calculo una variable 11vo edicic3b3n george b thomas

(1)

T H O M A S

C Á L C U L O

U N A V A R I A B L E

(2)

REGLAS DE DERIVACIÓN

Fórmulas generales

Suponiendo que uy vson funciones diferenciables de x.

Funciones trigonométricas

Funciones exponenciales y logarítmicas

d dxa

x ₌ _ax_ln_ad

dxslogaxd =

1

xlna d

dxe

x ₌ _ex d

dxlnx =

1

x d

dxscotxd = -csc

2_x d

dxscscxd = -cscxcotx d

dxstanxd = sec

2_x d

dxssecxd = secxtanx d

dxssenxd = cosx

d

dxscosxd = -senx d

dxsƒsgsxdd = ƒ¿sgsxdd

#

_g_¿_s_x_d

Regladelacadena:

d dxx

n ₌ _nxn-1

Potencia:

d dx a

u

yb = ydu

dx - u dy

dx

y2

Cociente:

d

dxsuyd = u dy

dx + y du dx Producto:

d

dxscud = c du dx Múltiploconstante:

d

dxsu - yd = du dx -dy dx Diferencia: d

dxsu + yd = du dx + dy dx Suma: d

dxscd = 0 Constante:

Funciones trigonométricas inversas

Funciones hiperbólicas

Funciones hiperbólicas inversas

Ecuaciones paramétricas

Si y son diferenciables, entonces

y¿ =

dy dx =

dy>dt dx>dt y

d2y dx2 =

dy¿>dt

dx>dt y = gstd

x = ƒstd

d dxscoth

-1

xd = 1 1 - x2

d dxscsch

-1

xd = - 1 ƒxƒ21 + x2

d dxstanh

-1

xd = 1 1 - x2

d dxssech

-1

xd = - 1

x21 - x2

d dxssenh

-1

xd = 1 21 + x2

_dxd scosh-1

xd = 1 2x2 - 1

d

dxscothxd = -csch

2_x d

dxscschxd = -cschxcothx d

dxstanhxd = sech

2_x d

dxssechxd = -sechxtanhx d

dxssenhxd = coshx

d

dxscoshxd = senhx d

dxscot

-1

xd = - 1 1 + x2

d dxscsc

-1

xd = - 1 ƒxƒ2x2 - 1

d dxstan

-1

xd = 1 1 + x2

d dxssec

-1

xd = 1 ƒxƒ2x2 - 1

d dxssen

-1

xd = 1 21 - x2

d dxscos

-1

(3)

C Á L C U L O

U N A V A R I A B L E

U

N

D

É

C

I

M

A

E

D

I

C

I

Ó

N

George B. Thomas, Jr.

Massachusetts Institute of Technology

Revisado por:

Maurice D. Weir

Joel Hass

Frank R. Giordano

Naval Postgraduate School

University of California, Davis

Naval Postgraduate School

Dr. Carlos Bosh Giral

Departamento de Matemáticas

Instituto Tecnológico Autónomo de México (ITAM)

César Luis García García

Claudia Gómez Wulschner

Mauricio Pedraza Pérez

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

Unidad Azcapotzalco Instituto Politécnico Nacional

María Elisa Barrón García, M.E.

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey

campus Guadalajara

Roberto Núñez Malherbe

Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Occidente (ITESO)

Francisco Javier González Piña

Departamento de Matemáticas, CUCEI Universidad de Guadalajara

Carlos J. Zea Rivera

Coordinación de Ciencias Físico-Matemáticas Universidad Iberoamericana

campus Torreón

José Botto

Universidad Nacional de Rosario, Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura Argentina

Emilio Sastre

Universidad Nacional de Rosario, Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura Argentina

Antonio Merchan Abril

Coordinador Cálculo Diferencial Departamento de Matemáticas Pontificia Universidad Javeriana Colombia

Óscar Andrés Montaño Carreño

Departamento de Ciencias Naturales y Matemáticas

Pontificia Universidad Javeriana Colombia

Leonardo Sánchez

Profesor del Departamento de Ingeniería Matemática

Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Universidad de Chile

René Jorge Piedra de la Torre

Director del Departamento de Matemática y Física

Pontificia Universidad Católica Madre y Maestra

República Dominicana

María Rosa Brito

Profesora de Cálculo

Universidad Simón Bolívar,Venezuela

Antonio José Syers Hernández

Coordinador de Cálculo

Universidad Metropolitana,Venezuela

TRADUCCIÓN

REVISIÓN TÉCNICA

Elena de Oteyza de Oteyza Víctor Hugo Ibarra Mercado

(4)

Authorized translation from the English language edition, entitled Thomas’ calculus 11th_{ed., George B. Thomas, Jr., published by Pearson Education, Inc.,} publishing as Addison Wesley, Copyright © 2005. All rights reserved.

ISBN 0-321-185587

Traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulada Thomas’ calculus 11a_{ed., de George B. Thomas, Jr., publicada por Pearson Education, Inc.,} publicada como Addison Wesley, Copyright © 2005. Todos los derechos reservados.

Esta edición en español es la única autorizada.

Edición en español

Editor: Enrique Quintanar Duarte

e-mail: [email protected] Editor de desarrollo: Miguel B. Gutiérrez Hernández

Supervisor de producción: José D. Hernández Garduño

Datos de catalogación bibliográfica

THOMAS, JR., GEORGE B.

Cálculo. Una variable. Undécima edición

PEARSON EDUCACIÓN, México, 2006

ISBN: 970-26-0643-8 Área: Universitarios

Formato: 21 × 27 cm Páginas: 824

Edición en inglés: Publisher:Greg Tobin

Acquisitions Editor:Willliam Hoffman

Managing Editor:Karen Wernholm

Senior Project Editor:Rachel S. Reeve

Editorial Assistants:Mary Reynolds, Emily Portwood

Production Supervisor:Julie LaChance James

Marketing Manager:Phyllis Hubard

Marketing Assistant:Heather Peck

Senior Manufacturing Buyer:Evelyn Beaton

Senior Prepress Supervisor:Caroline Beaton

Associate Media Producer:Sara Anderson

Software Editors:David Malone, Bob Carroll

Senior Author Suppor/Technology Specialist:Joe Vetere

Supplements Production Supervisor:Sheila Spinney

Composition and Production Services:Nesbitt Graphics, Inc.

Illustrations:Techsetters, Inc.

Senior Designer:Geri Davis/The Davis Group, Inc.

Cover Design:Barbara T. Atkinson

Cover Photograph:© Benjamin Mendlowitz

UNDÉCIMA EDICIÓN, 2006

Col. Industrial Atoto

53519, Naucalpan de Juárez, Edo. de México E-mail: [email protected]

Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes.

