Análisis experimental del efecto de las presiones hidrostáticas en la plastificación de materiales metálicos

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(1)UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE CAMINOS ,CANALES Y PUERTOS. MÁSTER EN INGENIERÍA DE CIMENTACIONES Y MATERIALES. LAS. ESTRUCTURAS,. TRABAJO FIN DE MÁSTER. ANÁLISIS EXPERIMENTAL DEL EFECTO DE LAS PRESIONES HIDROSTÁTICAS EN LA PLASTIFICACIÓN DE MATERIALES METÁLICOS. ALUMNO: DIANA MARTÍNEZ COLLADO TUTOR: DAVID ÁNGEL CENDÓN FRANCO. Madrid, Septiembre de 2014. 1.

(2) 2.

(3) AGRADECIMIENTOS. Quisiera agradecer a David Cendón la oportunidad de hacer este entretenido trabajo fin de máster , gracias al cual y con los ensayos realizados , se me han hecho “tangibles” conceptos que de otro modo hubieran rozado la abstracción. Igualmente agradecer a los demás profesores y personal de laboratorio que me han prestado su ayuda.. 3.

(4) RESUMEN. El presente trabajo fin de máster tiene como objetivo comprobar experimentalmente el efecto de la presión hidrostática en la plastificación de materiales metálicos. Para ello basándose en el artículo de Aretz que analiza los ensayos de tracción y compresión llevados a cabo por Spitzig y Richmond (1984), donde se constata la respuesta plástica sensible a la presión hidrostática, se realizan sendos ensayos de tracción y torsión con probetas de acero, aluminio y fundición. Posteriormente se analiza la influencia de la presión a través de las curvas tensión equivalente- deformación equivalente de los materiales. Y por último se construyen las expresiones analíticas de Ramberg-Osgood de los materiales.. 4.

(5) ÍNDICE. 1.INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN……………………………………………………………….página 6. 2.MATERIAL EMPLEADO……………………………………………………………………………..página 14. 3.ENSAYO DE TRACCIÓN SIMPLE…………………………………………………………………página 16. 4.ENSAYO DE TORSIÓN………………………………………………………………………………..página 31. 5. COMPARATIVA DE LAS TENSIONES EQUIVALENTES-DEFORMACIONES EQUIVALENTES EN TRACCIÓN Y TORSIÓN DE LAS CURVAS DE LOS MATERIALES…………………………página 46. 6.OBTENCIÓN DEL PARÁMETRO α DE LOS ENSAYOS DE TRACCIÓN Y TORSIÓN………………………………………………………………………………………… .página 49. 7. APROXIMACIÓN DE RAMBERG-OSGOOD DE LAS CURVAS TENSIÓN –DEFORMACIÓN DE LOS METALES……………………………………………………………………………………………………….página 53. 8. CURVAS DE RAMBERG-OSGOOD EN TORSIÓN DE LOS MATERIALES DEDUCIDAS DE LAS CURVAS DE RAMBERG-OSGOOD EN TRACCIÓN…………………………………………….página 61. 9. CONCLUSIONES…………………………………………………………………………………………página 68. 10. BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………………………………….página 70. 5.

(6) 1. INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN El conocimiento detallado del comportamiento plástico de los metales ha sido siempre muy importante en la industria metalúrgica y por lo tanto ha revertido positivamente en muchos aspectos de la vida cotidiana, tales como la fabricación de automóviles, aviación, maquinaria…etc.. Un sólido se deforma plásticamente cuando las acciones exteriores superan un determinado umbral, a partir del cual la deformación tiene una parte irreversible. Se dice entonces que el sólido se ha deformado plásticamente. 1.1 TEORÍA CLÁSICA La teoría clásica de la Plasticidad (véase el libro de Vicente Sánchez Gálvez ”Física de la plasticidad”),define los criterios de plastificación a partir de expresiones que definen el límite de elasticidad para cualquier combinación de tensiones. Traducido al lenguaje matemático: f (σij) = 0 La expresión anterior define a una función que depende del estado tensional del elemento, y que ,al cumplirse, indica que el material ha plastificado en dicho punto. Si el material es isótropo, los valores de la función de plastificación son independientes del sistema de referencia utilizado. Por tanto, para materiales isótropos, con comportamiento plástico ideal, la función de plastificación puede expresarse en función de los invariantes del tensor de tensiones como: f (J1, J2,J3) = 0 J1= σ1+ σ2+ σ 3. J3= σ1. σ2. σ3. J2= - ( σ1. σ2 + σ2 σ3 + σ3 σ1) 6.

(7) Siendo (σ1,σ2,σ3) las tensiones principales. Si consideramos los criterios de plasticidad clásicos, se suele asumir que en el caso de los metales, la plastificación no se ve afectada por un estado hidrostático de tensiones. Es decir que el criterio de plastificación no es función del estado tensional del elemento sino del desviador de tensiones sij que se define como:. sij= σij – 1.σ σ=(1/3).σii 1 es el tensor identidad. 1.1.1 Criterio de plasticidad de Von Mises En 1913, Von Mises propuso como criterio de plastificación que ésta se alcanza cuando las componentes de la tensión, en un punto del sólido, satisfacen la relación:. siendo k2 una constante a determinar mediante el ensayo de tracción del material. Así, si el límite elástico obtenido en el ensayo de tracción es σe, verificándose que σ1 = σe y σ2 = σ3 = 0, k2 es:. Sustituyendo k2 en las expresiones de Von Mises en ejes principales, queda:. 7.

