M`aster de Matem`atica Avan¸cada M`odul de Geometria i Topologia M`etode de la Refer`encia M`obil

M` aster de Matem` atica Avan¸cada M` odul de Geometria i Topologia M` etode de la Refer` encia M` obil

David Mar´ın

Primer semestre del curs 2006-2007

´ Index

0 Introducci´o 1

0.1 Elie Cartan: refer`´ encies hist`oriques . . . 1

0.2 Refer`encies bibliogr`afiques . . . 2

1 Refer`encies m`obils sobre corbes i superf´ıcies de R³ 3 1.1 Corbes a R³: triedre i f´ormules de Frenet . . . 3

1.2 Formes diferencials a Rⁿ i derivada exterior . . . 3

1.3 Refer`encies afins a Rⁿ i equacions d’estructura . . . 4

1.4 Ref`erencies ortonormals a Rⁿ . . . 5

1.5 Corbes i superf´ıcies de R³ . . . 5

1.6 Equacions del moviment sobre una superf´ıcie . . . 7

2 Fibrats vectorials, grups de Lie i fibrats principals 15 2.1 Espais fibrats, fibrats vectorials i principals . . . 15

2.2 Camps vectorials i formes diferencials . . . 16

2.2.1 C`alcul diferencial en varietats . . . 16

2.2.2 Distribucions de k-plans i teorema de Frobenius . . . 18

2.2.3 Aplicaci´o: integraci´o de les equacions d’estructura a Rⁿ . . . 19

2.3 Grups de Lie i `algebres de Lie: forma de Maurer-Cartan . . . 20

2.4 Refer`encies m`obils en varietats de Riemann . . . 22

2.5 Connexions en fibrats vectorials . . . 25

2.5.1 Aproximaci´o geom`etrica en el cas del fibrat tangent . . . 25

2.5.2 Aproximaci´o algebraica . . . 28

2.5.3 Refer`encies m`obils en fibrats vectorials i trivialitzacions locals . . . . 30

2.6 Classes caracter´ıstiques de Pontryagin i Chern . . . 30

2.7 Classe d’Euler i teorema de Gauss-Bonnet-Chern . . . 33

3 Connexions sobre un fibrat principal i classes caracter´ıstiques 40 3.1 Connexions d’Ehresmann en espais fibrats generals . . . 40

3.2 Connexions en fibrats principals . . . 41

3.3 Classes caracter´ıstiques de fibrats principals . . . 45

Cap´ıtol 0

Introducci´ o

En aquest curs comen¸carem recordant el m`etode cl`assic de la refer`encia m`obil de Cartan que interpretarem en llenguatge modern com les equacions d’estructura del fibrat de refer`encies d’una varietat diferenciable. Aquest ser`a el punt de partida per estudiar els grups de Lie, els fibrats vectorials i principals i les connexions.

0.1 Elie Cartan: refer` ´ encies hist` oriques

Important matem`atic franc`es del segle XX, va n´eixer el 9 d’abril de 1869 en Dolomieu (a prop de Chamb´ery), en la Saboya francesa i mor´ı el 6 de maig de 1951 en Par´ıs. Durant la seva extensa vida investigadora va treballar en grups continus, `algebres de Lie, equacions diferencials i geometria. El seu treball constitueix una s´ıntesi entre totes aquestes `arees. Va realitzar els seus estudis primaris en l’escola de Dolomieu, despr´es va continuar en el colegi de Vienne i posteriorment en el liceu de Grenoble. Finalment va entrar en el liceu de Jeanson-de-Sailly on va completar la seva prepa- raci´o per a l’ ´Ecole Normal Sup´erieure, on ingress`a en 1888. Va seguir les ensenyances d’insignes matem`atics de l’`epoca, entre d’altres, H. Poincar´e, E. Picard i C.

Hermite, disfrutant d’una beca de la Fundaci´o Peccot.

Despr´es d’obtenir el seu doctorat en 1894, va ser professor en les universitats de Montpellier (1884-1896), Lyon (1896-1903), Nancy (1903-1909) i Par´ıs (1909-1940).

Cartan es va sumar de manera brillant a la teoria de grups continus que havia estat inici- ada per Marius Sophus Lie (1842-1899). La seva tesi doctoral (1894) pot considerar-se una contribuci´o d’import`ancia cabdal a les `algebres de Lie, i en ella completa la classificaci´o de les `algebres semisimples que Wilhelm Karl Joseph Killing (1847-1923) havia pr`acticament trobat. Posteriorment es va dedicar a la teoria d’`algebres associatives i va investigar l’es- tructura de aquestes `algebres sobre els cossos dels nombres reals i complexos. Wedderburn completaria el treball de Cartan en aquesta `area.

Les representacions dels grups de Lie semisimples tamb´e van atraure la seva atenci´o. El seu treball ´es una s´ıntesi molt important de la teoria de Lie, geometria cl`assica, geometria diferencial i topologia, que es troba al llarg de tota l’obra de Cartan. Tanmateix, Cartan va aplicar l’`algebra de Grassman a la teoria de les formes diferencials exteriors.

Cap a 1904, Cartan es dedic`a a l’estudi de les equacions diferencials, i des de 1916 la seva recerca est`a centrada en la geometria diferencial, `area en la que publica la majoria dels seus treballs. El Programa d’Erlangen de Felix Klein (1849-1925) habia estat considerat

inadequat per descriure la geometria per Hermann Weyl (1885-1955) i Oswald Veblen (1880- 1960), i en aquest apartat Cartan jugaria un paper destacat. Va examinar les accions dels grups de Lie de transformacions sobre un espai, desenvolupant la teoria de les refer`encies m`obils, que generalitzaven la teoria cinem`atica de Jean G. Darboux (1842-1917).

Cartan va contribuir a la geometria amb la seva teoria dels espais sim`etrics, que t´e el seu origen en els articles publicats en 1926, on desenvolupa les idees estudiades anteriorment per William K. Clifford (1845-1879) i Arthur Cayley (1821-1895), i utilitza els m`etodes topol`ogics desenvolupats per Weyl en 1925. Aquests treballs serien completats en 1932.

Cartan va examinar despr´es alguns problemes que pr`eviament havien estat estudiats per Henri Poincar´e (1854-1912). Per aquella `epoca, el seu fill Henri Cartan realitzava contribucions importants a les matem`atiques, i ´Elie Cartan va utilitzar molts del seus teoremes en les seves investigacions. Cartan tamb´e va publicar treballs sobre la teoria de la relativitat i dels espinor. Sense cap dubte, Cartan pot considerar-se com un dels matem`atics m´es importants i influents de la primera meitat del segle XX.

Font: http://www.divulgamat.net/weborriak/historia/MateOspetsuak/Cartan.asp

0.2 Refer` encies bibliogr` afiques

En aquest curs, utilitzarem la seg¨uent bibliografia:

[C1] E. Cartan, Riemannian Geometry in an Orthogonal Frame, Translated by V. Gold- berg, World Scientific, 2001.

[C2] H. Cartan, Formas diferenciales, Colecci´on M´etodos, 1972.

[IL] T.A. Ivey, J.M. Landsberg, Cartan for Beginners: Differential Geometry via Moving Frames and Exterior Differential Systems, Graduate Studies in Mathematics, 61.

[K1] S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol I, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 15.

[K2] W. K¨uhnel, Differential Geometry. Curves-Surfaces-Manifolds, Student Mathema- tical Library, 16.

