Estadística II
4. Estimación por Intervalos
Introducción ϑ ϑ − = ˆ e S I S I P(ϑˆ ≤ ϑ≤ ϑˆ ) =1−α ϑˆ < ϑˆ
Introducción S I S I P(ϑˆ ≤ ϑ≤ ϑˆ ) =1−α ϑˆ < ϑˆ
Introducción
Procedimiento para obtener un intervalo para un parámetro
Por ejemplo, la media poblacional:
1. Seleccionar el Estimador del parámetro y su distribución
2. Determinar los valores a y b tales que 3. Estandarizar los valores
( ) ≈ ⇒ ≈ n σ μ, σ μ, 2 2 N X N X α − = ≤ ≤ ) 1 (a X b P α σ µ σ µ σ µ = − − ≤ − ≤ − 1 n b n X n a P
Introducción α σ µ σ µ σ µ = − − ≤ − ≤ − ≈ 1 ) 1 , 0 ( n b n X n a P N Z α σ µ α α = − + ≤ − ≤ − 1− 2 Z1− 2 1 n X Z P
Introducción α σ µ σ σ µ σ σ µ α α = − − ≤ ≤ + = − ≤ ≤ + = ≤ − ≤ − − − · · 1 95 , 0 · 96 , 1 · 96 , 1 95 , 0 96 , 1 96 , 1 2 1 2 1 n Z X n Z X P r Generaliza n X n X P n X P
Introducción
ESTIMADOR ± coef CONFIANZA · Error estándar del Estimador
− + ∈ − − n Z X n Z X σ σ µ 1 α 2· ; 1 α 2· n Z X ± 1−α 2· σ
ESTIMADOR ± error de estimación
Interpretación Nivel de Confianza
Simulación: Intervalo de confianza para la media poblacional
Definición de intervalo de confianza
I.C. PARA LA MEDIA EN POBLACIONES NORMALES. A.-La varianza poblacional es conocida:
(
, 2)
N( )0;1 n x z n N X ≈ ⇒ x = − ≈ σ µ σ µ -zα/2 1-α α / 2 α / 2 zα/2 (− zα/2 < z < zα/2)=1−α P x α σ µ σ α α = − − < < + 1 2 / 2 / n z x n z x PDefinición de intervalo de confianza
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA EN POBLACIONES NORMALES.
B.-La varianza poblacional es desconocida:
(
)
( 1) 2 , ⇒ = − ≈ − ≈ t n n s x t n N X µ σ µ (−t(n−1),α/2 <tx <t(n−1),α/2)=1−α P - t α / 2 1 - α α / 2 α / 2 t α / 2 P x t s n x t s n n n − < < + = − − − ( 1) /α 2 µ ( 1) /α 2 1 αDefinición de intervalo de confianza
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS POBLACIONALES.
