Microeconomía II
Federico Weinschelbaum
UdeSA
Subjuegos
Pensemos en el siguiente juego:
Subjuegos
Forma normalA B
PA -1,3 -2,-2
PB 0,0 1,2
-PA 0,0 0,0
-PB 0,0 0,0
Subjuegos
De…nimos los subjuegos como partes del juego que podemos analizar independientemente.
Técnicamente, se empieza con un conjunto informativo que contenga un único nodo y se acoplan todos sus sucesores y solo sus sucesores.Si
x se encuentra en un subjuego, entonces cadax0 2 H(x) también se encuentra en el subjuego
Un equilibrio en subjuego perfecto es un equilibrio de Nash del juego y también de cada uno de los subjuegos que comprende. Por
de…nición es un re…namiento,
Ejemplo: Corrida bancaria
2 agentes depositanD en un banco.
El banco invierte 2D en un proyecto. Si el proyecto madura (tarda 2 períodos) rinde 2R. Si se liquida antes rinde solamente 2r, con
R >D>r > D 2
Si alguno decide retirar en el primer período, el proyecto se liquida. Si ambos retiran, cada uno se lleva r.Si sólo uno retira, se lleva
D mientras que el otro se lleva 2r D.
Ejemplo: Corrida bancaria
Forma normalR R R -R -R R -R -R
R R r,r r,r D,2r D D,2r D
R -R r,r r,r D,2r D D,2r D
-R R 2r D,D 2r D,D R,R 2R D,D
-R -R 2r D,D 2r D,D D,2R D R,R
Ejemplo: Corrida bancaria
Equilibrio en subjuegos perfectoHay dos subjuegos: la segunda parte y el juego completo. Segunda parte:
R -R
R R,R 2R D,R
-R D,2R D R,R
El juego entero es
R -R
R r,r D,2r D
-R 2r D,D R,R
¿En cuáles de los 5 equilibrios de Nash del juego completo jueganR
ambos en la segunda instancia? Dos ESP:
Modelo de negociación I: ultimátum
Hay un peso para repartir. Reglas:
El Jugador 1 propone una repartición(s, 1 s) cons 2[0,1]
El jugador 2 puede aceptar, en cuyo caso los pagos son(s,1 s)o El jugador 2 puede rechazar, en cuyo caso los pagos son(0,0).
Proceso de inducción hacia atrás:
Modelo de negociación II: ultimátum
Si pensamos el mismo problema pero discreto, es decir
s 2 [0,0.01,0.02,0.03, ...,0.98,0.99,1]
Ahora hay dos equilibrios:
Dos acepta siempre que 1 s>0 pero no acepta 1 s=0. El jugador 1 ofreces=0.99.
y el mismo equilibrio que en caso continuo.
Ojo! hay otros equilibrios de Nash en este juego. Ejemplo:
Jugador 2 sólo acepta si 1 s=0.5 Jugador 1 ofreces=0.5
Modelo de negociación III
Ahora el Jugador 1 propone una repartición(s1,1 s1)cons1 2[0,1]
El jugador 2 puede aceptar, en cuyo caso los pagos son(s1,1 s1) o
El jugador 2 puede rechazar, en cuyo caso los pagos son(δs,δ(1 s))
conδ,s 2[0,1)
Por inducción hacia atrás: El jugador 2 acepta si el pago al aceptar 1 s1 es mayor o igual que el pago de rechazar δ(1 s).Es decir
s1 1 δ+δs
El jugador 1 va a ofrecer lo mínimo con tal de que el jugador 1 acepte
s1 =1 δ+δs.Notemos que 1 δ+δs es siempre mayor que δs (el pago del jugador 1 si el jugador 2 lo rechaza.
ESP:
Jugador 2 acepta siempre ques1 1 δ+δs (rechaza caso contrario)
Modelo de negociación IV
El Jugador 1 propone una repartición (s1,1 s1) cons1 2[0,1]
El jugador 2 puede aceptar, en cuyo caso los pagos son(s1,1 s1) o
El jugador 2 puede rechazar, en cuyo caso le toca proponer una repartición(δs2,δ δs2) cons22[0,1].
