CURVAS CÍCLICAS O DE RODADURA
Las curvas cíclicas o de rodadura, también llama-das curvas mecánicas por su aplicación en el diseño de piezas mecánicas, representan trayec-torias que se repiten cíclicamente. Se trata del lu-gar geométrico de las posiciones que toma un determinado punto de un círculo, que rueda sin resbalar, sobre una recta o sobre una circunferen-cia. Se trata, pues, de la expresión gráfica de las in finitas posiciones de un punto móvil que rueda. La circunferencia que rueda se denomina ruleta o circunferencia generatriz, y la recta o circun-ferencia sobre la que rueda, base o directriz . La aplicación más importante de estas curvas se encuentra en el dibujo o forma de los perfiles de los dientes de ruedas dentadas (engranajes). En esta U.D., veremos: la Cicloide, la Epicicloide, la Hi po cicloide y la Evolvente de la circunferencia.
1 CICLOIDE
«La cicloide, o trocoide por su etimología griega (rueda), es una curva plana que, como toda cícli-ca, es el lugar geométrico de las posiciones de un punto móvil contenido en una circunferencia (ruleta) que rueda sin resbalar sobre una recta». Cuando el punto móvil es interior a la circunfe-rencia-ruleta la curva merma, describiendo una curva denominada acortada ; cuando el punto móvil es exterior la curva se prolonga, tomando el nombre de alargada .
1.1 Cicloide normal.
Para construir una cicloide normal se considera conocida la circunferencia-ruleta de centro O y el punto P de ella, generador de la curva. Su trazado es como sigue:
- Por el punto P se traza la recta base o directriz, tangente a la circunferencia, de longitud (PP8) igual a la longitud de la circunferencia-ruleta, es decir, se rectifica la ruleta sobre la recta base (recordar rectificación de una circunferencia). - Se divide la circunferencia-ruleta y el
segmen-to base en el mismo número de partes iguales; por ejemplo en ocho, como muestra la fig.1.1. - Se trazan, por cada punto (1, 2, 3,…, 8) de divi-sión de la ruleta, rectas paralelas a la recta base. - Se dibujan, por cada punto (1’, 2’, 3’,…, 8’ ) de división de la recta base, rectas perpendicu -lares a ella. Cada una de estas rectas cortará a la recta paralela a la base trazada por el centro O de la ruleta en los puntos O1, O2, O3,…, O8, centros sucesivos de las distintas posiciones, intermedias y equidistantes, que toma la ruleta al moverse y describir un ciclo completo. - Seguidamente se trazan los arcos
circunferen-cia de centros O1, O2, O3,…, O8y, donde se cortan con las correspondientes rectas parale-las a la recta base, se van obteniendo los pun-tos P1, P2, P3,…, P8 de la cicloide.
NOTA.- Para un trazado más preciso de la cur-va es de interés considerar que la tangente a la curva en un punto cualquiera de la misma (en la fig.1.1 la tangente t5trazada por el punto P5) es perpendicular al segmento definido por el punto exacto de la curva (P5) y el punto de tangencia ( 5’) de la ruleta con la base en esa posición.
1.2 Cicloide alargada o acortada.
La cicloide obtenida anteriormente se denomina normal , por estar el punto P , generador de la curva, en la circunferencia-ruleta. Cuando el pun-to generador sea P’ (fig.1.2.1) o P’’ (fig.1.2.2), tomados sobre el radio de la ruleta sumándole o restándole un determinado segmento d , se ob-tendrá la llamada cicloide alargada o acortada.
1.2.1 Trazado de la cicloide alargada.
- Se comienza por construir la cicloide normal, sin necesidad de trazarla, al objeto de obtener, como se ha descrito anteriormente, la ubicación exacta de los puntos P1, P2, P3,…, P8, que la definen. Asimismo hemos de indicar que cuan-to mayor sea el número de particiones en que se divida el segmento base y, por tanto, la rule-ta, mayor facilidad de trazado y precisión se conseguirá en la representación de la curva. - A continuación se sitúa el punto generador P’ y
con ello la magnitud d en que se alarga el ra-dio de la ruleta generadora de la trayectoria. - Sobre cada una de las rectas OiPi(O1P1, O2P2,
O3P3,…, O8P8) y a partir de cada uno de los puntos Pi( P1, P2, P3, ..., P8) se lleva hacia fue-ra ( alargando el fue-radio vector ) la magnitud d, ob-teniendo así las distintas posiciones P’ique va tomando el punto generador considerado. - La unión ordenada de estas posiciones
ante-riores ( P’1, P’2, P’3,…, P’8) dibuja la trayectoria de la curva cicloide alargada.
