UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES
CARRERA INGENIERÍA ELECTRÓNICA
PROYECTO INTEGRADOR PARA LA OBTENCIÓN DEL
TÍTULO DE GRADO INGENIERO ELECTRÓNICO
“EXTRUSORA DE MONOFILAMENTO PARA
IMPRESIÓN 3D”
Alumno/s
Druetta Boris Manuel y Fazi Franco Exequiel
Director
Ing. Cáceres, Oscar A.
I
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES
CARRERA INGENIERÍA ELECTRÓNICA
PROYECTO INTEGRADOR PARA LA OBTENCIÓN DEL
TÍTULO DE GRADO INGENIERO ELECTRÓNICO
“EXTRUSORA DE MONOFILAMENTO PARA
IMPRESIÓN 3D”
Alumno/s
Druetta Boris Manuel y Fazi Franco Exequiel
Director
Ing. Cáceres, Oscar A.
II
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA
Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales
Escuela de Ingeniería Electrónica
El Tribunal Evaluador reunido en este acto y luego de haber aprobado la Solicitud de Aprobación de Tema y efectuado las distintas instancias de correcciones del Informe del Proyecto Integrador para la obtención del Título de Grado “Ingeniero Electrónico” y cumpliendo con el Reglamento correspondiente, declaran el Informe Final de/l los estudiante/s: Druetta Boris Manuel y Fazi FrancoExequielcomo “aceptado sin correcciones” y la defensa oral Aprobada. Por lo tanto, luego de haber tenido en cuenta los aspectos de evaluación que indica el Reglamento, el Proyecto Integrador se considera Aprobado.
Se firma el Acta de Examen correspondiente y se distribuyen los ejemplares impresos.
Firma y aclaración del Tribunal Evaluador
IV
Agradecimientos
A Mi familia principalmente. Mis padres, los dos pilares que me permiten con su trabajo crecer día a día, y mi hermana que siempre está a mi lado.
A grandes personas que conocí en esta casa. Profesores que me marcaron con su particular pasión por el conocimiento y dedicación a lo largo de esta carrera, el Ing. Ladislao Mathe y el Ing. Mariano Nicotra.
A mis compañeros de estudio y futuros colegas, por compartir incontables experiencias a lo largo de estos años.
A mis familiares y amigos que me apoyaron constantemente y que supieron comprender mi ausencia en reiteradas ocasiones.
Al director del proyecto integrador por su constante guía y acompañamiento en los últimos pasos de mi carrera, el Ing. Oscar Cáceres.
Franco
A mi padre, madre y hermano que fueron los que siempre me apoyaron y motivaron en todo el transcurso de la carrera.
A mis primos y abuelos que me acompañaron en todo momento y me impulsaron a seguir adelante.
A mis amigos y compañeros que me hicieron disfrutar y alegraron esta etapa. A todos los profesores que me transmitieron sus conocimientos, experiencias y pasión por la profesión, en especial al director del proyecto integrador, por su dedicación y apoyo en la parte final de mi carrera, como así también a todos aquellos que dedicaron parte de su tiempo para poder realizar este proyecto.
A todas aquellas personas que de alguna manera hicieron de este camino una gran aventura.
VI
Resumen
En lo que respecta a la tecnología de impresión 3D, uno de los inconvenientes que desalientan a su aplicación por parte de los pequeños productores es el elevado valor económico de la materia prima que se utiliza en el proceso y de su alta tasa de pérdida en el caso de producciones con fallas (se debe desechar por completo una pieza con fallas en el caso de los plásticos, por ejemplo).El uso más eficiente de la materia prima es un punto importante que debe tratarse para impulsar la implementación de la impresión 3D tanto a nivel industrial como doméstico.
Buscando lograr la condición de auto-abastecimiento de materia prima por parte del usuario, planteamos desarrollar y construir una máquina extrusora que sea capaz de producir un monofilamento de material plástico cuyo diámetro sea constante para ser utilizado en una máquina impresora 3D de uso doméstico.
Para lograr estos requerimientos, se diseñará y construirá una máquina que a través de un husillo empuje la materia prima (pellets de plástico) a una velocidad constante y controlada a través de un tubo; el cual tendrá un orificio en un extremo. El último trayecto de este tubo estará a una determinada temperatura, también controlada, que dependerá del tipo de plástico con que se esté trabajando, para poder derretirlo y así generar un filamento a través del orificio de diámetro determinado situado en un extremo.
El usuario tendrá la posibilidad de regular dichas variables de temperatura y velocidad para lograr un filamento de buena calidad y diámetro constante.
Se diseñara la máquina extrusora desde cero, incluyendo sus partes mecánicas hasta sus sistemas eléctricos. Se hará especial hincapié en estos últimos, debido a la naturaleza del presente trabajo, desarrollando detalladamente los sistemas de control de velocidad de giro del husillo y de temperatura de la boquilla de la extrusora.
Área Temática y Asignaturas
Área temática: Sistemas de control
Asignaturas: Sistemas de control, Electrónica Industrial, Electrónica Digital.
Palabras Claves
VII
Abstract
Regarding to the 3D printing technology, one of the obstacle that discourages his application, on the part of the small producers, is the high economic cost of the raw material which is used in the process and his high range of lost due to failed productions (the entire piece should be discarded in case of failure, plastic for example). The most efficient use of the raw material is an important matter that should be treated to impulse the implementation of the 3D printing as much as at the industrial level as domestic.
Looking to achieve the condition of self-supply of the raw material on the part the user, we planned to develop and to build an extruder machine that is capable to produce a monofilament of plastic material, whose diameter is constant, to be used in a 3D machine of domestic use.
To achieve those requirements, it will be designed and built a machine that through a spindle the raw material will be pushed (plastic pellets) at a constant and controlled speed through the tube. The last passage of this tube will be in a determined temperature; also controlled, that will depend on the type of plastic being worked with, to be able to melt it and to generate a filament through the orifice of a certain diameter located in the end.
The user will have the possibility of regulating different variables of temperature and speed to achieve a filament of good quality and constant diameter.
The extruder machine will be designed from scratch, including its mechanics part and its electrical system. Special emphasis will be places in these last, developing in detail the speed control system that controls the spinning of the spindle and the temperature of the extruder nozzle.