ISBN 970-26-0643-8

Impreso en México. Printed in Mexico.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 09 08 07 06

Dedicado a

Ross Lee Finney III

(1933-2000)

profesor, mentor, autor,

(5)

C

ONTENIDO

Prefacio

ix

Volumen I

1 Preliminares

1

1.1 Los números reales y la recta real 1 1.2 Rectas, círculos y parábolas 9 1.3 Funciones y sus gráficas 19

1.4 Identificación de funciones: modelos matemáticos 28

1.5 Combinación de funciones; traslaciones y cambio de escala en gráficas 38 1.6 Funciones trigonométricas 48

1.7 Graficación con calculadoras y computadoras 59 PREGUNTAS DE REPASO 68

EJERCICIOS DE PRÁCTICA 69

EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 71

2 Límites y continuidad

73

2.1 Razón de cambio y límites 73

2.2 Cálculo de límites mediante las leyes de los límites 84 2.3 La definición formal de límite 91

2.4 Límites laterales y límites al infinito 102 2.5 Límites infinitos y asíntotas verticales 115 2.6 Continuidad 124

2.7 Tangentes y derivadas 134 PREGUNTAS DE REPASO 141 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 142

3 Derivadas

147

3.1 La derivada como una función 147 3.2 Reglas de diferenciación 159

(6)

3.3 La derivada como razón de cambio 171 3.4 Derivadas de funciones trigonométricas 183 3.5 Regla de la cadena y ecuaciones paramétricas 190 3.6 Diferenciación implícita 205

3.7 Razones de cambio o tasas relacionadas 213 3.8 Linealización y diferenciales 221

PREGUNTAS DE REPASO 235

4 Aplicaciones de las derivadas

244

4.1 Valores extremos de una ecuación 244 4.2 El teorema del valor medio 255

4.3 Funciones monótonas y el criterio de la primera derivada 262 4.4 Concavidad y trazado de curvas 267

4.5 Problemas de optimización aplicados 278

4.6 Formas indeterminadas y la regla de L’Hôpital 292 4.7 El método de Newton 299

4.8 Antiderivadas 307 PREGUNTAS DE REPASO 318

5 Integración

325

5.1 Estimación con sumas finitas 325

5.2 Notación sigma y límites de sumas finitas 335 5.3 La integral definida 343

5.4 El teorema fundamental del cálculo 356

5.5 Las integrales indefinidas y la regla de sustitución 368 5.6 Sustitución y áreas entre curvas 376

6 Aplicaciones de las integrales definidas

396

6.1 Cálculo de volúmenes por secciones transversales y por rotación alrededor de un eje 396

6.2 Cálculo de volúmenes por medio de casquillos cilíndricos 409 6.3 Longitudes de curvas planas 416

6.4 Momentos y centro de masa 424

6.5 Áreas de superficies de revolución y el teorema de Pappus 436 6.6 Trabajo 447

(7)

PREGUNTAS DE REPASO 461 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 461

7 Funciones trascendentes

466

7.1 Funciones inversas y sus derivadas 466 7.2 Logaritmos naturales 476

7.3 La función exponencial 486 7.4 y log 495

7.5 Crecimiento y decaimiento exponenciales 502 7.6 Razones de crecimiento relativas 511

7.7 Funciones trigonométricas inversas 517 7.8 Funciones hiperbólicas 535

8 Técnicas de integración

553

8.1 Fórmulas básicas de integración 553 8.2 Integración por partes 561

8.3 Integración de funciones racionales por medio de fracciones parciales 570 8.4 Integrales trigonométricas 581

8.5 Sustituciones trigonométricas 586

8.6 Tablas de integrales y sistemas de álgebra por computadora (SAC) 593 8.7 Integración numérica 603

8.8 Integrales impropias 619 PREGUNTAS DE REPASO 633

9 Aplicaciones adicionales de integración

642

9.1 Campos de pendientes y ecuaciones diferenciables separables 642

9.2 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 650 9.3 Método de Euler 659

9.4 Soluciones gráficas de ecuaciones diferenciales autónomas 665 9.5 Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden 673

EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 683 ax

(8)

Volumen II

10 Secciones cónicas y coordenadas polares

685

10.1 Secciones cónicas y ecuaciones cuadráticas 685

10.2 Clasificación de secciones cónicas por su excentricidad 697 10.3 Ecuaciones cuadráticas y rotaciones 702

10.4 Cónicas y ecuaciones paramétricas; la cicloide 709 10.5 Coordenadas polares 714

10.6 Gráficas en coordenadas polares 719

10.7 Áreas y longitudes en coordenadas polares 725 10.8 Secciones cónicas en coordenadas polares 732

11 Sucesiones y series infinitas

746

11.1 Sucesiones 747 11.2 Series infinitas 761 11.3 Criterio de la integral 772 11.4 Pruebas de comparación 777 11.5 Pruebas de la raíz y de la razón 781

11.6 Series alternantes, convergencia absoluta y convergencia condicional 787 11.7 Series de potencias 794

11.8 Series de Taylor y de Maclaurin 805

11.9 Convergencia de series de Taylor; estimación de errores 811 11.10 Aplicaciones de las series de potencias 822

11.11 Series de Fourier 833 PREGUNTAS DE REPASO 839

12 Los vectores y la geometría del espacio

848

12.1 Sistemas de coordenadas tridimensionales 848

12.2 Vectores 853

12.3 El producto punto 862 12.4 El producto cruz 873

12.5 Rectas y planos en el espacio 880 12.6 Cilindros y superficies cuádricas 889

(9)

13 Funciones con valores vectoriales y movimiento en el espacio

906

13.1 Funciones vectoriales 906

13.2 Cómo modelar el movimiento de un proyectil 920 13.3 Longitud de arco y el vector tangente unitario T 931 13.4 Curvatura y el vector unitario normal N 936 13.5 Torsión y el vector unitario binormal B 943 13.6 Movimiento de planetas y satélites 950

14 Derivadas parciales

965

14.1 Funciones de varias variables 965

14.2 Límites y continuidad en dimensiones superiores 976 14.3 Derivadas parciales 984

14.4 Regla de la cadena 996

14.5 Derivadas direccionales y vectores gradiente 1005 14.6 Planos tangentes y diferenciales 1015

14.7 Valores extremos y puntos de silla 1027 14.8 Multiplicadores de Lagrange 1038

14.9 Derivadas parciales con variables restringidas 1049 14.10 Fórmula de Taylor para dos variables 1054

15 Integrales Múltiples

1067

15.1 Integrales dobles 1067

15.2 Área, momentos y centros de masa 1081 15.3 Integrales dobles en forma polar 1092

15.4 Integrales triples en coordenadas rectangulares 1098 15.5 Masas y momentos en tres dimensiones 1109

15.6 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas 1114 15.7 Sustitución en integrales múltiples 1128

(10)

16 Integración en Campos Vectoriales

1143

16.1 Integrales de línea 1143

16.2 Campos vectoriales, trabajo, circulación y flujo 1149 16.3 Independencia de la trayectoria, funciones potenciales

y campos conservativos 1160 16.4 Teorema de Green en el plano 1169

16.5 Área de superficies e integrales de superficie 1182 16.6 Superficies parametrizadas 1192

16.7 Teorema de Stokes 1201

16.8 El teorema de la divergencia y una teoría unificada 1211 PREGUNTAS DE REPASO 1222

Apéndices

AP-1

A.1 Inducción matemática AP-1

A.2 Demostración de los teoremas de límites AP-4 A.3 Límites que aparecen comúnmente AP-7 A.4 Teoría de los números reales AP-9 A.5 Números complejos AP-12

