Capitulo 5 Un panorama de conceptos probabilísticos

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Capítulo cinco

Un panorama de conceptos

probabilísticos

OBJETIVOS

Al terminar este capítulo podrá:

UNO

Definir lo que es probabilidad.

DOS

Describir los enfoques clásico, empírico y subjetivo para la probabilidad.

TRES

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Capítulo cinco

continuación

Un panorama de conceptos

probabilísticos

OBJETIVOS

Al terminar este capítulo podrá:

CINCO

Calcular probabilidades aplicando las reglas de adición y multiplicación.

SEIS

Utilizar un diagrama de árbol para organizar y calcular probabilidades.

SIETE

Calcular una probabilidad utilizando el teorema de Bayes.

OCHO

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Definiciones

• Probabilidad: valor entre cero y uno, inclusive, que

describe la posibilidad relativa de que ocurra un evento.

• Experimento: proceso que conduce a la ocurrencia de una de varias observaciones posibles.

• Resultado: lo que resulta en particular de un experimento.

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Enfoques de la probabilidad

• Probabilidad clásica se basa en la consideración de que los resultados de un experimento son igualmente

posibles.

• Utilizando el punto de vista clásico,

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EJEMPLO 1

• Considere el experimento de lanzar dos monedas al mismo tiempo.

• El espacio muestral S = {HH, HT, TH, TT}

• Considere el evento de una cara.

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Eventos mutuamente excluyentes

• Eventos mutuamente excluyentes: la ocurrencia de

cualquier evento implica que ningún otro puede ocurrir al mismo tiempo.

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Eventos colectivamente exhaustivos

• Colectivamente exhaustivos: por lo menos uno de los eventos debe ocurrir cuando se realiza un experimento.

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Concepto de frecuencias relativas

• La probabilidad de que un evento ocurra a largo plazo se determina observando en qué fracción de tiempo sucedieron eventos semejantes en el pasado:

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EJEMPLO 2

• A lo largo de su carrera, la profesora Jones ha otorgado 186 calificaciones de A entre sus 1200 estudiantes.

¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de su clase en este semestre reciba una A?

• Aplicando el concepto de frecuencias relativas, la probabilidad de una A es

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Probabilidad subjectiva

• Probabilidad subjectiva: la posibilidad (probabilidad) de que suceda un evento específico que asigna una

persona con base en cualquier información disponible.

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Reglas básicas de probabilidad

• Si los eventos son mutuamente excluyentes, la

ocurrencia de cualquier evento impide que otro eventos ocurra.

• Reglas de adición: si dos eventos A y B son

mutuamente excluyentes, la regla especial de adición indica que la probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de sus probabilidades respectivas:

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EJEMPLO 3

• New England Commuter Airways acaba de proporcionar la siguiente información de sus vuelos de Boston a

Nueva York:

Llegada Frecuencia

Antes de tiempo 100

A tiempo 800

Demorado 75

Cancelado 25

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EJEMPLO 3 continuación

• Si A es el evento de que un vuelo llegue antes de tiempo, entonces

P(A) = 100 /1000 = 0.1.

• Si B es el evento de que un vuelo llegue demorado, entonces

P(B) = 75 /1000 = 0.075.

• La probabilidad de que un vuelo llegue antes de tiempo o demorado es

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Regla del complemento

• La regla del complemento se utiliza para determinar la probabilidad de que ocurra un evento restando del

número 1 la probabilidad de que un evento no ocurra. Si P(A) es la probabilidad del evento A y P(~A) es el

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Regla del complemento continuación

• Diagrama de Venn que ilustra la regla del complemento

A

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EJEMPLO 4

• Recuerde el EJEMPLO 3.

• Si C es el evento de que un vuelo llegue a tiempo, entonces P(C) = 800 /1000 = 0.8.

• Si D es el evento de que un vuelo sea cancelado, entonces

P(D) = 25 /1000 = 0.025.