(8) y en ejes no principales:. Es decir, las raíces de las expresiones anteriores constituyen la tensión equivalente de Von Mises:. Si σVM = σe, el estado tensional correspondiente se encuentra sobre la superficie de plastificación. Si σVM < σe, el estado tensional correspondiente es elástico.. 1.1.2 Criterio de plasticidad de Tresca En 1868, Tresca propuso que la plastificación se alcanza cuando la tensión tangencial máxima, en un punto de un sólido, alcanza un valor igual a la mitad del límite elástico obtenido en el ensayo de tracción del material. Por este motivo, este criterio también se conoce como criterio de máxima tensión tangencial. En un ensayo de tracción se verifica : σ1≠0 σ2 = σ3 = 0 siendo la tensión tangencial máxima. τmáx = σ1 /2. Para un estado triaxial de tensiones, siendo las tensiones principales σ1 > σ2 > σ3 , la tensión tangencial máxima es τmáx = (σ1 −σ3)/2 En este caso, el criterio de Tresca establece que existe plastificación si: (σ1 −σ3)2 –σe2 = 0 o lo que es igual :. σe = σ1 −σ3 8.

(9) 1.2 NUEVAS TEORÍAS DE PLASTICIDAD DE METALES SENSIBLES A LA PRESIÓN HIDROSTÁTICA A pesar de los postulados de la teoría clásica de la plasticidad, según los cuales la plasticidad no depende de la presión, lo cierto es que los resultados experimentales disponibles demuestran que para algunos metales sí existe una influencia apreciable de la presión en la plasticidad del material. Esta influencia de la presión es especialmente relevante en el caso de algunas aleaciones. Por ese motivo, en los últimos años se han desarrollado diversas teorías de plasticidad para metales con influencia de la presión hidrostática. En los siguientes párrafos se resumen dos de ellas, que se han seleccionado en este trabajo fin de máster por proporcionar un buen compromiso entre sencillez y precisión.. 1.2.1 Resumen de la teoría de Holger Aretz En su artículo (” A consistent plasticity theory of incompresible and hydrostatic pressure sensitive metals” ) , Aretz describe el comportamiento plástico de metales incompresibles pero sensibles a la presión hidrostática tal y como observaron experimentalmente Spitzig y Richmond (1984) que en sus ensayos de tracción y compresión con probetas de acero y aleaciones de aluminio, hicieron las siguientes observaciones: -La respuesta plástica de los metales investigados era sensible a la presión hidrostática, dando lugar a un efecto de diferencia de fuerzas en los ensayos de tracción y compresión. -No se observó ningún cambio de volumen. -La fuerza plástica en el test de compresión era siempre más alta que en el de tracción. Basándose en lo anterior, Aretz presenta: -La tensión equivalente σequiv  0, se presenta como una magnitud no negativa representativa de un estado multiaxial de tensiones σ. La condición de plastificación se da cuando la tensión equivalente iguala la tensión de referencia,Yref , del material considerado. Es decir: . σequiv (σ) = Yref. Por general la tensión de referencia se asume que es positiva y puede por ejemplo determinarse en un ensayo de tracción simple ó de compresión. Además se asume que σequiv es independiente de la presión hidrostática p: σequiv (σ) = σequiv (s) 9.

(10) con s el desviador de tensiones dado por s= σ+p.1,con 1 el tensor identidad, p se define como: . p=(-1/3).traza(σ). Spitzig y Richmond propusieron una dependencia lineal de la tensión de plastificación de referencia con p y dicha relación es: . Yref =Y0.(1+3.α.p). Y0 es la parte dependiente de la deformación de Yref y representa el valor de Yref para p=0. α es el parámetro sensible a la presión hidrostática dependiente del material. Spitzig y Richmond encontraron que α es constante incluso para altas presiones hidrostáticas. El estricto valor positivo de Yref impone la siguiente condición: . Yref > 0 ,Y0 > 0 → (1+3.α.p) > 0 →. α.p > -1/3. La función de plastificación F correspondiente a la condición de plastificación se da como: . F(σ)= σequiv (σ)- Yref (p)  0. Para F<0 el material se deforma elásticamente, para F=0 plásticamente. F=O describe la superficie de plastificación.. Igualmente Aretz comprueba en su artículo que la superficie de plastificación es convexa para los materiales sensibles a la presión hidrostática. El autor también plantea el caso de que el cambio de volumen plástico se desvíe considerablemente de cero: La igualdad σequiv (σ)= σequiv (s) asume la incompresibilidad plástica, pero aplicado a la existencia de cambio volumétrico ahora hay que pedir que σequiv (σ) sea distinto de σequiv (s) . Por lo tanto la tensión equivalente se define como: . σequiv (σ)= σequiv (s) - 3.β.p. 10.

(11) Con la condición de que: . σequiv (s)  3.β.p. Dicha restricción asegura el requerimiento de que : σequiv (σ)  0 Por lo que el criterio de plastificación es: . F(σ)= σequiv (σ) -(1+3.α.p)  0. F debe ser convexa, ahora hay dos parámetros dependientes del material que son α y β , mientras que el primero controla la sensibilidad a la presión hidrostática de Y ref, el segundo controla la compresibilidad plástica.Si β es distinto de cero el material tiene compresibilidad plástica.Se distinguen los siguientes casos: 1.α=0, β=0 describe a un material que muestra incompresibilidad plástica y no sensibilidad a la presión hisdrostática. 2. .α=0, β≠0 describe a un material que no es sensible a la presión hidrostática pero que sí muestra compresibilidad plástica. 3.α≠0, β=0 describe a un material que tiene sensibilidad a la presión hidrostática pero que no tiene compresibilidad plástica. 4.α≠0, β≠0 describe a un material con sensibilidad a la presión hidrostática y compresibilidad plástica. En general el parámetro α es independiente de β.Para el empleo de estos parámetros hay que tener en cuenta que mientras que la tensión de plastificación de referencia Yref es un valor que se mide, σequiv es únicamente un artificio teórico usado para juzgar si la plastificación tiene lugar ó no.. 11.

