analisis de una viga por el metodo de los elementos finitos

análisis de una viga

por el método de los

elementos finitos

análisis de una viga por el método de los elementos finitos

BREINER REYNALDO SIERRA Santos

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER

FACULTAD DE INGENIERIAS

contenido

1. MARCO TEORICO

2. VIGAS

3. EJEMPLO

1. MARCO TEORICO

El Método de los Elementos Finitos es un procedimiento numérico que

permite aproximar de forma discreta la solución continua de problemas

de valor limite dividiendo el dominio de su solución en un numero finito

de regiones con formas sencillas o “elementos” en el que se desarrolla

una solución aproximada en función de las variables en los nodos

extremos o vértices de cada elemento, ensamblando luego estas

soluciones individuales para aproximar la solución en el dominio

completo.

2. VIGAS

Introducción

Son miembros estructurales diseñados para soportar cargas transversales al eje longitudinal de la misma.

Para fines de referencia, el eje x positivo se dirige hacia la derecha a lo largo del eje longitudinal de la viga pasando por el centroide de la sección transversal, el eje y es positivo hacia arriba y el eje z es tal que junto con los ejes x e y conformen un sistema coordenado derecho, además de ser el eje neutro de la sección transversal. El plano xy es un plano de simetría de la viga, en éste se hallan las cargas, y se le denomina plano de flexión.

Se considerarán sólo vigas clásicas, o de Euler-Bernoulli, basadas en las tres siguientes hipótesis:

•_{Los desplazamientos verticales de todos los puntos de una sección transversal son}

pequeños e iguales a los del eje longitudinal x de la viga.

•_{El desplazamiento lateral en la dirección z es nulo.}

•_{Las secciones transversales normales al eje de la viga, permanecen planas y}

dx dv

 

dx dv

 

dx dv

 

M+

M+ x

v

x

v

z , w

dA

y z

m k

M_k

w Pm

y , v

x , u

y

x

y

y

B’ u

A’ B A

De acuerdo con las hipótesis anteriores, el campo de desplazamientos en un punto cualquiera queda definido como

dx dv y x

y z

y x

u( , , )  



( )  

)

(

)

,

,

(

x

y

z

v

x

v



0

)

,

,

(

x

y

z



w

Desplazamiento en x (1) Desplazamiento vertical (2)

Desplazamiento lateral (3)

donde

dx dv x) (

 es el ángulo de rotación, giro o pendiente.

Las deformaciones y esfuerzos están dadas por

2 2

x

v

y

x

u

x

_















2 2

x

v

Ey

E

_x

x

_













0











_{z xy xz yz}

y











0











_{z xy xz yz}

y











(4)

(5)

Los esfuerzos normales



_x a la sección son positivos si ocasionan tracción por encima del eje neutro.

El momento positivo en una sección transversal está dado por

2 2 2

2 2

2 2

dx

v

d

EI

dA

y

dx

v

d

E

dA

dx

v

d

Ey

y

dA

y

M

A A

A

x







_























1 2i

Q

i

Q

₂

La viga se divide en elementos como se muestra en la figura 2. Cada nodo tiene dos grados de libertad. Para un nodo i sus grados de libertad son y , los cuales

1. Modelamiento y Discretizaciòn

representan el desplazamiento vertical y la pendiente o giro de la sección transversal, respectivamente. El vector

  



T

Q

Q

Q

Q

Q



₁

,

₂

,

₃

,

_

,

_{10 (7)}

representa el vector de desplazamientos globales.

v₂

v’₂ v’₁

v₁

e

5 4

3 3

2 1

4 3

2 1

Q₈ Q₁

Q₂

Q₅ Q₉

Q₃

Q₄ Q₆

Q₁₀ Q₇

Local

e 1 2

1 1 2

2 2 3

3 3 4

4 4 5

Global

Figura 2. Discretizaciòn y grados de libertad de un elemento.

Sean

 





T

v

v

v

v

q

'

2 2

' 1

1

,

,

,



(8)

los valores de los grados de libertad en los extremos de un elemento cualquiera e, los cuales representan los desplazamientos de traslación vertical y rotación en los extremos. La correspondencia local-global es la que se muestra en la tabla que aparece en la figura 2.

2. Sistemas de coordenadas y funciones de forma

Los sistemas de coordenadas para referenciar los elementos son uno global y otro natural o intrínseco. En el sistema de coordenadas natural o intrínseco, su origen es el punto medio del elemento, donde ξ = 0, mientras que la coordenada natural del nudo 1 de cualquier elemento es ξ = -1 y la del nudo 2 es ξ = 1 como se indica en la figura 3.

e

ξ

ξ = -1

e

1 2

x₁

x

1 2

ξ = 0 ξ = 1

x₂

Las relaciones entre coordenadas globales x e intrínsecas ξ, se establecen por proporciones

1 1

2

1 2

x x x

x 

  



de donde

1

)

(

2

)

(

1 2

1









x

x

x

x

x



e

l x x dx

d 2 2

1 2

  



y

(9)

(10)

En los extremos del elemento, donde



(x1) 1

y



(

x

2

)



1

, los desplazamientos son:

 





T

v

v

v

v

q

'

2 2

' 1

1

,

,

,



(11)

En 1 1 , se propone como función de interpolación para el desplazamiento vertical

3 3 2

2 1

0

)

(



a

a



a



a



v













 

a

v

v

₍

_

₎

_

_

₁

_,

_

_,

_

2

_,

_

3

  



T

a

a

a

a

a



₀

,

₁

,

₂

,

₃

o bien

donde

(12)

(13)

(14) De grado 3, teniendo en cuenta que el número de constantes en el polinomio de

)

(



v

v









(

x

)

Puesto que y , entonces





 

a

l dx

d d

dv dx

dv v

v

e

2

3 , 2 ,

1 , 0 2 '

) (

'   



     (15)

  



T

a

a

a

a

a



₀

,

₁

,

₂

,

₃

1

)

1

(

v

v





'

1

)

1

(

'

v

v





v

(

1

)



v

2

v

'

(

1

)



v

2'

Para evaluar el vector de constantes

y

se imponen, en ξ = -1 y

ξ = 1, las condiciones de frontera

_,

_,

. De ahí que



 

a

v v

v(1)  ₁  ₁  1,  1, 1,  1



 

a

l

v

v

v

e

3

,

2

,

1

,

0

2

)

1

(

'

'

1 '

1













 

a

v v

v (1)  ₂  ₂  1, 1, 1, 1



 

a

l

v

v

v

e

3

,

2

,

1

,

0

2

)

1

(

'

'

2 '

2







(16)

(17)

(18)

(19)

 

 

C

 

a

a

a

a

a

l

l

l

l

l

l

v

v

v

v

q

e e e e e e





































































































3 2 1 0 ' 2 2 ' 1 1

6

4

2

0

1

1

1

1

6

4

2

0

1

1

1

1

 

 

 

                                                          ' 2 2 ' 1 1 1 3 2 1 0 8 4 1 8 4 1 8 0 8 0 8 4 3 8 4

3 2 8

1 8 2 1 v v v v l l l l l l l l q C a a a a a e e e e e e e e de donde

Sustituyendo (21) en (13), la función de interpolación para el desplazamiento vertical queda entonces

























































































' 2 2 ' 1 1 3 2

8

4

1

8

4

1

8

0

8

0

8

4

3

8

4

3

2

8

el desplazamiento vertical de la viga en 1  1 puede escribirse en la forma compacta

  

N q v 

 





T

v v

v v

q '

2 2

' 1

1, , ,



y

 

N , representa el vector de funciones de forma. donde

ξ

2 1

H₄ H₃

H₂

Pendiente = 0

2 1

ξ ξ = 1

ξ = 0 ξ = -1

2

1 _ξ

ξ = 1 ξ = 0

ξ = -1

2 1

H₁

Pendiente = 0

ξ ξ = 1

ξ = 0 ξ = -1

1 Pendiente = 0

Pendiente = 1

Pendiente = 0

Pendiente = 0

1

ξ = 1

ξ = 0 ξ = -1

Pendiente = 0

Pendiente = 1

(25)

(26)

Los polinomios H₁, H₂, H₃ y H₄ son polinomios de Hermite y presentan las características que se indican en la figura 4.

