TEMA 6. CONTROL POR REALIMENTACION. CONTROLADORES PID

TEMA 6. CONTROL POR REALIMENTACION. CONTROLADORES PID

A pesar de su antiguedad, el control mediante reguladores PID sigue siendo el más empleado. Un lazo simple de realimentación (ver figura) se compone del proceso a controlar, y por el sistema de control, el cual está constiuido por cuatro elementos: sensor, transmisor, controlador y elemento final de control. Además de estos cuatro elementos básicos, el lazo de control puede incorporar algún elemento adicional. Los sensores, transmisores y válvulas de control se encuentran físicamente en planta, mientras que el controlador se suele ubicar en una sala de control. Se requieren por tanto líneas de transmisión. En los lazos de control se emplean señales estandar con rangos definidos (neumáticas 3-15 psi, eléctricas 4-20 mA, 1-5 V, 0-10 V).

Esquema de sistema de control

6.1. El error en estado estacionario en lazos de realimentación. (Dorf 187 y 240).

El control por realimentación provee al ingeniero con la posibilidad de ajustar la respuesta transitoria de tal manera que los efectos de las perturbaciones pueden ser reducidas de manera significativa. No obstante lo anterior, conviene examinar el error que se comete en el nuevo estado estacionario y compararlo con el que se produce en lazo abierto.

6.1.1. Error de posición en régimen estacionario.

El primero de ellos (posición) se define para entradas en escalón.

Véase en primer lugar el error cometido en lazo abierto: Error = R(s)-Y(s)=(1-G(s))R(s). Cerrando el lazo y suponiendo el caso más sencillo de H(s) = 1, el error es: Error= 1 R(s)

1+G(s) .

Para una entrada en escalón unitario, utilizando el teorema del valor final se obtienen los errores de estado estacionario de posición para ambos sistemas (abierto y cerrado):

Error (∞)= 0 1 lim s(1-G(s)) 1-G(0) s s→ = Error (∞)= 0 EP 1 1 1 1 lim s( ) 1+G(s) s 1+G(0) 1+K

s→ = = , donde KEP = constante de error de posición.

El valor de G(0) es normalmente mayor de la unidad y el error de lazo abierto suele ser negativo, mayor cuanto mayor es G(0), justo lo contrario que ocurre en el caso de lazo cerrado.

No obstante al examinar el error de lazo abierto este puede eliminarse haciendo G(0) = 1. Esto último sin embargo es complicado de conseguir en la realidad (no existen modelos perfectos) y además G(0) puede cambiar con el tiempo con lo que en un principio lo que daría error nulo con el transcurso del funcionamiento normal de planta se transformaría en un error cada vez mayor. Contrariamente, el lazo cerrado es capaz de amortiguar en mayor medida los cambios que ocurren en planta así como los errores de modelado.

Cuestión. Considérese un sistema de primer orden. Comprobar los errores asociados a un cambio del 10% en la

ganancia del sistema en lazo abierto y cerrado.

Resp. En lazo abierto el error es Error = 1 – K, en lazo cerrado es Error = 1/(1+K). Si se sintoniza K=1 para lazo

abierto y K = 100 para lazo cerrado, los errores son 0 y 1/101 respectivamente. Si por cualquier circunstancia los valores asignados cambian en un 10%, los nuevos errores serían: Error = 1 – 0.9 = 0.1 y Error = 1/(1+90), los porcentajes de incremento de error del sistema serán con respecto a la entrada: Lazo abierto = 10% y Lazo cerrado = 0.11%

6.1.2. Error de velocidad en régimen estacionario.

El término error de velocidad se usa para expresar el error en estado estacionario ante entrada en

rampa. Se define como: ₂

0 1 lim 1 ( ) ss s s e G s s → =

+ . Al término sG(s) se le define como constante de error de velocidad, Kv.