1.2.2 Trazado de la cicloide acortada.
- Como antes, se comienza por construir, sin tra-zarla, la cicloide normal en el interés de preci-sar la posición de los puntos ( P1, P2,…, P8). - Se define la posición del punto generador P’’ y
con ello la magnitud d en que se acorta el ra-dio de la ruleta generadora de la trayectoria. - Sobre cada recta OiPiy a partir de cada punto
Pise lleva hacia dentro (acortando el radio vec-tor) la magnitud d, obteniendo las posiciones P’’i que va tomando el punto generador considerado. NOTA.- El trazado de las rectas tangentes, en los puntos de la curva, no ofrece dificultad: las rectas tangentes a las cicloides por el punto 5 ( figs.1.2.1 y 1.2.2 ) siempre son perpendicu-lares al radio vector que une el punto P’5(en la alargada) o P’’5 (en la acortada) con la división 5’ de la recta directriz.
OBJETIVOS
Dibujar curvas cíclicas, distinguiendo la forma de generarse y las características de cada una.
Conocer y comprender los fundamentos geométricos de las curvas de rodadura para aplicarlos en el diseño.
Valorar las posibilidades de las cíclicas y evolvente de círculo como conceptos básicos para la investigación tecnológica.
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2 EPICICLOIDE
«La epicicloide es una curva plana lugar geo-métrico de un punto contenido en una circun-ferencia-ruleta cuando ésta rueda sin deslizar sobre el exterior de otra, llamada directriz, de igual o mayor radio». Debido al hecho de que la ruleta rueda sobre el exterior de una circunfe-rencia es por lo que toma el prefijo «epi», cu yo significado en griego es sobre o superior. El primero en describir esta curva cíclica fue el grabador y pintor alemán Alberto Durero , en 1506. Posteriormente, en 1674, el astrónomo Olans Roener utilizó este trazado para diseñar el perfil del diente de los engranajes, basándo-se en que al estar en contacto dos de estas curvas, siempre se mantienen unidos, evitando que las ruedas en su giro vibren y se golpeen, lo que podría producir desgaste y roturas. Con posterioridad se ha comprobado que el perfil de la evolvente de la circunferencia es mejor, dado que el punto de contacto de las curvas se encuentra en la tangente común a las cir-cunferencias base, logrando que los esfuerzos sean constantes.
2.1 Epicicloide normal.
Para construir una epicicloide normal se con-sidera conocida la circunferencia-ruleta de centro O y radio r , el punto P de ella que ge-nera la curva, y el radio r’ de la circunferencia base o directriz .
Su trazado es similar a la cicloide, aunque con cierta complicación añadida, como es el he-cho de tener que rectificar una de las porcio-nes en que se divide la ruleta para curvarla so-bre la directriz, permitiéndonos así conocer el recorrido progresivo y curvo de la ruleta al ro-dar sobre la directriz curva.
En general los radios de ambas circunferen-cias serán distintos, lo que trae consigo esta-blecer la correspondencia angular entre igua-les recorridos lineaigua-les de ambas. Para ello, se emplea una expresión consistente en multipli-car el valor angular descrito por la ruleta por el cociente de los radios de la ruleta y la base. Re -cordemos que en una circunferencia se verifi-ca que un arco de la misma es igual al ángulo central que abarca por el radio.
Así, en el ejemplo de la figura que se acompaña se ha dividido la ruleta en ocho partes iguales, lo que equivale a decir que cada una abarca 45°. Si los radios de ruleta y base se designan por r y r’ respectivamente, se puede escribir:
45° r =αr’ ; α = 45° r / r’ en la fig. 2.1: r’ = 2r ; por tanto :
α = 45° r / 2r = 45°/ 2 = 22° 30’ lo que determina el valor del ángulo corres-pondiente en la circunferencia base. El proceso de trazado, aplicado al caso que nos ocupa, es el siguiente:
- Se divide la ruleta en un número de partes iguales, por ejemplo ocho, lo que se traduce en que cada parte abarcará:
360° / 8 = 45°
- Se hace la transformación angular para la cir-cunferencia base siguiendo el proceso antes descrito. En el caso de la representada en la fig. 2.1 se ha obtenido un valor deα = 22° 30’. - Se traza un arco de circunferencia concéntrico con la base, de modo que contenga al centro de la ruleta, llevando en dicho arco una abertu-ra angular igual a ocho veces los 22° 30’ antes obtenidos; esto es: 8α = 8 ·22° 30’ = 180° . Se tienen, por tanto, los puntos O y O8como ex-tremos, situándose igualmente los puntos inter-medios O1, O2, O3, …, O7, que limitan tramos angulares iguales de 22° 30’ .
- Se trazan arcos concéntricos con la base que pasen por las divisiones 1 , 2 , 3 , …, 8 estable-cidas en la ruleta.
