Estadística II. Estimación por intervalos

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Estadística II

4. Estimación por Intervalos

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Introducción ϑ ϑ − = ˆ e S I S I P(ϑˆ ≤ ϑ≤ ϑˆ ) =1−α ϑˆ < ϑˆ

(3)

Introducción S I S I P(ϑˆ ≤ ϑ≤ ϑˆ ) =1−α ϑˆ < ϑˆ

(4)

Introducción

Procedimiento para obtener un intervalo para un parámetro

Por ejemplo, la media poblacional:

1. Seleccionar el Estimador del parámetro y su distribución

2. Determinar los valores a y b tales que 3. Estandarizar los valores

( )       ≈ ⇒ ≈ n σ μ, σ μ, 2 2 N X N X α − = ≤ ≤ ) 1 (a X b P α σ µ σ µ σ µ =       ≤ − ≤ − 1 n b n X n a P

(5)

Introducción α σ µ σ µ σ µ =             − ≤ − ≤ − ≈ 1 ) 1 , 0 ( n b n X n a P N Z    α σ µ α α  = −      + ≤ − ≤ − 1 2 Z1 2 1 n X Z P

(6)

Introducción α σ µ σ σ µ σ σ µ α α  = −      + =       + =       ≤ − ≤ − − − · · 1 95 , 0 · 96 , 1 · 96 , 1 95 , 0 96 , 1 96 , 1 2 1 2 1 n Z X n Z X P r Generaliza n X n X P n X P

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Introducción

ESTIMADOR ± coef CONFIANZA · Error estándar del Estimador

    + n Z X n Z X σ σ µ 1 α 2· ; 1 α 2· n Z X ± 1−α 2· σ

ESTIMADOR ± error de estimación

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Interpretación Nivel de Confianza

Simulación: Intervalo de confianza para la media poblacional

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Definición de intervalo de confianza

I.C. PARA LA MEDIA EN POBLACIONES NORMALES. A.-La varianza poblacional es conocida:

(

, 2

)

N( )0;1 n x z n N X ≈ ⇒ x = − ≈ σ µ σ µ -zα/2 1-α α / 2 α / 2 zα/2 (− zα/2 < z < zα/2)=1−α P x α σ µ σ α α  = −      < < + 1 2 / 2 / n z x n z x P

(10)

Definición de intervalo de confianza

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA EN POBLACIONES NORMALES.

B.-La varianza poblacional es desconocida:

(

)

( 1) 2 , ⇒ = − ≈ t n n s x t n N X µ σ µ (−t(n1),α/2 <tx <t(n1),α/2)=1−α P - t α / 2 1 - α α / 2 α / 2 t α / 2 P x t s n x t s n n n − < < +     = − − − ( 1) /α 2 µ ( 1) /α 2 1 α

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Definición de intervalo de confianza

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS POBLACIONALES.

A.-Las varianzas poblacionales conocidas:

α σ σ µ µ σ σ α α  = −       + + − < − < + − − ) ( ) 1 ( 2 2 2 / 2 2 2 / y y x x y x y y x x n n z y x n n z y x P

(

)

(

)

(

)

( )0,1 n σ n σ μ μ Y -X n σ n σ , μ μ N Y -X y 2 y x 2 x x y y 2 y x 2 x x y ZN + + − = ⇒         + + ≈

(12)

Definición de intervalo de confianza

B.-Las varianzas poblacionales son iguales, pero no conocidas: ( ) ( )

(

)

( 2) y x 2 x y y 2 y x 2 x x y n 1 n 1 · μ μ Y -X n σ n σ , μ μ N Y -X ≈ +         + + − = ⇒         + + ≈ y x n n p t S t ( ) ( ) 2 n n S 1 n S 1 n ponderada, muestral Varianza y x 2 2 2 − + − + − = x x y y p S P x y t s n n x y t s n n p x y x y p x y ( − ) − /  + ( ) ( ) /    < − < − +  +            = − α 2 µ µ α α 2 2 2 1 1 1 1 1

