Unidad 3
SISTEMAS ELECTROMECÁNICOS
Teoremas de circuitos
Propiedad de linealidad.
Linealidad es la propiedad de un elemento de circuito que describe la relación lineal entre causa y efecto.
Son de la forma y=kx (1)
O de la forma
dt kdx
y= (2)
en donde x, y son variables de circuito tales como voltajes y corrientes, se dice que describen a un elemento lineal.
(3)
(4)
(5)
Elementos en los que y=kx1.5o
2
= dt k dx
y son no-lineales
Si x, y son variables de circuito asociadas a un elemento de dos terminales, entonces diremos que el elemento es lineal si al multiplicar la variable x por una constante A, equivale a multiplicar la variable y por la misma cantidad A. Esto se conoce como propiedad de proporcionalidad. Y evidentemente se aplica a todos los elementos que cumplen la ecuación (1) puesto que al multiplicar ambos lados de la relación (1) por la constante A, se obtiene
kx
y= Ay=A(kx)=k(Ax) (6) Esto se puede representar gráficamente como sigue
R v i
C v i
Resistores v=Ri
Inductores
dt Ldi v=
Capacitores
dt Cdv i= v
i L
Las relaciones cuando implican derivadas también son lineales ya que en (2)
dt kdx
y=
=
=
=
dt Ax k d dt Adx dt k
kdx A
Ay ( )
(7)
Se define como un circuito lineal todo circuito que contiene solo elementos pasivos lineales (resistores, inductores y capacitores), fuentes independientes y/o fuentes dependientes lineales.
Las ecuaciones para analizar estos circuitos se obtienen aplicando LCK, LVK y las leyes de los elementos (relación v - i). Las ecuaciones resultantes son lineales y pueden expresarse como
y x a x a x a x
a1 1+ 2 2+ 3 3+ n n= (8)
En donde las xk son variables de circuito (corrientes y/o voltajes, k = 1, 2, . . . n) y la variable y es la suma algebraica de los efectos de las fuentes independientes. El lado izquierdo de (8) se conoce como combinación lineal de x1, x2, . . . , xn. Note que las combinaciones de elementos lineales también satisface la propiedad de proporcionalidad, es decir, si cada fuente está a escala A, cada variable de circuito estará multiplicada por A, puesto que (8) implica que
Ay Ax
a Ax
a Ax a Ax
a1( 1)+ 2( 2)+ 3( 3)+ n( n)= (9) Ejemplo 1. Propiedad de proporcionalidad. Determine I0.
x1 Ax1 x Ay1
y1
y
Is = 15 A 4
I0
7 5
6 2 3
SOLUCIÓN
Suponiendo I0 = 1 A V1=(3+5)I0= 8 V,
I1=V1/4 = (8 V)/(4 ) = 2 A, I2 = I0 +I1= 1 A + 2 A = 3 A, V2=V1+2I2= 8+23 = 14 V, I3=V3/7 = (14 V)/(7 ) = 2 A, I4 = I2 +I3= 3 A + 2 A = 5 A = Is,
Lo anterior significa que si Is = 5 A, entonces I0 = 1 A. Pero Is = 15 A, o sea el triple de Is.
Por proporciones
=
s s
I I I
I
0
0 1 3
5 15
0
0 = =
= I I I I
s
s A I0 = 3 A
En la misma proporción se podrían calcular V1, V2, I1, I2 , etc.
Is, A Is=5 Is=15
I0 =3
I0=1 I0, A
Representación gráfica de la proporcionalidad Is = 15 A 4
I0
7 5
6 2 3
I1
I3
I2 V1
V2
I4
Superposición
Sean las fuentes ya, yb, yc, todas independientes Si la fuente ya produce variables x1a, x2a, . . . , xna, Si la fuente yb produce variables x1b, x2b, . . . , xnb, Si la fuente yc produce variables x1c, x2c, . . . , xnc,
Las fuentes combinadas (actuando simultáneamente), producirán las variables:
. x1a+ x1b+ x1c, x2a+ x2b+ x2c, . . . , xna+ xnb+ xnc, (10) Ejemplo 2. Superposición. Determine v en el circuito de la figura.
SOLUCIÓN
Para poner en cero las fuentes, las de voltaje se cortocircuitan y las de corriente se ponen en circuito abierto.
Determinando la contribución al voltaje v debido a cada fuente en forma separada
6 V 4 3 A
8
v
4 v2 3 A
(b) contribución de la fuente de corriente
8 i4
6 V 4
8
v1
(a) contribución de la fuente de voltaje
3 A a
b vs
Fuente de voltaje cortocircuitada, vab = 0
is
a
b
Fuente de corriente en circuito abierto, iab = 0
a
b b
a
En (a) por división de voltaje: 6 2 8
4 4
1 =
= +
v V, en (b) por división de
corriente: 3 2
4 8
8
4 =
= +
i A, luego v2 =4i2 =(4Ω)(2A)=8V Así, debido a las dos fuentes, v = v1 + v2 = 2 V + 8 V = 10 V
Ejemplo 3. Superposición. Determinar ix y v.