(12) 1.2.2 Resumen de la teoría planteada por Yuanli Bai y Tomasz Wierzbicki En el artículo “A new model of metal plasticity and fracture with pressure and lode dependence”, los autores mencionados señalan que, de acuerdo con la teoría de la plasticidad clásica de metales, la presión hidrostática no tiene efecto ó éste es mínimo en el endurecimiento por deformación del material, y que el flujo de tensiones es independiente del parámetro de lode. Sin embargo, recientes experimentos en metales particularmente con aluminio 2024T351 han demostrado que tanto la presión como el parámetro de lode deberían ser incluidos en la descripción constitutiva del material. En general ,la presión hidrostática controla el tamaño de la superficie de plastificación mientras que el parámetro de lode es responsable de su forma. Su trabajo propone que estos hallazgos no son obvios para todos los materiales metálicos, ya que por ejemplo el acero 1045 no muestra claramente la dependencia de la presión hidrostática y el parámetro de lode en la plasticidad del metal. Llevando a cabo ensayos de tracción con barras redondas lisas y barras redondas con muescas , se observó que los puntos del material dentro de una barra redonda con muesca están sometidos a mayor presión que una barra redonda lisa . Este fenómeno muestra el efecto de la presión hidrostática en la curva tensión –deformación. Comparado con el endurecimiento por deformación, el efecto de la presión hidrostática en la plasticidad de metal es relativamente pequeño. Sin embargo, la presión hidrostática es una de los más importantes parámetros que controlan la ductilidad del material. La deformación equivalente hasta rotura se emplea para medir la ductilidad. Estudios diversos llevados a cabo por McClintock(1968),Mackencie (1977),Johnson and Cook (1985) y Bao (2003) han demostrado que la deformación de rotura se eleva cuando la presión hidrostática crece.. 12.

(13) 1.3 MOTIVACIÓN El motivo por el que se ha realizado el presente trabajo, es para constatar la sensibilidad de los materiales metálicos a la presión hidrostática. Para ello se aplican a los ensayos de tracción y torsión la teoría desarrollada por Holger y Aretz en el artículo anteriormente mencionado, sobre la respuesta plástica de materiales metálicos sensibles a la presión hidrostática. Al igual que Aretz , Yuanli Bai y Tomasz Wierzbicki han constatado entre otras cosas la influencia de la presión hidrostática en el endurecimiento por deformación. Como posibles líneas de continuación de este trabajo, se plantea el estudiar el mecanismo de rotura en tracción y en torsión que contribuiría a explicar la diferencia existente entre las deformaciones equivalentes en tracción y en torsión existentes en este trabajo y que se aprecian en el capítulo 5.. 13.

(14) 2. MATERIAL EMPLEADO Dado que el objetivo del presente trabajo es evaluar la influencia de la presión hidrostática en la plastificación de materiales metálicos, se hicieron sendos ensayos de tracción y torsión. Para la realización de los mencionados ensayos se escogieron tres materiales metálicos: . Acero: se utilizó acero de armar tipo B500S.. . Aluminio: se trata de una aleación de aluminio (presumiblemente de la serie 50-x).. . Fundición: se trata de fundición gris perlítica GG-25.En comparación con los anteriores presenta un comportamiento relativamente frágil.. Se fabricaron en el taller siete probetas de sección transversal circular de cada uno de los materiales mencionados. La geometría de las mismas se muestra en la figura siguiente:. Figura 2.1: Sección longitudinal de las probetas, cotas en [mm].. En el ensayo de tracción se usaron tres probetas de cada material y en el de torsión se emplearon tres para el aluminio y dos para el acero y la fundición , debido a que las otras restantes no se ensayaron correctamente. El diámetro Ф de las probetas empleadas en el ensayo de tracción es distinto del empleado en el ensayo de la torsión dado que los diámetros inicialmente mecanizados superaban la capacidad de la máquina empleada en los ensayos de torsión. Particularmente en tracción, Ф , tiene un valor medio de 12,6mm y en torsión de 9mm.. 14.

(15) Figura 2.2: A la izquierda las probetas de fundición gris empleadas y a la derecha las de aluminio.. Figura 2.3: Probetas de acero. Figura 2.4: Rotura en “copa y cono” de probeta de acero correspondientes al ensayo de tracción. 15.

(16) Figura 2.5 : Probeta de fundición gris rota en el ensayo de torsión. 3. ENSAYO DE TRACCIÓN SIMPLE En este ensayo se somete la probeta del material a una fuerza de tensión uniaxial a velocidad constante , midiéndose la carga y el alargamiento. Para ello necesitamos: -Máquina del ensayo: se trata de una máquina electromecánica del tipo Suzpecar. -Extensómetro para medir el alargamiento: se ha empleado en las medidas un extensómetro longitudinal INSTRON, modelo2620-602 con número de serie1077 y base extensométrica de 12,5mm. Dicho artilugio requiere gomas ó dispositivos auxiliares de sujeción.. Figura 3.1: Esquema que ilustra la máquina empleada en el ensayo de tracción.. 16.

(17) -Célula de carga ,que proporciona la fuerza. Dicha célula de carga admite un valor máximo de 10 toneladas. Se estima que su precisión es de +/- 1 % del fondo de escala. Para la realización del ensayo se ha tenido que encontrar la velocidad del pistón adecuada para hacerlo en tiempo prudencial. Para ello se ha usado la siguiente fórmula:. . Velocidad de deformación de la probeta=(velocidad del pistón)/(longitud central de la probeta). La velocidad final del pistón ha sido 1,5mm/min. La longitud de prueba de las probetas empleadas(acero, aluminio y fundición) ha sido de 50mm . Con estos valores, se aplica una velocidad de deformación de 0,03 min-1.. Una vez finalizado el ensayo, la máquina nos proporciona los siguientes datos:. Tiempo. Fuerza. Posición. Auxiliar 1. Día. Hora. Siendo “Tiempo” el tiempo transcurrido desde el inicio del ensayo, ”Fuerza” la fuerza registrada por la célula de carga , “Posición” la posición relativa de la mordaza inferior , “Auxiliar 1” la medida del extensómetro y “ Día “ y “ hora” las del inicio del ensayo. De dicha información debemos extrapolar lo que necesitamos, que son las tensiones y deformaciones verdaderas. Para obtenerlas se emplea el método siguiente (que figura detallado en el libro “Física de la plasticidad” de Vicente Sánchez Gálvez):. . Tensión ingenieril: s=F/A0. . Deformación ingenieril: e=  L/L0. . Tensión verdadera: σ=F/A. . Deformación verdadera: Є= Ln(L/L0) Siendo A0 y L0 el área de la sección transversal inicial de la probeta y la base extensométrica respectivamente. A es el área de la sección instantánea y F es la fuerza instantánea.. 17.

