Equacions Diferencials
https://mat-web.upc.edu/etseib/ed/
Tercera part: equacions en derivades parcials
Joan Sol `a-Morales
http://mat.upc.edu/en/people/jc.sola-morales
EDPs. L’equaci ´o d’ones a la recta infinita, I
u
tt
−
c
2
u
xx
=
F
(
x,
t
)
,
x
∈
(
−∞
,
∞
)
,
t
∈
(
−∞
,
∞
)
•
u
(
x
,
t
) =
desplac¸ament vertical de la corda
•
c
2
=
τ /ρ, tensi ´o dividida per densitat lineal. Aqu´ı
c
t ´e
dimensions de velocitat, ´es la velocitat de les ones.
•
F
(
x,
t
)
, forc¸a externa per unitat de massa
En el cas homogeni
F
≡
0 la soluci ´o general ´es
u
(
x
,
t
) =
p
(
x
−
ct
) +
q
(
x
+
ct
)
,
on
p
(
x
)
i
q
(
x
)
s ´on funcions arbitr `aries.
L’equaci ´o d’ones a la recta infinita, II
F ´ormula de D’Alembert
utt
−
c
2
uxx
=
F
(
x
,
t
)
,
x
∈
R
,
t
∈
R
u
(
x
,
0
) =
f
(
x
)
x
∈
R
ut
(
x,
0
) =
g
(
x
)
x
∈
R
F ´ormula de D’Alembert:
u
(
x
,
t
) =
1
2
(
f
(
x
+
ct
) +
f
(
x
−
ct
)) +
2c
1
R
x−ct
x
+
ct
g
(
y
)
dy
+
2c
1
R
0
t
nR
x−c
x
+
c
(
(
t−s
t−s
)
)
F
(
y
,
s
)
dy
o
ds.
Comprovem que ´es soluci ´o, comprovem que en el cas
F
≡
0
concorda amb la soluci ´o general donada abans
L’equaci ´o d’ones amb condicions de contorn de Dirichlet.
(AQUI enllac¸ als
solvers
de Luis Silvestre.)
Separaci ´o de variables
u
tt
−
c
2
u
xx
=
0,
x
∈
(
0,
L
)
,
t
∈
R
u
(
x,
0
) =
f
(
x
)
,
x
∈
(
0,
L
)
ut
(
x
,
0
) =
g
(
x
)
,
x
∈
(
0,
L
)
u
(
0,
t
) =
0,
t
∈
R
u
(
L,
t
) =
0,
t
∈
R
Deixem de banda les condicions inicials i busquem solucions
de variables separades:
u
(
x
,
t
) =
X
(
x
)
T
(
t
)
. Surt
Xn
(
x
) = sin
n
L
π
x
,
Tn
(
t
) =
an
cos
cn
L
π
t
+
bn
sin
cn
L
π
t
.
per
n
=
1,
2, . . .
.
Ara fem combinacions lineals (principi de superposici ´o):
u
(
x
,
t
) =
P
∞
n
=
1
sin
n
L
π
x
a
n
cos
cn
L
π
t
+
b
n
sin
cn
L
π
t
ut
(
x
,
t
) =
P
∞
n
=
1
sin
n
L
π
x
cn
L
π
−
an
sin
cn
L
π
t
+
bn
cos
cn
L
π
t
u
(
x,
0
) =
P
∞
n
=
1
a
n
sin
n
L
π
x
=
f
(
x
)
ut
(
x
,
0
) =
P
∞
n
=
1
bn
cn
L
π
sin
n
L
π
x
=
g
(
x
)
an
=
2
L
R
0
L
f
(
y
) sin
n
L
π
y
dx
b
n
=
cn
L
π
2
L
R
L
0
g
(
y
) sin
n
π
L
y
dx.
Finalment,
u
(
x
,
t
) =
P
∞
n=
1
sin
n
L
π
x
2
L
R
0
L
f
(
y
) sin
n
L
π
y
dx
cos
cn
L
π
t
+
cn
2
π
R
0
L
g
(
y
) sin
n
L
π
y
dx
sin
cn
L
π
t
L’equaci ´o d’ones amb condicions de contorn de Neumann.
Separaci ´o de variables
utt
=
c
2
uxx
x
∈
(
0, π
)
,
t
∈
R
u
(
x
,
0
) =
f
(
x
)
x
∈
(
0, π
)
,
u
t
(
x,
0
)) =
g
(
x
)
x
∈
(
0, π
)
u
x
(
0,
t
) =
u
x
(
π,
t
) =
0
t
>
0.
