TEMA 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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TEMA 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Nos vamos a reducir al estudio de sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Un sistema de ecuaciones lineales, de tres ecuaciones con tres incógnitas, es un conjunto de ecuaciones de la forma siguiente:

' ' ' '

'' '' '' ''

ax by cz d a x b y c z d a x b y c z d

  

   

   



donde, a b c a b c a b, , , , , ,     , y c son números reales que se llaman coeficientes, x y z, , son las incógnitas o variables y d d, 'y ''d son también números reales que se llaman términos independientes.

Entenderemos por solución, un conjunto de números, uno por cada incógnita, que verifique simultáneamente todas las ecuaciones del sistema, es decir, que, al sustituir las variables por la solución, todas las ecuaciones han de ser ciertas.

1. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS

Atendiendo al conjunto de soluciones tenemos la siguiente clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales:

a) Compatible: Cuando tiene solución. Dentro de los compatibles diremos que es:

 Determinado: Si la solución es única.

 Indeterminado: Cuando tiene infinitas soluciones b) Incompatible: Cuando no tiene solución.

Entendemos por discutir un sistema, clasificarlo según el número de soluciones que tenga.

(2)

2. EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA

Llamaremos:

a) Matriz de coeficientes: La matriz formada por los coeficientes del sistema.

(Las ecuaciones tienen que estar ordenadas).

' ' '

'' '' ''

a b c

A a b c

a b c

 

 

  

 

 

b) Matriz ampliada o asociada: Es la matriz de los coeficientes a la que se añade la columna de los términos independientes.

* ' ' ' ' '

'' '' '' ''

a b c d

A A A a b c d

a b c d

 

 

    

 

 

c) Matriz X: Formada por las variables.

x

X y

z

  

  

   d) Matriz de los términos independientes:

' '' d

B d

d

 

 

  

 

  La ecuación matricial será: A X· B

' ' ' · '

'' '' '' ''

a b c x d

a b c y d

a b c z d

     

     

     

     

(3)

Tema2: Sistemas de Ecuaciones Lineales 2º Bach CCSS

Si la matriz de coeficientes es cuadrada y regular ( A 0 ) , entonces podríamos calcular su inversa y así dar la solución a la ecuación matricial.

·    ^1· A X B X A B

Veamos otros métodos más generales.

3. TEOREMA FUNDAMENTAL DE EQUIVALENCIA

Llamamos sistemas equivalentes a aquellos sistemas cuyo conjunto de soluciones son iguales.

Teorema Fundamental de equivalencia: Si en un sistema lineal de ecuaciones se sustituye una ecuación de dicho sistema por una combinación lineal de todas las ecuaciones del sistema, el sistema obtenido es equivalente con el sistema dado.

La constante por la que multiplico la ecuación que voy a quitar no puede ser cero.

4. MÉTODO DE GAUSS

El objetivo del método de Gauss es pasar de un sistema, mediante transformaciones elementales, a otro sistema equivalente al dado, pero siendo este escalonado.

4.1 T RANSFORMACIONES ELEMENTALES

1. Si se cambia el orden de las ecuaciones, el sistema obtenido es equivalente.

 En la matriz ampliada podré permutar filas, porque que realidad donde permuto es en el sistema.

2. Si una ecuación la multiplicamos por un número real no nulo, obtengo una ecuación equivalente, por lo que obtenemos un sistema equivalente.

(4)

3. Si en un sistema una ecuación es combinación lineal de dos o más ecuaciones, la puedo quitar, y el sistema obtenido es equivalente.

 En la matriz ampliada puedo quitar por tanto una fila cuando sean combinación lineal de otras.

4. Si en un sistema se sustituye una ecuación por una combinación lineal de otras, el sistema obtenido es equivalente (Por el Teorema Fundamental de equivalencia.)

 En la matriz ampliada puedo sustituir una fila por una combinación lineal de otras (donde ella esté).

Hacer las transformaciones elementales en un sistema, equivale a hacer dichas transformaciones en su matriz ampliada.

Utilizando estas transformaciones lo que busco es hacer que la matriz de coeficientes sea triangular inferior o superior.

4.2 C ONDICIONES PARA LAS TRANSFORMACIONES

a) Hay que emplear la matriz ampliada.

b) Dichas transformaciones sólo se podrán realizar en filas Ejemplos:

a)

2 1

2 3 4 4

5 3 16

   

   

   



x y z

Solución:

 

              

        

     

      

     

2 1

3 1 3 2

25 4

1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1

2 3 4 4 0 1 8 6 0 1 8 6

5 1 3 16 0 4 13 21 0 0 45 45

F F

F F F F

    

  

 



2 1

8 6

45 45 x y z

y z z

(5)

Empezando a despejar de abajo hacia arriba obtenemos la solución:



^x^^3,^y^^2,^z^¹



b)

 

2 2 3

5 4 4 73 Solución: 9, 2, 5

8 4 2 70

x y z

x y z x y z

x y z

   

