaremos M ap(N, R) = {f :N −→R|f es funci´on}.

Dado el grupoCn ⊂Sn, dondeCnes el grupo c´ıclico de rotaciones, se dice que dos

colora-cionesf, f′ _{∈M ap(N, R) son iguales s´ı y solo s´ıf}′ _{=f◦g para alg´un g ∈C}

n, es decir que

la coloraci´o n del collar es independiente de las rotaciones. En este caso diremos que f y

f′ _{son equivalentes, y se representar´a por medio de f ∼f}′_{. La relaci´on ∼es una relaci´on}

de equivalencia, donde las clases de equivalencias son las distintas coloraciones que se le

pueden hacer al collar. Por lo tanto las clases de equivalencia de ∼ es lo que nos interesa

contar [3].

El siguiente Lema muestra una relaci´on entre el cardinal de un grupoGque act´ua sobre

un conjunto finito X, con los cardinales de la ´orbita y del estabilizador de un elemento

de X. Este resultado permite entender la prueba del Teorema de Cauchy-Frobenious, el

cual es una herramienta fundamental para los resultados de la Teor´ıa de Polya.

Lema 18. Sea G un grupo que act´ua sobre un conjunto finito X. Entonces se tiene

|x||Gx|=|G|,

donde Gx es el estabilizador de x.

Demostraci´on. Seanx∈Xyx,Gxla ´orbita y estabilizador dexrespectivamente definidos

Veamos que para cualquier g ∈G, hay exactamente|Gx|elementos del grupo de la forma

h=ga con a∈Gx, tal que h·x=g·x.

Supongamos g ·x = h·x ⇐⇒ x = g−1_{h·x ⇐⇒ g}−1_{h ∈ G}

x ⇐⇒ h = ga, para alg´un

a ∈ Gx, ya que g−1h·x = g−1ga·x = a·x = x. Lo que prueba la afirmaci´on anterior.

Luego en el conjuntoxhay |Gx|elementos tal queh·x=g·x,por lo que se puede concluir

que

|x||Gx|=|G|.

El Lema de Burnside, tambi´en llamado Teorema de Cauchy-Frobenious es un resultado

de Teor´ıa de Grupos (1887) utilizado en problemas de conteo de simetr´ıas en objetos

matem´aticos [1], [6], [26].

Lema 19. Cauchy-Frobenious (Burnside)

Sea G un grupo que act´ua sobre un conjunto finito X. Sean x1, x2, . . . , xn las distintas

´orbitas de la acci´on del grupo G sobre X. Entonces se tiene que

n = 1 |G|

X

g∈G

|fixX(g)|.

Demostraci´on. Por el Lema 18 se tiene que |x||Gx| =|G|=⇒ |x| = _|G|G|x|. Como la ´orbita

de x ∈X nos induce una relaci´on de equivalencia sobre el conjunto X, entonces ∀y ∈x

tenemosy =x, luego |Gx|=|Gy|, ∀y∈x, entonces

|G|=|x||Gy|=

X

y∈x

|Gy|.

Como se tienen n ´orbitas. As´ı

n|G|=

n

X

i=1

X

y∈xi

|Gy|=

X

y∈X

|Gy|=

X

g∈G

|fixX(g)|.

La ´ultima igualdad se obtiene de la Definici´on 13. De lo cual se concluye:

X

x∈X

|Gx|=

X

g∈G

∴n= 1

|G|

X

g∈G

|fixX(g)|.

2.2.2.

Aplicaci´

on del Lema de Burnside

Si queremos colorear los v´ertices de un cuadrado con los colores azul y rojo,

obten-dremos el siguiente conjunto de coloraciones

X =

, , , , , , , , , , , , , , ,

.

(2.1)

En este conjunto hay elementos que son reflexiones o rotaciones de otros, para evitar esto,

vamos a utilizar la acci´on del grupo D8 definido en el Ejemplo 17, sobre el conjunto X y

el Lema 19 para contar las distintas clases de equivalencia, es decir las distintas ´orbitas

de la acci´on de D8 sobre X. Primero vamos a calcular los puntos fijos de cada elemento

del grupo D8.

fix[(1)(2)(3)(4)] =X

fix[(13)(24)] =

, , ,

fix[(1234)] =

,

fix[(1432)] =

,

fix[((12)(34))] =

, , ,

fix[(14)(23)] =

, , ,

fix[(13)(2)(4)] =

, , , , , , ,

fix[(1)(3)(24)] =

, , , , , , ,

Ahora, por el Lema de Burnside tenemos que

n = 1 |D8|

X

g∈D8

|fixX(g)|,

donde n es el n´umero de ´orbitas de la acci´on de D8 sobre el conjunto X. Luego

n= 1 |D8|

X

g∈D8

|fixX(g)|

= 1

8[16 + 4 + 2 + 2 + 4 + 4 + 8 + 8]

= 1 8[48] = 6.

Lo que nos dice que existen 6 coloraciones distintas de las 4 perlas de un collar con dos

colores.

Ahora para calcular ´unicamente las coloraciones que no son rotaciones de otra se va

a utilizar el subgrupo hσi ⊂D8 de las rotaciones generadas σ = (1234). Dado por

h(1234)i=

 

 

 1 2 3 4

1 2 3 4



, 

 1 2 3 4

2 3 4 1



, 

 1 2 3 4

3 4 1 2



, 

 1 2 3 4

4 1 2 3



  



,

haciendo la correspondencia con la descomposici´on en ciclos de cada permutaci´on

obte-nemos que

G={(1)(2)(3)(4), (1234), (13)(24), (1432)}={σ0, σ, σ2, σ3},

y estudiando la acci´on de G sobre X, (2.1) y utilizando de nuevo el Lema 19, los puntos

fix[(1)(2)(3)(4)] =X

fix[(1234)] =

,

fix[(13)(24)] =

, , ,

fix[(1432)] =

,

.

Y por lo tanto tenemos

n= 1

|h(1234)i|

X

g∈h(1234)i

|fixX(g)|,

donden es el n´umero de ´orbitas de la acci´on deG=h(1234)i sobre el conjuntoX. Luego

n= 1

|h(1234)i|

X

g∈h(1234)i

|fixX(g)|

= 1

4[16 + 2 + 4 + 2]

= 1 4[24] = 6.