(18) .  L=AUX1-AUX1(0). . Base extensométrica=12,5mm+medida inicial del extensómetro. La medida inicial del extensómetro es la inicial que proporciona la variableAUX1 en el ensayo. . Є=Ln(1+e). . σ=s.(1+e). 18.

(19) 3.1 RESULTADOS DEL ENSAYO Aplicando lo anteriormente expuesto, se obtienen para los tres materiales ensayados los gráficos que se dan a continuación:. . ACERO:. PROBETA N°5. -Diámetro medio=12,62mm - A0 =125,02mm² -Base extensométrica=10,834mm. Figura 3.2 : curva tensión(verdadera)-deformación ( verdadera) de la probeta 5 de acero.. 19.

(20) PROBETA N°6. -Diámetro medio=12,41mm - A0=120,89mm² -Base extensométrica=10,11mm. Figura 3.3 : curva tensión(verdadera)-deformación ( verdadera) de la probeta 6 de acero.. 20.

(21) PROBETA N °7. -Diámetro medio=12,59mm - A0=124,49mm² -Base extensométrica=10,33mm. Figura 3.4: curva tensión(verdadera)-deformación ( verdadera) de la probeta 7 de acero.. 21.

(22) Para obtener el comportamiento promedio a tracción de los tres aceros anteriores, se ha hecho uso de la rutina INTERPOLATE que permite obtener más puntos de los ya dados en el ensayo de cada curva interpolando los disponibles, para así poder calcular el promedio de todas las curvas, obteniéndose la curva promedio siguiente:. Figura 3.5 : curva tensión(verdadera)-deformación ( verdadera) del acero promedio.. 22.

(23) . ALUMINIO. PROBETA N°1. -Diámetro medio=12,59mm - A0=124,49mm² -Base extensométrica=11,07m. Figura 3.6: curva tensión(verdadera)-deformación ( verdadera) de la probeta 1 de aluminio.. 23.

(24) PROBETA N°5. -Diámetro medio=12,61mm - A0=124,82mm² -Base extensométrica=11,07m. Figura 3.7: curva tensión(verdadera)-deformación ( verdadera) de la probeta 5 de aluminio.. 24.

(25) PROBETA N°8. -Diámetro medio=12,67mm - A0=126,01mm² -Base extensométrica=11,59m. Figura 3. 8 : curva tensión (verdadera)-deformación ( verdadera) de la probeta 8 de aluminio.. 25.

(26) Para obtener el comportamiento promedio a tracción de los tres aluminios anteriores, se ha hecho uso de la rutina INTERPOLATE que permite obtener más puntos de los ya dados en el ensayo de cada curva interpolando los disponibles, para así poder calcular el promedio de todas las curvas, obteniéndose la curva promedio siguiente:. Figura 3.9 : curva tensión (verdadera)-deformación ( verdadera ) del aluminio promedio en tracción.. 26.

(27) . FUNDICIÓN. PROBETA N°4. -Diámetro medio=12,69mm - A0=126,41mm² -Base extensométrica=13,00mm. Figura 3.10 : curva tensión(verdadera)-deformación ( verdadera) de la probeta 4 de fundición.. 27.

(28) PROBETA N°7. -Diámetro medio=12,64mm - A0=125,42mm² -Base extensométrica=13,01mm. Figura 3.11 : curva tensión(verdadera)-deformación ( verdadera) de la probeta 7 de fundición.. 28.

(29) PROBETA N°8. -Diámetro medio=12,64mm - A0=125,42mm² -Base extensométrica=12,98mm. Figura 3.12 : curva tensión(verdadera)-deformación ( verdadera) de la probeta 8 de fundición.. 29.

(30) Para obtener el comportamiento promedio a tracción de las tres fundiciones anteriores, se ha hecho uso de la rutina INTERPOLATE que permite obtener más puntos de los ya dados en el ensayo de cada curva interpolando los disponibles, para así poder calcular el promedio de todas las curvas, obteniéndose la curva promedio siguiente:. Figura 3.13 : curva tensión(verdadera)-deformación ( verdadera) de la fundición promedio en tracción.. 30.

(31) 4. ENSAYO DE TORSIÓN El presente ensayo se ha llevado a cabo con dos probetas de acero y fundición y tres de aluminio . Para su realización se han empleado los siguientes elementos: -Una máquina electromecánica INSTRON, modelo TT-D1115. -Abrazaderas mecánicas para sujetar la probeta a la máquina, la cual es ensayada cambiando el ángulo entre las abrazaderas. Dicho ángulo es distinto del que indica el extensómetro y va incrementándose a velocidad constante ( de 0,16°/s para acero y aluminio y de 0,04°/s para la fundición) hasta la rotura de la probeta.. .. Figura 4.1: A la izquierda máquina empleada en el ensayo de torsión y a la derecha dispositivo de medida del ángulo.. -Extensómetro longitudinal COD, marca MTS, fabricante EPSILON modelo MD2555, tipo 3541-005M250LT. Este extensómetro tiene una base de medida de 5+7/-1 mm, con una precisión de 10 μm. Las cuchillas tienen una medida de 35 mm. El extensómetro se fija a dos piezas especialmente diseñadas para la obtención del ángulo girado entre dos secciones de la probeta. La principal ventaja de utilizar un extensómetro de COD es que están diseñados de forma, que se ajustan y sujetan automáticamente al dispositivo de medida. 31.

