REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
Ejercicio nº 1.-
Estudia y representa la siguiente función:
Ejercicio nº 2.-
Dibuja la gráfica de la función:
Ejercicio nº 3.-
Dada la función:
y = sen2x − 2senx , x ∈ [0, 2π]
a) Halla los puntos de corte con los ejes.
b) Calcula los máximos y mínimos.
c) Represéntala gráficamente.
Ejercicio nº 4.- Representa:
Ejercicio nº 5.-
Representa gráficamente:
Ejercicio nº 6.-
Representa gráficamente la siguiente función: y = x 3 − 3x 2 + 2
Ejercicio nº 7.-
Haz la gráfica de la siguiente función:
Ejercicio nº 8.-
Obtén los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la función:
f (x) = sen 2 x − senx , x ∈ [0, 2π] Dibuja su gráfica utilizando la información obtenida:
( ) 4 6
2
2 4
+
−
= x x
x f
( ) 2
2 4
) ( +
= x x x f
( ) = − 1 x x e f
x
( )
1 1
2 −
= x x f
( ) 1
2
2 2
−
−
= + x
x x x
f
Ejercicio nº 9.-
Estudia y representa la siguiente función:
y = (x +1)e x
Ejercicio nº 10.- Representa la función:
y = x 2 lnx
Ejercicio nº 11.-
Estudia la siguiente función y dibuja su gráfica:
Ejercicio nº 12.-
Representa la siguiente función:
Ejercicio nº 13.-
a) Estudia los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la función:
f (x) = cos 2 x − cosx , x ∈ [0, 2π]
b) Represéntala gráficamente.
Ejercicio nº 14.-
Representa gráficamente la función:
y = e 1−x
2Ejercicio nº 15.-
Estudia y representa la función:
Ejercicio nº 16.- Representa la función:
Ejercicio nº 17.-
Representa gráficamente la función:
x x x
y 2 3
3
2
3 + +
=
2
2 1
−
−
= − x
x y x
( ) x x x
f = 2 − 3
( ) x x x x
f 4
3
2 3 2
−
−
=
2 2
2 3
= +
x
y x
Ejercicio nº 18.- Dada la función:
f (x) = cosx − senx , x ∈ [0, 2π]
Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos. Utilizando esta información, dibuja su gráfica:
Ejercicio nº 19.-
Dibuja la gráfica de la función:
f (x) = xe x+2
Ejercicio nº 20.- Estudia y representa:
Ejercicio nº 21.-
Estudia y representa la función:
y = x 4 − 2x 2 + 1 Ejercicio nº 22.-
Estudia y representa la función:
Ejercicio nº 23.-
Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la siguiente función:
y = 2 − sen 2 x , x ∈ [0, 2π]
Utilizando la información obtenida, representa la función:
Ejercicio nº 24.-
Estudia y representa:
f (x) = x 2 e x
Ejercicio nº 25.-
Estudia y representa la siguiente función:
y = ln(x 2 − 9)
( ) x x 3 3x 2
f = +
( ) 2 2
4 1 x x x
f −
= +
SOLUCIONES REPRESENTACIÓN FUNCIONES
Ejercicio nº 1.-
Estudia y representa la siguiente función:
Solución:
• Dominio =
• Simetrías:
• Ramas infinitas:
• Puntos singulares:
f ' (x) = 2x 3 − 8x
Puntos singulares: (0, 6); (−2, −2); (2, −2)
• Cortes con los ejes:
Con el eje Y → x = 0 → y = 6 → Punto (0, 6)
x 4 − 8x 2 +12 = 0. Cambio: x 2 = z
• Puntos de inflexión:
f '' (x) = 6x 2 − 8
Puntos: (−1,15; 1,56); (1,15; 1,56)
( ) 4 6
2
2 4
+
−
= x x
x f
( ) 4 6 ( ) . Es par : simétrica respecto al eje .
2
2 4
Y x
f x x
x
f − = − + =
( ) = + ∞ ( ) = + ∞
∞ +
→
∞
−
→ f x lím f x
lím x
x ,
( ) ( )
=
−
→ =
=
−
=
=
−
→
=
2 0 2
4 0 0
4 2
0 '
2 2
x x x
x x
x x
f
4
Con el eje 0 4 2 6 0
2
X → y = → x − x + =
±
=
→
=
±
=
→
± =
± =
− =
= ±
2 2
6 6
2 4 8 2
16 8 2
48 64 8
x z
x z
z
( 6 , 0 ) ( , 2 , 0 ) ( ) ( ) , 6 , 0 , 2 , 0
Puntos − −
( ) 1 , 15
3 4 3
4 6 0 8
8 6 0 '
' x = → x 2 − = → x 2 = = → x = ± ≈ ±
f
• Gráfica:
Ejercicio nº 2.-
Dibuja la gráfica de la función:
Solución:
• Dominio = − {−2}
• Simetrías:
No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen.
• Asíntotas verticales:
• Asíntota horizontal:
• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
Signo de f ' (x):
f (x) es decreciente en (−∞, −2) ∪ (2, +∞); es creciente en (−2, 2).
• Corte con los ejes:
( ) 2
2 4
) ( +
= x x x f
( ) 2
4 ( 2) f x x
x
− = −
− +
( )
( ) 2 es asíntota vertical
2
2 = −
∞
−
=
∞
−
=
+
−
−
→
−
→ x
x f lím
x f lím
x x
( ) ( ( ) )
( ) 0 ( ( ) 0 curva por encima ) 0 es asíntota horizontal
debajo por curva 0
0
=
→
>
=
→
<
=
+∞
→
−∞
→ y
x f x f lím
x f x f lím
x x
( ) 2 4 3 3
) 2 (
8 4 )
2 (
8 ) 2 ( 4 )
2 (
) 2 ( 2
· 4 ) 2 ( ' 4
+ +
= − +
−
= + +
+
−
= +
x x x
x x
x
x x x x
f
( ) 0 4 8 2
' x = → − x + → x =
f
2 . 2, 1 en máximo un
Tiene
Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto (0, 0) Con el eje X → y = 0 → x = 0 → Punto (0, 0)
• Gráfica:
Ejercicio nº 3.-
Dada la función:
y = sen2x − 2senx , x ∈ [0, 2π]
a) Halla los puntos de corte con los ejes.
b) Calcula los máximos y mínimos.
c) Represéntala gráficamente.
Solución:
a) Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto (0, 0) Con el eje X → y = 0 → sen2x − 2senx = 0
2senxcosx − 2senx = 0 → 2senx (cosx − 1) = 0
Puntos (0, 0), (π, 0) y (2π, 0).
b) y' = 2cos2x − 2cosx
y' = 0 → 2 (cos 2 x − sen 2 x) − 2cosx = 0 → 2cos 2 x − 2(1 − cos 2 x) −2cosx = 0
2cos 2 x − 2 + 2cos 2 x − 2cosx = 0 → 4cos 2 x − 2cosx − 2 = 0 2cos 2 x − cosx − 1 = 0
Signo de y':
π
=
=
→
=
→
=
−
π
= π
=
=
→
=
2 , 0 1
0 1
2 , , 0 0
x x cosx
cosx
x x x senx
=
= −
= −
± = + =
= ±
1 2
1 4
2 4
3 1 4
8 1 1
cosx cosx cosx
π
=
=
→
=
= π
= π
− →
=
2 , 0 1
3 , 4 3 2 2
1
x x
cosx
x x
cosx
Puntos de inflexión: (0, 0), (2π, 0) c)
Ejercicio nº 4.- Representa:
Solución:
• Dominio = − {1}
• Asíntotas:
y = 0 es asíntota horizontal si x → −∞ (f (x) < 0)
• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
f ' (x) = 0 → e x (x − 2) = 0 → x = 2 Signo de f ' (x):
π ; 2 , 6 3 4 : Máximo
π − 6 , 2 3 ; 2 : Mínimo
( ) = − 1 x x e f
x
( )
( ) 1 es asíntota vertical.
1
1 =
+∞
=
−∞
=
+
−
→
→ x
x f lím
x f lím
x x
( ) 0
1 =
−
= − −
+∞
→
−∞
→ x
lím e x f lím
x
x x
( ) = +∞ , ( ) = +∞ → Rama parabólica
+∞
→ +∞
→ x
x lím f x
f lím
x x
( ) 2 2
) 1 (
) 2 ( )
1 (
) 1 ' (
−
= −
−
−
= −
x x e x
e x x e
f
x
x
x
f (x) es decreciente en (−∞, 1) ∪ (1, 2); es creciente en (2, +∞). Tiene un mínimo en (2, e 2 ).
• Corta al eje Y en (0, −1). No corta al eje X.
• Gráfica:
Ejercicio nº 5.-
Representa gráficamente:
Solución:
• Dominio = (−∞, −1) ∪ (1, +∞)
• Simetrías:
f (−x) = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.
• Asíntotas:
y = 0 es asíntota horizontal (f (x) > 0 para toda x)
• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
f ' (x) = 0 → x = 0 (no vale)
f (x) no tiene puntos singulares (en x = 0 no está definida)
Signo de f ' (x):
( )
1 1
2 −
= x x f
( ) 1 es asíntota vertical
1
−
=
→ +∞
−
=
−
→ f x x
lím
x
( ) 1 es asíntota vertical
1
=
→ +∞
+
=
→ f x x
lím
x
( ) = ( ) = 0
+∞
→
−∞
→ f x lím f x
lím x
x
( ) x = x ( 2 − 1 ) − 2 1
f
( ) ( )
3 2 2
3 2
) 1 ( 2
· 2 1
' 1
−
= −
−
−
= −
x x x x
x
f
f (x) es creciente en (−∞, −1); y es decreciente en (1, +∞).
f (x) no corta a los ejes.
• Gráfica:
Ejercicio nº 6.-
Representa gráficamente la siguiente función:
y = x 3 − 3x 2 + 2
Solución:
• Dominio =
• Simetrías:
f (−x) = x 3 − 3x 2 + 2.
No es par ni impar; no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen.
• Ramas infinitas:
• Puntos singulares:
f ' (x) = 3x 2 − 6x
Puntos singulares: (0, 2); (2, −2)
• Cortes con los ejes:
Con el eje Y → x = 0 → y = 2 → Punto (0, 2)
Con el eje X → x 3 − 3x 2 + 2 = 0 → (x − 1)(x 2 − 2x −2) = 0 →
( ) = − ∞ ( ) = + ∞
∞ +
→
∞
−
→ f x lím f x
lím x
x ,
( ) ( )
=
→
=
−
=
→
= =
−
→
=
2 0
2
0 0
3 0 2 3 0 '
x x
x x
x x x
f
−
=
± = + =
= ±
→
=
−
−
=
→
=
−
→
73 , 0
73 , 2 2
12 2 2
8 4 0 2
2 2
1 0
1
2
x x x
x x
x
x
Puntos (1, 0); (2,73; 0); (−0,73; 0).
• Puntos de inflexión:
f '' (x) = 6x − 6 = 0 → x = 1 → Punto (1, 0)
• Gráfica:
Ejercicio nº 7.-
Haz la gráfica de la siguiente función:
Solución:
• Dominio = − {1}
• Simetrías:
No es par ni impar: no es smétrica respecto al eje Y ni respecto al origen.
• Asíntotas verticales:
• Asíntota oblicua:
Posición de la curva respecto a la asíntota:
f (x) − (x +3) < 0 si x → − ∞ (curva por debajo).
f (x) − (x +3) > 0 si x → + ∞ (curva por encima).
• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
( ) 1
2
2 2
−
−
= + x
x x x
f
( ) 2 2 2 2
2
x x
f x x
− −
− =
+
( )
( ) 1 es asíntota vertical
1
1 =
∞ +
=
∞
−
=
+
−
→
→ x
x f lím
x f lím
x x
oblicua asíntota
es 1 3
3 1 1
2
2 2
+
=
− → + +
− =
−
= + y x
x x x
x y x
( ) 2 2 2 2 2 2 2
) 1 (
2 )
1 (
2 2 2
2 2 2 )
1 (
) 2 2 ( ) 1 ( ) 2 2 ' (
−
= −
−
+
−
−
− +
= −
−
− +
−
−
= +
x x x x
x x x x x x
x x x x x
f
Puntos (0, 2) y (2, 6).
Signo de f ' (x):
f (x) es creciente en (−∞, 0) ∪ (2, +∞); es decreciente en (0, 1) ) ∪ (1, 2). Tiene un máximo en (0, 2) y un mínimo en (2, 6).
• Corte con los ejes:
Con el eje Y → x = 0 → y = 2 → Punto (0, 2)
Puntos: (−2,73; 0); (0,73; 0)
• Gráfica:
Ejercicio nº 8.-
Obtén los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la función:
f (x) = sen 2 x − senx , x ∈ [0, 2π]
Dibuja su gráfica utilizando la información obtenida:
Solución:
• Dominio = [0, 2π]
• Puntos de corte con los ejes:
Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto (0, 0) Con el eje X → y = 0 → y = sen 2 x − senx = 0
( )
=
→ =
=
−
→
=
−
→
= 2
0 0 ) 2 ( 0
2 0
' 2
x x x
x x
x x
f
2 2 4 8 2,73
Con el eje 0 2 2 0
0,73 2
X y x x x x
x
≈ −
− ± +
→ = → + − = → = ≈
( )
= π
→
=
π
= π
=
=
→
=
→
=
−
1 2
2 , , 0 0
0 1
x senx
x x x senx
senx
senx
• Máximos y mínimos:
f ' (x) = 2senxcosx − cosx = sen2x − cosx = 0 f ' (x) = 0 → cosx (2senx − 1) = 0
Estudiamos el signo de f '' (x) = 2cos2x + senx en esos puntos:
• Gráfica:
Ejercicio nº 9.-
Estudia y representa la siguiente función:
y = (x +1)e x
Solución:
• Dominio =
• Asíntotas:
No tiene asíntotas verticales.
( ) , 0 , ( ) ( , 0 , 2 , 0 )
, 2 0 0,
Puntos π π
π
= π
= π
→
=
→
=
−
= π
= π
→
=
6 , 5 6 2
0 1 1 2
2 , 3 0 2
x x senx
senx
x x
cosx
2 3 en 2 y en 0 '
' π
π =
=
< x x
f
π
π , 2
2 , 3 0 2 , : Máximos
6 5 en 6 y en 0 '
' > x = π x = π
f
π −
π −
4 , 1 6 , 5 4 , 1 6 : Mínimos
( ) ( ) 1 0
1 = − + =
+
−
= → +∞
− +∞
→
−∞
→ x x
x x
x e
lím x e
x
lím
x
f
lím
y = 0 es asíntota horizontal cuando x → −∞ (y < 0)
• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
y' = e x + (x+1)e x = (x+2)e x y' = 0 → x + 2 = 0 → x = −2
Signo de y':
f (x) es decreciente en (−∞, −2); es creciente en (−2, +∞). Tiene un mínimo en
• Puntos de corte con los ejes:
Con el eje Y → x = 0 → y = 1 → Punto (0, 1) Con el eje X → y = 0 → x = −1 → Punto (−1, 0)
• Gráfica:
Ejercicio nº 10.- Representa la función:
y = x 2 lnx
Solución:
• Dominio = (0, +∞)
• Asíntotas:
• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
( ) = +∞ , ( ) = +∞ → Rama parabólica
+∞
→ +∞
→ x
x lím f x
f lím
x x
2
2, 1 e
− −
( ) 0 . No tiene asíntotas verticales .
0
+=
→ f x lím
x
( ) ( )
parabólica Rama
, = +∞ →
+∞
= → +∞
+∞
→ x
x lím f x
f lím
x x
( 2 1 )
1 2
· 2
' = + = x ln x + x = x ln x + x x
x ln x
y 2
Signo de y ':
• Puntos de corte con los ejes:
No corta al eje Y, pues no está definida en x = 0.