[M1] S. Morita, Geometry of Differential Forms, Translations of Mathematical Mono- graphs, 201.

[M2] S. Morita, Geometry of Characteristic classes, Translations of Mathematical Mono- graphs, 199.

[NS] J.A. Navarro, J.B. Sancho, Gravitaci´on Newtoniana y relatividad, Ap´endice B:

C´alculo diferencial valorado en fibrados vectoriales, Apunts on-line.

[S1] R.W. Sharpe, Differential Geometry. Cartan’s Generalization of Klein’s Erlangen Program, Graduate Texts in Mathematics, 166.

[S2] M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol II, Publish or Perish, 1970.

[W] F. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Scott, Foreman and Company, 1971.

Farem especial `emfasi en els textos [C2], [M1] i [S2].

Cap´ıtol 1

Refer` encies m` obils sobre corbes i superf´ıcies de R ³

1.1 Corbes a R

: triedre i f´ ormules de Frenet

Sigui x : I ⊂ R → C ⊂ R³ una corba (parametritzada) regular, i.e. x⁰(t) 6= 0 per a tot t ∈ I. Definim el par`ametre arc s com una integral definida de l’element de longitud ds = kx<sup>0</sup>(t)kdt. Farem una hip`otesi restrictiva sobre l’abs`encia de punts d’inflexi´o, i.e.

x⁰(t) × x⁰⁰(t) 6= 0 per a tot t ∈ I. S´on ben conegudes les seg¨uents f´ormules per al c`alcul de la curvatura, la torsi´o, κ, τ i el triedre de Frenet, t, n, b de x:

κ = kx⁰× x⁰⁰k

kx⁰k³ , τ = −det(x⁰, x⁰⁰, x⁰⁰⁰)

kx⁰× x⁰⁰k² , t = x⁰

kx⁰k, n = b × t, b = x⁰× x⁰⁰ kx⁰× x⁰⁰k. Aix´ı com les f´ormules de Frenet:

t⁰= kx⁰kκ n, n⁰ = kx⁰k(−κ t − τ b), b⁰ = kx⁰kτ n, que tamb´e podem escriure matricialment

d

dt(t, n, b) = (t, n, b)





0 −κ 0

κ 0 τ

0 −τ 0



kx⁰k.

Exercici: Generalitzar aquestes nocions per a corbes a Rⁿi a l’espai de Minkowski, cf. [K2].

1.2 Formes diferencials a R

i derivada exterior

Recordem que una k-forma definida en un espai vectorial V ´es una aplicaci´o k-lineal al- ternada. Denotarem per Vk

V^∗ l’espai vectorial de k-formes sobre V . Definim el producte exterior Vk

V^∗×V`

V^{∗ ∧}→Vk+`

V^∗ mitjan¸cant (u ∧ v)(e₁, . . . , e_k+`) = 1

k!`!

X

σ∈Sk+`

sgn(σ)u(e_σ1, . . . , e_σk)v(e_σk+1, . . . , e_σk+`).

Atenci´o a la convenci´o: es pot posar el factor <sub>(k+`)!</sub><sup>k!`!</sup> davant del sumatori i totes les f´ormules s’han de retocar. Aix`o dep`en de l’autor i quan comparem refer`encies bibliogr`afiques dife- rents ens hem d’assegurar de que utilitzen la mateixa convenci´o.

Podem donar una interpretaci´o geom`etrica d’aquest producte exterior en el cas en qu`e V ´es euclidi`a. En efecte, si e1, . . . , en´es una base ortonormal i e^∗₁, . . . , e^∗_n´es la seva base dual aleshores (e^∗_i

1∧ · · · ∧ e^∗_i

k)(v₁, . . . , v_k) ´es el volum k-dimensional amb signe de la projecci´o del

paralel.lep´ıped [v₁, . . . , v_k] sobre el k-pla orientat he_i1, . . . , e_iki. Si assumim l’altra convenci´o, el que mesurem ´es el volum del k-tetraedre generat per v1, . . . , vk. En efecte, (e^∗_ir(v))^k_r=1 s´on les components en la base ei1, . . . , ei_k de la projecci´o d’un vector v ∈ V sobre el subespai he_i1, . . . , e_iki i

(e^∗_i1 ∧ · · · ∧ e^∗_i

k)(v1, . . . , vk) =       

e^∗_i

1(v₁) · · · e^∗_i

k(v₁) ... . .. ... e^∗_i

1(v_k) · · · e^∗_i

k(v_k)        .

Si U ´es un obert de Rⁿ Definim Ω^k(U ) = {U →Vk

(Rⁿ)^∗ diferenciable}. Denotem dxi

l’aplicaci´o que pren com a valor constant la i-`essima component de la base dual de la base can`onica ∂_x1, . . . , ∂_xn de Rⁿ. Qualsevol element ω ∈ Ω^k(U ) es pot escriure de manera ´unica com ω = P

i1<···<i_kfi1···i_kdxi1 ∧ · · · ∧ dx_ik amb fi1···i_k : U → R diferenciable. Definim la derivada exterior d : Ω^k(U ) → Ω^k+1(U ) mitjan¸cant dω =P

i1<···<ikdf_i1···i_k∧ dx_i1∧ · · · ∧ dx_ik on df = ∂x1f dx1+ · · · + ∂xnf dxn.

La propietat b`asica d<sup>2</sup> = 0 ´es una conseq¨u`encia immediata de la igualtat de derivades creuades: ∂_xi∂_xjf = ∂_xj∂_xif i de l’antisimetria del producte exterior ∧.

1.3 Refer` encies afins a R

i equacions d’estructura

Una refer`encia af´ı de R<sup>n</sup>consisteix en un punt e<sub>0</sub>∈ R<sup>n</sup>que anomenem origen de la refer`encia i una base de vectors e₁, . . . , e_n ∈ Rⁿ, det(e₁, . . . , e_n) 6= 0. El conjunt Aff_n de refer`encies afins de R<sup>n</sup> s’identifica doncs amb un obert de R<sup>n(n+1)</sup> aix´ı com amb el grup af´ı cl`assic Aff_n = Rⁿ o GLn. Considerarem les projeccions naturals e_i : U → Rⁿ per a tot i = 0, . . . , n. M´es generalment, sigui U ⊂ R^p un obert d’un espai de par`ametres de dimensi´o p, anomenarem a tota aplicaci´o diferenciable ρ : U → Affn una refer`encia m`obil de R<sup>n</sup> definida sobre U . L’exemple b`asic que considerarem ´es U = Aff_n i ρ = id.