De nuevo lo que este c´alculo nos dice es que hay 6 coloraciones distintas de las 4 perlas

de un collar, con 2 colores (en general no es lo mismo utilizar el grupo de rotaciones o el

grupo diedral). Las 6 coloraciones del collar de 4 perlas son

, , , , , ,

.

2.2.3.

Polinomio indicador de ciclos

En la Secci´on 2.2.2, se utiliz´o un grupo G de permutaciones del conjunto {1,2,3,4}

(grupo de simetr´ıas del cuadrado) y se encontr´o que siGact´ua en un conjunto X de

coloraci´on (coloraciones que no son simetr´ıas de otras), pero no se observ´o a profundidad

las propiedades de los elementos del grupo.

Polya observ´o que los elementos de un grupo de permutacionesGcon la misma estructura

de ciclos, es decir con una descomposici´on en ciclos equivalente (ver Ejemplo 8), ten´ıan

la misma cantidad de puntos fijos [20]. Basado en esto Polya introduce el polinomio

indi-cador de ciclos del grupo G para llevar un seguimiento de la estructura de ciclos de sus

elementos [28].

Definici´on 20. Sea G un grupo de permutaciones sobre un conjunto finito X, |X|=n. Para todo g ∈G, sea bk(g) el n´umero de ciclos de tama˜no k de g. Entonces el polinomio

indicador de ciclos de G como grupo de permutaciones sobre X, es el polinomio en n

variables x1, . . . , xn, dado por

P(G,X)(x1, . . . , xn) =

1 |G|

X

g∈G

x₁b1(g)x₂b2(g). . . xbn(g)

n .

El polinomio indicador de ciclos P(G,X) se puede denotar s´olo por PG cuando el conjunto

X est´a impl´ıcito en el contexto.

Proposici´on 21. El polinomio indicador de ciclos de la acci´on del grupo

D8 ={(1)(2)(3)(4), (1234), (13)(24), (1432), (14)(23), (13)(2)(4), (1)(24)(3), (12)(34)},

sobre el conjunto de los v´ertices del cuadrado est´a dado por

PD8(x1, x2, x3, x4) =

1 8[x

4

1+ 2x21x2+ 3x22+ 2x4]. (2.2)

Demostraci´on. Analizando la descomposici´on en ciclos de los elementos de D8 tenemos que

(1)(2)(3)(4) tiene 4 ciclos de tama˜no 1,

(1234) tiene 1 ciclo de tama˜no 4,

(13)(24) tiene 2 ciclos de tama˜no 2,

(14)(23) tiene 2 ciclos de tama˜no 2,

(13)(2)(4) tiene 2 ciclos de tama˜no 1 y un ciclo de tama˜no 2,

(1)(24)(3) tiene 2 ciclos de tama˜no 1 y un ciclo de tama˜no 2,

(12)(34) tiene 2 ciclos de tama˜no 2.

O lo que es equivalente

b1((1)(2)(3)(4)) = 4 b2((1)(2)(3)(4)) = 0 b3((1)(2)(3)(4)) = 0 b4((13)(24)) = 0

b1((1234)) = 0 b2((1234)) = 0 b3((1234)) = 0 b4((1234)) = 1 b1((13)(24)) = 0 b2((13)(24)) = 2 b3((13)(24)) = 0 b4((13)(24)) = 0

b1((1432)) = 0 b2((1432)) = 0 b3((1432)) = 0 b4((1432)) = 1 b1((14)(23)) = 0 b2((14)(23)) = 2 b3((14)(23)) = 0 b4((14)(23)) = 0

b1((13)(2)(4)) = 2 b2((13)(2)(4)) = 1 b3((13)(2)(4)) = 0 b4((13)(2)(4)) = 0 b1((1)(24)(3)) = 2 b2((1)(24)(3)) = 1 b3((1)(24)(3)) = 0 b4((1)(24)(3)) = 0

b1((12)(34)) = 0 b2((12)(34)) = 2 b3((12)(34)) = 0 b4((12)(34)) = 0.

Finalmente tenemos que

PD8(x1, x2, x3, x4) =

1 |8|

X

g∈D8

xb₁1(g)xb2(g) 2 x

b3(g) 3 x

b4(g) 4

=1 8[x

4

1x02x03x04+x01x02x03x14+x01x22x03x04+x01x02x03x14

+x0₁x2₂x0₃x0₄+x2₁x1₂x0₃x0₄+x2₁x1₂x0₃x0₄+x0₁x2₂x0₃x0₄]

=1 8[x

4

1+x4+x22+x4+x22+x21x2+x21x2+x22]

=1 8[x

4

1+ 2x21x2+ 3x22+ 2x4].

Proposici´on 22. El polinomio indicador de ciclos del grupo diedral D12 D12 =         

(1)(2)(3)(4)(5)(6),(123456),(135)(246),(14)(25)(36),

(153)(264),(165432),(12)(36)(45),(1)(4)(26)(35),

(2)(5)(13)(46)(3),(6)(15)(24),(56)(14)(23),(16)(25)(34)

actuando sobre el conjunto de v´ertices de un hex´agono regular est´a dado por la expresi´on

PD12(x1, x2, x3, x4, x5, x6) =

1 12[x

6

1+ 4x32+ 3x21x22+ 2x23+ 2x6].

Demostraci´on. Por la descomposici´on en ciclos de cada permutaci´on del grupo D12 y la definici´on del polinomio indicador de ciclos, tenemos que

PD12(x1, x2, x3, x4, x5, x6) =

1 |12|

X

g∈D12

xb₁1(g)xb2(g) 2 x

b3(g) 3 x

b4(g) 4 x

b5(g) 5 x

b6(g) 6

= 1 12[x

6

1+x6+x23+x32+x23+x6+ x2₁x2₂+x2₁x2₂+x₁2x2₂+x3₂+x3₂+x3₂]

= 1 12[x

6

1+ 4x32 + 3x21x22+ 2x23+ 2x6].

2.2.4.

Aplicaci´

on del polinomio indicador de ciclos al problema

de coloraciones

Sean C un conjunto finito de colores y Ω =M ap(X, C), es decir que Ω es el conjunto

de todas las posibles coloraciones de los elementos de X con los colores de C. Sea G un

grupo finito que act´ua sobre el conjunto X. Bajo estas condiciones tenemos:

Proposici´on 23. La aplicaci´on de G sobre el conjunto Ω definida por

·: G×Ω −→ Ω

(g, φ) 7−→ (g·φ)(x) =φ(g−1_(x)),

es un acci´on de G sobre Ω.