Con el eje X → y = 0 → x 2 lnx = 0
• Gráfica:
Ejercicio nº 11.-
Estudia la siguiente función y dibuja su gráfica:
Solución:
• Dominio =
• Simetrías:
No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen.
• Ramas infinitas:
( )
=
→
−
=
=
→
= +
→
= −
2 1
2 1
vale) (no 0 0
1 2 0
'
e x x
ln x x
ln x y
( ) es decrecient e en 0, y es creciente en 2 , . Tiene un mínimo
1 2
1
+ ∞
− −
e e
x f
2 . , 1
en 2
1
− − e e
( )
→
=
→
=
=
→
=
0 , 1 Punto 1
0
vale) (no 0
2 0
x lnx
x x
x x x
y 2 3
3
2
3 + +
=
( ) 3 2 2 3 ( )
3
f − x = − x + x − x = f x
( ) = − ∞ ( ) = + ∞
∞ +
→
∞
−
→ f x lím f x
lím x
x ,
• Puntos singulares:
f ' (x) = x 2 + 4x + 3
• Cortes con los ejes:
Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto (0, 0)
x 3 + 6x 2 + 9x = 0 → x(x 2 + 6x + 9) = 0 → x(x + 3) 2 = 0 →
• Puntos de inflexión:
f '' (x) = 2x + 4
• Gráfica:
Ejercicio nº 12.-
Representa la siguiente función:
Solución:
• Dominio =
• Simetrías:
( )
−
=
−
± =
= −
±
= −
−
±
= −
→
= 3
1 2
2 4 2
4 4 2
12 16 0 4
' x
x x x
f
( )
− −
− 3
, 4 1
; 0 , 3 : Puntos
3
Con el eje 0 2 2 3 0
3
X → y = → x + x + x =
( ) ( 0 , 0 , 3 , 0 )
Puntos 3
0 −
−
=
→ = x x
( )
−
−
→
−
=
→
= 3
, 2 2 Punto 2
0 '
' x x
f
2
2 1
−
−
= − x
x y x
( ) 2 1
2
x x
f x
x
− = + −
− −
No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen.
• Asíntotas verticales:
• Asíntota oblicua:
Posición de la curva respecto a la asíntota:
f (x) − (x + 1) < 0 si x → − ∞ (curva por debajo) f (x) − (x + 1) > 0 si x → + ∞ (curva por encima)
• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
Puntos (1, 1) y (3, 5).
Signo de f ' (x):
f (x) es creciente en (−∞, 1) ∪ (3, +∞); es decreciente en (1, 2) ∪ (2, 3). Tiene un máximo en (1, 1) y un mínimo en (3, 5).
• Corte con los ejes:
Puntos: (−0,62; 0); (1,62; 0)
• Gráfica:
( )
( ) 2 es asíntota vertical
2
2 =
∞ +
=
∞
−
=
+
−
→
→ x
x f lím
x f lím
x x
oblicua asíntota
es 2 1
1 1 2
2 1
+
=
− → + +
− =
−
= − y x
x x x
x y x
( ) ( ) ( ) 2
2
2 2 2
2 2
2 3 4 2
1 2
4 2 )
2 (
) 1 (
) 2 )(
1 2 ' (
− +
= −
−
+ +
− +
−
= −
−
−
−
−
−
= −
x x x x
x x x x x x
x x x
x x f
( )
=
± =
± =
− =
= ±
→
= +
−
→
= 3
1 2
2 4 2
4 4 2
12 16 0 4
3 4 0
' 2
x x x
x x x
f
→
=
→
=
→ 2
, 1 0 Punto 2
0 1
eje el Con
- Y x y
2 1 1 4 0,62
Con el eje 0 1 0
2 1,62
X y x x x x
x
≈ −
± +
→ = → − − = → = ≈
Ejercicio nº 13.-
a) Estudia los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la función:
f (x) = cos 2 x − cosx , x ∈ [0, 2π]
b) Represéntala gráficamente.
