Una revisión de la inversa core EP D.E. FERREYRA, F.E. LEVIS, N. THOME

Una revisión de la inversa core EP

Índice I

Introducción Resumen

Notaciones y Definiciones Motivación

Antecedentes del Problema

Una nueva caracterización de la inversa core EP Resultado Principal

Propiedades de la inversa core EP

Reprentación y cálculo de la inversa core EP Forma canónica de la inversa core EP Más propiedades de la inversa core EP

Resumen

En este trabajo:

• Se da una nueva caracterización y representación de la inversa core EP usando la descomposición core EP.

• Se dan nuevas propiedades de la inversa core EP y su conexión con las inversas BT y DMP.

• Se da una forma canónica de la inversa core EP a partir de la descomposición de Hartwig-Spindelböck que provee una manera sencilla de calcularla.

Resumen

En este trabajo:

• Se da una nueva caracterización y representación de la inversa core EP usando la descomposición core EP.

• Se dan nuevas propiedades de la inversa core EP y su conexión con las inversas BT y DMP.

• Se da una forma canónica de la inversa core EP a partir de la descomposición de Hartwig-Spindelböck que provee una manera sencilla de calcularla.

Resumen

En este trabajo:

• Se da una nueva caracterización y representación de la inversa core EP usando la descomposición core EP.

• Se dan nuevas propiedades de la inversa core EP y su conexión con las inversas BT y DMP.

• Se da una forma canónica de la inversa core EP a partir de la descomposición de Hartwig-Spindelböck que provee una manera sencilla de calcularla.

Resumen

En este trabajo:

• Se da una nueva caracterización y representación de la inversa core EP usando la descomposición core EP.

• Se dan nuevas propiedades de la inversa core EP y su conexión con las inversas BT y DMP.

• Se da una forma canónica de la inversa core EP a partir de la descomposición de Hartwig-Spindelböck que provee una manera sencilla de calcularla.

Notaciones y Definiciones

ParaA∈Cn×n, los símbolosA∗, A−1,R(A),N(A)y rk(A), denotarán la

transpuesta conjugada, la inversa, el espacio columna, el núcleo y el rango deA, respectivamente.

Una matrizX∈Cn×nque satisface la igualdadAXA=Aes llamada una

inversa interiordeA. La clase de todas las inversas deAes denotada por A{1}.

SeaA∈Cn×n, el índice deA, denotado por Ind(A), es el menor de los

enteros no negativosktal queR(Ak_{) =R(A}k+1_).

Notaciones y Definiciones

ParaA∈Cn×n, los símbolosA∗, A−1,R(A),N(A)y rk(A), denotarán la

transpuesta conjugada, la inversa, el espacio columna, el núcleo y el rango deA, respectivamente.

Una matrizX ∈Cn×nque satisface la igualdadAXA=Aes llamada una

inversa interiordeA. La clase de todas las inversas deAes denotada por A{1}.

SeaA∈Cn×n, el índice deA, denotado por Ind(A), es el menor de los

enteros no negativosktal queR(Ak_{) =R(A}k+1_).

Notaciones y Definiciones

ParaA∈Cn×n, los símbolosA∗, A−1,R(A),N(A)y rk(A), denotarán la

transpuesta conjugada, la inversa, el espacio columna, el núcleo y el rango deA, respectivamente.

Una matrizX ∈Cn×nque satisface la igualdadAXA=Aes llamada una

inversa interiordeA. La clase de todas las inversas deAes denotada por A{1}.

SeaA∈Cn×n, el índice deA, denotado por Ind(A), es el menor de los

enteros no negativosktal queR(Ak_{) =R(A}k+1_).

Notaciones y Definiciones

ParaA∈Cn×n, los símbolosA∗, A−1,R(A),N(A)y rk(A), denotarán la

transpuesta conjugada, la inversa, el espacio columna, el núcleo y el rango deA, respectivamente.

Una matrizX ∈Cn×nque satisface la igualdadAXA=Aes llamada una

inversa interiordeA. La clase de todas las inversas deAes denotada por A{1}.

SeaA∈Cn×n, el índice deA, denotado por Ind(A), es el menor de los

enteros no negativosktal queR(Ak_{) =R(A}k+1_).