(32) La piezas que permiten fijar el extensómetro están formadas por una parte que se fija al extensómetro y otra que se acopla a la probeta permaneciendo solidaria con ella gracias a una unión atornillada. La disposición de las piezas de sujeción del extensómetro ha de hacerse a la misma distancia entre ellas, de manera que la base extensométrica sea siempre aproximadamente la misma (25mm).Para ello se usa como referencia la distancia entre los bordes superiores de la piezas que se designa como Lbordes.. Figura 4.2: Esquema de la medida de L0, donde se aprecia la distancia entre los bordes de las piezas. Las piezas están provistas de unos rebordes en su interior que están a una distancia fija del borde de las piezas. Como son 2 piezas para hallar L0 hay que sustraer a Lbordes las cotas que aparecen indicadas en mm.. Cuando se han fijado las dos piezas que forman el dispositivo de medida de ángulos, el extensómetro dará la medida de la separación entre dos piezas solidariamente unidas a sendas secciones de la probeta. Tal separación permitirá hallar el ángulo girado entre dos secciones de la probeta.. Figura 4.3: Extensómetro situado en el dispositivo de medida del ángulo, en una probeta durante el ensayo.. Si se llama (d) la zona donde se coloca el extensómetro, la lectura que se hace de la abertura de las “patas” del extensómetro hay que 32.

(33) corregirla para obtener la verdadera magnitud de la separación de sus “patas”, sumándole 4,80 mm correspondiente a la distancia real entre patas del extensómetro cuando la medida registrada por el mismo corresponde a 0 : d=4,80mm+lectura extensométrica. Para obtener la relación entre la medida del extensómetro y el ángulo de la rotación entre las dos secciones se aplica la siguiente relación trigonométrica:. Ɵ= 2arcsen d/2r0 donde Ɵ es el incremento de ángulo entre las dos secciones; d es la distancia entre patas del extensómetro y r0 es la distancia entre el eje de simetría de la probeta y el punto donde el dispositivo de medida del ángulo y el extensómetro se colocan. El incremento efectivo del ángulo será:  ϴ= Ɵ- Ɵ0 donde Ɵ0 es el ángulo inicial del ensayo.. Figura 4.4: Representación de los parámetros Lp y r0,el círculo más pequeño representa la probeta,y en amarillo el dispositivo para medir el ángulo. Lp en el ensayo ha resultado tener el valor de 16,10mm.. Para obtener el incremento de ángulo unitario por cada metro, dado que L 0 está en mm, se hace: 1000.(  ϴ/L0) =  ϴunit,1m. A partir de las curvas momento torsor-ángulo (MT- Ɵ) obtenidas en los ensayos, puede obtenerse la curva tensión-deformación del material, en el caso de un ensayo de. 33.

(34) torsión se aplica el procedimiento de Nadai (que se describe detalladamente en el libro “Física de la plasticidad” de Vicente Sánchez Gálvez).. El método debido a Nadai explica el ensayo a torsión para una barra cilíndrica. Figura 4.5: barra cilíndrica de longitud unidad considerada por Nadai. Dada una barra cilíndrica de material homogéneo e isótropo de radio r0 sometida a torsión. Se establece que no existe variación de volumen al igual que no hay variación de longitud de la barra. Asimismo se supone que las secciones de la barra se mantienen planas y los radios rectos. Para un punto situado a una distancia r del eje se tiene, γ = r.Ɵ, siendo γ = γ0 ; r = r0 donde γ0 es la deformación tangencial para r = r0 El momento torsor es: MT = ∫ M T= 2 /Ɵ3∫. γ2dγ. Por lo tanto, conociéndose la curva tensión tangencial-deformación tangencial τ = f (γ) se podría obtener la relación MT-Ɵ. d(MTƟ3/2 ) = τ0γ20dγ0 = τ0 r30Ɵ2dƟ Ɵ3 dMT/dƟ + MT 3Ɵ2 = 2 r30 Ɵ2τ0 despejando τ0 τ0 = 1/ 2𝜋r30 (3 MT + dMT/dƟ) Sabiendo que :MT = MT(Ɵ) = MT (γ0/r0). 34.

(35) De la expresión de τ0 se obtiene τ0 = τ0(γ0) que es la función τ = τ(γ) buscada.. Como el estado tensional viene dado por: σ tor. 0    0 .  0 0. 0  0 0 . La tensión equivalente es : 3   equiv. Como: 2.Єxy= γxy. Y el estado de deformaciones es: 0   0 .  0 0. 0  0   0 . La deformación equivalente es: Єequiv = (2/ 3 ).Єxy. 35.

(36) 4.1 RESULTADOS DE LOS ENSAYOS  ACERO PROBETA N°1. Figura 4.6: curva tensión (equivalente)- deformación (equivalente) de la probeta 1 de acero.. Figura 4.7: Curva tensión cortante-deformación angular de la probeta 1 de acero.. 36.

(37) PROBETA N°2. Figura 4.8: curva tensión (equivalente)- deformación (equivalente) de la probeta 2 de acero.. Figura 4.9: Curva tensión cortante-deformación angular de la probeta 2 de acero.. 37.

(38) Para representar el comportamiento promedio a torsión del acero , se hizo uso de la rutina INTERPOLATE que deduce para cada curva puntos por interpolación, para así poder promediar con las restantes curvas del acero:. Figura 4.10: Curva promedio de la tensión(equivalente)-deformación (equivalente) del acero en torsión.. 38.

(39) . ALUMINIO. PROBETA N°2. Figura 4.11: curva tensión (equivalente)- deformación (equivalente) de la probeta 2 de aluminio. Figura 4.12: Curva tensión cortante-deformación angular de la probeta 2 de aluminio.. 39.

