EJERCICIOS TRIÁNGULOS
1. Una cometa está unida al suelo por un hilo de 100 metros que forma con la horizontal del terreno un ángulo de 60º. Suponiendo que el hilo esté tirante , hallar la altura de la cometa.
2. Hallar el área de un pentágono regular de lado 10 cm.
3. En un triángulo ABC se conoce el lado a=BC =10 metros el
ángulo ABC que vale 105º y el ángulo ACB que vale 30º .Hallar los lados y el área del triángulo.
4. En una circunferencia de 100 m de radio se unen dos puntos con una cuerda de 50 m ¿Cuánto vale el ángulo central?
5. Calcular los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 12 y 6 m.
6. La base de un triángulo isósceles mide 20 m y el ángulo opuesto 80º .Calcular los lados y el área del triángulo .
7. Las puntas de las ramas de un compás distan 7 cm y cada rama mide 12 cm .Hallar el ángulo que forman las ramas del compás.
8. Si las dos ramas de un compás forman un ángulo de 60º y cada rama tiene 12 cm de longitud , hallar el radio de la circunferencia que puede trazarse.
9. Dos circunferencias de 4 y 6 cm respectivamente tiene sus centros distantes 12 cm .Calcula la inclinación sobre la línea de sus centros de a) la tangente común interior b) la tangente común exterior.
Ejercicios 1ª evaluación Matemáticas I
10. Desde cierto punto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando una ángulo de 30º con la horizontal .Si nos acercamos 75 m hacia el pie de la torre ese ángulo mide 60º .Halla la altura de la torre.
11. Desde cierto punto del suelo se ve un árbol bajo un ángulo de 42º.¿bajo qué ángulo se verá colocándose a distancia doble?
12. En el triángulo ABC los lados miden 24m , 28 m y 36 m :hallar la tangente del mayor de los ángulos.
13. Uno de los lados de un triángulo es doble del otro y elángulo comprendido vale 60º.Hallar los otros dos ángulos.
14. Hallar el área del triángulo ABC sabiendo que a=1 m ,B = 30º y C
= 45º.
15. Dos individuos A y B observan un globo que está situado en un plano vertical que pasa por ellos .La distancia entre los dos es de 4 Km .Los ángulos de elevación del globo desde los observadores son 46º y 52º .Hallar la altura del globo y su distancia a cada observador.
16. Tres pueblos están unidos por carreteras llanas y rectas :la distancia desde A hasta B es de 6 Km , la de B hasta C es de 9 Km y el ángulo que forman AB y BC es de 120 º¿Cuánto distan A y C?
17. Una escalera de bomberos de 10 m de longitud se ha fijado en un punto de la calzada .Si se apoya sobre una de las fachadas ,forma un ángulo de 45º y si se apoya sobre la otra de 30º.Hallar la anchura de la calle .¿A qué altura se alcanza con dicha escalera sobre cada una de las fachadas?
18. Sea AB una altura de pie accesible situado en terreno horizontal :desde el punto E situado a 23,41 m de A con un aparato colocado en C a un metro del suelo, se dirige una visual a B que forma un ángulo de 4º 12’ con la horizontal ¿Cuánto mide la altura AB?
19. Sean A y B dos puntos inaccesibles pero visibles desde otros puntos accesibles C y D separados por la longitud 73,2
m.Suponiendo que los ángulos ACD =80º 12’ ,BCD =43º 31’
,BDC = 32º y ADC = 23º 14’ ,determinar la distancia AB.
20. Un barco pide socorro y las señales son recibidas por dos
estaciones de radio que distan entre sí 80 Km .La recta que une B y C forma con la dirección norte un ángulo de 48º .B recibe señales con una dirección 135 º con el norte , mientras que C las recibe con una dirección 96º con el norte ¿A qué distancia de cada estación se encuentra el barco?