Solución:
a) • Dominio = [0, 2π]
• Puntos de corte con los ejes:
Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto (0, 0)
Con el eje X → y = 0 → y = cos 2 x − cosx = 0 → cosx(cosx − 1) = 0
• Máximos y mínimos:
f ' (x) = −2cosxsenx + senx = −sen2x + senx f ' (x) = 0 → senx(−2cosx + 1) = 0
Estudiamos el signo de f '' (x) = −2cos2x + cosx en esos puntos:
f '' < 0 en x = 0, x = π, x = 2π Máximos (0, 0), (π, 2), (2π, 0)
π
=
=
→
=
= π
= π
→
=
2 , 0 1
2 , 3 0 2
x x
cosx
x x
cosx
( ) , 0 y ( 2 , 0 )
2 , 3 0 2 , , 0 , 0
Puntos π
π
π
= π
= π
→
=
→
= +
−
π
= π
=
=
→
=
3 , 5 3 2
0 1 1 2
2 , , 0 0
x x
cosx cosx
x x x x
sen
3 , 5 3 en 0 '
' > x = π x = π f
π −
π −
4
, 1
3
, 5
4
, 1
3
os
Mínim
b) Gráfica:
Ejercicio nº 14.-
Representa gráficamente la función:
y = e 1−x
2Solución:
• Dominio = .
• Asíntotas:
No tiene asíntotas verticales.
y = 0 es asíntota horizontal (la curva está por encima)
• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
y' = −2xe 1−x
2y' = 0 → −2x = 0 → x = 0
Signo de f ' (x):
f (x) es creciente en (−∞, 0); es decreciente en (0, +∞). Tiene un máximo en (0, e).
• Gráfica:
( ) x lím f ( ) x ( f ( ) x x )
f
lím x
x = = 0 > 0 para todo
+∞
→
−∞
→
Ejercicio nº 15.-
Estudia y representa la función:
Solución:
• Dominio = (−∞, 0] ∪ [3, +∞)
• Asíntotas:
No tiene asíntotas verticales.
• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
( ) x x x
f = 2 − 3
( ) = +∞
−∞
→ f x
x lím
( ) 2 3 = − 1
−
= +
+∞
→
−∞
→ x
x lím x
x x lím f
x x
[ ( ) ] =
+ +
+ +
−
= +
+ −
=
+ → +∞ → +∞
−∞
→ x x x
x x x x x lím x
x x x lím x x f
lím x x
x 3
) 3 ( ) 3 3 (
2 2 2
2
2 3 1 1
3 3
3 3
3
2 2
2
2 =
= + +
= + + +
−
= +
+∞
→ +∞
→ x x x
lím x x x x
x x lím x
x x
.
cuando oblicua
asíntota es
2
3 → −∞
+
−
= x x
y
( )
< − + 2 x 3 x f
( ) = +∞
+∞
→ f x
x lím
( ) = 2 − 3 = 1
+∞
→ +∞
→ x
x lím x
x x lím f
x x
[ ( ) ] =
+
−
+
−
−
= −
− −
=
− → +∞ → +∞
+∞
→ x x x
x x x x x lím x
x x x lím x x f
lím x x
x 3
) 3 ( ) 3 3 (
2 2 2
2
2 3 1 1
3 3
3 3
3
2 2
2
2 = −
+
= − +
−
= − +
−
−
= −
+∞
→ +∞
→ x x x
lím x x x x
x x lím x
x x
.
cuando ablícua
asíntota es
2
3 → +∞
−
= x x
y
( )
< − 2 x 3 x f
( )
x x x x f
3 2
3 ' 2
2 −
= −
( ) (no vale)
2 0 3
3 2 0
' x = → x − = → x =
f
Signo de f ' (x):
f (x) es decreciente en (−∞, 0); es creciente en (3, +∞).
• Pasa por (0, 0) y (3, 0).
• Gráfica:
Ejercicio nº 16.- Representa la función:
Solución:
• Dominio =
• Simetrías:
No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni al origen.
