Análisis dinámico del movimiento corporal con herramientas computacionales

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(1)ANÁLISIS DINÁMICO DEL MOVIMIENTO CORPORAL CON HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES. JUAN CAMILO BLANCO CAMPOS. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MECÁNICA BOGOTÁ, D.C. 2009.

(2) ANÁLISIS DINÁMICO DEL MOVIMIENTO CORPORAL CON HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES. JUAN CAMILO BLANCO CAMPOS. Proyecto de grado para optar al título de: INGENIERO MECÁNICO. Asesor ANA MARÍA POLANCO GUTIÉRREZ Ingeniero mecánico, MSc.. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MECÁNICA BOGOTÁ, D.C. 2009.

(3) CONTENIDO. 1.. INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................... 1. 2.. OBJETIVOS ................................................................................................................................... 5. 3.. DESARROLLO DEL MODELO DEL CUERPO Y BIOMETRÍA ............................................................. 6 3.1.. DESARROLLO DE LOS MODELOS GEOMÉTRICOS ................................................................ 6. 3.1.1.. Modelamiento por medio de una esfera .................................................................... 7. 3.1.2.. Modelamiento por medio de conos truncados........................................................... 9. 3.1.3.. Modelamiento por medio de pirámides truncadas .................................................. 13. 3.2.. SELECCIÓN DE LA DENSIDAD ............................................................................................. 19. 4.. SELECCIÓN DE LOS MARCADORES EN EL CUERPO .................................................................... 21. 5.. AJUSTE DE CURVAS A LA INFORMACIÓN .................................................................................. 22 5.1.. Polinomio interpolante de Lagrange ................................................................................. 22. 5.2.. Curvas Bézier .................................................................................................................... 23. 5.3.. Trazador Cúbico – Spline .................................................................................................. 23. 5.4.. B!Spline ............................................................................................................................. 26. 6.. FILTRADO DE LA INFORMACIÓN ............................................................................................... 29. 7.. DESARROLLO DE LA CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO ............................................................... 33 7.1.. OBTENCÓN DEL MARCO DE REFERENCIA PROPIO ............................................................ 34. 7.2.. MATRIZ DE ROTACIÓN Y PARÁMETROS DE EULER ........................................................... 35. 7.3.. MATRIZ DE ROTACIÓN Y VELOCIDADES ANGULARES (método alternativo) .................... 36. 7.4.. CENTRO INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN Y ACELERACIÓN CENTRÍFUGA ............................. 37. 7.4.1. 8.. Validación del método .............................................................................................. 38. DESARROLLO DE LA CINÉTICA DEL MOVIMIENTO .................................................................... 42 8.1.. MOMENTUM ANGULAR .................................................................................................... 42. 8.2.. MOMENTUM LINEAL ......................................................................................................... 43. 8.3.. ENERGÍA CINÉTICA ............................................................................................................ 43.

(4) 8.4. 9.. FUERZAS CENTRÍFUGAS..................................................................................................... 44. FUENTES DE ERROR ................................................................................................................... 45 9.1.. ERROR APORTADO POR EL PROCESAMIENTO DE DATOS EN MATLAB ............................. 45. 9.1.1.. Movimiento rotacional planar, a velocidad angular constante ................................ 46. 9.1.2. Movimiento rotacional planar, a velocidad angular constante, con ruido de alta frecuencia .................................................................................................................................. 49 9.1.3. Movimiento general, traslación con velocidad constante y rotación a velocidad angular constante...................................................................................................................... 50 9.1.4. Movimiento general, traslación y rotación con velocidad constante, con ruido de altas frecuencias aplicado. ........................................................................................................ 51 10.. PROTOCOLO DE PRUEBAS ..................................................................................................... 53. 11.. PROCESAMIENTO DE DATOS ................................................................................................. 59. 11.1.. CALIBRACIÓN CON MEDICIONES DE UN TOCADISCOS ROTANDO ................................ 59. 11.1.1.. Medición 1, @ 33 rpm, sin inclinación ...................................................................... 59. 11.1.2.. Medición 2, @ 45 rpm, sin inclinación ...................................................................... 60. 11.1.3.. Medición 3, @ 33 rpm, con inclinación ..................................................................... 61. 11.1.4.. Medición 4, @ 45 rpm, con inclinación ..................................................................... 61. 11.2.. RESULTADOS Y ANÁLISIS ............................................................................................... 62. 11.2.1.. Análisis dinámico: Martelo ........................................................................................ 63. 11.2.2.. Análisis dinámico: Armada ........................................................................................ 67. 12.. CONCLUSIONES ..................................................................................................................... 74. 13.. BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................................ 75.

(5) LISTA DE FIGURAS. Figura 1-1: Primera etapa de la armada ....................................................................................... 2 Figura 1-2: Segunda etapa de la armada ..................................................................................... 2 Figura 1-3: Primera etapa del martelo .......................................................................................... 3 Figura 1-4: Segunda etapa del martelo ........................................................................................ 3 Figura 3-1: Modelo geométrico de brazo, antebrazo y mano .................................................... 9 Figura 3-2: Conos correspondientes a muslo y pantorrilla ...................................................... 11 Figura 3-3: Modelo de pirámide con dimensiones pertinentes .. ¡Error! Marcador no definido. Figura 3-4: Modelo geométrico del tronco .................................................................................. 16 Figura 3-5: Modelo geométrico del pie. ...................................................................................... 18 Figura 5-1: Comportamiento del polinomio de Lagrange ............ ¡Error! Marcador no definido. Figura 5-2: Comparación trazadores........................................................................................... 28 Figura 6-1: Wand moviéndose sin filtrar los datos. ................................................................... 29 Figura 6-2: Detalle oscilaciones. .................................................................................................. 29 Figura 6-3: Comparación de los tres tipos de filtro y el comportamiento del doble filtro. ... 32 Figura 7-1: Relación de los marcos de referencia. ................................................................... 33 Figura 7-2: Magnitud aceleración centrífuga en rotación simple. ........................................... 38 Figura 7-3: Posición C.I.R en rotación simple............................................................................ 39 Figura 7-4: Posición C.I.R para rotación y traslación. ................. ¡Error! Marcador no definido. Figura 7-5: Magnitud de la aceleración centrífuga en rotación y traslación. . ¡Error! Marcador no definido. Figura 9-1: Matriz en Excel del movimiento simulado .............................................................. 46 Figura 9-2: Cinemática lineal con rotación simple..................................................................... 47 Figura 9-3: Resultados por el método de parámetros de Euler .............................................. 48 Figura 9-4: Cinemática angular por Matrices de rotación ........................................................ 48 Figura 9-5: Cinemática lineal y angular, velocidad angular constante con ruido de alta frecuencia ........................................................................................................................................ 49 Figura 9-6: Cinemática lineal, velocidad angular constante, traslación a velocidad constante. ........................................................................................... ¡Error! Marcador no definido. Figura 9-7: Cinemática angular, velocidad angular constante, traslación a velocidad constante. ........................................................................................... ¡Error! Marcador no definido. Figura 9-8: Cinemática lineal y angular, velocidad angular constante, traslación a velocidad constante, con ruido de altas frecuencias. .................. ¡Error! Marcador no definido. Figura 10-1: Configuración de los marcadores en Phase Space .............. ¡Error! Marcador no definido..

(6) Figura 10-2: marco de referencia generado en la calibración de Phase Space ........... ¡Error! Marcador no definido. Figura 10-3: Espacio de medición en BIOMED ......................................................................... 55 Figura 10-4: Marco de referencia general en Biomed .............................................................. 56 Figura 10-5: Archivo .OWL exportado desde Recap. ............................................................... 57 Figura 10-6: Asignación de identidades de los marcadores en todo el cuerpo. ................... 58 Figura 11-1: Medición 1. Velocidad angular del tocadiscos @ 33 rpm, sin inclinación....... 60 Figura 11-2: Medición 2. Velocidad angular del tocadiscos @ 45 rpm, sin inclinación.¡Error! Marcador no definido. Figura 11-3: Medición 3. Velocidad angular del tocadiscos @ 33 rpm, con inclinación. .............................................................................................................. ¡Error! Marcador no definido. Figura 11-4: Medición 4. Velocidad angular del tocadiscos @ 45 rpm, con inclinación. .............................................................................................................. ¡Error! Marcador no definido. Figura 11-5: Capoeirista #1, martelo. Momentum angular. ........ ¡Error! Marcador no definido. Figura 11-6: Capoeirista #1, martelo. Fuerza centrífuga. ........... ¡Error! Marcador no definido. Figura 11-7: Capoeirista #1, martelo. Energía cinética. .............. ¡Error! Marcador no definido. Figura 11-8: Capoeirista #2, martelo. Momentum angular. ..................................................... 65 Figura 11-9: Capoeirista #2, martelo. Fuerza centrífuga. ........................................................ 65 Figura 11-10: Capoeirista #2, martelo. Energía cinética. ......................................................... 65 Figura 11-11: Capoeirista #4, martelo. Momentum angular. ................................................... 66 Figura 11-12: Capoeirista #4, martelo. Fuerza centrífuga. ...................................................... 66 Figura 11-13: Capoeirista #4, martelo. Energía cinética. ......................................................... 66 Figura 11-14: Capoeirista #1, armada. Momentum angular. ................................................... 68 Figura 11-15: Capoeirista #1, armada. Fuerza centrífuga. ...................................................... 69 Figura 11-16: Capoeirista #1, armada. Energía cinética, sin tronco. ..................................... 69 Figura 11-17: Capoeirista #1, armada. Energía cinética, con tronco. .................................... 69 Figura 11-18: Capoeirista #3, armada. Momentum angular. ................................................... 70 Figura 11-19: Capoeirista #3, armada. Fuerza centrífuga. ...................................................... 70 Figura 11-20: Capoeirista #3, armada. Energía cinética.......................................................... 70 Figura 11-21: Capoeirista #4, armada. Momentum angular. ................................................... 71 Figura 11-22: Capoeirista #4, armada. Fuerza centrífuga. ...................................................... 71 Figura 11-23: Capoeirista #4, armada. Energía cinética, sin tronco. ..................................... 71 Figura 11-24: Capoeirista #4, armada. Energía cinética, con tronco. .................................... 72.

(7) LISTA DE TABLAS. Tabla 3!1: Modelos geométricos de aproximación del cuerpo........................................................... 7 Tabla 3!2: Resultados de los dos métodos de aproximación de densidad. ...................................... 19 Tabla 4!1: Distribución total de los marcadores en el cuerpo. ......................................................... 21 Tabla 10!1: Selección de capoeiristas y años de entrenamiento ...................................................... 63 Tabla 11!1: Movimientos de capoeira procesados. .......................................................................... 63. ARCHIVOS ADJUNTOS EN CD. Algoritmo general de procesamiento de los datos. Función de biometría. Generación de una única frecuencia de muestreo. Función de ajuste de curvas: B-splines. Funciones de procesamiento de información dinámica. Funciones para graficar los resultados..

(8) 1. INTRODUCCIÓN. Con el desarrollo de tecnologías que permiten llegar a una aproximación cuantitativa de las diferentes variables cinemáticas y dinámicas involucradas en el movimiento del cuerpo humano, se presenta toda una posibilidad de aplicaciones en diferentes disciplinas deportivas o marciales, ya sea para optimizar el rendimiento de un deportista, para mejorar el método de enseñanza por parte del instructor, para mejorar la técnica, o bien sea para simplemente entender las razones por las cuales la técnica se rige por movimientos específicos, y el hecho de no ser consecuente con la técnica acarrea falencias dinámicas como el equilibrio, velocidad, alcance, entre otras. Unas de las disciplinas que vale la pena analizar es la capoeira, una mezcla de danza y lucha, en la cual se presentan patadas y movimientos con una técnica definida, y que en el proceso de aprendizaje de los diferentes capoeiristas se puede ver la refinación de la técnica. Con la ayuda de herramientas computacionales tales como Phase Space, un sistema de captura de movimiento, y Matlab, una herramienta de procesamiento de datos numéricos, se puede llegar a una aproximación de las características dinámicas cuantitativas de movimientos tales como patadas, ya sean rotacionales o rotacionales-lineales. Los movimientos que se analizan en este proyecto son los siguientes1: Armada Un movimiento que involucra la rotación de todo el cuerpo, que para efectos de este trabajo se va descomponer en dos etapas. Para una patada con la pierna derecha: Etapa #1 (Figura 1-1) 1. Se parte de la ginga, el movimiento base de la capoeira. 2. De la ginga, se pasa por la base, que consiste en ubicar las dos piernas paralelas, apuntando hacia el frente. Los brazos se ubican a los dos extremos del cuerpo, con el brazo perpendicular al tronco, y. 1. Imágenes tomada de: http://www.youtube.com/watch?v=WBoVsCTcfUQ. 1.

(9) los codos con un ángulo ligeramente superior a los 90º. El tronco debe estar erguido. 3. Para darle continuidad a la inercia rotacional, la pierna derecha se cruza por delante de la pierna izquierda, con un giro de 180º, permitiéndole a la cadera y el resto del tronco rotar hasta quedar apuntando de nuevo hacia el frente. Figura 1-1: Primera etapa de la armada. Etapa #2 (Figura 1-2) 4. La pierna derecha sube completamente recta, con el pie perpendicular a la pierna, y hace un movimiento rotacional hasta quedar de nuevo en la ginga. Los brazos en esta etapa rotan en sentido contrario de la patada para equilibrar el cuerpo. Figura 1-2: Segunda etapa de la armada. 2.

(10) Martelo Un movimiento que no es completamente rotacional y guarda un equilibrio total al final de la patada. Se compone de dos etapas principales, las cuales para una patada con la pierna izquierda: Etapa #1 (Figura 1-3) De la ginga, la pierna derecha se desplaza hasta la base, acompañada de los brazos que se desplazan en el mismo sentido. Figura 1-3: Primera etapa del martelo. Etapa #2 (Figura 1-4) La pierna izquierda sube a patear al mismo tiempo que los brazos hacen una rotación en sentido contrario, para alcanzar el equilibrio al final de la patada. Figura 1-4: Segunda etapa del martelo. 3.

(11) El interés principal en este estudio consiste en el análisis del aporte que realiza cada extremidad del cuerpo, con especial atención en el movimiento de los brazos para llegar al equilibrio en el movimiento y también para transmitir el momentum angular y energía cinética, para transmitir una mayor velocidad en la patada como en el caso de la armada, o bien sea para contrarrestar la rotación de la pierna, en el caso de patadas como el martelo. Esta aproximación de las variables dinámicas se podría complementar con otras herramientas de medición, tales como la electromiografía y la placa de fuerzas para medir variables cinéticas y también para confirmar variables cinemáticas por la dinámica inversa a partir de la captura en Phase Space. Con estos complementos, se podría llegar a la cuantificación completa de las variables dinámicas del movimiento.. 4.

(12) 2. OBJETIVOS. OBJETIVO GENERAL. El objetivo general de este proyecto consiste en analizar el comportamiento dinámico del cuerpo en movimientos de capoeira con la ayuda de herramientas computacionales tales como Phase Space y Matlab.. OBJETIVOS ESPECÍFICOS. Implementar modelos de aproximación a la geometría del cuerpo humano y a sus características de masa, con su respectiva rutina de biometría. Desarrollar la rutina de medición de los movimientos en el sistema de captura de movimientos Phase Space. Procesamiento de los datos obtenidos del programa Phase Space y generar las curvas adecuadas para el movimiento. Obtención de datos cinemáticos y cinéticos a partir de la información procesada. Generación de algoritmos en Matlab para el completo procesamiento de la información. Análisis dinámico de los movimientos seleccionados.. 5.

(13) 3. DESARROLLO DEL MODELO DEL CUERPO Y BIOMETRÍA. El desarrollo del modelo depende de la selección de la geometría con la que se quiera aproximar el cuerpo, como también de una densidad adecuada (Capítulo 1.3) para encontrar la masa correspondiente a los modelos. Esta densidad es disponible en estudios previos de diferentes autores2 y se aplica un valor específico para cada extremidad, ya que cada una de estas presenta distribuciones diferentes de tejidos. Se podría hacer una mejor aproximación a la densidad y a la distribución de los tejidos para el cálculo de las inercias por medio de herramientas avanzadas de medición, como lo es la resonancia magnética, pero el objetivo de este trabajo no consiste en profundizar en estos métodos.. 3.1. DESARROLLO DE LOS MODELOS GEOMÉTRICOS. Cada extremidad que se va a estudiar se aproxima mediante una geometría específica para poder tener unas propiedades de masa cercanas a las reales (Tabla 3-1).. 2. QUINTERO, Hugo Alberto. Cálculo de fuerzas producido durante el movimiento de una extremidad humana. Bogotá, 2003, 52 p. Tesis (Magíster en Ingeniería Mecánica). Universidad de los Andes. Facultad de Ingeniería. Departamento de Ingeniería Mecánica. TÖZEREN, Aydin.Human Body Dynamics: Classical Mechanics and Human Movement. New York: Springer! Verlag, 2000. 315 p. WINTER, David A. Biomechanics of Human Movement. New York : John Wiley, 1979. 202 p.. 6.

(14) Tabla 3-1: Modelos geométricos de aproximación del cuerpo.. Parte del cuerpo. Aproximación Doble Cono Truncado Doble Cono Truncado Esfera Pirámide Rectangular Truncada Pirámide Rectangular Truncada Doble Cono Truncado Doble Cono Truncado Pirámide Rectangular Truncada. Brazo Antebrazo Mano Tronco superior Tronco inferior Muslo Pantorrilla Pie. 3.1.1. Modelamiento por medio de una esfera3. Esta geometría se usará para aproximar a las manos y a la cabeza. Manos El modelo de esferas es usado para aproximar la geometría de las manos, ya que éstas cuando están cerradas son similares a una esfera, y adicionalmente, los movimientos que se van a estudiar no están fuertemente comprometidos por la forma en la que se manejan éstas, es decir, si están abiertas o cerradas. En cambio, presentan complicaciones al modelo geométrico y a la adecuación y ubicación de los marcadores en esta zona. El diámetro de la esfera será un promedio entre el ancho del puño cerrado y la longitud de la falange proximal correspondiente al dedo del corazón. Se deducen las propiedades del modelo de la siguiente forma: 3. QUINTERO, Hugo Alberto. Cálculo de fuerzas producido durante el movimiento de una extremidad humana. Bogotá, 2003, 52 p. Tesis (Magíster en Ingeniería Mecánica). Universidad de los Andes. Facultad de Ingeniería. Departamento de Ingeniería Mecánica.. 7.

