Operaciones Pegar y Reversar en Polinomios Ortogonales con Coeficientes matriciales

Operaciones Pegar y Reversar en Polinomios Ortogonales

con Coeficientes matriciales

A. Rodr´ıguez

Departamento de Matem´aticas Universidad Nacional de Colombia

V Encuentro Iberoamericano de Polinomios Ortogonales y sus Aplicaciones, 2015

Contenido

1 Operaciones Pegar y Reversar

Definici´on de Pegar y Reversar en polinomios

Definici´on de pegar y Reversar en Vectores

Definici´on de Pegar y Reversar en Matrices

2 Polinomios Ortogonales matriciales

3 Operaciones Pegar y Reversar y los Polinomios Ortogonales

Objetivos

1 Operaciones Pegar y Reversar

Definici´on de Pegar y Reversar en polinomios

Definici´on de pegar y Reversar en Vectores Definici´on de Pegar y Reversar en Matrices

2 Polinomios Ortogonales matriciales

3 Operaciones Pegar y Reversar y los Polinomios Ortogonales Transformaci´on de Darboux y perturbaciones funcionales

Pegar y Reversar en Polinomios

Cifra difital (C¸ (P)) de un polinomio P ∈ A de grado

deg (P(x )) = n est´a dado por: C¸ (P(x)) = n + 1

Pegar en Polinomios

Sean P y Q ∈ A con deg (P) = n y deg (Q) = m definimos la operaci´on

Pegar como: P  Q = x ¸c(Q)P + Q

Reversar en Polinomios

Sea P ∈ A con deg (P) = n as´ı, definimos la operaci´on Reversar como

e P = n X k=0 akxn−k

Pegar y Reversar en Polinomios

Cifra difital (C¸ (P)) de un polinomio P ∈ A de grado

deg (P(x )) = n est´a dado por: C¸ (P(x)) = n + 1

Pegar en Polinomios

Sean P y Q ∈ A con deg (P) = n y deg (Q) = m definimos la operaci´on

Pegar como: P  Q = x ¸c(Q)P + Q

Reversar en Polinomios

Sea P ∈ A con deg (P) = n as´ı, definimos la operaci´on Reversar como

e P = n X k=0 akxn−k

Pegar y Reversar en Polinomios

Cifra difital (C¸ (P)) de un polinomio P ∈ A de grado

deg (P(x )) = n est´a dado por: C¸ (P(x)) = n + 1

Pegar en Polinomios

Sean P y Q ∈ A con deg (P) = n y deg (Q) = m definimos la operaci´on

Pegar como: P  Q = x ¸c(Q)P + Q

Reversar en Polinomios

Sea P ∈ A con deg (P) = n as´ı, definimos la operaci´on Reversar como

e P = n X k=0 akxn−k

Pegar y Reversar en Polinomios

Cifra difital (C¸ (P)) de un polinomio P ∈ A de grado

deg (P(x )) = n est´a dado por: C¸ (P(x)) = n + 1

Pegar en Polinomios

Sean P y Q ∈ A con deg (P) = n y deg (Q) = m definimos la operaci´on

Pegar como: P  Q = x ¸c(Q)P + Q

Reversar en Polinomios

Pegar y Reversar en Polinomios

Proposici´on:

Sean P, Q, R ∈ A tales que:

1 _{P = P}e_e

2 P + Q = e^ P + eQ siempre que ¸c(P) = ¸c(Q)

3 gPQ = eP eQ siempre que ¸c(P) = ¸c(Q)

4 (P  Q)  R = P  (Q  R)

5 P  Q = e^ Q  eP

Si P = eP entonces P es un polinomio Pal´ındrome. Mientras que, si

Pegar y Reversar en Polinomios

Proposici´on:

Sean P, Q, R ∈ A tales que:

1 _{P = P}e_e

2 P + Q = e^ P + eQ siempre que ¸c(P) = ¸c(Q)

3 gPQ = eP eQ siempre que ¸c(P) = ¸c(Q)

4 (P  Q)  R = P  (Q  R)