A
B
D C
A C
B N
Ejercicios 1ª evaluación Matemáticas I
21. Si queremos que una cinta transportadora de 25 metros eleve la carga hasta una altura de 15 metros,¿Qué ángulo se deberá inclinar la cinta? (SOL: 36º52’11’’)
22. El lado de un rombo mide 8 cm y el ángulo menor de 38º ¿Cuánto miden las diagonales del rombo? (SOL : d= 5,2 , D= 15,2)
23. Calcula los lados de un triángulo en el que A=55º ,B=40º c= 15 m.(SOL : a=12,33,b=9,68)
24. Dos amigos situados en dos puntos A y B que distan 500 mts ,ven la torre de una iglesia C ,bajo los ángulos BAC = 40º y ABC = 55º
¿Qué distancia hay entre cada uno de ellos y la iglesia?(SOL :a=
322,62, b= 411,14)
25. Hallar los ángulos del triángulo ABC en el que a=11 m , b = 28 m ,c = 35 m .(SOL:A= 15º34’41’’ ,B = 43º7’28’’,C=121º17’51’’) 26. Una estatua de 2,5 m de alto está colocado sobre un pedestal
.Desde un punto se ve el pedestal bajo un ángulo de 15º y la estatua bajo un ángulo de 40º .Calcula la altura del pedestal..(SOL:
0,58 m)
27. Un avión vuela entre dos ciudades A y B que distan 80 km :las visuales desde el avión a A y B forman ángulos de 29º y 43º con la horizontal ,respectivamente.¿A qué altura está el avión? (SOL:
b=27,8 km)
28. En una circunferencia de radio 6 cm trazamos una cuerda AB a 3 cm del centro Halla el ángulo AOB. (SOL : 120º)
29. Dos barcos parten de un puerto con rumbos distintos que forman un ángulo de 127º :El primero sale a las 10 h de las mañanas con una velocidad de 17 nudos y el segundo a las 11,30 con un a velocidad de 26 nudos .Si el alcance de sus equipos de radio es de 150 km ¿Podrán ponerse en contacto a las 3 de la tarde?
30. Hallar la altura de árbol QR de pie inaccesible y más bajo que el punto de observación con los datos de la figura a= 50 m , A = 40º, B = 20º,C=30º.(SOL: 79,82 m )
A P
R Q
a B
C
31. Calcula la altura QR con los siguientes datos.
A=22º,B=18º,C=32º,a=50. (SOL: 74,97 )
EJERCICIOS TRIGONOMETRIA
32. Pasar a radianes los siguientes ángulos expresados en grados a. 90º
b. 210º
c. 115º d. 75º
e. 780º f. 330º 33. Pasar a grados los siguientes ángulos expresados en radianes
a. /5 b. 3/8
c. 11/6 d. 5/12
e. 2
f. 3/2 34. Hallar el resto de las razones trigonométricas sabiendo que :
a. sen =
3
5 , del 2º cuadrante.
b. cos =
-4
5 , del 3º cuadrante.
c. tg =
1
3 , del 3º cuadrante.
d. cotg =
-12 13 , del 4º cuadrante.
e. sec =
2 , del 4º cuadrante.
35. Hallar los dos valores de la primera vuelta que cumplen que :
A
P R
Q
a
B C
Ejercicios 1ª evaluación Matemáticas I
a. sen =
3 4 ( en grados ,minutos y segundos)
b. cos =
1 3(en radianes y con tres decimales)
c. tg =
2( en grados ,minutos y
segundos) d. sen =
5 3(en radianes y con tres decimales)
e. sen =
-0,6(en radianes y con tres decimales)
f. cos = -0,21( en grados ,minutos y segundos)
g. tg = -3,5(en radianes y con tres decimales)
36. Sabiendo que sec = x , hallar el valor de cotg . 37. Sabiendo que sen =
2
3, determinar el valor exacto de
sec2tg2 sec2tg2.
38. Sabiendo que arc sen x = , determinar el valor de cotg .( en función de x)
39. Simplificar la siguiente expresión :
sencos
2sencos2 40. Simplificar la siguiente expresión :
sencot g
sec
costg cosec 41. Simplificar la siguiente expresión
:
seccosec
2seccosec2
1cot g2
42. Simplificar la siguiente expresión :
1tg 1tg
cosecsec cosecsec
43. Demostrar la siguiente identidad trigonométrica :
cot gcot g21 cot g tg
44. Si tg a=
3
4,hallar tg(a+30º) y tg(45º-a)
45. Sabiendo que tga =2 ,calcula el valor de sen 4a.
46. Si tg a=
3
4 y a del 2º cuadrante ,hallar de modo exacto las razones trigonométricas del ángulo a
2
47. Si a la tg
a
2 la llamamos t ,expresar en función de t el seno y el coseno del ángulo a .