SOLUCIÓN
Contribución de la fuente de voltaje de 10 V
0 5 . 1 4 5 . 2
10+ 1+ 1+ 1=
− ix ix ix 1.25
5 . 1 4 5 . 2
10
1 =
+
= +
ix A
0 5
. 2
10+ 1+ 1 =
− ix v v1=10−2.5(1.25)=6.875 V Contribución de la fuente de corriente
1.5ix
10 V
2.5
3 A v
4.0 ix
1.5ix1
10 V
2.5
v1
4.0 ix1
1.5ix2
2.5
v2 3 A
4.0 ix2
v2
4 0 5 . 3 1
5 . 2
) 0
( 2 2 2
− = +
− −
− v v ix
Pero
5 . 2
) 0
( 2
2
ix = −v y 1.5ix2 =−0.6v2
4 0 ) 6 . 0 3 (
5 . 2
2 2
2 − + v − − v =
v 3
4 6 . 0 5
. 2
2 2
2 +v + v =
v v2 =3.75V, ix2 =−1.5A
Consolidando: ix = ix1 + ix2 = 1.25 + (−1.5) = −0.25 A . v = v1 + v2 = 6.785+3.75 = 10.625 V
Note que se calcula la contribución de cada fuente independiente y que la(s) fuente(s) dependiente(s) no se suprime(n) en ningún caso.
Combinación de fuentes
Fuentes de voltaje en serie
Cuando dos o más fuentes de voltaje están en serie, el voltaje total es igual a la suma algebraica de los voltajes de las fuentes independientes. La suma algebraica implica que las polaridades de las fuentes deben ser incluidas cuando se combinan en serie. Las fuentes con polaridades opuestas tienen voltajes con signos opuestos.
En (a) VAB =1.5V+1.5V+1.5V=4.5V En (b) VAB =1.5V−1.5V+1.5V=1.5V Ejemplo
Fuentes de corriente en paralelo
La corriente total producida por fuentes de corriente en paralelo es la suma algebraica de las fuentes de corriente independientes. La suma algebraica implica que se debe considerar la dirección de la corriente cuando se combinen fuentes de corriente en paralelo.
En (a) IT =1A+2A+2A=5A En (b) IT =−1A+2A+2A=3A
Fuentes prácticas de voltaje
Fuentes ideales y fuentes prácticas (reales) de voltaje
Cuando están sin carga, (circuito abierto), la tensión en los terminales a y b es la misma en ambos casos. Pero cuando se les pone carga, el voltaje terminal, vL, depende de la corriente iL, o sea de la carga a menos que RS = 0.
Para la fuente real:
=0 + +
−vs RsiL vL
L s s
L v Ri
v = − , (11)
S S SC
L R
i , = v , vL,OC =vS OC, open circuit, circuito abierto, SC, short circuit, corto circuito
iL
vL
vL,OC
iL,SC
Fuente real Fuente ideal
Rs
1
Rs a
b iL,SC
vs
Rs a
b vL,OC
vs
a
vs
b
vs
Rs
a
b
Fuente ideal Fuente práctica
a
vs
b
vs
Fuente ideal
RL RL
vL
Rs a
Fuente práctica b vL
iL iL
Fuentes prácticas de corriente
Cuando están con carga cero, (corto circuito), la corriente en los terminales a y b es la misma en ambos casos. Pero cuando se les pone carga, la corriente terminal, iL, depende de la tensión vL, o sea de la carga a menos que Rp = .
Para la fuente real: − + + L =0
p L
s i
R i v
p L s
L R
i v
i = − , (12)
SC s
L i
i , = , vL,OC =isRp
a
b
Rp
a
b
Fuente ideal Fuente práctica
is is
a
Fuente ideal b
RL RL
vL Rp
a
Fuente práctica b vL
is is
iL iL
Transformación de fuentes. Fuentes prácticas equivalentes.
Para el análisis de circuitos con fuentes prácticas es necesario a veces hacer algunas transformaciones para simplificar el circuito.
Ya sea para fuentes dependientes o independientes se cumple que
s
s Ri
v = o
R
is =vs (13) vL
iL
vL,OC
iL,SC
Fuente real Fuente ideal
Rp
1
Rp
a
b vL,OC
is
Rp
a
b iL,SC
is
is
R
a
Fuente de corriente b a
b vs
Fuente de voltaje R
Fuente de corriente a
b vs
Fuente de voltaje R
is
R
a
b
Ejemplo 4. Uso de transformación de fuentes. Determine i y v0.
SOLUCIÓN
3 A 8 v0
4 12 V
2 3
i
3 A 8 v0
4 12 V
2 3
i
34 =12 V
4
3 12/3=4 A
8 v0 3 4 A
2
i
12 V = 6
4
División de corriente: 2 0.4 8
2
2 =
= +
i A
Luego: v0 =(8 )(0.4 A) = 3.2 V
8 v0 3 6
i 12 V
6
4 A
2 A
8 v0 3 i
2 A 6 4 A
8 v0 3
i
6 2 A 4 A 8 v0 2
i
2 A
Circuitos con equivalentes de Thevenin y de Norton
El circuito lineal de se puede sustituir por una sola fuente de voltaje y un resistor en serie (Equivalente de Thevenin) o por una fuente de corriente y un resistor en paralelo (Equivalente de Norton).