(15) Radio. .. Eq. 3-1. 5 /0123 % 670123 .. Eq. 3-2. !"#$. Volumen Masa. %. &'(ñ$ )&*"&"#+, -. 4 5. 80123 % /0123 90123 .. Eq. 3-3. Inercia axial y transversal, desde el centro de masa: > :0123.1;<1= % 80123 70123 > ?. .. Cabeza. .. Eq. 3-4. La cabeza se modela de la misma forma, modificando el radio de la esfera. El diámetro de la esfera deberá ser el promedio del ancho y la altura de la cabeza. Estas dos medidas se deducen de la toma de las circunferencias en las dos direcciones. Radio: 7@1ABC1 %. =DEFGH )=DIJH 4. Eq. 3-5. Inercia transversal y axial, desde el centro de masa: > :@1ABC1 % 8@1ABC1 7@1ABC1 > ?. 8. Eq. 3-6.

(16) 3.1.2. Modelamiento por medio de conos truncados4. Brazo y muslo5 Brazo Se usan en este caso dos conos truncados para tener en cuenta el cambio de sección que tiene el brazo de acuerdo a la distribución de la masa muscular y ósea. El primer cono empieza desde la articulación del hombro, hasta donde terminan los deltoides en el húmero. El segundo cono truncado termina en la articulación del codo (Figura 3-1).. Figura 3-1: Modelo geométrico de brazo, antebrazo y mano. 6. El volumen de esta geometría es la suma del cono A y del cono B: /K % MN O7N> P7N 7> P 7>> Q L 5. /R % M> O7>> P7> 75 P 75> Q L 5. /AS1C3 % /K P /R. Eq. 3-7. Eq. 3-8. La masa correspondiente es:. 8AS1C3 % /AS1C3 9AS1C3. 4. Eq. 3-9. QUINTERO, Hugo Alberto. Cálculo de fuerzas producido durante el movimiento de una extremidad humana. Bogotá, 2003, 52 p. Tesis (Magíster en Ingeniería Mecánica). Universidad de los Andes. Facultad de Ingeniería. Departamento de Ingeniería Mecánica. 5 Ibídem 6 Ibídem. 9.

(17) La distancia del centro de masa del brazo, medida desde la articulación del hombro es de: TU VUAS1C3 %. [ [ \[ZW Z[ \]Z[ IW Z[ [ ^_ )a= )I[ YZ[ \[Z[ Z] \]Z] ^b_ Y W ` W X c [ [ X Z[ \ZW Z[ \Z[ Z[ \Z[ Z] \Z] W [. _dZDeH. Momentos de inercia :1;<1= %. O7 4 OM 9 Nf AS1C3 N = L. Eq. 3-10. P gN Q P 7>4 OM> P g> Q h 754 g> h 7>4 gN Q. Eq. 3-11. Para el cálculo del momento de inercia transversal, se definen los siguientes elementos: A´, B´ es el cono A y B sin truncar, respectivamente. A´´, B´´ corresponde al complemento del cono A y B, para completar A´´, y B´´, respectivamente. Se calculan las masas correspondientes a cada uno de los elementos descritos anteriormente 8K´ % 9AS1C3 MN 7N>. 8R´ % 9AS1C3 M> 7>>. L. L. 5. 5. 8K´´ % 9AS1C3 gN 7>>. Eq. 3-12. 8R´ % 9AS1C3 g> 75>. L. L. 5. 5. Con estas masas, se puede calcular el momento de inercia transversal desde el centro de masa del volumen total, sumando los dos conos sin truncar y restándole los momentos de inercia de los conos complementarios. :iS12j_UAS1C3. k k o % 8Ḱ a 7N> P OMN P gN Q> P YTU VUAS1C3 h OMN P gN Q^ b lm nm p >. h8Ḱ´ q h8Ŕ´ Y. 5. >f. >. k o k OM> P g> Q> P aTU VUAS1C3 h YMN P OM> P g> Q^b r P 8Ŕ q 7>> P nm p lm. 75> P. 5. uf. >. k gN k > 7> P gN> P aTU VUAS1C3 h sMN P tb r...... p nm lm. g>> P sTU VUAS1C3 h vMN P M> P 10. A[ 4. >. wt ^. Eq. 3-13.

(18) Muslo El muslo se modela de igual forma que el brazo, modificando la densidad, ya que cambian las proporciones de músculos, huesos y demás tejidos. Como los conos aproximan la geometría de los miembros, el punto donde se unen los dos conos de cada miembro no es un punto fijo, sino que depende de la distribución muscular de la persona. El modelo del fémur comienza en el trocánter mayor y termina en la rodilla. El modelo de la pantorrilla comienza en la rodilla y termina en el tobillo (Figura 3-2).. Figura 3-2: Conos correspondientes a muslo y pantorrilla7. Antebrazo y Pantorrilla. Antebrazo Para el modelamiento de esta extremidad se usaron dos conos truncados, ajustando la parte más ancha de los dos conos de acuerdo a la distribución de los músculos que tiene cada individuo: 7. Imagen tomada de: http://www.visiblebody.com/start, Recuperado el 10 de Diciembre de 2008.. 11.

(19) El volumen de esta geometría es la suma de los volúmenes de los conos: !. " %$ &'$( )'$ '* ) '*( + #. ./01. $. ". !. ). 2. ,. " %* &'*( )'* '- ) '-( + # $. Eq. 3-14. La masa correspondiente: 3./01 " 4./01. ./01. Eq. 3-15. La distancia del centro de masa del antebrazo, medida desde el codo:. 56 76./018 ". : ' ( ) >'* '$ ) ?'$( %$ 9: ; = * ( < '* ) '* '$ ) '$( @A Eq. 3-16. B. !. ) 9%$ ). ). ,. %* '*( ) >'* '- ) ?'-( < = '*( ) '* '- ) '-( @A. 2. Momentos de inercia. La expresión adecuada para el cálculo del momento de inercia axial es: C.DE.F ". # &' * &% 4 GH ./01 * $. ) I$ + ) '** &%* ) I* + ; '$* I$ ; '-* I* +. Eq. 3-17. Para el cálculo del momento de inercia transversal, se definen los siguientes elementos: C´, D´ es el cono C y D sin truncar, respectivamente. C´´, D´´ corresponde al complemento del cono C y D, para completar C´´, y D´´, respectivamente.. 12.

(20) Se calculan los momentos de inercia transversal con respecto al centro de masa del volumen total correspondiente a los elementos descritos anteriormente: (. %$ ) I$ J ? ? CB´ " 4./01 &%$ ) I$ +'*( K '*( ) &%$ ) I$ +( ) 956 76./018 ; %$ ) = @A N ? >L ML < C2´. ? ( J ? %* ) I* ( ( ( " 4./01 &%* ) I* +'* O '* ) &%* ) I* + ) =%$ ; 56 76./018 ) @ P < >L ? ML. CB´´ " 4./01 I$ '$( Q '$( ) # $. $. (H. $. RH. $. RH. (. I$( ) S56 76./018 ) T U V. I*( ) S%$ ) %* ). 8W *. 8. *. C2´´ " 4./01 I* '-( Q '-( ) (. ; 56 76./018 U X. #. $. $. (H. Eq. 3-18. De esta forma, el momento de inercia transversal con respecto al centro de masa del volumen total, es la suma de los momentos transversales de los conos C´ y D´, menos los conos complementarios C´´ y D´´ así: YZ[\]^_6\]Z`a6 " Yb´ ) Yc´ ; Yb´´ ; Yc´´. Eq. 3-19. Pantorrilla Para el modelamiento de la pantorrilla se usa el mismo modelo del antebrazo, pero aplicando la densidad apropiada para esta extremidad y las nuevas medidas como se muestra en la (Figura 3-2). 3.1.3. Modelamiento por medio de pirámides truncadas Este modelo se basa en una pirámide truncada de base rectangular, con dimensiones como se muestra a continuación:. 13.