Jugador 1 debe aceptar, en cuyo caso los pagos son(δs2,δ δs2),o
Modelo de negociación V
Por inducción hacia atrás: Arrancamos con el Jugador 1. Este acepta (pago δs2) o rechaza (pago δ2s). Condición para aceptar:
δs2 δ2s =) s2 δs
Jugador 2 entonces ofrece s2 =δs . Rechazando al Jugador 1, el jugador 2 obtendrá δ(1 δs)si acepta recibe (1 s1).Condición:
(1 s1) δ(1 δs) =) s1 1 δ+δ2s
Modelo de negociación VI
Equilibro en Subjuegos perfecto:
Jugador 1:
Ofreces1 =1 δ+δ2s
Acepta sis2 δs
Rechaza sis2 <δs
Jugador 2:
Acepta sis1 1 δ+δ2s
Rechaza sis1 >1 δ+δ2s
Modelo de negociación VII: Rubinstein
Tasas de descuento posiblemente distintas δ1 yδ2.
Los jugadores se intercalan la oportunidad de proponer el reparto. Jugador 1 puede proponer en los turnos impares (1,3,5,7, ...) el Jugador 2 en los turnos pares (2,4,6,8, ...).
El juego continua siempre que quien no propone rechace, cuando el que no propuso acepta el reparto del otro el juego termina.
Pensemos en el siguiente equilibrio de Nash:
Jugador 1 ofrece siempre(1,0)y acepta sólo si el Jugador 2 ofrece
(1,0).
Jugador 2 acepta cualquier cosa y si tiene que ofrecer ofrece(1,0).
Es equilibrio porque ningún jugador puede mejorar su pago cambiando de estrategia. Sin embargo,
No es creíble que el jugador 1 acepte solo(1,0).Si rechaza, mañana sólo podrá obtener a lo sumo una fracciónδ1.
Modelo de negociación VIII: Rubinstein
De…namos los siguientes valores:
V1:El máximo pago que puede llegar a recibir el Jugador 1 en un ESP
si a el le toca proponer.
V1:El mínimo pago que puede llegar a recibir el jugador 1 en un ESP
cuando le toca ofrecer.
W2:El máximo pago que puede llegar a recibir el Jugador 2 en un
ESP si a el le toca proponer.
W2:El mínimo pago que puede llegar a recibir el jugador 2 en un ESP
Modelo de negociación IX: Rubinstein
Notemos que:
V1 1 δ2W2
W2 1 δ1V1
Entonces :
V1 1 δ2(1 δ1V1)
Despejando :
V1
1 δ2
Modelo de negociación X: Rubinstein
Del mismo modo:
V1 1 δ2W2
W2 1 δ1V1
Entonces :
V1 1 δ2(1 δ1V1)
Despejando :
V1
1 δ2
1 δ1δ2
ComoV1 V1 peroV1 11δ1δδ22 yV1 11δδ12δ2 tiene que ser cierto
que
V1 =V1 =
1 δ2
1 δ1δ2
Del mismo modo,
W2 =W2 =
1 δ1
Modelo de negociación XI: Rubinstein
Equilibrio en subjuegos perfecto:
Jugador 1 ofrece
1 δ2
1 δ1δ2
,1 1 δ2 1 δ1δ2
y acepta sólo si
s2
δ1(1 δ2)
1 δ1δ2
Jugador 2 ofrece
δ1(1 δ2)
1 δ1δ2
,1 δ1(1 δ2) 1 δ1δ2
y acepta sólo si
s1
1 δ2
Modelo de negociación XII: Rubinstein
Resultado observable:
Jugador 1 propone 1 δ2
1 δ1δ2,1
1 δ2
1 δ1δ2
Jugador 2 acepta.
Observaciones:
En equilibrio no hay pérdida de e…ciencia. Se llega al acuerdo inmediatamente, sin perder tiempo.
δ1=1)S1=1
δ2=0)S1=1
δ2=1)S1=0
δ1=0)S1=1 δ2 ventaja de jugar primero
δ1=δ2 )S1= 1+1δ,cuandoδse va a 1 la ventaja por empezar se
achica.
Te va mejor cuanto más paciente sos y cuanto más impaciente es el otro.