El voltaje de Thevenin, vth, se calcula como el voltaje en circuito abierto entre los terminales a y b. La corriente de Norton, iN, se calcula como la corriente de cortocircuito entre los terminales a y b.
Circuito lineal de dos terminales
a
b vth = vOC
Determinación de las fuentes en los equivalentes de Thevenin y de Norton Circuito
lineal de dos terminales
a
b
iN=iSC
Red B RN
a
b vab
iN Red B
Red A Circuito lineal de dos terminales
a
b vab
i i
Sustitución de un circuito lineal de dos terminales por su equivalente de Norton Red B
Rth a
b vab
vth Red B
Red A Circuito lineal de dos terminales
a
b vab
i i
Sustitución de un circuito lineal de dos terminales por su equivalente de Thevenin
La resistencia de Thevenin, Rth, se calcula como sigue
Recuerde: Para poner en cero las fuentes, las de voltaje se cortocircuitan y las de corriente se ponen en circuito abierto.
0 0
i
Rth =v (14)
Para encontrar la resistencia de Norton se siguen las mismas reglas que para la resistencia de Thevenin, de donde se desprende que
RN = Rth (15)
Debe observarse que los equivalentes de Thevenin y de Norton pueden relacionarse mediante transformación de fuentes
b
Rth = Rent
Circuito lineal con todas las fuentes igualadas a cero
a
a) Cuando todas las fuentes son independientes
b
v0 Circuito lineal
con todas las fuentes
independientes igualadas a cero
a
b) Cuando hay fuentes dependientes e independientes
i0
b Circuito lineal
con todas las fuentes
independientes igualadas a cero
a
i0 v0
Dado v0, se calcula i0 y luego se aplica (14)
Dado i0, se calcula v0 y luego se aplica (14)
iN RN
a
Equivalente de Norton b a
vth=RiN
b vth
Rth
Equivalente de Thevenin
RN =Rth=R
Ejemplo 5. Uso de equivalente de Thevenin. Obtenga i si R vale: (a) 5 , (b) 10 , (c) 15 .
SOLUCIÓN: Se encuentra el equivalente de Thevenin entre los terminales del resistor
LVK: −4(4+2)−6(4)+12+vab=0 vth =vab =36V
Rth = Rent = 6 + 4 =10
Usando el equivalente de Thevenin
LVK: −36+10i+Ri=0
i R
= + 10
36
a) R = 5 , 2.4
5 10
36 =
= +
i A
b) R = 10 , 1.8
10 10
36 =
= +
i A c) R = 15 , 1.44
15 10
36 =
= +
i A
2 A 4 R
6
i
4 A 12 V
2 A 4 a
6
4 A 12 V
b 2 A 4 A
4 a 6
b
Rth=Ren t
R 10
i 36 V
Transferencia máxima de potencia
Si queremos conocer cuál es el valor de la potencia máxima que se puede transferir a una resistencia conocida como carga, RL.
En el circuito de la derecha
L th
th
R R i v
= + y la potencia consumida por RL es
L L
th th
L R
R R R v i
p
= +
=
2
2 (16)
Si graficamos p contra RL se obtiene una gráfica como la siguiente
Para determinar el valor de Rmax
correspondiente al valor máximo pmax
se deriva y se iguala a cero. Con ello se determina Rmax. Y luego pmax.
( )
02
2
2 =
+ +
− +
= +
L th
th L
L th
th L
th th
L R R
R v R
R v R
R v dR
dp
Carga, (variable)
Rth a
b vab
vth
Circuito lineal de dos
terminales vab
i i
(a) Circuito original
RL
(b) Circuito equivalente usando equivalente de Thevenin para determinar la potencia a
b
Rmax
pmax
RL (Ω) p(W)
(
2)
1 02
=
+
− +
= +
L th
L L
th th
L R R
R R
R v dR
dp
Igualando a cero el corchete
L th
L R R
R = +
2 RL =Rth (17)
Sustituyendo (17) en (16)
th th th th
th th
R R v
R R p v
4
2 2
max =
= +
th th
R p v
4
2
max = (18)
Ejemplo 6. Aplicación de transferencia máxima de potencia. Para el circuito del ejemplo 5, determine la potencia máxima que se puede entregar.
SOLUCIÓN
Como ya se tiene el equivalente de Thevenin y usando (17) y (18)
El valor de R para Pmax es R = 10
La potencia máxima es 32.4
10 4
362
max =
=
p W
La gráfica de la potencia versus la resistencia de carga R es como sigue:
p R( ) 36 10+R
2
R
=
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0 5 10 15 20 25 30 35 40
p R( )
R
R 10
i 36 V