48. Demostrar que cos4 x – sen4 x – 2cos2 x +1 =0 cualquiera que sea x.
49. Demostrar la igualdad :
2sen a
tg 2a cosasen2a cosa
50. Demostrar la igualdad : sen 3a = sen a ( 3 cos2 a – sen2 a) 51. Demostrar que :
sen()
sen() tgtg tgtg
52. Demuestra que : cos a cos(a-b)+sen a sen(a-b) = cos b 53. Demuestra que :
2sensen2 2sensen2 tg2
2
54. Simplificar la expresión
sen2
1cos 1tg2
2
55. Simplificar la expresión
2cos(45º)cos(45ºx) cos2
56. Simplificar la expresión
cos 5 2 x
sen 2 x
cos 3 2 x
sen 7 2 x
57. Resolver : sen 2x=cos x.
58. Resolver : cos 2x +3 sen x =2.
59. Resolver : sen 2x cos x = 6 sen3x.
60. Resolver :tg 2x tg x =1.
61. Resolver :
3senxcosx1
62. Resolver :senx cos x =
1 2
63. Resolver :cos 2x –cos 6x = sen 5x +sen 3x.
64. Resolver el sistema :
senxseny 3 2 senxseny 1
2
65. Resolver el sistema :
xy120º senxseny 1
2
66. Resolver el sistema :
senxcosy 3 4 cos x seny1
4
Ejercicios 1ª evaluación Matemáticas I
67. Resolver el sistema :
senxseny 3 2 senxseny 1 2
68. Simplificar :sen4 x –cos4 x +cos2 x. ( Sol : sen2 x) 69. Simplificar :
1secx
tgxsenx ( Sol : cosec x) 70. Demostrar que :
sec4xtg4x
sec2x 1sen2x
71. Demostrar que :
senxcosx
cos x 1tg x
72. Resolver : 2tgx sec x –tg x =0. ( Sol : 180ºk) 73. Resolver : tg 2x =1. ( Sol : 22º30’ +90ºk)
74. Resolver : sen x + cos x = 1. ( Sol : 0º+360ºk,90º+360ºk) 75. Resolver : cos x = sen x. ( Sol : 45º +180ºk)
76. Resolver : 2 cos3 x = cos x ( Sol : 90º +180ºk , 45º+90ºk) 77. Calcular sen 3x ( Sol : 3 sen x – 4 sen3 x)
78. Calcular cos 3x. ( Sol : -3 cos x + 4 cos3 x)
79. Resolver : cos x – sen 2x = 0. ( Sol : 90º +180ºk , 30º+360ºk,150º+360ºk)
80. Resolver : sen 2x – 2 cos x + sen x -1 =0. ( Sol : 90º +360ºk , 120º+360ºk, 240º+360ºk)
81. Demostrar que :
sen 6x - s en 4x cos6x +cos 4x tgx
82. Resolver : sen 3x + sen 5x =0. ( Sol : 0º+45ºk) 83. Resolver : cos 2x +cos x =0. ( Sol : 60º+120ºk) 84. Resolver : sen2x +3senx +2 =0. ( Sol : 270º+360ºk) 85. Resolver: cos x+ 2 sen x tg x=1( Sol : 0º+360ºk) 86. Resolver : tg2x + 2sec2 x =1. ( Sol : no hay)
87. Simplificar : cos 2x cos 3x + sen 2x sen 3x ( Sol : cos x)
88. Demostrar que si x e y son complementarios sen2x + sen2y =1.
89. Demostrar que :
tgx
2 senx 1cosx
90. Demostrar que :
1tgx
1tgx1- sen 2x cos 2x
91. Resolver : cos x +sen 2x= ( sen x +cos x )2. ( Sol : 0º+360ºk) 92. Resolver : 2sen2 x – sen x =1. ( Sol : 90º +360ºk , 210º+360ºk,
330º+360ºk)
93. Demostrar que sen(30º+x) –sen(30º-x) =
3sen x.
