100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

(1)

MARAVILLOSOS

PROBLEMAS DE

MATEMÁTICAS

Libro 3

(2)

Compré una gabardina, un gorro y unas zapatillas y pagué, por todo, 140 euros.

La gabardina me costó 90 euros más que el gorro, y la gabardina y el gorro juntos me costaron 120 euros más que las zapatillas.

¿Cuánto me costó cada prenda?

SOLUCIÓN

Si el gorro y la gabardina me costaron 120 euros más que las zapatillas y todo me costó 140 euros, gorro y gabardina me costaron 130 euros en total y las zapatillas 10 euros.

Por otro lado, como la gabardina me costó 90 más que el gorro y las dos prendas juntas costaron 130 euros, el gorro me costó 20 euros y la gabardina 110 euros.

En resumen,

la gabardina costó 110 euros, el gorro costó 20 euros y las

zapatillas costaron 10 euros

(3)

En un tablero del juego de damas hay que colocar dos fichas, una blanca y otra negra. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ponerse ambas fichas?

SOLUCIÓN

Como hay 64 escaques, hay 64 maneras de colocar una de las fichas. La otra ficha tendrá 63 posiciones libres para ponerla por cada situación de la anterior: en total, 64 x 63.

En conclusión,

se pueden colocar las dos fichas de 4032 maneras

diferentes

(4)

En una ciudad, cuyo plano es el de la figura, se desea ir de la casa situada en la parte superior a la otra.

¿Cuántos caminos diferentes posibles, con la misma longitud que el marcado, pueden llevar de una casa a la otra?

SOLUCIÓN

Numeremos la posibilidad de caminos en cada intersección (desde la casa inicial) y veremos, rápidamente, el número de ellos:

Puede observarse que para llegar a cada cruce, el número de caminos distintos es la suma del número de caminos distintos de los cruces colocados en su lado superior y en su lado izquierdo.

Las sucesivas diagonales de la trama forman el triángulo de Tartaglia (o de Pascal), por lo que sería sencillo ampliar el resultado a un plano de n x n parcelas. En este ejercicio, la cantidad es 35 35

4 7 3 7 + =       +       . Por tanto,

(5)

Tres cazadores disparan, a la vez, a un conejo.

El primer cazador suele acertar 3 veces de cada 5 disparos, el segundo lo consigue 3 veces de cada 10 y el último solamente una vez de cada 10.

¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los cazadores le de al conejo?

SOLUCIÓN

Las probabilidades de acierto de cada uno son, sucesivamente 5 3 , 10 3 y 10 1

, por lo que las probabilidades individuales de fallo son

5 2 , 10 7 y 10 9 .

Según esto, la probabilidad de que fallen los tres será

250 63 10 9 10 7 5 2 = × × . En conclusión, la probabilidad de que acierte alguno será la contraria: 0,748

250 187 250 63 1− = = Por tanto,

la probabilidad de que algún cazador acierte al conejo es

0,748

(6)

Un equipo ciclista está entrenando para la Vuelta a España yendo todos los corredores con una velocidad constante de 35 kilómetros por hora.

En un momento dado, uno de ellos se escapa a una velocidad de 45 kilómetros por hora y recorre 10 kilómetros. Inmediatamente, y siempre a la misma velocidad, regresa y se reintegra en el grupo.

¿Qué tiempo ha transcurrido desde que se fue hasta que volvió con los demás corredores?

SOLUCIÓN

Llamamos t al tiempo, en horas, buscado.

Durante ese tiempo, el grupo ha recorrido 35 kilómetros, y el corredor t 45 kilómetros. t

Los la suma de esos kilómetros son los que ha hecho el pelotón más los que ha hecho el ciclista solitario en su ida y en su vuelta: 20 kilómetros exactamente, pues en el regreso el corredor llega hasta el complemento, que ha hecho el grupo, a los 10 kilómetros de la ida.

Obtenemos entonces que

4 1 20 80 20 10 2 45 35_t+ _t= × = ⇒ _t= ⇒_t= Es decir,

(7)

Dos limpiaparabrisas articulados de 50 cm de longitud tienen sus centros de giro a 50 cm de distancia.

¿Qué superficie del parabrisas barren en total si sus giros abarcan exactamente 180º cada uno?

SOLUCIÓN

Dibujamos el gráfico:

Observamos que la superficie que cubren los parabrisas será la suma de las áreas de los dos semicírculos menos la zona limitada por los arcos OM y MP y el segmento OP .

Es decir, la superficie será S=π×502−2×A cm2

Se trata, entonces, de calcular el área de la zona A. Esta será la diferencia entre las áreas del sector OMP y del triángulo rectángulo OMN

El sector OMP abarca un ángulo de 60 , pues el triángulo º OMP es equilátero de 50 cm de lado. Su área será, por tanto, ₅₀2

6 1

×

×π cm2

El triángulo rectángulo OMN tiene de altura, aplicando el teorema de Pitágoras, 502−252 =25× 3 cm por lo que su área es

2 3 625 2 3 25 25× × ₌ × cm2

De lo anterior, la superficie de la zona coloreada es

2 3 625 50 6 1_× _× 2₋ × = π A cm2, y la superficie pedida 52 , 6318 3 625 50 3 2 2 3 625 50 6 1 2 50 2 502 2 2 _= × × 2+ × =       _× − × × × − × = × − × =π A π π π S cm2 O sea,

(8)

Un abuelo reparte 26 caramelos entre sus cuatro nietos. Se ponen a comerlos y todos toman unos cuantos. Al cabo de una hora, comprueba que a todos les queda el mismo número de caramelos.

Sabiendo que el mayor ha comido tantos como el tercero, que el segundo ha comido la mitad de los que tenía inicialmente y que el cuarto se ha comido tantos como los otros tres juntos, ¿Cómo ha hecho el abuelo el reparto?

SOLUCIÓN

Sea x el número de caramelos que se han comido tanto el mayor como el tercero, e y los que se ha comido el segundo.

Según el enunciado, si llamamos n₁,n₂,n₃,n₄ al reparto original tendremos: 26 4 3 2 1+n +n +n = n ; n₁−x=n₂−y=n₃−x=n₄−

(

x+y+x

)

; _n =₂_y⇒ 2 ⇒ = + ⇒ = + + + + + + ⇒ + = + = = + = ⇒ _, ₂ _, _, ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂₆ ₄ ₆ ₂₆ 4 3 2 1 y x n y n y x n x y y x y y x x y x y n 13 3 2 + =

⇒ _x _y , y los únicos valores enteros positivos que satisfacen la ecuación son x=2, y=3 o 1

,

5 =

= y

x , siendo esta última solución no válida para el problema porque todos comen más de un caramelo.