A.6 La ley distributiva para el producto cruzado de vectores AP-22 A.7 El teorema de la derivada mixta y el teorema del incremento AP-23 A.8 El área de la proyección de un paralelogramo en un plano AP-28 A.9 Fórmulas básicas de álgebra, geometría y trigonometría AP-29

Respuestas

R-1

Índice

I-1

Breve tabla de integrales

T-1

(11)

P

REFACIO

INTRODUCCIÓN Al preparar la undécima edición de Cálculode Thomas, hemos querido mantener el estilo de las versiones anteriores y conservar las fortalezas detectadas en ellas. Nuestra meta ha sido, por lo tanto, identificar las mejores características de las ediciones clásicas de la obra y, al mismo tiempo, atender cuidadosamente las sugerencias de nues-tros muchos usuarios y revisores. Con estos altos estándares en mente, hemos reconstruido los ejercicios y aclarado algunos temas de difícil comprensión. De acuerdo con el autor, George Thomas, “hemos intentado escribir el libro con tanta claridad y precisión como ha sido posible”. Además, hemos restablecido los contenidos para que sean más lógicos y congruentes con los programas de estudio de mayor difusión. Al revisar esta labor en re-trospectiva, nos percatamos de que los muchos conocimientos adquiridos nos han ayudado a crear un texto de cálculo útil y atractivo para la siguiente generación de ingenieros y científicos.

En su undécima edición, el texto no sólo presenta a los estudiantes los métodos y las aplicaciones del cálculo, sino que plantea también una manera de pensar totalmente mate-mática. A partir de los ejercicios, los ejemplos y el desarrollo de los conceptos que revela la teoría en un lenguaje legible, este libro se centra en el pensamiento y la comunicación de ideas matemáticas. El cálculo tiene gran relación con muchos de los paradigmas clave de las matemáticas, y establece los fundamentos reales para la reflexión precisa y lógica en torno de temas físicos y matemáticos. Nuestro propósito se centra en ayudar a los estu-diantes a alcanzar la madurez matemática necesaria para dominar el material y aplicar sus conocimientos de manera íntegra. El razonamiento que se deriva de la comprensión de lo analizado en las páginas de esta obra hacen que el esfuerzo que ha implicado su creación valga la pena.

Una vez analizado el contenido de este libro, los estudiantes estarán bien instruidos en el lenguaje matemático que se necesita para aplicar los conceptos de cálculo a numerosas situaciones de ciencias e ingeniería. También estarán preparados para tomar cursos de ecuaciones diferenciales, álgebra lineal o cálculo avanzado.

Cambios en la undécima edición

EJERCICIOS Los ejercicios y ejemplos juegan un papel crucial en el aprendizaje del cálculo. En esta edición hemos incluido muchos ejercicios que ya aparecían en versiones anteriores de la obra por considerarlos una de las grandes fortalezas de la misma. Los ejer-cicios se han reorganizado por tema en cada una de las secciones, planteando primero los problemas computacionales para luego abordar los relativos a la teoría y las aplicaciones. Esta disposición permite que los estudiantes desarrollen habilidades en el uso de los mé-todos del cálculo y adquieran una comprensión más profunda de sus aplicaciones en el marco de una estructura matemática coherente.

(12)

RIGOR En comparación con las ediciones anteriores, en esta versión el contenido del tex-to es más riguroso y consistente. En él se brindan análisis formales e informales, haciendo una clara distinción entre ambos; además, se incluyen definiciones precisas y demostracio-nes accesibles para los estudiantes. Este texto está organizado de manera que el material pueda ser cubierto informalmente, dando cierta flexibilidad al instructor. Por ejemplo, a pesar de que no se prueba que una función continua en un intervalo cerrado y acotado tiene un máximo ahí, el teorema correspondiente se expone con todo cuidado para comprobar varios resultados subsecuentes. Más aún, el capítulo de límites ha sido reorganizado de manera sustancial, haciendo hincapié tanto en su claridad como en su precisión. Como en las ediciones anteriores, el concepto de límite se basa en la importante idea de obtener la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto de aquella.

CONTENIDO En la preparación de esta edición hemos puesto especial atención a las su-gerencias y comentarios de los usuarios y revisores de las versiones anteriores de Cálculode Thomas. Esto ha dado como resultado extensas modificaciones en varios de los capítulos.

TOMO I

•

Preliminares Hemos reescrito el capítulo 1, de manera que proporcione una breve revisión de las funciones elementales. Aunque muchos profesores podrían optar por obviar este capítulo, su estudio permite a alumnos un fácil repaso de conocimientos para que unifiquen notaciones. También contiene material útil que muchos estudian-tes podrían desconocer, como los errores que se producen al confiar totalmente en las calculadoras o computadoras para construir la gráfica de una función.

•

Límites En el capítulo 2 se incluyen las definiciones epsilón-delta, las demostra-ciones de muchos teoremas, así como límites en el infinito y límites infinitos (y sus relaciones con las asíntotas de una gráfica).

•

Antiderivadas En los capítulos 3 y 4 presentamos la derivada y sus aplicaciones más importantes, concluyendo con el concepto de antiderivada, con lo cual se esta-blecen las bases para la integración.

•

Integración Después de discutir varios ejemplos de sumas finitas, en el capítulo 5 introducimos la integral definida en la forma tradicional del área debajo de la curva. Continuamos con el análisis del teorema fundamental del cálculo, relacionando de-rivadas y antidede-rivadas, y con la presentación de la integral indefinida, junto con la regla de sustitución para integración. Luego proseguimos con el capítulo tradicional de aplicaciones de las integrales definidas.

•

Técnicas de integración En el capítulo 8 se presentan las principales técnicas de integración, incluyendo integración numérica. Después se ofrece una introducción a las funciones trascendentes, definiendo el logaritmo natural como la integral y la función exponencial como su inversa.

•

Ecuaciones diferenciales La mayor parte del material para resolver ecuaciones diferenciales básicas ahora está organizado solamente en el capítulo 9. Esta disposi-ción permite que los profesores encuentren la flexibilidad idónea para cubrir los te-mas correspondientes.

TOMO II

•

Cónicas Atendiendo a la demanda de muchos usuarios, el capítulo 10 ha sido total-mente reescrito. Por otro lado, este capítulo completa el material de ecuaciones paramé-tricas, dando las parametrizaciones para las parábolas, las hipérbolas y las cicloides.

•

Series En comparación con ediciones anteriores, en el capítulo 11 hemos

(13)

•

Vectores Para evitar la repetición de los conceptos algebraicos y geométricos fun-damentales, hemos combinado el tratamiento de vectores en dos y tres dimensiones en un solo capítulo, el 12. A esta presentación le sigue el capítulo de funciones de valores vectoriales en el plano y en el espacio.

•

Los números reales Hemos escrito un nuevo apéndice para analizar brevemente la teoría de los números reales y su aplicación en el cálculo.

