Método de Elementos Finitos - Teoría de Campos Versión 2010 NOTAS SOBRE EL METODO DE ELEMENTOS FINITOS (FEM)

NOTAS SOBRE EL METODO DE ELEMENTOS FINITOS (FEM) Este método constituye un método numérico destinado a resolver mediante ecuaciones matriciales las ecuaciones diferenciales que se plantean en sistemas discretos (estructuras) o continuos (campos).

Actualmente, se considera al método de las Diferencias Finitas como una subclase del método de los Elementos Finitos y de hecho se puede demostrar [Silvester-Chari] que el método FEM se reduce al método DF cuando las mallas son regulares.

Las aplicaciones actuales del método son muy extensas e incluyen sistemas lineales y no lineales, estáticos, dinámicos tales como Mecánica de Sólidos, Teoría de la Elasticidad, Mecánica de Fluidos, Transmisión de Calor y Electromagnetismo.

En el caso de sistemas contínuos, el método consiste en discretizar el dominio de interés en Elementos Finitos y resolver, mediante una función de prueba o de aproximación, la ecuación que rige el sistema en cada EF para luego sumar todas las soluciones.

Dado un recinto cerrado los pasos para la resolución son:

1) Dividir el recinto en Elementos Finitos: Triángulos (3 nodos), Tetraedros (4 nodos), etc.

2) Deducir la ecuación que describe el potencial φ dentro de un EF.

3) Plantear las ecuaciones que dan las condiciones de ajuste de las soluciones en las fronteras de los EF.

4) Calcular los potenciales en los nodos de cada EF mediante algunos de los métodos que luego de mencionarán.

5) Resolver las ecuaciones algebraicas planteadas. Generación de los Elementos Finitos

- Los contornos pueden ser irregulares

- Los EF serán tan chicos como lo considere el programador. Cuanto más varía el potencial, los EF deberán ser más chicos.

Supongamos una simetría plano-paralela: dentro de cada EF se admite una tipo de variación del potencial, por ejemplo, lineal:

Figura N°2

φe(x,y) i(xi,yi)

k(xk,yk)

Llamando “e” al elemento finito, el potencial dentro de él será φe(x,y), entonces, para todo el recinto, se cumplirá:

∑

= = l m e y x y x m 1 ) , ( ) , ( φ φ [1]

Aclaremos que la variación supuesta del potencial dentro del EF podría haber sido No Lineal.

Tomemos un único elemento finito triangular plano y analicemos como describir el potencial dentro de él: Figura N°3 Entonces: y x y x m m m m e e e e 3 2 1 ) , ( β β β φ = + + (x, y en em) [2] donde m m m e e e 3 2 1 ,β ,β β

son constantes diferentes para cada elemento

Esta sería una aproximación de primer orden. Existen otras aproximaciones de orden superior. Los β son coeficientes a determinar luego.

Notemos que el campo eléctrico dentro del cada EF es cte. (para la variación lineal del potencial propuesta):

y x y x y x Eem em ( ( 3 2 ) , ( ) , ( =−∇φ =−β +β [3]

Ahora tenemos que seguir 2 caminos diferentes para resolver el problema: φ3(x3,y3) φ1(x1,y1) φ2(x2,y2)

e

m Superficie “Am” y1 x1 y x

1° Calcular los potenciales de los nodos de los EF dentro del recinto, a partir de las condiciones de borde. Esto se efectúa mediante cálculos variacionales (ver más adelante) u otros métodos como el Método de los Residuos ponderados de Galerkin.

2° Calcular los factores β, una vez calculados los potenciales.

Para un EF solo, esto significa primero calcular los potenciales de los nodos φ1, φ2, φ3 y luego calcular los factores β1, β2, β3.

Calculo de los factores de forma

Mostremos primero el segundo punto. Para eso, supongamos conocidos (por ahora) los potenciales φ1, φ2, φ3 del elemento.

De aquí en más no se escribirán los superíndices em para no recargar la

notación (salvo cuando sea necesario para evitar confusiones), pero el lector no debe olvidarse que estos cálculos valen para cada elemento finito.