En suma, n₁=5, n₂ =6, n₃=5,n₄ =10 Es decir,

el mayor y el tercero reciben 5 caramelos cada uno, el

segundo recibe 6 y el cuarto recibe 10 caramelos

(9)

Isidro me comentó un día: “mi madre hubiese querido tener, al menos, 19 hijos pero no lo pudo conseguir. No obstante, mis hermanas eran tres veces más numerosas que mis primas y yo he tenido dos veces menos hermanos que hermanas”.

¿Cuántos hijos e hijas tuvo la madre de Isidro?

SOLUCIÓN

Sea x el número de hijos e hijas pedido. El número de hermanas de Isidro es múltiplo de 3 : n3 , siendo n (número natural) el número de primas.

Por tanto, el número de hermanos de Isidro es x−3n−1, porque a él lo exceptuamos. Según el enunciado,

(

)

2 1 4 2 9 2 3 1 3 2× x− n− = n⇒ x= n+ ⇒x= n+ + n

Si _n=2⇒_x=10 y, para valores mayores admisibles de n se obtiene que x≥19, lo cual contradice el enunciado.

De ahí,

la madre de Isidro tuvo 10 descendientes:

6 hijas y 4 hijos

(10)

Una compañía de aviación tiene todas las rutas directas posibles entre un número determinado de ciudades.

Próximamente va a aumentar la red con 76 nuevos vuelos añadiendo nuevas ciudades y conectándolas entre sí y con las anteriores de manera directa también.

¿Cuántas ciudades tiene, en este momento, interconectadas?, ¿cuántas va a añadir?

= ×

(

−₁

)

+₇₆⇒

=22×19 ⇒ _x _y _x _x _y _x _y _x _y _y _y _x _y

Evidentemente, y en el contexto del problema, x≥2⇒2x+y−1> y>1⇒y=2o4 Si _y=2⇒2_x+1=38, imposible, pues no se obtiene, de la expresión, un número entero. Si _y=4⇒2_x+3=19⇒_x=8

Por lo tanto,

(11)

Un número de tres cifras aumenta en 45 unidades si se permutan las dos cifras de la derecha, y disminuye en 270 si se permutan las dos cifras de la izquierda.

¿Qué sucede cuando se permutan las cifras de los extremos?

SOLUCIÓN

Sea abc el número. Según el enunciado se cumple:

1. _abc+45=_acb⇒100_a+10_b+_c+45=100_a+10_c+_b⇒9_c−9_b=45⇒_c−_b=5 2. _abc−270=_bac⇒100_a+10_b+_c−270=100_b+10_a+_c⇒90_a−90_b=270⇒_a−_b=3 De ambas afirmaciones podemos deducir que c−a =2

Supongamos un incremento de valor k al permutar la cifra de los extremos:

(

)

99 2 198 99 99 99 10 100 10 100 + + + = + + ⇒ = − = × − = × = ⇒ = +k cba a b c k c b a k c a c a abc De ahí,

(12)

Las edades de tres hermanos cumplen que

1. El producto de la edad del mayor por la del menor es igual al cuadrado de la edad del otro

2. La suma de las tres edades es 35

3. La suma de los logaritmos decimales de sus edades es 3 ¿Cuáles con las edades de los tres hermanos?

SOLUCIÓN

Sean x, y, z las tres edades, ordenadas del mayor al menor. Del enunciado se deduce:

1. xz = y2

2. x+y+z=35

3. logx+logy+logz=3

De la última ecuación, log_x+log_y+log_z=3⇒log_xyz=3⇒_xyz=1000 y, con la primera ecuación, 10

1000

3

2_⇒ = = _⇒ =

= y xyz y y

xz y xz=100. Además, por la segunda, x+z=25

Las edades del mayor y del menor son las raíces de la ecuación _p2−25_p+100=0⇒ _p =5, _p=20 por lo que

(13)

Hace tiempo se casó una pareja de distinta nacionalidad: francesa y belga. En la boda, el novio tenía la edad actual de la novia y el producto de las edades de ambos y los años que llevan casados es igual a la edad de quien tiene nacionalidad belga más 1539.

¿Cuántos años llevan casados?, ¿cuál es la edad y la nacionalidad de la novia?

SOLUCIÓN

Sean a la edad del componente del matrimonio que tiene nacionalidad belga y b del de nacionalidad francesa. Sea x los años que llevan casados

Según el enunciado, se verifica que a−b = x y que abx=a+1539. De esta ecuación se deduce que

(

1

)

1539 3 19 1539 1539⇒ × × − = ⇒ × × − = = 4× + = × ×b x a a b x a a b x a

Las posibilidades (razonables) que se deducen son: 1.    = = = = ⇒ × = = × ⇒ = − × ⇒ = 1 82 2 41 41 2 82 81 1 19 x y b x y b x b x b a 2.    = = = = ⇒ × = = × ⇒ = − × ⇒ = 1 58 2 29 29 2 58 57 1 27 x y b x y b x b x b a 3. a=57⇒b×x−1=27⇒b×x=28=22×7⇒b=28 y x=1 4. _a=81_⇒_b×_x−1=19_⇒_b×_x=20=22×5_⇒_b=20 _y _x=1

De todas ellas, solamente la primera posibilidad de la segunda cumple la primera condición: a−b =x De ahí,

(14)

Cuatro amigos quieren comprar un libro, que interesa a todos.

Uno de ellos dice a los demás: “Solo tengo 1 euro. Si me prestáseis la mitad de todo vuestro dinero podría comprarlo”.

Otro le contesta: “También lo compraría yo con lo que tengo y un tercio del dinero que tenéis”.

El tercero apunta: “Yo podría comprarlo con mi dinero y una cuarta parte del vuestro.”

El último apostilla: “Si me dáis la quinta parte de vuestro dinero, con lo que tengo podría comprarlo”. ¿Cuánto cuesta el libro? ¿Cuánto dinero lleva cada uno de los amigos?