Key Words
VIII
Lista de Tablas
Tabla 1--Error en estado estable para distintos tipos de entradas a un sistema ... 23
Tabla 2--Parámetros del husillo ... 36
Tabla 3--Mediciones del sistema de temperatura con materia prima en el interior del pico ... 105
Tabla 4--Mediciones del sistema de temperatura sin materia prima en el interior del pico ... 107
Tabla 5--Mediciones del sistema de velocidad ... 108
Tabla 6--Valores de las resistencias térmicas del Mosfet IRF4905 ... 129
IX
Lista de Figuras
Imagen 2-1 Partes principales de una maquina extrusora ... 4
Imagen 2-2 Partes de un Husillo ... 8
Imagen 2-3 Zonas de funcionamiento en un husillo ... 9
Imagen 2-4Perfil de velocidades para el flujo de arrastre ... 10
Imagen 2-5Perfil de velocidades para el flujo de presión ... 13
Imagen 3-1 Sistema de control a lazo cerrado ... 18
Imagen 3-2 Ejemplo de diagrama de bloques de un sistema ... 19
Imagen 3-3 Grafica de flujo de señal de un sistema, ejemplo ... 19
Imagen 3-4 Sistema con realimentación unitaria ... 20
Imagen 3-5 Respuesta transitoria de un sistema ... 26
Imagen 3-6 Sistema de 2º orden ... 27
Imagen 4-1Extrusora a desarrollar, diagrama general de partes ... 31
Imagen 5-1 Broca y sus dimensiones ... 36
Imagen 5-2 Boquilla extrusora con sus dimensiones ... 38
Imagen 5-3 Barril de extrusión, representación 3D ... 42
Imagen 5-4 Brida, representación 3d ... 43
Imagen 5-5 Husillo, representación 3D ... 43
Imagen 5-6 Boquilla extrusora, representación 3D ... 44
Imagen 5-7 Plato rompedor, representación 3D ... 44
Imagen 5-8 Motor de CC con caja reductora, representación 3D ... 45
Imagen 5-9 Motor MR08B-024022-25, dimensiones físicas ... 45
Imagen 5-10 Motor MR08B-024022-25, características técnicas ... 46
Imagen 5-11 Tacómetro, representación 3D ... 46
Imagen 5-12 Disipador de calor, representación 3D ... 47
Imagen 5-13 Acople motor-husillo, representación 3D ... 47
Imagen 5-15 Parte inferior de tolva, representación 3D ... 48
Imagen 5-17 Soporte aro, representación 3D ... 48
Imagen 5-14 Parte superior de tolva, representación 3D ... 48
Imagen 5-16 Soporte extremo, representación 3D ... 48
Imagen 5-19 Soporte barril, representación 3D ... 49
Imagen 5-20 Soporte tacómetro, representación 3D ... 49
Imagen 5-18 Soporte de motor, representación 3D ... 49
Imagen 5-21 Ensamble de la extrusora, representación 3D... 50
Imagen 6-1 Diagrama de bloques, sistema de temperatura ... 51
Imagen 6-2 Planta del sistema de control de temperatura de la boquilla ... 52
Imagen 6-3Grafica Temperatura de Vs Tiempo de la planta ... 52
Imagen 6-4Simulación de la Ft de planta en Simulink ... 53
Imagen 6-5Respuesta de la planta frente a una entrada escalón ... 54
X
Imagen 6-7 Acondicionador de señal de la termocupla ... 55
Imagen 6-8 Driver de tensión para sistema de control de temperatura ... 55
Imagen 6-9Diagrama de bloques a Lazo abierto ... 56
Imagen 6-10Simulación del ess del sistema en Simulink ... 57
Imagen 6-11ess del sistema frente a una entrada escalón unitaria ... 58
Imagen 6-12Simulación de la salida con error en Simulink ... 58
Imagen 6-13Temperatura alcanzada frente a una entrada escalón ... 59
Imagen 6-14Diagrama de bloques a lazo cerrado del sistema... 59
Imagen 6-15Diagrama de bloques a lazo cerrado del sistema, con ganancia K en lazo directo ... 60
Imagen 6-16Lugar de raíces de la ecuación característica ... 61
Imagen 6-17Respuesta transitoria del sistema ... 62
Imagen 6-18Diagrama de bloques de sistema compensado con compensador P ... 64
Imagen 6-19Respuesta de sistema compensado con compensador P ... 64
Imagen 6-20Diagrama de bloques de sistema compensado con compensador PI .... 66
Imagen 6-21Respuesta de sistema compensado con compensador PI ... 66
Imagen 6-22 Diagrama de bloques de sistema compensado con compensador PI modificado ... 67
Imagen 6-23Respuesta de sistema compensado con compensador PI modificado .. 67
Imagen 6-24Tensión de alimentación de resistencias calentadoras ... 68
Imagen 6-25Lugar de raíces del sistema compensado ... 69
Imagen 7-1Diagrama de bloques, sistema de velocidad ... 70
Imagen 7-2 Motor de CC con caja reductora... 71
Imagen 7-3 Función de transferencia compacta de motor de CC ... 71
Imagen 7-4 Diagrama de bloques de motor de CC ... 72
Imagen 7-5 Medición de la constante de tiempo mecánica de motor de CC... 73
Imagen 7-6 Respuesta de la Ft del motor de CC frente a un escalón ... 73
Imagen 7-7 Tacómetro ... 74
Imagen 7-8 Respuesta del tacómetro frente a un escalón ... 75
Imagen 7-9 Diagrama de bloques del sistema de control de velocidad del husillo... 77
Imagen 7-10 Diagrama de bloques de sistema a lazo cerrado típico ... 77
Imagen 7-11 Diagrama de bloques del sistema con elementos de medición para simulación ... 79
Imagen 7-12 Respuesta del sistema y ess, frente a una entrada escalón ... 80
Imagen 7-13 Lugar de raíces del sistema sin compensar ... 81
Imagen 7-14 Respuesta transitoria del sistema ... 82
Imagen 7-15 Lugar de raíces del sistema compensado, con compensador PI ... 85
Imagen 7-16 Punto deseado de funcionamiento del sistema en el lugar de raíces compensado ... 86
Imagen 7-17 Respuesta del sistema y ess, frente a una entrada escalón ... 87
Imagen 8-1 Placa de desarrollo FreescaleFRDM-KL46Z ... 89
Imagen 8-2 Esquema de implementación del controlador digital ... 91
Imagen 8-3 Señal PWM proporcional a la acción de control del sistema ... 93
Imagen8-4 LCD full graphic smart controller, partes ... 94
XI
Imagen 8-6 Diagrama de tiempos en la comunicación SPI entre el LCD y la FRDM . 96
Imagen 8-7 Pantalla de bienvenida del LCD, diseño en PC ... 96
Imagen 8-8Pantalla de bienvenida del LCD, funcionamiento ... 97
Imagen 8-9 Encoder rotativo KY-040 ... 97
Imagen 8-10 Diagrama de señales de giro del encoder ... 98
Imagen 8-11 Diagrama de flujo del menú, parte 1-4 ... 99
Imagen 8-12Diagrama de flujo del menú, parte 2-4 ... 100
Imagen 8-13Diagrama de flujo del menú, parte 3-4 ... 101
Imagen 8-14Diagrama de flujo del menú, parte 4-4 ... 102
Imagen 9-1 Extrusora modelo final, ensamble completo ... 103
Imagen 9-2 Extrusora modelo final, pico calentador ... 104
Imagen 9-3 1 Extrusora modelo final, motor y tacómetro ... 104
Imagen 9-4 1 Extrusora modelo final, placas electrónicas ... 104
Imagen 9-5 Gráfico Tiempo de Establecimiento Vs. Temperatura inicial ... 106
Imagen 9-6 Gráfico comparativo de los tiempos de establecimientos ... 107
Imagen 9-7 Gráfico Velocidad alcanzada Vs. Velocidad deseada ... 109
Imagen 9-8 Filamento PLA reciclado, triturado ... 110
Imagen 9-9 Filamento PLA extruido, 1ª prueba ... 110
Imagen 9-10 Filamento PLA extruido, 2ª prueba ... 111
Imagen 9-11 Filamento PLA extruido, 3ª prueba ... 111
Imagen 9-12 Filamento PLA extruido, 4ª prueba ... 111
Imagen 9-13 Filamento ABS extruido, 1ª prueba ... 112
Imagen 9-14 Filamento ABS extruido, 2ª prueba ... 112
Imagen 9-15 Filamento ABS extruido, 3ª prueba ... 113
Imagen 9-16 Filamento PLA extruido, imperfecciones y defectos ... 113
Imagen 9-17 Estrés mecánico que sufren los soportes ... 115
Imagen 9-18 Abastecimiento de materia prima en la tolva ... 116
Imagen 9-19 Pantallas del controlador, paso 6 ... 116
Imagen 9-20 Pantallas del controlador, paso 7 ... 117
Imagen 9-21 Pantalla del controlador, paso 8 ... 117
Imagen 9-22 Pantalla del controlador, paso 9 ... 118
Imagen 9-23 Pantallas del controlador, paso 10 ... 118
Imagen 9-24 Pantalla del controlador, paso 11 ... 119
Imagen 9-25 Pantallas del controlador, paso 12 ... 119
Imagen 9-26 Pantalla del controlador, imagen de advertencia... 120
Imagen 9-27 Pantalla del controlador, indicadores ... 120
Imagen Anexo 1 0-1 Circuito integrado AD595 ... 124
Imagen Anexo 1 0-2 Esquema de circuito adaptador de señal de termocupla con CI AD595 ... 125
Imagen Anexo 1 0-3 PCB de circuito adaptador de señal de termocupla con CI AD595 ... 126
Imagen Anexo 1 0-4 Placa armada de circuito adaptador de señal de termocupla con CI AD595 ... 126
XII
Imagen Anexo 1 0-6 PCB de circuito driver de potencia para resistencias
calentadoras ... 128
Imagen Anexo 2 0-1 Esquema de circuito compensador PI ... 132