94. Demostrar que sen(a+b) sen(a-b) = sen2a - sen2b.
95. Resolver :
xy90º senxseny1
( Sol : x=90º,y=0º ; x=0º,y=90º)
96. Sabiendo que : sena = 1/3 ,a del 2º c , hallar el valor exacto de sen 2a. ( Sol :
2 8 9 )
97. Sabiendo que a+b+c =180º ,demostrar que : tg a + tg b + tg c= tg a tg b tg c
98. Si a+ b+ c = 90º , demostrar que tg a tg b + tg b tg c +tg c tg a =1 99. Demostrar que sen a sen(b-c)+sen b sen (c-a) sen c sen (a-b) = 0.
100. Si a ,b y c son los ángulos de un triángulo ,demostrar que :
cos(ab)cos c
2cos a cos b
101. Demostrar que:
sen5a +sen a
sen 3a - sen a 12cos 2a
102. Demostrar que :
sen a +sen b
sen a - sen b cos a - cos b
cos a + cos b tg2ab 2
103. Resolver
cos(xy) 1 2 sen(xy) 1 2
y dar las soluciones del primer cuadrante.(
Sol : x=45º,y=15º )
104. Resolver
sen x + sen y 3 2 cos(xy)
2 3
2
.(Sol : x=90º , y =30º ; x=150º, y =90º) 105. Resolver
sen x + cos y 3 xy90º 2
.(Sol : x=135º , y =45º ; x=405º, y
=315º) 106. Resolver
sen x + cos y 1 cosec x + sec y2-1
(Sol : x=90º , y =120º,240º ; x=240º,330º, y =0º)
Ejercicios 1ª evaluación Matemáticas I
107. Resolver
cosec x cosec y = 4 cosec x sec y = 2
Sol : x=33º59’16’’ ,y=26º33’54’’)
NUMEROS COMPLEJOS:
108. Resolver en C la ecuación z2 +6z+ 25 =0.
109. Realizar las siguientes operaciones en forma binómica a.
b.
c.
110. CALCULAR RAZONADAMENTE: i + i2+ i3+ i4+ i5+……….+
i4000.
111. Determina a para que el producto (-2+4i)(3+ai) sea un nº imaginario puro.
112. Hallar x para que el cociente sea un nº imaginario puro.
113. Determinar un nº complejo cuyo cuadrado que coincida con su conjugado.
114. Comprobar que los complejos 2+3i y2-3i verifican la ecuación x2- 4x+13=0.
115. Buscar el valor ( o valores de a) en
i a
i a
) 1 ( 2
3 ) 1 (
para que dicho cociente tenga como parte real 1.
116. Calcula x para que el módulo del cociente sea 5.
1 3 1
xi i
117. Dado el nº complejo 2 - 2 3 i .,calcular : a. Su cuarta potencia.
b. Sus raíces cuartas.
118. Hallar la potencia ( -1+i)30 y dar el resultado en forma binómica.
119. Resolver en C la ecuación (1+i)z4 +16+16i=0 y dejar los resultados en forma polar.
120. Calcular el valor de a para que el siguiente producto de complejos sea un nº imaginario puro.(a0 + 290)(4270 + 3180)
121. El producto de un nº complejo de módulo 5 por otro de
argumento 60º nos da como resultado el nº complejo -6 +6 3i.
Hallar el argumento del 1º y el módulo del 2º.
122. Hallar el mínimo valor de n N para el cual Zn sale un nº real positivo siendo Z=( 1+i ) ( -2+ 2i)(1+ 3i)
123. Calcular las soluciones reales y complejas ( en forma binómica) de la siguiente ecuación Z3 +8i= 0
124. Resolver :z6 +64i = 0 y obtener sus soluciones reales y complejas dejándolas en forma polar.
125. Los afijos de los números complejos z1, z2, z3 son vértices de un triángulo equilátero cuyo incentro es el origen de coordenadas.