Demostraci´on. Veamos que · satisface los axiomas de acci´on.

1. e ∈ G es la permutaci´on identidad, luego e−1_{(x) = e(x) = x, ∀x ∈ X, entonces}

2. Sean g, h∈Gy φ∈Ω, entonces tenemos que

(gh·φ)(x) =φ((gh)−1_{(x)) =φ(h}−1_g−1_{(x)) = (g·φ(h}−1_{(x)) =g·(h·φ(x)).}

Luego · es una acci´on bien definida.

Como una motivaci´on para entender mejor la prueba del Teorema de Polya, vamos a

ver la incidencia de la descomposici´on en ciclos de una permutaci´on en el cardinal de sus

puntos fijos.

A continuaci´on vamos a estudiar algunos conjuntos de puntos fijos de elementos del grupo

diedral D8 actuando sobre el conjunto de coloraciones de los v´ertices del cuadrado.

Si detallamos los puntos fijos de las permutaciones, nos podemos dar cuenta que los puntos

fijos son aquellas coloraciones del cuadrado, en las cuales se colorea con el mismo color

cada elemento de un mismo ciclo. Esta observaci´on nos permite calcular f´acilmente el

cardinal del conjunto de puntos fijos de cada permutaci´on de D4 solamente con saber su

descomposici´on en ciclos, de la siguiente manera:

(1)(2)(3)(4)∈ D4 tiene como puntos fijos al conjunto X, seg´un se observ´o en (2.1), y se

descompone en 4 ciclos. Luego los puntos fijos ser´an las coloraciones del cuadrado que

colorean de un mismo color cada ciclo, es decir todo el conjuntoX. Si utilizamos 2 colores,

entonces tenemos 2 posibles colores para cada ciclo, es decir 24 _{= 16 coloraciones estar´ıan}

fijas por (1)(2)(3)(4). As´ı mismo, si estuvieramos usando 3 colores, podr´ıamos colorear con

3 colores cada ciclo y obtendr´ıamos 34 _{coloraciones fijas por (1)(2)(3)(4). Si estudiamos}

la permutaci´on (1234) ∈ D4, vemos que sus puntos fijos, al colorear con 2 colores es el

conjunto

,

y como se descompone en 1 ciclo de tama˜no 4, se tienen 21 _{= 2 puntos fijos.}

Para (12)(34)∈D4 tenemos que sus puntos fijos despu´es de colorear con 2 colores son

, , ,

,

y por descomponerse en 2 ciclos, se tienen 22 _{= 4 puntos fijos, ya que se pueden escoger}

Por ´ultimo, para (13)(2)(4)∈D4, vemos que sus puntos fijos son

, , , , , , ,

y tiene 23 _{= 8 ya que se descompone en 3 ciclos.}

Por lo tanto, si tenemos un elemento con m ciclos y vamos a utilizar ccolores, entonces

el cardinal de puntos fijos bajo dicho elemento ser´ıa cm_.

A´un nos falta probar que los ´unicos puntos fijos son aquellos que colorean cada elemento

de un mismo ciclo con el mismo color, y dicha prueba se har´a en la demostraci´on del

Teorema de Polya.

Teorema 24. Polya

Sea G un grupo que act´ua sobre X. Las ´orbitas x1, . . . , xn de G actuando sobre Ω viene

dado por

n =P(G,X)(|C|,|C|, . . . ,|C|),

donde C es un conjunto finito de colores y Ω =M ap(X, C).

Demostraci´on. Por el Lema 19, tenemos que el n´umero de ´orbitas de la acci´on de un grupo G sobre Ω es

1 |G|

X

g∈G

|fixΩ(g)|

donde fixΩ(g) ={φ ∈Ω|gφ =φ}. Vamos a ver que g fija las coloraciones φ s´ı y solo s´ıφ

colorea con el mismo color los elementos de cada ciclo de g.

(=⇒) Si g ·φ =φ, entonces (g·φ)(x) = φ(x) ⇒φ(g−1_{(x)) = φ(x) para todo x ∈ X. En}

particular se tiene parax=y, g(y), g2_{(y), . . . con y ∈X.}

Por tanto (φ)(y) = φ(g−1_{(y) = φ(g}−1_{(g(y))) = φ(g(y)). Esto se tiene por el siguiente}

hecho.

g·φ(y) = φ(y) = φ(g−1_{g(y) =g·φ(g(y)) =φ(g(y)),}

Entonces si seguimos este proceso se tiene

φ(y) =φ(g(y)) =φ(g2(y)) = φ(g3(y)) =. . .=φ(gn(y)).

Esto significa que si g fija a φ entonces φ asigna el mismo color a cada elemento de todo

ciclo deg.

(⇐=) Si φ es tal que cada ciclo de g es coloreado con el mismo color, entonces g−1_{(x) y} x tienen el mismo color, para cada x ∈ X, lo que quiere decir que φ(g−1_{(x)) = φ(x) y}

entonces g·φ(x) =φ(x), para todo x∈ X y se concluye que g·φ =φ lo que dice que g

fija aφ.

Esto prueba la hip´otesis de que los elementos de fixΩ(g) son precisamente los elementos

que colorean los elementos de cada ciclo con el mismo color. Adem´as ya se observ´o que se

tienen |C|m _{coloraciones posibles para cada permutaci´on con m ciclos donde 1 ≤m≤n,}

entonces

|fixΩ|(g) =|C|b1(g)|C|b2(g)· · · |C|bn(g),

y se puede concluir que el n´umero de ´orbitas viene dado por la expresi´on

1 |G|

X

g∈G

|fixΩ(g)|=|P(G,X)(|C|,|C|, . . . ,|C|).

Ejemplo 25. Se pueden hacer 6 coloraciones distintas de un collar de 4 perlas con 2

colores.

PD8(2,2,2,2) =

1 8[2

4_{+ 2·2}2_{·2 + 3·2}2_{+ 2·2]}

= 1

8[16 + 2·4·2 + 3·4 + 4]

= 1 8[48] = 6.

Ejemplo 26. Se pueden realizar 110 coloraciones distintas de un collar de 6 perlas utili-zando 3 colores.