(40) PROBETA N°6. Figura 4.13: curva tensión (equivalente)- deformación (equivalente) de la probeta 6 de aluminio.. Figura 4.14: Curva tensión cortante-deformación angular de la probeta 6 de aluminio.. 40.

(41) PROBETA N° 7. Figura 4.15: curva tensión (equivalente)- deformación (equivalente) de la probeta 7 de aluminio.. Figura 4.16: Curva tensión cortante-deformación angular de la probeta 7 de aluminio.. 41.

(42) Para representar el comportamiento promedio a torsión del aluminio , se hizo uso de la rutina INTERPOLATE que deduce para cada curva puntos por interpolación, para así poder promediar con las restantes curvas del aluminio:. Figura 4.17: Curva promedio de la tensión (equivalente)-deformación (equivalente) del aluminio en torsión.. 42.

(43) . FUNDICIÓN PROBETA N°5. Figura 4.18: curva tensión (equivalente)- deformación (equivalente) de la probeta 5 de fundición.. Figura 4.19: Curva tensión cortante-deformación angular de la probeta 5 de fundición. 43.

(44) PROBETA N°6. Figura 4.20: curva tensión (equivalente)- deformación (equivalente) de la probeta 6 de fundición.. Figura 4.21: Curva tensión cortante-deformación angular de la probeta 6 de fundición.. 44.

(45) Para representar el comportamiento promedio a torsión de la fundición , se hizo uso de la rutina INTERPOLATE que deduce para cada curva puntos por interpolación ,para así poder promediar con las restantes curvas de la fundición:. Figura 4.22: Curva promedio de la tensión (equivalente)-deformación (equivalente) de la fundición en torsión.. 45.

(46) 5. COMPARATIVA DE LAS CURVAS ( TENSIONES EQUIVALENTES-DEFORMACIONES EQUIVALENTES ) EN TRACCIÓN Y TORSIÓN DE LOS MATERIALES. A continuación, comparamos las curvas σ-Є equivalentes obtenidas en tracción y en torsión, para los distintos materiales, con el fin de comprobar si, en efecto, existe influencia de la presión hidrostática.. . ACERO TRACCIÓN PROMEDIO Y TORSIÓN PROMEDIO EQUIVALENTES. Figura 5.1: Curvas superpuestas (de la tensión equivalente –deformación equivalente) del acero promedio en torsión y del acero promedio en tracción.. 46.

(47) . ALUMINIO TRACCIÓN PROMEDIO Y TORSIÓN PROMEDIO EQUIVALENTES. Figura 5.2 : Curvas superpuestas (de la tensión equivalente –deformación equivalente) del aluminio promedio en torsión y del aluminio promedio en tracción .. 47.

(48) . FUNDICIÓN TRACCIÓN PROMEDIO Y TORSIÓN PROMEDIO EQUIVALENTES. Figura 5.3 : Curvas superpuestas (de la tensión equivalente –deformación equivalente) de la fundición promedio en torsión y de la fundición promedio en tracción .. COMENTARIO Puede verse que, mientras en el acero no hay casi diferencia, en el aluminio y la fundición hay diferencias más apreciables. En todos los materiales sí se han observado grandes diferencias en las deformaciones equivalentes de rotura, si bien el análisis de este parámetro queda fuera del alcance de este trabajo.. 48.

(49) 6. OBTENCIÓN DEL PARÁMETRO α DE LOS ENSAYOS DE TRACCIÓN Y TORSIÓN Para particularizar la fórmula de Spitzig and Richmond (1984) a los ensayos de tracción y torsión realizados, y así obtener el parámetro α de los mencionados ensayos, se procede de la siguiente forma: Si la fórmula de Spitzig and Richmond en la cual se establece una relación lineal de la tensión de plastificación de referencia (Yref ) con la presión hidrostática (p) es: Yref =Y0.(1+3.α.p). Resulta :. -fórmula de Spitzig &Richmond en el punto de plastificación en estado de tracción simple del material: σy0,2%(tracción)=σ0.(1+3α.(-σy0,2%(tracción).(1/3))). (1). donde se ha llamado σ0 a Y0. -estado tensional del material sometido a tracción simple:. σ trac. 0 0 0     0 0 0  0 0    . Con  la tensión aplicada en la probeta. La presión es igual a la tercera parte de la traza del tensor de tensiones, cambiada de signo, es decir: p=-σy0,2%(tracción).(1/3). 49.

(50) Figura 6.1: determinación gráfica del límite elástico al 0,2% del material. -fórmula de Spitzig &Richmond en el punto de plastificación en el estado de torsión del material: σy0,2%(torsión) = σ0. (2). siendo σy0,2% la tensión de plastificación al 0,2% del material deducida de la correspondiente curva tensión –deformación.. - estado tensional del material sometido a torsión es:. σ tor. 0  0     0 0  0 0 0  . Con  la tensión de corte aplicada en la probeta en el ensayo de torsión. La presión es igual a la tercera parte de la traza del tensor de tensiones cambiada de signo, es decir: p=0 si p=0 entonces: Yref(torsión) = Y0= σ0 Sustituyendo el valor de Yo dado por (2) en (1) y despejando de esta última, resulta:. α=( σy0,2%(tracción) – σ0 ) /(3. σ0.(-σy0,2%(tracción).(1/3))). 50.

(51) 6.1 APLICACIÓN A LOS ENSAYOS. . ACERO. -De las correspondientes curvas promedio del acero en tracción y torsión, resulta:. σy0,2%(tracción) σy0,2%(torsión). 397 MPa 361 MPa. σ0=361 MPa α=-2,51.(10-4) MPa-1. . ALUMINIO. -De las curvas promedio del aluminio en tracción y torsión:. σy0,2%(tracción) σy0,2%(torsión). 431,57 MPa 260 MPa. σ0=260 MPa α=-1,52.(10-3) MPa-1. 51.