Sabiendo que z1 es 1+i , calcular z2 y z3.
126. Se considera el complejo z =1+ i , se efectúa un giro de centro el origen de coordenadas y amplitud 30º .Hallar el complejo z’
transformado de z en el citado giro.
Ejercicios 1ª evaluación Matemáticas I
EJERCICIOS VECTORES
Ejercicios para clase
126. Efectuar las siguientes operaciones a. -2(3,4) + 3(7,-1)
b. -2 [( 3,4) +(7,-1)]
127. Sobre el paralelepípedo de la figura , decir cuál de las siguientes igualdades es cierta :
f=b i=d
e=g b=-h
c=-g i=g
c=e c=-e
128. Dado el rectángulo de vértices ABCD ,completar las siguientes igualdades
a
b
c
d e
f g
h i
A B
C D
O
AB+BC= ¿? AD+¿? =AC
AC+CB = ¿? CB+¿?=AB
AD+DB =¿? BC+¿?=BA
129. Dado el hexágono irregular de la figura ,expresar dando su origen y extremo ,los siguientes vectores
x+y x+y+z x+y+z+t x+y+z+t+u x+y+z+t+u+v
130. En el prisma triangular de la figura inferior sea AB =x ,AD = y BE = z .Expresar los siguientes vectores en función de x , y ,z : EF, DF , AF , AE .
131. En la pirámide de la figura superior ,expresar los siguientes vectores en función de a, b ,c : DA , AD, CO, BO, BA, OD, CB.
132. Dado el ortoedro de vértices ABFDCHGE representado en la figura , indicar qué vectores qué vectores son equipolentes. Expresar las diagonales EF y AG en función de los vectores AB,AC,AD.
A
B C
D
E
F u
y
x z
t v
x z
y A
B
E C
F D
O
C
B A
a b
c
Ejercicios 1ª evaluación Matemáticas I
133. Considerar el vector u ( 4, -7) referido a la base canónica
.Encontrar dos vectores que tengan la misma dirección que u y sean unitarios.
134. Calcular el valor de m y n para que los vectores u = i +mj , v = 2i+nj sean
a. Unitarios.
b. Ortogonales
135. Hallar el ángulo formado por estos vectores u = -5i+12j , v = 8i-6j 136. Hallar el valor de k para que los vectores u = i+j , v
=
2ikjformen un ángulo de 45º.
137. Dados los vectores u(2,4) , v ( 3,1) , hallar el módulo del vector u- v.
138. Dos vectores son tales que
a 10, b 10 3, a b 20.Hallar el ángulo que forman los vectores a y b .
139. ¿Puede ser el módulo del vector suma de dos vectores de módulos 10 y 5,respectivamente, mayor que 15? ¿ Y menor que 4?
A B
D
C
F
E G
H
EJERCICIOS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA
140. Dados A( 2,3) ,B(5,7 ) ,hallar las coordenadas del vector que determinan y las coordenadas de su punto medio.
141. Conocida la coordenada del vector PQ= (2,1) y siendo Q(5,4) hallar las coordenadas del punto P.
142. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(3,5) y lleva la dirección del vector u(2,-4)
143. Hallar la pendiente de las siguientes rectas : a.
x3
2 y5
1
b. 5x+3y+6=0 c.
x2t y53t
144. Determinar si los puntos A(3,1) ,B(5,2) y C(1,0) están alineados.
145. Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2,3) y tiene la misma pendiente que la recta que pasa por los puntos B(1,6) y C(4,9)
146. Hallar la ecuación de la mediana que parte de A en el triángulo que forman los puntos :A(3,1) , B( 0,2) y C(1,-2)
147. Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2,5) y forma un ángulo de 135º con la parte positiva del eje OX.
148. Hallar el área limitada por la recta 3x+5y-30 = 0 y los ejes coordenados.
149. Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto A(5,3) y tal que la tangente del ángulo que forma dicha recta con el eje de abscisas es 3.