SOLUCIÓN

Llamamos x, y, z,t al dinero que lleva cada uno y p al precio del libro. Está claro que x=1 Según el enunciado, ⇒        = + − = − = − − = + + + ⇒        = + − − = − + − = − − = + + + ⇒            + + + = + + + + + + = + + + + + + = + + + = + + + ⇒            = + + + = + + + = + + + = + + + 3 13 4 5 4 3 2 1 8 5 3 3 3 2 4 3 2 1 2 1 5 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1 5 1 4 1 3 1 2 1 t z t z t z y p t z y t z y t z y t z y p t z y t z y z y t t z y t y z t z y t z y p t z y p z y t p t y z p t z y p t z y        = = = = ⇒        = = − = − − = + + + ⇒ 28 25 19 37 28 13 4 5 4 3 2 1 t z y p t t z t z y p t z y Por lo tanto,

el libro cuesta 37 euros

(15)

Encuentra el número xy0yx que es producto de cuatro números consecutivos.

SOLUCIÓN

Si xy0yx es producto de cuatro números consecutivos debe ser múltiplo de 8 y, por tanto, sus tres últimas cifras también:

•

=8 yx

Además, también será múltiplo de 3 , por lo que es evidente que yx=3• En conclusión, yx=24⇒yx=24,48,72o 96

•

Los cuatro números consecutivos no deben tener, como cifras finales, ni 5 ni 0 porque el número buscado acabaría en 0 por lo que, en cuanto a cifras finales, sólo pueden ser 1,2,3,4 o6,7,8,9.

En ambos casos, el producto de las cuatro cifras acaba en 4⇒ _x=4 por lo que,

(16)

Coloca los números de 1 a 8 en cada vértice del cubo de manera que los vértices de cada cara sumen lo mismo.

SOLUCIÓN

Como cada vértice pertenece a tres caras y 1+2+3+4+5+6+7+8=36 la suma total de las caras será 108

3

36× = y, al haber 6 caras, la suma de los vértices de cada cara será 18 6 108

=

También debe pensarse que los números deben ir equilibrados, por lo que podemos ir preparando parejas de números que sumen 9 y combinarlas (1−8,2−7,3−6,4−5)

Teniendo cuatro caras juntando esos pares, es cuestión, de probar las posibilidades de las otras dos. Así, enseguida se llega a una de las posibles soluciones:

(17)

Identifica todos los números de 1 a 9 en este criptograma que se compone de un producto y una suma y construye estas operaciones, sabiendo que a letra distinta le corresponde un número diferente.

SOLUCIÓN

Evidentemente, C ≠1, por lo que A≤4.

Si A≠1 debe cumplirse que D≥6 lo que determinaría que F ≤3 y H ≥7 y las posibilidades factibles, en este caso, no existirían: pueden ir comprobándose partiendo (en principio) de que si

... 1 3 2_y ⇒_F = ⇒ son A y C

(18)

Una millonaria sin familia, en su lecho de muerte, decide hacer testamento repartiendo entre sus sirvientes el dinero que tiene.

Siguiendo un orden de antigüedad en la casa, al más veterano le otorga un millón de euros más un séptimo de la cantidad restante, al siguiente dos millones más un séptimo del resto, al tercero tres millones más un séptimo de lo que queda y así sucesivamente hasta que todos recibieran su parte. El notario, asombrado, se da cuenta de que todos recibían la misma cantidad de dinero.

¿Cuánto dinero reparte la millonaria?, ¿cuántos sirvientes tiene?

SOLUCIÓN

Si llamamos x a la cantidad que reparte los dos primeros sirvientes van a obtener la misma cantidad, por lo

que

(

)

(

)

_      −       − × + − × + = − × + 1000000 2000000 7 1 1000000 7 1 2000000 1000000 7 1 1000000 x x x

Simplificando obtenemos que + = + × − ⇒

7 20000000 6 7 1 2000000 7 6000000 x x 36000000 6 78000000 7 42000000 49 6 78000000 7 6000000 = ⇒ + = + ⇒ + = + ⇒ x x x x x

El reparto, entonces, fue de 35000000 6000000 7

1

1000000+ × = para cada persona, por lo que había 6

6000000 36000000

= sirvientes.

(19)

Un comerciante de productos audiovisuales decide subir el precio de sus televisores, ¡en esta época de crisis!, un 10% de su valor.

Al cabo de dos meses, y viendo que sus ventas han descendido notablemente, decide bajar su precio el 10%.

¿El precio es el mismo que antes de subirlos?, ¿cuál es la diferencia, si la hay?

SOLUCIÓN

Sea T el precio inicial de un televisor. Al aumentar un 10%, su precio es T×1,1

Si después disminuye el precio de ese momento en un 10% el nuevo precio será T×1,1×0,9=T×0,99 Por tanto,

(20)

En un círculo se inscribe un rectángulo y, en éste, un rombo con sus vértices en los puntos medios de los lados del rectángulo.

¿Cuál es el perímetro del rombo si el diámetro del círculo es de 10 centímetros?

SOLUCIÓN

Está claro, dibujando el problema, que los lados del rombo equivalen a los radios del círculo, por lo que

el perímetro del rombo es de 20

centímetros

(21)

Un constructor quiere dar una cantidad extra a sus operarios.

Con la cantidad que ha pensado distribuir, si da 50 euros a cada uno le sobran 5 euros y si da 51 euros a cada uno le faltarán 3 euros.

¿Cuántos son los operarios?, ¿cuánto pensaba repartir?

SOLUCIÓN

Sea x el número de operarios e y la cantidad que piensa repartir. De ahí, 51_x−3=50_x+5⇒_x=8

Además, y=50x+5=50×8+5=405 En conclusión,

(22)

Un chico, que vive en el último piso de su casa, baja la escalera de tres en tres peldaños y la sube de dos en dos, dando un total de 100 saltos.

¿Cuántos peldaños tiene la escalera?

SOLUCIÓN

Llamamos n al número de peldaños de la escalera. Según el enunciado da 3 n saltos al bajar y 2 n saltos al

subir, por lo que 120

5 600 600 5 100 2 3 = = ⇒ = ⇒ = +n n n n y

(23)

En un monte hay desperdigadas varias casetas de manera que cada una de ellas está unida a las demás por un camino.

Si hay 36 caminos, ¿cuántas casetas están en el monte?

SOLUCIÓN

Sea n el número de casetas. Como cada camino une un par de casetas y es el mismo para ir de una a otra o viceversa, el número de caminos será el número de combinaciones de las casetas tomadas dos a dos:

(

)

₃₆ ₇₂ ₉ 2 1 36 2 2₋ ₌ _⇒ ₌ ⇒ = − × ⇒ =       n n n n n n

(la otra solución de la ecuación es negativa, lo que no tiene sentido en el contexto del problema).