(21) Figura 3-3: Modelo de pirámide con dimensiones pertinentes8. De la rutina de biometría (Figura 3-4) se obtienen las siguientes medidas: a, b, a1, b1, h1. La pirámide truncada de denomina pirámide 1, y el complemento se denomina pirámide 2.. Las otras dos medidas necesarias para el cálculo de las variables de masa se obtienen de la siguiente forma: d". d( " d ; dG. .ef. .g.f. Eq. 3-20. Con estas medidas, se procede a realizar el cálculo del volumen, centro de gravedad e inercias en los principales ejes de rotación.. Volumen: h " &iId ; iG IG d( + G $. Eq. 3-21. Centro de masa, medido desde la base: i Id d iId d l ; m G G ( l S ( ) dG Un < ? < ? 7jk0 56 76 jk0 ; 7( 56 76( 56 76G " " iId ; iG IG d( 7G ? 56 76G ". .8eo *. ; piG IG d( S. eo *. 8. ) dG UX. Eq. 3-22. Imagen tomada de: http://co.kalipedia.com/matematicas!geometria/tema/poliedros/graficos!altura! apotema.html?x1=20070926klpmatgeo_434.Ges&x=20070926klpmatgeo_316.Kes, Recuperado el 11 de Enero de 2009. 14.

(22) Inercias: Inercia axial De la definición de la inercia alrededor del eje z, de la pirámide total: Cq " <4 rH. S. uvw U8 ou. S. rH. uvw U. ou. rH &s ( ) t ( + xxyz l yt l ys e. Eq. 3-23. Evaluando esta integral, queda como resultado:. Cq ". {|8T .}.T 8~e H. Eq. 3-24. Para la expresión de la inercia axial de la pirámide truncada, se debe restar la inercia axial de la pirámide 2: { CqG " |&I $ i ) i$ I+d ; &IG$ iG ) iG$ IG +d( ~ Eq. 3-25 H. Inercia alrededor del eje x, eje y La definición geométrica de la inercia alrededor del eje x y del eje y, de la pirámide total, desde la base: CD " <4 rH. uvw. S ou U8. uvw S ou U8. C " <4 rH. uvw. S ou U.. rH. uvw S ou U.. rH. rH &t ( ) z ( + xxyz l yt l ys e. rH &s ( ) z ( + xxyz l yt l ys e. Eq. 3-26. Evaluando esta integral, queda como resultado: CD ". S. {.8e .o $H. (. ) d( U. C ". S. {.8e 8o $H. (. ) d( U. Eq. 3-27. Para obtener la inercia desde el centro de masa, se debe usar el teorema de ejes paralelos para desplazar la referencia la distancia al centro de masa, y restar la inercia de la pirámide complementaria, desplazada una distancia desde su base, hasta el centro de masa de la pirámide truncada: CDG ". 4 i( 4 iId m ) d( n ; S iIdU &56 76G +( ?L ? > 4iG IG d( iG( 4 ;O m ) d(( n ) S iG IG d( U &dG ; 56 76G +( P ? ?L >. 15.

(23) CG ". 4 I( 4 iId m ) d( n ; S iIdU &56 76G +( ?L ? > 4iG IG d( IG( 4 ;O m ) d(( n ) S iG IG d( U &dG ; 56 76G +( P ? ?L > Eq. 3-28. Este modelo geométrico se usará para el tronco alto, el tronco bajo y los pies. Tronco: Se usan dos pirámides para modelar el tronco superior y el inferior (Figura 3-4). Esta separación de las dos geometrías en el tronco se hace para poder medir o reconocer si la persona está doblando el tronco en los movimientos. Esta medida es importante ya que, para algunos movimientos, la falta de fuerza o técnica da como resultado que el tronco se doble hacia adelante. Figura 3-4: Modelo geométrico del tronco9. Tronco superior El tronco superior abarca desde la altura de los hombros, Hasta la altura del ombligo.. 9. Imagen tomada de: http://www.visiblebody.com/start, Recuperado el 10 de Diciembre de 2008.. 16.

(24) En la rutina de biometría, se miden los siguientes datos de cada persona que se va a medir (Figura 3-4): Distancia entre las articulaciones de los dos hombros: b Perímetro a la altura de los hombros: phh Perímetro a la altura de los pectorales: ppec Perímetro de la cintura: pcin Ancho de la cintura: wcin =xxIG Alto tronco superior, de la base del cuello el ombligo : hts = xdG. Los valores i xiG se deducen de las mediciones. i". &1!}ee+ *. ;I. iG ". !E/ (. ; xxIG. Eq. 3-29. Tronco inferior El tronco superior abarca desde el ombligo hasta la altura de la cabeza del fémur o trocánter mayor. En la rutina de biometría, se miden los siguientes datos adicionales: Perímetro a la altura del trocánter mayor: pff Ancho entre los trocánter mayor de los dos fémures: wff =xI Alto tronco inferior, desde el ombligo hasta el trocánter mayor: hcf = xdG. Y se mantienen los valores: IG xiG. El valor a, se deduce mediante la siguiente expresión: i". (. ;I. Eq. 3-30. 17.

(25) Pies Al igual que el tronco, el modelo se aplica de la misma forma para los pies (Figura 3!5). Figura 3-5: Modelo geométrico del pie10.. De la biometría, se obtienen los siguientes valores: Ancho del pie a la altura de la articulación que une el primer metatarsiano y la primera falange del primer dedo (dedo gordo) : apie = b Perímetro del pie a la altura de la articulación que une el primer metatarsiano y la primera falange del primer dedo (dedo gordo) : pdedos Largo del pie, desde el talón hasta la articulación mencionada: lpie = h1 Altura del talon : atobi = a1 Ancho del talon : wtobi = b1 La medida restante, a, se deduce del perímetro del pie: i". ,1,k (. ;I. Eq. 3-31. 10. Imagen tomada de:http://www.gestialba.com/public/anatomia/anatocast102.htm, recuperado el 15 de Diciembre de 2008.. 18.

(26) 3.2. SELECCIÓN DE LA DENSIDAD. En la literatura hay disponible información que permite llegar a una aproximación de la densidad del cuerpo, que consiste principalmente en las dos formas siguientes: Un valor del porcentaje de masa de cada extremidad, y con la aproximación del volumen obtenida por el modelo geométrico, y la masa total de la persona, se puede llegar a la densidad. Un valor directo de la densidad de cada extremidad, y por medio de la aproximación geométrica, se deduce una masa correspondiente. Al comparar la información teórica que proporciona Tözeren y Winter, acerca de los porcentajes de masa y densidad, se puede ver que los valores son muy similares, y que Winter proporciona información más detallada y útil para la clasificación de las extremidades que se ha hecho en este trabajo, y para poder comparar las dos formas de aproximar la masa en el modelo. Este método se aplica a uno de los capoeiristas a los que se les va a medir el movimiento (Tabla 3-2) Tabla 3-2: Resultados de los dos métodos de aproximación de densidad.. Parte del cuerpo Brazo Antebrazo Mano Tronco superior Tronco inferior Muslo Pantorrilla Pie Cabeza MASA TOTAL [KG]. Entrada: Masa Volumen Densidad % Masa [m3] [KG/M3] 0.00257 740.86 0.028 0.00133 820.08 0.016 0.00018 2271.84 0.006. Aproximación Cono truncado Doble Cono Truncado Esfera Prisma Rectangular Truncado Prisma Rectangular Truncado Cono truncado Doble Cono Truncado Prisma Rectangular Truncado Esfera 68. Masa 1 [KG] 1.90 1.09 0.41. Entrada: Densidad Volumen Densidad Masa 2 [m3] [KG/M3] [KG] 0.00257 1070 2.75 0.00133 1130 1.50 0.00018 1160 0.21. M2/M1. Diferencia. 1.44 1.38 0.51. + 44% + 38% ! 49%. 0.01734. 846.91. 0.216. 14.69. 0.01734. 920. 15.96. 1.09. + 9%. 0.01018 0.00952 0.00342. 1877.94 714.09 925.51. 0.281 0.100 0.047. 19.11 6.80 3.16. 0.01018 0.00952 0.00342. 1010 1050 1090. 10.28 10.00 3.72. 0.54 1.47 1.18. ! 46% + 47% + 18%. 0.00019 0.00365. 5189.47 1510.03. 0.015 0.081 TOTAL [KG]. 0.99 5.51 68.00. 0.00019 0.00365. 1100 1110 TOTAL [KG]. 0.21 4.05 67.06. 0.21 0.74. ! 79% ! 26%. Como no se tiene un método cuantitativo con el que se pueda tener un valor de referencia, no se puede escoger cuál de los dos métodos es el más adecuado. Si se analiza cualitativamente qué método puede ser más acertado, resultas ser que 19.

(27) el porcentaje de masa podría presentar menos propagación de error ya que seguramente la metodología de medición implica una medición: Masa de la extremidad. Por otro lado, para encontrar la densidad se necesitarían, aparte de la masa, una medición del volumen de la extremidad. Estas dos medidas le podrían aumentar la incertidumbre al resultado. Por lo anterior, es preferible usar el valor teórico del porcentaje de masa de cada extremidad, en un intento de disminuir en lo posible los posibles errores en esta etapa de modelamiento.. 20.