Dado el grupo D12 actuando sobre el conjunto de v´ertices de un hex´agono regular, se puede obtener el polinomio indicador de ciclos y utilizando el Teorema 24, podemos calcu-lar el n´umero de coloraciones distintas de un collar de6 perlas con3 colores, simplemente calculando PD12(x1, x2, x3, x4, x5, x6) en xi = 3 para i= 1,2,3,4,5,6.

PD12(3,3,3,3,3,3) =

1 12[3

6 _{+ 4·3}3_{+ 3·3}2_·32_{+ 2·3}2_{+ 2·3]}

= 1

12[729 + 4·81 + 243 + 2·9 + 6] = 1

12[729 + 324 + 243 + 18 + 6] = 1

12[1320] =110.

Cap´ıtulo 3

Funciones Sim´

etricas Cl´

asicas

Utilizando los conceptos de Teor´ıa Combinatoria Enumerativa y haciendo un

´enfa-sis en el grupo de permutaciones Sn y en las acciones de grupos sobre conjuntos finitos

[11], estamos listos para dar un paso hacia la Combinatoria Algebraica [2], donde

intro-duciremos el concepto de Funciones Sim´etricas [16], definiendo las Funciones Sim´etricas

monomiales, homog´eneas y elementales. Se calcular´an algunos ejemplos de cada una de

estas, donde se podr´a ver la forma de calcularlas y la influencia que tiene la acci´on del

grupo Sn sobre el anillo de polinomios R[x1, . . . , xn].

3.1.

Acci´

on del grupo sim´

etrico

S

sobre

R

La acci´on del grupo sim´etrico Sn sobre el conjunto Rn que se definir´a acontinuaci´on,

da el primer paso a la introducci´on de las funciones sim´etricas. El objetivo es utilizar

la acci´on de Sn sobre las variables del anillo de polinomios R[x1, . . . , xn] e identificar las

funciones invariantes bajo dicha acci´on, de modo que generan un ´algebra de invariantes

con la cual se trabajar´a [8].

Ejemplo 27. Sea G=Sn, y definimos la acci´on:

·: Sn×[n] −→ [n]

Veamos que · es una acci´on:

1. e∈Sn es la permutaci´on identidad, luego e·i=e(i) = i, ∀i∈[n].

2. Seanσ, τ ∈Sn, y seai∈[n], entonces(στ)·i=στ(i) =σ(τ(i)) =σ(τ·i) =σ·(τ·i).

Proposici´on 28. Sn act´ua sobre Rn como sigue:

·: Sn×Rn −→ Rn

(σ,(x1, x2, . . . , xn)) 7−→ (xσ−1(1), xσ−1(2), . . . , xσ−1(n))

Demostraci´on. Veamos que · satisface los axiomas de acci´on.

1. e ∈ Sn es la permutaci´on identidad, luego e−1(i) = e(i) = i, ∀i ∈ [n], entonces

e·(x1, . . . , xn) = (xe−1(1), . . . , x_e−1(_n)) = (x1, . . . , xn), ∀(x1, . . . , xn)∈R

n_.

2. Sean σ, τ ∈Sn y (x1, . . . , xn)∈Rn, entonces

(στ)·(x1, . . . , xn) = (x(στ)−1(1), . . . , x(στ)−1(n))

= (xτ−1_σ−1(1), . . . , x_τ−1_σ−1(_n))

= σ·(x(τ)−1(1), . . . , x(τ)−1(n))

= σ·(τ ·(x1, . . . , xn)).

Luego · es una acci´on bien definida.

3.2.

Algebra de Invariantes y Coinvariantes

´

Sea kun cuerpo de caracter´ıstica 0,V un espacio vectorial sobre k yGun grupo finito

que act´ua sobre V de la siguiente forma:

·: G×V −→ V

(g, v) 7−→ g·v

El ´algebra de invariantes est´a dado por:

Se tiene una aplicaci´on simetrizaci´on sv :V −→VG, dada por:

sv(v) =

1 |G|

X

g∈G

gv,

donde |G|denota el cardinal de G.

La sucesi´on 0−→Ker(sv)−→V −→VG −→0 es exacta y obtenemos el correspondiente

tri´angulo conmutativo.

V ✲VG

V /Ker(sv)

sv

✲

✲

El espacioV /Ker(sv) = {vKer(sv) : v ∈V}lo denotaremos comoVG y se llama el ´Algebra

de Coinvariantes de V por la acci´on de G. Es bien conocido que existe un isomorfismo

entreVG _{y V} G.

3.3.

Funciones Sim´

etricas Cl´

asicas

Comenzaremos el estudio de funciones sim´etricas definiendo las funciones sim´etricas

[5]. Son las funciones en varias variables f(x1, . . . , xn) tales que, para cada permutaci´on

σ ∈Sn, tenemos

f(xσ(1), xσ(2), . . . , xσ(n)) = f(x1, x2, . . . , xn).

SiSn act´ua sobre un anilloR entonces el anilloRSn de invariantes se descompone como la

suma directa

∞

M

d=1 RSn

d , conR Sn

d la componente homog´enea de gradoddeRS

n. La dimensi´on

deRSn

d es el n´umero de particiones de d en a lo sumo n bloques.

3.3.1.

Funciones Sim´

etricas Monomiales

Una base lineal para RSn

est´a dada por las funciones sim´etricas monomiales, definidas

Escribimos mλ =mλ(x) para denotar la suma de todos los distintos monomios xa donde

a var´ıa en el conjunto de reordenamientos del n-vector λ = (λ1, λ2, . . . , λk,0, . . . ,0). Lo

que deja claro que un monomio dado aparece con multiplicidad 1 en mλ.

m211(x1, x2, x3) = x2₁x2x3+x1x2₂x3+x1x2x2₃,

contiene tres t´erminos en lugar de seis. Observe que la definici´on implica mλ = 0 cuando

ℓ(λ)> n, siendoℓ(λ) = kel n´umero de componentes no nulas del vector (λ1, λ2, . . . , λk,0, . . . ,0).