(52) . FUNDICIÓN. -De las curvas promedio en tracción y torsión para la fundición:. σy0,2%(tracción) σy0,2%(torsión). 180,37 MPa 305 MPa. σ0=305 MPa α=2,26.(10-3) MPa-1. 52.

(53) 7. APROXIMACIÓN DE RAMBERG-OSGOOD DE LAS CURVAS TENSIÓN – DEFORMACIÓN DE LOS METALES. Se han aproximado las curvas tensión –deformación de los materiales dados usando las expresiones analíticas de Ramberg-Osgood. Para ello disponiendo de las curvas tensión –deformación (valores equivalentes) anteriormente obtenidas de los ensayos de tracción y torsión, se aplica el procedimiento tradicional:. expresión de R- O :. Є=(σ/E)+(σ/P)m. tomando logaritmos: Ln(Є-(σ/E))=m.(Lnσ-LnP). (1). De (1) se deduce que m será la pendiente de una recta que corta al eje de ordenadas en el punto (0,-mLnP). Al aplicar la expresión (1) a las curvas habríamos de obtener una relación lineal, pero al representar la disposición de los puntos no es exactamente una recta por lo que se ha empleado un ajuste lineal efectuado con el programa KALEIDA.. 53.

(54) 7.1 RESULTADOS Las curvas de las que se parte tanto en tracción como en torsión corresponden a tensiones equivalentes y deformaciones equivalentes y son las anteriores curvas promedio de los correspondientes ensayos. A partir de ellas y aplicando lo anteriormente expuesto, se obtienen los valores de m y P siguientes:. . ACERO EN TRACCIÓN m 6,07. P(MPa) 853,89. E(MPa) 206334,34. Figura 7.1: ajuste lineal hecho por el programa Kaleida , donde aparece la expresión de la recta del ajuste. (Nota:sig son las tensiones y eps las deformaciones). 54.

(55) Figura 7.2 : curvas superpuestas del acero promedio en tracción y de la aproximación de Ramberg-Osgood del acero en tracción.. . ACERO EN TORSIÓN. m 3,08. P(MPa) 1510,2. E(MPa) 216554,8. Figura 7.3: ajuste lineal hecho por el programa Kaleida , donde aparece la expresión de la recta del ajuste. (Nota:sig son las tensiones y eps las deformaciones). 55.

(56) Figura 7.4 : curvas superpuestas del acero promedio en torsión y de la aproximación de Ramberg-Osgood del acero en torsión.. . ALUMINIO EN TRACCIÓN m 13,20. P(MPa) 645,48. E(MPa) 68730,46. Figura 7.5: ajuste lineal hecho por el programa Kaleida, donde aparece la expresión de la recta del ajuste.. 56.

(57) . Figura 7.6 : curvas superpuestas del aluminio promedio en tracción y de la aproximación de Ramberg-Osgood del aluminio en tracción.. . ALUMINIO EN TORSIÓN m 2,47. P(MPa) 1881,07. E(MPa) 70821,07. Figura 7.7: ajuste lineal hecho por el programa Kaleida, donde aparece la expresión de la recta del ajuste.. 57.

(58) Figura 7.8: curvas superpuestas del aluminio promedio en torsión y de la aproximación de Ramberg-Osgood del aluminio en torsión.. . FUNDICIÓN EN TRACCIÓN m 7,27. P(MPa) 461,08. E(MPa) 59613,80. Figura 7.9: ajuste lineal hecho por el programa Kaleida, donde aparece la expresión de la recta del ajuste.. 58.

(59) Figura 7.10 : curvas superpuestas de la fundición promedio en tracción y de la aproximación de Ramberg-Osgood de la fundición en tracción.. . FUNDICIÓN EN TORSIÓN m 6,42. P(MPa) 715,51. E(MPa) 115000. Figura 7.11: ajuste lineal hecho por el programa Kaleida, donde aparece la expresión de la recta del ajuste.. 59.

(60) Figura 7.12 : curvas superpuestas de la fundición promedio en torsión y de la aproximación de Ramberg-Osgood de la fundición en torsión.. 60.

(61) 8. CURVAS DE RAMBERG-OSGOOD EN TORSIÓN DE LOS MATERIALES DEDUCIDAS DE LAS CURVAS DE RAMBERG-OSGOOD EN TRACCIÓN Partiendo de las curvas anteriormente obtenidas de Ramberg-Osgood en tracción, se pretenden obtener haciendo uso de las expresiones de Spitzig and Richmond (1984) las homólogas curvas en torsión (valores equivalentes). Para ello, si la fórmula de Spitzig and Richmond en la cual se establece una relación lineal de la tensión de plastificación de referencia (Yref ) con la presión hidrostática (p) es: Yref =Y0.(1+3.α.p). Resulta particularizando:. -Fórmula de Spitzig and Richmond en el punto de plastificación en estado de tracción simple del material: σy0,2%(tracción)=σ0.(1+3α.(- σy0,2%(tracción).(1/3))) con:. p=-σy0,2%(tracción).(1/3). siendo σy0,2% la tensión de plastificación al 0,2% deducida de la curva tensióndeformación del material. -Fórmula de Spitzig &Richmond en el punto de plastificación para el estado de torsión del material: σy0,2%(torsión)=σ0 con. p=0. Dado que en realidad, el límite elástico es toda la curva tensión- deformación en la zona donde ya se ha superado el límite elástico, sería suficiente con despejar σ0 de la correspondiente expresión en tracción para los puntos que ya han plastificado, para así obtener las homólogas tensiones en torsión: σ0= σy0,2%(tracción)/(1+3.α.p). con p = -σy0,2%(tracción).(1/3). 61.

(62) Por tanto, para construir las curvas se parte de las tensiones σ0 y de las deformaciones equivalentes y a partir de ellas se deducen las constantes m y p que definen la curva de Ramberg-Osgood buscada.. 8.1 RESULTADOS. . ACERO. Figura 8.1 : recta del ajuste lineal efectuado con el programa Kaleida. Las abreviaturas sigm designan a la tensión y def a las deformaciones.. m 5,86. p(MPa) 742,48. E(MPa) 216554,8. 62.