Evaluando la expresión [2] en los vértices del triángulo:

k k k j j j i i i y x y x y x y x y x y x 3 2 1 3 3 3 2 1 2 2 3 2 1 1 1 ) , ( ) , ( ) , ( β β β φ β β β φ β β β φ + + = + + = + + = [4] Si i, j, k son 1, 2 ,3 tenemos: 3 3 3 2 1 3 3 3 2 3 2 2 1 2 2 2 1 3 1 2 1 1 1 1 ) , ( ) , ( ) , ( y x y x y x y x y x y x

β

β

β

φ

β

β

β

φ

β

β

β

φ

+ + = + + = + + = [5]

de manera que, en forma matricial:

                    = 3 2 1 3 3 2 2 1 1 . 1 1 1 ] [

β

β

β

φ

y x y x y x [6] despejando β1, β2, β3:                     =           − 3 2 1 1 3 3 2 2 1 1 3 2 1 . 1 1 1

φ

φ

φ

β

β

β

y x y x y x [7]

0 1 1 1 2 ≠           = k k j j i i y x y x y x A _[8]

donde A es el área del EF. reemplazando en [2] tenemos:

(

a

i i

a

j j

a

k k

)

A

φ

φ

φ

β

.

.

.

2

1

1

=

+

+

(

b

i i

b

j j

b

k k

)

A

φ

φ

φ

β

.

.

.

2

1

2

=

+

+

[9]

(

c

i i

c

j j

c

k k

)

A

φ

φ

φ

β

.

.

.

2

1

3

=

+

+

donde: j k k j i x y x y a = − k j i y y b = − [10] j k i x x c = −

Las constantes a, b y c se obtienen por permutación cíclica de los subíndices. Recuérdese que también estas constantes tienen el superíndices em (porque se

deben calcular para cada EF) pero no se han escrito para no complicar la notación.

Para i=1, j=2 y k=3 tendremos, en forma matricial:

[

]

                    − − − − − − − − − = 3 2 1 1 2 3 1 2 3 2 1 1 3 3 2 1 2 2 1 3 1 1 3 2 3 3 2 . 2 1 1 ) , (

φ

φ

φ

φ

x x x x x x y y y y y y y x y x y x y x y x y x A y x y x _em em _[11]

donde “Aem” es el área de cada elemento finito “em” ya que los EF pueden ser

de distintos tamaños (en un mismo recinto). El determinante 2A nunca será nulo ya que representa el área de un triángulo por lo que la solución del sistema [4] existe y es única

Finalmente, vemos que para este caso podemos expresar el potencial dentro de cualquier elemento “em” en función de los tres potenciales de nodos como:

3 3 2 2 1 1( , ). ( , ). ( , ). ) , ( φ φ φ φem x y ₌N x y ₊N x y ₊N x y [12] m m e j j j e y x N y x φ φ ( , ) ( , ). 3 1

∑

= = [13] Donde

[

x y x y y y x x x y

]

A y x N ( ) ( ) ( ) 2 1 ) , ( _{2 3 2 3 2 3 3 2} 1 = − + − + −

[

x y x y y y x x x y

]

A y x N ( ) ( ) ( ) 2 1 ) , ( _{3 1 1 3 3 1 1 3} 2 = − + − + − [14]

[

x y x y y y x x x y

]

A y x N ( ) ( ) ( ) 2 1 ) , ( _{1 2 2 1 1 2 2 1} 3 = − + − + − Y    ≠ = = j i si j i si y x N_{i j j} 0 1 ) , (

En forma matricial tendremos, en general:

] ].[ [ ). , ( ). , ( ). , ( ) , ( _{i i j j k k} e e e N y x N y x N y x N y x m _{φ φ φ φ} φ = + + = [15] donde )] , ( ) , ( ) , ( [ ] [Ne = N_i x y N_j x y N_k x y [16]           = k j i e φ φ φ φ ] [

Las funciones N_j(x,y) se denominan “Factores de Forma”. Son distintos para cada tipo de elemento. El potencial dentro de cada EF queda así interpolado por una función de interpolación [13] entre los potenciales de cada nodo del triángulo.

m e j

φ son los potenciales de cada nodo del triángulo. Estos potenciales los calcularemos en el párrafo que sigue a través de consideraciones energéticas (cálculo variacional).

Cada Nj constituye la fracción con que el potencial de cada nodo del EF

contribuye al potencial en cualquier punto dentro del mismo EF. Se observa la facilidad de programación.

Observen que estamos interpolando linealmente el potencial en todo el EF al contrario que en el método de Diferencias Finitas, en donde sólo podíamos saber los potenciales en los nodos de la malla (y luego interpolar, pero esto ya no sería parte del método, como en EF). El método DF nos dá correctamente el potencial en cada nodo de una malla regular pero el método FEM nos dá el potencial “correcto” en todos los puntos del recinto, dentro de los errores de aproximación, de interpolación, de elección de tamaño y tipo de EF, etc.

Escribamos explícitamente los factores de forma de manera general, para este caso: k k k k j j j j i i i i e A y c x b a A y c x b a A y c x b a y x m _{φ φ φ} φ 2 2 2 ) , ( = + + + + + + + + [17]

Calculo de los Potenciales de los nodos por el Método Variacional

Para calcular los φj de los nodos del triángulo vamos a pedir que la energía

dentro del EF sea mínima, es decir, vamos a elegir la solución de potenciales φ1, φ2, φ3 que haga mínima la energía dentro del EF y luego, dentro de todo el

recinto de cálculo. Esto se conoce como método variacional.

Cuando buscamos el/los extremo/s de una función debemos derivar e igualar a cero. Cuando aplicamos el método variacional lo que queremos encontrar es toda una función que hace mínima una integral. Si tomáramos la integral que nos da la distancia entre 2 puntos en el plano euclidiano ¿cuál sería la función que se obtendría? Claramente, la función que hace mínimo ese integral es una recta, la función lineal.

Tomemos el caso electroestático. La energía electroestática total en un volumen “V” (S en 2D) será la suma de la energía almacenada volumétrica (debida a cargas volumétricas y a campos exteriores) más la energía almacenada debida a la carga superficial:

∫

= E ds U 2 2 1 ε [18]

por otro lado, sabemos que, en simetrías plano-paralelas:

2 2 2       ∂ ∂ +       ∂ ∂ = ⇒ ∇ − = y x E E φ φ φ [19]

reemplazando [19] en [18] nos queda:

)) , ( ( x y f U = φ

∫

∇ = ds U 2 2 1 φ ε [20]

en donde U es la “funcional” y φ(x,y) es el “argumento de la funcional”. Como i e i i e y x N y x φ φ ( , ) ( , ) 3 1

∑

= = i e i i e y x N y x φ φ ( , ) ( , ) 3 1

∑

= ∇ = ∇

Reemplazando en la ecuación de la energía:

[

]

ei i j i i e j ds N N y x U

∑

∑

ε

φ

∫

φ

= = ∇ ∇ = 3 1 3 1 . 2 1 ) , ( Si definimos

∫

∇ ∇ = N N ds Keij _i. _j

Podemos escribir en forma matricial:

[ ] [ ][ ]

e ij t e K U εφ φ 2 1 = [21] Con

[ ]

          = e e e e 3 2 1

φ

φ

φ

φ

y

[ ]

          = e e e e e e e e e e K K K K K K K K K K 33 32 31 23 22 21 13 12 11 [22]

Ke es la matriz de coeficientes del elemento. Por ejemplo:

[

]

_∫

∫

∇ ∇ = − − + − − = y y y y x x x x ds A ds N N Ke ( )( ) ( )( ) 4 1 . _{2 2 2 3 3 1 3 2 1 3} 1 12

[

( )( ) ( )( )

]

4 1 3 1 2 3 1 3 3 2 12 y y y y x x x x A Ke = − − + − −

y, en general se puede escribir:

A c c b b K_ije j i j i 4 . . + =

ε

y      − = − = − = j k i j k k j i k j i x x c x x x x a y y b . . [23]

Necesitamos encontrar los φk tal que U sea mínimo en cada EF y luego en todo

el recinto.

La energía asociada con todos los elementos será:

[ ] [ ][ ]

φ

φ

ε

K U U t N e e 2 1 1 = =

∑

= [24] Con

[ ]

                = n e

φ

φ

φ

φ

φ

M 3 2 1

, donde “n” es el número de nodos.

[K] es la matriz de coeficientes global

Para obtener los potenciales de los nodos, debemos minimizar la energía, lo que implica que la ecuación de Laplace se satisface si dicha energía es mínima. Derivando para cada potencial de nodo:

0 = ∂ ∂ k U

φ

, k=1…n

Para el nodo k esto dará:

∑

= = n i ik iC 1 0

φ

De manera que para k=1 a n tendremos un sistema de ecuaciones algebraicas cuyas incógnitas son los potenciales

φ

de cada nodo.