ARTE Sabemos que las figuras y las ilustraciones representan un componente de gran importancia en el aprendizaje del cálculo, por lo que hemos mejorado todas las figuras de este libro, buscando mayor claridad en la relación entre éstas y los conceptos a que hacen referencia. Esto resulta especialmente evidente en las gráficas tridimensionales, en las que podemos indicar mejor la profundidad, las capas y la rotación (vea las figuras siguientes).

y

x

0

a x

b

y _⫽ R(x)

y _⫽ r(x)

0

x

y y

0

x

(x, R(x)) (x, r(x))

Arandela

x x

4

1

0

2

y y

x x

⎛ ⎝2y, y⎛⎝

2

y x_⫽

2

y x⫽

2

y R(y) _⫽

2

y R(y) ⫽ 0

1 4

y

2

(a)

(b)

y

FIGURA 6.13, página 403

Las secciones transversales del sólido de rotación generado aquí son arandelas, no discos.

FIGURA 6.11, página 402

Determinación del volumen del sólido generado al hacer girar la región (a)

(14)

Otras características

PROYECTOS Y RESUMEN DE FINAL DE CAPÍTULO Además de los problemas que apare-cen después de cada sección, los capítulos terminan con preguntas de repaso, ejercicios prácticos que cubren todo el contenido analizado, y una serie de ejercicios adicionales y avanzados en donde se plantean problemas sintetizados o que plantean retos de mayor envergadura. Asimismo, casi todos los capítulos incluyen la descripción de varios proyectos para que los estudiantes trabajen en ellos, ya sea individualmente o en equipo, en periodos más largos. Estos proyectos requieren el uso de una computadora y de material adicional, dis-ponible en www.pearsoneducacion.net/thomas.

EJERCICIOS DE DESARROLLO TEÓRICO Los ejercicios de desarrollo teórico que aparecen a lo largo de todo el libro, solicitan a los alumnos que exploren y expliquen una variedad de conceptos y aplicaciones del cálculo. Además, al final de cada capítulo se halla una lis-ta de pregunlis-tas para que los estudiantes repasen y resuman lo que han aprendido. Muchos de estos ejercicios pueden servir para que el profesor asigne tareas de contenido teórico.

RESPUESTAS Se proporcionan todas las respuestas de los ejercicios impares cuando es adecuado; la corrección de tales respuestas ha sido revisada cuidadosamente.

EXACTITUD MATEMÁTICA Como en las ediciones anteriores, hemos tenido gran cuidado en afirmar solamente aquello que sea correcto desde el punto de vista matemático. Cada definición, teorema, corolario y demostración han sido revisados para garantizar su clari-dad y exactitud matemática.

LEGILIBILIDAD Y APLICACIÓN EN PROBLEMAS REALES Como siempre, este texto bus-ca ser fácil de leer, interactivo y matemátibus-camente rico. Cada tema nuevo ha sido abordado con claridad, ilustrado con ejemplos de fácil comprensión y reforzado con aplicaciones a problemas reales que involucran el cálculo en ciencias e ingeniería, y que resultan de inte-rés para los estudiantes. Estos problemas de aplicación se han actualizado, mejorado y am-pliado a lo largo de las últimas ediciones.

TECNOLOGÍA Aunque seguimos proporcionando apoyo para las aplicaciones tecnológicas del cálculo, a partir de la décima edición esto resulta menos evidente dentro de los capítu-los. Sin embargo, el uso de este texto puede incorporar fácilmente la tecnología según los propósitos del profesor. Para ello, cada sección contiene ejercicios que requieren el uso de la tecnología, identificados de cualquiera de las siguientes maneras:

•

Con una si se requiere una calculadora o computadora para su resolución.

•

Con el texto EXPLORACIÓN CON COMPUTADORA si se necesita un software

matemático (como Mapleo Mathematica) para contestarlos.

Complementos multimedia y soporte en línea (en inglés)

MANUALES DE RECURSOS TECNOLÓGICOS

Maple Manual, escrito por Donald Hartig, de la California Polytechnic State University

Mathematica Manual, preparado por Marie Vanisko, de la California State University Stanislaus, y por Lyle Cochran, del Whitworth College

TI-Graphing Calculator Manual, por Luz DeAlba, de la Drake University.

Estos manuales cubren los programas Maple 9 yMathematica 5, y las calculadoras TI-83 Plus, TI-84 Plus, TI-85/TI-86 y TI-89/TI-92 Plus, respectivamente. Cada uno de ellos ofrece guía detallada para la integración de un paquete de software o una calculadora graficadora a lo largo del curso, incluyendo sintaxis y comandos.

(15)

COURSECOMPASS

CourseCompass es una plataforma para cursos en línea que Pearson Educación ofrece de manera exclusiva como apoyo para sus libros de texto. Este libro cuenta con un curso precar-gado en CourseCompass, que incluye ejercicios y recursos en MyMathLab y en MathXL, el sistema de tutoriales, tareas y evaluación en línea de Addison Wesley. MyMathLab pro-porciona un amplio conjunto de materiales relacionados con el curso, así como ejercicios generados algorítmicamente para repasar tanto como se desee un tema. Los alumnos pueden utilizar también herramientas en línea, como clases en vídeo, animaciones, una versión electrónica del libro y proyectos de Maple/Mathematica para mejorar su comprensión y desempeño. Además, los estudiantes pueden responder exámenes por capítulo y obtener un plan de estudio personalizado de acuerdo con sus resultados. Por su parte, los profesores pueden emplear los administradores de tareas y exámenes que proporciona CourseCom-pass para seleccionar y asignar ejercicios en línea relacionados directamente con el libro, así como importar exámenes de TestGen para obtener más flexibilidad. El libro de notas de MyMathLab —diseñado específicamente para matemáticas y estadística— lleva un registro automático de las tareas y los resultados de los exámenes de los alumnos, y da control al profesor para calcular las notas de fin de curso. CourseCompass está disponible para quienes adopten el libro. Para obtener más información, visite nuestro sitio Web en www.coursecompass.com, o pida una demostración del producto al representante de ven-tas de Pearson Educación que lo atiende.

TESTGEN CON QUIZMASTER

TestGen permite a los profesores crear, editar, imprimir y administrar exámenes mediante un banco de preguntas computarizado, desarrollado para cubrir todos los objetivos del tex-to. TestGen se basa en algoritmos, gracias a lo cual los profesores pueden crear múltiples versiones de la misma pregunta o del mismo examen con sólo hacer clic en un botón. Los maestros pueden también modificar las preguntas del banco de exámenes o agregar nuevos reactivos utilizando además el editor integrado para crear o importar gráficas, insertar notación matemática, números variables o texto. Los exámenes pueden imprimirse o dis-tribuirse por Internet o en una red local, o pueden ser importados en CourseCompass o Blackboard. TestGen incluye QuizMaster, que permite a los estudiantes realizar las pruebas en una red de área local. El software está disponible en un CD-ROM para las plataformas Windows y Macintosh.

SITIO WEB www. pearsoneducacion.net/thomas

El sitio Web del libro Cálculo de Thomas proporciona al alumno biografías más amplias de los personajes históricos referidos en el libro, así como artículos relacionados. Asimis-mo, pone a su disposición un conjunto de módulos de Maple y Mathematica que puede utilizar como proyectos individuales o en grupo. Este sitio también ofrece al profesor un vínculo hacia el sitio de descarga de materiales (en inglés) de este libro.

Agradecimientos

Deseamos expresar nuestra gratitud a quienes hicieron muchas y muy valiosas contribu-ciones durante las distintas etapas de desarrollo de esta edición.

Editores de desarrollo Correctores

Elka Block William Ardis

David Chelton Karl Kattchee

Frank Purcell Douglas B. Meade

(16)

Jefatura de revisión

Harry Allen, Ohio State University

Rebecca Goldin, George Mason University

Christopher Heil, Georgia Institute of Technology

Dominic Naughton, Purdue University

Maria Terrell, Cornell University

Clifford Weil, Michigan State University

Revisión técnica

Robert Anderson, University of Wisconsin–Milwaukee

Charles Ashley, Villanova University

David Bachman, California Polytechnic State University

Elizabeth Bator, University of North Texas

William Bogley, Oregon State University

Kaddour Boukaabar, California University of Pennsylvania

Deborah Brandon, Carnegie Mellon University

Mark Bridger, Northeastern University

Sean Cleary, The City College of New York

Edward Crotty, University of Pennsylvania

Mark Davidson, Louisiana State University

Richard Davitt, University of Louisville

Elias Deeba, University of Houston, Downtown Campus

Anne Dougherty, University of Colorado

Rafael Espericueta, Bakersfield College

Klaus Fischer, George Mason University

William Fitzgibbon, University of Houston

Carol Flakus, Lower Columbia College

Tim Flood, Pittsburg State University

Robert Gardner, East Tennessee State University

John Gilbert, The University of Texas at Austin

Mark Hanish, Calvin College

Zahid Hasan, California State University, San Bernardino

Jo W. Heath, Auburn University

Ken Holladay, University of New Orleans

Hugh Howards, Wake Forest University

Dwanye Jennings, Union University

Matthias Kawaski, Arizona State University

Bill Kincaid, Wilmington College

Mark M. Maxwell, Robert Morris University

Jack Mealy, Austin College

Richard Mercer, Wright State University

Victor Nestor, Pennsylvania State University

Michael O’Leary, Towson University

Bogdan Oporowski, Louisiana State University

Troy Riggs, Union University

Ferinand Rivera, San Jose State University

Mohammed Saleem, San Jose State University

Tatiana Shubin, San Jose State University

Alex Smith, University of Wisconsin-Eau Claire

Donald Solomon, University of Wisconsin-Milwaukee

Chia Chi Tung, Minnesota State University

William L. VanAlstine, Aiken Technology College

Bobby Winters, Pittsburg State University

Dennis Wortman, University of Massachusetts at Boston

Participantes en encuestas

Omar Adawi, Parkland College

Siham Alfred, Raritan Valley Community College

Donna J. Bailey, Truman State University

Rajesh K. Barnwal, Middle Tennessee State University

Robert C. Brigham, University of Central Florida (retired) Thomas A. Carnevale, Valdosta State University

Lenny Chastkofsky, The University of Georgia

Richard Dalrymple, Minnesota West Community & Tech-nical College

Lloyd Davis, College of San Mateo

Will-Matthis Dunn III, Montgomery College

George F. Feissner, SUNY College at Cortland

Bruno Harris, Brown University

Celeste Hernandez, Richland College

Wei-Min Huang, Lehigh University

Herbert E. Kasube, Bradley University

Frederick W. Keene, Pasadena City College

Michael Kent, Borough of Manhattan Community Colle-ge

Robert Levine, Community College of Allegheny County, Boyce Campus

John Martin, Santa Rosa Junior College

Michael Scott McClendon, University of Central Okla-homa

Ching-Tsuan Pan, Northern Illinois University

Emma Previato, Boston University

S.S. Ravindran, University of Alabama

Dan Rothe, Alpena Community College

John T. Saccoman, Seton Hall University

Mansour Samimi, Winston-Salem State University

Ned W. Schillow, Lehigh Carbon Community College

W.R. Schrank, Angelina College

(17)

Agradecemos a todos los profesores que han sido leales usuarios y han impartido la materia de Cálculo en los países de habla hispana con el apoyo del reconocido libro de Thomas. Sus valiosos comentarios han servido para enri-quecer el desarrollo de la actual edición. Espe-ramos que con el uso de este texto cumplan sa-tisfactoriamente los objetivos del programa del curso y preparen a sus alumnos para enfrentar los retos actuales dentro del ámbito de las Ma-temáticas. En especial deseamos agradecer el apoyo y retroalimentación que nos han dado los siguientes profesores:

COLOMBIA

Escuela Colombiana de Ingeniería Julio Garavito

Ana Alicia Guzmán Benjamín Rafael Sarmiento Bernarda Aldana

Boris Mauricio Pulido Campo Elías Velosa Carlos Abel Álvarez Carlos Enrique Frasser Carmenza Moreno Clara Teresa Triviño Claudia Castro Diego Parada Edgar Obonaga Edith Zoraida Pinzón Eduardo Brieva Ernesto Acosta Gloria Inés Bernal Guiomar Lleras Guiomar Mora Gustavo Erazo Herbert Alonso Dueñas Isabel Carlota López Jaime Alonso Castillo Jaime Arango Jairo Scarpeta Jorge Augusto Pérez Jorge Bateman José Francisco Amador Juan Manuel Bedoya Juan Manuel Cordero Juan Manuel Ospina Juan Manuel Sarmiento Luis Alejandro Fonseca Luis Miguel Acosta Manuel Casabianca Manuel Díaz

Margarita Mónica Rey María Consuelo Cortés María Viviana Bernal Néstor Raúl Pachón Olga Maritza Camacho Óscar Antonio Pulido Óscar Darío Zárate

Rafael Guzmán Ricardo Mancipe Ricardo Quintana Sandra Isabel Gutiérrez Víctor Ardila

William Estrada

Fundación del Área Andina Mario Duarte

Rosario Granados

INPAHU Edgar Borras

Pontificia Universidad Javeriana Abrahan Jiménez

Antonio Merchan Diego Guerrero Eddy Herrera Eduardo Estrada Fabio Molina Fernando Suárez Francisco Soler Gerardo Tole Guillermo Arias Gustavo Nieto Harold Noriega Héctor Orlando Linares Irina Reyes

Ismael García Iván Castro

Jesús Fernando Novoa José Humberto Serrano José Severino Niño Juan Carlos Quintero Julio César Melo Lennin Reyes Liliana Ángel Liliana Barreto Luis Alejandro Bello Luis Alfonso Mejía Luz Marina Moya Luz Mary Ariza María C. Rodríguez Martha Alvarado Martha Moreno Matilde Páez Nelson Urrego Nicolás Civetta Rafael Castro Vladimir Moreno

Universidad Antonio Nariño Orlando Vanegas

Universidad Autónoma Gladys Villamarín Marco Tulio Millán

Universidad Católica de Colombia Ana Mercedes Márquez Carlos Daza

Carlos Hernando Pinzón Felipe Lara Gerardo Ardila Germán Beltrán Javier Manotas Libardo Ortegón Lorenzo Zubieta Miguel Ángel Martínez Régulo Miguel Hernández Rubén Darío Castañeda

Universidad de América Edgar Rodríguez Héctor Lozano Jaime Bolaños Margarita Ruiz

Universidad de la Sabana Héctor López

María Lilia Perilla

Universidad de San Buenaventura Elmer Villegas

Hernán Pineda Patricia Mateus Wilson Soto

Universidad de San Martín Jaime Preciado

Universidad del Bosque Libardo Munevar

Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Abrahan Jiménez Adrián Ricardo Gómez Carmen Leonor Pulido Claudia Vela

Clemencia Garavito Gloria Neira Ignacio Rodríguez Janeth Galeano José María Pino José Villada Luis Martín María Astrid Cuida María del Pilar Bohórquez Nayive Nieves

Pablo Acosta

Rodrigo Javier Herrera Zulima Ortiz

(18)

Universidad Militar Nueva Granada Arturo Ramírez

Felipe A. Riaño José Farid Patiño Luis Antonio Meza

Universidad Nacional Héctor Useche Herbert Dueñas

Universidad Piloto Carlos Garzón William Arley Rincón

Universidad Santo Tomás Eunice Chara Gloria Torres Marlene Garzón

GUATEMALA

Universidad de San Carlos Arturo Samayoa

MÉXICO

Instituto Tecnológico Autónomo de México (ITAM)

Beatriz Rumbos Pellicer Claudia Gómez Wulschner Lorena Zogaib

María del Carmen López Laiseca

Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería y Tecnologías Avanzadas

Carlos Cruz

Prisciliano Aguilar Viveros

Universidad Anáhuac del Sur Vicente Rivera

Universidad Iberoamericana Humberto Mondragón Suárez

Universidad La Salle Gustavo Velázquez Garduño

Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec

Francisco Javier Vargas Mancilla Gabriel Ramírez Dámaso

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de México

Faustino Yescas Martínez Rubén Darío Santiago Acosta

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca

José Arturo Tar Ortiz Peralta

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Sinaloa

José Benigno Valdez Torres

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Guadalajara

Abel Vázquez Pérez

Abelardo Ernesto Damy Solís Guillermo Rodríguez López Humberto Hipólito García Díaz Jesús Cuauhtémoc Ruvalcaba Álvarez Luis Eduardo Falcón Morales Luz María González Ureña María Elisa Barrón García

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus León

Enrique Garibay Ruiz

Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Occidente (ITESO), Guadalajara

César Espinosa Abundis Enrique Rodríguez Ruiz Héctor Vidaurri Aguirre Roberto Núñez Malherbe

Centro de Enseñanza Técnica Industrial, Guadalajara

Michael Vollger Zaepfel

Universidad de Guadalajara Francisco Javier González Piña Guadalupe Isabel Rodríguez Medina Jorge Mario Arellano Hernández José de Jesús Uribe Madrigal Lucía González Rendón

María de Lourdes Martínez Silva María Esther Mejía Marín Tomás Ignacio Villaseñor Saavedra

Universidad Autónoma de Nuevo León Alejandro García García

Angélica Tovar Gómez Bertha Arellano Silva Gloria Pedroza Cantú

María Magdalena de la Rosa Reséndiz Santiago Neyra Rosales

Sergio Elizondo Arroyave Yenny Valenzuela Murillo

Universidad Regiomontana Luis Alberto Rodríguez Escamilla Ma. Teresa Narváez Flores Neyda Eliza López Leal

Universidad Autónoma de San Luis Potosí José César Hernández García

María Guadalupe Silva Esparza

Universidad Autónoma de Tamaulipas Ramiro Garza Molina

Instituto Tecnológico de Veracruz Mario Martínez Cano

Universidad Veracruzana Dolores Vera Dector Uriel García Ortiz

PERÚ

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas

Agustín Curo

REPÚBLICA DOMINICANA

Instituto Tecnológico de Santo Domingo

Coride Pérez

Máximo A. Campuzano

Pontificia Universidad Católica Madre y Maestra

Masako Saito

Universidad Autónoma de Santo Domingo Carlos Feliz Sánchez

Carlos Mayobanet Cabral David Torrez

Universidad Apec Justo Báez

Universidad Católica Tecnológica del Cibao Cristian Mercedes Cruz

Universidad Iberoamericana Máximo Santana

VENEZUELA

Universidad Central de Venezuela María de Armas

Martha Zerpa

Universidad Metropolitana Antonio Syers

Lida Niño

Universidad Simón Bolívar María Rosa Brito

(19)

INTRODUCCIÓN En este capítulo se presenta un repaso de las ideas básicas necesarias pa-ra iniciar el estudio del cálculo. Entre los temas se incluyen el sistema de números reales, las coordenadas en el plano cartesiano, las líneas rectas, las parábolas, los círculos, las funciones y la trigonometría. También se analiza el uso de calculadoras graficadoras y de programas para graficación por computadora.

1 P

RELIMINARES

C a p í t u l o

1

Los números reales y la recta real

Esta sección trata de los números reales, las desigualdades, los intervalos y las propieda-des del valor absoluto.

Números reales

Gran parte del cálculo se basa en las propiedades del sistema de números reales. Los nú-meros realesson aquellos que pueden expresarse como decimales, por ejemplo

En cada caso, los puntos suspensivos … indican que la sucesión de dígitos decimales con-tinúa indefinidamente. Cualquier expansión decimal posible representa un número real, aunque algunos números tienen dos representaciones. Por ejemplo, los decimales infinitos .999… y 1.000… representan el mismo número real, 1. Una afirmación similar es válida para cualquier número con una infinita fila de nueves.

Los números reales pueden representarse geométricamente como puntos sobre una recta numérica, llamada recta real.

El símbolo denota tanto al sistema de números reales como a la recta real.

Las propiedades del sistema de números reales se clasifican en tres categorías: pro-piedades algebraicas, propro-piedades de orden y propiedad de completez. Las propiedades algebraicasestablecen que los números reales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse (excepto entre 0) para obtener más números reales bajo las reglas usuales de la aritmética. No es posible dividir entre 0.

–2 –1 3 0 1 2 3␲ 4 4

1 3

– 2

22 = 1.4142Á 1

3 = 0.33333Á -3

4 = -0.75000Á

(20)

En el apéndice 4 se dan las propiedades de ordende los números reales. A partir de ellas pueden obtenerse las siguientes reglas útiles, donde el símbolo Q significa “implica”.

Reglas para desigualdades

Si a, b y cson números reales, entonces:

1.

2. 3.

4.

Caso especial:

5.

6. Si tanto a como bson ambos positivos o ambos negativos, entonces

a 6 b Q 1

b 6

1

a a 7 0 Q 1

a 7 0

a 6 b Q -b 6 -a

a 6 b y c 6 0 Q bc 6 ac

a 6 b y c 7 0 Q ac 6 bc

a 6 b Q a - c 6 b - c

a 6 b Q a + c 6 b + c

Tenga en cuenta las reglas para multiplicar una desigualdad por un número. Al multiplicar por un número positivo se conserva el sentido de desigualdad; cuando se multiplica por un número negativo el sentido de desigualdad cambia. Por otro lado, tomar recíprocos invier-te el sentido de desigualdad cuando los números son del mismo signo. Por ejemplo, pero y

En el caso del sistema de números reales, la propiedad de completez*es compleja y difícil de definir con precisión; sin embargo, es esencial para comprender el concepto de límite (capítulo 2). A grandes rasgos, la propiedad de completez afirma que hay suficien-tes números reales para “completar” la recta real, en el sentido que no haya “vacíos” o “fal-tantes” o huecos en ella. Si el sistema de números reales no cumpliera con esta propiedad, muchos teoremas de cálculo carecerían de validez. Por conveniencia, el tema se deja para un curso más avanzado, pero el apéndice 4 da una idea de sus implicaciones y de cómo se construyen los números reales.