Ejemplo 29. Las funciones sim´etricas monomiales, para x=x1, x2, x3, x4, son:

m5 =x5₁+x5₂+x5₃+x5₄.

m41=x4₁x2+x4₁x3+x4₁x4+x4₂x3+x4₂x4+x4₃x4

+x1x4₂+x1x4₃+x1x4₄+x2x4₃+x2x4₄+x3x4₄.

m32=x3₁x2₂+x3₁x2₃+x3₁x₄2+x3₂x2₃+x₂3x2₄+x3₃x2₄

+x2₁x3₂+x₁2x3₃+x2₁x3₄+x2₂x3₃+x2₂x3₄+x2₃x3₄.

m311 =x3₁x2x3+x3₁x2x4+x3₁x3x4+x3₂x3x4

+x1x3₂x3+x1x3₂x4+x1x3₃x4+x2x3₃x4

+x1x2x3₃+x1x2x3₄+x1x3x3₄+x2x3x3₄.

m221 =x2₁x2₂x3+x2₁x2₂x4+x2₁x2₃x4+x2₂x2₃x4

+x2₁x2x2₃+x2₁x2x₄2+x2₁x3x2₄+x2₂x3x2₄

+x1x2₂x2₃+x1x2₂x2₄+x1x2₃x2₄+x2x2₃x2₄.

m2111 =x2₁x2x3x4+x1x2₂x3x4+x1x2x2₃x4+x1x2x3x2₄.

m11111=0.

3.3.2.

Funciones Sim´

etricas Homog´

eneas

monomios de un grado dado:

hd=hd(x) =

X

|a|=d

xa,

dondea = (a1, a2, . . . , an) y|a|=

P

ai. Como se ha venido realizando, es habitual omitir

mencionar las variables actualesx en las expresiones de las funciones sim´etricas, m´as a´un

la mayor´ıa de f´ormulas que vamos a obtener son independientes del actual conjunto de

variables. Por ejemplo, tenemos

hd=

X

λ⊢d

mλ

que muestra la relaci´on entre las funciones homog´eneas y las monomiales, donde λ ⊢ d

representa las particiones de d (ver Definici´on 33) . Adem´as podemos especificar el hd a

trav´es de su funci´on generatriz

H(ζ) :=X

d≥0

hdζd= n

Y

i=1

1 1−xiζ

(3.1)

Observe que esto requiere que h0 = 1. Extendemos la noci´on de funciones sim´etricas

mo-nomiales a particionesλ, ajustandohλ :=hλ1hλ2. . . hλr, paraλ=λ1λ2. . . λr.Claramente hλ es homog´eneo con grado d = |λ|. Expandiendo las funciones sim´etricas homog´eneas

completas en t´erminos de la base monomial, tenemos

h11111=m5+ 5m41+ 10m32+ 20m311+ 30m221+ 60m2111+ 120m11111.

h2111 =m5+ 4m41+ 7m32+ 13m311+ 18m221+ 33m2111+ 60m11111.

h221 =m5+ 3m41+ 5m32+ 8m311+ 11m221+ 18m2111+ 30m11111.

h311 =m5+ 3m41+ 4m32+ 7m311+ 8m221+ 13m2111 + 20m11111.

h32=m5+ 2m41+ 3m32+ 4m311+ 5m221+ 7m2111+ 10m11111.

h41=m5+ 2m41+ 2m32+ 3m311+ 3m221+ 4m2111+ 5m11111.

Ejemplo 30. La funci´on homog´enea h41 para x =x1, x2, x3, x4, se expande en t´erminos de la base monomial para.

h41 =h4h1 =X

λ⊢4 mλ

X

λ⊢1

mλ = (m1111+m22+m31+m211+m4)(m1)

= (x1x2x3x4+x2

1x22+x21x23 +x21x24 +x22x23+x22x24 +x23x24 +x31x2+x31x3+x31x4 +x32x3 + x3

2x4 +x33x4 +x1x32 +x1x33 +x1x34 +x2x33 +x2x34 +x3x34 +x21x2x3 +x21x2x4 +x21x3x4 + x2

2x3x4+x1x22x3+x1x22x4+x1x23x4+x2x23x4+x1x2x23+x1x2x24+x1x3x24+x2x3x24+x41+ x4

2+x43+x44)(x1+x2+x3+x4)

= (x5

1+x52+x53+x54)+2(x41x2+x41x3+x41x4+x42x3+x42x4+x43x4+x1x42+x1x43+x1x44+x2x43+ x2x4

4+x3x44)+2(x31x22+x31x23+x31x24+x32x23+x32x24+x33x24+x21x32+x21x33+x21x34+x22x33+x22x34+ x2

3x34)+3(x31x2x3+x13x2x4+x31x3x4+x32x3x4+x1x32x3+x1x32x4+x1x33x4+x2x33x4+x1x2x33+ x1x2x3

4+x1x3x34+x2x3x34)+3(x21x22x3+x21x22x4+x21x32x4+x22x23x4+x21x2x32+x21x2x24+x21x3x24+ x2

2x3x24+x1x22x23+x1x22x24+x1x23x24+x2x23x24)+4(x21x2x3x4+x1x22x3x4+x1x2x23x4+x1x2x3x24)

=m5+ 2m41+ 2m32+ 3m311+ 3m221+ 4m2111 + 5m11111.

3.3.3.

Funciones Sim´

etricas Elementales

De manera an´aloga, las funciones sim´etricas elementales ek se introducen por medio

de las series generatrices

E(ζ) :=X

k≥0

ekζk = n

Y

i=1

(1 +xiζ). (3.2)

Observe que ek es solo otro nombre para m1n.

Ejemplo 31. Sea n= 3, y expandiendo la serie formal obtenemos

X

k≥0

ekζk=

3

Y

i=1

(1 +xiζ)

=(1 +x1ζ)(1 +x2ζ)(1 +x3ζ)

Luego se puede concluir que

e0 = 1,

e1 =x1+x2+x3,

e2 =x1x2+x1x3+x2x3,

e3 =x1x2x3.

En general para todo n ∈Z+ _{se satisface que}

e0 = 1,

e1 =x1+x2+. . .+xn,

e2 = X

1≤i<j≤n

xixj,

...

en =x1x2. . . xn.

