Dos rectas, r y s, pueden tener un punto en común, ninguno o infinitos. Secantes Paralelas Coincidentes. r r

GEOMETRÍA

1. Puntos y rectas

Los puntos y las rectas son dos de los elementos geométricos fundamentales. Los puntos se nombran con letras mayúsculas: A, B, C,… La recta está formada por infinitos puntos y se nombra con letras minúsculas: r, s, t,…

Un punto A de una recta la divide en El trozo de recta comprendido entre dos puntos se dos semirrectas llama segmento

Dos rectas, r y s, pueden tener un punto en común, ninguno o infinitos.

Secantes Paralelas Coincidentes

r P s r s r s

Tienen un solo punto en común No tienen ningún punto en común Tienen todos los puntos en común

2. Ángulos

Dos rectas secantes dividen el plano en cuatro regiones llamadas ángulos. El punto de intersección de las rectas es el vértice del ángulo, y los lados de este son las dos semirrectas que lo delimitan. Los ángulos se nombran con letras mayúsculas y el símbolo ^ sobre la letra, Aˆ,Bˆ, …

Dos rectas son perpendiculares si al cortarse forman cuatro ángulos iguales, llamados rectos.

2.1. Clasificación de ángulos

Recto Agudo Obtuso Llano

Menor que un ángulo

recto Mayor que un ángulo recto Formado por dos rectos

Convexo Cóncavo

Menor que un ángulo llano Mayor que un ángulo llano 2.2. Relación entre ángulos

Opuestos por el vértice Complementarios Suplementarios

Tienen el vértice en común, y los lados están sobre la misma recta.

Al colocarlos consecutivamente

forman un ángulo recto Al colocarlos consecutivamente forman un ángulo llano

2.2.3. Ángulos iguales

 Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Dˆ Cˆ Bˆ Aˆ = =

 Los ángulos de lados paralelos o son iguales o son paralelos

Aˆ=Bˆ Los ángulos CˆyDˆ son suplementarios 2.3. Medida de ángulos. Operaciones

Cada una de las 90 partes iguales en que se divide un ángulo recto se llama grado, y se representa por el símbolo º. El grado es una de las unidades de medida de ángulos. El grado se divide en otras unidades más pequeñas:

● Minuto: cada una de las 60 partes en que se divide un grado. Se representa con el símbolo ‘. 1º = 60’ ● Segundo: cada una de las 60 partes en que se divide un minuto. Se representa con el símbolo “. 1’ = 60” Una medida de ángulos puede ser expresada en:

● Forma compleja: con más de una unidad. Por ejemplo: Aˆ= 15º 13’ 27 “ ● Forma incompleja: con una sola unidad. Por ejemplo: Bˆ = 54,23º

El transportador de ángulos es un semicírculo graduado que permite construir y medir ángulos.

2.3.1. Operaciones  Suma de ángulos

Para sumar ángulos, sumamos las cantidades correspondientes a las mismas unidades, grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos. Si los minutos o segundos superan los 60, los transformamos en grados o minutos respectivamente.

Ejemplo: Efectúa la suma 4º 25’ 45’’ + 15º 38’ 29’’

Ejemplo.

36º 54’ 45”

+ 2º 13’ 26” 36º 54’ 45” + 2º 13’ 26” = 39º 8’ 11” 38º 67’ 71”

 Resta de ángulos

Para restar ángulos, restamos las cantidades correspondientes a las mismas unidades, empezando por los segundos. Si el minuendo es menor que el sustraendo, transformamos un minuto del minuendo en 60“, que añadimos a los que ya teníamos. Si es necesario haremos lo mismo con los grados.

38º 13’ 41” – 25º 47’ 6” = 12º 26’ 35”  Multiplicación por un número natural

Para multiplicar un ángulo por un número natural, multiplicamos por el número dado cada una de las unidades. Si el resultado de los segundos o los minutos es igual o superior a 60, hay que calcular a cuántas unidades superiores equivalen, para hacer la transformación.

Ejemplo: Efectúa el siguiente producto (23º 21’ 19’’) · 4

Ejemplo.