          

   

 c)

2 3 1

2

3 3

  

     

   



x y z x y z x y z

Solución:

2 1

1 3 3 2 1 2 3 3 2

2 1 3 1 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 3

1 1 1 2 1 1 1 2 0 2 2 5 0 2 2 5

1 1 3 3 2 1 3 1 0 3 3 5 0 0 0 5

F F

F F F F F F

  

        

         

       

           

       

3 3

2 2 5

0 5 x y z

y z

   

  



 



Sistema incompatible. No tiene solución

d)

3 4

2 6

3 2 2 10

  

   

   



x y z x y z

x y z

Solución:

 

        

           

     

        

     

2 1

3 1 3 2

2

1 1 3 4 3 1 1 3 4 1 1 3 4

2 1 1 6 0 1 7 2 0 1 7 2

3 2 2 10 0 1 7 2 0 0 0 0

F F

F F F F

Sistema compatible indeterminado. Variable libre z.



   

   

  



3 4

7 2

x y z x y z

(6)

e)

1

2 2

3 1

   

   

   

 x y y z x y z

Sistema compatible indeterminado.

Solución: 2 , 1 ,

2 2

x  y  z 

       

 

 

4.3 DISCUSIÓN DE SISTEMAS POR EL MÉTODO DE GAUSS

1. Si la matriz de coeficientes es escalonada, cada variable es cabecera de línea

⇒ COMPATIBLE DETERMINADO.

2. Si aparece una fila de ceros menos el término independiente



^{0 0 0} ⁰ ^k



⇒ INCOMPATIBLE.

3. Si la matriz de coeficientes no se pudiera poner triangular inferior o superior, esto es, el sistema no es escalonado perfecto ⇒ COMPATIBLE INDETERMINADO, siendo las variables libres las que no son cabecera de línea.

4. Si aparece toda una línea de ceros, esto es porque esa fila es combinación lineal de otras ⇒ en este caso no se puede asegurar nada, depende de la forma del sistema.

5. U TILIZACIÓN DEL RANGO EN LA DISCUSIÓN SE SISTEMAS . T EOREMA DE

R OUCHÉ -F ROBENIUS

Sea S un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas. Entonces:

i. S es compatible⇔^{Rg A}

 

^^{Rg A}

 

^.

ii. ^{Rg A}

 

^^{Rg A}

 

^ⁿ⇒S es determinado.

iii. Si ^{Rg A}

 

^^{Rg A}

 

^{ }^r ⁿ⇒S es indeterminado y su solución depende de n-r parámetros.

(7)

Ejemplos:

a)

6 4

3 8

  

    

   



x y z x y z x y z

Solución:

Se comprueba que Rg A

 

^Rg A

 

^{ }³ Sistema compatible determinado

b)

3 3 1

2 2 3

5 3 7

  

   

   



x y z

Solución:

 

^Rg A

 

^{ }² Sistema compatible indeterminado, 3-2=1 parámetros libres.

c)

3 2

2 3

3 2 1

 

   

   

 x y

x y z x y z

Solución:

 

^^{2 y}Rg A

 

^{ }³ Sistema incompatible.

6. SISTEMAS HOMOGÉNEOS

Se denomina sistemas homogéneos a los sistemas formados por ecuaciones homogéneas, siendo una ecuación homogénea aquella cuyo término independiente es cero.

Son de la forma:

0

' ' ' 0

'' '' '' 0

ax by cz a x b y c z a x b y c z

  

   

   



(8)

HOMOGÉNEOS

a) El rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada.

   

Rg A Rg A

Entonces, todos sistemas homogéneos serán COMPATIBLES. Siempre tienen la solución



^{0, 0, 0}



^.

■ Si es compatible determinado ⇒



^{0, 0, 0}



es la única solución que tienen.

■ Si es compatible indeterminado ⇒ tienen infinitas soluciones una de las cuales es la trivial



^{0, 0, 0}



.

b) Si



x y z1, 1, 1



es solución del sistema ⇒



kx ky kz1, 1, 1



también es solución.

c) Si tengo dos soluciones



1, 1, 1



S x y z



₂ ₂ ₂



' , ,

S  x y z

entonces, cualquier combinación lineal obtenida a partir de las dos soluciones, es solución del sistema.



kx1qx ky2, 1qy kz2, 1qz2



es solución.

6.2 DISCUSIÓN DE SISTEMAS HOMOGÉNEOS

a) Si lo hago por Gauss aplico su técnica.

b) Si lo hago por Rouché-Frobenius:

 Rg A

 

Nº de incógnitas ⇒ COMPATIBLE DETERMINADO, la única solución es la trivial



^{0, 0, 0}



.

 Rg A

 

< Nº de incógnitas⇒ COMPATIBLE INDETERMINADO, infinitas soluciones, una de las cuales es la trivial,



^{0, 0, 0}



.