Tema 7. Estimación por intervalos de confianza

Tema 7. Estimaci´

on por intervalos de confianza

ESTAD´ISTICA EMPRESARIAL - Grado en ADE

Jos´e Jaime Noguera Noguera [email protected]

CONTENIDOS

1 Introducci´on

2 Intervalos de confianza

3 Ejemplos

Introducci´

on

Al realizar una estimaci´on puntual no tenemos informaci´on del po-sible error que se comete.

Mediante la estimaci´on por intervalos suponemos que el par´ametro a estimar, θ, es un valor constante desconocido y hallaremos un intervalo que puede contener el valor real del par´ametro con un cierto nivel de confianza. Los extremos del intervalo ser´an dos estad´ısticos:

[θ(X1, . . . , Xn) ; θ(X1, . . . , Xn)].

Lo que buscamos es:

P[θ(X1, . . . , Xn) ≤ θ ≤ θ(X1, . . . , Xn)] = 1 − α,

donde:

1 − α es el coeficiente de confianza.

Tambi´en se dice a 100(1 − α) % nivel de confianza. Tambi´en se dice: un intervalo al 100α % de significaci´on.

Introducci´

on

IMPORTANTE: el intervalo es aleatorio, ya que sus extremos

de-penden de una muestra aleatoria. Antes de seleccionar la muestra s´ı podemos decir que la probabilidad que el par´ametro est´e en el inter-valo [θ ; θ] es 1 − α pero no una vez que hemos tomado la muestra y calculado los valores:

θ(x1, . . . , xn) = a, θ(x1, . . . , xn) = b,

ya que en ese caso tenemos P[a ≤ θ ≤ b] con a, b, θ valores cons-tantes. Dicha probabilidad no es 1 − α sino que es 1 si θ ∈ [a, b] y 0 en caso contrario.

Significado de intervalo de confianza al 100(1 − α) %

Si tomamos 100 muestras aleatorias y calculamos 100 intervalos de confianza con coeficiente de confianza 1 − α, aproximadamente el 100(1 − α) % de ellos contendr´an el verdadero valor del par´ametro.

Estimaci´

on para la media poblacional

Si la poblaci´on es N(µ, σ) y σ es conocida, el intervalo de confianza con nivel de confianza del 100(1 − α) % es:

Iµ= ñ X − z_α/2√σ n; X + zα/2 σ √ n ô ¿Como hallamos zα/2?

z_α/2 es el valor que deja a la derecha de una N(0, 1) un ´area de α₂, es decir P(Z > zα/2) = α2 o bien P(Z ≤ zα/2) = 1 −α2

Nivel de confianza 90 %: 1 − α = 0, 9 ⇒ α = 0, 1 ⇒ α₂ = 0,05 Luego P(Z ≤ zα/2) = 0,95 ⇒ zα/2= 1,645

Nivel de confianza 95 %: zα/2 = 1,96

Estimaci´

on para la media poblacional

Si la poblaci´on es N(µ, σ) y σ es desconocida, el intervalo de confianza con nivel de confianza del 100(1 − α) % es:

Iµ= ñ X − t_α/2√S n; X + tα/2 S √ n ô

NOTA: Si n ≥ 30 y no encontramos tn−1 en las tablas podemos

aproximar por una normal y Iµ=

h

X − zα/2√S_n; X + zα/2√S_n

i

¿Como hallamos t_α/2?

tα/2 es una t − Student con n − 1 grados de libertad y

P[tn−1> tα/2] = α₂ o bien P[tn−1 ≤ tα/2] = 1 − α₂

Nivel de confianza 90 %: 1 − α = 0, 9 ⇒ α = 0, 1 ⇒ α₂ = 0,05 Luego buscamos P(tn−1≤ tα/2) = 0,95

Nivel de confianza 95 %: P(tn−1 ≤ tα/2) = 0,975

Estimaci´

on para la media poblacional

Si desconocemos la distribuci´on de la poblaci´on aunque s´ı conocemos su varianza, σ2_{, gracias a la desigualdad de Chebychev el intervalo}

de confianza con nivel de confianza del 100(1 − α) % para la media,

µ, es: ñ X −√σ nα; X + σ √ nα ô

Estimaci´

on para la varianza

Si la poblaci´on es N(µ, σ) donde µ y σ son desconocidas, el intervalo de confianza para σ2 con nivel de confianza del 100(1 −

α) % es: Iσ2 = " (n − 1)S2 χ2_{n−1, 1−α/2}; (n − 1)S2 χ2_{n−1, α/2} # ¿Como hallamos χ2_{n−1, 1−α/2} y χ2_{n−1, α/2}?