• Utilice la regla del complemento para mostrar que la

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• P(A o B) = 1 - P(C o D) = 1 - [.8 + .025] =

.175

C .8

D .025

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Regla general de adición

• Si A y B son dos eventos que no son mutuamente excluyentes, entonces

P(A o B) se calcula con la siguiente fórmula:

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Regla general de adición

• Diagrama de Venn que ilustra esta regla

A y B

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EJEMPLO 5

• En una muestra de 500 estudiantes, 320 dijeron tener un estéreo, 175 dijeron tener una TV y 100 dijeron tener ambos:

Estéreo

Ambos 100

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• Si un estudiante es seleccionado aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que tenga sólo un estéreo, sólo una TV y uno de cada uno?

• P(S) = 320 /500 = .64.

• P(T) = 175 /500 = .35.

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• Si un estudiante es seleccionado aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que tenga un estéreo o una TV en su habitación?

• P(S o T) = P(S) + P(T) - P(S y T)

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Probabilidad conjunta

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Regla especial de multiplicación

• La regla especial de multiplicación requiere que dos eventos A y B sean independientes.

• Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de una no afecta la probabililidad de ocurrencia del

otro.

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EJEMPLO 6

• Chris posee dos inventarios independientes uno de otro. La probabilidad de que el inventario A aumente su valor el próximo año es .5. La probabilidad de que el B aumente el suyo es .7.

• ¿Cuál es la probabilidad de que ambos aumenten su valor el próximo año?

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EJEMPLO 6 continuaciòn

• ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno aumente su valor el próximo año (esto implica que cualquiera de los dos o ambos aumenten)?

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Probabilidad condicional

• Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento en particular, dado que ocurrió otro evento.

• Nota: la probabilidad de que ocurra el evento A dado que ya ocurrió B se denota como

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Regla general de multiplicación

• La regla general de multiplicación se utiliza para

determina la probabilidad conjunta de que ocurran dos eventos y establece: para dos eventos A y B, la

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Regla general de multiplicación

• La probabilidad conjunta, P(A y B) está dada por la siguiente fórmula:

P(A y B) = P(A) * P(B|A)

o

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EJEMPLO 7

• La directora de la escuela de administración en Miami recolectó la siguiente información acerca de los

estudiantes de licenciatura del colegio:

Área Hombre Mujer Total

Contabilidad 170 110 280

Finanzas 120 100 220

Mercadotecnia 160 70 230

Administración 150 120 270

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• Si un estudiante se selecciona al azar, ¿cuál es la

probabilidad de que el estudiante sea mujer del área de contabilidad?

P(A y F) = 110 / 1000.

• Dado que la estudiante es mujer, ¿cuál es la

probabilidad que esté en el área de contabilidad?

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Diagrama de árbol

• El diagrama de árbol es muy útil para visualizar las probabilidades condicional y conjunta y en particular para el análisis de decisiones administrativas que involucran varias etapas.

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R1

B1

R2

B2 R2 7/12

5/12

6/11

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Teorema de Bayes

• El teorema de Bayes se representa con

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EJEMPLO 9

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• P(A |U) = [(.55)(.03)]/[(.55)(.03) +

% de

producción total

% de

faltante en botellas

A 55 3

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Algunos principios de conteo

• Fórmula de la multiplicación: si hay m modos de hacer una cosa y n formas de hacer otra, existen m x n formas de hacer ambas.

• EJEMPLO 10: el doctor Delong tiene 10 camisas y 8 corbatas.

• ¿Cuántos conjuntos de camisas /corbatas tiene?

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Algunos principios de conteo

• Permutación: un arreglo de r objetos seleccionados a

partir de un grupo único

de n objetos posibles.

• Nota: el orden del arreglo es importante en las permutaciones.

n

r

P

!

(

)

r



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Principios de conteo

• Combinación: el número de modos para elegir r objetos de un grupo de n objetos sin considerar el orden.

n

C

r

n

r n

r





!

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EJEMPLO 11

• El entrenador Thompson tiene que elegir 5 jugadores entre los doce del equipo para incluirlos en alineación. ¿Cuántos grupos diferentes se pueden formar?

12C5 = (12!)/[5!(12-5)!] =792

• Suponga que el entrenador Thompson debe clasificarlos en orden: