Diferenciabilidad en un intervalo

Diferenciabilidad en un intervalo

Ahora que conocemos cómo calcular la derivada de una función en un punto conviene hacer la pregunta más general: « ¿Cómo podemos saber si una derivada se puede derivar en un intervalo (a, b) dado?»

Para responder a esta pregunta debemos considerar el caso particular de diferenciabilidad en un punto.

Obviamente si existe la derivada de una función y = f(x) en un punto(x₀, f(x₀)), es obvio que la función debe estar definida en ese punto. Pues si no fuera así, ¿cómo podríamos definir la derivada de la función en ese punto, si no pertenece a la función?

Basándonos en la definición de derivada usando los cuatro pasos (página ??) vemos que la derivada de la función y= f(x)existirá en el intervalo(a, b)siempre que el límite

∆x→0lim

∆y

∆x



= lim

∆x→0

 f(x+_∆x) −f(x)

∆x



exista para cualquier punto x0∈ (a, b).

Pero primero debemos entender qué significa el hecho de que la función y= f(x)sea derivable en un punto de su dominio.

Basándonos en la regla de los 4 pasos concluimos que se deben cumplir las siguientes dos condi- ciones:

i. La función debe ser continua en el punto x0, y ii. Los dos límites laterales:

∆x→0lim⁻

∆y

∆x



y lim

∆x→0⁺

∆y

∆x



deben existir para que exista la derivada en ese punto (por la definición de límite).

Si la derivada existe para todo punto del intervalo, entonces decimos que la función es diferencia- ble en ese intervalo.

Ejemplo 1 Verifica si la función

y=x² es diferenciable en el intervalo(−_{∞, ∞})_.

• Primero debemos verificar que la función es continua en cada punto de ese intervalo.

• Pero como toda función polinomial es continua en todo el conjunto de los números reales, y la función y=x²es polinomial, se sigue que la función es continua en el intervalo(−_{∞, ∞}).

• Ahora debemos verificar que la función es diferenciable para todo número real.

• Empezamos aplicando la regla de los cuatro pasos.

• Paso 1:

y+∆y= (x+∆x)²=x²+2 x(∆x) + (∆x)²

• Paso 2:

∆y=2 x(∆x) + (∆x)²

• Paso 3:

∆y

∆x = ^{2 x}(_∆x) + (_∆x)²

∆x

= 2 x+_∆x

• Paso 4:

dy

dx = lim

∆x→0

∆y

∆x



= lim

∆x→0(2 x+∆x)

= 2 x

• La derivada de la función polinomial: y=x²es una nueva función polinomial: y⁰=2 x.

• Como la derivada en sí es otra función polinomial, es continua y suave en todo el conjunto de los números reales.

• En otras palabras, los límites:

∆x→0lim⁻

∆y

∆x



y lim

∆x→0⁺

∆y

∆x



existen para todo x0∈R.

• Esto se hace evidente al observar que la derivada y⁰ =2 x es una línea recta.

• Entonces, la derivada de y= x²está definida para todos los números reales, pues siempre es posible calcular y⁰ dado un valor x₀-.

El hecho de que una función sea continua en un punto no significa que su derivada exista ahí.

El siguiente ejemplo es uno de los clásicos del caso en el que la función es continua en un punto, pero su derivada no se define ahí.

Ejemplo 2

Verifica si la función

y= |x| es derivable en el el punto x=0.

• La función valor absoluto es continua en todo el conjunto de los números reales.

• Por ende, es continua en x=0.

• Ahora vamos a ver si su derivada existe en ese punto.

• Aplicamos la regla de los 4 pasos.

• Paso 1:

y+_∆y= |x+_∆x|

• Paso 2:

∆y= |x+_∆x| − |_∆x|

• Paso 3:

∆y

∆x = |x+_∆x| − |∆x|

∆x

• Paso 4:

dy

dx = lim

∆x→0

∆y

∆x



= lim

∆x→0

|x+∆x| − |∆x|

∆x



• Para verificar si existe este límite, debemos verificar que los límites:

∆x→0lim⁻

∆y

∆x



y lim

∆x→0⁺

∆y

∆x



coincidan.