Entre los números reales pueden distinguirse tres subconjuntos especiales.

1. Los números naturales, digamos 1, 2, 3, 4, . . .

2. Los números enteros, como

3. Los números racionales, es decir, aquellos que pueden expresarse como una fracción

m/n, donde my nson enteros y Por ejemplo

Los números racionales son precisamente los números reales con expansiones deci-males, que son

(a) finitas (terminan con una secuencia infinita de ceros), por ejemplo

(b) periódicas (terminan con un bloque de dígitos que se repite una y otra vez), por ejemplo,

La barra indica el bloque de dígitos que se repite. 23

11 = 2.090909Á = 2.09 3

4 = 0.75000Á = 0.75 o 1

3, -4 9 =

-4 9 =

4 -9,

200

13 , y 57 = 57

1 .

n Z 0 .

0, ;1, ;2, ;3,Á 1>2 7 1>5 .

-2 7 -5

2 6 5

(21)

Las expansiones decimales finitas representan un tipo especial de repetición decimal de final de ceros repetidos.

El conjunto de números racionales tiene todas las propiedades algebraicas y de orden de los números reales, pero carece de la propiedad de completez. Por ejemplo, no existe un número racional cuyo cuadrado sea 2; esto quiere decir que hay un “vacío” en la recta ra-cional, donde debería estar .

Los números reales que no son racionales se llaman números irracionales, y se carac-terizan por tener expansiones decimales no finitas y no periódicas. Por ejemplo,

y Como cada expansión decimal representa un número real, resulta evidente que la cantidad de números irracionales es infinita. Podemos encontrar tanto números racio-nales como irracioracio-nales arbitrariamente cercanos a cualquier punto de la recta real.

La notación de conjuntos es muy útil para especificar un subconjunto de números rea-les. Unconjunto es una colección de objetos, los mismos que constituyen los elementos del conjunto. Si Ses un conjunto, la notación significa que aes un elemento de S, y significa que ano es un elemento de S. Si Sy Tson conjuntos, es su unión, y ésta consiste de todos los elementos que pertenecen a So a T(o tanto a Scomo a T). La intersección consiste de todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos, Sy

T. El conjunto vacío es aquel que no tiene elementos. Por ejemplo, la intersección de los números racionales y los números irracionales es el conjunto vacío.

Algunos conjuntos pueden describirse al listar sus elementos separados por comas entre llaves. Por ejemplo, el conjunto A, conformado por los números naturales (o enteros positivos) menores que 6, puede expresarse como

El conjunto de todos los números enteros se escribe como

Otra manera de describir un conjunto, consiste en encerrar entre llaves una regla que genere todos los elementos del conjunto. Por ejemplo, el conjunto

es el conjunto de los enteros positivos menores que 6.

Intervalos

Un subconjunto de la recta real recibe el nombre de intervalo si contiene por lo menos dos números y todos los números reales que están entre cualquier par de sus elementos. Por ejemplo, el conjunto de todos los números reales xtales que es un intervalo, así co-mo el conjunto de todos los xtales que El conjunto de todos los números reales distintos de cero no es un intervalo; como el 0 no se incluye, el conjunto no cumple con la condición de contener todos los números reales entre y 1 (por ejemplo).

Geométricamente, los intervalos corresponden a rayos y segmentos de recta sobre la rec-ta real o a lo largo de la misma. Los intervalos de números que corresponden a segmentos de recta son intervalos finitos; los intervalos que corresponden a rayos y a la recta real son in-tervalos infinitos.

Decimos que un intervalo finito es cerradosi incluye sus dos extremos, semiabierto si incluye uno de sus extremos pero no el otro, y abiertosi no incluye ninguno de sus ex-tremos. Los extremos también se llaman puntos frontera, ya que conforman precisamen-te la fronteradel intervalo. El resto de los puntos del intervalo son puntos interiores, y constituyen el interior del intervalo. Los intervalos infinitos, que corresponden a rayos, son cerrados si contienen su extremo finito, de lo contrario son abiertos. La recta real completa es un intervalo infinito que es tanto abierto como cerrado.

Resolución de desigualdades

Al proceso de encontrar el intervalo o intervalos de números que satisfacen una desigual-dad en xse le llama resolverla desigualdad.

-1 -2 … x … 5 .

x 7 6

A = 5xƒx es un entero y 0 6 x 6 66 50, ;1, ;2, ;3,Á6.

A = 51, 2, 3, 4, 56. ¤

S¨T

S´T

axS

aHS log103 .

23

5 ,

(22)

EJEMPLO 1 Resolver las siguientes desigualdades y mostrar su solución en forma de desigualdad, en forma de intervalo y en forma gráfica.

(a) (b) (c)

Solución

(a)

Sumar 1 en ambos lados.

Restar xen ambos lados.

El conjunto solución es el intervalo abierto (figura 1.1a).

(b)

Multiplicar por 3 ambos lados.

Sumar xen ambos lados.

Restar 3 en ambos lados.

Dividir entre 7. -3

7 6 x -3 6 7x

0 6 7x + 3 -x 6 6x + 3 -x

3 6 2x + 1

s- q, 4d

x 6 4 2x 6 x + 4 2x - 1 6 x + 3

6

x - 1

Ú 5

-x

3 6 2x + 1 2x - 1 6 x + 3

TABLA 1.1 Tipos de intervalos

Descripción

Notación del conjunto Tipo Figura

Finito: (a,b) Abierto

[a,b] Cerrado

[a,b) Semiabierto

(a,b] Semiabierto

Infinito: Abierto

Cerrado

Abierto

Cerrado

(conjunto de todos Ambos

los números reales) abierto y cerrado

s- q, qd

5xƒx … b6

s- q, b]

5xƒx 6 b6

s- q, bd

5xƒx Ú a6 [a, qd

5xƒx 7 a6

sa, qd

5xƒa 6 x … b6 5xƒa … x 6 b6 5xƒa … x … b6 5xƒa 6 x 6 b6

a b a b a b a

a

b

b b a

0

0 1

1 1 4

(a)

– 3 7

(b)

11 5 (c)

x x x

(23)

El conjunto solución es el intervalo abierto (figura 1.1b).

(c) La desigualdad puede satisfacerse solamente si ya que en cual-quier otro caso no está definido o es negativo. Así, es positivo y la desigualdad no se altera si multiplicamos ambos lados por y tenemos que

Multiplicar ambos lados por

Sumar 5 en ambos lados.

El conjunto solución es el intervalo semiabierto (1, ] (figura 1.1c).

Valor absoluto

El valor absolutode un número x, denotado por se define como

EJEMPLO 2 Encontrar los valores absolutos

Geométricamente, el valor absoluto de xes la distancia de xa 0 sobre la recta real. Como las distancias siempre son positivas o 0, si vemos que para todo número real

x, y si y sólo si También

la distancia entre xy ysobre la recta real (figura 1.2).