6.1.3. Error de aceleración en régimen estacionario.

El término error de aceleración se usa para expresar el error en estado estacionario ante entrada en

parábola. Se define como: ₃

0 1 lim 1 ( ) ss s s e G s s → = + . Al término s

2_{G(s) se le define como constante de error de}

aceleración, Ka.

6.2. Controladores analógicos PID.

El algoritmo de un controlador por realimentación se construye siguiendo tres tipos de acciones básicas de control: acción proporcional, integral y derivativa. Así se obtienen los siguientes controladores: proporcional, proporcional integral y proporcional integral derivativo (en ocasiones también se utiliza el PD). El control más sencillo que se puede encontrar es el control on-off que no es mas que un tipo de control proporcional con ganancia muy alta.

6.2.1. Controladores proporcionales.

El controlador proporcional produce un output proporcional al error. La expresión en el dominio del tiempo es:

C

m(t)=m+K e(t) [6.5]

donde m es la señal de biass o señal a error cero (para diferenciar de la señal nula por avería), KC

es la ganancia del controlador, m(t) la señal de salida del controlador y e(t) el error definido según: e(t) = yr(t)-ym(t)

donde ym(t) es el valor medido de la variable de proceso e yr(t) es el valor deseado o punto de

consigna. La ganancia es adimensional y las señales o variables m(t), e(t) y m(t) se expresan en mA, psi o también en forma adimensional.

La señal de biass es la señal del controlador a error nulo. El valor de esta señal se establece en el proceso de inicialización del lazo de realimentación. m(t)-K e(t)_{C t=0}=m

Escribiendo el algoritmo correspondiente a la acción proporcional en términos de variables de

desviación se tiene: m´(t)=K e´(t) [6.6] _C

El único parámetro de ajuste de la acción proporcional KC es la ganancia proporcional que suele

La banda proporcional es el cambio que debe experimentar el error para producir un cambio del 100% en la señal de salida. Una banda proporcional baja (ganancia alta) indica que un error pequeño provocará una acción proporcional de control grande. El valor de BP oscila entre 1 y 500. Transformando por Laplace [6.6] se obtiene la función de transferencia de un controlador con solo acción proporcional

C c k ) S ( e ) s ( m ) s ( G = = [6.8]

que como puede observarse es una ganancia estática. En este tipo de controladores se da un error permanente cuando este se define como la diferencia entre el set point y el valor medido. Cuanto mayor es KC menores son las desviaciones finales aunque también mayores son las oscilaciones. (ver figura).

Para la mayoría de los casos existe una doble limitación en el valor máximo que puede alcanzar KC. El

límite se denomina ganancia última Ku, por encima de la cual el sistema se hace inestable.

*Un controlador con solo acción proporcional es incapaz de evitar el error en régimen permanente a menos que existan términos integradores en el sistema

*Cuanto mayor es KC, menor es ese error y mayor es la velocidad de respuesta, pero a costa de

mayores oscilaciones.

Si el error se considera como la diferencia entre el punto de consigna y el valor real de la variable controlada para procesos no unitarios (ganancia no unidad del elemento sensor transmisor) se puede conseguir error nulo.

Cuestión. Comprobar mediante Control IP, que el error es no nulo cuando se utiliza un control proporcional. Resp. Con la

máxima frecuencia de muestreo introducir los siguientes elementos. Modificar Kc y Km.

KC1 KC2 KC3 KC1 KC2 KC3 KC3 > KC2 >KC1

Cuestión. Comprobar mediante Control IP, que un valor excesivo de la ganancia del controlador puede conllevar

inestabilidad. Resp. Con frecuencia de muestreo 4 introducir los siguientes elementos. Modificar Kc.

Aumentar Kc de 0.5 en 0.5 unidades.

6.2.2. Acción integral y controladores PI.

La descripción matemática de la acción integral en el domino del tiempo es

∫

τ + =m 1 e(t)dt ) t ( m l [6.10] donde τl es el tiempo integral que se expresa en minutos, normalmente entre 0.1 y 50 minutos.