Imagen Anexo 2 0-2 Esquema de circuito Driver de tacómetro ... 134
Imagen Anexo 2 0-3Esquema de circuito Driver de tacómetro Final ... 135
Imagen Anexo 2 0-4 PCB de circuito compensador PI y driver del tacómetro, vista superior ... 136
Imagen Anexo 2 0-5PCB de circuito compensador PI y driver del tacómetro, vista inferior ... 136
Imagen Anexo 2 0-6 Placa armada de circuito compensador PI y driver del tacómetro ... 137
Imagen Anexo 2 0-7 Esquema de circuito multi vibrador astable ... 138
Imagen Anexo 2 0-8 Esquema de circuito integrador ... 140
Imagen Anexo 2 0-9 Periodo de la señal triangular del oscilador... 141
Imagen Anexo 2 0-10 Esquema de circuito comparador de señales ... 142
Imagen Anexo 2 0-11 Diagrama de señales de entrada y salida del circuito comparador ... 142
Imagen Anexo 2 0-12 Esquema de circuito comparador de señales Final ... 143
Imagen Anexo 2 0-13 Esquema de la lógica interna del CI L298 ... 144
Imagen Anexo 2 0-14 Esquema de circuito de aplicación con el CI L298 ... 144
Imagen Anexo 2 0-15 Circuito térmico equivalente ... 145
Imagen Anexo 2 0-16 Circuito térmico equivalente con el agregado de un disipador ... 146
Imagen Anexo 2 0-17 Disipador de calor seleccionado ... 147
Imagen Anexo 2 0-18 Esquema del circuito eléctrico driver de potencia para motor de CC ... 148
Imagen Anexo 2 0-19 PCB del circuito eléctrico driver de potencia para motor de CC ... 148
Imagen Anexo 2 0-20 Placa armada circuito eléctrico driver de potencia para motor de CC ... 149
Imagen Anexo 3 0-1 Respuesta del motor ante una entrada escalón ... 153
Imagen Anexo 3 0-2 Diagrama de bloques modelo del motor ... 156
Imagen Anexo 3 0-3 Diagrama de bloques real del motor ... 156
Imagen Anexo 4 0-1 Logo de Printalot ... 157
Imagen Anexo 4 0-2 Datos técnicos del PLA 1 ... 158
Imagen Anexo 4 0-3 Datos técnicos del PLA 2 ... 158
Imagen Anexo 4 0-4 Logo de Printalot ... 159
Imagen Anexo 4 0-5 Datos técnicos del ABS 1 ... 159
XIII
Lista de Símbolos y Convenciones
Símbolos y unidades
Ω Ohm – Unidad de resistencia eléctrica
A Ampere – Unidad de Medida de corriente
V Volts – Unidad de medida de tensión o voltaje
N Newton – Unidad de Fuerza
Kgf Kilogramo Fuerza - Unidad de Fuerza
Kg Kilogramo – Unidad de Masa
seg Segundo – Unidad de tiempo
m Metro – Unidad de distancia
Hz Hertz – Unidad de frecuencia en ciclos por segundo
°C Grado Celsius- Unidad de Temperatura
W Watt- Unidad de potencia
Rad/seg Radian por segundo- Unidad de velocidad angular
m,µ,n,p Prefijos 10-3, 10-6, 10-9, 10-12 respectivamente
XIV
Abreviaciones
USB Universal Serial Bus
SPI Serial Peripheral Interface Bus
ADC Conversor analógico digital
RPM Revoluciones por minuto
PWM Pulse width modulation
GND Ground
PID Proportional, integral and derivative controller
LCD LiquidCrystalDisplay
PLA Ácido Poliláctico
ABS Acrilonitrilo butadieno estireno
XV
Índice
Capítulo 1: Introducción ... 1
1.1 Antecedentesbreves del problema ... 1
1.2 Motivación para la elección del tema ... 1
1.3 Objetivos del presente trabajo ... 1
1.4 Orientación al lector en la organización del texto ... 2
1.5 Antecedentes de proyectos similares ... 2
Capítulo 2: Marco teórico de extrusoras de plástico ... 3
2.1 Proceso de extrusión ... 3
2.2 Máquina extrusora... 3
2.3 Elementos constituyentes de una máquina de extrusión ... 4
2.4 Análisis del husillo de una máquina extrusora ... 7
2.4.1 Partes de un husillo ... 7
2.5 Diseño y modelización de un husillo ... 8
2.5.1 Modelo matemático ... 9
2.5.2 Modelo de fusión ... 9
2.5.3 Modelo de presión ... 10
Capítulo 3: Marco teórico de los sistemas de control ... 16
3.1 Definiciones ... 16
3.2 Sistema de control lineal en tiempo continuo ... 18
3.2.1 Diagrama de bloques y grafica de flujo de señal ... 19
3.2.2 Análisis del sistema de control en el dominio del tiempo ... 20
3.2.3 Ecuación característica y estabilidad del sistema ... 24
3.2.4 Análisis de la respuesta transitoria ... 25
3.2.5 Estudio de sistema de 2°orden ... 26
3.2.6 Lugar de raíces de la ecuación característica ... 29
3.2.7 Compensación utilizando el Lugar de Raíces ... 30
Capítulo 4: Identificación y análisis de las partes constituyentes de la maquina ... 31
4.1 Partes constituyentes de la extrusora a desarrollar ... 31
4.1.1 El husillo ... 32
XVI
4.1.3 La tolva de alimentación ... 33
4.1.4 La boquilla ... 33
4.1.5 El sistema motor ... 33
4.1.6 El sistema de calentamiento ... 33
4.1.7 Interfaz humano-maquina ... 34
Capítulo 5: Sistema mecánico de la extrusora, diseño de la estructura ... 35
5.1 Diseño del husillo y cálculo de potencia necesaria del motor ... 35
5.1.1 Calculo de relación L/D Broca ... 35
5.1.2 Producción del Husillo ... 37
5.1.3 Caso del canal cónico ... 38
5.1.4 Caso del canal cilíndrico ... 40
5.2 Diseño y producción de las partes ... 42
5.3 Ensamblado de la parte mecánica ... 50
Capítulo 6: Sistema de control de temperatura de la boquilla ... 51
6.1 Diagrama de bloques del sistema ... 51
6.1.1 Función de transferencia de cada bloque ... 51
6.2 Función de transferencia de lazo abierto ... 56
6.3 Análisis en el dominio del tiempo ... 56
6.3.1 Error en estado estable ... 56
6.4 Función de transferencia de lazo cerrado ... 59
6.5 Ecuación característica y estabilidad del sistema ... 60
6.6 Respuesta a lazo cerrado ... 61
6.6.1 Respuesta transitoria del sistema ... 61
6.7 Compensación del sistema ... 62
Capítulo 7: Sistema de control de velocidad del husillo ... 70
7.1 Diagrama de bloques del sistema ... 70
7.1.1 Función de transferencia de cada bloque ... 70
7.2 Función de transferencia de lazo abierto ... 77
7.3 Análisis en el dominio del tiempo ... 78
7.3.1 Error en estado estable ... 78
7.4 Función de transferencia de lazo cerrado ... 80
7.5 Ecuación característica y estabilidad del sistema ... 81
7.6 Respuesta a lazo cerrado ... 82
XVII
7.7 Compensación del sistema ... 83
Capítulo 8: Interfaz de control de la extrusora ... 89
8.1 Sistemas implementados digitalmente en la FRDM ... 90
8.2 Controlador de temperatura digital ... 90
8.3 Menú interactivo ... 93
8.3.1 Comunicación ... 94
8.3.2 Pantallas ... 96
8.3.3 Manejo del encoder ... 97
8.3.4 Botón de stop... 98
8.3.5 Buzzer ... 98
8.3.6 Diagrama de flujo del menú ... 98
Capítulo 9: Descripción del modelo experimental ... 103
9.1 Prueba del sistema de temperatura del pico ... 105
9.1.1 Extrusión de filamento con materia prima en el interior del pico ... 105
9.1.2 Extrusión de filamento sin materia prima en el interior del pico ... 107
9.2 Prueba del sistema de velocidad del husillo ... 108
9.3 Pruebas del proceso de extrusión de filamento ... 109
9.3.1 Extrusión de filamento a diferentes temperaturas... 109
9.3.2 Extrusión de filamento con y sin plato rompedor ... 114
9.4 Manual de instrucciones ... 115
Conclusiones ... 121
Bibliografía y referencias ... 123
Anexo 1: implementación del controlador de temperatura ... 124
Acondicionador de señal de la termocupla ... 124
Driver de potencia para las resistencias calentadoras ... 127
Anexo 2: Implementación del controlador de velocidad ... 132
Compensador PI de velocidad ... 132
Driver del Tacómetro ... 134
Driver de potencia del motor de CC ... 137
Anexo 3: obtención de los parámetros del motor de CC ... 150
Anexo 4: Hoja de datos de la materia prima ... 157
Anexo 5: Hojas de datos ... 161
Anexos del Proyecto Integrador ... 162
XVIII
1
Capítulo 1: Introducción
1.1 Antecedentes breves del problema
La tecnología de impresión 3D ha avanzado enormemente los últimos años, convirtiéndose en una valiosa herramienta para el proceso de diseño y prototipado de productos aplicables a un sin fín de áreas industriales (desde la medicina hasta la automotriz), trabajando con una enorme variedad de materiales (metales, plásticos, alimentos, cementos, tejidos vivos, entre otros) y escalas de producción (desde uso industrial hasta uso doméstico). Sin embargo, uno de los puntos más débiles que desalientan a su aplicación es el elevado valor económico de la materia prima y de su alta tasa de pérdida en el caso de que una pieza producida salga con fallas (se desecha por completo la pieza en el caso de los plásticos, por ejemplo).
1.2 Motivación para la elección del tema
El uso más eficiente de la materia prima para la impresión 3D es uno de los aspectos sobre los cuales creemos que se debe trabajar aún más en el mundo de esta tecnología para impulsar su utilización tanto a nivel industrial como doméstico, buscando en este último caso lograr la condición de auto-abastecimiento de materia prima por parte del usuario quien debe ser capaz de producir su propio filamento; ya sea a partir de materia prima virgen o de piezas defectuosas recicladas.
1.3 Objetivos del presente trabajo
General:
Desarrollar y construir una máquina que sea capaz de extruir un monofilamento de material plástico cuyo diámetro sea constante para ser utilizado en una máquina impresora 3D.
Particulares:
2
Diseñar y construir las distintas partes electrónicas que componen a la máquina (Controladores digitales y analógicos, drivers de potencia para motor y sistema de calentamiento, interfaz con el usuario, entre otros).
Se adoptara como criterio de diseño, realizar una máquina robusta y de bajo costo para facilitar el acceso de los usuarios de impresoras 3D a la misma.
Dicha máquina deberá poder controlar la temperatura y velocidad de extrusión del filamento de plástico que produce, pudiendo ser capaz de trabajar con distintos materiales derivados como ABS, PLA, PET, entre otros
1.4 Orientación al lector en la organización del texto
A lo largo del desarrollo del presente trabajo, se detallarán las etapas y procedimientos de diseño y construcción de una extrusora de monofilamento para su aplicación en la impresión 3d.
Se comenzará explicando la constitución global de la máquina en cuestión y el detallado funcional de cada una de sus etapas o partes, acompañado con un marco teórico correspondiente en cada caso. Luego, estas etapas se irán desarrollando individualmente a lo largo del trabajo, incluyendo cuestiones importantes como información de diseño, simulaciones, construcción y pruebas de cada una en cuestión.
1.5 Antecedentes de proyectos similares
3
Capítulo 2: Marco teórico de extrusoras de plástico
2.1 Proceso de extrusión
La palabra “extrusión” viene de los vocablos latinos “ex” y “trudere”, que significan, fuerza y empujar. La extrusión de plásticos puede definirse como:
“Proceso de obtención de un plástico de longitudes determinadas con una sección transversal constante, a partir del paso obligado a través de una boquilla bajo condiciones controladas de temperatura y presión de la materia prima; que se encuentra en estado sólido originalmente”
La materia prima puede presentarse en varias formas dependiendo principalmente de la utilización y el diseño de la extrusora. Una de las formas más conocidas de los polímeros es la de pellets, los cuales son pequeños y sólidos cilindros que se obtienen de un proceso anterior de la materia prima, conocido como pelletizado.
El proceso de extrusión es conformado por dos etapas principales: el transporte del material sólido hacia la boquilla y la conformación del material al pasar por la boquilla, después de estar en un estado de fusión. Es un proceso continuo en el que el polímero es fundido por la acción de temperatura y fricción, es forzado a pasar por un dado que proporciona una forma definida y luego enfriado para evitar deformaciones permanentes.
La calidad del producto depende del comportamiento del polímero a través del tiempo y del paso del estado sólido a un estado de fusión. Esto se logra controlando las variables del proceso: presión, temperatura y velocidad del husillo.
2.2 Máquina extrusora
En toda línea de extrusión, el elemento primario y más importante es la extrusora. Esta debe cumplir tres requisitos principales:
Transportar continuamente la materia prima de un estado sólido a un estado de fundición.
A medida que es transportado por medio del tornillo extrusor, el material debe irse fundiendo continuamente.
4
Básicamente, una extrusora consta de un eje metálico central con espiras helicoidales llamado husillo o tornillo, instalado dentro de un cilindro metálico revestido con una camisa de resistencias eléctricas. En un extremo del cilindro se encuentra un orificio de entrada para la materia prima, donde se instala una tolva de alimentación, generalmente de forma cónica. En ese mismo extremo se encuentra el sistema de accionamiento del husillo, compuesto por un motor y un sistema de reducción de velocidad. En la punta del tornillo se ubica la salida del material y el dado que forma finalmente el plástico semi elaborado.
2.3 Elementos constituyentes de una máquina de extrusión
Toda máquina de extrusión se compone principalmente de cinco partes esenciales: tolva de alimentación, cilindro, sistema motriz, cabezal y tornillo.
Imagen 2-1 Partes principales de una maquina extrusora
Tolva de alimentación
Es el depósito de materia prima, donde se colocan los pellets para la alimentación contínua del extrusor. Debe tener las dimensiones adecuadas para ser completamente funcional. Los diseños mal planeados, principalmente en los ángulos de bajada de material, pueden provocar estancamientos de material y paros en la producción.
5
el problema, la tolva tipo Cramer es la única que puede obligar a la materia prima a fluir, empleando un tornillo para lograr la alimentación.
La entrada después de la tolva abarca una longitud de tornillo por lo menos igual a un diámetro de este, su sección transversal puede ser circular o rectangular.
Cilindro o barril
Es un cilindro metálico que aloja al husillo en su interior. Debe tener una compatibilidad y resistencia al material que esté procesando, es decir, ser de un metal con la dureza necesaria para reducir al mínimo cualquier desgaste. Esta dureza se consigue utilizando aceros de diferentes tipos y, cuando es necesario, se aplican métodos de endurecimiento superficial de las paredes internas, que son las que están expuestas a los efectos de la abrasión y la corrosión durante la operación del equipo.
Esta parte junto con el tornillo extrusor; proveen la fricción necesaria para que, con el paso del tiempo, el material polimérico vaya siendo fundido uniformemente. El cilindro cuenta con resistencias eléctricas que proporcionan una parte de la energía térmica que el material requiere para ser fundido. Este sistema de resistencias, en algunos casos se complementa con un sistema de enfriamiento que puede ser un flujo de líquido o por ventiladores de aire. Todo el sistema de calentamiento es controlado desde un tablero o central, donde las temperaturas de proceso se establecen en función del tipo de material y del producto deseado.
Para la mejor conservación de la temperatura a lo largo del cilindro y la prevención de cambios en la calidad de la producción por variaciones en la temperatura ambiente, se acostumbra aislar el cuerpo del cilindro con algún material de baja conductividad térmica como la fibra de vidrio o el teflón.
La experiencia ha demostrado que el cilindro debe poseer una longitud alta para que se pueda alcanzar a fundir totalmente el material con el del tiempo. La longitud está definida por la relación largo-diámetro (L/D); la cual debe ser entre 20 y 24 , ya que para relaciones mayores a 24 se presentan problemas ingenieriles de construcción debido a la torsión del tornillo cuando gira a grandes velocidades (RPM). La longitud del cilindro se mide desde el plato rompedor hasta la parte posterior de la garganta de alimentación, y su diámetro considerado es el diámetro interno.
Debido a la fricción generada entre el cilindro y el tornillo, estos dos elementos deben ser construidos con materiales con propiedades mecánicas buenas y alta resistencia el desgaste.
Cabezal
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la boquilla. Lo más aconsejable es evitar perfiles con un ángulo excesivamente convergente. Como regla general, cuanto mayor es la viscosidad del termoplástico fundido más agudo debe ser el ángulo del perfil para adaptarlo a las líneas de flujo del material.
