21. Intervalos de confianza.pdf

(1)

Introducción a la Estadística

E

SCUELA

N

ACIONAL DE

E

STUDIOS

S

UPERIORES

U

NIDAD

M

ORELIA

Noviembre, 2015

Licenciatura en Ciencias Ambientales

Unidad 4:

Bases de la inferencia estadística

(2)

¨

A través de la

estimación

, tratamos de acceder a los

parámetros con base en los estadísticos.

¨

La estimación se hace a través de 2 procesos:

¨

1. Obtener un valor específico de la muestra, llamado estimador puntual

(3)

¨

Cuando calculamos una media muestral, o cualquier

otra medida estadística muestral, queremos saber

qué tan confiable es esa estimación del parámetro .

Para ello se construyen

intervalos de confianza

.

(4)

¨

El

nivel de confianza

es la probabilidad de que el parámetro a estimar

¨

se encuentre en el intervalo de confianza.

(5)

(6)

¿Cómo construimos un CI?

¨

Partimos de los conocimientos que ya adquirimos:

¨

A) La media muestral es una variable aleatoria contínua que se

distribuye de manera normal cuando la población se distribuye

de manera normal, o cuando la muestra es grande (<30).

¨

B)

µ

_X

=

µ

y

σ

_X

=

σ

/

n

(7)

Margen de error

Nivel de confianza

Área en cada cola, _α/2

Valor crítico, z_α_/2

90% 0.05 1.645

95% 0.025 1.96

99% 0.005 2.575

2.5% de las medias muestrales

µ-1.96σx µ+1.96σ_x

x

(8)

Ejemplo

¨

Se conoce que las pruebas de IQ están distribuidas

de manera normal con una

_µ

= 100 y una

_σ

=16.

¨

Imagina que obtenemos 20 muestras con n=15

(9)

(10)

(11)

Generalizando…

µ-z_α/2· σ_n µ+zα/2· σ_n

α/2 · 100% α/2 · 100%

X

µ

(1−α) · 100%

< µ <

X-z_α_/2· σ

n X+zα/2· σ

n

Nivel de confianza

Área en cada cola, α/2

Valor crítico, z_α_/2

90% 0.05 1.645

95% 0.025 1.96

(12)

¨

Sabemos que la velocidad de autos en una carretera sigue una

distribución normal con una

σ

=8 millas/h.

a) Calcular CI con un nivel de confianza del 95% con n=12, y X=59.62 millas/h b) Calcular CI con un nivel de confianza del 90% con n=12, y X=59.62 millas/h c) Calcular CI con un nivel de confianza del 99% con n=12, y X=59.62 millas/h d) Calcular CI con un nivel de confianza del 95% n=48, y X=59.69 millas/h

__ __

(13)

¿Y cuando no conocemos

_σ

?

z

=

X-

µ

σ

/ n

t

=

X-

µ

s/ n

(14)

Propiedades de la distribución

t

-Student

- El área bajo la curva = 1.

- La curva se acerca pero nunca toca la horizontal.

- El área en las colas de la distribución es algo

mayor que el área en las colas de Z.

- A medida que aumenta n la curva de t se

aproxima a la normal, esto debido a que los

valores de s se acercan más a

σ

a medida que n

aumenta. Para n = infinito, t=Z.

Normal estándar z

t con n=15

t con n=5

0

- La forma depende de los grados de libertad.

(15)

Encuentre el valor de t que en una distribución

t

-Student tiene a su derecha es 0.1, asumiendo 15 df. Es decir t_0.10 con 15 gl.

Área=α

(16)

(17)

¿Cómo estimamos el CI?

< µ <

X-t_α_/2· σ

n X+tα/2· σ_n

s s

(18)

¨

Intervalos de confianza con

t

_0.025

¤

n

= 6, X

±

2.571 •

s

/

√

6 ¤

n = 16, X

±

2.131 •

s

/

√

16 ¤

n

= 31, X

±

2.042 •

s

/

√

31 ¤

n

= 101, X

±

1.984 •

s

/

√

101

(19)

¨

Un botánico quiere determinar el DAP promedio de

encinos adultos. Toma una muestra aleatoria de

n=7 y obtiene las siguientes mediciones

¨

¿Cuál sería el CI con un nivel de confianza del 95?

¿Cuál sería el CI con un nivel de confianza del 99?

(20)

¨

En un estudio se encuestaron a 1028 adolescentes y

se les preguntó el número de horas semanales que

veían TV.

¨

X=13 horas; s=2.3 horas

¨ ¿Cuál sería el CI con un nivel de confianza del 95?

(21)

¨

En un estudio se encuestaron a 1028 adolescentes y

se les preguntó el número libros que leyeron el año

pasado

¨

X=13.4 libros; s=16.6

(22)

s

2

_y

_s

_{también pueden considerarse variables aleatorias continuas,}

y por lo tanto tienen una distribución, la cual puede usarse para

calcular intervalos de confianza.

¿Por qué nos podría interesar estimar _σ2_?

Considera una máquina de café que algunas veces llena

mucho una taza y otras veces la llena muy poco. Seguramente el usuario no estará muy contento cuando no deposite la

cantidad de la media.

(23)

CI para

s

2

Si una muestra aleatoria simple de tamaño n es obtenida de una población con distribución normal con media µ y desviación estándar σ, entonces

χ2₌ (n-1) s

2

σ2

Empleamos una Distribución chi-cuadrado (x2₎

(24)

Distribución chi-cuadrada

1. No es simétrica

2. La forma de la distribución depende de los grados de libertad

3. A medida que los grados de libertad

aumentan, la distribución se hace cada vez más simétrica

4. La distribución toma valores mayores o iguales a 0 (χ2_≥₀₎

χ2

p(

χ

(25)

¨

Dado que

χ

2

no es simétrica,

NO

podemos construir el CI para

σ

2

como:

¨

Estimador puntual ± Margen de error

(26)

¨

Encuentra los valores críticos para un nivel de confianza de

confianza del 90% de la distribución

χ

2

_{, con 15 gl.}

Área=0.90

Área=0.05

χ2

0.95 χ

2

(27)

χ2

0.95

χ2

0.05

=7.261

(28)

Construyendo el CI

α/2

χ2 α

(1-α)·100% de los valores de (n-1)s

2

σ2 caen en esta región

α/2 2 1- χ 2 α 2 2 α 2 1- 2 α 2

σ

2

(n-1)s2 _(n-1)_s₂