A.-Las varianzas poblacionales conocidas:
α σ σ µ µ σ σ α α = − + + − < − < + − − ) ( ) 1 ( 2 2 2 / 2 2 2 / y y x x y x y y x x n n z y x n n z y x P
(
)
(
)
(
)
( )0,1 n σ n σ μ μ Y -X n σ n σ , μ μ N Y -X y 2 y x 2 x x y y 2 y x 2 x x y Z ≈ N + + − = ⇒ + + ≈Definición de intervalo de confianza
B.-Las varianzas poblacionales son iguales, pero no conocidas: ( ) ( )
(
)
( 2) y x 2 x y y 2 y x 2 x x y n 1 n 1 · μ μ Y -X n σ n σ , μ μ N Y -X ≈ + − + + − = ⇒ + + ≈ y x n n p t S t ( ) ( ) 2 n n S 1 n S 1 n ponderada, muestral Varianza y x 2 2 2 − + − + − = x x y y p S P x y t s n n x y t s n n p x y x y p x y ( − ) − / + ( ) ( ) / < − < − + + = − α 2 µ µ α α 2 2 2 1 1 1 1 1Definición de intervalo de confianza
C.-Las varianzas poblacionales son distintas y no conocidas nx < 30 y ny < 30: ( ) ( ) ( ) ( ) y 2 y x 2 x x y y 2 y x 2 x x y n S n S μ μ Y -X n σ n σ , μ μ N Y -X t ≈t v + + − = ⇒ + + ≈ ( ) ( ) 1 n n S 1 n S n S n S y y 2 y 2 2 2 2 2 2 − + − = + x x x y x x x n v P x y t s n s n x y t s n s n x x y y x y x x y y ( − ) − ( ) / + ( ) ( ) ( ) / < − < − + + = − γ α 2 µ µ γ α α 2 2 2 2 2 1
Definición de intervalo de confianza
INTERVALO DE CONFIANZA DE LA PROPORCIÓN POBLACIONAL. ( )0,1 · ˆ · , ˆ N n q p p p Z n q p p N p ⇒ = − ≈ ≈ α α α = − + < < − · ˆ · 1 ˆ /2 /2 n q p z p p n q p z p P -zα/2 1-α α / 2 α / 2 zα/2 α α α = − + < < − ˆ·ˆ ˆ ˆ·ˆ 1 ˆ /2 /2 n q p z p p n q p z p P
Definición de intervalo de confianza
INTERVALO DE CONFIANZA PARA DIFERENCIA DE PROPORCIONES POBLACIONALES. ) 1 , 0 ( ) ( ) ˆ ˆ ( , ) ˆ ˆ ( N n q p n q p p p p p Z n q p n q p p p N p p y y y x x x y x y x y y y x x x y x y x ≈ + − − − = + − ≈ − α α α = − + + − < − < + − − ˆ ) ˆ ˆ ˆ ˆ ( ˆ ˆ ) ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ( /2 /2 y y y x x x y x y x y y y x x x y x n q p n q p z p p p p n q p n q p z p p P
( )2n−1 χ 2 I χ 2 S χ α − 1 x
Definición de intervalo de confianza
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA POBLACIONAL Población Normal ( ) 2 ) 1 ( 2 2 ·S 1 − = − n n χ σ α χ σ χ = − < − < ( 12) 2 1 2 2 S I s n P α χ σ χ = − − < < − 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 2 2 I S s n s n P
(nx−1;ny−1) F I F FS α − 1 x
Definición de intervalo de confianza
INTERVALO DE CONFIANZA PARA EL COCIENTE DE VARIANZAS POBLACIONALES Poblaciones Normales α σ σ − = < < · 1 · 2 2 2 2 2 2 x y S x y x y I S S F S S F P ( 1; 1) 2 2 2 2 · ≈ − − y x n n x y y x F S S σ σ α σ σ − = < < · 2 1 2 2 2 S x y y x I F S S F P
Control del Intervalo de Confianza Nivel de Confianza Tamaño Muestral -2,58 -1,96 -1,64 +1,64 +1,96 +2,58 90% 95% 99%
Control del Intervalo de Confianza P x z n x z n − < < + = − α α σ µ σ α /2 /2 1 n z A = 2 α /2 σ n z A = 4 2 2 2 2 α/ σ e x z n = − =| µ| α 2/ σ 2 2 2 2 / e z n = α σ .
1- I.C. Media Poblacional
(a)Población Normal-Varianza conocida
Control del Intervalo de Confianza α α α = − + < < − ˆ 1 ˆ /2 /2 n pq z p p n pq z p P 2 2 2 / 4 A pq z n = α 2 2 2 / ) 1 ( e z p p n = − α .
1- I.C. Proporción Poblacional
2 2 2 2 / ), 1 ( 4 A S t n = n− α 2 2 2 2 / ), 1 ( e S t n = n− α
(b)Población Normal-Varianza desconocida
P x t s n x t s n n n − < < + = − − − ( 1) /α 2 µ ( 1) /α 2 1 α