Derivando con respecto al tiempo:

) t ( e 1 dt ) t ( dm l τ =

que demuestra claramente que la acción integral hará cambiar la salida del controlador en la dirección correcta en tanto en cuanto exista error. Así pues, un lazo con acción integral en el controlador no presentará error en el régimen permanente. Cuanto menor sea τl más intensa será la acción integral y el

error tenderá a corregirse más rápidamente pero también a costa de mayores oscilaciones.

La acción integral no suele utilizarse sola puesto que la respuesta sería muy lenta. Si se utiliza a menudo junto con un controlador proporcional para formar un controlador PI cuyo algoritmo es:

1 ( ) C ( ) ( ) l m t m K e t e t dt τ ⎛ ⎞ = + _⎜ + _⎟ ⎝

∫

⎠ [6.11]

Cuestión. Comprobar como la acción proporcional aumenta la velocidad de respuesta de la acción integral. Resp. Utilizar un

En algunos controladores el parámetro de ajuste de la acción integral se expresa como la inversa de τl y se denomina repeticiones por minuto (reset time), es decir, el número de veces que la acción

integral repite el efecto de la acción proporcional en un minuto. El término reset time se debe a que si se considera un escalón de magnitud ε en el error, para un tiempo τl se cumple:

I C C I 0 K (t)dt K (t) τ ε = ε τ

∫

.

Escribiendo el algoritmo PI en términos de variables de desviación:

1 ´( ) _C ´( ) ´( ) l m t K e t e t dt τ ⎛ ⎞ = _⎜ + _⎟ ⎝

∫

⎠

Y transformando por Laplace:

1 ( ) ( ) ( ) l C C l s m s G s K e s s τ τ + = = [6.12]

El término integral de un controlador PI hace que el output continúe cambiando siempre y cuando exista señal de error, si este no es eliminado de forma rápida, la integral del error toma valores demasiado altos (integración en el tiempo) que saturan la señal del controlador y a su vez afectan al elemento final de control (i.e. válvula completamente abierta). Esta condición se denomina integral windup. Existen estrategias de control para compensar este efecto.

6.2.3. Acción derivativa y controladores PID.

En el domnio del tiempo la acción derivativa se expresa como: dt ) t ( de m ) t ( m = +τ_D [6.13]

donde el tiempo derivativo τD se expresa en minutos. Es capaz de aportar una fuerte acción

correctora con errores pequeños, es decir, actúa antes de que se produzcan grandes errores. Por otro lado, si el error es constante la acción derivativa no aporta acción correctora y no tienen efecto sobre el error en régimen permanente. El efecto estabilizador de la acción derivativa hace que se amortigüen las

τI1 τI2 τI3

Respuesta al escalón en consigna Respuesta al escalón en perturbación

oscilaciones en las respuestas o bien que se pueda elevar la ganancia proporcional del controlador y con ello la velocidad de respuesta sin incrementar las oscilaciones.

Como se demostrará en capítulos posteriores, cuando el proceso tiene un gran tiempo muerto no merece la pena utilizar la acción derivativa, en estos casos es recomendable utilizar un predictor de Smith. Por otro lado, cuando el lazo tiene ruido la acción derivativa no debe emplearse ya que lo amplifica de manera inaceptable. Transformando por Laplace [6.13] una vez escrita en forma de variables de operación se tiene: ´( )

´( ) D

m t s

e s = τ [6.14]

La acción derivativa nunca se emplea sola en un controlador ya que es incapaz de llevar el proceso al régimen permanente deseado. Normalmente se usan controladores PID cuyo algoritmo es:

1 ´( ) ´( ) C ´( ) ´( ) D l de t m t K e t e t dt dt τ τ ⎛ ⎞ = _⎜ + + _⎟ ⎝

∫

⎠ [6.15]

En forma de variables de operación y tranformando por Laplace:

´( ) 1 1 ´( ) C D l m t K s e t τ s τ ⎛ ⎞ = _⎜ + + _⎟ ⎝ ⎠ [6.16]

Este controlador se dice que es “no interactivo” puesto que las acciones integral y derivativa operan paralelamente de forma independiente. En los controladores PID comerciales las acciones integral y derivativa se realizan físicamente en serie dando lugar al algoritmo PID interactivo:

(

)

int int int ´( ) 1 1 1 ´( ) C D l m t K s e t τ s τ ⎛ ⎞ = _⎜ + _⎟ + ⎝ ⎠ [6.17]

Comparando las funciones del PID no interactivo e interactivo se observa que son idénticas cuando: int int int int int int int int int int l D C C l l l D l D D l D K K τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ + = = + = + [6.18]

Normalmente el controlador se sintoniza con τDint << τIint por lo que la función de transferencia del

controlador real será prácticamente igual del ideal. Para evitar una respuesta demasiado brusca, los controladores PID comerciales emplean la acción derivativa modificada que incorpora un retardo de primer orden con constante de tiempo ατ´D con 0.04 <α<0.2. La función de transferencia es pues:

Los controladores PID incorporan algunas utilidades estandar. Los controladores PID, al igual que los PI pueden sufrir la saturación de la acción integral (reset windup).

Este problema se puede evitar poniendo el controlador en manual tan pronto como la señal del controlador se sature tanto por su límite superior como inferior, en ese momento se detiene la integración del error. Esto no es práctico ya que requiere la presencia de un operario. En los controladores actuales se incorpora una protección contra la saturación (antireset windup) que detiene automáticamente la integración del error.

Asimismo, la mayoría de los controladores modernos incorpora unos dispositivos para que el cambio manual-automático se produzca sin saltos bruscos en la señal de control. Algunos controladores poseen además un sistema de inicialización del punto de consigna que iguala el punto de consigna a la variable de proceso en el momento del cambio.

6.3. Comportamiento dinámico de procesos controlados por realimentación.

En este apartado se estudiará la dinámica de diversos sistemas usuales en control de procesos ante diferentes acciones de control en un lazo de realimentación. Para ello se desarrollará en primer lugar un ejemplo con procesos reales para a continuación realizar el estudio de manera más general.

6.3.1. Efecto de la acción proporcional.

Partiendo de la ecuación general en lazo cerrado para cualquier proceso y asumiendo que se trata de un proceso unitario:

Gm(s) = 1; Gf(s) = 1; Gc(s) = Kc;

Así pues para el servo-problema y el problema del regulador se tendrá en lazo cerrado:

p c d sp p c p c G (s)K G (s) y(s)= y (s)+ d(s) 1+G (s)K 1+G (s)K

* Sistema de primer orden:

p p d dy τ +y=K m+K d dt P D P P K K y(s)= m(s)+ d(s) s+1 s+1 τ τ Identificando términos: P D P D P P K K G (s)= y G (s)= s+1 s+1 τ τ

P D c P P sp P P c c P P K K K s+1 s+1 y(s)= y (s)+ d(s) K K 1+ K 1+ K s+1 s+1 τ τ τ τ Operando: P c D sp P P c P P c K K K y(s)= y (s)+ d(s) s+1+K K s+1+K K τ τ , y agrupando términos: ´ ´ P D sp ´ ´ K K y(s)= y (s)+ d(s) s+1 s+1 P P τ τ

De las ecuaciones anteriores se deduce lo siguiente:

*Los sistemas de primer orden permanecen como tal a cambios en consigna y perturbación. *La constante de tiempo del sistema es reducida, ´ P

P c

=

1+K K

P

τ

τ por lo tanto el sistema se vuelve más rápido en su respuesta.

*La ganancia estática decrece: ´ P c ´ D

P D

P c P c

K K K

K = ; K =

1+K K 1+K K

Ante entrada en escalón en la consigna, el valor final de la variable de salida es:

´ ´ P P ´ 0 K 1 y( )= lim K s s+1 s P s τ → ∞ =

por tanto el error de posición en estado estacionario es: 1 K´_P 1

1 _{P C}

offset

K K

= − =

+

En el caso del problema del regulador, ante cambios en escalón de la perturbación el offset es:

´ D 0 K 1 D P C K offset K K = − = − +

1-Si bien el offset tiende a cero a medida que KC aumenta, no se usan valores desmesurados de

ganancia en el controlador por razones de estabilidad.

2-Los procesos que contienen un término integrador en la función de transferencia (1/s) presentan offset nulo ante cambios en consigna. Esto no sucede para cambios en la perturbación.

Véase un ejemplo con un tanque con salida constante:

h Cte=Fo

En variables de desviación se tiene: Adh=F +F_{i d} dt

Transformando por Laplace: h(s)= 1 F (s)+_i 1 F ( ) G (s)F(s) +G (s)F ( )_{d P i D d}

As As s = s

Suponiendo que el sistema sensor y final de control son unitarios:

En lazo cerrado se obtiene: C

sp _d C C 1 K 1 h(s)= h (s)+ F (s) A A s+1 s+1 K K

Para un escalón en la consigna:

C

1 1

h(s)=

A _s+1s K

, y aplicando el teorema del valor final:

0 C 1 1 h( )= lim 1 A _s+1s K s→ s

∞ = , por tanto el offset es cero. En cambio para cambios en la perturbación:

C C 1 K 1 h(s)= A _s+1s K

, el teorema del valor final conduce a: C

0 _C C 1 K 1 1 h( )= lim A _s+1s K K s→ s ∞ = y el offset = C 1 K −

* Sistema de segundo orden:

La función de transferencia es: _{2 2}

n n

K G(s)=

τ s +2 s+1 P

δτ , cerrando el lazo con control proporcional se

donde: ´ P C ´ P P C P C P C K K K = ; ; ´ 1+K K 1+K K 1+K K n n τ δ τ δ ⎧⎪ _{= =} ⎨ ⎪⎩

De las anteriores operaciones se deduce que el proceso permanece como segundo orden y que tanto la ganancia como el periodo natural y el factor de amortiguamiento decrecen. Esto implica que un proceso sobreamortiguado puede convertirse en subamortiguado dependiendo del valor de ganancia del controlador proporcional que a su vez determina el valor del factor de amortiguamiento.

Para cambios en consigna:

( )

´ P 2 ´ 2 ´ n K 1 y(s)= τ s +2 ´ s+1_{δ τn} s El valor último de y(s) es: P C

P C

K K

1+K K y por tanto el offset será: _{P C} 1 1+K K

A partir de las ecuaciones deducidas en el tema 4 se observa que el sobrepaso máximo aumenta al cerrar el lazo así como la relación de caída. La mayor velocidad de respuesta viene a expensas de una mayor oscilación y acercamiento a la inestabilidad del sistema.

6.3.2. Efecto de la acción integral.

Se particulariza este efecto para un sistema de primer orden dando por sentado que los resultados obtenidos son extrapolables a sistemas de orden superior.

En este caso el controlador tiene la forma: GC = C

I K s

τ , cerrando el lazo se llega a:

P D P P sp P P P P K K s+1 s+1 y(s)= y (s)+ d(s) K K 1+ 1+ s+1 s+1 C I C C I I K s K K s s τ τ τ τ τ τ τ

, centrándose en cambios en el set-point y agrupando

términos: _{2 2 sp} n n 1 y(s)= y (s) τ s +2δτ s+1 , donde: P P C P P C 1 = ; = K K 2 K K I I τ τ τ τ δ τ ⎧⎪ ⎨ ⎪⎩

La acción integral incrementa el orden del sistema en comparación al lazo abierto. En el ejemplo se evoluciona de primer a segundo orden con los cambios drásticos en la dinámica del proceso que ello conlleva. Un incremento en el orden implica a su vez una respuesta más lenta.

Para cambios en escalón unitario en consigna se obtiene: _{2 2}

n n

1 1

y(s)=

El offset es por tanto: _{2 2} 0 n n 1 1 1 lim 0 τ s +2 s+1 s→ δτ _s

− = , es decir, la acción proporcional elimina el error de posición en régimen estacionario.

Dependiendo de los valores de ganancia y tiempo integral se obtendrá un sistema sobre-, sub- o críticamente amortiguado. Un aumento de la ganancia del controlador conlleva una disminución del factor de amortiguamiento (respuesta más rápida pero mayores oscilaciones). El mismo efecto se comprueba al disminuir el tiempo integral.

6.3.3. Efecto de la acción derivativa.

El controlador tiene la forma: GC = KCτDs, cerrando el lazo para un sistema de primer orden se llega a: P D P P sp P P P P K K s+1 s+1 y(s)= y (s)+ d(s) K K 1+ 1+ s+1 s+1 C D C D C D K s K s K s τ τ τ τ τ τ τ

, centrándose en cambios en el set-point y

agrupando términos:

(

P C

)

sp P C K K y(s)= y (s) +K K 1 D P D s s τ

τ τ + . El orden del sistema permanece en uno. La

constante de tiempo es mayor (sistema más lento). El sistema se hace más robusto en términos de estabilidad.

Si se procede de igual forma para un sistema de segundo orden:

(

)

2 2 P C n n sp 2 2 sp n n P C 2 2 n n K K K τ s +2 s+1 y(s)= y (s)= y (s) K _{τ s + 2 K K s+1} 1+ τ s +2 s+1 P C D D P D C D K s s K s τ τ δτ δτ τ τ δτ +

Concluyendo que el periodo de oscilación natural permanece inalterado mientras que el coeficiente de amortiguamiento en lazo cerrado es menor que en lazo abierto, es decir el sistema se amortigua. La estabilidad añadida por la acción derivativa se incrementa al aumentar la ganacia o el tiempo derivativo.

6.3.4. Efecto de las acciones PID conjuntamente.

La combinación de las acciones PID es una mezcla de efectos individuales: -Aumenta el orden del sistema al cerrar el lazo.

-Se elimina el offset.

-El efecto anterior también se hace patente al disminuir el tiempo integral.

-La acción derivativa estabiliza los efectos de incrementar ganancia y/o disminuir el tiempo integral.

6.4. Selección de las acciones de control. (Más información Luyben 213)

Teóricamente el controlador PID con las tres acciones básicas de control es el que ofrece mayor flexibilidad para alcanzar la mejor calidad de respuesta en un lazo de realimentación, ya que dispone para ello de tres parámetros de ajuste. Sin embargo, no siempre es posible utilizar la acción derivativa debido al ruido existente en el lazo y, por otro lado, es claro que siempre exigirá un mayor esfuerzo ajustar tres parámetros que dos o uno. También puede ocurrir que la exigencia de calidad de respuesta no sea muy elevada y que ésta pueda conseguirse con sólo una o dos acciones de control. Al objeto de servir de guía, se exponen a continuación las siguientes reglas generales:

-Utilizar un controlador proporcional cuando sea tolerable el error en régimen permanente o cuando se trate de un proceso no autorregulado que exhiba un término l/s (integrador) en su función de transferencia, (ej. control de nivel en tanques de líquido, control de presión en tanques de gas).

- Si no es aceptable un controlador con sólo acción proporcional, emplear un controlador PI. El controlador PI debe utilizarse en aquellos casos en los que el error en régimen permanente es inaceptable y, al mismo tiempo, el proceso es suficientemente rápido como para que el efecto dinámico de la acción integral no sea significativo. En los lazos de control de caudal por ejemplo, se emplea siempre un controlador PI, ya que no suele admitirse error en régimen permanente y tienen una dinámica muy rápida. La acción derivativa, además de no aportar ventaja apreciable alguna, está prácticamente descartada, ya que los lazos de caudal suelen presentar un ruido importante que se genera en el sensor de caudal.