(24)

Un amigo tiene tres hijos: uno tiene la misma edad que la cifra de las decenas de la edad del padre y otro tiene la misma edad que la cifra de las unidades de la edad de su padre. La edad del restante es, casualmente, la suma de las cifras de la edad del padre. Si ninguno de los niños tiene la misma edad y la suma de todas las edades es 45, ¿qué edades tienen cada uno de los cuatro

integrantes de la familia?

SOLUCIÓN

Llamamos p y q a las edades de los dos primeros hijos. p+q es la edad del tercer hijo y, la edad del padre es pq=10p+q

En estas condiciones, 10_p+_q+ _p+_q+

(

_p+_q

)

=45⇒12_p+3_q=45⇒4_p+_q=15

Como las dos incógnitas planteadas son cifras y distintas, se deduce que la única solución válida se produce cuando p=2 y q=7

Por lo tanto,

(25)

El uno de enero de 1886 la población de cierta ciudad europea era de P habitantes.

Durante ese año el número de defunciones se elevó a 1/42 de la población y el de nacimientos a 1/35.

Si hubiera ocurrido lo mismo en todos los años sucesivos, ¿en qué año la población se incrementaría en su mitad?

SOLUCIÓN

La proyección de incremento para la población es, para el año siguiente, de P P P P 210 211 35 42+ =

− habitantes

y, en años sucesivos, de un incremento geométrico de razón

210 211

=

r .

Por tanto, la época en la que se incrementa la mitad la población inicial corresponderá a n años después en donde 2 3 210 211 2 3 210 211 1 1 =       ⇒ =       × − − n n P

P , según la relación de términos de una progresión geométrica.

De ahí, aplicando logaritmos, ₁ ₈₅_,₃₅ ₁ ₈₆_,₃₅ 210 211 ln 2 3 ln 210 211 ln 2 3 ln 1 + = + =             = ⇒             = − n n En conclusión,

la población de 1886 se incrementaría en su mitad a lo

largo del año 1972

(26)

Calcula la superficie del círculo naranja tangente a los lados del cuadrado y a la semicircunferencia dibujada en la figura sabiendo que el lado del cuadrado mide 2 centímetros.

SOLUCIÓN

Sea x el radio del círculo y construimos el triángulo rectángulo ABC Según se ve en la figura, tenemos que

x AB=1− x AC=2− x BC=1+ Aplicando el teorema de Pitágoras,

(

−

) (

+ −

) (

= +

)

⇒ ⇒ = + 2 2 2 2 2 2 1 2 1 x x x BC AC AB ⇒ = + − ⇒ + + = + − + + − ⇒_x2 ₂_x ₁ _x2 ₄_x ₄ _x2 ₂_x ₁ _x2 ₈_x ₄ ₀ 12 4± =

⇒_x , y se desecha el valor mayor que el lado del cuadrado, luego el radio es ⇒_x=4−2× 3 cm El área es, por tanto, π×_x2 =π×

(

4−2× 3

)

2 =0,902224817

Es decir,

(27)

La siembra de un kilo de patatas produce tres kilos al año.

Una familia de granjeros consume 600 kilos al año y el jefe de familia debe comprar la cantidad inicial de patatas suficiente para que la familia tenga, a partir de ese momento, un consumo indefinido.

¿Cuántas patatas, como mínimo, debe comprar?

SOLUCIÓN

Si x es el número mínimo de kilos que deben sembrar al año para mantenerse, deberá cumplirse que la producción de cada año sirva para la el consumo y para sembrar para el próximo año: 3x=x+600 De ahí, 3_x=_x+600⇒2_x=600⇒_x=300

Como el primer año no se ha producido nada, deberá comprar para sembrar y para el consumo de ese primer año, por lo que

(28)

Calcula las medidas de un rectángulo tal que sus lados, diagonal y área estén en progresión aritmética.

SOLUCIÓN

Sean a , b , d = a2+b2 , A=ab las medidas lado menor, lado mayor, diagonal, área del rectángulo que están en progresión aritmética y todos los términos no nulos.

Se deberá cumplir que la diferencia de dos consecutivos es la misma:     − + = + − − = − + b b a b a ab a b b b a 2 2 2 2 2 2 De ahí,

(

)

⇒     + = − − = + ⇒     + = + − = +     ⇒ − + = + − − = − + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b ab a b a b b a b ab b a a b b a b b a b a ab a b b b a         = = ⇒ = = − ⇒      = − = ⇒      − = = ⇒    = − = ⇒    + = − + − = + ⇒ 2 2 3 3 4 3 2 6 3 4 3 2 3 4 3 2 3 4 2 3 4 3 2 4 4 4 2 2 2 2 2 b a a b a a b a a a a a b a b a ab b ab b b ab a b a ab b b a En resumen,

(29)

En una división entera la suma del dividendo y del divisor es 328, y la suma del cociente y el resto es 19. Calcula el dividendo y el divisor.

SOLUCIÓN

Sea la división entera D:d ⇒D=dc+r Se sabe que    = + = + 19 328 r c d D

, cumpliéndose que r<d <D. Por tanto D>164, 19<d <164, r<19 [*] Despejando en las condiciones y sustituyendo en la primera expresión tenemos

(

)

r r r d r dr d r r d d − + = − − = ⇒ − = − ⇒ + − = − 20 308 1 20 328 328 20 19 328

Como 328=22×7×11_{y es divisible por}₂₀−_r_{, estudiamos los posibles valores según las condiciones [*]} a) 20−r=2⇒d =155, r=18⇒c=1⇒D=173

b) 20−r=4⇒d =78, r=16⇒c=3⇒D=250 c) 20−r=7⇒d =45, r=13⇒c=6⇒D=283 d) 20−r=11⇒d =29, r=9⇒c=10⇒D=299 e) 20−r=14⇒d =23, r=6⇒c=13⇒D=305 Por tanto, hay cinco posibilidades:

Dividendo: 173; divisor: 155

Dividendo: 250; divisor: 78

Dividendo: 283; divisor: 45

Dividendo: 299; divisor: 29

Dividendo: 305; divisor: 23

(30)

Agustín, Gustavo y Félix tienen una especial relación entre sus edades.

La suma de dos cualquiera de las tres edades da siempre un número que resulta de invertir las cifras de la tercera edad, y todas suman menos de 100 años.

¿Cuál es la suma de las tres edades?, ¿qué edad tiene el menor?