Ejercicios 1ª evaluación Matemáticas I
150. Dadas las rectas de ecuaciones a)y = 5x+3 ,b) y = 3x+5 , c)y = 3x-3 , d)y = 5x-3 , e)y = 3x-3 , f)y = 5x+5 . Señalar cuáles son coincidentes y cuáles paralelas .
151. Comprobar si las rectas son secantes , paralelas o coincidentes:
a.
3x2y30 6x4 y20
b.
4 x3y50 3x4 y20
c.
x2y30 2x4 y60
152. Hallar el haz de rectas que pasa por el punto de intersección de las rectas r : 2x + 4y -5 =0 y s: x+y-1 =0.
153. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas r : 2x- y + 4 =0 y s : 3x + 2y -9 =0 y es paralela a la recta t : 2x + 3y +11 = 0 .
154. Dadas las rectas r : de vector director (3,5 ) y s : de vector director (a,2 ) , hallar a para que las dos recta sean secantes.
155. Dadas las rectas r : 3x + my – 7 = 0 ,s: 4x + y -14 =0 , t : 7x+2y - 28 =0 , hallar m para que sean rayos de un mismo haz.
156. Dado el segmento de extremos A ( 3, 5 ) y B( 6,15 ) , Calcular las coordenadas de los puntos C , D y E que dividen al segmento en cuatro partes iguales.
157. La recta y +2 = m ( x+3) pasa por el punto de intersección de las rectas s: 2x + 3y + 5 =0 y t: 5x -2y -16 = 0.Hallar m .
158. Un paralelogramo tiene por vértices A(-1,-3 ) , B(6,0) ,C(8,2) .Hallar el cuarto vértice sabiendo que hay tres soluciones . 159. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(4, 5) y
forma con los semiejes coordenados positivos un triángulo de área 40 u2.
PROBLEMAS MÉTRICOS
160. Calcular el módulo de los siguientes vectores: u(2,3) , v ( 6,9) ,w(- 3,2)
161. Hallar el ángulo formado por u( 2,3) y v(6,9)
162. Calcular el ángulo formado por las siguientes rectas : a. r: x-2y +4 =0 , s: 3x-y –1 =0.
b. 2
1 y 4
3 :x
r
, s: y = 2x+3 c.
t - 2 y
t 3 : x
r , s: 2x+y-1=0
163. Hallar la distancia entre los puntos : A( 5,4) y B( -2,3)
164. Hallar la distancia de los siguientes puntos a las rectas dadas : a. P(2,3) , r: 2x-3y+5=0.
b. Q(-1,3)
3 4 y 2
1 :x
r
165. Calcular la distancia entre las siguientes rectas : a. r:x-2y+4 =0 , s:3x-y-1=0
b. 3
1 y 2
1 :x
r
,s:-3x+2y=4
166. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-4,3) y es perpendicular al vector n(3,-2)
167. Calcular la ecuación de la recta que tiene la misma ordenada en el origen que la recta 2x-3y+6 =0 y cuyo vector normal es n(1,2)
168. determinar a para que las rectas r : ax +(a-1) y –2(a+2) = 0 y s: 3ax –(3a+1)y –(5a+4)=0 sean a) paralelas y b) perpendiculares.
169. Averiguar el valor de m para que las rectas r : mx+y=12 ,s : 4x-3y
= m+1 sean paralelas y calcular su distancia.
170. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento AB siendo A(1,-2) y B(3,0)
Ejercicios 1ª evaluación Matemáticas I
171. Hallar la distancia del punto (-1,1) a la recta que corta a los ejes a las distancias 3 y 4 del origen.
172. Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que determinan las rectas r : 3x+4y –2=0 s: 4x+3y –12 =0
173. Dada la recta r : ax + by = 1, determinar a y b sabiendo que la recta dada es perpendicular a la recta s : 2x+4y-11=0 y que pasa por el punto A(1,2).
174. Las rectas de ecuaciones ax-y = 4 , x+b= y son perpendiculares y cortan al eje OX en dos puntos distantes 5 unidades .Hallar a y b . 175. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto A(-3,0) y
forma con la recta de ecuación 3x-5y+9 =0 un ángulo cuya tangente sea 1/3.