(28) 4. SELECCIÓN DE LOS MARCADORES EN EL CUERPO Para poder determinar el movimiento completo de cada extremidad, es necesario medir la posición de al menos tres puntos por cada cuerpo, en cada instante de tiempo, de los que se pueda formar un marco de referencia propio. Debido a limitaciones en la cantidad de marcadores disponibles en el laboratorio, no fue posible ubicar un cuarto marcador, correspondiente al centro de masa de cada cuerpo. Esto simplificaría los cálculos numéricos en el programa, ya que al no poder ubicar este marcador, es necesario ubicarlo partiendo de los datos del modelo geométrico y de masa y de la ubicación del origen del marco de referencia propio. Tabla 4-1: Distribución total de los marcadores en el cuerpo11.. En total, se necesitan 28 marcadores como mínimo, para medir la dinámica de todas las extremidades del cuerpo. 11. Imagen tomada de: http://www.visiblebody.com/start, Recuperado el 10 de Diciembre de 2008.. 21.

(29) 5. AJUSTE DE CURVAS A LA INFORMACIÓN. Partiendo de la característica discreta de la información captada por el sistema de captura Phase Space, se debe hacer un ajuste de una curva suave que una estos puntos de muestra y que se pueda derivar dos veces para obtener la velocidad y la aceleración. Esta diferenciación se debe poder lograr no solamente numéricamente, sino analíticamente desde las ecuaciones con las que se generan las curvas y generar, como requisitos mínimos, en la primera derivada (velocidad), una curva suave y continua y en la segunda derivada (aceleración), una curva continua en todo el intervalo de medición. Existen varios métodos para la generación de las curvas de ajuste, pero no todas son apropiadas para el tipo de información que se va a ajustar. Los m’etodos estudiados fueron los siguientes: Polinomio interpolante de Lagrange. Curvas de Bézier Spline - Trazador cúbico B-spline 5.1. Polinomio interpolante de Lagrange12 El polinomio interpolante de Lagrange genera una única función, que como su nombre lo indica, consiste en un polinomio de algún grado específico, que pasa por todos los puntos que se están ajustando. Cuando se quieren ajustar varios datos, se requieren de polinomios de órdenes mayores, lo que produce una curva oscilante y que en realidad no aproxima el verdadero comportamiento de los datos (Figura 5-1). Por esta razón, se descarta este método para aproximar las curvas del movimiento.. 12. BURDEN, Richard y FAIRES, Douglas. Análisis numérico. México : Thomson Learning, 2002. 839 p.. 22.

(30) Figura 5-1: Comportamiento del polinomio de Lagrange13. 5.2. Curvas Bézier 14 Las curvas Bézier consisten en funciones generadas a trozos, uniendo dos puntos intermedios entre intervalos de 4 datos, pero no son suaves, es decir, la derivada de estas gráficas no es contínua. En el único caso de que sea suave es en el que los 3 puntos límite de cada intervalo sean colineales. Esta característica hace que este método no sea útil para lograr el objetivo.. 5.3. Trazador Cúbico – Spline 15 El trazador cúbico o Spline consiste también en curvas generadas a trozos, de propiedades que dependen del grado del polinomio, que unen dos puntos en intervalos no necesariamente equidistantes. Para los requerimientos de esta aplicación, se necesita un Spline de un grado 3 o mayor, es decir, genera polinomios de ese orden entre cada dos puntos. El grado 3 es el que se desarrollará en este caso. Existen varias clases de trazadores cúbicos, que dependen de las características que se quieran cumplir en los puntos de la frontera. Dos de ellas son: 13. Imagen tomada de: http://www.isaacdooley.com/java/ctd/examples.html, recuperado el 11 de Enero de 2009. 14 GERALD, Curtis F. y WHEATLEY, Patrick O. Applied numerical analysis. 6 ed. 1999. 698 p. 15. BURDEN, Richard y FAIRES, Douglas. Análisis numérico. México : Thomson Learning, 2002. 839 p.. 23.

(31) Trazador cúbico sujeto: La derivada del trazador en los dos extremos de todo el dominio de datos es igual a la derivada de la función que genera los datos en los puntos correspondientes. Trazador libre o natural: La segunda derivada del trazador en los dos puntos extremos dominio de datos es igual a cero, lo que implica que, en el primer dato y en el último, por el límite derecho e izquierdo, el trazador comienza y termina en una recta, respectivamente. Aunque en un principio, para esta aplicación no importa qué clase de Spline se use, ya que estos dos intervalos de tiempo representan menos de una centésima de segundo, se va a escoger el trazador cúbico de frontera sujeta, porque no se tiene información acerca de la primera derivada de la función originaria de los datos. El Spline escogido tiene las siguientes características en cada intervalo de dos puntos consecutivos mas no necesariamente equidistantes: 1. En cada intervalo se genera un polinomio de grado 3 que inicie y termine en los dos límites del intervalo correspondiente. Esto implica que la curva sea contínua en todo el dominio. 2. La primera y segunda derivada del trazador son continuas en todo el dominio. 3. La primera derivada debe ser suave en todo el dominio. Esto implica la continuidad de la segunda derivada del trazador. 4. El trazador pasa por todos los datos de la muestra. Partiendo todo el dominio de n+1 datos en n intervalos, tal que " L : ; : Para cada par de datos “j” se pretende generar un polinomio &s+ que aproxime el comportamiento de la función originaria f(x) de la siguiente forma: (. &s+ " i ) I |s ; s ~ ) |s ; s ~ ) y |s ; s ~. $. Eq. 5-1. Para cada límite de los intervalos de datos s se tiene que. |s ~ " i " &s +. Eq. 5-2. Al evaluar la primera y segunda derivada del trazador en cada dato, se tiene: ´|s ~ " I. ´´|s ~ " . Eq. 5-3. 24.

(32) De la característica de continuidad del trazador, de la primera y segunda derivada del trazador: (. i}G " i ) I |s}G ; s ~ ) |s}G ; s ~ ) y |s}G ; s ~ I}G " I ) > |s}G ; s ~ ) ?y |s}G ; s ~. $. (. Eq. 5-4. }G " ) ?y |s}G ; s ~. Reemplazando estas ecuaciones en la condición de continuidad del trazador, se tiene la siguiente ecuación: d " s}G ; s. dgG gG ) >|dgG ) d ~ ) d }G ". $. e. |i}G ; i ~ ;. $. evf. |i ; igG ~. Eq. 5-5. La condición del trazador cúbico natural implica: H " / " L. Con las anteriores ecuaciones y condiciones, se puede armar la ecuación matricial Ax=b: 6 xxxxxxxxxxxxxxxx6xxxxxxxxxxxxxxxxx & ) + 6 6 ! x 6 & ) + " xxxx6xxxxx xxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx6xxxxxxxxx xxxxxx6xxxxxxx xx &g ; g + g g 6 xx 6 6 / () & ! 0 0 34 7 & (* ! * 5 46 5 1 34* 5 4) 7 12 % 8 ++ % + " # %'' + '' .#% Eq. 5-6 + % 0 0 % + %19:2 34, 5 4,;* 7 5 19:< 34,;* 5 4,;6 7 $ (, $ / Al solucionar este sistema de ecuaciones, donde la matriz A y los vectores son del tamaño de la cantidad de datos, se tienen los coeficientes necesarios para armar los n polinomios que conforman el trazador cúbico. Para obtener las dos derivadas necesarias, se derivan todos los polinomios dos veces y se obtienen la primera y segunda derivada, cada una con n funciones a trozos que la conforman. 25.

(33) Este tipo de trazador tiene varias desventajas que lo hacen desfavorable para los propósitos de esta aplicación: Se requieren muchas operaciones para generar las ecuaciones. Como el trazador pasa por todos los datos, cuando un dato esté desviado significativamente, este trazador va a crear las ecuaciones para poder pasar por el punto, generando seguramente velocidades y aceleraciones completamente equivocadas de los datos reales.. 5.4. B-Spline 16. El B-Spline consiste en generar una curva a trozos similar al trazador cúbico. En intervalos de 4 puntos no necesariamente equidistantes, se genera una curva ponderada de estos valores que interpola los dos puntos interiores del intervalo. Esta curva no necesariamente pasa por los datos (Figura 5-2), pero mantiene las demás propiedades de los trazadores cúbicos de continuidad en la gráfica, y sus dos derivadas, y la suavidad del trazador y su derivada. Adicionalmente, se pueden generar B-Splines de diferentes órdenes, pero en esta aplicación se usará el orden 3, es decir, un B-Spline Cúbico. Como las curvas fragmentadas se generan con funciones, se pueden derivar analíticamente, y no se necesitan derivadas numéricas, minimizando los errores originados en este proceso. Como se usan intervalos de 4 puntos para generar una función que interpole los dos puntos interiores del intervalo, el trazador total no interpola los puntos inicial y final del dominio de los datos. Este aparente problema deja de tener importancia cuando se manejan tantos datos. Para completar la interpolación en los puntos extremos, se puede generar un punto adicional en los dos extremos del dominio, que para este caso, se duplica el dato inicial y el dato final. Para cada par de coordenadas de cada uno de los n+1 datos, => # ?@>A B> C , 16. con i = 0, 1, 2, … , n. Eq. 5-7. BURDEN, Richard y FAIRES, Douglas. Análisis numérico. México : Thomson Learning, 2002. 839 p.. 26.