SOLUCIÓN

Según los datos del problema sean ab, cd y ef las tres edades.

Así,      + = + + + ⇒ = + + = + + + ⇒ = + + = + + + ⇒ = + a b f e d c ba ef cd c d f e b a dc ef ab e f d c b a fe cd ab 10 10 10 10 10 10 10 10 10

. Sumando todo obtenemos que

(

a c e

)

(

b d f

)

f e d c b a f e d c b a+2 +20 +2 +20 +2 = +10 + +10 + +10 ⇒19× + + =8× + + 20 , por lo que s deduce que    = + + = + + n f d b m e c a 19 8

al ser 8 y 19 números primos entre sí.

Sumando las tres edades, ab+cd+ef =10×

(

a+c+e

)

+b+d + f =80m+19n, siendo m y n números naturales. Como la suma es menor de 100 años, deberá ser m=n=1 y ab+cd+ef =99, suma de las tres edades Además, ₉₉ ₁₁ ₁₁ ₉₉ ₉ 99 + = ⇒ = + ⇒ = + ⇒    = + + = + f e f e ef fe ef cd ab fe cd ab y, de la misma manera, a+b=9 y c+d =9

Todas las edades son múltiplos de 9 y    = + + = + + 19 8 f d b e c a

por lo que las únicas posibilidades de edades son 18 , 27 y 54 o 18 , 36 y 45

En conclusión,

(31)

Halla el resultado de la suma SOLUCIÓN Racionalizando la expresión, = + + + + + + + + 99 100 1 ... ... 4 3 1 3 2 1 2 1 1 = − − + + − − + − − + − − = 99 100 99 100 ... ... 3 4 3 4 2 3 2 3 1 2 1 2 9 1 10 1 100 99 100 ... ... 3 4 2 3 1 2− + − + − + + − = − = − = = En resumen,

la suma vale 9

(32)

El dueño de una fábrica con grandes beneficios decide repartir una paga extraordinaria entre sus tres empleados más antiguos. Esa paga será proporcional a los años que cada uno lleva en la empresa.

Sabe que uno lleva tantas semanas como días lleva otro y éste tantos meses como años lleva el tercero.

Si entre todos suman 60 años trabajando allí, ¿cuántos años lleva cada uno de ellos?

SOLUCIÓN

Según el enunciado, el primero último llevará 7 veces los años del segundo y el tercero, a su vez, 12 veces los años del segundo.

Si llamamos x a los años que lleva el segundo, se cumplirá que 7_x+_x+12_x=60⇒20_x=60⇒_x=3 Por tanto,

(33)

Un campo triangular está rodeado por tres campos cuadrados, cada uno de los cuales tiene un lado común con el triángulo. Las superficies de estos tres campos son iguales a 505, 233 y 52 hectáreas.

¿Cuál es la superficie del campo triangular?

SOLUCIÓN

El triángulo tiene de lados a= 505, b= 233 y c= 52, medidos en hectómetros.

Llamando h a la altura del triángulo y x al elemento auxiliar en la base, aplicamos a los dos triángulos rectángulos, creados con la altura, el teorema de Pitágoras: 2 2 52 x h = − ; _h2 =₂₃₃−

(

₅₀₅−_x

)

2 =−₂₇₂+₂× ₅₀₅_x−_x2 ⇒ 505 4 505 16 505 162 52 505 162 324 505 2 2 2 = − = _⇒ = ⇒ = ⇒ = × x x h h

Entonces, la superficie del triángulo es 2 505 4 505 2 1 2 1 = × × = × ×a h ha Es decir,

(34)

Una persona decide invitar a una caña a dos amigos si averiguan, sin comunicarse ningún dato, dos números cuyo producto está comprendido entre 32 y 40.

Al primero le dice el producto de los números y éste, inmediatamente, le dice al oido cuáles son. Al segundo le da después la suma de ambos y

también le dice los números de manera inmediata. De esta manera, los tres se toman las cañas prometidas.

¿Cuáles son los dos números?

SOLUCIÓN

Si el producto está comprendido entre 32 y 40 y el amigo que lo conoce da la respuesta inmediata, esto quiere decir que dicho producto debe tener una descomposición única en dos factores, por lo que debe ser primo. Y el único primo, entre los límites dados, es el 37=1×37

Por eso el primer amigo lo sabe enseguida.

El segundo amigo, según el razonamiento dado y conociendo la suma (habrá recibido 38 como dato), da también la respuesta correcta.

(35)

Expresa, mediante una fórmula, el resultado de la suma

en donde cada sumando tiene un dígito 1 más que el anterior hasta llegar al último, que tiene n dígitos 1.

SOLUCIÓN

Tendremos en cuenta, en el desarrollo, la suma de los m términos de una progresión geométrica:

1 1 1 − − × = r a r a S n m

)

₍

₎

₌ − − × × + − = + + + + × + − × − = − − − 1 10 10 10 10 9 10 9 10 10 10 ... ... 10 10 9 10 9 1 10 1 2 2 1 n n n n n n 81 10 9 10 9 100 10 9 90 1 2 1 − − = − + − = n n+ n+ n

Por lo tanto, la fórmula pedida es

81

10

9

1

(36)

¿Para qué valores positivos de a el producto

es un valor múltiplo de 15?

SOLUCIÓN

Es evidente que el primer factor no puede ser múltiplo de 5 ni el segundo factor múltiplo de 3 , por lo que deberá cumplirse que el primer factor debe ser múltiplo de 3 y el segundo de 5 :

   = + = + n a m a 5 2 3 3 1 5

, siendo m y n números naturales.

De ahí,

(

)

9 1 7 2 9 7 25 10 25 3 9 3 2 5 5 1 3 × − + = ⇒ − = ⇒ − = − ⇒ − = − = m n m n m n m n n a , por lo que n−1

debe ser múltiplo de 9⇒n=9x+1, siendo x=0,1,2,3,...

Sustituyendo en una de las igualdades anteriores,

(

)

15 1 3 3 45 3 2 1 9 5 3 2 5 + = ⇒ + = − + × = − = n x x a x a En resumen,

a

= 15x + 1, siendo x = 0, 1, 2, 3, …:

a

= 1, 16, 31, 46, …

(37)

Estamos en una habitación cuadrada. El piso de la habitación está cubierto con losetas iguales a las de la imagen, formando una cuadrícula de 30 x 30.