176. Hallar las coordenadas del punto simétrico del origen respecto de la recta 4x+3y =50.
177. Los puntos B(-1,3) y C(3,-3) son vértices de un triángulo isósceles que tiene el tercer vértice en la recta x+2y-15=0, siendo AB y AC los lados iguales. Calcular las coordenadas de A.
178. Calcular el área del triángulo de vértices ABC siendo A ( 2,-2) , B(
-3,5) y C(4,0)
179. Hallar la ecuación de la recta que pasando por el punto A(2,-3) forme un ángulo de 45º con la recta 3x-4y+7=0.
180. La recta 4x-3y =12 es mediatriz del segmento AB .Sabiendo las coordenadas de A (1,0), hallar las de B.
181. Hallar la ecuación de la recta que corta al eje OX en el punto de abscisa 3 y forma con él un ángulo de 60º.
182. Calcular las ecuaciones de las rectas que pasando por el punto A(1,-2) disten 2 unidades del punto B(3,1).
183. Dado el triángulo de vértices A(0,1) , B(2,3) y C(3,0) .Se pide calcular:
a. La mediana que parte de A . b. La altura que parte de B.
c. La mediatriz del segmento AB .
d. La bisectriz del ángulo que forman AB y AC
184. Dados los puntos A(2,1) , B(-3,5) y C ( 4,m) ,hallar el valor de m para que el triángulo ABC tenga un área de 6 u2.
185. Calcular el pie de la perpendicular trazada por el punto P(-1,2) a la recta 3x-5y -21=0 .
186. Hallar el valor de k para que las rectas r :
x2t y2t
,s :
x12s y2ks
formen un ángulo de 45º.
Ejercicios 1ª evaluación Matemáticas I
LUGARES GEOMÉTRICOS.
CÓNICAS
Circunferencia:
187. Dibujar dos puntos A y B en el plano ¿Cuál es el lugar geométrico que equidistan de ellos?
188. Dibujar dos rectas a) paralelas y b) secantes Dibujar en ambos casos el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas.
189. Dibujar dos puntos en el plano . Trazar algunos ángulos rectos cuyos lados pasen por A y B .¿Podrías decir cuál es el lugar geométrico de los vértices?
190. Dibujar en unos ejes de coordenadas varios segmentos AB sabiendo que A(a,0) y B(0,a) ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos?
191. Escribir la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al (0,0) es 6 unidades.
192. Escribir la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al centro de la circunferencia x2 +y2 =4 es el doble que los de ésta.
193. Hallar la ecuación de la circunferencia en los siguientes casos :
a)Centro (0,0) y radio 3
b)Centro ( 3,-2) y radio 3.
194. Hallar el centro y el radio de las siguientes circunferencias:
a)x2 +y2 -8x+2y+13=0.
b)2x2 +2y2 -8x -4y – 8 =0.
c)x2 +y2 +4y-13=0.
195. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C( 1,4) y pasa por el punto P(-6,-1)
196. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene por extremos de un diámetro los puntos A(2,3) y B(3,1)
197. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1,0) , B(3,-2) y C( 1, -4).
198. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C(3,2) que es tangente a la recta 3x + 4y +2 = 0.
199. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en r : x+y-2 =0 y pasa por los puntos A( 4,-1) y B( -1,-2)
200. Calcular la ecuación de la circunferencia de radio 5 unidades , que pasa por el punto A(3,5) , sabiendo que su centro se encuentra en la recta r: 3x-y+1=0.
201. Hallar la posición relativa de la recta r: 2x-y+3=0 respecto de la circunferencia x2 +y2 -2y-1=0.
202. Calcular la potencia del punto A(1,-2) respecto de la circunferencia C: x2+y2-2x+3y-18=0.
203. Hallar el eje radical de las circunferencias de centros C1(0,1) C2(1,- 1) y radios r1=2 y r2=3.
Ejercicios 1ª evaluación Matemáticas I
204. Hallar el centro radical de las circunferencias de ecuaciones : C1: x2+y2+2x-4y=0, C2: x2+y2-2x=0, C3: x2+y2+2x-6y-16=0.