Notaciones y Definiciones

Definición

SeaA∈Cn×n. La única matrizX∈Cn×nsatisfaciendo

AXA=A, XAX=X, (AX)∗=AX y (XA)∗=XA,

es llamada lainversa de Moore-PenrosedeAy es denotada porA†.

Definición

SeaA∈Cn×n. La única matrizX∈Cn×nsatisfaciendo

XAX=X, AX=XA y Ak+1X=Ak,

dondek=Ind(A),es llamada lainversa de DrazindeAy es denotada por

Ad_.

Si Ind(A)≤1, entonces la inversa de Drazin deAes llamada lainversa de grupodeAy es denotada porA#.

Notaciones y Definiciones

Definición

SeaA∈Cn×n. La única matrizX∈Cn×nsatisfaciendo

AXA=A, XAX=X, (AX)∗=AX y (XA)∗=XA,

es llamada lainversa de Moore-PenrosedeAy es denotada porA†. Definición

SeaA∈Cn×n. La única matrizX∈Cn×nsatisfaciendo

XAX=X, AX=XA y Ak+1X=Ak,

dondek=Ind(A),es llamada lainversa de DrazindeAy es denotada por

Ad_.

Si Ind(A)≤1, entonces la inversa de Drazin deAes llamada lainversa de grupodeAy es denotada porA#.

Notaciones y Definiciones

Definición

SeaA∈Cn×n. La única matrizX∈Cn×nsatisfaciendo

AXA=A, XAX=X, (AX)∗=AX y (XA)∗=XA,

es llamada lainversa de Moore-PenrosedeAy es denotada porA†. Definición

SeaA∈Cn×n. La única matrizX∈Cn×nsatisfaciendo

XAX=X, AX=XA y Ak+1X=Ak,

dondek=Ind(A),es llamada lainversa de DrazindeAy es denotada por

Ad_.

Si Ind(A)≤1, entonces la inversa de Drazin deAes llamada lainversa de grupodeAy es denotada porA#.

La inversa core

O. Baksalary, G. Trenkler,Core inverse of matrices, Linear and Multilinear Algebra, 58 (6) (2010) 681-697.

En el trabajo anterior, los autores introdujeron una nueva inversa generalizada de la siguiente manera

Definición

SeaA∈Cn×n. Una matrizX∈Cn×nsatisfaciendo

AX=PA y R(X)⊂ R(A),

es llamada lainversa coredeAy es denotada porA#,dondePAes el

proyector ortogonal sobre el rango deA,es decir,PA=AA†.

Una condición necesaria y suficiente para queA∈Cn×nsea core invertible

La inversa core

O. Baksalary, G. Trenkler,Core inverse of matrices, Linear and Multilinear Algebra, 58 (6) (2010) 681-697.

En el trabajo anterior, los autores introdujeron una nueva inversa generalizada de la siguiente manera

Definición

SeaA∈Cn×n. Una matrizX∈Cn×nsatisfaciendo

AX=PA y R(X)⊂ R(A),

es llamada lainversa coredeAy es denotada porA#,dondePAes el

proyector ortogonal sobre el rango deA,es decir,PA=AA†.

Una condición necesaria y suficiente para queA∈Cn×nsea core invertible

La inversa core

O. Baksalary, G. Trenkler,Core inverse of matrices, Linear and Multilinear Algebra, 58 (6) (2010) 681-697.

En el trabajo anterior, los autores introdujeron una nueva inversa generalizada de la siguiente manera

Definición

SeaA∈Cn×n. Una matrizX∈Cn×nsatisfaciendo

AX=PA y R(X)⊂ R(A),

es llamada lainversa coredeAy es denotada porA#,dondePAes el

proyector ortogonal sobre el rango deA,es decir,PA=AA†.

Una condición necesaria y suficiente para queA∈Cn×nsea core invertible

La inversa core

O. Baksalary, G. Trenkler,Core inverse of matrices, Linear and Multilinear Algebra, 58 (6) (2010) 681-697.

En el trabajo anterior, los autores introdujeron una nueva inversa generalizada de la siguiente manera

Definición

SeaA∈Cn×n. Una matrizX∈Cn×nsatisfaciendo

AX=PA y R(X)⊂ R(A),

es llamada lainversa coredeAy es denotada porA#,dondePAes el

proyector ortogonal sobre el rango deA,es decir,PA=AA†.