Si trazamos una recta que vaya de una esquina de la habitación a la esquina opuesta y pintamos de azul la mitad inferior del piso determinada por la diagonal, ¿cuántas losetas tenemos que por lo menos tengan un pedazo pintado de azul?

SOLUCIÓN

De las 900 losetas existentes, 30 estarán bajo la diagonal que tracemos, pues la cantidad es la misma que las que hay en cada lado de la habitación.

De las restantes, la mitad       = − 435 2 30 900

estarán a un lado de la diagonal y la otra mitad al otro. Las losetas de una de esas mitades más las losetas de la diagonal serán las que tengan todo o algún pedazo pintado de azul, por lo que el total será

(38)

Sea la sucesión 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, … ¿Qué valor tiene el término 2000?

SOLUCIÓN

Si llamamos a la sucesión

( )

a_n , observamos que

• a₁ =1 es el último término de valor 1… y el orden del término es 1

• a₃ =2 es el último término de valor 2 … y el orden del término es 1+2=3

• a₆ =3 es el último término de valor 3 … y el orden del término es 1+2+3=6

• a₁₀ =4 es el último término de valor 4 … y el orden del término es 1+2+3+4=10

• …

De lo anterior se deduce que a_n=m es el último término de valor m … y el orden del término es

(

)

2 2 1 ... 4 3 2 1 2 m m m m m

n= + + + + + = + × = + , según la fórmula que da la suma de los términos de una progresión aritmética.

Buscamos ahora el último término del valor m más próximo y anterior al orden 2000 .

Si 2000 2 2000 2 ≤ + ⇒ ≤ m m n Resolvemos la ecuación 2000 4000 0 62,7475 2 2 2 = ⇒ = − + ⇒ = + x x x x x

desechando el valor negativo.

Determinamos entonces el orden del último término de valor m=62: 1953 2 62 622 = + = n y los 63

siguientes tendrán de valor 63 , entre ellos el que ocupa el lugar 2000 , pues 1953+63=2016>2000 En conclusión,

(39)

Halla el número natural que es el producto de los primos p, q, r, sabiendo que r – q = 2p y rq + p2 = 676 SOLUCIÓN Si

(

)

(

)

   ⇒ = + − + ⇒ − = − ⇒ − = = −    ⇒ = + = − 2074 4 2 4 2074 4 2074 4 4 676 2 2 ₂ ₂ 2 2 2 2 r q rq r q rq rq rq p p q r p rq p q r

(

+

)

2 =2074⇒ + =52 ⇒ r q r q

Según todos los primos inferiores a 52 y sabiendo que

2 q r

p= − también debe ser primo, encontramos las siguientes posibilidades:

47

=

r , q=5⇒ p=21, imposible porque no es primo 41

=

r , q=11⇒ p=15, imposible porque no es primo 29

=

r , q=23⇒ p=3

En suma, el número buscado es 3×23×29=

(40)

La iglesia de San Pedro de Fraga (Huesca) tiene ascendencia visigótica.

Los árabes la convirtieron en mezquita y el 24 de octubre de 1149 fue consagrada al cristianismo durante la conquista de la ciudad. Si multiplicas las cifras de ese año se obtiene 36.

¿Cuántos años pasaron hasta que el producto de las cifras del año volvió a dar 36?

SOLUCIÓN

Factorizando 36 obtenemos 36=22×32 y los divisores son, ordenados, 36 , 24 , 12 , 9 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1

Está claro que el año siguiente tendrá, en su tercer dígito, el 6

Por lo tanto el año en el que volvió a obtenerse 36 como el producto de sus cifras fue 1166 y pasaron

(41)

En cinco garajes hay aparcados cinco automóviles, uno en cada garaje, siendo todos los coches de distinto color y los garajes están numerados, de izquierda a derecha, de 1 a 5

Indica la situación de los coches según su color, y mirando de frente los garajes, si se sabe que

1. El coche blanco no está ni al lado del azul, ni al lado del rojo, ni al lado del gris.

2. El coche verde no está ni al lado del azul ni al lado del gris. 3. El coche azul no está al lado del rojo.

4. El coche gris está a la izquierda del rojo.

SOLUCIÓN

Llamamos B, A, R, G y V a los coches respectivos de color blanco, azul, rojo, gris y verde.

Por la primera condición el coche B debe estar en uno de los extremos, ocupando el garaje 1 o el 5, y el coche V debe ocupar el puesto de al lado, el 2 o el 4.

Por la segunda condición el coche R debe ocupar, obligatoriamente, el garaje 3 al ser adyacente a la posición del coche V.

Y la tercera condición, considerando las anteriores, nos indica que el coche A ocupa otro de los extremos: el garaje 1 o el 5.

La última condición nos indica que el coche G debe ocupar el garaje 2, por lo que el V debe ocupar el garaje 4, B el 5 y A el 1.

Concluyendo, las posiciones de los coches, de izquierda a derecha, son

(42)

Jugando al Mastermind numérico se obtienen las siguientes combinaciones: 3 8 9 5 R R 9 4 5 7 R R 1 2 9 0 R B 7 6 8 0 B 4 6 8 7 R

Averigua el número secreto teniendo en cuenta que R significa número acertado pero no su colocación, y B acertado en su lugar correspondiente.

SOLUCIÓN

Por el cuarto y quinto resultado desechamos los dígitos 6 y 8, y puede ser que a) 0 está en la última posición y el 4 está en otra y el 7 no está

Por el segundo resultado, está el 9 o el 5… uno sólo de los dos y fuera de posición y el 4 debe estar en tercera posición

Por el primer resultado, debe estar el 3 fuera de su posición, por lo tanto su posición correcta es la segunda

Por el tercer resultado, debe estar el 9 y su posición correcta será la primera, lo cual se contradice con el segundo resultado

Por tanto, es imposible la suposición inicial b) 7 está en la primera posición y el 0 y el 4 no están

Por el segundo resultado, está el 9 o el 5… uno sólo de los dos y fuera de posición Por el primer resultado, debe estar el 3 fuera de su posición

Por el tercer resultado, debe estar el 9 (fuera de su posición) y debe estar el 2 en su posición correcta.

El número es, por tanto,

(43)

A un cliente, en un bar, le sirven un vermut en una copa de forma cónica.

Ha indicado al camarero que le llene la copa hasta la mitad de la altura del recipiente. ¿Qué parte del volumen total de la copa beberá?

SOLUCIÓN

Siendo el recipiente un cono, su volumen es V = × ×r2×h

3 1

π , siendo r el radio de la boca de la copa y h la altura del recipiente.