Las funciones homog´eneas y las funciones elementales est´an relacionadas por medio

de la identidad:

H(ζ)E(−ζ) = 1

Puede ser deducida f´acilmente utilizando las ecuaciones (3.1) y (3.2) . Comparando los

coeficientes de ζn _{en ambos lados de esta ecuaci´on, obtenemos} n

X

k=0

(−1)k_h

n−kek = 0

para n > 0. Como antes, eλ := eλ1eλ2. . . eλr. Observe que eλ es cero siempre que λ

monomial, las funciones elementales se expanden como sigue

e11111=m5+ 5m41+ 10m32+ 20m311+ 30m221+ 60m2111+ 120m11111.

e2111 =m41+ 3m32+ 7m311+ 12m221+ 27m2111 + 60m11111.

e221 =m32+ 2m311+ 5m221+ 12m2111 + 30m11111.

e311 =m311+ 2m221+ 7m2111 + 20m11111.

e32=m221+ 3m2111+ 10m11111.

e41=m2111+ 5m11111.

e5 =m11111.

Ejemplo 32. e11111 se expande en t´erminos de la base monomial para x=x1, x2, x3, x4.

e11111 =e1e1e1e1e1 = (x1+x2+x3+x4)5

= (x1+x2+x3+x4)(x1+x2+x3+x4)(x1+x2+x3+x4)(x1+x2+x3+x4)(x1+x2+x3+x4)

= (x5

1+x52+x53+x54)+5(x41x2+x41x3+x14x4+x42x3+x42x4+x43x4+x1x42+x1x43+x1x44+x2x43+ x2x4

4+x3x44)+10(x31x22+x31x23+x31x24+x32x23+x32x24+x33x24+x21x32+x21x33+x21x34+x22x33+x22x34+ x2

3x34)+20(x31x2x3+x31x2x4+x31x3x4+x32x3x4+x1x32x3+x1x32x4+x1x33x4+x2x33x4+x1x2x33+ x1x2x3

4+x1x3x34+x2x3x34)+30(x21x22x3+x21x22x4+x21x23x4+x22x23x4+x21x2x23+x21x2x24+x21x3x24+ x2

2x3x24+x1x22x23+x1x22x24+x1x23x24+x2x23x42)+60(x21x2x3x4+x1x22x3x4+x1x2x23x4+x1x2x3x24)

Cap´ıtulo 4

Funciones de Sch¨

ur

Issai Sch¨ur (1875-1941), matem´atico ruso, quien obtuvo su doctorado en Berl´ın

aseso-rado por Georg Frobenius, trabaj´o en Alemania como profesor en la Universidad de Bonn.

Su principal ´area de investigaci´on estuvo basada en la Teor´ıa de Representaciones de

Gru-pos, aunque tambi´en realiz´o aportes en Teor´ıa Combinatoria, Teor´ıa de N´umeros y F´ısica

Te´orica. Las Funciones de Sch¨ur Sλ, nombrados as´ı en honor a Issai Sch¨ur, conforman

otra base para el anillo de funciones sim´etricas R[x1, . . . , xn]Sn dondeR es un cuerpo con

caracter´ıstica cero [2]. Las funciones sim´etricas de Sch¨ur juegan un papel fundamental en

una gran cantidad de contextos matem´aticos, por ejemplo, en Teor´ıa de Representaciones

son los caracteres de representaciones irreducibles de los grupos lineales generales.

Las funciones Sλ tienen varias descripciones naturales. Una forma de describirlas, es

me-diante la enumeraci´on de tablas de Young semiest´andar de skew shape [24], utilizando los

monomios que se corresponden a cada una de estas enumeraciones.

Primero se definir´an las tablas y diagramas de Young a partir de particiones de enteros no

negativos, y se introducir´an los monomios asociados a cada tabla. Se enunciar´an dos

defi-niciones equivalentes de las funciones de Sch¨urSλ. La primera utilizando tablas de Young

semiest´andar y la segunda utilizando los n´umeros de Kostka. Se mostrar´a la expansi´on

de las funciones de Sch¨ur en t´erminos de la base de funciones sim´etricas elementales y

tendr´a sus respectivos ejemplos, los cuales har´an evidentes algunos resultados de la teor´ıa.

4.1.

Tablas de Young

Las tablas de Young son objetos combinatorios ´utiles en Teor´ıa de Representaciones

y c´alculo de Schubert [9], [23]. Las tablas de Young brindan una forma conveniente para

describir las representaciones de los grupos sim´etricos, grupo lineal general y estudiar

algunas de sus propiedades. Fueron introducidas en 1900 por el matem´atico brit´anico

Alfred Young (1873-1940) [29] en la Universidad de Cambridge, Inglaterra. Entre sus

principales ´areas de investigaci´on se destacan la Teor´ıa de Grupos y Teor´ıa de Invariantes.

Las tablas y diagramas se utilizaron despu´es por Percy MacMahon [17], Gian-Carlo Rota

[4] y Richard P. Stanley [25] entre otros grandes matem´aticos.

Definici´on 33. Dado un entero no negativo n y una sucesi´on decreciente de enteros no negativos λ= (λ1, λ2, . . . , λm), decimos que λ es una partici´on de n si

n =λ1+λ2+. . .+λm.

Si λ es una partici´on de n escribiremos λ⊢n.

Definici´on 34. Dado un entero no negativo n y una partici´onλ= (λ1, λ2, . . . , λm) den,

decimos que

λ= (λ1, λ2, . . . , λm) es d´ebilmente decreciente si λ1 ≤λ2 ≤. . .≤λm.

λ= (λ1, λ2, . . . , λm) es estrictamente decreciente si λ1 < λ2 < . . . < λm.

Definici´on 35. Dado n ∈ Z+ _{y λ = (λ1, λ2, . . . , λm) una partici´on de n, un diagrama}

de Young es una colecci´on de cajas organizadas en m filas, alineadas a izquierda, con λi

cajas en la fila i. Es claro que n es el n´umero total de cajas.

Ejemplo 36. Sea n= 16 y la partici´on λ= (6,4,4,2), entonces el diagrama de Young λ

λ = .

Sean n, λ1, . . . , λm, a1, . . . , am ∈Z+. Denotaremos por (λa₁1, . . . , λamm) la partici´on de n

que posee ai copias del entero λi, 1≤i≤ m, y ai denota la multiplicidad de λi. A veces

es conveniente permitir uno o m´as ceros en la partici´on.

Es usual denotar λ tanto a la partici´on como al diagrama, ya que a cada partici´on de n

le corresponde un diagrama de Young y rec´ıprocamente a cada diagrama de Young se le

puede asociar una partici´on de n. El prop´osito de escribir una partici´on como diagrama

es para introducir objetos en las cajas.

