matematica ii clase 20

(1)

Álgebra lineal,

funciones de múltiples variables, cálculo

diferencial y cálculo integral

Cátedra de Matemática II

(2)

Clase 20

1 Integrales dobles

Cálculo de volumen

(3)

1 _{Integrales dobles}

Cálculo de volumen

(4)

Comentarios preliminares

La definición deintegraldef(x)es motivada por el

problema del cálculo del árealimitada por la curva de

y=f(x)y la líneay=0, entre las líneasx=ayx=b.

x y

a b

y=f(x)

D

La integral es

Z b

a

f(x)dx

(5)

regiónDdel planoxy, es motivada por elproblema del cálculo del volumenlimitado por la superficie dez=f(x,y)

y el planoz=0, dentro de uncilindrode ejez que pasa por lafronteradeD.

x _y

z

z=f(x,y)

D

cilindro

La integral doble es

Ï

D

f(x,y)dA

(6)

Integración sobre un rectángulo

D

Supongamos queDconsiste de todos los puntos(x,y)

tales quea≤x≤by quec≤y≤d (un rectángulo).

Se puede hacer unaparticiónP de la regiónDen pequeños rectángulos

a=x0<x1<x2< · · · <xm−1<xm=b

c=y0<y1<y2< · · · <yn−1<yn=d

Esta partición consiste enmnrectángulosRij (1≤i≤m,

(7)

tales quea≤x≤by quec≤y≤d (un rectángulo). Se puede hacer unaparticiónP de la regiónDen pequeños rectángulos

a=x0<x1<x2< · · · <xm−1<xm=b c=y0<y1<y2< · · · <yn−1<yn=d

(8)

Integración sobre un rectángulo

D

tales quea≤x≤by quec≤y≤d (un rectángulo). Se puede hacer unaparticiónP de la regiónDen pequeños rectángulos

a=x0<x1<x2< · · · <xm−1<xm=b c=y0<y1<y2< · · · <yn−1<yn=d

(9)

a=x0 x1 xi−1xi xm−1 xm=b c=y0

y1

yj−1

yj yn=d

x y

Rij

(x∗

ij,yij∗)

El área de cada rectánguloRij es

∆Aij=∆xi∆yj

=(xi−xi−1)(yj−yj−1)

La diagonal es

diag(Rij)=

q

(10)

Integración sobre un rectángulo

D

y1

yj−1

yj yn=d

x y

Rij

(x∗

ij,yij∗)

El área de cada rectánguloRij es

∆Aij=∆xi∆yj

=(xi−xi−1)(yj−yj−1)

La diagonal es

diag(Rij)= q

(11)

y1

yj−1

yj yn=d

x y

Rij

(x∗

ij,yij∗)

LanormadeP es

kPk = max

1≤i≤m

1≤j≤n

diag(Rij)

es decir, la máxima diagonal de todos los rectángulosRij.

Elegimos un punto(x_ij∗,y_ij∗)

(12)

Integración sobre un rectángulo

D

y1

yj−1

yj yn=d

x y

Rij

(x∗

ij,yij∗)

LanormadeP es

kPk = max

1≤i≤m

1≤j≤n

diag(Rij)

es decir, la máxima diagonal de todos los rectángulosRij.

Elegimos un punto(x_ij∗,y_ij∗)

(13)

x

y z

z=f(x,y)

caja

(x∗ ij,yij∗) Rij

Podemos hacer unasuma de Riemman

R(f,P)= m X

i=1

n X

j=1

f(x_ij∗,y_ij∗)∆Aij

sobre todas las cajas. Esta sumaR(f,P)

aproxima el volumen bajo

z=f(x,y), tanto mejor cuandokPk →0

(14)

Definición de integral doble sobre un rectángulo

Definición

Se dice quef esintegrablesobre el rectánguloD, y que tiene

integral doble

I= Ï

D

f(x,y)dA

si para cualquier número positivo², existe un númeroδ, tal que se cumple

¯

¯R(f,P)−I ¯ ¯<²

(15)

I= Ï

D

f(x,y)dA= Ï

D

f(x,y)dxdy= Ï

D

f(x,y)dydx

EldAque aparece en la expresión es unelemento de área.

dArepresenta el límite de_∆A=∆x_∆y en la suma de Riemman, y también suele ser escrito comodxdy odydx.