Una condición necesaria y suficiente para queA∈Cn×nsea core invertible

Las inversas core EP, BT y DMP

Tres generalizaciones de la inversa core fueron introducidas y estudiadas recientemente para matrices cuadradas de índice arbitrario.

La única matrizX∈Cn×ntal que

XAX =X y R(X) =R(X∗) =R(Ak), es llamada lainversa core EPdeAy es denotada porA†. La matrizA:= (APA)†es llamada lainversa BTdeA. La única matrizX∈Cn×nsatisfaciendo

XAX=X, XA=AdA y AkX =AkA†, es llamada lainversa DMPdeAy es denotada porAd,†.

Las inversas core EP, BT y DMP

Tres generalizaciones de la inversa core fueron introducidas y estudiadas recientemente para matrices cuadradas de índice arbitrario.

La única matrizX∈Cn×ntal que

XAX=X y R(X) =R(X∗) =R(Ak), es llamada lainversa core EPdeAy es denotada porA†.

La matrizA:= (APA)†es llamada lainversa BTdeA. La única matrizX∈Cn×nsatisfaciendo

XAX=X, XA=AdA y AkX =AkA†, es llamada lainversa DMPdeAy es denotada porAd,†.

Las inversas core EP, BT y DMP

Tres generalizaciones de la inversa core fueron introducidas y estudiadas recientemente para matrices cuadradas de índice arbitrario.

La única matrizX∈Cn×ntal que

XAX=X y R(X) =R(X∗) =R(Ak), es llamada lainversa core EPdeAy es denotada porA†. La matrizA:= (APA)†es llamada lainversa BTdeA.

La única matrizX∈Cn×nsatisfaciendo

XAX=X, XA=AdA y AkX =AkA†, es llamada lainversa DMPdeAy es denotada porAd,†.

Las inversas core EP, BT y DMP

Tres generalizaciones de la inversa core fueron introducidas y estudiadas recientemente para matrices cuadradas de índice arbitrario.

La única matrizX∈Cn×ntal que

XAX=X y R(X) =R(X∗) =R(Ak), es llamada lainversa core EPdeAy es denotada porA†. La matrizA:= (APA)†es llamada lainversa BTdeA. La única matrizX∈Cn×nsatisfaciendo

XAX=X, XA=AdA y AkX =AkA†, es llamada lainversa DMPdeAy es denotada porAd,†.

Motivación de este trabajo

O.Baksalary, G. Trenkler,Core inverse of matrices, Linear and Multilinear Algebra, 58 (6) (2010) 681-697.

Lainversa coredeA∈Cn×nes la única matrizX∈Cn×nsatisfaciendo

AX=PA=AA† y R(X)⊂ R(A).

K.M. Prasad, K.S. Mohana,Core EP inverse, Linear and Multilinear Algebra, 62 (3) (2014) 792-802.

Lainversa core EPdeAes la única matrizX∈_Cn×n_{tal que}

XAX=X y R(X) =R(X∗) =R(Ak).

Teorema

SeaA∈Cn×ntal que Ind(A) =k.EntoncesX∈Cn×nes la inversa core EP deAsi y sólo siXsatisface las condiciones

Motivación de este trabajo

O.Baksalary, G. Trenkler,Core inverse of matrices, Linear and Multilinear Algebra, 58 (6) (2010) 681-697.

Lainversa coredeA∈Cn×nes la única matrizX∈Cn×nsatisfaciendo

AX=PA=AA† y R(X)⊂ R(A).

K.M. Prasad, K.S. Mohana,Core EP inverse, Linear and Multilinear Algebra, 62 (3) (2014) 792-802.

Lainversa core EPdeAes la única matrizX∈_Cn×n_{tal que}

XAX=X y R(X) =R(X∗) =R(Ak).

Teorema

SeaA∈Cn×ntal que Ind(A) =k.EntoncesX∈Cn×nes la inversa core EP deAsi y sólo siXsatisface las condiciones

Motivación de este trabajo

O.Baksalary, G. Trenkler,Core inverse of matrices, Linear and Multilinear Algebra, 58 (6) (2010) 681-697.

Lainversa coredeA∈Cn×nes la única matrizX∈Cn×nsatisfaciendo

AX=PA=AA† y R(X)⊂ R(A).