(34) D=>A =>E* F. El B-Spline Cúbico para el intervalo. Es:. con i = 1, 2, 3, … , n-1. G> 3H7 # I6;* JK =>EK. J;* #. Donde:. Eq. 5-8. 3*;L7M. J* # 5. N. LM 6. O. /PHPQ. L< 6. O O L 6. *. J) #. N. LM 6. 5 H6 O. J6 #. LM. 6 0. N. Eq. 5-9. La curva B-Spline se traza variando “u” en su dominio [0,1], que es el parámetro que recorre cada intervalo de datos de la medición, de acuerdo a un paso de detalle deseado, para cada intervalo. Las ecuaciones para las dos coordenadas, para cada intervalo de puntos i: Q Q Q @> 3H7 # 3Q 5 H70 @>;* O 3SH0 5 RH6 O T7@> O 35SH0 O SH6 O SH O Q7@>E* R R R Q 0 O H @>E6 R. B> 3H7 # 3Q 5 H70 B>;* O 3SH0 5 RH6 O T7B> O 35SH0 O SH6 O SH O Q7B>E* O * N. * N. *. *. N 0. N. H B>E6. Eq. 5-10. Como estas ecuaciones dependen de “u”, se deriva con respecto a esta variable para obtener la velocidad y aceleración: Q Q Q B´> 3H7 # Q// U5 3Q 5 H76 B>;* O 3WH6 5 QVH7B> O 35WH6 O RH O S7B>E* V R R Q 6 O H B>E6 X V 27.

(35) Q Q B´´> 3H7 # Q//// Y3Q 5 H7B>;* O 3QZH 5 QV7B> O 35QZH O R7B>E* O HB>E6 [ R R Eq. 5-11. Aunque se deben realizar bastantes cálculos numéricos, son menos que los que se deben hacer para el Spline, y son más sencillos de manejar.. Figura 5-2: Comparación trazadores.. Con las razones anteriores, se escogió el B-Spline como el trazador que se va a usar para generar trayectorias y derivadas que interpolan no solo posiciones, sino también diferentes estados cinemáticos del movimiento, como por ejemplo, para encontrar las derivadas de las matrices de factores de Euler, para encontrar la cinemática angular del movimiento.. 28.

(36) 6. FILTRADO DE LA INFORMACIÓN. Al hacer pruebas en Phase Space con el Wand oscilando, y pasar el B-Spline por los datos, apareció un problema de ruido de altas frecuencias (Figura 6-1), que modificaba completamente los resultados de velocidad y aceleración. Figura 6-1: Wand moviéndose sin filtrar los datos.. Cuando se examina el detalle del trazador de la posición, se puede ver que para cada dato se genera media oscilación, con una amplitud de 0.12 mm en este caso. Figura 6-2: Detalle oscilaciones.. Para solucionar esta situación, se debe usar un filtro pasa bajas que elimine estas oscilaciones de altas frecuencias. Los diferentes métodos de filtrado generan alteraciones ya sea de fase o de magnitud, o bien estos dos efectos combinados.. 29.

(37) Entre todos los métodos y funciones de diseño e implementación de filtros pasa bajas, se decidió comparar tres métodos que generen los tres tipos de error, y escoger cuál es el más adecuado para esta aplicación.. Error de magnitud. El filtro generado por la función de Matlab filtfilt hace un filtro pasa bajas usando la información de los datos cercanos por delante y por detrás, sin generar un error de fase de la información17, pero creando un error de magnitud dependiendo de los datos que se quieran incluir en la “historia” del filtro y de la frecuencia de muestreo del sistema de captura. Entre mayor sea la frecuencia de muestreo, será menor el error de magnitud generado por el filtro. La función se usa de la siguiente forma: Primero, se define la cantidad de puntos circundantes con los que la función va a trabajar, y se genera un vector ponderado del tamaño de esta cantidad: S=puntos; M= ones(1,S)/S;. Eq. 6-1. Para una señal con un vector de datos Y, los datos filtrados se obtienen: Yfil = filtfilt (M,1,Y);. Eq. 6-2. Error de fase. El error de fase consiste en un desplazamiento en el eje de coordenadas independiente, pero manteniendo la magnitud de las mediciones. El tipo de filtro que se usará para evaluar este tipo de error es de tipo Butterworth. La función en Matlab que se implementa para generar un filtro que elimine las frecuencias : [b,a] = butter(4,.5); 17. Eq. 6-3. Manual signal processing toolbox. 30.

(38) El número 4, en el primer argumento de entrada de la función corresponde al orden del filtro. El segundo argumento corresponde a la frecuencia normalizada con respecto a la frecuencia Nyquist, que es la mitad de la frecuencia de muestreo. Es decir, el 0.5 corresponde al corte de frecuencia en la mitad de la frecuencia Nyquist, es decir, un cuarto de la frecuencia de muestreo. Los parámetros de salida a y b, corresponden a los dos parámetros necesarios para el diseño del filtro Una vez diseñado el filtro de tipo Butterworth, se usa la función filter para implementar el filtro en los datos . El argumento de entrada x corresponde al vector de datos muestreados. x1=filter(b,a,x);. Eq. 6-4. Error de fase y de magnitud. En este tipo de filtro se combinan los dos tipos de error. El objetivo de este tipo de filtrado es lograr un estado intermedio entre los dos filtros anteriores. Un filtro que cumple esta combinación de errores se diseña directamente de la función filter, y tiene un comportamiento similar a la función filtfilt, pero no usa la información de los datos cercanos. X1=filter(s,1,x);. Eq. 6-5. El parámetro s es un vector ponderado de la misma forma que el vector M que se usa como parámetro de entrada en la función filtfilt.. Selección del filtro. De acuerdo a la aplicación en este proyecto, el error de fase no tiene tanta importancia ya que lo que se analiza es una información dinámica desarrollada en 31.

(39) las diferentes etapas del movimiento y no se comparan instantes de tiempo específicos. Adicionalmente, si el filtro produce el mismo error de fase en todos los datos que se filtren, el problema quedaría solucionado. Por otro lado, el error de magnitud genera un error en las derivadas de las curvas, haciendo que este tipo de error sea más crítico ya que los datos procesados mostrarían un resultado menor que el real. Otra ventaja del filtro de error solamente de fase, es que se puede implementar varias veces sobre la misma serie de datos, afectando solamente la fase más no la magnitud. Con esta característica, se pueden filtrar los datos producidos en las mediciones u operaciones que puedan presentar ruido, sin peligro a afectar los resultados reales (Figura 6-3). Por estas razones, el filtro que se escoge va a ser el filtro de tipo Butterworth.. Figura 6-3: Comparación de los tres tipos de filtro y el comportamiento del doble filtro.. 32.

(40) 7. DESARROLLO DE LA CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO. Para obtener la cinemática de un cuerpo en el espacio que se mueve libremente, se aplica el principio de Chasle18 que consiste en que todo movimiento en el espacio es la suma de una traslación del centro de masa, y una rotación pura del cuerpo. Para aislar estos dos movimientos, es necesario crear un marco de referencia propio, con el origen en el centro de masa, que se traslada y rota libremente con respecto al marco de referencia general. Como se asume que es un cuerpo rígido, las distancias de cada elemento del cuerpo se mantienen constantes con respecto al origen del marco propio. Para un punto s ubicado en el cuerpo, la relación entre el marco de referencia propio y el general de la posición es de la siguiente forma: \ # ( O ]\^. Eq. 7-1. Donde c es el vector desde el centro del marco general al centro del marco de referencia propio, en este caso el centro de masa, A es la matriz de rotación que transforma las coordenadas propias en coordenadas de un marco en el mismo origen pero con los ejes paralelos a los ejes del marco general y \^ es la posición de s en el marco de referencia propio. Figura 7-1: Relación de los marcos de referencia.. 18. NIKRAVESH, Parviz E. Computer!Aided Analysis of Mechanical Systems. Aerospace and Mechanical Engineering Department University of Arizona: Prentice Hall, 1988. 370 p.. 33.

(41) Para encontrar la velocidad y aceleración lineal del cuerpo, v, a, respectivamente, simplemente se usa el trazador B-Spline y sus dos derivadas, con su respectivo filtro.. 7.1. OBTENCÓN DEL MARCO DE REFERENCIA PROPIO Para poder generar un marco de referencia propio de cada cuerpo en cada instante del movimiento, es necesario tener al menos tres puntos ubicados en el cuerpo, que permitan crear un sistema de coordenadas local, para cada instante de tiempo. Suponiendo que se tienen cuatro puntos de referencia en el cuerpo: a, b, c, d, que conforman vectores con el marco de referencia general, y se usan de la siguiente forma: El punto a se ubica como el origen del marco de referencia propio. El punto b se usa para generar el vector @^ , eje x propio. El punto c es el centro de masa del cuerpo. El eje B^ se obtiene del eje @^ y del punto d.. Los tres ejes propios se obtienen de la siguiente forma, en cada instante de tiempo19 :. Eje "_ Es el vector unitario que une el punto a con el punto b Eje c_. @^ # b`;ab `;a. Eq. 7-2. Es el vector unitario en la dirección de la resta entre el vector eeeef 4d y su proyección 6. sobre el eje propio @^ . Aunque la magnitud del eje propio @^ es 1, D@^ F se deja enunciado en la ecuación. B^* # 3d 5 47 5. 19. 3g;a7'h'ij <. Dij F. @^. B^ #. kj2. lkj2 l. GROSSMAN, Stanley I. Algebra Lineal. 5 ed. México : McGraw Hill, 1996. 634 p.. 34. Eq. 7-3.