- Cada punto de la curva, por ejemplo el P2, se obtiene como corte del arco de centro O2y ra-dio igual al de la ruleta con el arco concéntrico con la base, que pasa por el punto 2’ de la mis-ma. Un proceso repetitivo aplicado a los demás puntos determina la epicicloide completa. NOTA.- Las tangentes en los puntos de la cur-va se obtienen de un modo análogo al indica-do en el caso de la cicloide. En la fig. 2.1 se ha trazado la tangente ( t5) por el punto P5, me-diante la perpendicular al segmento 5’P5, don-de 5’ es el punto don-de contacto entre la ruleta y la base en la posición que determina el men-cionado punto P5de la epicicloide.
2.2 Epicicloides alargada y acortada.
La epicicloide obtenida anteriormente se deno-mina normal por estar el punto P, generador de la curva, en la circunferencia-ruleta. Si el punto generador fuese P’ o P’’, tomados so-bre el radio de la ruleta, sumándole o restándo-le una determinada longitud d se obtendrá la denominada epicicloide alargada o acortada respectivamente.
Su trazado por puntos, análogo al visto para la cicloide, es como sigue:
- Se comienza por situar los puntos P1, P2, P3, …, P8, que definen la epicicloide, sin necesi-dad de trazarla.
- Se define la posición del punto generador P’ (para la epicicloide alargada) y P’’ (para la acortada) y con ello la magnitud d en que se alarga o acorta el radio de la ruleta.
- Sobre cada uno de los segmentos OiPi(O1P1, O2P2, O3P3, ..., O8P8) , y a partir de cada pun-to Pi( P1, P2, P3, …, P8) se lleva a cada lado la distancia d , obteniendo las distintas posiciones que van tomando los puntos P’iy P’’ique con-forman las trayectorias que definen las epici-cloides alargada y acortada respectivamente. NOTA.- Obsérvese cómo el trazado de las rec-tas tangentes ayuda a trazar con mayor preci-sión el lugar geométrico definido por P’ o por P’’. Como en las cíclicas anteriores, las tangen-tes son perpendiculares a los radios vectores que unen el punto correspondiente de la curva con la división homónima de la base o directriz. Así, en la fig. 2.2 , las tangentes en el punto P’5 de la epicicloide alargada o P’’5en la acortada son perpendiculares a los radios vectores P’55 y P’’55 respectivamente.
2.3 Epicicloides singulares. 2.3.1 Nefroide.
Denominación que toma la epicicloide cuya base directriz es una circunferencia de radio el do ble de la ruleta (r ’ = 2 r ) . Su nombre le toma por asemejarse a la forma de los riñones.
2.3.2 Cardioide.
Nombre que toma la epicicloide en el caso en que los radios de la ruleta y la base sean igua-les; esto es: r = r’ . Su denominación viene del griego «Kardia» , que significa corazón , y «Ei-dos», forma .
Su trazado puede llevarse a cabo como el de una epicicloide normal ( fig. 2.3.2.a ) , aunque resulta más sencillo y práctico el método de construcción que se muestra en la fig. 2.3.2.b, donde se obtienen catorce puntos de la curva, lo que facilita el trazado por puntos de la mis-ma. El trazado es como sigue (fig. 2.3.2.b) : - Se divide la circunferencia base en un número
de partes iguales, por ejemplo ocho. El punto inicial y generador del movimiento es P. - Se une el punto P con las divisiones de la
ba-se antes ba-señaladas: P1, P2, P3, … , P8. - A partir de dichas divisiones (1, 2 , 3 ,…, 8) se
lleva a ambos lados de éstas, y sobre las rectas trazadas, el diámetro de la circunferencia base (igual al de la circunferencia-ruleta), obteniendo así los puntos P1, P2, …, P13, de la cardioide.
3 HIPOCICLOIDE
«La hipocicloide es una curva plana lugar geo-métrico de un punto contenido en una circun-ferencia-ruleta cuando ésta rueda sin resbalar en el interior de otra circunferencia-directriz de radio siempre mayor». El hecho de que la ruleta ruede dentro de una circunferencia ma-yor es por lo que toma el prefijo «hipo», cuyo significado, en griego, es debajo o inferior .
3.1 Hipocicloide normal.
Sea la ruleta la circunferencia de centro O y radio r = OP , y sea la base o directriz la cir-cunferencia de centro O’ y radio r’ = O’P. El punto generador es el punto P de la ruleta. Su trazado es análogo al expuesto en la epi
-cicloide. Se comienza por dividir la circunfe-rencia-ruleta de centro O en un número de partes iguales, por ejemplo ocho, numerando los puntos 1, 2 , 3 , …, 8 .