K.M. Prasad, K.S. Mohana,Core EP inverse, Linear and Multilinear Algebra, 62 (3) (2014) 792-802.

Lainversa core EPdeAes la única matrizX∈_Cn×n_{tal que}

XAX=X y R(X) =R(X∗) =R(Ak).

Teorema

SeaA∈Cn×ntal que Ind(A) =k.EntoncesX∈Cn×nes la inversa core EP deAsi y sólo siXsatisface las condiciones

Motivación de este trabajo

O.Baksalary, G. Trenkler,Core inverse of matrices, Linear and Multilinear Algebra, 58 (6) (2010) 681-697.

Lainversa coredeA∈Cn×nes la única matrizX∈Cn×nsatisfaciendo

AX=PA=AA† y R(X)⊂ R(A).

K.M. Prasad, K.S. Mohana,Core EP inverse, Linear and Multilinear Algebra, 62 (3) (2014) 792-802.

Lainversa core EPdeAes la única matrizX∈_Cn×n_{tal que}

XAX=X y R(X) =R(X∗) =R(Ak).

Teorema

SeaA∈Cn×ntal que Ind(A) =k.EntoncesX∈Cn×nes la inversa core EP deAsi y sólo siXsatisface las condiciones

Motivación de este trabajo

O.Baksalary, G. Trenkler,Core inverse of matrices, Linear and Multilinear Algebra, 58 (6) (2010) 681-697.

Lainversa coredeA∈Cn×nes la única matrizX∈Cn×nsatisfaciendo

AX=PA=AA† y R(X)⊂ R(A).

K.M. Prasad, K.S. Mohana,Core EP inverse, Linear and Multilinear Algebra, 62 (3) (2014) 792-802.

Lainversa core EPdeAes la única matrizX∈_Cn×n_{tal que}

XAX=X y R(X) =R(X∗) =R(Ak).

Teorema

SeaA∈Cn×ntal que Ind(A) =k.EntoncesX∈Cn×nes la inversa core EP deAsi y sólo siXsatisface las condiciones

Antecedentes del Problema

X. Wang,Core-EP decomposition and its applications, Linear Algebra and its Applications, 508 (2016) 289-300.

Teorema

Toda matrizA∈_Cn×n_{admite una única descomposición de la forma}

A=A1+A2, A1=U " T S 0 0 # U∗, A2=U " 0 0 0 N # U∗, dondeT es invertible con rk(T) =rk(Ak_{),Nes nilpotente con índicekyUes} unitaria. Dicha representación es llamada ladescomposición core EPdeA. Teorema

SeaA=A1+A2la descomposición core EP deAtal que Ind(A) =k. Entonces A† =A₁#.Más aún, A† =U " T−1 ₀ 0 0 # U∗.

Antecedentes del Problema

X. Wang,Core-EP decomposition and its applications, Linear Algebra and its Applications, 508 (2016) 289-300.

Teorema

Toda matrizA∈_Cn×n_{admite una única descomposición de la forma}

A=A1+A2, A1=U " T S 0 0 # U∗, A2=U " 0 0 0 N # U∗, dondeT es invertible con rk(T) =rk(Ak_{),Nes nilpotente con índicekyUes} unitaria. Dicha representación es llamada ladescomposición core EPdeA.

Teorema

SeaA=A1+A2la descomposición core EP deAtal que Ind(A) =k. Entonces A† =A₁#.Más aún, A† =U " T−1 ₀ 0 0 # U∗.

Antecedentes del Problema

X. Wang,Core-EP decomposition and its applications, Linear Algebra and its Applications, 508 (2016) 289-300.

Teorema

Toda matrizA∈_Cn×n_{admite una única descomposición de la forma}

A=A1+A2, A1=U " T S 0 0 # U∗, A2=U " 0 0 0 N # U∗, dondeT es invertible con rk(T) =rk(Ak_{),Nes nilpotente con índicekyUes} unitaria. Dicha representación es llamada ladescomposición core EPdeA. Teorema

SeaA=A1+A2la descomposición core EP deAtal que Ind(A) =k. Entonces A† =A₁#.Más aún, A† =U " T−1 ₀ 0 0 # U∗.