Ens oblidem de moment de
f
(
x
)
i
g
(
x
)
i busquem solucions de
la forma
X
(
x
)
T
(
t
)
. Trobem
cos(
nx
) (
an
cos(
cnt
) +
bn
sin(
cnt
))
per
n
=
1,
2, . . .
, i tamb ´e les solucions
a
0
/2
+
b
0
t/2. Pel
principi de superposici ´o
u
(
x,
t
) =
a
0
/2
+
b
0
t/2
+
∞
X
n
=
1
cos(
nx
) (
a
n
cos(
cnt
) +
b
n
sin(
cnt
))
Per exemple, si
f
(
x
) =
1
−
2
cos(
3x
)
i
g
(
x
)
≡
0, fent
t
=
0 a
u
i
a
u
t
tindrem
a
0/2
=
1,
a
2
=
−
1 tots els altres coeficients zero.
Condicions de frontera: Dirichlet, Neumann, mixtes i peri `odiques
•
Dirichlet: consisteix en donar els valors de
u
en els punts de
frontera (frontera espaial).
•
Neumann: consisteix en donar el valor de la derivada normal
exterior a la frontera:
∂
∂~
u
n
. En 1D ´es
−
ux
a l’extrem esquerre i
ux
a l’extrem dret.
•
Mixtes (1D): Dirichlet en un extrem i Neumann en l’altre.
•
Peri `odiques (1D):
u
i
ux
tenen els mateixos valors als dos
extrems de l’interval
(
0,
L
)
.
Valors propis i funcions pr `opies en problemes amb valors de frontera
X
00
=
λX
,
0
<
x
<
L
(
−
L
<
x
<
L, en el cas peri `odic)
Conds. contorn
VAPs
FUPs
X
(
0
) =
X
(
L
) =
0
λ
n=
−
nLπ 2,
n
≥
1
Xn
(
x
) = sin
nLπx
X
0(
0
) =
X
0(
L
) =
0
λ
n=
−
nLπ 2,
n
≥
0
Xn
(
x
) = cos
nπ Lx
X
(
0
) =
X
0(
L
) =
0
λ
n=
−
(
n
+
1 2)
π L 2,
n
≥
0
Xn
(
x
) = sin
(
n
+
1 2)
π Lx
X
0(
0
) =
X
(
L
) =
0
λ
n=
−
(
n
+
12)
πL 2,
n
≥
0
Xn
(
x
) = cos
(
n
+
12)
π Lx
X
(
−
L
) =
X
(
L
)
λ
0=
0
,
VAP simple,
X
0≡
1
X
0(
−
L
) =
X
0(
L
)
λ
n=
−
nLπ 2,
n
≥
1,
Xn
(
x
) = cos
nπ Lx
(c.c. peri `odiques)
VAPs dobles
Xn
e
(
x
) = sin
nπ Lx
(dels apunts de l’assignatura)
https://mat-web.upc.edu/etseib/ed/ 47
Desenvolupaments de Fourier.Al darrer pas de l’exemple anterior, hem aconseguit determinar tots els coeficients lliures per inspecci´o directa. Quan aix`o no sigui possible, utilitzarem les f´ormules seg¨uents per a calcular desenvolu-paments de Fourier.
•Eldesenvolupament de Fourier completd’una funci´of: [−L, L]→R´es
f(x)∼a0 2+ X n≥1 ancos(nπx/L) +bnsin(nπx/L), an = 1 L ZL −L f(x) cos(nπx/L) dx, bn = 1 L ZL −L f(x) sin(nπx/L) dx.
•Eldesenvolupament de Fourier en cosinusd’una funci´of: [0, L]→R´es
f(x)∼a20+X n≥1 ancos(nπx/L), an=2 L ZL 0 f(x) cos(nπx/L) dx.
•Eldesenvolupament de Fourier en sinusd’una funci´of: [0, L]→R´es
f(x)∼X n≥1 bnsin(nπx/L), bn= 2 L ZL 0 f(x) sin(nπx/L) dx.
Als dos primers casos, el primer termea0/2 ´es la mitjana de la funci´of(x).
Es pot provar que aquests desenvolupaments en serie s´on (absoluta, uniformement) convergents quan la funci´of(x) ´es suficientment regular, si b´e aqu´ı treballarem a un nivell purament formal, sense preocupar-nos de la converg`encia. Exercici.Siguif: [0,2π]→Rla funci´o definida perf(x) = 1−π2x. Comproveu, integrant per parts, que els
coeficients del seu desenvolupament de Fourier en sinus s´on
bn= 1 π Z2π 0 (1−π2x) sin(nx/2) dx= 4π2(−1)n n + 2 π 1−(−1)n n , n≥1. Separaci´o de variables a l’equaci´o de la calor 1D.
Objetiu.En aquest segon exemple del m`etode de separaci´o de variables, veurem que en resoldre l’equaci´o de la calor 1D homog`enia amb condicions de contorn de tipus Dirichletconstants, la temperatura tendeix a l’equilibri t`ermic (en ingl´es,steady state). Homogene¨ıtzarem les condicions de contorn abans de separar variables mitjan¸cant un canvi de variables “astut”.
Problema f´ısic.Tenim una barra de longitudL >0 composta per un material de conductivitat t`ermicaκ, densitat
ρi calor espec´ıficc. Notemk2=κ/cρ. La temperatura inicial de la barra ve donada per una funci´of: [0, L]→R.
Finalment, mantenim constant la temperatura de la barra als dos extrems: α∈R´es la temperatura a l’esquerre iβ∈R´es la temperatura al dret. A m´es, suposem que no hi ha fonts de calor internes.
Model matem`atic.Les equacions que modelitzen aquest problema s´on
ut=k2uxx x∈(0, L) t >0 u(x,0) =f(x) x∈(0, L) u(0, t) =α t >0 u(L, t) =β t >0 .
Passos del m`etode.
(1) Trobeu unes funcionsv(x) ig(x) tals que el canvi de variablesw(x, t) =u(x, t)−v(x) transformi el problema original en el problema amb condicions de contorn homog`enies
(∗) wt=k2wxx x∈(0, L) t >0 w(x,0) =g(x) x∈(0, L) w(0, t) = 0 t >0 w(L, t) = 0 t >0 .
Expresseuv(x) ig(x) en termes de les quantitatsα,β,Li de la funci´of(x).
(2) Imposeu quew(x, t) =X(x)T(t) compleixi la part homog`enia del problema (∗). Escriviu el PVF asociat a la funci´oX(x) i el problema asociat a la funci´oT(t).
(3) Resoleu el PVF asociat a la funci´oX(x).
(4) Tenint en compte els valors propis del PVF anterior, resoldeu el problema asociat aT(t).
Separaci ´o de variables en problemes no homogenis
utt
−
c
2
uxx
=
F
(
x
,
t
)
,
x
∈
(
0,
L
)
,
t
∈
R
u
(
x,
0
) =
f
(
x
)
,
x
∈
(
0,
L
)
u
t
(
x
,
0
) =
g
(
x
)
,
x
∈
(
0,
L
)
u
(
0,
t
) =
α
(
t
)
,
t
∈
R
u
(
L,
t
) =
β
(
t
)
,
t
∈
R
Abans de fer separaci ´o de variables s’ha de fer un primer pas:
homogene¨ıtzaci ´o. S’ha de trobar (normalment, per
inspecci ´o
)
una funci ´o
v
(
x
,
t
)
tal que
vtt
−
c
2
vxx
=
F
(
x,
t
)
,
v
(
0,
t
) =
α
(
t
)
i
v
(
L,
t
) =
β
(
t
)
i definir la nova inc `ognita
w
(
x
,
t
) =
u
(
x,
t
)
−
v
(
x
,
t
)
, que haur `a de ser soluci ´o d’un
problema homogeni, i se li podr `a aplicar el m `etode de
separaci ´o de variables.
Exercici: llista de problemes, edps, problema 4.
(homogene¨ıtzar, per `o a la recta infinita)
Separaci ´o de variables a l’eq. de la calor 1D, c.c. Dirichlet homog `enies
u
t
=
k
2
u
xx
x
∈
(
0,
L
)
,
t
>
0
u
(
x
,
0
) =
f
(
x
)
x
∈
(
0,
L
)
,
u
(
0,
t
) =
0
t
>
0
u
(
L,
t
) =
0
t
>
0.
Si busquem solucions de variables separades
u
=
X
(
x
)
T
(
t
)
sense pensar en les condicions inicials, trobarem l’EDO
X
00
(
x
) =
λ
X
(
x
),
amb
X
(
0
) =
X
(
L
) =
0
,
amb solucions
λ
=
λn
=
−
(
n
L
π
)
2
i
X
=
Xn
= sin(
n
L
π
x
)
, per
n
=
1,
2
. . .
, i tamb ´e l’EDO
T
0
(
t
) =
k
2
λ
T
(
t
),
amb soluci ´o
T
(
t
) =
e
−
(
nLπ)
2