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Definición de intervalo de confianza

C.-Las varianzas poblacionales son distintas y no conocidas nx < 30 y ny < 30: ( ) ( ) ( ) ( ) y 2 y x 2 x x y y 2 y x 2 x x y n S n S μ μ Y -X n σ n σ , μ μ N Y -X tt v + + − = ⇒         + + ≈ ( ) ( ) 1 n n S 1 n S n S n S y y 2 y 2 2 2 2 2 2 − + − =       + x x x y x x x n v P x y t s n s n x y t s n s n x x y y x y x x y y ( − ) − ( ) /  + ( ) ( ) ( ) /    < − < − +  +            = − γ α 2 µ µ γ α α 2 2 2 2 2 1

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Definición de intervalo de confianza

INTERVALO DE CONFIANZA DE LA PROPORCIÓN POBLACIONAL. ( )0,1 · ˆ · , ˆ N n q p p p Z n q p p N p  ⇒ = − ≈      ≈ α α α  = −      + < < − · ˆ · 1 ˆ /2 /2 n q p z p p n q p z p P -zα/2 1-α α / 2 α / 2 zα/2 α α α  = −      + < < − ˆ·ˆ ˆ ˆ·ˆ 1 ˆ /2 /2 n q p z p p n q p z p P

(15)

Definición de intervalo de confianza

INTERVALO DE CONFIANZA PARA DIFERENCIA DE PROPORCIONES POBLACIONALES. ) 1 , 0 ( ) ( ) ˆ ˆ ( , ) ˆ ˆ ( N n q p n q p p p p p Z n q p n q p p p N p p y y y x x x y x y x y y y x x x y x y x ≈ + − − − =         + − ≈ − α α α  = −       + + − < − < + − − ˆ ) ˆ ˆ ˆ ˆ ( ˆ ˆ ) ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ( /2 /2 y y y x x x y x y x y y y x x x y x n q p n q p z p p p p n q p n q p z p p P

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( )2n−1 χ 2 I χ 2 S χ α − 1 x

Definición de intervalo de confianza

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA POBLACIONAL Población Normal ( ) 2 ) 1 ( 2 2 ·S 1 − = − n n χ σ α χ σ χ  = −      < − < ( 12) 2 1 2 2 S I s n P α χ σ χ  = −     < < − 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 2 2 I S s n s n P

(17)

(nx−1;ny−1) F I F FS α − 1 x

Definición de intervalo de confianza

INTERVALO DE CONFIANZA PARA EL COCIENTE DE VARIANZAS POBLACIONALES Poblaciones Normales α σ σ − =         < < · 1 · 2 2 2 2 2 2 x y S x y x y I S S F S S F P ( 1; 1) 2 2 2 2 · ≈ y x n n x y y x F S S σ σ α σ σ − =         < < · 2 1 2 2 2 S x y y x I F S S F P

(18)

Control del Intervalo de Confianza  Nivel de Confianza Tamaño Muestral -2,58 -1,96 -1,64 +1,64 +1,96 +2,58 90% 95% 99%

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Control del Intervalo de Confianza P x z n x z n − < < +     = − α α σ µ σ α /2 /2 1 n z A = 2 α /2 σ n z A = 4 2 2 2 2 α/ σ e x z n = − =| µ| α 2/ σ 2 2 2 2 / e z n = α σ .

1- I.C. Media Poblacional

(a)Población Normal-Varianza conocida

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Control del Intervalo de Confianza α α α  = −      + < < − ˆ 1 ˆ /2 /2 n pq z p p n pq z p P 2 2 2 / 4 A pq z n = α 2 2 2 / ) 1 ( e z p p n = − α .

1- I.C. Proporción Poblacional

2 2 2 2 / ), 1 ( 4 A S t n = n− α 2 2 2 2 / ), 1 ( e S t n = n− α

(b)Población Normal-Varianza desconocida

P x t s n x t s n n n − < < +     = − − − ( 1) /α 2 µ ( 1) /α 2 1 α

Figure

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Referencias

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