Una nueva caracterización de la

inversa core EP

Resultado Principal

D.E. Ferreyra, F.E. Levis, N. Thome,Revisiting the core EP and its extension to rectangular matrices, Quaestiones Mathematicae, to appear.

A continuación, damos una condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada sea core EP invertible.

Teorema

SeaA∈Cn×ntal que Ind(A) =k.EntoncesX ∈Cn×nes la inversa core EP deAsi y sólo siXsatisface las condiciones

AX=P_Ak y R(X)⊂ R(Ak). Más aún,X= (APAk)†, dondePAk=Ak(Ak)†.

Resultado Principal

D.E. Ferreyra, F.E. Levis, N. Thome,Revisiting the core EP and its extension to rectangular matrices, Quaestiones Mathematicae, to appear.

A continuación, damos una condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada sea core EP invertible.

Teorema

SeaA∈Cn×ntal que Ind(A) =k.EntoncesX ∈Cn×nes la inversa core EP deAsi y sólo siXsatisface las condiciones

AX=P_Ak y R(X)⊂ R(Ak). Más aún,X= (APAk)†, dondePAk=Ak(Ak)†.

Propiedades de la inversa core EP

Es conocido que inversa coreA# pertence a la claseA{1}. Es interesante preguntarse qué ocurre con la inversa core EP.

Teorema

SeaA∈Cn×n. Las siguientes condiciones son equivalentes

(i) A† ∈A{1},

(ii) Ind(A)≤1,

(iii) A∈A{1}.

Más aún, en este caso,A† =A=A#.

Propiedades de la inversa core EP

Es conocido que inversa coreA# pertence a la claseA{1}. Es interesante preguntarse qué ocurre con la inversa core EP.

Teorema

SeaA∈Cn×n. Las siguientes condiciones son equivalentes

(i) A† ∈A{1},

(ii) Ind(A)≤1,

(iii) A∈A{1}.

Más aún, en este caso,A† =A=A#.

Propiedades de la inversa core EP

Es conocido que inversa coreA# pertence a la claseA{1}. Es interesante preguntarse qué ocurre con la inversa core EP.

Teorema

SeaA∈Cn×n. Las siguientes condiciones son equivalentes

(i) A† ∈A{1},

(ii) Ind(A)≤1,

(iii) A∈A{1}.

Más aún, en este caso,A† =A=A#.

Propiedades de la inversa core EP

Es conocido que si Ind(A)≤1entonces(A#)# =APAyA# es necesariamente EP .

A continuación veremos que la inversa core EP satisface las mismas propiedades.

Teorema

SeaA∈Cn×ntal que Ind(A) =k.Entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas

(i) A† es EP;

(ii) A(A†)2=A†;

(iii) (A†)† =APAk;

Propiedades de la inversa core EP

Es conocido que si Ind(A)≤1entonces(A#)# =APAyA# es necesariamente EP .

A continuación veremos que la inversa core EP satisface las mismas propiedades.

Teorema

SeaA∈Cn×ntal que Ind(A) =k.Entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas

(i) A† es EP;

(ii) A(A†)2=A†;

(iii) (A†)† =APAk;

Reprentación y cálculo de la

inversa core EP

Forma canónica de la inversa core EP

Toda matrizA∈Cn×nde rangor >0admite la descomposición de

Hartwig-Spindelböck dada por

A=U " ΣK ΣL 0 0 # U∗,

dondeU∈Cn×nes unitaria,Σ =diag(σ1Ir1, σ2Ir2· · ·, σtIrt),σison los valores singulares deA,σ1> σ2>· · ·> σt>0, r1+r2+· · ·+rt=ry K∈Cr×r,L∈Cr×(n−r)satisfacenKK∗+LL∗=Ir.

Teorema

SeaA∈Cn×nescrita en la forma de Hartwig-Spindelböck. Entonces

A† =U " (ΣK)† 0 0 0 # U∗.

Forma canónica de la inversa core EP

Toda matrizA∈Cn×nde rangor >0admite la descomposición de

Hartwig-Spindelböck dada por

A=U " ΣK ΣL 0 0 # U∗,

dondeU∈Cn×nes unitaria,Σ =diag(σ1Ir1, σ2Ir2· · ·, σtIrt),σison los valores singulares deA,σ1> σ2>· · ·> σt>0, r1+r2+· · ·+rt=ry K∈Cr×r,L∈Cr×(n−r)satisfacenKK∗+LL∗=Ir.