(42) Eje m_ Es el vector unitario perpendicular al eje @^ y al eje B^ . n^ # @^ o B^. Eq. 7-4. 7.2. MATRIZ DE ROTACIÓN Y PARÁMETROS DE EULER20 De acuerdo al Capítulo 7.1, la matriz de rotación es la que permite relacionar el cambio de dirección del marco de referencia propio. Esta matriz consiste en una matriz cuadrada de 3x3, cuyos factores son los cosenos directores de los ejes propios con respecto al marco general. Las columnas están conformadas por los vectores de cada eje propio 4** 4 ] # p 6* 40*. 4*6 466 406. 4*0 460 q 400. 4** 4 @^ # p 6* q 40*. 4*6 4 B^ # p 66 q 406. 4*0 4 n^ # p 60 q 400. Eq. 7-5. De estas nueve variables, 3 son independientes, y 6 son dependientes. Es decir, que para determinar la orientación de un cuerpo en el marco de referencia general, se necesitan solamente 3 factores de estos. Para determinar la velocidad angular del cuerpo de una forma más sencilla, en vez de usar la matriz de rotación para los cálculos, se usan los parámetros de Euler, que para cada matriz son 4, y se definen de la siguiente forma: r) # s. tuvE*. r6 #. w. a2M ;aM2 wx8. r* #. r0 #. Donde yz] # 4** O466 O400. aM< ;a<M wx8. a<2 ;a2< wx8. Eq. 7-6. En el caso en que r) sea cero, los otros tres parámetros son: r* # s. *E6a22: tuv w. r6 # s. *E6a<<: tuv w. r0 # s. 20. *E6aMM: tuv w. Eq. 7-7. NIKRAVESH, Parviz E. Computer!Aided Analysis of Mechanical Systems. Aerospace and Mechanical Engineering Department University of Arizona: Prentice Hall, 1988. 370 p.. 35.

(43) Con estos parámetros, se define el vector p y las matrices G y L: r) r { # |r* } 6 r0. 5r* 5r ~#p 6 5r0. r) r0 5r6. 5r0 'r6 '''r) '5r* q '''r* '''r). 5r* 5r #p 6 5r0. r) 5r0 r6. ''r0 5r6 'r) ''r* q '5r* 'r). Eq. 7-8. Las dos derivadas de p se obtienen simplemente derivando cada valor del vector. Con lo anterior, se puede encontrar la velocidad y aceleración angular propia, '^ 'A ^ y general, 'A '. # V~{. # V~{. ^ # V{. ^ # V{. Eq. 7-9. 7.3. MATRIZ DE ROTACIÓN Y VELOCIDADES ANGULARES21 alternativo). (método. De acuerdo a los resultados del capítulo 9.1.1, surge la necesidad de usar un método alternativo de cálculo de las variables rotacionales del movimiento. Este consiste en la utilización directa de las matrices de rotación, y de una matriz antisimétrica (hermisimétrica). La matriz antisimétrica cumple la siguiente expresión22: Gt # 5G. Eq. 7-10. Para este caso, la matriz antisimétrica que se usa es la matriz de velocidades: / #| 5k. 5 / i. k 5i } /. / ^ # | ^ 5k^. 5 ^ / i^. k^ 5i^ } /. Eq. 7-11. Siendo A la matriz de rotación definida anteriormente, y la derivada de ésta con respecto al tiempo, se cumplen las siguientes dos relaciones: ]]t # . ]t ] # ^. Eq. 7-12. 21. NIKRAVESH, Parviz E. Computer!Aided Analysis of Mechanical Systems. Aerospace and Mechanical Engineering Department University of Arizona: Prentice Hall, 1988. 370 p.. 22. http://en.wikipedia.org/wiki/Skew!symmetric_matrix. 36.

(44) Con estas dos relaciones se encuentran todas las velocidades angulares en los dos marcos de referencia de cada cuerpo, y usando el trazador, se pueden derivar para encontrar las aceleraciones respectivas. 7.4. CENTRO INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN Y ACELERACIÓN CENTRÍFUGA El centro instantáneo de rotación es un punto instantáneo en el cual la velocidad lineal es cero, y la velocidad perpendicular, ^xu^+ , a la velocidad angular, de cada punto en el cuerpo, es proporcional a la distancia entre el punto y el centro instantáneo de rotación. Este principio es resumido en la siguiente expresión: ^xu^+ # o z+>+u+. Eq. 7-13. Es importante recalcar que estos vectores son vectores en el marco de referencia general. Como de la medición se obtienen las velocidades angulares y las velocidades lineales, del principio y expresión anterior se debe encontrar el centro instantáneo de rotación para un punto específico, que es el centro de masa del cuerpo. Como los dos vectores de velocidad y el de posición son perpendiculares entre ellos, el centro instantáneo de rotación, para el centro de masa del cuerpo, es de la siguiente forma: z+>+u+ # ?^L++ o L Clz+>+u+++ l. Eq. 7-14. Donde ^L++ es el vector unitario de la velocidad perpendicular a en el centro de masa y L es el vector unitario de la velocidad angular. El vector de velocidad perpendicular al vector de la velocidad angular del cuerpo se obtiene: ^xu^+++ # ++ 5 3++ h L 7L. Eq. 7-15. Y la magnitud del vector del centro instantáneo de rotación: lz+>+u+++ l #. ljj+++ l bb. Eq. 7-16. La aceleración centrífuga en el centro de masa, opuesta en dirección a la aceleración centrípeta que experimenta el cuerpo se obtiene de la siguiente forma: 4x,t++ # 5' o ? o z+>+u+++ C 37. Eq. 7-17.

(45) 7.4.1. Validación del método Como esta metodología no se pudo encontrar en ningún libro consultado, es pertinente hacer una prueba de la efectividad de éste. Para esto, se va a correr el algoritmo en Matlab con dos tipos de movimiento, examinando dos casos básicos, pero que demuestran la efectividad del método. Estos dos casos consisten en un movimiento rotacional planar simple, y otro que involucre una combinación del anterior movimiento con una traslación a velocidad constante. 7.4.1.1.. Un movimiento rotacional simple (Capítulo 9.1.1).. En este tipo de movimiento, la magnitud de la aceleración centrípeta se mantiene constante, con un valor de W+Z' 6 (Figura 7-2: Magnitud aceleración centrífuga en \ rotación simple.Figura 7-2). La magnitud del centro instantáneo de rotación se debe mantener en /+V'. La posición de este C.I.R., desde el centro de masa (no en el marco general) debe oscilar con un movimiento senoidal, con una amplitud de /+V', en los ejes de coordenadas coplanares al movimiento. La posición del eje paralelo al eje de rotación se mantiene en cero (Figura 7-3). Figura 7-2: Magnitud aceleración centrífuga en rotación simple.. 38.

(46) Figura 7-3: Posición C.I.R en rotación simple.. 7.4.1.2.. Un movimiento que combine una rotación y una traslación a velocidad constante (Capítulo 9.1.4). En este caso, al aplicarle una velocidad de /+S' \ en los tres ejes de coordenadas en el marco de referencia general, las velocidades traslacionales que son coplanares al movimiento rotacional, modifican la posición del C.I.R. En el caso en que la velocidad tangencial va en la misma dirección de una de las dos velocidades de desplazamiento, la velocidad resultante de este punto se encuentra de la siguiente forma: ++ # s/+S6 O /+S O # Q+ZWT 6 6. 39. Eq. 7-18.

(47) Para encontrar el centro instantáneo en este instante (Figura 7-4), se Eq. deduce de la ecuación z+>+u+ # ?^L++ o L C'z+>+u+++ 7-14, para dos dimensiones: z+++ # ++ z+++ #. Eq. 7-19. Q+ZWT'' # /+S/QR' V 'z4d\. Figura 7-4: Posición C.I.R para rotación y traslación.. De la misma forma, se modifica el comportamiento de la aceleración centrífuga, dándole una característica oscilatoria, dependiente de la superposición de todas las velocidades involucradas en cada instante de tiempo. Para el instante de tiempo en que se superponen las dos velocidades (Figura 7-5), la magnitud de la aceleración centrífuga es: 4x,t #. < +. u. #. 3*+ ¡w¢7< )+0)N. 40. # QQ+W/. Eq. 7-20.

(48) Figura 7-5: Magnitud de la aceleración centrífuga en rotación y traslación.. 41.