• Ramas infinitas:
• Puntos singulares:
f' (x) = 2x 2 − 2x − 4
• Cortes con los ejes:
( )
x = no está definida f x 2
3 en singulares puntos
tiene No
( ) x x x x
f 4
3
2 3 − 2 −
=
( ) 2 3 2 4
f − x = − 3 x − x + x
( ) = − ∞ ( ) = + ∞
∞ +
→
∞
−
→ f x lím f x
lím x
x ,
( ) ( )
−
=
± =
± = + =
= ±
→
=
−
−
→
= 1
2 2
3 1 2
9 1 2
8 1 0 1
2 2
0
' 2
x x x
x x x
f
−
−
3
, 20
2
3 ;
, 7
1
:
singulares
Puntos
Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto (0, 0)
2x 3 − 3x 2 − 12x = 0 → x (2x 2 − 3x − 12) = 0 →
Puntos: (0, 0); (−1,81; 0); (3,31; 0)
• Puntos de inflexión:
f '' (x) = 4x − 2
• Gráfica:
Ejercicio nº 17.-
Representa gráficamente la función:
Solución:
• Dominio =
• Simetrías:
• No tiene síntotas verticales.
• Asíntota oblicua:
Posición de la curva respecto a la asíntota:
3 2
Con el eje 0 2 4 0
X → y = → 3 x − x − x =
−
≈
= ≈
= ± +
= ±
→
=
−
−
=
→
81 , 1 31 , 3 4
105 3 4
96 9 0 3
12 3 2
0
2
x x x
x x x
( )
−
→
=
=
→
= 6
, 13 2 1 Punto 2
1 4 0 2
'
' x x
f
2 2
2 3
= + x y x
( ) ( ) . Es impar : simétrica respecto al origen 2
2
2 3
x x f
x x
f =
+
= −
−
oblicua asíntota es
2 2
2 4 2 2
2 2
3
x x y
x x x
y x → =
− + + =
= −
f (x) − 2x > 0 si x → − ∞ (curva por encima).
f (x) − 2x < 0 si x → + ∞ (curva por debajo).
• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
f ' (x) > 0 para todo x ≠ 0 → f (x) es creciente. (Hay un punto de inflexión en (0, 0)).
• Corte con los ejes:
Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto (0, 0) Con el eje X → y = 0 → x = 0 → Punto (0, 0)
• Gráfica:
Ejercicio nº 18.- Dada la función:
f (x) = cosx − senx , x ∈ [0, 2π]
Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos. Utilizando esta información, dibuja su gráfica:
Solución:
• Dominio = [0, 2π]
• Puntos de corte con los ejes:
Con el eje Y → x = 0 → y = 1 → Punto (0, 1)
Con el eje X → y = 0 → cosx − senx = 0 → 1 − tgx = 0
• Máximos y mínimos:
f ' (x) = −senx − cosx
f ' (x) = 0 → −senx − cosx = 0 → tgx + 1= 0 → tgx = −1
( ) 2 2 2 2 3 4 2 2 2 4 4 2 2 2
) 2 (
12 2 )
2 (
4 12 6 )
2 (
2
· 2 ) 2 ( ' 6
+
= + +
−
= + +
−
= +
x x x x
x x x x
x x x
x x f
( ) 0 2 12 2 ( 6 ) 0 0
' x = → x 4 + x 2 = x 2 x 2 + = → x = f
π
→ π
= π
= π
→
= , 0
4 , 5 0 4 , Puntos 4
, 5
1 x 4 x
tgx
Estudiamos el signo de f '' (x) = −cosx + senx en esos puntos:
• Gráfica:
Ejercicio nº 19.-
Dibuja la gráfica de la función:
f (x) = xe x+2
Solución:
• Dominio =
• Asíntotas:
No tiene asíntotas verticales.
y = 0 es asíntota horizontal si x → −∞ (f (x) < 0)
• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
f ' (x) = e x+2 + xe x+2 = (1 + x)e x+2 f ' (x) = 0 → 1 + x = 0 → x = −1 Signo de f ' (x):
f (x) es decreciente en (−∞, −1); es creciente en (−1, +∞). Tiene un mínimo en (−1, −e).