Considerem les n + 1 formes diferencials de_i : T U → T Rⁿ = Rⁿ× R^{n pr}→ R^{2 n} prenent valors a Rⁿ. Utilitzant la base e1(r), . . . , en(r) de Rⁿ, per tot (r, ξ) ∈ T U = U × R^p podem escriure de manera ´unica:

dej(r, ξ) =

n

X

i=1

ei(r)ωij(r, ξ), j = 0, . . . , n, (1.1)

on ω_ij(r, ·) : T_rU → R s´on 1-formes escalars definides sobre U . Aquestes formes defineixen el despla¸cament infinitesimal de la refer`encia m`obil r ∈ U . A partir d’ara notarem θi := ωi0. Tamb´e podem escriure les relacions (1.1) matricialment:

de₀ = (e₁, . . . , e_r)





 θ1

... θn





 i (de₁, . . . , de_n) = (e₁, . . . , e_n)







ω11 · · · ω1n

... . .. ... ωn1 · · · ω_nn





. Un altre exemple important s’obt´e prenent U = Rⁿ i ¯e₀ := e₀ ◦ ρ = id. En aquest cas, d¯e0(p, ξ) = ξ per a tot (p, ξ) ∈ T Rⁿ = Rⁿ× Rⁿ. Per diferenciar aquest exemple del cas U = Aff_n escriurem les 1-formes d’estructura amb una barra, i.e. posarem ¯θ_j, ¯ω_ij ∈ Ω¹(Rⁿ) en lloc de θ_j, ω_ij ∈ Ω¹(Aff_n). Aix´ı doncs, si ρ(p) = (p; ¯e₁(p), . . . , ¯e_n(p)) aleshores θ¯j(p, ·) : TpRⁿ→ R ´es la base dual de ¯e1(p), . . . , ¯en(r, p). En particular, si ¯ei= ∂xi aleshores θ¯j = dxj. Observem que ρ^∗θj := θj ◦ dρ = ¯θj i ρ^∗ωij := ωij ◦ dρ = ¯ωij.

A partir del fet que d² = 0 obtenim una s`erie de relacions que satisfan les formes θ_j i ωij i que s’anomenen equacions d’estructura:

dθi = −

n

X

j=1

ωij ∧ θ_j, (1.2)

dω_ij = −

n

X

k=1

ω_ik∧ ω_kj. (1.3)

Equacions que tamb´e podem escriure matricialment com

dθ + ω ∧ θ = 0, dω + ω ∧ ω = 0, (1.4)

on

θ =





 θ1

... θn





 i ω =







ω11 · · · ω1n

... . .. ... ωn1 · · · ω_nn





.

1.4 Ref` erencies ortonormals a R

Una refer`encia ortonormal de R<sup>n</sup>´es una refer`encia af´ı (e₀; e₁, . . . , e_n) de manera que la base associada e1, . . . , en ´es ortonormal. Sigui On el conjunt de refer`encies ortonormals de Rⁿ, el qual podem identificar amb el grup de despla¸caments r´ıgids O_n = Rⁿo On que ´es de manera natural una subvarietat diferenciable de Rⁿo GLn= Aff_n.

Les formes diferencials θj, ωij indueixen per restricci´o formes diferencials que continua- rem notant igual i que segueixen verificant les equacions d’estructura (1.2) i (1.3). A m´es, derivant les relacions ei· e_j = 0 obtenim dei· e_j+ ej· de_i = 0 que juntament amb la definici´o (1.1) donen les igualtats

ω_ij + ω_ji = 0, per a qualsevols i, j = 1, . . . , n. (1.5) Es ben sabut que tota base ortonormal e´ 1, . . . , en verifica det(e1, . . . , en) = ±1. Les refer`encies ortonormals de R<sup>n</sup> tals que det(e<sub>1</sub>, . . . , e<sub>n</sub>) = 1 s’anomenen directes i formen una component connexa SOn de les dues que t´e On. Tamb´e es t´e la identificaci´o SOn = R<sup>n</sup>o SOn. A partir d’ara nom´es treballarem amb refer`encies ortonormals directes.

1.5 Corbes i superf´ıcies de R

Anem a estudiar mitjan¸cant exemples algunes subvarietats de SO3

subvar

⊂ Aff3

obert

⊂ R¹². Sigui C ⊂ R³ una corba regular orientada i considerem la subvarietat de dimensi´o quatre e⁻¹₀ (C) ⊂ SO3 de totes les refer`encies ortonormals definides sobre C. Considerem x : U ⊂ R → C ⊂ R<sup>3</sup> una parametritzaci´o regular de C compatible amb l’orientaci´o. Associem a cada t ∈ U la refer`encia seg¨uent: l’origen ´es e₀(t) := x(t) ∈ C, el vector e₁(t) ´es el vector unitari tangent a la corba C en el punt de par`ametre t de manera que defineix l’orientaci´o de C. Un cop haguem definit e2(t) tamb´e quedar`a determinat e3(t) := e1(t) × e₂(t) ja que volem que la refer`encia sigui ortonormal directa. Sigui SO<sub>3</sub>(C) el conjunt de refer`encies ortonormals directes amb origen C amb primer vector tangent a C compatible amb l’orientaci´o. ´Es f`acil veure que SO3(C) ´es una subvarietat de dimensi´o dos de SO3. Podem escriure de₀ = θ₁e₁, ja que els vectors ^de_dt⁰ i e₁ s´on proporcionals. Dit d’una altra forma, les restriccions a SO₃(C) de les formes θ₂i θ₃s´on nules. D’altra banda, per qualsevol elecci´o de e2 com a funci´o diferenciable de t tindrem que

de₁= ω₂₁e₂+ ω₃₁e₃, ja que ω₁₁= 0.

Per tant, e⁰₁(t) := ^de_dt¹ ´es un vector ortogonal a e1. Fent la hip`otesis restrictiva e⁰₁(t) 6= 0 podem triar e2(t) := ^e

0 1(t)

ke⁰₁(t)k. Associem d’aquesta manera a C la seva refer`encia de Frenet (e₀; e₁, e₂, e₃) := (x; t, n, b) que podem pensar com una corba parametritzada F₃(C) dins

de la superf´ıcie SO₃(C). Per definici´o, la restricci´o de ω₃₁a F₃(C) ´es nul.la, de manera que les equacions del moviment d’aquesta refer`encia s´on les f´ormules de Frenet:

de₀ = θ₁e₁, de₁= ω₂₁e₂, de₂ = −ω₂₁e₁− ω₂₃e₃, de₃= ω₂₃e₂.

Aix´ı doncs, θ1(t) = kx⁰(t)kdt = ds, ω21(t) = κ(t)θ1 i ω23(t) = τ (t)θ1, on s, κ i τ s´on el par`ametre arc, la curvatura i la torsi´o de C respectivament. Com que dim F<sub>3</sub>(C) = 1, en aquest cas les equacions d’estructura (1.2) i (1.3) s´on id`enticament nules.

Suposem ara que la corba C est`a continguda dins d’una superf´ıcie orientada S de R<sup>3</sup>. Considerem el subconjunt SO<sub>3</sub>(C; S) ⊂ SO<sub>3</sub>(C) de refer`encies ortonormals (e₀; e₁, e₂, e₃) tals que e1, e2 ∈ T S, i.e. de manera que e₃ = N sigui el vector normal unitari a S. ´Es f`acil veure que SO₃(C; S) tamb´e ´es una corba que podem parametritzar localment per

e0(t) = x(t), e1(t) = x⁰(t)

kx⁰(t)k, e2(t) = e3(t) × e1(t) i e3(t) = N(x(t)).

Aquesta refer`encia ortonormal s’anomena la refer`encia de Darboux de la corba C respecte de la superf´ıcie S. Les equacions del moviment d’aquesta refer`encia s´on:

de₀= θ₁e₁, de₁ = ω₂₁e₂+ ω₃₁e₃, de₂ = −ω₂₁e₁− ω₂₃e₃, de₃ = −ω₃₁e₁+ ω₂₃e₂. Com abans θ1 = ds on s ´es el par`ametre arc de C. Definirem les funcions curvatura geod`esica, curvatura normal i torsi´o geod`esica k_g, k_n, τ_g : C → R mitjan¸cant les relacions ω21= kg(s) ds, ω31= kn(s) ds i ω23= τg(s) ds.

Exemple 1. Si S ´es un pla aleshores kg = k ´es la curvatura amb signe, kn≡ 0 i τ_g ≡ 0.

Proposici´o 2. Dues corbes tra¸cades dins de S que siguin tangents en un punt P ∈ S tenen la mateixa curvatura normal i la mateixa torsi´o geod`esica en P .

Demostraci´o. Com que ^de_ds³ ´es la derivada direccional de e₃ en la direcci´o e₁, nom´es dep`en del punt de la superf´ıcie on es calcula. D’altra banda,

de3

ds = −kn(s) e1+ τg(s) e2.

Observaci´o 3. No ´es cert que dues corbes tra¸cades dins d’una superf´ıcie tinguin la mateixa curvatura geod`esica en un punt de tang`encia.

La relaci´o entre les dues corbes F3(C) i SO3(C; S) de la superf´ıcie SO3(C) ´es la seg¨uent.

Sigui ϕ l’angle entre n i N i (e₀; e₁, e₂, e₃) la refer`encia de Darboux de C respecte de S.

Aleshores,

e2 = sin ϕ n − cos ϕ b, e3= cos ϕ n + sin ϕ b, d’on resulta que

de1

ds = κ n = κ sin ϕ e2+ κ cos ϕ e3. Per tant, kg = κ sin ϕ i kn= κ cos ϕ. D’altra banda,

τg = ω23

ds = −e3·de2

ds = τ − dϕ ds.

1.6 Equacions del moviment sobre una superf´ıcie

Sigui S una superf´ıcie orientada de R³ i SO₃(S) el conjunt de les refer`encies ortonormals (e0; e1, e2, e3) ∈ SO3 tals que e0∈ S i e<sub>1</sub>, e2 ∈ T S, o equivalentment, e<sub>3</sub>= N. ´Es f`acil veure que SO3(S) ´es una subvarietat de dimensi´o tres de SO3. A m´es, podem definir una acci´o SO₂× SO₃(S) → SO₃(S) que preserva les fibres de e₀: SO₃(S) → S mitan¸cant

 cos ϕ − sin ϕ sin ϕ cos ϕ



, (e₀; e₁, e₂, e₃)



7−→ (e₀; cos ϕ e₁+ sin ϕ e₂, − sin ϕ e₁+ cos ϕ e₂, e₃).

Observem que les fibres de l’aplicaci´o e0 s´on exactament les `orbites de l’acci´o i que SO2

opera de manera simplement transitiva sobre cada fibra.

Si σ : U ⊂ S → SO3(S) ´es una secci´o de e0, i.e. e0◦ σ = id_U, aleshores localment podem parametritzar U × SO2 → SO₃(U ) ⊂ SO3(S) per

(p, ϕ) 7→ (p; cos ϕ σ₁(p) + sin ϕ σ₂(p), − sin ϕ σ₁(p) + cos ϕ σ₂(p), σ₃(p)).

Si α ´es una forma diferencial sobre S aleshores el pull-back e^∗₀α = α ◦ de₀ ´es una forma diferencial sobre SO3(S). Per que una forma diferencial ω definida sobre SO3(S) provingui de S, ´es a dir, sigui de la forma e^∗₀α s´on condicions necess`aries i suficients que:

1. per a cada r ∈ SO3(S), el valor ω(r, ξ) nom´es dep`en de la projecci´o de0(ξ) ∈ T_e0(r)S;

2. ω(r, ·) nom´es dep`en de l’origen e<sub>0</sub>(r) de la refer`encia r ∈ SO₃(S).

Com que de₀ pren els seus valors en T S, resulta que la restricci´o de θ₃ a SO₃(S) ´es nul.la.

Aix´ı doncs, nom´es tenim cinc formes importants θ1, θ2, ω12, ω31, ω32definides sobre SO3(S):

de₀ = θ₁e₁+ θ₂e₂ de1 = −ω₁₂e2+ ω31e3

de2 = ω12e1+ ω32e3

−de₃ = ω31e1+ ω32e2.

D’altra banda, les condicions de compatibilitat (1.2) i (1.3) s’escriuen

dθ1= θ2∧ ω₁₂, dθ2 = −θ1∧ ω₁₂, θ1∧ ω₃₁+ θ2∧ ω₃₂= 0, (1.6) dω12= ω31∧ ω₃₂, dω31= −ω12∧ ω₃₂, dω32= ω12∧ ω₃₁. (1.7) Observaci´o 4. Com veurem, les equacions de compatibilitat (1.7) s´on respectivament l’equaci´o de Gauss i les equacions de Codazzi-Mainardi.

Gaireb´e per definici´o, θ₁ i θ₂s´on dues formes definides sobre SO₃(S) que provenen de S i que podem interpretar geom`etricament observant que la forma quadr`atica I = θ₁²+ θ²₂ ´es la primera forma fonamental de S. D’altra banda, l’element d’`area dA de S ´es la 2-forma

det(·, ·, e3) : (ξ1, ξ2) 7→ det(ξ1, ξ2, e3) = θ1(ξ1)θ2(ξ2) − θ1(ξ2)θ2(ξ1) = (θ1∧ θ₂)(ξ1, ξ2).

D’altra banda, el producte escalar de les 1-formes de₀ i −de₃ amb valors a R³ ´es la forma quadr`atica II = θ<sub>1</sub>ω<sub>31</sub>+ θ<sub>2</sub>ω<sub>32</sub> anomenada segona forma fonamental de S i que podem interpretar geom`etricament observant que knI =

de0

ds



·

−^de_ds³

· ds² = II. De fet, podem pensar k_n, τ_g com a funcions definides sobre SO₃(S).

La tercera equaci´o de (1.6) implica que θ1 ∧ θ₂ ∧ ω₃₂ = 0, per tant podem escriure ω₃₂ = b θ₁ + c θ₂ com a combinaci´o lineal de θ₁ i θ₂, on b, c s´on funcions definides sobre

SO₃(S). De la mateixa manera, ω₃₁= a θ₁+ b⁰θ₂. A m´es, la tercera equaci´o de (1.6) ens proporciona la igualtat b = b⁰. Resumint,

ω₃₁= a θ₁+ b θ₂, ω₃₂= b θ₁+ c θ₂, a, b, c : SO₃(S) → R. (1.8) Interpretem geom`etricament aquestes tres funcions. Primerament observem que

II = θ₁ω₃₁+ θ₂ω₃₂= a θ²₁+ 2 b θ₁θ₂+ c θ²₂.

Per tant, a(r) i c(r) s´on respectivament les curvatures normals en les direccions dels vectors e₁ i e₂ de la refer`encia r = (e<sub>0</sub>; e<sub>1</sub>, e<sub>2</sub>, e<sub>3</sub>). Observem tamb´e que la curvatura normal en la direcci´o que forma un angle ϕ amb el vector e1 de la refer`encia r ´es igual a

k_n(r, ϕ) = a(r) cos²ϕ + 2 b(r) sin ϕ cos ϕ + c(r) sin²ϕ, (1.9) d’on resulta que la suma a(r) + c(r) nom´es dep`en del punt e0(r) ∈ S i no de la refer`encia en s´ı, i.e. a + c : S → R. De fet, a(r) + b(r) ´es la tra¸ca de la matriu

 a(r) b(r) b(r) c(r)

 de l’endomorfisme de Weingarten W = −dN = −de3 : T S → T S en la base e1, e2 associada a la refer`encia r = (e₀; e₁, e₂, e₃).