3. Matriz de Deformación Unitaria-Desplazamiento y Esfuerzo normal σ

2 2

x v y x

u

x _

      





2₂

x v Ey E _x

x _

   









v



  

N

q

Con anterioridad

y . Puesto que

entonces

,

  







 



 

 

q

l

l

l

q

N

l

q

N

x

x

v

x

v

T

e e

e e

























































_

_

_















_

_

_

































2 2

2 2

4

3

4

2

4

1

2

4

3

4

3

4

3

4

2

4

1

2

4

3

4

3

2

2



















(27)

 

q

l

l

l

y

x

v

y

T

e e

e

























































_















_

_























2

3

2

1

2

2

3

2

3

2

1

2

2

3

4

2 2

2

 

























_















_

_











2

3

2

1

2

,

2

3

,

2

3

2

1

2

,

2

3

4

2

e e

e

l

l

l

B

Definiendo

la deformación unitaria y el esfuerzo se expresan como

  

B

q

y







  

B

q

Ey

E











y

(28)

(29)

(30)

(31)

4. Matriz de rigidez de un elemento

La energía de deformación de un elemento cualquiera está dada por

   

dA

dx



Ey

   

q

B





y

  

B

q



dA

dx

U

x

x A

T T

x

x A

T

e



 



 





2

1 2

1

2

1

2

1

_

_

      

q

B

B

q

dx

EI

      

q

B

B

q

dx

 

q

EI

     

B

B

dx

q

dA

y

E

U

x

x

T T

x

x

T T x

x

T T

A

e



































 





2

1 2

1 2

1

2

1

2

2

2

(32)

(33) Teniendo en cuenta

que

dx

l

_e

d

2





_{, entonces}

 

q

EI

l

   

B

B

d

 

q

U

T e T

e



















1

1

2

2

1

_

(34)

 













_

_













_

_

 

q

d

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

EI

q

U

e e e e e e e e e e e e e e T e











































































































 





















































































 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4

4

3

1

3

1

8

3

16

1

9

8

3

1

3

3

1

8

3

4

9

3

1

8

3

4

9

16

1

9

3

1

8

3

4

3

1

8

3

1

3

8

3

1

3

4

9

8

3

1

3

4

9

16

2

2

1

_









































Integrando cada término de la matriz y simplificando se obtiene

 

 

q

la energía de deformación del elemento puede escribirse en forma compacta como

 

q

 

k

 

q

U

T e

e

2

1



donde

 

k e representa la matriz de rigidez del elemento.

(38)

5. Potencial de trabajo de cargas distribuidas

)

(



T

la carga distribuida, por unidad de longitud, en un elemento. Entonces, su Sea

potencial de trabajo es:

  





_

   

 

_

 





 











1

1 1

1 1

1

2

2

2

2

1







l

q

N

Td

q

l

T

N

d

d

l

T

q

N

Tdx

v

V

T e e T T T e T

x

x T e

T

(39)

2 1

T(ξ)

ξ = 1 ξ = -1

Si

 

_

 





1 1

2



d

N

T

l

T

e e T

(40) entonces

 

T

 

e

e

T

q

T

V



₍₄₁₎

Por ejemplo, si T(x) = T₀, donde T₀ es constante positiva

 

_

 

_

 

























































_

_

_

_

















_

_

_









1 1 3 2 3 3 2 3 0 1 1 0

4

1

4

1

4

1

4

1

2

4

1

4

3

2

1

4

1

4

1

4

1

4

1

2

4

1

4

3

2

1

2

2

























d

l

l

l

T

d

N

l

T

T

e e e T e e

 

_T

e

T

l

e

T

l

e

T

l

e

T

l

e T

















12

,

2

,

12

,

2

2 0 0 2 0 0 (42) (43)

2

0le T

2

0le T

12

2 0le T

12

2 0le T



2

1

=

T₀

Figura 6. Cargas equivalentes en los nudos 1 y 2 de una viga.

Por acción y reacción, los nudos 1 y 2 ejercen sobre el elemento fuerzas iguales y de sentido contrario, conocidas como fuerzas de fijación, como se indica en la figura 6.

12

2 0le

T

12

2 0le T

2

0le T

2

0le T

2 1

T(ξ) = T₀

Si se tiene una carga distribuida como la que se muestra en la figura 8.

ξ = -1

T(ξ) w₀

2 1

ξ = 1

Figura 8. Fuerza distribuida en forma triangular.

la función de carga está dada por

)

1

(

2

)

(





w

0





T

₍₄₄₎

y mediante (40)

 

_

 

_

                             _{   }         _{  }       1 1 3 2 3 3 2 3 0 1 1 0 4 1 4 1 4 1 4 1 2 4 1 4 3 2 1 4 1 4 1 4 1 4 1 2 4 1 4 3 2 1 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 2





























d l l l w d N w l T e e e T e

e ₍₄₅₎

 

_T

e

w

l

e

w

l

e

w

l

e

w

l

e T

6. Energía Potencial Total y Equilibrio

Para la viga completa, la energía potencial total está dada por

 

 

 

 

 

_

 

 

_

_































i

i i i

i i e

e T e

e T

i

i i i

i i e

e T e

e

m

v

p

v

T

q

q

k

q

m

v

p

v

T

q

U

' '

2

1

(47)

donde p_i y m_j representan cargas puntuales y momentos aplicadas en nodos i, positivas en el sentido de los ejes coordenados y y z positivos, respectivamente.

La forma compacta para la energía potencial total es

 

Q

T

 

K

         

Q



Q

T

T



Q

T

P





2

1

(48)

donde por ejemplo, en una viga con 5 nodos,

 





T

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

Q

'

5 5

' 4 4

' 3 3

' 2 2

' 1

1

,

,

,

,

,

,

,

,

,



  



T

m

p

m

p

m

p

m

p

m

p

P



₁

,

₁

,

₂

,

₂

,

₃

,

_{3 4}

,

_{4 5 5}

(49)

En estado de equilibrio estable,

_

₀







i

Q

. De ahí que tal condición impuesta a (48)

  

K

Q



 

F

donde

     

F



T



P

(51)

(52)

El paso a seguir es modificar (51), imponiendo condiciones de frontera o restricciones por apoyos y así hallar desplazamientos de los nodos.

7. Fuerza Cortante y Momento Flector

 

q

 

_q e

 

_T

e



 

_S

e

Las fuerzas en los extremos 1 y 2 de un elemento cualquiera se deben a los desplazamientos en los extremos del mismo y a las fuerzas de fijación que ejercen los nodos sobre los

extremos del elemento. Las primeras se determinan multiplicando la matriz de rigidez del respectivo vector de desplazamientos , mientras que las fuerzas de fijación están dadas por el vector . Entonces, si representa las fuerzas en los extremos del elemento, éstas pueden calcularse a través de la expresión

 

_S

e

_

 

_k

e

   

_q

e

_

_T

e

donde

  

_{e e e e e}



T

M

V

M

V

S



₁

,

₁

,

₂

,

₂

(53)

(54)

e

V

₁

M

₁e

V

₂e

_M

e

2

siendo , _{, y} , fuerza cortante y momento flector en los extremos 1 y 2,

respectivamente.

3. EJEMPLO

Utilizar el método del elemento finito para analizar la viga mostrada en la figura 9.

E = 2 GPa = 2x109 _N/m2

1

12 kN 15 kN

18 kN/m

1

4 3

2

5 4

3 2

3 m 3 m 6 m 1.5 m

I = 6.75x108 _mm4 _{= 6.75x10}-4

m4

En el siguiente cuadro se consigna la coordenada x de cada uno de los nodos de la viga, así como cargas puntuales aplicadas en los mismos.

Tabla de Coordenadas y Cargas en los Nodos

Nodo Coordenada Cargas en los nodos

i x (m) p_i (N) m_i (N-m)

1 0 0 0

2 3 -15000 0

3 6 0 0

4 12 0 0

5 13.5 -12000 0

La conectividad de los elementos de la viga en consideración y sus respectivas cargas equivalentes en nodos extremos, calculadas con la expresión (43), se da a conocer en el siguiente cuadro

 

_T

e

T

l

e

T

l

e

T

l

e

T

l

e T

















12

,

2

,

12

,

2

2 0 0

2 0

Tabla de Conexiones y Cargas de Extremo

e

Nodos _(m)L EI Cargas Equivalentes en los nodos extremos {T

e_}

1 2 Te

1v Te1m Te2v Te2m

1 1 2 3 1350000 T1

1v = 0 T11m = 0 T12v = 0 T12m = 0

2 2 3 3 1350000 T2

2v = 0 T22m = 0 T23v = 0 T23m = 0

3 3 4 6 1350000 T3

3v = -54000 T33m = -54000 T34v = -54000 T34m = 54000

4 4 5 1.5 1350000 T4

4v = 0 T44m = 0 T45v = 0 T45m = 0

Matrices Elementales de Rigidez

Mediante la expresión (37), para cada uno de los elementos de la viga se tiene

 







































2 2

2 2

3

4

6

2

6

6

12

6

12

2

6

4

6

6

12

6

12

e e

e e

e e

e e

e e

e e

e e

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

EI

 

                                  1800000 900000 900000 900000 900000 600000 900000 600000 900000 900000 1800000 900000 900000 600000 900000 600000 1 22 1 21 1 12 1 11 1               k k k k

k

 

                                  1800000 900000 900000 900000 900000 600000 900000 600000 900000 900000 1800000 900000 900000 600000 900000 600000 2 33 2 32 2 23 2 22 2               k k k k k

 

                                  900000 225000 450000 225000 225000 75000 225000 75000 450000 225000 900000 225000 225000 75000 225000 75000 3 44 3 43 3 34 3 33 3               k k k k

k

 

                              3600000 3600000 1800000 3600000 3600000 4800000 3600000 4800000 1800000 3600000 3600000 3600000 3600000 4800000 3600000 4800000 4 55 4 54 4 45 4 44 4               k k k k k

Ecuaciones de Equilibrio

Teniendo en cuenta la conectividad de los elementos y cargas aplicadas, el ensamble del continuo en estado de equilibrio estable revela el siguiente sistema de ecuaciones:

  

K

Q



 

F

     

F



T



P

donde

(51)

       

Q

F

T

P

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k















































4 55 4 54 4 45 4 44 3 44 3 43 3 34 3 33 2 33 2 32 2 23 2 22 1 22 1 21 1 12 1 11

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

donde

 





T

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

Q

' 5 5 ' 4 4 ' 3 3 ' 2 2 ' 1

1

,

,

,

,

,

,

,

,

,



  



T

P



0

,

0

,



15000

,

0

0

,

0

,

0

,

0

,



12000

,

0

 





























































































































































































































































































































































































































               0 0 54000 54000 54000 54000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 54000 54000 54000 54000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 5 4 5 4 4 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 3 4 3 4 3 3 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 2 3 2 3 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 1 1 1 1 m T v T m T v T m T v T m T v T m T v T m T v T m T v T m T v T T

                                                                                            0 12000 54000 54000 54000 54000 0 15000 0 0 3600000 3600000 1800000 3600000 0 0 0 0 0 0 3600000 4800000 3600000 4800000 0 0 0 0 0 0 1800000 3600000 4500000 3375000 450000 225000 0 0 0 0 3600000 4800000 3375000 4875000 225000 75000 0 0 0 0 0 0 450000 225000 2700000 675000 900000 900000 0 0 0 0 225000 75000 675000 675000 900000 600000 0 0 0 0 0 0 900000 900000 3600000 0 900000 900000 0 0 0 0 900000 600000 0 1200000 900000 600000 0 0 0 0 0 0 900000 900000 1800000 900000 0 0 0 0 0 0 900000 600000 900000 600000 ' 5 5 ' 4 4 ' 3 3 ' 2 2 ' 1 1 v v v v v v v v v v

Para la viga que se considera, sus desplazamientos prescritos o restricciones son:

0

4 3

' 1

1



v



v



v



v

que impuestos mediante el enfoque de eliminación conduce a

de donde





































































 04928571 0 07892857 0 05928571 0 03857143 0 00964286 0 01642857 0 ' 5 5 ' 4 ' 3 ' 2 2 , , , , -, , v v v v v v

. Luego

 





















































































   04928571 . 0 07892857 . 0 05928571 . 0 0 03857143 . 0 0 00964286 . 0 01642857 . 0 0 0 ' 5 5 ' 4 4 ' 3 3 ' 2 2 ' 1 1 v v v v v v v v v v

Q

Fuerza Cortante y Momento Flector en los Extremos de los Elementos

Según las expresiones (53) y (54), para cualquier elemento el cortante y el momento flector están dados por

  

_S

e

_

_V

e

_M

e

_V

e

_M

e



T

_

 

_k

e

   

_q

e

_

_T

e

2 2

1

1

,

,

,

Para el elemento 1

  



 









 



1178

.

6

6107

.

1

1178

.

6

2571

.

4



0

,

0

,

0

,

0

,

,

,

,

,

,

1 ' 2 2 ' 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1













S

v

v

v

v

k

M

V

M

V

Para el elemento 2

  



 









 



16178

.

6

2571

.

4

16178

.

6

45964

.

3



0

,

0

,

0

,

0

,

,

,

,

,

,

2 ' 3 3 ' 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2

-S

v

v

v

v

k

M

V

M

V

S

T T T













Para el elemento 3

  



 









 



58660

.

7

45964

.

3

49339

.

3

18000



54000

54000

54000

54000

,

,

,

,

,

,

3 ' 4 4 ' 3 3 3 3 4 3 4 3 3 3 3 3

-S

-v

v

v

v

k

M

V

M

V

S

T T T









y para el elemento 4

  



 









 



12000

18000

12000

0



0

,

0

,

0

,

0

,

,

,

,

,

,

4 ' 5 5 ' 4 4 4 4 4 4 4 4 3 4 3 4











S

v

v

v

v

k

M

V

M

V

S

T T T

Elemento 1

2571 N-m 6107 N-m

1179 N 1179 N

2

1 2571 N-m 45964 N-m

16179 N 16179 N

3 2

18000 N/m

18000 N-m 45964 N-m

49339 N 58661 N

4

3 4 5

12000 N

18000 N-m

12000 N

Elemento 2

Elemento 3 Elemento 4

Interpolación del desplazamiento al interior de un elemento.

Según (24) y (25), para un elemento cualquiera, en el sistema de numeración local

 

q

l

l

v

v

T

e e

























































_

_

_

_

















_

_

_









3 2

3 3 2

3

4

1

4

1

4

1

4

1

2

4

1

4

3

2

1

4

1

4

1

4

1

4

1

2

4

1

4

3

2

1

)

(























Entonces, si se desea hallar el desplazamiento en el punto medio de elemento

3

, con

  



T

q



0

,



0

.

03857143

,

0

,

0

.

05928571

,

l_e  6

y





0

se obtiene

v

(

0

)





0

.

0734

LIST ALL SELECTED NODES

NODE X Y Z

1 0.0000 0.0000 0.0000

2 3.0000 0.0000 0.0000

3 6.0000 0.0000 0.0000

4 12.000 0.0000 0.0000

5 13.500 0.0000 0.0000

THE FOLLOWING DEGREE OF

FREEDOM RESULTS ARE IN THE

GLOBAL

COORDINATE SYSTEM

NODE UY

1 0.0000

2 0.16429E-01

3 0.0000

4 0.0000

5 0.78929E-01

LIST ALL SELECTED ELEMENTS

(LIST NODES)

ELEM NODES

1 1 2

2 2 3

3 3 4

4 4 5

THE FOLLOWING DEGREE OF FREEDOM RESULTS

ARE IN THE GLOBAL COORDINATE SYSTEM

THE FOLLOWING X,Y,Z SOLUTIONS ARE IN THE GLOBAL COORDINATE SYSTEM

NODE FX FY MZ 1 0.0000 -1178.6 -6107.1 3 74839.

4 61339.

PRINT ELEMENT TABLE ITEMS PER ELEMENT

STAT CURRENT CURRENT CURRENT CURRENT ELEM VI VJ MI MJ 1 1178.6 1178.6 6107.1 2571.4 2 16179. 16179. 2571.4 -45964. 3 -58661. 49339. -45964. -18000. 4 -12000. -12000. -18000. 0.0000

PRINT ELEMENT TABLE ITEMS PER ELEMENT

4. CONCLUSIONES

El método de los elementos finitos se presenta como otra alternativa de análisis de modelamiento numérico para establecer el estado de esfuerzos y deformaciones de una viga.

Las matemáticas, la física y la mecánica de materiales son la materia prima para el análisis y diseño de cualquier estructura.

5. BIBLIOGRAFIA

Chandrupatla, Tirupathi R., and Belegundu, Ashok D. Introducción al estudio de elemento finito ingeniería. México: Prentice Hall, 1999.

Hibbeler, Russel C. Mecánica de materiales. Compañía editorial continental, S.A. de C.V. México. 823 pág.

Hutton, D.V. Fundamentals of Finite element analysis. Singapore: McGraw-Hill, 2004.

Ortega Sierra, Álvaro. Notas de clase del curso elementos finitos.UFPS.Colombia.2008.