(63) Figura 8.2:Curvas superpuestas del acero promedio en torsión y de la aproximación de R-O en torsión para el acero deducida de la aproximación de R-O en torsión.. Comparando la curva de Ramberg-Osgood torsión (equivalentes) obtenida en el capítulo 7 con la curva de tensiones promedio equivalentes de torsión:. Figura 8.3: curvas de acero torsión promedio y la aproximación de R-O del acero en torsión hecha en el capítulo 7.. 63.

(64) . ALUMINIO. Figura 8.4: recta del ajuste lineal efectuado con el programa Kaleida. Las abreviaturas sigm designan a la tensión y def a las deformaciones.. m 4,74. p(MPa) 530,10. E(MPa) 70821,07. 64.

(65) Figura 8.5:Curvas superpuestas del aluminio promedio en torsión y de la aproximación de R-O en torsión para el aluminio deducida de la aproximación de R-O en torsión.. Comparando la curva de Ramberg-Osgood torsión (equivalentes) obtenida en el capítulo 7 con la curva de tensiones promedio equivalentes de torsión:. Figura 8.6: curvas de aluminio torsión promedio y la aproximación de R-O del aluminio en torsión hecha en el capítulo. 65.

(66) . FUNDICIÓN:. Figura 8.7: recta del ajuste lineal efectuado con el programa Kaleida. Las abreviaturas sigm designan a la tensión y def a las deformaciones.. m 1,05. p(MPa) 128027,14. E(MPa) 115000. 66.

(67) Figura 8.8:Curvas superpuestas de la fundición promedio en torsión y de la aproximación de R-O en torsión para el aluminio deducida de la aproximación de R-O en torsión.. Comparando la curva de Ramberg-Osgood torsión (equivalentes) obtenida en el capítulo 7 con la curva de tensiones promedio equivalentes de torsión:. Figura 8.9: curvas de la fundición torsión promedio y la aproximación de R-O de la fundición en torsión hecha en el capítulo 7.. 67.

(68) 9. CONCLUSIONES. -La finalidad por la cual se han realizado ensayos de tracción y de torsión , no es otra que la de obtener las curvas tensión- deformación en equivalentes para cada uno de los metales.Tal y como explica la teoría clásica de la Plasticidad, al representar los valores equivalentes de las tensiones y deformaciones, la curva no depende de la presión hidrostática (que será la tercera parte de la traza del tensor de tensiones cambiada de signo). Por lo tanto las curvas tensión equivalente-deformación equivalente, tanto en tracción como en torsión, deberían coincidir al superponerlas. De la inspección visual de las mencionadas gráficas efectuada en el capítulo 5, se observa que las curvas en tracción equivalentes y torsión equivalentes no coinciden. Este comportamiento ”anormal” se puede explicar por el artículo de Holger Aretz ya mencionado. En dicho artículo se da a conocer la constante α, la cual dependiendo del material representa la sensibilidad a la presión hidrostática de los mismos.. -Una vez obtenidos los valores de α para los tres metales empleados, se observa que el mayor valor absoluto corresponde a la fundición gris , seguida del aluminio y por último del acero de armar. Tanto el acero como el aluminio presentan valores positivos para α, pero la fundición es al contrario. Esto es debido a que en torsión la fundición presenta una tensión de plastificación al 0,2% mucho mayor que en tracción. Este comportamiento es debido a que en muchas ocasiones los metales no son puros, sino que tienen otros elementos en su composición dando lugar a las aleaciones metálicas. Esta última afirmación explica por qué la fundición es la que muestra un mayor valor del parámetro α y el acero se comporta mejor. -Por lo tanto las curvas tensión equivalente - deformación equivalente son dependientes de la presión hidrostática.. 68.

(69) -A representar las curvas promedio en tracción y torsión, para cada uno de los metales,y las correspodientes curvas de Ramberg-Osgood, se observa que las aproximaciones de Ramberg-Osgood se adaptan mejor a las curvas promedio en tracción que en torsión. Esto es debido a que en torsión los valores últimos de las deformaciones son muy inferiores.. -Las curvas de Ramberg-Osgood en torsión extrapoladas de Ramberg-Osgood en tracción, se observa que se ajustan mejor a las curvas de torsión promedio. Y el motivo no es otro que el expuesto en el párrafo anterior.. -Según el artículo de Yuanli Bai y Tomasz Wierzbicki , ya mencionado, la deformación de rotura se eleva a medida que crece la presión hidrostática. Dicho fenómeno se puede apreciar viendo que en el ensayo de torsión la presión hidrostática es cero y la deformación equivalente es menor que la obtenida del ensayo de tracción donde la presión hidrostática es mayor.. - En todos los materiales sí se han observado grandes diferencias en las deformaciones equivalentes de rotura, si bien el análisis de este parámetro queda fuera del alcance de este trabajo.. 69.

(70) 10. BIBLIOGRAFÍA. - Vicente Sánchez Gálvez. “Curso de comportamiento plástico de materiales”. E.T.S de ingenieros de caminos, canales y puertos. Universidad Politécnica de Madrid. Departamento de ciencia de materiales (1999).. - Jaime Planas . “Ecuaciones constitutivas: plasticidad en metales isótropos”. Notas de clase, (1999–2000).. -Holger Aretz .”A consistent plasticity theory of incompresible and hydrostatic pressure sensitive metals”.Mechanics research communications(2008).. -Yuanli Bai and Tomasz Wierzbicki.”A new model of metal plasticity and fracture with pressure and lode dependence”.International journal of plasticity(2007).. -Spitzig and Richmond. ”The effect of pressure on the flow stress of metals” (1984).Acta Metallurgica 32, 457-463.. 70.

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