COLEGIO LATINOAMERICANO DEL EJÉRCITO DE NICARAGUA
“COMANDANTE HUGO RAFAEL CHÁVEZ FRÍAS”
INDICADOR DE LOGRO: CALCULA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL DE SUCESOS ALEATORIOS, RELACIONADAS CON SITUACIONES DEL ENTORNO APLICANDO LA PROBABILIDAD CONDICIONAL Y EL TEOREMA DE BAYES.
CLASE DE MATEMÁTICA – UNDÉCIMO GRADO
CONTENIDO: TEOREMA DE BAYES
Lic. Douglas Martínez Miércoles, 24/03/2021
PROBABILIDAD TOTAL PARA DOS EVENTOS
𝑷 𝑩 = 𝑷 𝑩 ∩ 𝑨
𝟏+ 𝑷 𝑩 ∩ 𝑨
𝟐𝑷 𝑩 = 𝑷 𝑨
𝟏𝑷 𝑩 𝑨
𝟏+ 𝑷 𝑨
𝟐𝑷 𝑩 𝑨
𝟐LEY DE PROBABILIDAD TOTAL PARA 𝒏 EVENTOS
𝑷 𝑩 = 𝑷 𝑩 ∩ 𝑨
𝟏+ 𝑷 𝑩 ∩ 𝑨
𝟐+ ⋯ + 𝑷 𝑩 ∩ 𝑨
𝒏𝑷 𝑩 = 𝑷 𝑨
𝟏𝑷 𝑩 𝑨
𝟏+ 𝑷 𝑨
𝟐𝑷 𝑩 𝑨
𝟐+ ⋯ + 𝑷 𝑨
𝒏𝑷 𝑩 𝑨
𝒏𝑷(𝑨𝟑)
𝑷(𝑩|𝑨𝟑)
𝑷 𝑩 =?
TEOREMA DE BAYES PARA DOS EVENTOS
• Utilizando la fórmula de la probabilidad condicional tenemos que:
𝑷 𝑨
𝒊|𝑩 = 𝑷 𝑨
𝒊∩ 𝑩 𝑷(𝑩)
𝑷 𝑨
𝒊|𝑩 = 𝑷(𝑨
𝒊)𝑷 𝑩|𝑨
𝒊𝑷(𝑩) Por la probabilidad total
𝑷 𝑨
𝒊|𝑩 = 𝑷(𝑨
𝒊)𝑷 𝑩|𝑨
𝒊𝑷 𝑨
𝟏𝑷 𝑩 𝑨
𝟏+ 𝑷 𝑨
𝟐𝑷 𝑩 𝑨
𝟐EVENTOS
𝑨𝟏: La persona es hombre 𝑨𝟐: La persona es mujer 𝑩: La persona es daltónica
Hombres que son daltónicos
Mujeres que son daltónicas
Para 𝒊 = 𝟏, 𝟐
TEOREMA DE BAYES PARA 𝒏 EVENTOS
Dado un conjunto de eventos 𝑨
𝟏, 𝑨
𝟐, … , 𝑨
𝒏, que son mutuamente excluyentes y exhaustivos con probabilidades previas 𝑷(𝑨
𝟏), 𝑷(𝑨
𝟐), … , 𝑷(𝑨
𝒏) . Si ocurre un evento 𝑩 , la probabilidad posterior del evento 𝑨
𝒊dado 𝑩 es la probabilidad condicional:
𝑷 𝑨
𝒊|𝑩 = 𝑷(𝑨
𝒊)𝑷 𝑩|𝑨
𝒊𝑷 𝑨
𝟏𝑷 𝑩 𝑨
𝟏+ 𝑷 𝑨
𝟐𝑷 𝑩 𝑨
𝟐+ ⋯ + 𝑷 𝑨
𝒏𝑷 𝑩 𝑨
𝒏Que en forma de sumatoria queda:
𝑷 𝑨
𝒊|𝑩 = 𝑷(𝑨
𝒊)𝑷 𝑩|𝑨
𝒊σ
𝒊=𝟏𝒏𝑷 𝑨
𝒊𝑷 𝑩 𝑨
𝒊Para 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏
TEOREMA DE BAYES PARA 𝒏 EVENTOS
Interpretación gráfica.
𝑷(𝑨𝟑)
𝑷(𝑩|𝑨𝟑)
𝑷 𝑨
𝒊|𝑩 = 𝑷(𝑨
𝒊)𝑷 𝑩|𝑨
𝒊𝑷 𝑨
𝟏𝑷 𝑩 𝑨
𝟏+ 𝑷 𝑨
𝟐𝑷 𝑩 𝑨
𝟐+ ⋯ + 𝑷 𝑨
𝒏𝑷 𝑩 𝑨
𝒏𝑷 𝑨
𝒊|𝑩 = 𝑷(𝑨
𝒊)𝑷 𝑩|𝑨
𝒊σ
𝒊=𝟏𝒏𝑷 𝑨
𝒊𝑷 𝑩 𝑨
𝒊Para 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏
𝑷 𝑨
𝒊|𝑩 =?