- Se obtiene la rectificación de la circunferencia del círculo generador (ruleta) sobre la circunfe-rencia directriz, procediendo de idéntico modo al consignado en la epicicloide. En el ejemplo de la figura que se acompaña el radio r’ de la circunferencia base o directriz es cuádruple del radio de la ruleta; por tanto:
α = 45°r / r’ = 45°r / 4r = 45° / 4 = 11° 15’ - Con ello se obtienen los puntos O1, O2, O3,…,
O8, que limitan tramos angulares de 11° 15’. - Se trazan arcos concéntricos con la base que
pasen por las divisiones 1, 2 , 3 ,…, 8 , marca-das, anteriormente, en la ruleta.
- Cada punto de la curva, por ejemplo el P3, se obtiene como intersección del arco de centro O3y radio igual al de la ruleta con el arco, con-céntrico con la base, que pasa por el punto 3’ de la misma. Un proceso repetitivo aplicado a los demás puntos determina la hipocicloide. NOTA IMPORTANTE : Las tangentes en los puntos de la curva se obtienen de un modo to-talmente análogo al indicado en las curvas an-teriores. En la figura se ha trazado la tangente (t5) por el punto P5. Dicha recta tangente será perpendicular al radio vector 5’P5.
3.2 Hipocicloides alargada y acortada.
La hipocicloide obtenida anteriormente se de-nomina normal por estar el punto P, genera-dor de la curva, en la circunferencia-ruleta. Si el punto generador fuese P’ o P’’, tomados so-bre el radio de la ruleta sumándole o restándo-le una determinada magnitud d , se obtendrá la denominada hipocicloide alargada o acor-tada , respectivamente.
- Se construye, sin trazarla, la hipocicloide nor-mal, tal como se ha explicado antes. - Sobre los segmentos O1P1, O2P2, O3P3, … ,
O8P8, y a partir de los puntos P1, P2, P3,…, P8, de la hipocicloide normal, se llevan las distan-cias PP’ y PP’’ (en la figura ambas igual a d ) , obteniendo así los puntos P’1, P’2, P’3,…, P’8, de la hipocicloide alargada, y P’’1, P’’2, P’’3,…, P’’8, de la hipocicloide acortada.
NOTA.- El estudio y trazado de las tangentes, que siempre ayuda a la construcción de una curva, es totalmente análogo al expuesto en las otras curvas cíclicas. Se deja, pues, al lec-tor el análisis de sus trazados en la observan-cia de la fig. 3.2 .
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3.3 Hipocicloides singulares. 3.3.1 Hipocicloide rectilínea.
Se produce un caso singular cuando el diámetro de la circunferencia-ruleta es igual al radio de la circunferencia base o directriz; esto es: r’ = 2 r . En este caso la línea hipocicloide se adapta al diámetro de la directriz.
3.3.2 Hipocicloide triangular o Tricuspidal.
Es la curva que se produce cuando el radio de la ruleta es la tercera parte del diámetro de la circunferencia directriz; esto es: r’ = 3 r .
3.3.3 Hipocicloide cuadrangular o Astroide.
Se produce esta curva cuando el radio de la circunferencia-ruleta es la cuarta parte del diámetro de la circunferencia directriz; esto es: r’ = 4 r .
4 EVOLVENTE DE LA CIRCUNFERENCIA
«La evolvente de la circunferencia es la curva que genera un punto fijo de una recta tan-gente a una circunferencia que se desplaza alrededor de la misma sin resbalar». El perfil de evolvente de la circunferencia re-sulta de interés: los dientes de los engranajes rectos tienen actualmente esta forma. Su trazado puede seguir el siguiente proceso: - Se dibuja una circunferencia de radio dado y se divide en un número de partes iguales, por ejemplo en dieciséis, numerando cada uno de estos puntos.
- Por los puntos 1, 2 , 3 ,… anteriores se trazan rectas tangentes a la circunferencia.
- Sobre la tangente trazada por el punto 1 se lleva una distancia1P1igual a la longitud del arco 1P. Dicha longitud se obtiene al rectifi -car el arco de circunferencia: para ello es con-veniente trazar previamente por P (punto de arranque de la curva) una recta tangente a la circunferencia y llevar la rectificación de toda la circunferencia (segmento PP16), para pos -teriormente dividir dicho segmento en igual nú mero de partes que el convenido en la cir-cunferencia base (en la fig. 4 , en dieciséis partes), de tal manera que cada partición sea la rectificación de cada partición de circunfe-rencia base.
- Se repite la operación, llevando la magnitud correspondiente sobre las dieciséis tangentes obtenidas, lo que completa el trazado de la curva evolvente. Así, por ejemplo, por el punto 6 se lleva la distancia P6 para conseguir la posición del punto P6; por el punto 7 se lleva P7 para ob tener P7, etc.
- La unión de los dieciséis puntos se puede rea-lizar a mano alzada o bien con la ayuda de una plantilla de curvas.