27º 18’ 34”

x 4

108º 72’ 136” 136” = 2’ 16” , 74’ = 1º 14’ 109º 14’ 16”

 División por un número natural

Para dividir un ángulo por un número natural: 1º Dividimos la unidad de mayor orden entre el número.

2º Multiplicamos el resto de la división por 60 para expresarlo en la unidad inmediatamente inferior y sumamos el resultado a la unidad siguiente.

3. Polígonos

Al unir sucesivamente varios segmentos se forma una línea a que se llama poligonal. Si el origen del primer segmento coincide con el extremo del último se llama línea poligonal cerrada, en caso contrario se llama línea poligonal abierta.

La zona del plano que delimita una línea poligonal cerrada se llama polígono. Alguno de los elementos de un polígono son:

• Lado: cada uno de los segmentos que forman la línea poligonal cerrada. • Vértice: cada uno de los puntos de unión de dos lados

• Ángulo interior: ángulo formado por dos lados

• Diagonal: cada uno de los segmentos que une dos vértices no consecutivos. Suma de los ángulos interiores de un polígono

Al trazar las diagonales de un polígono desde uno de sus vértices queda dividido en triángulos, por lo tanto, la suma de los ángulos interiores coincide con la suma de los ángulos de los triángulos en los que haya quedado dividido el polígono

Cuadrilátero Pentágono Hexágono n lados

Las diagonales trazadas desde un vértice dividen al polígono de n lados en n – 2 triángulos, por lo tanto la suma de los ángulos interiores es: 4 lados ……… 2 triángulos

S = 2 · 180º = 360º 5 lados ……… 3 triángulos S = 3 · 180º = 540º 6 lados ……… 4 triángulos S = 4 · 180º = 720º 3.1. Clasificación de los polígonos

Los polígonos pueden clasificarse según diferentes criterios:  Según los ángulos los polígonos se clasifican en dos grandes grupos:

• Convexos: todos sus ángulos interiores son convexos. • Cóncavos: algún ángulo interior es cóncavo

 Según el número de lados los polígonos se clasifican en:

 Según la igualdad o desigualdad de sus lados los polígonos se clasifican en:

• Irregulares: un polígono es irregular si sus lados o ángulos no son todos iguales

• Regulares: un polígono es regular si todos sus lados y ángulos son iguales. Los polígonos regulares además de los elementos de un polígono en general tienen los siguientes elementos:

 Centro: punto que equidista de los vértices.

 Radio: cualquier segmento que une el centro con el vértice.  Apotema: cualquier segmento que une el centro con el

punto medio de un lado.

 Ángulo central: ángulo determinado por dos radios. El valor del ángulo central de un polígono regular de n lados es

n º 360 4. Triángulos y cuadriláteros 4.1. Clasificación de los triángulos

Si el polígono tiene tres lados se llama triángulo. Los triángulos pueden clasificarse según sus lados y ángulos, obteniéndose los siguientes tipos de triángulos:

Según sus lados

Equilátero Isósceles Escaleno

Todos los lados iguales Dos lados iguales y uno

Según sus ángulos

Acutángulo Rectángulo Obtusángulo

Tres ángulos agudos Un ángulo recto Un ángulo obtuso La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º. Aˆ+Bˆ+Cˆ=180º

4.2. Clasificación de los cuadriláteros

Si el polígono tiene cuatro lados se llama cuadrilátero. Los cuadriláteros pueden clasificarse por el paralelismo y la igualdad de sus lados.

Paralelogramos 2 pares de lados paralelos

Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide

4 lados iguales

4 ángulos rectos Lados paralelos iguales 4 ángulos rectos Ángulos iguales dos a dos 4 lados iguales Ángulos iguales dos a dos Lados paralelos iguales Trapecios

1 par de lados paralelos Ningún lado paralelo Trapezoides

Isósceles Rectángulo Escaleno

Lados no paralelos iguales Dos ángulos rectos Lados y ángulos distintos

A B C D A B C D

5. Circunferencia y círculo

Una circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto fijo llamado centro. La porción del plano que limita una circunferencia se llama círculo.

Los elementos de la circunferencia son:  Centro: punto fijo O

 Radio: segmento que une el centro con cualquier punto de de la circunferencia.

 Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia.  Diámetro: segmento que une dos puntos de la circunferencia que

pasa por el centro

 Arco: cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Cuando la cuerda es el diámetro, el arco que se forma se una semicircunferencia.

6. Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, los lados menores son los que forman el ángulo recto y se llaman catetos. El lado mayor es el opuesto al ángulo recto y se llama hipotenusa.

Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Ejemplo: Halla el lado que falta en cada uno de los siguientes triángulos rectángulos:

a) a2 _{= 5}2 _{+ 12}2 a2 _{= 25 + 144} a2 _{= 169 → a = 169 →a = 13 cm} b) 102 _{= 8}2 _{+ c}2 100 = 64 + c2 100 – 64 = c2 c2 _{= 36 → c = 36 → c = 6 cm}

Ejemplo: Para sostener un poste de 1’5 m de alto, lo sujetamos con una cuerda atada a 2’6 m de la base del poste, como indica la figura. ¿Cuál es la longitud de la cuerda?

l2 _{= 1’5}2 _{+ 2’6}2

l2 _{= 2’25 + 6’76}

l2 _{= 9’01 → l = 9'01 → l = 3’002 m}

La cuerda mide 3’002 m

7. Semejanza.

Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, pero el tamaño es diferente. En figuras semejantes, los segmentos correspondientes son proporcionales. Se llama razón de semejanza r al cociente entre dos longitudes correspondientes.

Una fotografía es una reproducción semejante a la realidad, si hacemos una fotocopia ampliada o reducida obtenemos figuras semejantes a la original, un mapa es una reproducción semejante a la realidad.

Dos polígonos son semejantes cuando sus ángulos correspondientes son iguales, y sus lados, proporcionales.

Ejemplo: En una fotografía, María y Fernando miden 2’5 cm y 2’7 cm, respectivamente; en la realidad, María mide 1’67 m. Calcula la altura de Fernando

m 1'80 mente aproximada mide Fernando 180'36 2'5 2'7 · 167 Fernando de real Altura 2'5 167 2'7 Fernando de real Altura María de foto la en Altura María de real Altura Fernando de foto la en Altura Fernando de real Altura = = ⇒ = =

7.1. Teorema de Thales

Si varias rectas paralelas cortan a dos rectas secantes, los segmentos correspondientes determinados por las rectas paralelas sobre las secantes son proporcionales.

razón de semejanza C' A' AC C' B' BC B' A' AB _{= = =}

Ejemplo: Halla la longitud del segmento BC de la figura

6' 3 1 3 · 2' 1 BC 3 BC 1 2' 1 _{= ⇒ = =}

7.2. Triángulos en posición de Thales

Dos triángulos están en posición de Thales cuando tienen un vértice en común y los lados opuestos a ese vértice son paralelos. Los triángulos en posición de Thales son semejantes.

Los triángulos ABC y AB’C’ están en posición de Thales, comparten el ángulo Aˆ,y los lados BC y B’C’ son paralelos. Por tanto, los triángulos son semejantes: los ángulos son iguales y los lados proporcionales:

' B ' C CB ' C ' A AC ' B ' A AB ' Cˆ Cˆ ' Bˆ Bˆ Aˆ = = = =

7.3. Criterios para determinar la semejanza de triángulos

Para demostrar que dos triángulos son semejantes es suficiente comprobar que se verifica alguno de los siguientes criterios:

• 1er _{criterio: Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.}

• 2º criterio: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman proporcionales.

Ejemplo: Vamos a confirmar que los triángulos de cada pareja son semejantes entre sí aplicando los criterios de semejanza.

Primer criterio Segundo criterio Tercer criterio

Aquí, Aˆ=Aˆ'=81ºy Cˆ=Cˆ'=59º Podemos deducir que:

' B ' C CB ' C ' A AC ' B ' A AB y ' Bˆ Bˆ= = = Como: 0'6 C' B' BC B' A' AB y 74º ' A Aˆ = ˆ = = =

Podemos deducir que:

6 ' 0 ' ' ' ˆ ˆ ; ' ˆ ˆ_{= = =} C A AC y C C B B Al cumplirse que: 0`6 B' C' CB C' A' AC B' A' AB _{= = =}

Podemos deducir que: Cˆ Cˆ ' Bˆ Bˆ ' Aˆ Aˆ= = =

Ejemplo: Los siguientes triángulos se encuentran en posición de Tales. Calcula la medida del lado a.

cm 3 4 12 a 12 a 4 2 6 a 4 a 6 2 4 = = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = El lado a mide 3 cm.

Ejemplo: Averigua lo que mide la sombra del árbol pequeño, x, si el árbol grande mide 7,5 m y dista 8 m del pequeño.

Una forma sencilla de resolver este problema es construir un triángulo en la parte superior semejante al pequeño de la izquierda, según se muestra en la figura.

Aplicando la semejanza de triángulos

cm 4 5 20 a 20 x 5 5 2 8 x 5 x 8 5 2 5 _{= ⇒ ⋅ = ⋅ , ⇒ = ⇒ = =} , La sombra mide 4 cm

ESCALA 1 : 100 000

7.4. Escalas. Mapas, planos y maquetas

Existen diferentes formas de representar la realidad mediante objetos semejantes a los reales, pero más pequeños. Con ellos podemos realizar cálculos y obtener medidas de forma más cómoda.

• Un mapa es la representación gráfica de una zona geográfica.

• Un plano es la representación gráfica de una vivienda o una ciudad.

• Una maqueta es la representación reducida de cualquier objeto, tal como un edificio, un avión, un coche, …

Para trasladar las medidas reales a las del mapa, plano o maqueta es necesario fijar una proporción, denominada escala. La escala es la relación que existe entre una dimensión medida sobre el plano y la misma dimensión medida sobre el terreno real.

realidad la en

Distancia en la representación Distancia

E=

Es muy importante que las dimensiones en el plano y el terreno se expresen en la misma unidad de longitud al definir la escala. Normalmente la escala se suele indicar en los mapas con la notación:

Escala plano : terreno

Por ejemplo, la escala 1 : 100 000 significa que a 1 cm en el plano le corresponden 100 000 cm en la realidad.

Ejemplo: En un mapa cuya escala es 1 : 20 000, dos ciudades están separadas 7cm, ¿cuál es la distancia real entre las dos ciudades?

km 1'4 cm 000 140 000 20 · 7 real distancia real distancia 7 000 20 1 _{= = = =}

La distancia entre las dos ciudades es de 1’4 km

Ejemplo: En el mapa de una zona montañosa se indica que la escala es 1 : 50 000. Calcula la distancia que separa dos refugios en el mapa si en la realidad están a 1’75 km

cm 3'5 000 50 000 75 1 mapa el en distancia 000 75 1 mapa el en distancia 000 50 1 _{= = =}

La distancia en el mapa de los dos refugios será de 3’5 cm 8. Perímetros y áreas

El perímetro de una figura es la suma de las longitudes de sus lados. Esta suma representa una medida de longitud, por ello las unidades utilizadas son el metro y todos sus múltiplos y submúltiplos.

El área de un polígono es la medida de la porción de plano limitada. Las unidades utilizadas para medirla son el m2 _{(metro cuadrado) y sus múltiplos y submúltiplos.}

L

b a h c b h c b a d D L B h b L ap L Triángulo P = a + b + c 2 b.h S= Cuadrado P = 4.L S = L2

Rectángulo P = 2.(a+b) S = a.b

Romboide P = 2.(b+c) S = b.h Rombo P = 4.L 2 D.d S= Trapecio P = B + b + 2·L

(

)

h 2b B S= + ⋅ Polígono regular de n lados P= n·L 2 P.ap S=

r nº r r R r Circunferencia y círculo L = 2πr S = πr2 Arco y sector L = 360ºrnº 2π 360ºnº πr S= 2 Segmento circular

L = Longitud del arco + Longitud de la

cuerda

S = Área del sector- Área del triángulo