Como el símbolo denota siempre la raíz cuadrada no negativade a, una defini-ción alternativa de es

Es importante recordar que No se puede escribir a menos que se-pamos de antemano que

El valor absoluto tiene las propiedades siguientes. (Se le pedirá que pruebe estas pro-piedades en los ejercicios).

a Ú 0 .

2a2 = a 2a2 = ƒaƒ.

ƒxƒ = 2x2. ƒxƒ

2a

ƒx - yƒ = es igual a la distancia entre x y y

x = 0 . ƒxƒ = 0

ƒxƒ Ú 0 ƒ3ƒ = 3, ƒ0ƒ = 0, ƒ -5ƒ = -s-5d = 5, ƒ - ƒaƒƒ = ƒaƒ

ƒxƒ = e x, x Ú 0

-x, x 6 0.

ƒxƒ,

11>5 O x … 11

5. 11

5 Ú x. 11 Ú 5x

sx -1d.

6 Ú 5x - 5 6

x - 1

Ú 5

sx - 1d,

sx - 1d 6>sx - 1d

x 7 1 , 6>sx - 1d Ú 5

s-3>7, qd

– 5 5 3

4 1 1 4 3

– 5 0 3

1 4

FIGURA 1.2 Los valores absolutos indican las distancias entre los puntos de la recta numérica.

Propiedades del valor absoluto

1. Un número y su inverso aditivo o negativo tienen el mismo valor absoluto.

2. El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos.

3. El valor absoluto de un cociente es el cociente de los valores absolutos.

4. La desigualdad triangular. El valor absoluto de la suma de dos números es menor o igual que la suma de sus valores absolutos.

ƒa + bƒ … ƒaƒ + ƒbƒ `a_b` =

(24)

Observe que Por ejemplo, mientras que Si ay b

tienen distinto signo, entonces en cualquier otro caso, En expresiones como es igual a Las barras que denotan valor absoluto fun-cionan como los paréntesis: deben realizarse las operaciones aritméticas del interior antes

de tomar el valor absoluto.

EJEMPLO 3 Ilustrar la desigualdad triangular

La desigualdad indica que la distancia de xa 0 es menor que el número posi-tivo a. Esto significa que xdebe estar entre -ay a, como puede verse en la figura 1.3.

Todos los siguientes enunciados son consecuencia de la definición de valor absoluto, y suelen ser útiles en la resolución de ecuaciones o desigualdades con valor absoluto.

ƒxƒ 6 a

ƒ -3 - 5ƒ = ƒ -8ƒ = 8 = ƒ -3ƒ + ƒ -5ƒ ƒ3 + 5ƒ = ƒ8ƒ = ƒ3ƒ + ƒ5ƒ

ƒ -3 + 5ƒ = ƒ2ƒ = 2 6 ƒ -3ƒ + ƒ5ƒ = 8

ƒ -3 + 5ƒ ƒaƒ + ƒbƒ.

ƒa + bƒ

ƒaƒ + ƒbƒ. ƒa + bƒ

- ƒ3ƒ = -3 . ƒ -3ƒ = 3 ,

ƒ -aƒ Z - ƒaƒ.

a x 0 a a a

x

FIGURA 1.3 significa que xestá

entre-ay a.

ƒxƒ6 a

Valores absolutos e intervalos

Si aes cualquier número positivo, entonces

5.

6.

7.

8.

9. ƒxƒ Ú a si y sólo si x Ú a o x … -a ƒxƒ … a si y sólo si -a … x … a ƒxƒ 7 a si y sólo si x 7 a o x 6 -a ƒxƒ 6 a si y sólo si -a 6 x 6 a ƒxƒ = a si y sólo si x = ;a

En matemática, el símbolo denota con frecuencia la relación lógica “si y sólo si”. También significa “implica y es implicado por”.

EJEMPLO 4 Resolver una ecuación con valores absolutos

Resolver la ecuación

Solución De acuerdo con la propiedad 5, así que hay dos posibilidades:

Resolver como de costumbre.

Las soluciones de son y

EJEMPLO 5 Resolver una desigualdad con valor absoluto

Resolver la desigualdad `5 - 2

x` 6 1 .

x = -2 .

x = 5 ƒ2x - 3ƒ = 7

x = 5 x = -2 2x = 10 2x = -4

Ecuaciones equivalentes sin valores abolutos. 2x - 3 = 7 2x - 3 = -7

2x - 3 = ;7 , ƒ2x - 3ƒ = 7 .

(25)

Solución Tenemos

Propiedad 6

Restar 5.

Tomar recíprocos.

Observe cómo se emplearon aquí las distintas reglas para las desigualdades. Multiplicar por un número negativo cambia el sentido de la desigualdad. Sucede lo mismo al tomar recípro-cos en una desigualdad cuyos dos lados son positivos. La desigualdad original se satisface si y sólo si El conjunto solución es el intervalo abierto ( , ).

EJEMPLO 6 Resolver la desigualdad y mostrar el conjunto solución en la recta real:

(a) (b)

Solución

(a)

Propiedad 8

Restar 3.

Dividir entre 2.

El conjunto solución es el intervalo cerrado [1, 2] (figura 1.4a).

(b)

Propiedad 9

Dividir entre 2.

Sumar

El conjunto solución ess- q, 1]´[2, qd(figura 1.4b).

3 2.

x Ú 2 o

x … 1

x - 3 2 Ú

1

2 o x - 3 2 …

-1 2 2x - 3 Ú 1 o 2x - 3 … -1

ƒ2x - 3ƒ Ú 1 1 … x … 2 2 … 2x … 4 -1 … 2x - 3 … 1 ƒ2x - 3ƒ … 1

ƒ2x - 3ƒ Ú 1 ƒ2x - 3ƒ … 1

1>2 1>3

s1>3d 6 x 6 s1>2d.

31

3 6 x 6 1 2.

Multiplicar por -1

2.

33 7 1

x 7 2

3 -6 6 -2

x 6 -4 `5 - 2

x` 6 13 -1 6 5 - 2

x 6 1

1 2

(a)

(b)

x x

FIGURA 1.4 Los conjuntos solución

(a) [1, 2] y (b) del

ejemplo 6.

s- q, 1]´[2, qd

EJERCICIOS 1.1

Representación decimal

1. Exprese 1/9 como un decimal periódico, usando una barra para

indicar los dígitos que se repiten. ¿Cuáles son las expansiones de-cimales de las siguientes fracciones: 2/9, 3/9, 8/9 y 9/9?

2. Exprese 1/11 como un decimal periódico, usando una barra para

indicar los dígitos que se repiten. ¿Cuáles son las expansiones de-cimales de las siguientes fracciones: 2/11, 3/11, 9/11 y 11/11?

Desigualdades

3. Si ¿cuáles de las siguientes afirmaciones acerca de x

son necesariamente ciertas y cuáles no son necesariamente ciertas?

a. b.

c. d.

e. f.

g. -66 -x 6 2 h. -6 6 -x 6 -2 ƒx - 4ƒ 6 2

1 6 6

x 6 3

1

6 6

1

x 6 1

2

1 6 x

2 6 3

0 6 x - 2 6 4

0 6 x 6 4