Buscamos en la tabla de una χ2 con n − 1 grados de libertad:

P(χ2≤ χ2_{n−1, 1−α/2}) = 1 −α 2, P(χ 2_{≤ χ}2 n−1, α/2) = α 2, seg´un el α que nos pidan:

Nivel de confianza 90 %: 1 − α = 0, 9 ⇒ α = 0, 1 ⇒ α₂ = 0,05 Nivel de confianza 95 %: α/2 = 0,025

Estimaci´

on para la varianza

Si la poblaci´on es N(µ, σ) donde µ es conocida, el intervalo de confianza para σ2 con nivel de confianza del 100(1 − α) % es:

I_σ2= "_Pn i =1(Xi − µ)2 χ2_{n−1, 1−α/2} ; Pn i =1(Xi − µ)2 χ2_{n−1, α/2} # ¿Como hallamos χ2_{n−1, 1−α/2} y χ2_{n−1, α/2}?

Buscamos en la tabla de una χ2 con n − 1 grados de libertad:

P(χ2≤ χ2_{n−1, 1−α/2}) = 1 −α 2, P(χ 2_{≤ χ}2 n−1, α/2) = α 2, seg´un el α que nos pidan:

Nivel de confianza 90 %: 1 − α = 0, 9 ⇒ α = 0, 1 ⇒ α₂ = 0,05 Nivel de confianza 95 %: α/2 = 0,025

Estimaci´

on para una proporci´

on

Si la poblaci´on es B(1, p) y la muestra es n ≥ 30, el intervalo de confianza para p con nivel de confianza del 100(1 − α) % es:

Ip= " ˆ p − zα/2   ˆ pˆq n ; ˆp + zα/2   ˆ pˆq n #

NOTA: en lo anterior se ha estimado el valor de p (poblacional) por

ˆ

p (muestral). El error de dicha estimaci´on ser´a a lo sumo z_α/2»pˆˆ_nq.

¿Como hallamos zα/2?

Nivel de confianza 90 %: z_α/2 = 1,645 Nivel de confianza 95 %: zα/2 = 1,96

EJEMPLO 1

De una poblaci´on N(µ, σ) se selecciona una muestra aleatoria de tama˜no n. Obtener un intervalo de confianza para la media pobla-cional, µ, sabiendo que la media muestral es 52 en los siguientes casos:

a) Sabiendo que σ = 8, la muestra es de tama˜no 200 y el nivel de confianza 90 %.

b) Sabiendo que σ = 8, la muestra es de tama˜no 200 y el nivel de confianza 95 %.

c) Sabiendo que σ = 8, la muestra es de tama˜no 300 y el nivel de confianza 90 %.

d) Sabiendo que σ = 12, la muestra es de tama˜no 200 y el nivel de confianza 90 %.

EJEMPLO 1

EJEMPLO 2

De una poblaci´on, se selecciona la muestra aleatoria:

12,1 ; 9,8 ; 11,3 ; 13,1 ; 12,2 ; 10,5 ; 11,7 ; 9,9 ; 11,4 ; 12,0 Obtener:

a) Intervalo de confianza para la media poblacional con nivel de confianza del 90 %, sabiendo que la varianza poblacional es 2.

b) Intervalo de confianza para la media poblacional con nivel de confianza del 99 %, sabiendo que la poblaci´on es normal.

c) Intervalo de confianza para la varianza poblacional con nivel de confianza del 95 %, sabiendo que la poblaci´on es normal.

d) Intervalo de confianza para la varianza poblacional, sabiendo que la poblaci´on es N(11, σ) con nivel de confianza del 90 %.

EJEMPLO 2

De una poblaci´on normal, se selecciona la muestra aleatoria: 12,1 ; 9,8 ; 11,3 ; 13,1 ; 12,2 ; 10,5 ; 11,7 ; 9,9 ; 11,4 ; 12,0 Obtener:

a) Intervalo de confianza para la media poblacional con nivel de confianza del 90 %, sabiendo que la varianza poblacional es 2. El intervalo ser´a: ñ X −√σ nα; X + σ √ nα ô Calculamos X = 11,4 y σ =√2 = 1,41. Adem´as 100(1 − α) = 90 ⇒ α = 0,1. Por tanto, el intervalo es:

ñ 11,4 −√1,41 10 · 0,1; 11,4 + 1,41 √ 10 · 0,1 ô = [9,99 ; 12,81]

EJEMPLO 2

De una poblaci´on normal, se selecciona la muestra aleatoria: 12,1 ; 9,8 ; 11,3 ; 13,1 ; 12,2 ; 10,5 ; 11,7 ; 9,9 ; 11,4 ; 12,0 Obtener:

b) Intervalo de confianza para la media poblacional con nivel de confianza del 99 %, sabiendo que la poblaci´on es normal. El intervalo ser´a: Iµ= ñ X − t_α/2√S n ; X + tα/2 S √ n ô

Calculamos X = 11,4 y S = 1,06. A partir de las tablas tenemos que t_α/2= 3,25.

Por tanto, el intervalo es

Iµ= ñ 11,4 − 3,25√1,06 10; 11,4 + 3,25 1,06 √ 10 ô = [10,31 ; 12,49]

EJEMPLO 2

De una poblaci´on normal, se selecciona la muestra aleatoria: 12,1 ; 9,8 ; 11,3 ; 13,1 ; 12,2 ; 10,5 ; 11,7 ; 9,9 ; 11,4 ; 12,0 Obtener:

c) Intervalo de confianza para la varianza poblacional con nivel de confianza del 95 %, sabiendo que la poblaci´on es normal. El intervalo es: I_σ2 = " (n − 1)S2 χ2_{n−1, 1−α/2}; (n − 1)S2 χ2_{n−1, α/2} #

Calculamos la varianza de la muestra: S2 = 1,12. Dado que

α/2 = 0,025 → χ2_{9, 0,975}= 19,2, χ2_{9, 0,025}= 2,7: I_σ2= ï_{9 · 1,12} 19,2 ; 9 · 1,12 0,025 ò = [0,53 ; 7,73]

EJEMPLO 2

De una poblaci´on normal, se selecciona la muestra aleatoria: 12,1 ; 9,8 ; 11,3 ; 13,1 ; 12,2 ; 10,5 ; 11,7 ; 9,9 ; 11,4 ; 12,0 Obtener:

d) Intervalo de confianza para la varianza poblacional, sabiendo que la poblaci´on es N(11, σ) con nivel de confianza del 90 %. El intervalo es: I_σ2 = "_Pn i =1(Xi− µ)2 χ2_{n−1, 1−α/2} ; Pn i =1(Xi− µ)2 χ2_{n−1, α/2} # Calculamos Pn i =1(Xi − µ)2 = 11,7. Dado que α/2 = 0,025 → χ2_{9, 0,975}= 19,2, χ2_{9, 0,025}= 2,7: I_σ2= ï_11,7 19,2; 11,7 2,7 ò = [0,61 ; 4,33]

EJEMPLO 3

Se desea conocer el salario medio de los trabajadores de una gran empresa. Se seleccionan 50 trabajadores al azar, obteniendo que 35 trabajadores tienen un salario igual o inferior a 1500e.

Halla el intervalo de confianza para la proporci´on de trabajadores con salario igual o inferior a 1500econ nivel de confianza del 90 %.

Soluci´on: Dado que la muestra es suficientemente grande, el

inter-valo de confianza ser´a:

Ip= " ˆ p − zα/2   ˆ pˆq n ; ˆp + zα/2   ˆ pˆq n # Sustituyendo ˆp = 35₅₀, ˆq = 15₅₀, zα/2= 1,645 y n = 50, obtenemos: [0,59 ; 0,81]

Estimaci´

on del tama˜

no muestral

El tama˜no n de una muestra aleatoria simple procedente de una

N(µ, σ) con σ conocida para obtener un intervalo de confianza

para la media, de longitud L al nivel de confianza 100(1 − α) % es:

n = 4z_α/22 ·σ

2

L2

El tama˜no n de una muestra aleatoria simple procedente de una

N(µ, σ) con σ desconocida para obtener un intervalo de confianza

para la media, de longitud L al nivel de confianza 100(1 − α) % es:

n = 4t_α/22 ·S

2

L2

Aqu´ı el problema es que se deber´ıa conocer n para buscar el valor de tn−1 en las tablas. Lo que se hace es tomar una muestra piloto

de tama˜no n0 con lo que se estima S2 y se utiliza tn0−1.

EJEMPLO 4

Halla el tama˜no muestral que debemos utilizar para obtener un in-tervalo de confianza para la media muestral de longitud 3 con un nivel de confianza del 95 % sabiendo que la poblaci´on es N(µ, 6).

El tama˜no pedido ser´a:

n = 4 · 1,962·6

2