Definici´on 37. Una tabla de Young es una enumeraci´on de las cajas de un diagrama λ, que satisface

1. D´ebilmente creciente a lo largo de cada fila.

2. Estrictamente creciente a lo largo de las columnas.

Decimos que una tabla τ es una tabla de la partici´on λ, o de forma λ.

Las entradas de un tabla pueden ser tomadas de cualquier conjunto totalmente

orde-nado, en general se utiliza Z+_.

Ejemplo 38. Sea n= 16 y considere la partici´on λ= (6,4,4,2), entonces decimos que

τ =

1 2 2 3 3 5 2 3 5 5 4 4 6 6 5 6

es una tabla de forma (6,4,4,2).

Definici´on 39. Dado n ∈ Z+ _{y λ un partici´on de n y sea τ una tabla de forma λ.}

Decimos que τ es una tabla est´andar si sus entradas son elementos de [n] y cada entrada tiene multiplicidad 1. τ es una tabla semiest´andar si sus entradas son elementos de [n]

Ejemplo 40. Dado n= 9, τ1 =

1 2 3 4 5 6 7 8 9

es una tabla est´andar de forma

λ= (3,3,2,1), y τ2 =

1 2 2 3 4 5 6 9 9

una tabla semiest´andar de forma λ.

Definici´on 41. El contenido γ(τ) de una tabla τ es la sucesi´on γ(τ) = (m1, m2, m3, . . .)

de las multiplicidades de cada entrada i en la tabla τ.

Ejemplo 42. El contenido de la tabla

τ =

1 1 2 4 2 2 4 4 4 1 1 5

es γ(τ) = (4,3,0,4,1,0, . . .). Observe que la suma de todos los mi es igual al n´umero de

cajas de la tabla.

Definici´on 43. Sea n ∈ Z+_{, sean λ y µ particiones de n, el n´umero de Kostka Kλ.µ}

est´a dado por el n´umero de tablas semiest´andar de forma λ y contenido µ.

Ejemplo 44. Sea n= 4 yλ= (3,1), µ= (2,1,1) particiones de4. El n´umero de Kostlka

K(3,1)(2,1,1) es el n´umero de tablas semiest´andar de forma λ= (3,1), y contenido

µ= (2,1,1) es decir que sus entradas son elementos del conjunto {1,2,3} y sus multipli-cidades son respectivamente 2,1,1. Es decir

K(3,1)(2,1,1) =

|

(

1 1 2

3 _,

1 1 3 2

)

|

Ejemplo 45. Sea n = 4 y λ = (2,2), µ = (1,1,1,1) particiones de 4. El n´umero de Kostlka K(2,2)(1,1,1,1) es el n´umero de tablas semiest´andar de forma λ= (2,2), y contenido µ= (1,1,1,1) es decir que sus entradas son elementos del conjunto {1,2,3,4} y cada un con multiplicidad 1. Es decir

K(2,2)(1,1,1,1) =

|

(

1 2 3 4 _,

1 3 2 4_,

1 4 2 3

)

4.2.

Funciones de Sch¨

ur

Para todo entero positivo ny cada partici´onλden, podemos construir unas funciones

sim´etricas Sλ(x1, . . . , xn) llamadas Funciones de Sch¨ur. La primera definici´on formal de

funciones de Sch¨ur se puede encontrar en el art´ıculo [12] de Jacobi, donde se introduce

la f´ormula de Cauchy para calcular funciones de Sch¨ur por medio de un cociente de

determinantes.

Definici´on 46. Sea n∈Z+ _{yλ= (λ1, . . . , λk)un partici´on de n en k partes. La funci´on}

de Sch¨ur asociada a la partici´on λ est´a dada por

Sλ(x1, . . . , xk) :=

det(xλi+k−j

i )i,j

det(xk−ji )i,j

,

donde i, j son los contadores de las filas y columnas de las matrices respectivamente y λi

es la entrada i-´esima de la partici´on λ

Ejemplo 47. Sea n = 2 y λ = (1,1) un partici´on de 2. Utilizando la Definici´on 46 tenemos

S(1,1)(x1, x2) =

det(xλ_ii+2−j)i,j

det(x2i−j)i,j

= x2 1 x1 x2 2 x2 x1 1

x2 1

=x 2

1x2−x1x22 x1−x2

=x1x2(x1−x2) (x1−x2)

Otra manera m´as sencilla de definir las Funciones de Sch¨ur es utilizando tablas de

Young semiest´andar y sus propiedades. En adelante utilizaremos el t´ermino tabla para

las tablas semiest´andar.

Definici´on 48. Para toda tabla τ asociada a un diagrama de Young, denotamos xτ _al

monomio dado por el producto de variables xi, que se corresponden a las entradas i que

aparecen en τ, es decir

xτ _=xa1 1 x

a2 2 . . . xa

m

m ,

donde ai es la multiplicidad de la entrada i.

Ejemplo 49. Sea λ = (6,4,4,2) y τ =

1 2 2 3 3 5 2 3 5 5 4 4 6 6 5 6

entonces se le asocia a τ el monomio x1x3

2x33x24x45x36.

Definici´on 50. La funci´on de Sch¨ur Sλ(x1, . . . , xn) se define como la suma sobre las

tablas τ de forma λ con entradas en [n], de todos los monomios asociados a la tabla τ. Esto es

Sλ(x1, . . . , xn) =

X

xτ_.

Ejemplo 51. Sea n = 2 y λ = (1,1) una partici´on de 2. Para encontrar la funci´on de Sch¨ur asociada a la partici´on λ = (1,1), debemos encontrar todas las tablas que cumplen las condiciones dadas en la Definici´on 50.

La ´unica tabla ser´ıa

1 2 _.

Luego

S(1,1)(x1, x2) =x1x2.