• Primero calculamos el límite por la izquierda:

∆x→0lim⁻

∆y

∆x



= lim

∆x→0⁻

|x+_∆x| − |∆x|

∆x



= −1

• Y por otra parte, el límite por la derecha es:

∆x→0lim⁺

∆y

∆x



= lim

∆x→0⁺

|x+_∆x| − |_∆x|

∆x



=1 lo cual puedes verificar usando una tabla.

• Entonces, dado que los últimos dos límites no coinciden, el límite:

dy dx = _lim

∆x→0

|x+_∆x| − |_∆x|

∆x



no existe.

• En conclusión, la función y = |x| no es derivable en el punto x = 0 a pesar de que es continua ahí.

Ejemplo 3 Verifica si la función:

y=





 3

2x²+x para x<1 4 x−³

2 para x≥1 es derivable en el punto x=1.

• Primera parte...

• Primero debemos verificar que la función es continua en x=1.

• Para eso, vamos a verificar las condiciones de continuidad de una función (página ??).

• Primera condición:verificamos que f(1)esté definida:

y(1) =4(1) − ³ 2 = ⁵

2

• Segunda condición: verificamos que existe el límite.

• Para eso, vamos a verificar por ambos lados.

x→1lim⁻

 3 2x²+x



= ⁵ 2 por otra parte,

x→1lim⁺

 4 x−³

2



= ⁵ 2

• Como los dos límites anteriores son iguales, el límite existe.

• Además se cumple latercera condición, es decir:

x→1lim(y(x)) =y(1) = ⁵ 2

• Entonces, la función es continua en x=1.

• Segunda parte...

• Ahora hay que verificar que la derivada existe en x=1.

• Esto significa que debemos verificar que los límites:

∆x→0lim





 3 2 x²+x

∆x





 y lim

∆x→0





 4 x−³

∆x 2







evaluados en x=1 coinciden.

• El límite por la izquierda es:

∆x→0lim





 3 2x²+x

∆x





=3 x+1

• Cuando x→1, la derivada es: 3(₁) +₁=₄

• Por otra parte, el límite por la derecha es:

∆x→0lim





 4 x−³

∆x2





=4

• En este caso la derivada vale siempre 4, independientemente del valor de x.

• Como los dos límites coinciden, la función es derivable en x =1.

Ejemplo 4

Verifica si la función:

y=

 x²−2 para x<2 4 x−1 para x≥2 es derivable en el punto x=2.

• Primera parte...

• Primero verificamos que sea continua la función

• Primera condición: f(2)existe.

y(2) =4(2) −1=7

• Segunda condición: verificamos el límite.

• Por la izquierda es:

x→2lim⁻

x²−2

=2

• Y por la derecha:

x→2lim⁺(4 x−1) =7

• No es necesario ir más lejos.

• Dado que los límites no coinciden, la función no es continua en x = 2, y por tanto, es imposible calcular su derivada en ese punto.

Ejemplo 5 Verifica si la función:

y=√ x−2 es derivable en el punto x=2.

• Primera parte...

• Verificamos si la función es continua en x=2.

• Primera condición: f(2)existe.

y(₂) =√

2−2=₀

• Segunda condición: verificamos el límite

• Por la izquierda:

x→2lim⁻

√ x−2

• Recordando que la función y=√

x−2 está definida para x−2≥0, nos damos cuenta que es imposible calcular el límite por la izquierda.

• Esto se debe a que las raíces cuadradas de números negativos no están en el conjunto de los números reales.

• Entonces, el límite

x→2lim

√ x−2 no existe.

• De aquí que la función, ni sea continua ni derivable en x=2.

Observa que ahora estamos utilizando varias cosas que ya has aprendido:

3 Continuidad de una función, 3 Límites y

3 La regla de los cuatro pasos.

entre otros conceptos más básicos como álgebra.

Si te confunden los procedimientos que estamos utilizando para resolver los ejemplos eso sig- nifica que no has entendido con suficiente profundidad los conceptos mencionados, así que debes estudiarlos para entender los procedimientos de esta sección.

Créditos

Albert Einstein

Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.

Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es com- partir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor.

Autor: Efraín Soto Apolinar.

Edición: Efraín Soto Apolinar.

Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.

Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.

Productor general: Efraín Soto Apolinar.

Año de edición: 2010

Año de publicación: Pendiente.

Última revisión: 01 de agosto de 2010.

Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.

Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos.

Este material es de distribución gratuita.

Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:

efrain@aprendematematicas.org.mx