5 P  Q = e^ Q  eP

Si P = eP entonces P es un polinomio Pal´ındrome. Mientras que, si

Objetivos

1 Operaciones Pegar y Reversar

Definici´on de Pegar y Reversar en polinomios

Definici´on de pegar y Reversar en Vectores

Definici´on de Pegar y Reversar en Matrices

2 Polinomios Ortogonales matriciales

3 Operaciones Pegar y Reversar y los Polinomios Ortogonales Transformaci´on de Darboux y perturbaciones funcionales

Pegar y Reversar en Vectores

Pegar en Vectores

Sean v ∈ Kn y w ∈ Km con ¸c(v ) = n y ¸c(w ) = m donde,

v = (v1, v2, · · · , vn) y w = (w1, w2, · · · , wm) definimos la operaci´on Pegar

como:

v  w = (v1, v2, · · · , vn)  (w1, w2, · · · , wm)

= (v1, v2, · · · , vn, w1, w2, · · · , wm)

Reversar en Vectores

Sean v ∈ Kn _{con ¸c(v ) = n as´ı, definimos la operaci´on Reversar como}

e

Pegar y Reversar en Vectores

Pegar en Vectores

Sean v ∈ Kn y w ∈ Km con ¸c(v ) = n y ¸c(w ) = m donde,

v = (v1, v2, · · · , vn) y w = (w1, w2, · · · , wm) definimos la operaci´on Pegar

como:

v  w = (v1, v2, · · · , vn)  (w1, w2, · · · , wm)

= (v1, v2, · · · , vn, w1, w2, · · · , wm)

Reversar en Vectores

Sean v ∈ Kn _{con ¸c(v ) = n as´ı, definimos la operaci´on Reversar como}

e

Pegar y Reversar en Vectores

Proposici´on:

Sean v ∈ Kn_{, w ∈ K}m_{y u ∈ K}t _{tales que:}

1 ev = v_e 2 αv + βw = α^ v + β_e w_e 3 vxw =_g v x_e w_e 4 v · w =v ·_e w_e 5 (v  w )  u = v  (w  u) 6 v  w =_] w _e v_e

Si v =_ev entonces v es un vector Pal´ındrome. Mientras que, si

Pegar y Reversar en Vectores

Proposici´on:

Sean v ∈ Kn_{, w ∈ K}m_{y u ∈ K}t _{tales que:}

1 ev = v_e 2 αv + βw = α^ v + β_e w_e 3 vxw =_g v x_e w_e 4 v · w =v ·_e w_e 5 (v  w )  u = v  (w  u) 6 v  w =_] w _e v_e

Si v =_ev entonces v es un vector Pal´ındrome. Mientras que, si

Objetivos

1 Operaciones Pegar y Reversar

Definici´on de Pegar y Reversar en polinomios Definici´on de pegar y Reversar en Vectores

Definici´on de Pegar y Reversar en Matrices

2 Polinomios Ortogonales matriciales

3 Operaciones Pegar y Reversar y los Polinomios Ortogonales Transformaci´on de Darboux y perturbaciones funcionales

Pegar y Reversar en Matrices

Las operaciones Pegar y Reversar en matrices, las aplicaremos sobre filas.

Pegar en Matrices

Sean B, D ∈ Mnxm tales que B =

   b1 .. . bm   y D =    d1 .. . dm    la operaci´on

Pegar est´a definida como:

B  D =    b1 d1 .. . bm dm   

Pegar y Reversar en Matrices

Las operaciones Pegar y Reversar en matrices, las aplicaremos sobre filas.

Pegar en Matrices

Sean B, D ∈ Mnxm tales que B =

   b1 .. . bm    y D =    d1 .. . dm    la operaci´on

Pegar est´a definida como:

B  D =    b1 d1 .. .   