1 1 1 2

1 1 1 3

1 1 1 4

1 2 2 2

1 3 3 3

1 4 4 4

2 2 2 3

2 2 2 4

3 3 3 4

3 4 4 4

2 3 3 3

2 4 4 4

1 1 2 2

1 1 3 3

1 1 4 4

2 2 3 3

2 2 4 4

3 3 4 4

1 1 2 3

1 1 2 4

1 1 3 2

1 1 3 4

1 1 4 2

1 1 4 3

1 2 2 3

1 2 2 4

1 3 3 2

1 3 3 4

1 4 4 2

1 4 4 3

1 2 3 2

1 2 3 3

1 2 4 4

1 3 4 3

1 3 4 4

2 3 4 3

2 2 3 4

2 2 4 3

2 3 4 4

2 3 3 4

2 4 4 3

1 2 4 2

1 2 3 4

1 2 4 3

1 3 4 2

Asignando el monomio respectivo a cada tabla y realizando la sumatoria, se puede concluir que

S(3,1)(x1, x2, x3, x4) =x31x2+x31x3+x31x4+x1x32 +x1x33+x1x34+x32x3+x2x33+x32x4

+x2x3₄+x3₃x4+x3x3₄+x2₁x2₂+x2₁x2₃+x2₁x2₄+x2₂x2₃ +x2₂x2₄+x2₃x2₄

+x2₁x2x3+x2₁x2x3+x2₁x2x4+x2₁x2x4+x2₁x3x4+x2₁x3x4+x2₂x3x4

+x2₂x3x4+x1x2₂x3+x1x2₂x3+x1x2₂x4+x1x2₂x4+x1x2₃x4+x1x2₃x4

+x2x2₃x4+x2x2₃x4+x1x2x2₃+x1x2x2₃+x1x2x2₄+x1x2x2₄+x1x3x2₄

+x1x3x2₄+x2x3x2₄+x2x3x2₄+x1x2x3x4 +x1x2x3x4 +x1x2x3x4

=m31+m22+ 2m211+ 3m1111.

En este caso m31, m22, m211 ym1111 son las funciones sim´etricas monomiales dadas en la Secci´on 3.3.

Definici´on 53. Sea n ∈ Z+ _{y λ una partici´on de n, se define la funci´on de Sch¨ur}

Sλ(x1, . . . , xn) como sigue

Sλ(x1, . . . , xn) =

X

µ⊢n

Kλ,µmµ(x1, . . . , xn),

dondeKλ,µ es el n´umero de Kostka dado en la Definici´on 43, ymµ es la funci´on sim´etrica

monomial asociada a µ.

Ejemplo 54. Sea n= 4, λ= (3,1). Usando la Definici´on 53 tenemos

S(31)(x1, x2, x3, x4) =X

µ⊢4

K(3,1),µmµ =K(3,1),(3,1)m31+K(3,1),(2,2)m22

+K(3,1),(2,1,1)m211+K(3,1),(1,1,1,1)m1111.

Calculando los respectivos n´umeros de Kostka, se tiene

K(3,1)(3,1) =

|

(

1 1 1 2

)

|

|

(

1 1 2

3 _,

1 1 3 2

)

|

K(3,1)(2,2) =

|

(

1 1 2 2

)

|

|

(

1 2 3

4 _,

1 3 4

2 _,

1 2 4 3

)

|

Luego se concluye que

S(31)(x1, x2, x3, x4) =m31+m22+ 2m211+ 3m1111.

Observe que los resultados aqu´ı obtenidos coinciden con los c´alculos realizados en el Ejem-plo 52, donde utilizamos la Definici´on 50.

Ejemplo 55. Sea n= 3, λ= (2,1), entonces

S(21)=

X

µ⊢3

K(2,1),µmµ=K(2,1),(2,1)m21+K(2,1),(1,1,1)m111,

K(2,1),(2,1) =

|

(

1 1 2

)

|

|

(

1 2

3 _,

1 3 2

)

|

Luego se concluye que

S(21)(x1, x2, x3) =m21+m111.

Ejemplo 56. Sea n= 4, λ= (4), entonces

S(4)(x1, x2, x3, x4) =

X

µ⊢4

K(4),µmµ=K(4),(4)m4+K(4),(3,1)m31

+K(4),(2,2)m22+K(4),(2,1,1)m211+K(4),(1,1,1,1)m1111,

calculando los respectivos n´umeros de Kostka, se tiene que

K(4),(4) =

|

n

1 1 1 1 o

|

|

n

1 1 1 2 o

|

K(4),(2,2) =

|

n

1 1 2 2 o

|

|

n

1 1 2 3 o

|

K(4),(1,1,1,1) =

|

n

1 2 3 4 o

|

Luego se concluye que

S4(x1, x2, x3, x4) = m4+m31+m22+m211+m1111.

Observe que si expandimos cada funci´on de Sch¨ur seg´un la Definici´on 53 y asociamos

de forma adecuada, obtenemos las siguientes identidades.

S4(x1, x2, x3, x4) =m4 +m31+m22+m211+m1111

S31(x1, x2, x3, x4) =m31+m22+ 2m211+ 3m1111

S22(x1, x2, x3, x4) =m22+m211+ 2m1111

S211(x1, x2, x3, x4) =m211+ 3m1111

Proposici´on 57. Sean n ∈Z+_{, λ la partici´on de n en una sola parte, es decir λ = (n).}

Entonces se satisface

S(n) =

X

µ⊢n

mµ.

Demostraci´on. El diagrama de Young de la partici´onλ = (n) es

n=

n

z }| {

por definici´on de Sλ se tiene

Sn=

X

µ⊢(n)

K(n),(µ)mµ,

luego, como la enumeraci´on del diagrama debe ser d´ebilmente creciente en filas y en este

caso se tiene una sola fila, entonces para toda µ ⊢ n, se tiene una sola enumeraci´on del

diagrama, es decir que K(n),(µ)= 1 para toda µ⊢n. Por lo tanto podemos concluir que

Sn=

X

µ⊢n

mµ.

Proposici´on 58. Sean n ∈ Z+_{, λ la partici´on de n en n partes, es decir λ = (1}n_).

Entonces se satisface

S1n =m1n =e_n.

Demostraci´on. El diagrama de Young de la partici´on λ = (

n

z }| {

1,1, . . . ,1) tiene n filas y 1

columna

1n ₌

Adem´as, toda partici´on µ ⊢ n debe tener n partes para que no queden cajas vac´ıas en

la enumeraci´on del diagrama, entonces se tiene K(1n_)(µ) = 0, excepto para la partici´on µ = (1n_{), donde K}

(1n ),(1n

estrictamente creciente por columnas, es decir la enumeraci´on (1,2,3, . . . , n). Luego como

cada entrada tiene multiplicidad 1, se concluye que

S1n =x1x2. . . x_n=m1n =e_n,