Sistema de Ecuaciones Final

En un recinto determinado tenemos 2 tipos de frontera:

Figura N°4 S1, Condición de Dirichlet . ) (S₂ =cte

φ

[25] S2, Condición de Neumann 0 2 = ∂ ∂ S n

φ

[26] S1 S2 Recinto

Importante: La condición de Dirichlet la tendremos que insertar como dato dentro de nuestro procedimiento, pero la condición de Neumann homogénea (llamada también en los libros Condición Natural) se satisface automáticamente debido al procedimiento variacional (sin demostración, consultar las referencias al final).

Consideremos que tenemos un problema con frontera tipo Dirichlet, por lo que los potenciales de los nodos de la frontera son fijos (dato) φp (p por

“prescribed”) y nodos con potenciales a determinar “libres” φf (por “free”).

Entonces podemos escribir la energía como:

[

]

            == p f pp pf fp ff p f K K K K U

φ

φ

φ

φ

ε

2 1 [27]

Aplicamos la derivada con respecto a cada potencial libre (los otros son dato) lo que queda: 0 = ∂ ∂ k U

φ

[ ][ ] [ ][ ]

Kff

φ

f =−Kfp

φ

p [28]

de forma tal que:

[ ] [ ] [ ][ ]

φ

f Kff Kfp

φ

p 1 − − = [29] Ejemplo N°1:

Sea el siguiente recinto de cálculo sencillo en una simetría planos paralela, dividido en 2 elementos finitos triangulares. Se quiere calcular el potencial

dentro del recinto de permeabilidad ε.

Los datos son los potenciales φ3, φ4 (100V) y las incógnitas serán los

potenciales φ1, φ2. 2 1 4 3 1 2 X=2 y=1 y x

3 3 2 2 1 1 1_{( , ) ( , ).}

_φ

_{( , ).}

_φ

_{( , ).}

_φ

φ

x y =N x y +N x y +N x y [32] 4 4 3 3 1 1 2 ). , ( ). , ( ). , ( ) , (

φ

φ

φ

φ

x y = N x y +N x y +N x y [33]

Debemos generar la “matriz de ensamblaje” o “matriz de rigidez” total, para todos los EF. Cada EF tendrá su matriz de ensamblaje. En este caso tendremos un matriz de 4x4 (4 potenciales en total, ver figura). Para no tener que escribir 2 matrices (una para cada EF) vamos a escribir una matriz sola en donde en cada elemento de la misma, escribiremos el valor de Kij del EF N°2

debajo de una barra inclinada y del EF N°1, arriba:

4

3

2

1

4

3

2

1

2

/

1

44 43 41 34 33 33 32 31 31 23 22 21 14 13 13 12 11 11

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

                   

=

K K K K K K K K K K K K K K K K K K

ij

K

¿Como se genera esta matriz?: Tomemos como ejemplo el K31 en donde

tenemos:

K31=31/31. Esto significa “El potencial φ3 se influencia con el potencial φ1 a

través de los EF N° 2 y N°1”. Por eso ponemos 31/31

Si tomamos el K42, vemos que esta vacío: …/… lo que significa “El potencial φ2

no se influencia con el potencial φ4 a través de ningún EF”

Por último tomemos el K23: 23/… que significa “El potencial φ2 se influencia con

el potencial φ3 sólo a través del EF N° 1”.

Por supuesto debemos calcular cada Kij por separado. Si tuviéramos n

elementos finitos en el recinto, deberemos generar n matrices Kij en donde los

casilleros de la matriz total KijT estarán formados por la suma de los Kij de cada

EF: n ij ij ij ijT K K K K = 1 + 2 +...+ [34]

De este sistema de ecuaciones tendremos que sacar los potenciales φj. Pero

primero calcularemos los coeficientes a, b, c con las fórmulas [11] Elemento Finito N°1: 1 1 0 3 2 1 = y −y = − =− b 1 0 1 1 3 2 = y −y = − = b 0 2 1 3 = y −y = b

0 2 2 2 3 1 = x −x = − = c 2 2 0 3 1 2 =x −x = − =− c 2 0 2 1 2 3 =x −x = − = c de la misma manera: 2 1 = a 0 2 = a 0 3 = a

Ahora podemos calcular los Kij de cada elemento, por ejemplo

4 1 11

ε

= K

de la misma manera podemos calcular el resto de los kij. La matriz nos queda:

⇒                   − − − − − − − − = 5 4 4 1 1 4 4 0 0 4 5 1 4 0 0 1 4 1 4 2 / 1

ε

K             − − − − − − − − = 5 4 0 4 1 5 4 0 0 4 5 1 4 0 1 5 4

ε

T K

Teníamos que resolver la ecuación [35], es decir:

[ ] [ ] [ ][ ]

φ

f Kff Kfp

φ

p 1

−

− =

de la cual se puede despejar φf con los potenciales incógnita φ1 y φ2.