(49) 8. DESARROLLO DE LA CINÉTICA DEL MOVIMIENTO. Para analizar las características y efectos que implica la técnica en las patadas y diversos movimientos rotacionales que implican el uso de cada extremidad del cuerpo para la transmisión del movimiento y la obtención del equilibrio, se deben cuantificar las siguientes variables: Momentum angular Momentum lineal Energía cinética Fuerzas centrípetas Las primeras tres variables se usan para analizar la transmisión del movimiento de todo el cuerpo, producto del gesto corporal al realizar los movimientos, y la variable restante se usa para analizar el equilibrio del movimiento.. 8.1. MOMENTUM ANGULAR El momentum angular cuantifica el efecto inercial que representa cada cuerpo en rotación, y que puede ser transmitido entre sistemas de cuerpos interconectados, como lo es el cuerpo humano. Esta variable puede ser medida de dos formas diferentes: desde el centro instantáneo de rotación, o bien desde el marco de referencia propio con el origen en el centro de masa. Este último es mucho más sencillo de calcular, ya que las inercias principales son constantes, y los productos inerciales son cero. Adicionalmente, en la metodología de medición de variables cinemáticas, se obtuvo la matriz A que relaciona el marco de referencia propio con el marco general, por lo que es sumamente fácil devolver todas las variables al marco general, para poderlas sumar, y ver el efecto total de cada masa en la interacción de todas las masas rotando para cada etapa de la patada. El momentum angular propio de cada cuerpo se encuentra mediante la siguiente expresión: £^ # ¤^. Eq. 8-1. 42.

(50) Donde: Es el vector de momentum angular del marco propio. £^ ¤ Es la matriz diagonal de inercias principales en el marco propio.. Para devolver estos resultados al marco de referencia general, se aplica la matriz de relación: £ # ]£^. Eq. 8-2. Este procedimiento se aplica para cada cuerpo, en cada instante de tiempo.. 8.2. MOMENTUM LINEAL Esta variable se debe medir para completar la medición de efectos inerciales de las masas en un movimiento general. Como se parte del principio de Chasle para la descripción del movimiento del cuerpo, el momentum lineal se encuentra simplemente mediante la multiplicación de la masa de cada cuerpo por la velocidad del centro de masa en el marco de referencia general. = # ++. Eq. 8-3. El problema que surge al usar estas dos variables al describir los efectos inerciales de las extremidades, es que cuando se combinan los dos movimientos e interactúan entre sí, no es evidente la interacción de esta extremidad con el resto del cuerpo.. 8.3. ENERGÍA CINÉTICA23 Para unir los todos los efectos del movimiento general de un cuerpo, se usa la energía cinética, que es una cantidad escalar. Escogiendo el punto de referencia del cuerpo igual al centro de masa, se tiene la siguiente expresión para encontrar esta cantidad: ¥ # = h ++ O h £ * 6. * 6. Eq. 8-4. Cabe aclarar de nuevo que todas las cantidades son expresadas en términos del marco de referencia general. 23. GINSBERG, Jerry H. Advanced Engineering Dynamics. Segunda edición. Georgia Institute of Technology: Cambridge University Press, 1998. 468 p.. 43.

(51) 8.4. FUERZAS CENTRÍFUGAS Como se mencionó anteriormente, esta variable es usada para analizar el equilibrio total del cuerpo, como resultante de la interacción de todos los cuerpos rotando a diferentes velocidades y diferentes radios de giro. El análisis se limita a analizar los efectos lineales de estas fuerzas (en los ejes principales), ya que el análisis de efectos rotacionales adicionales por estos movimientos se puede volver mucho más complicado, y s sale de los objetivos de este proyecto. La fuerza centrífuga de cada extremidad es la resultante de la multiplicación de la aceleración centrífuga y la masa respectiva. ¦x,t # 4x,t++. Eq. 8-5. El resultado es un vector compuesto de las fuerzas en cada eje del marco general. Como el objetivo es el equilibrio horizontal en el movimiento, el análisis se va a centrar en la sumatoria de la fuerzas horizontales de todos los cuerpos, que debería ser un valor cercano a cero, y se descartan los efectos verticales de estas fuerzas, ya que los movimientos seleccionados no incluyen acrobacia o saltos, donde se podrían afectar de una forma significativa.. 44.

(52) 9. FUENTES DE ERROR. En el proceso de medición, existen varias fuentes que pueden aportar al error de los datos medidos y procesados en el desarrollo de la cinemática. Se pueden dividir en dos fuentes principales, que se pueden cuantificar debido a que se puede tener un dato con el cual comparar los resultados: 1. Programa de procesamiento de datos. 2. Sistema de captura de movimiento. Para el desarrollo de la cinética del movimiento, el modelamiento geométrico y de masa del cuerpo representa la fuente del error, pero no es fácilmente cuantificable ya que como se mencionó en el capítulo 3, se necesitan medios más avanzados para determinar las propiedades de inercia y de masa de las extremidades, lo cual se sale del alcance de este proyecto. Por esto, el error por estas fuentes no se va a analizar.. 9.1. ERROR APORTADO POR EL PROCESAMIENTO DE DATOS EN MATLAB Este error es producido cuando se usa el B-Spline sobre cada serie de datos, cuando se aplica el filtro pasa bajas para eliminar frecuencias de ruido y en la etapa de determinación de datos angulares. Para poder cuantificar el error producido por estas tres fuentes, se debe tener un dato de muestra con el cual comparar los resultados. Como para cualquier proceso físico se involucran los posibles errores de medición y de la exactitud del proceso como tal, es preferible generar un movimiento por medio de ecuaciones, generando datos de medición con la ayuda de Excel, con una frecuencia de muestreo de 480 Hz . Para crear los casos posibles, se deben tener en cuenta dos casos principales, y cada uno con una variación. Estos casos son: a. Movimiento rotacional planar, a velocidad constante, sin ruido. b. Movimiento rotacional planar, a velocidad constante, con ruido de alta frecuencia. c. Movimiento general, traslación con velocidad constante y rotación a velocidad constante. 45.

(53) d. Movimiento general, traslación y rotación con velocidad constante, con ruido de altas frecuencias aplicado. 9.1.1. Movimiento rotacional planar, a velocidad angular constante Para generar este movimiento, se debe generar la posición teórica de los tres marcadores necesarios para crear el marco de referencia propio, para simular un movimiento de un disco de 1m de diámetro, a una velocidad angular de ! "#$&%: Marcador a: un punto a una distancia fija del origen del marco general. Marcador b: un punto rotando a 1 Hz, con un radio de 500 mm, dirección eje x propio. Marcador d: un punto rotando con las mismas características de b, pero atrasado 90º de b, dirección eje y propio. El hecho de que sea atrasado voltea el eje propio Z en la dirección negativa del eje Y general. En este caso, el movimiento se simuló en el plano X-Z. De la generación del movimiento, queda una matriz de Excel de las siguientes características:. Figura 9-1: Matriz en Excel del movimiento simulado Marcador a d b. Frame 1 1 1. Tiempo 0.0021 0.0021 0.0021. X 0 6.544797786 499.9571638. 0 0 0. 0 499.9571638 6.544797786. a d b. 2 2 2. 0.0042 0.0042 0.0042. 0 13.08847415 499.8286625. 0 0 0. 0 499.8286625 13.08847415. a d b. 3 3 3. 0.0063 0.0063 0.0063. 0 19.62990788 499.6145181. 0 0 0. 0 499.6145181 19.62990788. a d b. 4 4 4. 0.0083 0.0083 0.0083. 0 26.16797812 499.3147674. 0 0 0. 0 499.3147674 26.16797812. a d b. 5 5 5. 0.0104 0.0104 0.0104. 0 32.70156462 498.9294616. 0 0 0. 0 498.9294616 32.70156462. a d b. 6 6 6. 0.0125 0.0125 0.0125. 0 39.22954786 498.4586669. 0 0 0. 0 498.4586669 39.22954786. 46. Y. Z.

(54) De este archivo se seleccionan las columnas correspondientes al tiempo, y las tres coordenadas, y se procesa esta información en Matlab. Los valores teóricos de calibración, para el punto b son: Magnitud radio de rotación: '()*+ Magnitud Velocidad tangencial: ," - !. / '() - !* +0%. 1 1 Magnitud aceleración centrípeta: ,1 " - 2 !.31 / '() - ! 1 * + &% 4 56(786 * + &%. Velocidad angular eje Y del marco general: !* "#$&%. Velocidad angular de los otros dos ejes, del marco general: '* "#$&% Velocidad angular eje Z del marco propio: 9 !* "#$&%. Velocidad angular de los otros dos ejes, del marco propio: '* "#$&%. El desarrollo de la cinemática lineal presenta errores en los datos cercanos al inicio y al final debido a la forma en que el trazador y el filtro funcionan, pero muestra un comportamiento satisfactorio en el resto del intervalo. Figura 9-2: Cinemática lineal con rotación simple. !. Al realizar el desarrollo angular por el método de los parámetros de Euler (Figura 9-3), se puede ver un error en la zona en que las coordenadas son negativas en el marco general. Por esta razón, es necesario obtener las velocidades directamente de las matrices de rotación (Capítulo 7.3). 47! !.