Proposici´o 5. La torsi´o geod`esica en la direcci´o que forma un angle ϕ amb el vector e<sub>1</sub> de la refer`encia r = (e0; e1, e2, e3) ´es igual a

τg(r, ϕ) = −b(r) cos 2ϕ + a(r) − c(r)

2 sin 2ϕ. (1.10)

Demostraci´o. La torsi´o geod`esica en la direcci´o que forma un angle ϕ amb el vector e1 ´es el coeficient en e⁰₂= − sin ϕ e₁+ cos ϕ e₂ de ^de_ds³:

τ_g(ϕ) = de₃

ds · e⁰₂ = −ω₃₁

ds e₁+ω₃₂ ds e₂

· (− sin ϕ e₁+ cos ϕ e₂) = sin ϕω₃₁

ds − cos ϕω₃₂ ds . Utilitzant (1.8) i substituint θ₁ = cos ϕ ds, θ₂= sin ϕ ds obtenim

τg(ϕ) = (a cos ϕ + b sin ϕ) sin ϕ − (b cos ϕ + c sin ϕ) cos ϕ

= −b (cos²ϕ − sin²ϕ) + (a − c) sin ϕ cos ϕ.

Com a corol.lari obtenim la seg¨uent interpretaci´o geom`etrica de la funci´o b: el valor b(r)

´

es la torsi´o geod`esica en la direcci´o del vector e<sub>1</sub> de la refer`encia r. D’altra banda, la torsi´o geod`esica en la direcci´o del vector e<sub>2</sub> de la refer`encia r ´es igual a −b(r).

Proposici´o 6. En un punt de S que no sigui umbilical (i.e. en el qual k_nno sigui constant), existeixen exactament dues direccions de T S en les quals la torsi´o geod`esica ´es nul.la (i.e.

s´on direccions pr`opies del endomorfisme de Weingarten W = −dN). A m´es, aquestes direccions (que s’anomenen principals) s´on ortogonals i sobre elles la curvatura normal pren els seus valors m`axim i m´ınim.

Demostraci´o. Sigui r⁰ = (e0; e⁰₁, e⁰₂, e3) ∈ SO3(S). Si e0 ∈ S no ´es umbilical aleshores a−c 6= 0, de manera que la torsi´o geod`esica τ_g(r⁰, ϕ⁰) en la direcci´o ϕ⁰ respecte de e₁s’anul.la si i nom´es si tan(2 ϕ⁰) = _a(r^{2 b(r}0)−c(r⁰⁾⁰), equaci´o que ens proporciona dos valors ben determinats de ϕ⁰ ∈ [0, 2π) que defineixen dues direccions perpendiculars e₁, e2 dins Te0S. Sigui r = (e0; e1, e2, e3) ∈ SO3(S). Per definici´o, b(r) = 0, de manera que la curvatura normal d’una direcci´o que formi un angle ϕ amb e⁰₁ ´es igual a k_n(r, ϕ) = a(r) cos²ϕ + c(r) sin²ϕ.

Notant k₁, k₂ respectivament les curvatures normals de les direccions principals e₁, e₂, tenim que

a(r⁰) = k₁ cos²ϕ + k₂ sin²ϕ, b(r⁰) = (k1− k₂) sin ϕ cos ϕ, c(r⁰) = k1 sin²ϕ + k2 cos²ϕ,

d’on es dedueix que a(r⁰)c(r⁰) − b(r⁰)² = k₁k₂ =: K nom´es dep`en del punt e<sub>0</sub> ∈ S i no de la refer`encia r⁰ = (e0; e⁰₁, e⁰₂, e3) ∈ SO3(S). La funci´o K : S → R s’anomena la curvatura de Gauss de la superf´ıcie S.

Una ´ultima observaci´o sobre la curvatura normal i la torsi´o geod`esica que es dedueix directament de les f´ormules (1.9) i (1.10) ´es la relaci´o

∂kn(r, ϕ)

∂ϕ = −2τg(r, ϕ),

que implica que les direccions principals s´on punts cr´ıtics de la curvatura normal. De fet, s´on el m`axim i el m´ınim absoluts de kn(r, ϕ) = k1cos²ϕ + k2sin²ϕ tal i com l’afirma el teorema de Olinde Rodrigues, tamb´e coneguda com f´ormula d’Euler.

Per interpretar geom`etricament la ´ultima forma diferencial ω12, recordem que si C ⊂ S aleshores SO<sub>3</sub>(C; S) ⊂ SO<sub>3</sub>(S) i la restricci´o de ω<sub>21</sub> = −ω<sub>12</sub> a la refer`encia de Darboux SO₃(C; S) ´es la forma de curvatura geod`esica kg(s) ds. Abans de precisar aix`o establim la unicitat de la 1-forma ω12.

Proposici´o 7. La forma de la curvatura geod`esica −ω12 ´es la ´unica 1-forma diferencial sobre SO3(S) que satisf`a les dues primeres equacions de (1.6):

dθ₁= θ₂∧ ω₁₂, dθ₂ = −θ₁∧ ω₁₂.

Demostraci´o. Si ω⁰₁₂ ´es una altra 1-forma verificant les condicions anteriors aleshores la difer`encia α = ω<sub>12</sub>− ω<sub>12</sub><sup>0</sup> satisf`a θ₁ ∧ α = θ₂ ∧ α = 0. Sigui η una 1-forma linealment independent amb θ1 i θ2 de manera que θ1, θ2, η formen una base local de 1-formes de SO₃(S). Expressant α = a1θ1 + a2θ2+ a3η, de les relacions anteriors obtenim a1 = a2 = a₃ = 0, d’on resulta que α = 0.

Com hem dit al comen¸cament d’aquesta part, una secci´o σ : S → SO3(S) de la projecci´o e₀ : SO₃(S) → S permet identificar SO₃(S) = S × SO₂. Una parametritzaci´o local x : U ⊂ R² → S permet definir una secci´o local σ(p) = (p; ¯e1(p), ¯e2(p), ¯e3(p)) mitjan¸cant el procediment d’ortonormalitzaci´o de Gramm-Schmidt aplicat a la base ∂ux, ∂vx. Siguin θ¯_j = σ^∗θ_j, j = 1, 2 i ¯ω₁₂= σ^∗ω₁₂ les formes indu¨ıdes per σ en S.

Proposici´o 8. Utilitzant la identificaci´o SO₃(S) = S × SO₂ anterior i les notacions ¯e = (¯e₁, ¯e₂, ¯e₃), ¯θ =



 θ¯1

θ¯₂ 0



, g_ϕ=





cos ϕ − sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ 0

0 0 1



∈ SO₂ es compleixen les relacions

e(p, ϕ) = ¯e(p)gϕ, θ(p, ϕ) = g⁻¹_ϕ θ(p),¯ ω(p, ϕ) = g⁻¹_ϕ ω(p)g¯ ϕ+ g⁻¹_ϕ dgϕ.

En particular, ω₁₂(p, ϕ) = ¯ω₁₂(p) − dϕ i dω₁₂(p, ϕ) = d¯ω₁₂(p) = K(p) dA, on dA(p) = θ¯1(p) ∧ ¯θ2(p) = θ1(p, ϕ) ∧ θ2(p, ϕ) ´es l’element d’`area de S i K(p) = a(p, ϕ)c(p, ϕ) − b(p, ϕ)²

´

es la curvatura de Gauss de S en p.

Demostraci´o. La primera igualtat ´es conseq¨u`encia directa de la definici´o de la identificaci´o entre SO3(S) i S × SO2 mitjan¸cant la refer`encia m`obil σ definida sobre S. La segona igualtat es dedueix del fet que σ ´es una secci´o, i.e. e¯0(p) = p = e0(σ(p)), per tant, eθ = de<sub>0</sub> = d¯e<sub>0</sub> = ¯e¯θ = eg<sub>ϕ</sub><sup>−1</sup>θ, i.e. θ = g¯ <sub>ϕ</sub><sup>−1</sup>θ. La ´¯ ultima igualtat resulta del fet que eω = de = d¯e gϕ+ ¯e dgϕ= ¯e¯ωgϕ+ ¯e dgϕ = e(g<sub>ϕ</sub><sup>−1</sup>ωg¯ ϕ+ g<sub>ϕ</sub><sup>−1</sup>dgϕ). ´Es f`acil comprovar que

g_ϕ⁻¹dg_ϕ =





0 −dϕ 0

dϕ 0 0

0 0 0



 i

g⁻¹_ϕ ωg¯ ϕ=





0 ω¯₁₂(p) −¯ω31(p) cos ϕ−¯ω32(p) sin ϕ

−¯ω12(p) 0 ω¯31(p) sin ϕ−¯ω32(p) cos ϕ

¯

ω31(p) cos ϕ+¯ω32(p) sin ϕ −¯ω31(p) sin ϕ+¯ω32(p) cos ϕ 0



.

Utilitzant (1.8) la primera equaci´o de (1.7) es transforma en

dω12= ω31∧ ω₃₂= (a θ1+ b θ2) ∧ (b θ1+ c θ2) = (a c − b²) θ1∧ θ₂ = K dA.

Observem que encara que ω₁₂ no ´es una forma definida en S la seva derivada exterior dω12= K dA s´ı que ho ´es, on K ´es la curvatura de Gauss i dA ´es l’element d’`area de S.

Si f : S → S⁰ ´es un difeomorfisme local entre superf´ıcies que preserva les longituds (i.e.

f^∗ds⁰² = ds²) direm que f ´es una isometria local. Si a m´es f preserva les orientacions de S i S⁰ direm que ´es una isometria local directa. En aquest cas, f indueix una aplicaci´o ef : SO₃(S) → SO3(S⁰) mitjan¸cant la seva diferencial dfp : TpS → T_{f (p)}S⁰. M´es concretament, f (ee 0; e1, e2, e3) = (f (e0), dfe0(e1), dfe0(e2), e⁰₃(f (e0))).

Proposici´o 9. Si f : S → S⁰ ´es una isometria local directa entre superf´ıcies aleshores fe^∗θ⁰_j = θ_j, j = 1, 2 i ef^∗ω₁₂⁰ = ω₁₂.

Demostraci´o. Considerem dues refer`encies m`obils σ(p) = (p; ¯e(p)) i σ⁰(p⁰) = (p⁰; ¯e⁰(p⁰)) definides sobre S i S⁰ respectivament. Considerem la funci´o ψ : S → [0, 2π) que en cada punt p ∈ S d´ona l’angle entre les refer`encies ef (¯σ(p)) i σ⁰(f (p)), i.e. que compleix df (¯e) = (¯e⁰◦ f )g_ψ. Observem que utilitzant les trivialitzacions de SO3(S) = S × SO2 i SO3(S⁰) = S⁰× SO₂ donades per σ i σ⁰ podem escriure ef (p, ϕ) = (f (p), ϕ + ψ(p)) = (p⁰, ϕ⁰). Veiem en primer lloc que f^∗θ¯⁰ = gψθ. En efecte, per a tot v ∈ T S tenim que¯

f^∗θ¯⁰(v) = ¯θ_|f⁰ (df (v)) = ¯θ_|f⁰ (df (¯e ¯θ(v))) = ¯θ_|f⁰ (df (e)¯θ(v)) = ¯θ_|f⁰ ((¯e⁰◦ f )g_ψθ(v)) = g¯ _ψθ(v).¯ Utilitzant la segona igualtat de les proposici´o 8 obtenim que

fe^∗θ⁰ = ef^∗(g_ϕ⁻¹0 θ¯⁰) = g_ϕ+ψ⁻¹ f^∗θ¯⁰= g_ϕ⁻¹g⁻¹_ψ g_ψθ = g¯ _ϕ⁻¹θ = θ.¯

Com que ef^∗dθ⁰₁= d ef^∗θ⁰₁= ef^∗θ₂⁰∧ ef^∗ω⁰₁₂i ef^∗dθ₂⁰ = d ef^∗θ₂⁰ = − ef^∗θ⁰₁∧ ef^∗ω⁰₁₂, de la proposici´o 7 dedu¨ım que ef^∗ω⁰₁₂= ω₁₂.

Com a conseq¨u`encia de les proposicions 8 i 9 resulta el teorema egregi de Gauss el qual afirma que la curvatura de Gauss es conserva per isometries.

Corol.lari 10. Si f : S → S⁰ ´es una isometria entre superf´ıcies aleshores K⁰(f (p)) = K(p) per a tot p ∈ S.

Demostraci´o. Nom´es cal observar que

(K⁰◦ f ) θ₁∧ θ₂ = (f^∗K⁰) ef^∗(θ⁰₁∧ θ⁰₂) = ef^∗dω⁰₁₂= d ef^∗ω⁰₁₂= dω₁₂= K θ₁∧ θ₂.

Corol.lari 11. Si C una corba continguda en una superf´ıcie S aleshores la restricci´o de la 1-forma −ω₁₂ ∈ Ω¹(SO₃(S)) al seu triedre de Darboux SO₃(C; S) ⊂ SO₃(S) ´es igual a kg(s) ds on s ´es el par`ametre arc de C. En particular si f : S → S<sup>0</sup> ´es una isometria local directa i C<sup>0</sup> = f (C) aleshores les curvatures geod`esiques de C en p i de C⁰ en f (p) coincideixen per a tot p ∈ S.

Demostraci´o. Sigui ¯α : I ⊂ R → C ⊂ S ⊂ R³una parametritzaci´o de C per par`ametre arc s i considerem α(s) = ( ¯α(s); D(s)) ∈ SO3(C; S) ⊂ SO3(S) on D(s) = (t(s), it(s), N( ¯α(s)) ´es el seu triedre de Darboux. Sabem que dD(α⁰(s)) = ^dD_ds = D





0 −k_g(s) −k_n(s) kg(s) 0 τg(s) k_n(s) −τ_g(s) 0



.

D’altra banda, e(α) = D, d’on resulta que ^dD_ds = de(α⁰) = e(α)ω(α⁰) = Dω(α⁰) i per tant,

−ω₁₂(α⁰(s)) = kg(s).

Observaci´o 12. El fibrat tangent unitari T U (S) d’una superf´ıcie S s’identifica de mane- ra natural amb el fibrat de les refer`encies ortonormals directes SO<sub>3</sub>(S). El flux geod`esic sobre T U (S) es defineix mitjan¸cant Φ^G_s(p, ϕ) = γ(s; p, ϕ) on γ(·; p, ϕ) ´es la parametrit- zaci´o per l’arc de la ´unica geod`esica que passa pel punt p formant un angle ϕ amb la direcci´o ¯e<sub>1</sub> en s = 0. De fet, Φ<sup>G</sup><sub>s</sub> ´es el grup uniparam`etric d’un camp G ∈ T SO₃(S). Si x : U ⊂ R² → S ⊂ R³ ´es una parametritzaci´o regular de S aleshores podem escriure

d

dsx(u(s), v(s)) = u⁰(s)x_u(u(s), v(s)) + v⁰(s)x(u(s), v(s)) = cos φ(u(s), v(s))¯e₁(u(s), v(s)) + sin φ(u(s), v(s))¯e₂(u(s), v(s)) amb φ : U ⊂ R² → R i

G(u, v, ϕ) = cos φ(u, v) ∂

∂u+ sin φ(u, v) ∂

∂v− ¯ω₁₂(cos φ(u, v)¯e₁(u, v) + sin φ(u, v)¯e₂(u, v)) ∂

∂ϕ.

Donada C ⊂ S una corba regular, busquem una elevaci´o Γ(C) ⊂ SO3(S) ∼= S × SO2

de manera que la restricci´o de ω12 a Γ(C) sigui nul.la. Com que C est`a donada, coneixem

¯

ω_12|C = a(s) ds, per tant la condici´o que ha de satisfer ϕ ´es dϕ − a(s) ds = 0, ´es a dir, ϕ = φ(s) :=Rs

s0a(s) ds + ϕ0. L’elecci´o de la constant ϕ0 permet considerar la refer`encia m`obil ρ(s) = (e0(s); e1(s), e2(s), e3(s)) = σ(s)g_φ(s) com una extensi´o de ρ(s0) = ρ0 := σ(s0)gϕ0 i en aquest cas diem que ρ(s) ´es el transport paral.lel al llarg de C de la refer`encia ortonormal ρ0. Aquesta noci´o de transport paral.lel que acabem d’introduir coincideix amb la definici´o cl`assica de que la derivada del vector e1(s) respecte de s no t´e component tangent a la superf´ıcie S. En efecte,

d

dse₁(s) = d

ds(cos φ(s)¯e₁(s) + sin φ(s)¯e₂(s))

= (φ⁰(s) − ¯ω12(t(s)))(− sin φ(s)¯e1(s) + cos φ(s)¯e2(s)) + (· · ·)¯e3(s).

El transport paral.lel al llarg de C ens proporciona una interpretaci´o geom`etrica de la curvatura geod`esica de C. Sigui ϕ(s) l’angle que forma en cada punt de C el vector tangent a C amb el vector ¯e₁(s) de la refer`encia σ que trivialitza SO₃(S). Aleshores,

k_g(s) ds = −ω₁₂= −¯ω₁₂+ dϕ = −a(s) ds − dϕ = d(ϕ − φ). (1.11)

Es a dir, la curvatura geod`´ esica de C ´es igual a la derivada respecte del par`ametre arc s de l’angle ϕ(s) − φ(s) que la tangent orientada a C forma amb el vector d’un camp paral.lel al llarg de C.

Si la corba C ´es tancada no ´es cert que el transport paral.lel al llarg de C sigui la identitat, ni tan sols en el cas de que C sigui hom`otopa a un punt, i.e. C = ∂∆, on ∆ ⊂ S

´

es homeomorf a un disc compacte. Per construcci´o tenim 0 =R

Γ(C)ω12=R

Cω¯12−R

Cdφ, i utilitzant el teorema de Stokes,

Z

C

dφ = Z

C

¯ ω12=

Z

∆

d¯ω12= Z

∆

K dA.

El terme de l’esquerra ´es l’angle total que ha girat el vector del camp paral.lel al llarg de C.

Aix´ı doncs, es pot dir que el transport paral.lel al llarg de C produeix una rotaci´o d’angle igual a la integral de la curvatura de Gauss dins de l’`area encerclada per C. D’altra banda, la relaci´o (3.1) implica queR

Ckg(s) ds =R

Cdϕ −R

∆K dA. Per escriure aix`o hem suposat impl´ıcitament que C ´es una corba de classe C². M´es generalment, si C es pot descomposar en un nombre finit d’arcs C_i de classe C² units per punts angulars P_i en els que l’angle del vector tangent presenta una discontinu¨ıtat ϕi, aleshores la relaci´o anterior s’ha d’entendre de la manera seg¨uent:

X

i

Z

Ci

k_g(s) ds =X

i

Z

Ci

dϕ − Z

∆

K dA. (1.12)

Lema 13. Amb les notacions anteriors, X

i

Z

Ci

dϕ +X

i

ϕ_i = 2π.

Intu¨ıtivament, el terme de l’esquerra ´es l’angle total que gira el vector tangent a C, per tant ´es un m´ultiple de 2π. El lema afirma que ´es exactament igual a 2π. ´Es f`acil veure-ho en el cas en el que S ´es un pla i ∆ ´es un disc. Grosso modo, la demostraci´o del cas general es fa reduint-se per deformacions convenients a aquest cas simple.

Teorema 14 (Gauss-Bonnet local). Sota les hip`otesis anteriors, X

i

Z

Ci

k_g(s) ds +X

i

ϕ_i = 2π − Z

∆

K dA.

Considerem per exemple el cas en que C ´es un triangle geod`esic d’angles α1, α2, α3. Aleshores, ϕi= π − αi iR

Cikg(s) ds = 0. Per tant, α1+ α2+ α3= π +

Z

∆

K dA.

Teorema 15 (Gauss-Bonnet global). Si S ⊂ R³ ´es una superf´ıcie compacta aleshores R

SK dA = 2πχ(S), on χ(S) ´es la caracter´ıstica d’Euler-Poincar´e de S.

Demostraci´o. Sigui {∆j}^F_j=1 una triangulaci´o de S. Podem orientar els triangles ∆j de manera coherent, i.e. de manera que si ∆i∩ ∆_j = Cij aleshores les orientacions de Cij dins de ∆_i i ∆_j s´on oposades. Aplicant el teorema de Gauss-Bonnet local a cada triangle ∆_j i sumant respecte de tots els triangles obtenim

F

X

j=1 3

X

i=1

Z

Cij

kg(s) ds +

F

X

j=1 3

X

i=1

ϕij = 2πF − Z

S

K dA.

El primer terme de l’esquerra ´es zero gr`acies a l’elecci´o coherent de les orientacions dels triangles ∆j. D’altra banda, com ϕij = π − αij resulta queP

i,jϕij =P

i,jπ −P

i,jαij = 3F π −P

i,jαij. Com que cada aresta pertany a dos triangles i cada triangle t´e tres arestes dedu¨ım que 3F = 2E, on E ´es el nombre d’arestes de la triangulaci´o. Finalment, com que la suma dels angles interiors αij que es troben al voltant d’un v`ertex donat ´es 2π obtenim queP

i,jαij = 2πV on V ´es el nombre de v`ertexs de la triangulaci´o. Aix´ı, hem obtingut la f´ormula:

2πE − 2πV = 2πF − Z

S

K dA, per`o sabem que F − E + V = χ(S), d’on el resultat.

Una petita modificaci´o d’aquest argument mostra que en el cas en que S t´e vora es verifica que R

SK dA = 2πχ(S) − R

∂Sk_g(s) ds. De fet, podem presentar la idea d’una demostraci´o alternativa del teorema de Gauss-Bonnet global per superf´ıcies sense vora que ens proporciona alhora el teorema de Poincar´e-Hopf. Per aix`o, recordem que si X ´es un camp vectorial definit sobre un disc D ⊂ R² amb un zero a¨ıllat en p ∈ D aleshores es defineix l’´ındex de X en p com

ind_X(p) = 1 2π

Z

∂D

dϕ, (1.13)

on ϕ ∈ R ´es l’angle (positivament orientat) que fa X amb una direcci´o fixada. En particular, no ´es dif´ıcil veure que l’´ındex d’un focus ´es +1 i l’´ındex d’un punt de sella ´es −1.

Donada una superf´ıcie compacta orientada S amb una m`etrica de Riemann g, una triangulaci´o T i un camp de vectors amb zeros a¨ıllats X, definim

χm(S, g) = 1 2π

Z

S

K dA, χ∆(S, T ) = V (T ) − E(T ) + F (T ), χv(S, X) = X

X(p)=0

indX(p).

Teorema 16 (Gauss-Bonnet+Poincar´e-Hopf). El valor com´u χ(S) := χ_m(S, g) = χ_∆(S, T ) = χ_v(S, X)

no dep`en de g, T ni X i es coneix amb el nom de caracter´ıstica d’Euler-Poincar´e de S.

Idea de la demostraci´o. Donada una triangulaci´o T podem definir geom`etricament un camp vectorial XT que t´e un focus en cada v`ertex de T i en els baricentres de cada cara de T i un punt de sella per cada aresta de T . Aix`o prova que χ<sub>v</sub>(S, X<sub>T</sub>) = χ<sub>∆</sub>(S, T ). Provarem tamb´e que per a qualsevol g i X es t´e la igualtat χv(S, X) = χm(S, g). D’aquestes dues assercions es dedueix que χ∆(S, T ) = χv(S, XT) = χm(S, g) = χv(S, X) no dep`en de T , ni de g ni de X. Per veure χ_v(S, X) = χ_m(S, g) considerem els zeros p₁, . . . , p_r de X com els centres de discs p_i ∈ D_i() ⊂ S de radi  > 0. Sigui e := (e₀; e₁, e₂) una refer`encia ortonormal directa de S() := S \

r

S

j=1

D_j() tal que e₁ = _kXk^X . Utilitzant que K dA = dω₁₂ i el teorema de Stokes obtenim que

Z

S()

K dA = Z

S()

dω₁₂= Z

∂S()

ω₁₂=

r

X

j=1

Z

∂Dj()

ω₁₂.

Siguiee^j := (e0,ee^j₁,ee^j₂) una refer`encia ortonormal directa de Dj(). Aleshoresωe^j₁₂= ω12−dϕ^j on ϕ^j ´es l’angle entre e1 iee^j₁. Aix´ı,

Z

S

K dA = lim

→0

Z

S()

K dA =

r

X

j=1

→0lim Z

∂Dj()ωe₁₂^j +

r

X

j=1

→0lim Z

∂Dj()

dϕ^j = 0 + 2π

r

X

j=1

indX(p),

ja que K(p_j) ´es un valor finit iee^j₁ tendeix cap a una direcci´o fixadaee^j₁(p_j) quan  → 0.

Existeix una generalitzaci´o d’aquest teorema a varietats de dimensi´o parell per`o per formular-ho cal considerar el formalisme de les classes caracter´ıstiques:

Teorema 17 (Gauss-Bonnet-Chern). Sigui M una varietat riemanniana compacta i ori- entada de dimensi´o parell n i Ω la 2-forma matricial de curvatura associada a la m`etrica de Riemann. Aleshores,

Z

M

Pf(Ω) = 2ⁿ⁻¹Vol(Sⁿ)χ(M ), on Pf(Ω_ij) = ₂n¹n!

P

σ∈Sn

ε(σ)Ω_σ1σ2∧ Ω_σ3σ4 ∧ · · · ∧ Ω_σn−1σn.

Cap´ıtol 2

Fibrats vectorials, grups de Lie i fibrats principals

2.1 Espais fibrats, fibrats vectorials i principals

A partir d’ara K denotar`a el cos del nombre reals R o complexos C. Un K-fibrat vectorial de rang n sobre una varietat B ´es una terna ξ = (E, π, B) on E ´es una varietat i π : E → B

´

es una aplicaci´o diferenciable que verifica les condicions seg¨uents:

- per cada p ∈ B, la fibra π⁻¹(p) t´e estructura de K-espai vectorial de dimensi´o n;

- per a tot p ∈ B existeix un entorn obert U de p i un difeomorfisme φ : π⁻¹(U ) → U × Kⁿtal que la seva restricci´o a π⁻¹(q) ´es un isomorfisme amb {q} × Kⁿ per a cada punt q ∈ U .

L’exemple b`asic ´es TB := (T B, π, B), on T B = S

p∈B

TpB denota el fibrat tangent a una K-varietat diferenciable B. Totes les construccions algebraiques que podem fer amb espais vectorials ⊕, ⊗, Hom,... tenen el seu an`aleg per a fibrats vectorials definit-les fibra a fibra.

En general, una secci´o d’una aplicaci´o π : E → B ´es una aplicaci´o σ : B → E tal que π ◦ σ = id_B. Una secci´o local definida sobre U ⊂ B ´es una secci´o de la restricci´o π_|π⁻¹_{(U )}. Donat un fibrat vectorial ξ = (E, π, B), el conjunt de seccions diferenciables definides sobre un obert U de la base B formen un espai vectorial. Definim d’aquesta manera el feix de seccions E = Γξ del fibrat ξ. Per exemple, X_B:= ΓT_B´es el feix de camps vectorials tangents a B.

De manera m´es general, definim espai fibrat (fiber bundle en angl`es) ξ = (E, π, B, F ) amb fibra tipus una varietat diferenciable F com una aplicaci´o diferenciable π : E → B tal que tot punt p ∈ B admet un entorn obert p ∈ U ⊂ B i un difeomorfisme φ = (φ1, φ2) : π⁻¹(U ) → U × F (anomenat trivialitzaci´o local) tal que φ₁ = π.

Si p ∈ U ∩U⁰i φ : π⁻¹(U ) → U ×F , φ⁰ : π⁻¹(U⁰) → U⁰×F s´on dues trivialitzacions locals aleshores podem definir una funci´o de transici´o ϕ : U ∩ U⁰ → Diff(F ) mitjan¸cant ϕ(q) = (φ⁰₂◦φ⁻¹)(q, ·). Un recobriment de B per oberts trivialitzants (U_α, φ_α) del fibrat ξ s’anomena un sistema trivialitzant de ξ. Les funcions de transici´o associades ϕ_βα: U_α∩ U_β → Diff(F ) venen definides per (q, ϕβα(q)(f )) = (φβ◦ φ⁻¹_α )(q, f ).

Definim un espai fibrat ξ = (E, π, B, F, G) amb fibra tipus F i grup estructural G ⊂ Diff(F ) imposant que existeix un sistema de trivialitzacions locals {(U_α, φ_α)} de ξ tal que les funcions de transici´o ϕαβ : Uα∩ U_β → G ⊂ Diff(F ) tenen imatge en G ⊂ Diff(F ).

Els fibrats vectorials de rang n s´on exemples de fibrats amb fibra F = Kⁿ i grup estructural G = GL_n(K).

L’exemple m´es important de fibrat amb grup estructural G ´es el de fibrat principal, en el qual la fibra F = G ´es un grup de Lie, actuant sobre s´ı mateix, G ,→ Diff(G), per translacions a l’esquerra. Exemples concrets: