Presentación: Ecuaciones cuadraticas: resolver con formula cuadratica y casos especiales

Ecuaciones cuadráticas

Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico - Arecibo

Resolver ecuaciones cuadráticas –

Ecuación cuadrática en forma

general

Una ecuación cuadrática tiene una forma general como sigue

ax2 _{+ bx + c = 0,}

donde a, b,c son valores reales; y a≠0

a es el coeficiente del término cuadrático (coeficiente de la variable de grado 2).

b es el coeficiente del término lineal (coeficiente de la variable de grado 1.)

Resolver ecuaciones

cuadráticas

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas.

•

Método de factorización

•

Método de raíz cuadrada

Ecuación cuadrática en forma

general

Nota: No todas las ecuaciones cuadráticas son trinomios, o sea no todas tienen 3 términos.

En una ecuación cuadrática (en su forma general),

ax2 _{+ bx + c = 0, los coeficientes b y/o c pueden ser}

igual a 0.

Ejemplos:

9x2 – 16 = 0 4x2 _{= 8}

5x2 _{– 15x = 0}

9x = 𝟏_𝟐 𝒙𝟐

(El coeficiente lineal, b, es 0.

( 4x2 _{– 8 = 0, el coeficiente lineal, b, es 0.}

(El término constante, c, es 0.

(𝟏

Resolver ecuaciones

cuadráticas cuando c = 0

Ejemplo: Determine el conjunto solución de

5x

_{– 15x = 0}

Cuando en una ecuación cuadrática la constante (c) es 0, el factor común mayor de los términos que quedan contiene al menos, alguna potencia de la variable.

Ejemplo-continuación

Solución: (continuación)

Podemos aplicar la propiedad distributiva para factorizar.

5x2 _{– 15x = 0}

5x(x – 3) = 0

Ahora aplicamos el principio del factor cero: 5x = 0

5𝑥 5 =

0 5 x = 0

x – 3 = 0

x = 3

Resolver ecuaciones

cuadráticas cuando c = 0

Ejemplo: Determine el conjunto solución de

18x

_{+ 9x}

_{= 0}

Solución:

No hay constante.

No es una ecuación cuadrática.

Podemos remover de los dos términos el

Ejemplo – continuación

Solución: (continuación)

18x

_{+ 9x}

_{= 0}

9x

_{(2x + 1) = 0}

Por el principio del factor cero

9x

_{= 0}

𝟗

𝒙

𝟗

=

𝟎

𝟗

x

= 0

x = 0

2x + 1 = 0

2x = – 1

𝟐

𝒙

𝟐

=

−𝟏

𝟐

𝒙 = −

𝟏

𝟐

El conjunto solución

es: {0, − 𝟏

Resolver ecuaciones

cuadráticas cuando b = 0

Cuando el coeficiente lineal, b, es igual a cero,

empleamos el método de la raíz cuadrada

para resolverlo.

Ejemplos:

2x2 – 7 = 0

36 = 9x2

Cuando una ecuación cuadrática tiene sólo un término cuadrático y uno constante

• Dejamos a un lado de la ecuación el

término cuadrático y al otro lado el término constante.

• Luego extraemos la raíz cuadrada de ambos lados, tomando en cuenta que

existen dos soluciones para una ecuación de la forma x2 = k

• 𝑥 = ± 𝑘

Resolver ecuaciones

Ejemplo:

Resolver x

+ 2 = 10

Solución:

x

+ 2

– 2

= 10

– 2

x

= 8

x

₌

_±

₈

𝑥 = ±

8

𝑥 = ± 2 2

Resolver ecuaciones

cuadráticas cuando b = 0

Ejemplo: Determinar las soluciones de

3x

– 5 = 7

Solución:

3x

– 5 + 5 = 7 + 5

3x

_{= 12}

3𝑥

3

=

12

3

x

= 4

𝑥

₌

_±

₄

𝑥 = ±2

Resolver ecuaciones

cuadráticas cuando b = 0

Ejemplo

Resolver: (2x – 7)

_{– 16 = 0}

Solución:

(2x – 7)2 _{– 16 + 16= 16}

(𝟐𝒙 − 𝟕)𝟐 _{= ± 𝟏𝟔} 𝟐𝒙 − 𝟕 = ±𝟒

Ejemplo – continuación

2x – 7 + 7= 4 + 7

2x = 11

𝟐𝒙

𝟐 =

𝟏𝟏

𝟐 x = 5.5

2x – 7 + 7= - 4 + 7

2x = 3

𝟐𝒙

𝟐 =

𝟑

𝟐 x = 1.5

Resolver: 7(x

–

3)

2

+ 5 = 8

7(x – 3)2 _{+ 5 – 5 = 8 – 5} 7(x – 3)2 _{= 3}

7(𝑥 – 3)2

7 =

3 7 (𝑥 – 3)2 ₌ 3

7

(𝑥 − 3)2_{= ±} 3 7

Resolver: 7(x

–

3)