Boquilla
Es la pieza fundamental del cabezal. Sirve para dar la conformación final del material plástico al perfil deseado y debe estar proyectada de manera que permita a la masa plástica estar en una zona de reposo para así poder conformar el perfil deseado.
A través de la boquilla fluye el material fundido, el polímero, sumamente viscoso y de características no newtonianas, por lo que la relación entre la viscosidad y la velocidad de cizalladura no es lineal en esta zona.
Plato rompedor
Está ubicado en el final del barril, debe tener un ancho suficiente para evitar el contacto entre este y el cabezal, pero igual su ajuste debe evitar la salida de material por lugares indeseados. Está constituido por un anillo robusto de acero generalmente, que rodea a un grueso plato del mismo material; éste va taladrado con un número variable de agujeros dependiendo del uso, el diámetro de estos agujeros varía entre 3 a 5 mm.
El plato rompedor cumple varias funciones: ayuda a aumentar la presión, el flujo rotacional del plástico fundido procedente de la zona de dosificación del tornillo es transformado en flujo lineal paralelo al eje del tornillo, detiene muchas impurezas y material no plastificado.
Muchas veces la cara del plato rompedor que mira al tornillo lleva un chaflán que permite un ajuste para evitar zonas muertas para el material.
Husillo
Gracias a los intensos estudios del comportamiento del flujo de los polímeros, el husillo o tornillo ha evolucionado ampliamente con el auge de la industria plástica, hasta el grado de convertirse en la parte que contiene la mayor tecnología dentro de una máquina de extrusión. Por ello, es la pieza que en alto grado determina el éxito de una operación de extrusión.
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2.4 Análisis del husillo de una máquina extrusora
Para realizar un correcto diseño del husillo para una determinada máquina extrusora, es necesario tener en cuenta cada una de las variables o partes que lo componen.
2.4.1 Partes de un husillo
Alabes o filetes:
Los alabes o filetes, que recorren el husillo de un extremo al otro, son los verdaderos impulsores del material a través del barril. Las dimensiones y formas que éstos tengan, determinarán el tipo de material que se pueda procesar y la calidad de mezclado de la masa al salir del equipo.
Profundidad del filete en la zona de alimentación:
Es la distancia entre el extremo del filete y la parte central o raíz del husillo. En esta parte, los filetes son muy pronunciados con el objeto de transportar una gran cantidad de material al interior de la extrusora.
Profundidad del filete en la zona de dosificación:
En la mayoría de los casos es mucho menor la profundidad de filete en la alimentación. Esto tiene como consecuencia la reducción del volumen del material que es transportado, ejerciendo una compresión adicional. Esta compresión es útil para mejorar el mezclado del material y para la expulsión del aire que entra junto con la materia prima alimentada.
Relación de compresión:
Como las profundidades de los filetes no son constantes, las diferencias se diseñan dependiendo del tipo de material a procesar ya que los plásticos tienen comportamientos distintos al fluir. La relación entre la profundidad del filete en la alimentación y la profundidad del filete en la descarga, se denomina relación de compresión. El resultado de este cociente es siempre mayor a uno y puede llegar incluso hasta 4.5 en algunos materiales.
Longitud:
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consecuentemente la del extrusor, también aumenta la capacidad de plastificación y la productividad de la máquina.
Otro aspecto que se mejora al incrementar la longitud es la calidad de mezclado y homogeneización del material.
Diámetro:
Esta dimensión que influye en la capacidad de producción de la máquina y generalmente crece en proporción con la longitud del equipo. A diámetros mayores, la capacidad en kg/hr es presumiblemente superior. Al incrementar esta dimensión debe hacerlo también la longitud de husillo, ya que el aumento de la productividad debe ser apoyada por una mejor capacidad de plastificación.
Como consecuencia de la importancia que tienen la longitud y el diámetro del equipo, y con base en la estrecha relación que guardan entre sí, se acostumbra especificar las dimensiones principales del husillo como una relación longitud/diámetro (L/D).
Imagen 2-2 Partes de un Husillo
2.5 Diseño y modelización de un husillo
Como se mencionó anteriormente, el tornillo es la pieza más importante de la extrusora. Es por eso que debe existir todo un proceso de análisis y diseño del mismo en función de los materiales que se pretende extruir.
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2.5.1 Modelo matemático
La fusión del polímero dentro de la extrusora se realiza a través del transporte de éste, desde la tolva hasta la boquilla. En realidad, el proceso de fusión se da en el transcurso del tornillo extrusor por cada una de las 3 zonas que se pueden distinguir en la extensión del tornillo: zona de alimentación, zona de compresión y zona de dosificación.
En cada una de estas ocurre un proceso que contribuye a la homogénea y rápida fusión del polímero. A continuación se mostrará un diagrama en el cual se resume cada una de las funciones de cada zona. El comportamiento global de la máquina depende desde luego del buen funcionamiento de estas variables.
Imagen 2-3 Zonas de funcionamiento en un husillo
La variable más importante que se considera en este modelo, de la cual depende el volumen de producción y eficiencia de la extrusora, es el flujo volumétrico. En realidad, este flujo es un caudal que está relacionado directamente con la velocidad del flujo y el área del barril. Esta variable es la determinante en la velocidad de la línea de producción y la eficiencia de esta.
2.5.2 Modelo de fusión
Este modelo considera un trozo sólido homogéneo e isotrópico de un polímero el cual está contenido en un canal que tiene un ancho. Se considera que una placa caliente en constante movimiento irá empujando el polímero con unas condiciones estables de velocidad y temperatura. El problema es analizado en dos dimensiones ya que la temperatura y la velocidad son funciones de las coordenadas x e y solamente.
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variable es desconocida, y es uno de los principales objetivos a conocer por medio del modelo.
2.5.3 Modelo de presión
El modelo de presión considera principalmente dos flujos los cuales han de ser tenidos en cuenta para el modelamiento matemático del problema: el flujo de arrastre (𝑉 𝑎), debido a la fricción del material entre la superficie del barril y las hélices del
tornillo. Este flujo es el responsable del transporte del material desde la tolva alimentadora hasta el cabezal. El segundo flujo considerado, es el de presión o de retroceso (𝑉 𝑝) opuesto al anterior y generado por la presión originada en el cabezal de
la máquina extrusora, específicamente por la boquilla o por el plato rompedor; estos dos flujos son los encargados de darle forma el flujo volumétrico en la máquina extrusora.
𝑉 = 𝑉 𝑎− 𝑉 𝑝 (2-1)
Flujo de arrastre
El flujo de arrastre tiene lugar debido a que el material fundido en los canales del tornillo se adhiere a las paredes internas del cilindro y al propio tornillo en rotación. Consideremos un flujo de arrastre donde el cambio de presión para un fluido newtoniano.
La velocidad del barril está definida como:
𝑉𝑏𝑍 = 𝑉𝑏cos 𝜑 (2-2)
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El flujo volumétrico se analiza bidimensionalmente (plano yz) para facilidad de análisis y cálculo. Se supone el caso en que la velocidad del tornillo es cero y el barril posee velocidad, llamada velocidad del barril, la velocidad de flujo se incrementa en las proximidades del barril. El esfuerzo de corte es contrario al sentido de la velocidad debido a que estas son inversamente proporcionales.
Integrando la velocidad a ambos lados se obtiene:
γ =dV dY
(2-3)
𝑉 = γ 𝑌 + 𝐶1 (2-4)
Al evaluar 𝑌 = 0 y 𝑉 = 0, se obtiene que 𝐶1 = 0 Cuando 𝑌 = 𝐻, se halla:
γ =V Y
(2-5)
En términos generales:
𝑉 = 𝑉 𝐴 (2-6)
Con el area 𝐴 = 𝑊𝐻
En donde 𝑉 es el flujo volumétrico, 𝑉 la velocidad media, 𝑊 el ancho del canal y
𝐻 la altura de este.
Por otro lado, se plantea el esfuerzo de corte en un fluido Newtoniano 𝜎 como:
𝜎 = 𝜂 γ (2-7)
𝜎 = 𝜂 dV dY = 𝐶𝑜
(2-8)
12
𝜂𝑉 = 𝐶𝑜𝑌 + 𝐶1 (2-9)
Al evaluar 𝑌 = 0 y 𝑉 = 0, se obtiene que 𝐶1 = 0
𝑉𝑍= 𝐶𝑜
𝜂 𝑌
(2-10)
Si se evalúa 𝑌 = 𝐻 y 𝑉 = 𝑉𝐵, se tiene:
𝐶𝑜 =𝑉𝐵 𝐻 𝜂
(2-11)
Reemplazando, se obtiene la velocidad en el eje z como:
𝑉𝑍 = 𝑉𝐵𝑍 𝐻 𝑌
(2-12)
Por medio del teorema de Navier-Stokes, se halla la velocidad media:
𝑉 = 𝑉 𝐻 𝐻 0 𝑑𝑌0𝐻 =
𝑉𝐵𝑍 2
(2-13)
Se reemplaza en la ecuación (2-6) encontrando la velocidad de arrastre:
𝑉 𝑎 = 𝑉𝐵𝑍
2 ∗ 𝑊𝐻 ∗ 𝐹𝑑
(2-14)
Donde 𝐹𝑑es el factor de dimensión y está definido por:
𝐹𝑑 = 1 − 0.571 𝐻 𝑊
(2-15)
Reemplazando 𝑉𝐵𝑍, se obtiene finalmente la velocidad de arrastre como:
𝑉 𝑎 = 1
2𝑉𝑇cos 𝜑 ∗ 𝑊𝐻 ∗ 𝐹𝑑
13 Flujo de presión
Para simplificar la teoría se hacen algunas suposiciones tales como asumir que el diámetro del tornillo es mucho mayor que la profundidad del canal (H<<D), así mismo se supone que el fondo del canal y el cilindro son dos placas paralelas fijas.
Imagen 2-5Perfil de velocidades para el flujo de presión
Debido al efecto de la presión ejercida por el tornillo sobre el material, obliga al mismo a fluir entre las placas paralelas fijas, el cilindro y el tornillo; las otras consideraciones hechas son las siguientes:
La velocidad del fluido es igual a cero en la pared del canal y en las cercanías del tornillo.
El fluido es independiente del tiempo, es decir que no cambia con el tiempo.
El patrón de flujo es constante a todo lo largo del canal
El flujo es isométrico
Se debe partir de la ecuación del movimiento, la cual se resume a:
−𝑑𝑃 𝑑𝑍−
𝑑𝜏𝑌𝑍 𝑑𝑌 = 0
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Integrando a ambos lados, se obtiene:
𝜏𝑌𝑍 = 𝑑𝑃
𝑑𝑍 𝑑𝑌 + 𝐶1
(2-18)
Al evaluar 𝑌 = 0 y 𝜏𝑌𝑍 = 0, se obtiene que 𝐶1 = 0
Reemplazando el esfuerzo de corte 𝜎 en esta última ecuación e integrando, se obtiene:
𝑉𝑍 = −𝑑𝑃 𝑑𝑍 𝑌2 2𝜂+ 𝐶2 𝜂 (2-19)
Igualando a cero, se obtiene:
𝐶2 = 𝑑𝑃 𝑑𝑍
𝐻2 8𝜂
(2-20)
Reemplazando esta constante, se obtiene:
𝑉𝑍 =𝑑𝑃 𝑑𝑍
𝐻2 8𝜂[1 −
4𝑌2 𝐻2]
(2-21)
Por medio del teorema de Navier-Stokes, se halla la velocidad media:
𝑉 𝑧 =
2 0𝐻/2𝑉𝑧 𝑑𝑌 2 0𝐻/2 𝑑𝑌
(2-22)
Luego de resolver y evaluar se reemplaza en la ecuación (2-6), obteniendo el flujo de presión:
𝑉 𝑃 =𝑑𝑃 𝑑𝑍
𝑊𝐻3 12𝜂 𝐹𝑝
(2-23)
15 𝐹𝑝 = 1 − 0.625𝐻
𝑊
(2-24)
Teniendo los dos flujos involucrados en el transporte del material y al reemplazar las ecuaciones, se obtiene la ecuación para un flujo unidireccional de un canal desarrollado para un Fluido newtoniano1.
𝑉 =1
2𝑉𝑇cos 𝜑 ∗ 𝑊𝐻 ∗ 𝐹𝑑 − 𝐹𝑝 𝑊𝐻3
12𝜂 𝑑𝑃 𝑑𝑍
(2-25)
El modelo de presión hará uso de esta última ecuación para el cálculo de la variación de la presión dentro del canal del tornillo, en donde (W) varía de acuerdo con el perfil de fusión, y (H) puede permanecer constante en las zonas cilíndricas del tornillo y variar en la zona de compresión o transición.
1
16
Capítulo 3: Marco teórico de los sistemas de control
3.1 Definiciones
Variable controlada y señal de control
La variable controlada es la cantidad o condición que se mide y controla. La señal de control o variable manipulada es la cantidad o condición que el controlador modifica para afectar el valor de la variable controlada. Normalmente, la variable controlada es la salida del sistema. Controlar significa medir el valor de la variable controlada del sistema y aplicar la variable manipulada al sistema para corregir o limitar la desviación del valor medido respecto del valor deseado.
Planta
Una planta puede ser una parte de un equipo, tal vez un conjunto de los elementos de una máquina que funcionan juntos, y cuyo objetivo es efectuar una operación particular.
Proceso
Un proceso es una operación o un desarrollo natural progresivamente continuo, marcado por una serie de cambios graduales que se suceden unos a otros de una forma relativamente fija y que conducen a un resultado o propósito determinados; o una operación artificial o voluntaria que se hace de forma progresiva y que consta de una serie de acciones o movimientos controlados, sistemáticamente dirigidos hacia un resultado o propósito determinado.
Sistema
Un sistema es una combinación de componentes que actúan juntos y realizan un objetivo determinado. Un sistema no está necesariamente limitado a los sistemas físicos. El concepto de sistema se puede aplicar a fenómenos abstractos y dinámicos.
Perturbación
17 Diagrama de bloques
Un diagrama de bloques se puede utilizar simplemente para describir la composición e interconexión de un sistema. O se puede emplear, junto con funciones de transferencia, para describir las relaciones causa y efecto a través de todo el sistema. Si se conoce la relación matemática y funcional de todos los elementos del sistema, el diagrama de bloques se puede emplear como una herramienta para obtener la solución analítica o por computadora del sistema.
Función de transferencia
La función de transferencia de un sistema lineal invariante con el tiempo se define como la transformada de Laplace de la respuesta al impulso, con todas las condiciones iniciales iguales a cero.
Está definida solamente para un sistema lineal invariante con el tiempo. No está definida para sistemas no lineales.
Función de transferencia de lazo abierto
La función de transferencia de lazo abierto de un sistema, describe el comportamiento de la variable de salida frente a una entrada determinada, sin existir realimentación alguna. Por este motivo, es de gran importancia su estudio, para poder conocer el comportamiento del sistema en su estado natural, observando las variables y sus evoluciones a lo largo del tiempo; para diseñar un controlador que permita adaptar la respuesta natural del sistema a una respuesta que el diseñador quiera por algún motivo en particular.
Función de transferencia de lazo cerrado
Lo que hace falta en el sistema de control en lazo abierto para que sea más exacto y más adaptable es una conexión o realimentación desde la salida hacia la entrada del sistema, para poder comparar la señal de salida con la entrada de referencia y enviar una señal actuante proporcional a la diferencia de las mismas a través del sistema para corregir el error que el mismo puede presentar en su estado natural. Sistemas con estas características, se denominan sistemas de control rea realimentado en lazo cerrado.
La reducción del error del sistema es solo uno de los efectos más importantes que la realimentación realiza sobre el mismo, pero se puede demostrar que también tiene efectos en las características del desempeño del sistema como la estabilidad, ancho de banda, ganancia global, perturbaciones y sensibilidad.
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Imagen 3-1 Sistema de control a lazo cerrado
La función de transferencia a lazo cerrado es:
𝐹(𝑠) = 𝐺(𝑠) 1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)
(3-1)
Tipos de sistemas de control realimentados
Los sistemas de control realimentados se pueden clasificar de diversas formas, dependiendo del propósito de la clasificación. Por ejemplo, de acuerdo al método de análisis y diseño, los sistemas de control se clasifican en lineales y no lineales, variantes o invariantes con el tiempo. De acuerdo con los tipos de señales usados en el sistema, se pueden encontrar los sistemas en tiempo continuo y sistemas en tiempo discreto, o sistemas modulados y no modulados. [1]
En general, existen muchas formas de identificar un sistema de control de acuerdo con alguna función especial del sistema.