EJEMPLO 1
Una muestra se selecciona de una de dos poblaciones, 𝑆
1y 𝑆
2, con probabilidades 𝑃(𝑆
1) = .7 y 𝑃(𝑆
2) = .3. Si la muestra se ha seleccionado de 𝑆
1, la probabilidad de observar un evento A es 𝑃 𝐴 𝑆
1= .2. Del mismo modo, si la muestra se ha seleccionado de 𝑆
2, la probabilidad de observar A es 𝑃 𝐴|𝑆
2= .3.
a. Si una muestra se selecciona al azar de una de las dos poblaciones, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el evento 𝐴?
b. Si la muestra se selecciona al azar y se observa el evento 𝐴, ¿cuál es la probabilidad de que la muestra sea seleccionada de la población 𝑆
1? ¿Y de la población 𝑆
2?
Solución a.
𝑆1 𝑆2
𝐴
0.7 0.3
0.2 0.3
𝑷 𝑨 = 𝑷 𝑺𝟏 𝑷 𝑨 𝑺𝟏 + 𝑷 𝑺𝟐 𝑷 𝑨 𝑺𝟐
Nos piden calcular 𝑷 𝑨 , por lo que utilizamos la probabilidad total
𝑷 𝑨 = (𝟎. 𝟕)(𝟎. 𝟐) + (𝟎. 𝟑)(𝟎. 𝟑) 𝑷 𝑨 = 𝟎. 𝟐𝟑
b. Si la muestra se selecciona al azar y se observa el evento 𝐴, ¿cuál es la probabilidad de que la muestra sea seleccionada de la población 𝑆
1? ¿Y de la población 𝑆
2?
• Solución b.
𝑆1 𝑆2
0.7 0.3
0.2 0.3
El ejercicio nos pide calcular:
1) 𝑷(𝑺𝟏|𝑨) 2) 𝑷(𝑺𝟐|𝑨)
Utilizamos la fórmula del teorema de Bayes.
𝑷 𝑺𝒊|𝑨 = 𝑷(𝑺𝒊)𝑷 𝑨|𝑺𝒊
𝑷 𝑺𝟏 𝑷 𝑨 𝑺𝟏 + 𝑷 𝑺𝟐 𝑷 𝑨 𝑺𝟐
Para 𝒊 = 𝟏
𝑷 𝑺𝟏|𝑨 = 𝑷(𝑺𝟏)𝑷 𝑨|𝑺𝟏
𝑷(𝑨) = (𝟎. 𝟕)(𝟎. 𝟐)
𝟎. 𝟐𝟑 = 𝟎. 𝟔𝟎𝟕
Para 𝒊 = 𝟐
𝑷 𝑺𝟐|𝑨 = 𝑷(𝑺𝟐)𝑷 𝑨|𝑺𝟐
𝑷(𝑨) = (𝟎. 𝟑)(𝟎. 𝟑)
𝟎. 𝟐𝟑 = 𝟎. 𝟑𝟗𝟏
EJEMPLO 1 (CONTINUACIÓN)
EJEMPLO 2
Las historias de casos clínicos indican que diferentes enfermedades pueden producir síntomas idénticos.
Suponga que un conjunto particular de síntomas, que se denotarán como evento 𝐻, se presenta sólo cuando se presenta cualquiera de tres enfermedades, 𝐴, 𝐵 o 𝐶. (Para mayor simplicidad, supondremos que las enfermedades 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son mutuamente excluyentes.) Estudios realizados demuestran estas probabilidades de adquirir las tres enfermedades:
𝑷 𝑨 = . 𝟎𝟏 𝑷 𝑩 = . 𝟎𝟎𝟓 𝑷 𝑪 = . 𝟎𝟐
Solución
𝐴
Las probabilidades de desarrollar los síntomas 𝐻, dada una enfermedad específica, son 𝑷 𝑯 𝑨 = . 𝟗𝟎
𝑷 𝑯 𝑩 = . 𝟗𝟓 𝑷 𝑯 𝑪 = . 𝟕𝟓
Suponiendo que una persona enferma presente los síntomas H,
¿cuál es la probabilidad de que la persona tenga la enfermedad A?
𝐻
𝐴
𝐵
𝐶 0.01
0.005
0.02
0.90 0.95
0.75
El problema nos pide calcular 𝑷(𝑨|𝑯)
Para lo cual, utilizamos el teorema de Bayes
𝑷 𝑨|𝑯 = 𝑷(𝑨)𝑷 𝑯|𝑨
𝑷 𝑨 𝑷 𝑯 𝑨 + 𝑷 𝑩 𝑷 𝑯 𝑩 + 𝑷 𝑪 𝑷 𝑯 𝑪
𝑷 𝑨|𝑯 = (𝟎. 𝟎𝟏)(𝟎. 𝟗𝟎)
(𝟎. 𝟎𝟏)(𝟎. 𝟗𝟎) + (𝟎. 𝟎𝟎𝟓)(𝟎. 𝟗𝟓) + (𝟎. 𝟎𝟐)(𝟎. 𝟕𝟓)
𝑷 𝑨|𝑯 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟗
𝟎. 𝟎𝟐𝟗 = 𝟎. 𝟑𝟏𝟎