(16)

Comentarios acerca de la definición de integral doble

I= Ï

D

f(x,y)dA= Ï

D

f(x,y)dxdy= Ï

D

f(x,y)dydx

dArepresenta el límite de_∆A=∆x_∆y en la suma de Riemman, y también suele ser escrito comodxdy odydx.

(17)

I= Ï

D

f(x,y)dA= Ï

D

f(x,y)dxdy= Ï

D

f(x,y)dydx

(18)

Ejemplo

SeaDel cuadrado 0≤x≤1, 0≤y≤1. Utilizar una suma de Riemman, correspondiente a una partición deDen cuatro cuadrados, con puntos elegidos en el centro de cada cuadrado, para aproximar el valor de

Ï

D

(x2+y)dA

La particiónPse forma con las líneasx=1₂ e

y=1₂.

x y

1/2 1 1/2

1

(1₄,3₄)

(19)

Los centros de esos cuadrados son los puntos(1₄,1₄),

(1₄,3₄),(3₄,1₄)y(3₄,3₄).

Entonces la aproximación requerida es:

Ï

D(x

2

+y)dA≈R(x2+y,P)=

µ ₁ 16+ 1 4 ¶₁ 4+ µ ₁ 16+ 3 4 ¶₁ 4 + µ ₉ 16+ 1 4 ¶₁ 4+ µ ₉ 16+ 3 4 ¶₁ 4= 13

(20)

Los centros de esos cuadrados son los puntos(1₄,1₄),

(1₄,3₄),(3₄,1₄)y(3₄,3₄).

Entonces la aproximación requerida es:

Ï

D(x

2

+y)dA≈R(x2+y,P)=

µ ₁ 16+ 1 4 ¶₁ 4+ µ ₁ 16+ 3 4 ¶₁ 4 + µ ₉ 16+ 1 4 ¶₁ 4+ µ ₉ 16+ 3 4 ¶₁ 4= 13

(21)

Definición

Sif(x,y)está definida en un dominio limitadoD, definimos a

fext como una extensión def que vale cero fuera deD

fext(x,y)= ½ _f_(x

,y) sí(x,y)∈D

0 sí(x,y)∉D

SiDes un dominio limitado, entonces puede ser contenido dentro de un rectánguloRcon lados paralelos a los ejes de coordenadas. Entonces resulta que

Ï

D

f(x,y)dA= Ï

R

(22)

Propiedades de las integrales dobles

(a) Î

Df(x,y)dA=0 siDtiene área cero.

(b) Área de un dominio:Î

1dA=área de D(porque es un cilindro con baseDy altura 1).

(c) Volumen de un sólido: Sif(x,y)≥0 sobreD, entonces

Î

Df(x,y)dA=V≥0, dondeV es el volumen del sólido que

se extiende verticalmente sobreD, y por debajo de z=f(x,y).

(d) Volumen de un sólido: Sif(x,y)≤0 sobreD, entonces

Î

Df(x,y)dA= −V≤0, dondeV es el volumen del sólido

(23)

(a) Î

Î

se extiende verticalmente sobreD, y por debajo de z=f(x,y).

Î

(24)

Propiedades de las integrales dobles

(a) Î

Î

se extiende verticalmente sobreD, y por debajo de

z=f(x,y).

Î

(25)

(a) Î

Î

se extiende verticalmente sobreD, y por debajo de

z=f(x,y).