Teorema

SeaA∈Cn×nescrita en la forma de Hartwig-Spindelböck. Entonces

A† =U " (ΣK)† 0 0 0 # U∗.

Forma canónica de la inversa core EP

Toda matrizA∈Cn×nde rangor >0admite la descomposición de

Hartwig-Spindelböck dada por

A=U " ΣK ΣL 0 0 # U∗,

dondeU∈Cn×nes unitaria,Σ =diag(σ1Ir1, σ2Ir2· · ·, σtIrt),σison los valores singulares deA,σ1> σ2>· · ·> σt>0, r1+r2+· · ·+rt=ry K∈Cr×r,L∈Cr×(n−r)satisfacenKK∗+LL∗=Ir.

Teorema

SeaA∈Cn×nescrita en la forma de Hartwig-Spindelböck. Entonces

A† =U " (ΣK)† 0 0 0 # U∗.

Forma canónica de la inversa core EP

En [2, Lemma 2] y [3, Theorem 2.5], se probó que

A=U " (ΣK)† 0 0 0 # U∗ y Ad,†=U " (ΣK)d ₀ 0 0 # U∗, respectivamente. Corolario

SeaA∈Cn×nescrita en la forma de Hartwig-Spindelböck. Las siguientes condiciones son equivalentes

(i) A† =A;

(ii) Ad,†=A;

(iii) ΣKes EP.

Forma canónica de la inversa core EP

En [2, Lemma 2] y [3, Theorem 2.5], se probó que

A=U " (ΣK)† 0 0 0 # U∗ y Ad,†=U " (ΣK)d ₀ 0 0 # U∗, respectivamente. Corolario

SeaA∈Cn×nescrita en la forma de Hartwig-Spindelböck. Las siguientes condiciones son equivalentes

(i) A† =A;

(ii) Ad,†=A;

(iii) ΣKes EP.

Forma canónica de la inversa core EP

En [2, Lemma 2] y [3, Theorem 2.5], se probó que

A=U " (ΣK)† 0 0 0 # U∗ y Ad,†=U " (ΣK)d ₀ 0 0 # U∗, respectivamente. Corolario

SeaA∈Cn×nescrita en la forma de Hartwig-Spindelböck. Las siguientes condiciones son equivalentes

(i) A† =A;

(ii) Ad,†=A;

(iii) ΣKes EP.

Más propiedades de la inversa core EP

Teorema

SeaA∈Cn×ntal que Ind(A) =k. Entonces

(i) AA† es un proyector ortogonal sobreR(Ak_).

(ii) A†Aes un proyector oblicuo sobreR(Ak_{)a lo largo deN((A}k+1₎∗ A).

Teorema

SeaA∈Cn×n. Las siguientes condiciones son equivalentes

(i) Aes EP;

(ii) (A†)† =A;

(iii) (A†)†=A;

(iv) (A†)† =A;

(v) APA=A.

Más propiedades de la inversa core EP

Teorema

SeaA∈Cn×ntal que Ind(A) =k. Entonces

(i) AA† es un proyector ortogonal sobreR(Ak_).

(ii) A†Aes un proyector oblicuo sobreR(Ak_{)a lo largo deN((A}k+1₎∗ A).

Teorema

SeaA∈Cn×n. Las siguientes condiciones son equivalentes

(i) Aes EP;

(ii) (A†)† =A;

(iii) (A†)†=A;

(iv) (A†)† =A;

(v) APA=A.

O.M. Baksalary, G. Trenkler,Core inverse of matrices, Linear and Multilinear Algebra, 58 (6) (2010) 681-697.

O.M. Baksalary, G. Trenkler,On a generalized core inverse, Applied Mathematics&Compututation, 236 (2014) 450-457.

S.B. Malik, N. Thome,On a new generalized inverse for matrices of an

arbitrary index, Applied Mathematics&Compututation, 226 (2014)

575-580.

K.M. Prasad, K.S. Mohana,Core EP inverse, Linear and Multilinear Algebra, 62 (3) (2014) 792-802.

X. Wang,Core-EP decomposition and its applications, Linear Algebra and its Applications, 508 (2016) 289-300.