4 , 7 4
3 π = π
= x
x
π −
→
>
π , 2
4 3 en Mínimo 4 0
' 3 ' f
→ π
<
π , 2
4 7 en Máximo 4 0
' 7 ' f
( ) ( ) 2 0
2 = − =
−
= −
+∞
→ +
− +∞
→
−∞
→ x x
x x
x e
lím x xe
lím x f lím
( ) = +∞ , ( ) = +∞ → Rama parabólica
+∞
→ +∞
→ x
x lím f x
f lím
x
x
• Corta a los ejes en (0, 0).
• Gráfica:
Ejercicio nº 20.- Estudia y representa:
Solución:
• Dominio:
x 3 + 3x 2 ≥ 0 → x 2 (x + 3) ≥ 0 → x ≥ −3 Dominio = [−3, +∞)
• Asíntotas:
No tiene asíntotas verticales.
• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
En x = 0 y en x = −3 no existe f ' (x), pues se anula el denominador.
Signo de f ' (x):
f (x) es creciente en (−3, −2) ∪ (0, +∞); es decreciente en (−2, 0). Tiene un máximo en (−2, 2). Tiene un mínimo en (0, 0) (aunque no sea derivable en este punto).
• Puntos de corte con los ejes:
Corta a los ejes en (−3, 0) y en (0, 0).
( ) x x 3 3x 2
f = +
( ) ( )
parabólica Rama
; = +∞ →
+∞
= → +∞
+∞
→ x
x lím f x
f lím
x x
( ) 3 2
2
3 2
6 ' 3
x x
x x x
f +
= +
( ) ( )
−
=
→ =
= +
→
= +
→
=
2
vale) (no 0 0
2 3 0 6 3 0
' 2
x x x
x x
x x
f
• Gráfica:
Ejercicio nº 21.-
Estudia y representa la función:
y = x 4 − 2x 2 + 1
Solución:
• Dominio = .
• Simetrías:
f (−x) = x 4 − 2x 2 + 1 = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.
• Ramas infinitas:
• Puntos singulares:
f ' (x) = 4x 3 − 4x = 4x (x 2 −1)
Puntos singulares: (0, 1); (−1, 0); (1, 0)
• Cortes con los ejes:
Con el eje Y → x = 0 → y = 1 → Punto (0, 1) Con el eje X → y = 0 → x 4 − 2x 2 + 1= 0
Cambio: x 2 = z → z 2 − 2z + 1 = 0
Puntos (−1, 0) y (1, 0).
• Puntos de inflexión:
f '' (x) = 12x 2 − 4
( ) = + ∞ ( ) = + ∞
∞ +
→
∞
−
→ f x lím f x
lím x
x ,
( ) ( )
=
−
→ =
=
−
=
→
=
=
−
→
=
1 0 1
1
0 0
4 0 1 4
0 '
2 2
x x x
x x
x x x
f
=
−
= =
→
− =
= ±
1 1 1 2 1
4 4
2 2
x x x
z
Puntos (−0,58; 0,44) y (0,58; 0,44)
• Gráfica:
Ejercicio nº 22.-
Estudia y representa la función:
Solución:
• Dominio = − {−2, 2}
• Simetrías:
• Asíntotas verticales:
• Asíntota horizontal:
Si x → −∞ y si x → +∞, f (x) < −1 → la curva está por debajo de la asíntota.
• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
( ) 0 , 58
3 1 3
1 12 0 4
4 12 0
'
' x = → x 2 − = → x 2 = = → x = ± ≈ ±
f
( ) 2 2
4 1 x x x
f −
= +
( ) f ( ) x Y
x x x
f . Es par : simétrica respecto al eje 4
1
2 2
− =
= +
−
( )
( ) 2 es asíntota vertical
2
2 = −
∞ +
=
∞
−
=
+
−
−
→
−
→ x
x f lím
x f lím
x x
( )
( ) 2 es asíntota vertical
2
2 =
∞
−
=
∞ +
=
+
−