Î

(26)

Propiedades de las integrales dobles

(e) Dependencia lineal del integrando:

Ï

D(Lf(x,y)+Mg(x,y))dA=L Ï

Df(x,y)dA+M Ï

Dg(x,y)dA

(f) Preservación de las desigualdades: Sif(x,y)≤g(x,y)en

D, entonces

Ï

D

f(x,y)dA≤

Ï

D

g(x,y)dA

(g) Desigualdad triangular:¯

¯ Î

Df(x,y)dA

¯ ¯≤

Î

Df(x,y)dA.

(h) Aditividad de dominios: SiD1,D2, . . . ,Dk son dominios

que no se superponen, y sobre los cualesf es integrable, entoncesf es integrable sobreD=D1∪D2∪ · · · ∪Dk y

Ï

D

f(x,y)dA= k

X

j=1 Ï

Dj

(27)

Ï

Df(x,y)dA+M Ï

Dg(x,y)dA

D, entonces

Ï

D

f(x,y)dA≤ Ï

D

g(x,y)dA

(g) Desigualdad triangular:¯

¯ Î

Df(x,y)dA

¯ ¯≤

Î

Df(x,y)dA.

Ï

D

f(x,y)dA= k

X

j=1 Ï

Dj

(28)

Propiedades de las integrales dobles

(e) Dependencia lineal del integrando:

Ï

Df(x,y)dA+M Ï

Dg(x,y)dA

D, entonces

Ï

D

f(x,y)dA≤ Ï

D

g(x,y)dA

(g) Desigualdad triangular:¯ ¯

Î

Df(x,y)dA ¯ ¯≤

Î

Df(x,y)dA.

Ï

D

f(x,y)dA= k

X

j=1 Ï

Dj

(29)

Ï

Df(x,y)dA+M Ï

Dg(x,y)dA

D, entonces

Ï

D

f(x,y)dA≤ Ï

D

g(x,y)dA

(g) Desigualdad triangular:¯ ¯

Î

Df(x,y)dA ¯ ¯≤

Î

Df(x,y)dA.

Ï

D

f(x,y)dA= k X

j=1

Ï

Dj

(30)

Índice

1 _{Integrales dobles}

Cálculo de volumen

(31)

Ejemplo

SiRes el rect´anguloa≤x≤b,c≤y≤d, entonces

Ï

R

3dA=3×área deR=3(b−a)(d−c) (1)

(32)

Ejemplo

SiRes el rect´anguloa≤x≤b,c≤y≤d, entonces

Ï

R

3dA=3×área deR=3(b−a)(d−c) (1)

Aquí, el integrando esf(x,y)=3, y la integral es igual al volumen de la caja de altura 3 cuya base es el rectángulo

(33)

Esta integral puede ser expresada como la suma de tres integrales dobles

I=

Ï

x2₊_y2_≤₁sinxdA+

Ï

x2₊_y2_≤₁y

3

+

Ï

x2₊_y2_≤₁4dA

=I1+I2+I3

El dominio de integraciónDes un disco de radio 1 centrado en el origen.

(34)

Ejemplo

EvaluarI=Î

x2₊_y2_≤₁(sinx+y3+4)dA.

I= Ï

x2₊_y2_≤₁sinxdA+ Ï

x2₊_y2_≤₁y

3

+ Ï

x2₊_y2_≤₁4dA =I1+I2+I3

(35)

I= Ï

x2₊_y2_≤₁y

3

+ Ï

x2₊_y2_≤₁4dA =I1+I2+I3

(36)

Ejemplo

EvaluarI=Î

x2₊_y2_≤₁(sinx+y3+4)dA.

I= Ï

x2₊_y2_≤₁y

3

+ Ï

x2₊_y2_≤₁4dA =I1+I2+I3

(37)

Similarmente,I2=0, ya quey3es una funciónimpardey,

yDes simétrico respecto del ejex.

Entonces nos queda

I3= Ï

D4dA=4×área deD=4π

(38)

yDes simétrico respecto del ejex. Entonces nos queda

I3=

Ï

(39)

yDes simétrico respecto del ejex. Entonces nos queda

I3=

Ï

D4dA=4×área deD=4π