3.2 Sistema de control lineal en tiempo continuo
Luego de haber planteado los conceptos básicos, se plantea uno de los tantos métodos existentes para diseñar un sistema de control en tiempo continuo. Más específicamente, estudiar el comportamiento de un sistema dado para diseñar un controlador que le brinde un comportamiento deseado al sistema en cuestión.
Como primer punto, debe plantearse el sistema de análisis en general y todas sus partes, para luego obtener las funciones de transferencias de cada una y así poder realizar un modelo matemático del mismo, planteado su diagrama de bloques.
19
3.2.1 Diagrama de bloques y grafica de flujo de señal
Un diagrama de bloques se puede utilizar para describir la composición e interconexión de las distintas partes de un sistema. Junto con las funciones de transferencia, se puede utilizar para describir las relaciones de causa y efecto a través de todo el sistema.
Cada bloque representa, mediante la función de transferencia, a una parte del sistema. La unión entre los distintos bloques con flechas representa la relación entre dichas partes
Imagen 3-2 Ejemplo de diagrama de bloques de un sistema
La gráfica de flujo de señal, se trata de una versión simplificada de un diagrama de bloques y se encuentra restringida por reglas matemáticas más rígidas que este, por lo que las hace un método bastante útil para resolver sistemas de manera algebraica.
Su gráfica involucra nodos, que se utilizan para representar las variables del sistema. Estos están conectados por segmentos lineales llamados ramas, de acuerdo con las relaciones de causa y efecto Las ramas tienen ganancias y direcciones asociadas. Una señal se puede transmitir a través de una rama solamente en la dirección de la flecha.
20
3.2.2 Análisis del sistema de control en el dominio del tiempo
Para analizar a un sistema; una señal de entrada de referencia se aplica al mismo. De esta manera, el comportamiento de este se conoce al estudiar su respuesta en el dominio del tiempo.
La respuesta en el tiempo de un sistema de control se divide normalmente en dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta en estado estable. [2]
La respuesta transitoria
Se define como la parte de la respuesta en el tiempo que se hace cero cuando el tiempo tiende a infinito.
𝑦 𝑡 = 𝑦𝑡 𝑡 + 𝑦𝑠𝑠(𝑡) (3-2)
La respuesta en estado estable
Es la parte de la respuesta total que permanece después que la transitoria se ha desvanecido.
Uno de los objetivos de la mayoría de los sistemas de control es que la respuesta de salida del sistema siga una señal de referencia específica en forma exacta en el estado estable. La diferencia entre la salida y la referencia en este estado, se conoce como el error en estado estable.
𝑒 𝑡 = 𝑠𝑒ñ𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 − 𝑦(𝑡) (3-3)
En el caso de sistemas con realimentación unitaria, como el de la Imagen 3-4, se puede presentar el error en estado estable a partir de su diagrama de bloques de la forma:
21 𝑒𝑠𝑠 = lim
𝑡→∞𝑒(𝑡) = lim𝑆→0𝑆. 𝐸(𝑆) = lim𝑆→0𝑆.
𝑅(𝑆)
1 + 𝐺(𝑆) (3-4)
Con 𝐸(𝑆) siendo la transformada de Laplace con condiciones iniciales nulas, de
𝑒(𝑡).
Claramente 𝑒𝑠𝑠 depende de las características de 𝐺(𝑆), más específicamente del número de polos en S=0 que tenga la misma. Este número se conoce como el tipo de un sistema de control, o simplemente, tipo del sistema. Por lo tanto, podemos decir que el 𝑒𝑠𝑠 depende del tipo de sistema de control que se esté analizando.
En un problema de diseño, uno de los objetivos es mantener el error en estado estable al mínimo, o por debajo de cierto valor tolerable, y al mismo tiempo hacer que la respuesta transitoria satisfaga cierto conjunto de especificaciones.
Para evaluar el desempeño del sistema de control y obtener la respuesta en el tiempo del mismo, se los someten a ciertas señales de pruebas de entrada apropiadas que permiten la predicción del comportamiento del sistema frente a otras más complejas. Estas señales de pruebas típicas son 3:
Entrada función escalón
Representa un cambio instantáneo en la entrada de referencia.
𝑟 𝑡 = 𝑅. 𝑢𝑠(𝑡) (3-5)
Con 𝑅 una constante real.
Revela que tan rápido responde un sistema a entradas con cambios abruptos. Es equivalente a la aplicación de un sin número de señales senoidales con un intervalo de frecuencias grandes.
Por conveniencia se define la constante de error escalón, o posición, como:
𝐾𝑃 = lim𝑆→0𝐺(𝑆) (3-6)
22 𝑒𝑠𝑠 = 𝑅
1 + 𝐾𝑃 (3-7)
Entrada función rampa
Es una señal que cambia constantemente con el tiempo.
𝑟 𝑡 = 𝑅. 𝑡. 𝑢𝑠(𝑡) (3-8)
Con 𝑅 una constante real.
Se utiliza para probar como responde el sistema a señales que cambian linealmente con el tiempo.
Por conveniencia se define la constante de error rampa, o velocidad, como:
𝐾𝑣 = lim𝑆→0𝑆. 𝐺(𝑆) (3-9)
Y el error en estado estable es:
𝑒𝑠𝑠 = 𝑅 𝐾𝑣
(3-10)
Entrada función parabólica
Representa una señal que tiene un orden más rápido que la función rampa.
𝑟 𝑡 =𝑅. 𝑡 2
2 . 𝑢𝑠(𝑡)
(3-11)
Con 𝑅 una constante real y el factor 12 se añade por conveniencia matemática, ya que la transformada de Laplace de 𝑟 𝑡 es simplemente 𝑆𝑅3.
Por conveniencia se define la constante de error parábola, o aceleración, como:
23
Y el error en estado estable es:
𝑒𝑠𝑠 = 𝑅 𝐾𝑎
(3-13)
A continuación, se muestra un cuadro resumen con los errores en estado estable dependiendo el tipo de sistema y la señal de entrada al mismo:
Tipo de sistema
Error de estado estable Entrada tipo escalón Entrada tipo rampa Entrada tipo parábola
0 𝑒
𝑠𝑠 = 𝑅 1 + 𝐾𝑃
∞ ∞
1 0 𝑒
𝑠𝑠 = 𝑅 𝐾𝑣
∞
2 0 0 𝑒
𝑠𝑠 = 𝑅 𝐾𝑎
3 0 0 0
Tabla 1--Error en estado estable para distintos tipos de entradas a un sistema
Una vez estudiado el tipo de sistema con el que se está trabajando y su comportamiento en el tiempo (error en estado estable) se determina si es necesario o no realizar acciones de control mediante una realimentación para mejorar el rendimiento del sistema.
Si este es el caso, se debe proceder analizando la función de transferencia de lazo cerrado de dicho sistema.
24
3.2.3 Ecuación característica y estabilidad del sistema
La ecuación característica juega un papel muy importante en el estudio de sistemas lineales. Se puede definir con respecto a la ecuación diferencial, a la función de transferencia, o a las ecuaciones de estado.
La ecuación característica a partir de la función de transferencia, se obtiene al igualar el polinomio del denominador de la misma a cero.
El estudio de las raíces de la ecuación característica, nos permitirá conocer y controlar la condición de estabilidad del sistema en cuestión.
Un requisito fundamental para que un sistema sea BIBO (entrada y salida acotadas) o estable, las raíces de la ecuación característica (es decir, los polos de G(S)) no pueden estar localizados en el semiplano derecho del plano S o en el eje
𝑗𝜔. Todos deben quedar en el semiplano izquierdo del plano s. De manera contraria, el sistema se vuelve inestable.
Una herramienta muy útil para saber de manera rápida si un sistema es estable o no, es el criterio de Routh-Hurwitz. El mismo, dice lo siguiente:
Criterio de Routh-Hurwitz:
El primer paso, es ordenar en orden decreciente de potencias de s, los coeficientes de la ecuación característica.
𝑎5. 𝑆5+ 𝑎
4. 𝑆4+ 𝑎3. 𝑆3+ 𝑎2. 𝑆2+ 𝑎1. 𝑆 + 𝑎0 = 0 (3-14)
Se colocan los coeficientes de S en un arreglo matricial, empezando desde la fila superior izquierda y discriminando de acuerdo a la paridad de su subíndice.
𝑆5 𝑎
5 𝑎3 𝑎1
𝑆4 𝑎
4 𝑎2 𝑎0
𝑆3 𝐴 𝐵 0
𝑆2 𝐶 𝐷 0
𝑆1 𝐸 0 0
𝑆0 𝐹 0 0
(3-15)
En donde:
𝐴 =𝑎4. 𝑎3−𝑎5. 𝑎2
𝑎4 , 𝐵 =
𝑎4. 𝑎1−𝑎5. 𝑎0
𝑎4 , 𝐶 =
𝐴. 𝑎2−𝑎4. 𝐵
25 𝐷 =𝐴. 𝑎0−𝑎4. 0
𝐴 = 𝑎0 , 𝐸 =
𝐶. 𝐵 − 𝐴. 𝐷
𝐶 , 𝐹 =
𝐸. 𝐷 − 𝐶. 0 𝐸 = 𝐷
(3-17)
Una vez acabado todo el proceso de ordenamiento y cálculo, el último paso es investigar los signos de la primera columna de la tabulación, que contiene información sobre las raíces de la ecuación característica.
Se hacen las siguientes conclusiones: las raíces de la ecuación característica están todas en el semiplano izquierdo del plano s si todos los elementos de la primera columna de la tabulación de Routh son del mismo signo. El número de cambios de signos en los elementos de la primera columna es igual al número de raíces con parte real positiva o en el semiplano derecho del plano s.
Aplicando este método, podemos determinar los valores de ganancia k en lazo directo que hacen que el sistema se mantenga estable.
Respuesta del sistema a lazo cerrado
Como se explicó anteriormente, según la cantidad de polos en el origen presente una función de transferencia; estará determinado el orden del sistema al cual le pertenece dicha función. Además, según el orden del sistema, vimos que su respuesta era distinta ante diferentes tipos de entradas. Es por eso que se realiza el mismo análisis que en el caso de la función de transferencia a lazo abierto, pero esta vez trabajando con la misma a lazo cerrado; en donde existe la realimentación.
3.2.4 Análisis de la respuesta transitoria
La respuesta transitoria de un sistema de control es importante, ya que tanto la amplitud como la duración de tiempo de la misma deben mantenerse dentro de los límites tolerables o prescritos.
Para un sistema de control lineal, la caracterización de la respuesta transitoria frecuentemente se realiza mediante la función al escalón unitario 𝑢𝑆(𝑡) como la
entrada. Cuando sucede esto, la respuesta del sistema se conoce como respuesta al escalón unitario. En dicha respuesta, se definen ciertos parámetros que son importantes conocer para poder analizar al sistema, ellos son:
Sobrepaso máximo
Sea 𝑦(𝑡) la respuesta al escalon unitario,𝑦𝑚𝑎𝑥 el valor máximo de esta respuesta
e 𝑦𝑠𝑠 el valor de estado estable de 𝑦(𝑡). El sobrepaso máximo de 𝑦 𝑡 se define
26 𝑆𝑜𝑏𝑟𝑒𝑝𝑎𝑠𝑜 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 = 𝑦𝑚𝑎𝑥 − 𝑦𝑠𝑠 (3-18)
Frecuentemente se lo utiliza como una medida de la estabilidad relativa de un sistema de control.
Tiempo de retardo 𝒕𝒅: se define como el tiempo requerido para que la respuesta al
escalón alcance el 50% de su valor final.
Tiempo de levantamiento 𝒕𝒓: se define como el tiempo requerido para que la
respuesta al escalón se eleve del 10 al 90% de su valor final.
Tiempo de asentamiento 𝒕𝒔: se define como el tiempo requerido para que la
respuesta al escalón disminuya y permanezca dentro de un porcentaje específico de su valor final. Una cifra de uso frecuente es 5%.
Imagen 3-5 Respuesta transitoria de un sistema
3.2.5 Estudio de sistema de 2°orden
27
Un sistema prototipo de segundo orden, con realimentación unitaria, es de la forma:
Imagen 3-6 Sistema de 2º orden
Donde su función de transferencia es:
𝑌(𝑠) 𝑅(𝑆)=
𝜔𝑛2 𝑠2+ 𝑠. 2. ᶓ. 𝜔
𝑛 + 𝜔𝑛2
(3-19)
Y su ecuación característica:
𝑠2+ 𝑠. 2. ᶓ. 𝜔
𝑛 + 𝜔𝑛2 = 0 (3-20)
Las raíces de esta última son:
𝑠1, 𝑠2 = −ᶓ. 𝜔𝑛 ± 𝑗. 𝜔𝑛 1 − ᶓ2 = −𝛼 ± 𝑗𝜔 (3-21)
Con:
𝛼 = ᶓ. 𝜔𝑛 , 𝜔 = 𝜔𝑛 1 − ᶓ2 (3-22)
𝛼 → 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
28 ᶓ = 𝛼
𝜔𝑛 =
𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝐹𝑎𝑐𝑡. 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔. 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜(ᶓ = 1)
(3-23)
Según el valor de ᶓ , el valor de las raíces de la ecuación característica cambia y por ende el comportamiento del sistema. Los casos posibles reciben los siguientes nombres:
ᶓ < 0 : Amortiguamiento negativo.
ᶓ = 0: No amortiguado.
0 < ᶓ < 1 : Sub amortiguado.
ᶓ = 1 : Amortiguamiento crítico
ᶓ > 1 : Sobre amortiguado.
Por otro lado, ante una entrada tipo escalón (cuya transformada es 𝑅 𝑆 = 1 𝑆), la respuesta del sistema tiene la forma de :
𝑦 𝑡 = 1 − 𝑒 −ᶓ.𝜔𝑛.𝑡
1 − ᶓ2. sin 𝜔𝑛. 1 − ᶓ
2+ cos ᶓ−1 𝑡 ≥ 0 (3-24)
Se definen los siguientes valores importantes:
Sobrepasamiento maximo: se obtiene haciendo 𝑑𝑦𝑑𝑡 = 0.
Efectuando los cálculos, despejamos el tiempo t para el que ocurre:
𝑡𝑚𝑎𝑥 = 𝜋 𝜔𝑛. 1 − ᶓ2
(3-25)
Y el valor del sobrepaso máximo para ese tiempo es:
𝑀𝑝 = 𝑒 − 𝜋 .ᶓ
1−ᶓ2
(3-26)
29 𝑡𝑠 = 3,2
ᶓ. 𝜔𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < ᶓ < 0,69
(3-27)
𝑡𝑠 = 4,5 . ᶓ
𝜔𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 ᶓ > 0,69
(3-28)
En este tiempo,la respuesta temporal alcanza el 90% de su valor final
3.2.6 Lugar de raíces de la ecuación característica
La característica básica de la respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado se relaciona estrechamente con la localización de los polos en lazo cerrado, que son las raíces de la ecuación característica. Si el sistema tiene una ganancia de lazo variable, la localización de las raíces de la ecuación característica depende del valor de la ganancia de lazo elegida. Por lo tanto, es importante que el diseñador conozca cómo se mueven los polos en lazo cerrado en el plano S conforme varia la ganancia de lazo.
Encontrar las raíces de la ecuación característica puede tener un valor limitado, debido a que a medida que varía la ganancia de la función de transferencia en lazo abierto, la ecuación característica cambia y deben repetirse los cálculos. Evans diseñó un método sencillo para solucionar esto, que se utiliza ampliamente en la ingeniería de control. Este método se denomina método del lugar de las raíces, y en él se representan las raíces de la ecuación característica para todos los valores de un parámetro del sistema.
Mediante el método del lugar de las raíces, el diseñador puede predecir los efectos que tiene en la localización de los polos en lazo cerrado, variar el valor de la ganancia o añadir polos y/o ceros en lazo abierto. Resulta muy útil, debido a que indica la forma en la que deben modificarse los polos y ceros en lazo abierto para que la respuesta cumpla las especificaciones de comportamiento del sistema.
El método para dibujar el lugar de raíces consiste en una seria de 10 pasos a seguir. Por cuestiones de simplicidad de la presente obra, solamente se nombran a continuación. Pudiendo el lector remitirse a la bibliografía citada si desease más información.