Pegar y Reversar en matrices

Reversar en Matrices

Sea B ∈ Mnxm tal que B =

   b1 .. . bm  

, definimos la operaci´on Reversar

como: eB =    e b1 .. . f bm   

Pegar y Reversar en Matrices

Proposici´on: Sean B, D y C ∈ Mnxm tales que:

1 e e B = B 2 αB + βD = α e^ B + β eD 3 (B  C )  D = B  (C  D) 4 B  D = e^ D  eB 5 (B)gt= ( eB) t 6 (B  D)t= Bt Dt 7 gBD = B eD 8 det( eB) = (−1)bn₂cdet(B)

Si B = eB entonces B es una matriz Pal´ındrome. Mientras que, si

Pegar y Reversar en Matrices

Proposici´on: Sean B, D y C ∈ Mnxm tales que:

1 e e B = B 2 αB + βD = α e^ B + β eD 3 (B  C )  D = B  (C  D) 4 B  D = e^ D  eB 5 (B)gt= ( eB) t 6 (B  D)t= Bt_{ D}t 7 gBD = B eD 8 det( eB) = (−1)bn₂cdet(B)

Si B = eB entonces B es una matriz Pal´ındrome. Mientras que, si

Momentos matriciales y matrices de Hankel

Dada una medida µ(dx ) = W (x )dx donde W (x ) es la funci´on peso, est´a

es una matriz sim´etrica en Rq×q que tiene soporte en un subconjunto

infinito E de R. Asumiremos que µ es tal, que los momentos {µn}n>0

asociados a ´el, definidos por

µn=

Z

E

xnd µ(x ), n > 0, µn∈ Rq×q,1

los cuales resultan ser sim´etricos y est´an bien definidos para cada n > 0. Sus matrices correspondientes de Hankel son

Hn:=    µ0 µ1 . . . µn .. . ... ... ...   ,

Polinomios Ortogonales matriciales en la recta real

Definici´on

Sea (Pn)n>0 una sucesi´on de polinomios matriciales tal que

i) deg Pn(x ) = n, con coeficiente fijo no singular, ∀n > 0,

ii) Z E Pm(x )d µ(x )Pnt(x ) = Z E Pm(x )W (x )Pnt(x )dx = δmnCn, para todo

m, n > 0, donde Cn es una matriz constante no singular de tama˜no

q × q,

esta sucesi´on de polinomios Ortogonales matriciales es llamada (MOPS)

con respecto a la medida µ. Si Cn es la matriz identidad q × q Iq para

cada n > 0, entonces, los polinomios son llamados ortogonales.

OBSERVACI ´ON: Los anteriores son llamados polinomios ortogonales

El complemento de Schur de µ

Consideremos la partici´on por bloques

Hn:=      µ0 µ1 . . . µn µ1 µ2 . . . µn+1 .. . ... ... ... µn µn+1 . . . µ2n      → Hn−1 Yn Yt_n µ2n  , con Yn= (µn, µn+1, . . . , µ2n−1)t

Entonces el complemento de Schur de µ2n es

Relaci´

on de recurrencia a tres t´

erminos

La sucesi´on (Pn)n>0 puede tambi´en ser calculado usando la relaci´on de

recurrencia a tres t´erminos.

xPn(x ) = Pn+1(x ) + BnPn(x ) + AnPn−1, n > 1, (1)

con P1(x ) = Iqx − B0, y las q × q matrices An, Bn son dadas por

An = Z E Pn(x )W (x )Pnt(x )dx  C_n−1−1 = CnC_n−1−1 , n > 1 Bn = Z E xPn(x )W (x )Pnt(x )dx , n > 0

La f´

ormula de Christoffel-Darboux

Polinomios con coeficientes matriciales m´onicos en la recta real

Definimos una familia de polinomios ortogonales {Pn(x )}∞n=0 como el

complemento de Schur de xn_{I en la matriz T}

nes decir: Pn(x ) = xnI −I xI · · · xn−1I       µ0 µ1 · · · µn−1 µ1 µ2 · · · µn .. . ... ... ... µn−1 µn · · · µ2n−2           µn µn+1 .. . µ2n−1     

Donde P0(x ) = I y denotaremos por P al vector fila de los polinomios con

La f´

ormula de Christoffel-Darboux

Lema: Dada una sucesi´on de polinomios ortogonales como se defini´o anteriormente, denotamos el polinomio Kernel de grado n como:

Kn(x , y ) = n X i =0 Pi(y )Pit(x ) Entonces Kn(x , y ) = [I yI · · · ynI ]      µ0 µ1 · · · µn µ1 µ2 · · · µn+1 .. . ... ... ... µn µn · · · µ2n           I xI .. . xn_I     

Demostraci´on: Se hace por inducci´on teniendo en cuenta que: Para n = 0

tenemos K0(x , y ) = P0(y )P0t(x ) = µ −1 0

La f´

ormula de Christoffel-Darboux

f´ormula de Christoffel-Darboux

Lema: Dada una sucesi´on de polinomios ortogonales

n X m=0 Pi(y )Pit(x ) = Pn(y )Atn+1Pnt(x ) − Pn+1(y )An+1Pnt(x ) x − y

Block Jacobi matrices

Teniendo en cuenta el vector fila de P entonces (1) podemos expresar en forma matricial como:

x Pt(x ) = JPt(x ), donde J es la matriz por bloques triangular infinita

J =       B0 Iq 0 0 . . . A1 B1 Iq 0 . . . 0 A2 B2 Iq . .. .. . . .. ... ... ...       , (2)

Objetivos

1 Operaciones Pegar y Reversar

Definici´on de Pegar y Reversar en polinomios Definici´on de pegar y Reversar en Vectores Definici´on de Pegar y Reversar en Matrices

2 Polinomios Ortogonales matriciales

3 Operaciones Pegar y Reversar y los Polinomios Ortogonales

Transformaci´

on de Darboux

Definici´on

Consideremos un funcional lineal L cuasi-definido y una sucesi´on de

polinomios ortogonales m´onicos Pn con respecto a tal funcional. Dicha

sucesi´on satisface la relaci´on de recurrencia a tres t´erminos. Y sea J la

matriz de Jacobi m´onica correspondiente. Tomamos la siguiente

transformaci´on en J: J = LU, J = f˘ LU = UL donde L =      1 0 0 · · · l1 1 0 · · · 0 l2 1 · · · .. . ... ... ...      y U =      u1 1 0 · · · 0 u2 1 · · · 0 0 u3 · · · .. . ... ... ...      .

La transformaci´on ˘J dada es la transformaci´on de Darboux sin

Operaciones Pegar y Reversar y los Polinomios Ortogonales

Proposici´on

Sea (J)n la submatriz principal de orden n de la matriz de Jacobi m´onica

asociada al funcional lineal cuasi-definido L. Si aplicamos la operaci´on

reverso sin par´ametro a (J)n, es decir,

(J)n= (L)n(U)n, ( ˘J)n=(L)^n(U)n+ lnenent = (U)n(L)n+ lnenent

entonces, la matriz ( ˘J)n es la submatriz principal de orden n de la matriz

Operaciones Pegar y Reversar y los Polinomios Ortogonales

Sea J una matriz Jacobiana m´onica asociada con el funcional lineal

cuasi-definido L. Entonces, la matriz J − αI , es la matriz m´onica asociada

al funcional ˘L dado por: ˘L [p(x )] = L [p(x − α)] donde p(x ) denota cualquier polinomio.

Proposici´on

Sea J la matriz m´onica de Jacobi asociada con L, {Pn} la sucesi´on de

polinomios ortogonales m´onicos con respecto a L, y α ∈ C tal que

Pn(α) 6= 0, para n ≥ 1. Si aplicamos la siguiente transformaci´on:

J − αI = LU, J := f˘ LU + αI

entonces, ˘J es la matriz jacobiana m´onica asociada al funcional (x − α)L.

La anterior transformaci´on es la transformaci´on de Darboux sin par´ametro

Bibliograf´ıa

P. Acosta-Humanez, A. Chuquen, A. Rodr´ıguez

Pasting and Reversing Operations over some Vector Space. Bolet´ın de Matem´aticas, 2013.

P. Acosta-Humanez, A. Chuquen, A. Rodr´ıguez

Pasting and Reversing Operations over some rings. Bolet´ın de Matem´aticas, 2011.

M.I. Bueno, F. Marcell´an.

Darboux Transformation and perturbation of linear functionals. Linear Algebra and its applications, 2004.

L Miranian