Para nuestro ejemplo nos queda:

                  − =       − 4 3 24 23 14 13 1 22 21 12 11 2 1

φ

φ

φ

φ

K K K K K K K K       −       − −       − − − =       − 100 100 0 4 4 0 5 1 1 5 1 2 1

φ

φ

3 200 1 =−

φ

y 3 200 2 =

φ

ahora podemos calcular los factores de forma: Elemento N°1:

[

]

(2 ) 2 1 . 0 ) 1 ( 2 1 . 2 1 ) , ( 1 1 x y x y x Ne = + − + = − ) 2 ( 2 1 ) , ( 1 1 x y x y Ne = − ) 2 ( 2 1 ) , ( 1 1 x y y Ne =

de la misma manera se hará para calcular los Nie2para el EF N°2, entonces,

reescribiendo el potencial de cada EF:

[

1 2 3

]

1 2 ) 2 ( ) 2 ( 2 1 ) , (

φ

φ

φ

φ

x y = −x + x− y + y

[

1 3 4

]

2 _{(2 2 ) (2 )} 2 1 ) , (

φ

φ

φ

φ

x y = − y +x + y−x

Finalmente después de desarrollar:

3 100 3 200 3 200 ) , ( 1 + + − = x y x

φ

y x y x 3 100 100 3 200 ) , ( 2 − + − =

φ

Figura N°6

Ejemplo N°2

Solo necesitamos los b y c:

/ / / / Constantes a, b, c Elemento 1 -1 0 -1 2 1 0 1 3 -1 0 -1 4 1 0 1 5 -1 0 -1 6 1 0 1 -1 1 0 7 8 Coordenada Nodo X Y 1 0 0 2 1 0 3 2 0 4 0 1 5 1 1 6 2 1 7 0 2 8 1 1 9 2 2 6 9 x 1 50V 3 4 7 5 7 1 3 2 4 6 8 y = 2 y = 1 x = 1 x = 2 y 8

Asignamos cada modo según el siguiente esquema 1) 2) 3) 4) N° Nodo Elemento 1 4 1 5 2 2 5 1 3 5 2 6 4 3 6 2 5 7 4 8 6 5 8 4 7 8 5 9 8 6 9 5 8 4 5 6 (i) (j) (k) (k) (i) (j)

5)

6)

7)

etc

Matriz de coeficientes

Primero veamos cómo es la K del EF N°6 (como ejemplo):

Etc. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0

Estas notas han sido redactadas por el Ing. Ernesto Kisielewsky y revisadas por el Ing. Ariel Lichtig en base en la siguiente bibliografía:

- Apunte de cátedra de Teoría de CamposN°XVI-1997 “Elementos Finitos” Lópina -Rodriguez Tarrio. Departamento de Electrotecnia. Facultad de Ingeniería – UBA.

- “El método de EF aplicado al estudio de Campos Eléctricos y Magnéticos en Máquinas Eléctricas”, Hector Laiz, 1986, Beca de Investigación N°8.

Departamento de Electrotecnia. Facultad de Ingeniería – UBA.

- “El método de Elementos Finitos en el cálculo de Campos Magnéticos en Máquinas Eléctricas”. Balbiano J.L. Trabajo Especial. Departamento de Electrotecnia. Facultad de Ingeniería – UBA.

- “Elementos Finitos para Ingeniería Eléctrica”. Silvester- Ferrari Ed. Limusa 1989.

- “Finite Elements in Electric and Magnetic Field Problems”, Silvester-Chari (Ed.), Wiley, 1980.

- “An Introduction to Finite Element Analysis”. Norrie- De Vries. Ed. Academic Press. 1978.

- Elements of Electromagnetics, M. Sadiku Para un estudio más profundo se recomienda: - “Finite Element Method”, Zienkiewicz.