205. Dados los puntos P(0,2) y B(0,-2) ,se pide: calcular la ecuación de todas las circunferencias que pasan por esos puntos. De esas
circunferencias , determinar el radio y el centro de aquella que es tangente a la recta y = 3x +2.
206. Calcular la longitud del segmento de tangente comprendido entre el punto P(2,-1) y la circunferencia : x2+y2+3x-2y-4=0.
207. Dada la ecuación de loa circunferencia : x2+y2-6x+10y-66=0 , hallar las ecuaciones de las rectas tangentes paralelas a la recta de ecuación 4x-3y+2=0.
Elipse :
208. Hallar la ecuación de la elipse de focos F(2,0) y F’(-2,0) y suma de distancias 5.
209. Hallar la ecuación de la elipse conociendo que los vértices son A(10,0) y A(-10,0) y su excentricidad es e=0,2 .
210. Hallar la ecuación de la elipse de focos F(3,0) y F’(3,4) y suma de distancias 8.
211. Hallar la ecuación de la elipse sabiendo que : a. C(0,0) F(0,2) , a=4
b. C(0,0) F(-3,0) , a=5 c. C(0,0) F(0,2) , a=4
212. Hallar la ecuación de la elipse sabiendo que :
a. Semieje mayor es 5 y la semidistancia focal 3.
b. Semieje menor es 4 y la semidistancia focal 3
213. Hallar todos los elementos de la elipse ( eje mayor, eje menor , distancia focal y excentricidad) de :
a. 16x2 + 9y2 = 144
b. x2 + y2 = 9
Hipérbola:
214. Hallar la ecuación de la hipérbola sabiendo que tiene : a. F(3,0) y F´(-3,0) y diferencia de distancias 4.
b. F(0,6) y F´( 0,-6) y diferencia de distancias 2.
c. F(1,3) y F´( 4,2) y diferencia de distancias 6.
d. F(0,0) y F´( 0,8) y diferencia de distancias 6.
215. Hallar la ecuación de la hipérbola sabiendo que tiene por vértices : a. A(10,0) A´(-10,0) y la excentricidad e=2.
b. B(0,4) y B´(0,-4) y la excentricidad e=3 216. Hallar la ecuación de la hipérbola sabiendo que :
a. El semieje focal es 3 y la semidistancia focal es 5.
b. El semieje no focal es 6 y la semidistancia focal es 10.
217. Hallar la ecuación de la hipérbola sabiendo que : a. Un vértice en A(6,0) y distancia focal es 16.
b. Un vértice es B(0,4) y su distancia focal es 10.
218. Hallar todos los parámetros(eje focal , eje no focal ,distancia focal y excentricidad) de las siguientes hipérbolas:
a. x2 –y2=9
b. 16x2- 9y2= 144.
c. xy=10
219. Hallar la ecuación referida a los ejes de la siguiente hipérbola : xy
=8
Parábola:
220. Hallar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de la recta x+4 =0 y del punto P(3,0).
221. Halla la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta y +5 =0 y por foco el punto P(0,5) .
Ejercicios 1ª evaluación Matemáticas I
222. Halla la ecuación de la parábola que tiene por foco el punto F(4,0) y por vérice el punto V(1,0)
223. Halla el valor del parámetro p de modo que la parábola de ecuación y2= 2px pase por el punto P(3,-1)
224. Halla la ecuación de la parábola de eje paralelo al de abscisas sabiendo que su vértice es el punto V(1,-2) y que pasa por el punto P(4,1)
225. Calcula el radio vector del punto de la parábola x2 = 4y cuya abscisa es -4.
226. Halla la intersección de la recta x-2y -7 = 0 con la parábola x = y2 + 4y +4.
227. Halla la longitud de la cuerda común con la circunferencia x2+y2=13 y la parábola y2 = 3x+3
228. Calcula las coordenadas de los puntos de la parábola y = x2 +x + 1 que distan 3 unidades del eje de abscisas.
229. La máxima distancia de la Tierra al Sol es 94,56 millones de millas y su distancia mínima es de 91, 45 millones de millas ¿Cuál es la excentricidad de su órbita y cuales sus diámetros mayor y menor?