2

+ 5 = 8

x – 3 + 3 = 3 ± 3 7

x = 3± 3 7

x = 3 + 3

7 ó x = 3− 3 7

Las soluciones son x = 3 + 𝟑

𝟕 y x= 3 –

Fórmula cuadrática

Dada una ecuación cuadrática en su forma general:

ax2 + bx + c = 0,

donde a, b,c son valores reales y a≠0,

la fórmula cuadrática establece que sus soluciones están dadas por:



x





b



b

2

_

₄

_ac

Resolver: 6x

2

+ x = 2

Primeramente debemos escribir la ecuación en forma general:

6x2 _{+ x - 2 = 0}

Debemos identificar los coeficientes a, b y c: a = 6

Aplicar la fórmula cuadrática

aplicamos a la fórmula cuadrática. Con a = 6, b = 1, y c = -2

) ( ) )( ( x 6 2 2 6 4 1

1 2  

 

12

48 1

1 

  x 12 49 1   x 

x  b  b

2 _{ 4ac}

Ejemplo-continuación

El conjunto solución de 6x2 _{+ x - 2 = 0 es:}

12 49 1   x       2 1 3 2 , 12 7 1   x 12 7 1   x 12 6  x 2 1  x 12 7 1   x 12 8   x 3 2   x

ó

Las soluciones son racionales.

Esto implica que la

Resolver: x

2

- 5x = 8

Primeramente debemos escribir la ecuación en forma general:

x2 _{- 5x - 8 = 0}

Notemos que no existen factores de -8 que sumen -5, por lo tanto, NO factoriza como el producto de 2 binomio lineales.

Identificar los coeficientes a, b y c: a = 1

Aplicar la fórmula cuadrática

aplicamos a la fórmula cuadrática.

El conjunto solución de la ecuación es:

Con a = 1, b = - 5, y c = - 8

) ( ) )( ( ) ( ) ( x 1 2 8 1 4 5

5   2  

   2 32 25

5  

 x 2 57 5  x       _{ } 2 57 5 2 57 5 , 

x  b  b

2 _{ 4ac}

Cuidado

Es común equivocarse con el signo de

“-b”.

Puede ser de ayuda si interpretamos

“-b” como el opuesto de b. De esta

forma:

•

si b es positivo, -b será negativo

El discriminante

Llamamos discriminante al radicando de la fórmula cuadrática

b2 _{- 4ac}

Podemos utilizar el discriminante para determinar cuántas soluciones tiene una ecuación cuadrática y si éstas son reales o no.



x





b



b

2

_

₄

_ac

Discriminante

b

- 4ac

• Si b2 _{- 4ac > 0, la ecuación tiene 2}

soluciones reales.

• Si b2 - 4ac < 0, la ecuación NO tiene soluciones reales.

¿Cuántas soluciones reales?

Determine cuántas soluciones reales tienen las siguientes ecuaciones cuadráticas:

2x2 _{- 5x + 3 = 0}

Identificar los coeficientes a, b y c:

(-5)2 - 4(2)(3)

= 25-24

= 1>0 ==> tiene 2 soluciones reales

b2 - 4ac =

¿Cuántas soluciones reales?

3x2 + 4x + 5 = 0

42 - 4(3)(5) =16 -60

= -44<0 --> tiene 0 soluciones reales

-9 + 6x - x2 _{= 0}

62 - 4(-1)(-9) = 36-36

= 0 --> tiene 1 solución real

a=3, b= 4, c= 5,

a= -1, b= 6, c= -9, b2 _{- 4ac =}

Ejercicios

Resuelva:

1) x2 - 5x + 4 = 0

2) 2y2 _{+ 7y = 3}

3) 3w2 _{+ 4w - 3 = 0}

4) 4y + 5y2 _{= 4}

5) (x+2)2 _{= 10}

Soluciones

1) {4, 1}

2)

3)



7  73

4 ,

7  73

4       

2  13

3 ,

2  13

3       

2 2 6

5 ,

2 2 6

5       

{ 10 2, 10  2}



 2

3  4, 2

3  4

Resolver ecuaciones

cuadráticas cuando c = 0

Ejemplo: Determine el conjunto solución de

3x

_{= 7x}

Solución:

Para resolver una ecuación cuadrática, debe

estar en su forma general, o sea igual a 0.

3x

– 7x = 0

Ejemplo – continuación

Solución: (continuación)

3x

_{– 7x = 0}

x

(3x

– 7

) = 0

Por el principio del factor cero

x = 0

_3x

_{– 7}

_{= 0}

3x = 7

𝟑𝒙

𝟑

=

𝟕

𝟑

𝒙 =

𝟕

𝟑

El conjunto solución

es: {0, 𝟕

Ejemplo

Resolver: (2x – 7)2 = 9

2x – 7 =



9

2x =



3+7

Aquí hay dos ecuaciones lineales para

resolver:

2x = 3+7

2x = 10

x = 5

2x = – 3+7 2x = 4

Ejercicios

Resuelva:

1) y2 = 7

2) 3w2 _{= 15}

3) 5y2 _{= 4}

4) (x + 2)2 _{= 10}

5) 3(y - 4)2 _{+ 4 = 6}

Soluciones

6) {− 1₃ , −1}



{ 7, 7}



{ 5, 5}