Si el camarero rellena ×h 2 1

, el radio de la superficie de la bebida será proporcional, por el teorema de Thales: ×r

2 1

El volumen será, en este caso, V r × ×h= × ×r ×h= ×V      × × × = 8 1 8 1 3 1 2 1 2 1 3 1 ' 2 2 π Es decir,

(44)

Se ha realizado un torneo de ajedrez en el que han participado 30 niños divididos, de acuerdo con su edad, en dos grupos.

En cada grupo los participantes jugaron una partida contra todos los demás del grupo. Se jugaron, en total, 87 partidas más en el segundo grupo que en el primero.

El ganador del primer grupo no perdió ninguna partida y totalizó 7,5 puntos.

Teniendo en cuenta que se puntúa 1 por partida ganada y 0,5 por tablas, ¿en cuántas partidas hizo tablas el ganador?

SOLUCIÓN

Llamamos n al número de jugadores del primer grupo. 30−n es el número de jugadores del segundo grupo. Según el enunciado, _+ ⇒

(

−

) (

× −

)

= ×

(

−

)

+ ⇒      =       ₋ 87 2 1 2 29 30 87 2 2 30 n n n n n n 12 696 58 174 870 59 2 2₋ ₊ ₌ ₋ ₊ _⇒ ₌ _⇒ ₌ ⇒n n n n n n

Fueron 12 los componentes del primer grupo, por lo que el ganador jugó 11 partidas.

Entones no pudo ganar 7 partidas y empatar 1 (7+1≠11), no pudo ganar 6 partidas y empatar 3 (6+3≠11), no pudo ganar 5 partidas y empatar 5 (5+5≠11), …

Si no perdió ninguna partida, teniendo en cuenta las puntuaciones y el número de juegos, el campeón del primer grupo ganó 4 partidas e

(45)

En un convento hay un fantasma bastante especial. Aparece cuando las campanas de la iglesia del convento empiezan a tocar las 12 campanadas de la medianoche y

desaparece con la última campanada.

Si las campanas tardan 6 segundos en dar 6 campanadas, ¿cuánto dura la aparición del fantasma?

SOLUCIÓN

Según el enunciado las seis primeras campanadas suenan en un periodo de 6 segundos. Al haber cinco intervalos entre cada par de campanadas, cada intervalo será de 1,2

5 6

= segundos.

Las 12 campanadas, que se producen en 11 intervalos, tocarán en 1,2×11=13,2 segundos O sea,

(46)

Entre los antiguos papeles en el desván de una casa se ha encontrado una nota de una venta realizada en el año 1952. La nota dice asi:

“Por la venta de 72 pollos he recibido la cantidad de _67,9_ pesetas”

Parece ser que la primera y la última cifra de la nota no están legibles, seguramente por deficiencias de la conservación, y se han sustituido por guiones.

¿Qué precio tenía cada pollo?

SOLUCIÓN

Llamamos x679y al precio total multiplicado por 100 para evitar decimales. Éste valor debe ser divisible por

8 9 72= ×

Para que sea divisible por 8 las tres últimas cifras deben formar un número divisible por 8 : = ⇒

• 8 79 y 2 8 6 8 6 8 98 6 784 79 = + + = × + + = ⇒ + = ⇒ = ⇒ • • y y y y y

Para que sea divisible por 9 la suma de todas sus cifras debe ser divisible por 9 : + + + + = ⇒

• 9 9 7 6 y x 3 9 6 9 2 4 9 4+ = ⇒ + + = ⇒ + = ⇒ = + ⇒ • • • x x x y x

El precio total de los pollos es de 367,92 pesetas, por lo que = 72

92 , 367

(47)

Nevó abundantemente y, debido a las bajas temperaturas, la nieve se heló. Un vecino quería atravesar la plaza en donde vive, desde el portal nº 26 al portal nº 2. Cada vez que daba un paso (50 cm) se deslizaba 25 cm en el sentido de la pendiente.

Aproximadamente hay 24 m desde el portal nº 26 hasta el centro de la calzada y 10,5 m desde el centro de la calzada hasta el portal nº 2, como se indica en el dibujo.

¿Cuántos pasos debe dar para llegar de un portal a otro?

SOLUCIÓN

Desde el comienzo de la caminata, y hasta el centro de la calzada, cada paso (con el correspondiente deslizamiento) supone 50+25=75 centímetros por lo que hará 32

75 2400

= pasos.

Del centro de la calzada hasta su destino, cada paso supone 50−25=25 centímetros por lo que serían (en teoría) 42

25 1050

= pasos, aunque en el penúltimo ya llegaría con los 50 centímetros y no retrocedería. En este caso, por tanto, hace 41 pasos.

En resumen, hará en total

(48)

En el parque infantil hay un arenero rectangular, con una valla de madera, que mide 4,07 por 2,30 metros.

Con la nueva remodelación se quiere transformar en un arenero cuadrado que tenga el triple de superficie que el anterior.

¿Cuántos metros de valla son necesarios?

SOLUCIÓN

La superficie del arenero actual es 4,07×2,30=9,361 m2 El triple de esta superficie es3×9,361=28,083 m2

El lado de la nueva superficie cuadrada debe ser 28,083=5,3 m Por tanto, la valla necesaria medirá el cuádruple del lado:

(49)

Para favorecer la venta de un tipo de bocadillo, en cierto bar fijaron un precio muy económico. Y al cabo de 2 meses se duplicó el precio. Cuando el dueño vio que la venta de esos bocadillos disminuía, bajó el precio un 20%. El precio final del bocadillo quedó en 1,92 €

¿Cuál era el precio inicial?

SOLUCIÓN

Consideramos x euros el precio inicial del bocadillo. Cuando lo duplicaron costaba 2 euros. x Al bajar el precio el porcentaje citado quedó 1,20

160 192 92 , 1 2 100 80 2 % 80 _de _x= × _x= ⇒_x= =

El precio inicial era

(50)

Para celebrar el fin de temporada de un club deportivo se hizo una comida. Cada cuatro asistentes compartieron una plato de jamón, cada tres una ración de calamares y cada dos una pata de ternasco.

Si en total se sirvieron 65 platos, ¿cuánta gente participó en la comida?

SOLUCIÓN

Si llamamos n al número de asistentes, hubo 4 n platos de jamón, 3 n platos de calamares y 2 n platos de ternasco. De ahí, 60 13 65 12 65 12 13 65 2 3 4 = × = ⇒ = ⇒ = + + n n n n n por lo que

(51)

Encuentra un número hexadecimal de tres dígitos que tenga los mismos dígitos que en base 10 en orden invertido y que represente el mismo número.

SOLUCIÓN

Sea abc el número en base decimal.

Según el enunciado, _abc=₁₀2_a+₁₀_b+_c=₁₆2_c+₁₆_b+_a⇒₁₀₀_a+₁₀_b+_c=₂₅₆_c+₁₆_b+_a⇒ c a b b c a 255 6 2 33 85 99 = + ⇒ = −

⇒ , por lo que a y c tienen la misma paridad: son a la vez pares o a la vez impares.

Además, como 2b=33a−85c≥0⇒33a≥85c, luego c<4 porque 85×4=340>33×10>33a y también

c a> Por último, 2 5 33 85 85 33 ≥ ⇒ > > c a c a

En resumen, se debe cumplir que c<4; 2 5

>

c a

; a y c tienen la misma paridad; 2b =33a−85c≥0 Los casos posibles son, entonces,

a) c=1, _a=3⇒2_b=99−85=14⇒_b=7

b) c=1, _a=5⇒2_b=165−85=80⇒_b=40>9… ¡imposible!, y también para valores de a>5 c) c=2, _a=6⇒2_b=198−170=28⇒_b=14>9… ¡imposible!, y también para valores de a>6 d) c=3, _a=9⇒2_b=297−255=42⇒_b=21>9… ¡imposible!

En conclusión,

(52)

La profesora escribe en la pizarra un número natural menor que 50000.

Un estudiante afirma que el número es múltiplo de 2; un

segundo estudiante dice que es múltiplo de 3; y así sucesivamente, hasta que el decimosegundo estudiante dice que es múltiplo de 13. La profesora observa que todos excepto dos de sus estudiantes están en lo cierto y que los dos estudiantes que se equivocan han hablado uno enseguida del otro.

¿Qué número está escrito la pizarra?

SOLUCIÓN

El primer estudiante dice la verdad pues hay más de dos números, del 2 al 13 , que son múltiplos de 2

Por la misma razón, los que dicen que es múltiplo de 3 y de 4 también están en lo cierto, por lo que igualmente dice la verdad el que dice que es múltiplo de 12

Si es múltiplo de 12 también lo será de 6 . Además, debe ser múltiplo de 13 teniendo en cuenta que los que mienten están diciendo dos números consecutivos.

Como es múltiplo de 4 y de 6 también lo será de 5 al estar entre dos correctos. Por tanto será múltiplo de 10 y también de 11, éste último al estar también entre dos correctos.

Por ahora hemos visto que el número es múltiplo de 2 , de 3 , de 4 , de 5 , de 6 , de 10 , de 11, de 12 y de 13 Queda por averiguar si es de 7 , de 8 y de 9

Si los erróneos son 8 y 9 el número es múltiplo de 7 . El menor número con esa condición será

(

2,3,4,5,6,7,10,11,12,13

)

=22×3×5×7×11×13=60060>50000

mcm

que no cumple las condiciones del problema, por lo que no puede ser múltiplo de 7 ni de 8 y sí es múltiplo de 9 El menor es, entonces,

(

2,3,4,5,6,9,10,11,12,13

)

=22×32×5×11×13=25740<50000

mcm

y está claro que es el único que cumple las condiciones. El número buscado es

(53)

Tomando los números

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024

calcula la suma de las 100 fracciones que se obtienen al tomar dos números de la lista, incluso si denominador y numerador son iguales.

SOLUCIÓN

Consideramos primero la suma de las fracciones de denominador 2 :

= + + + + + + + + + = + + + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1024 2 512 2 256 2 128 2 64 2 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 1 2 2 2 2 2 1 10 10 − = − − × ×

= al formar los numeradores una progresión geométrica de razón 2 Si tomamos la suma de las fracciones de denominador 4:

= + + + + + + + + + = + + + + + + + + + ₂ 2₂ 3₂ 4₂ ₂5 6₂ 7₂ 8₂ ₂9 10₂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1024 4 512 4 256 4 128 4 64 4 32 4 16 4 8 4 4 4 2

(

2 1

)

2 1 1 2 2 2 2 2 1 10 10 2 − = × − − × ×

= por la misma razón que antes.

Sucesivamente, y de la misma manera, obtenemos las sumas hasta las fracciones de denominador 1024 :

= + + + + + + + + + 1024 1024 1024 512 1024 256 1024 128 1024 64 1024 32 1024 16 1024 8 1024 4 1024 2

(

2 1

)

)

(

)

9 10 10 9 10 9 8 7 6 5 4 3 2 10 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 = − × − − − × × − =       + + + + + + + + + × − =

La suma es, por tanto,

512 1046529

9

2

1

10

2 =













₋

(54)

En la figura, a, b, c, d, e y f son las áreas de las regiones correspondientes y todos esos valores son números naturales diferentes entre sí y menores que 10.

Cada triángulo formado por tres regiones tiene área par y el área de la estrella completa es 31.

Calcula el valor de f.

SOLUCIÓN

Como a+ f +d y b+ f +d son pares, a y b tienen la misma paridad: son ambos pares o ambos impares. Razonando de la misma forma llegamos a que a , b , c , d y e tienen la misma paridad.

Como a y d tienen la misma paridad a+d es par y como a+ f +d es par, f debe ser también par.

Si todos suman 31, a , b , c , d y e deben ser todos impares: 1, 3 , 5 , 7 y 9 (no necesariamente en el mismo orden).

En resumen, 1+3+5+7+9+ _f =31⇒ _f =6

(55)

En un triángulo rectángulo dibujamos la altura CH correspondiente a la hipotenusa.

Halla los ángulos x e y sabiendo que el área del triángulo AHC es la cuarta parte del área del triángulo BCA.

SOLUCIÓN

Evidentemente, x+y=90º

Los triángulos AHC y BCA son semejantes al ser ambos rectángulos y con los mismos ángulos por lo que, si sus áreas están en proporción 1/4, sus lados estarán en proporción 1/4 =1/2

Según lo anterior, los lados del triángulo AHC miden la mitad de los lados homólogos en el triángulo BCA , por lo que la relación entre las respectivas hipotenusas es c=AB=2AC=2b

De ahí, en el triángulo BCA , 60º 30º 2 1 2 cos = = = ⇒_x= ⇒_y= b b c b x

x = 60

o

; y = 30

o

(56)

Calcula el resultado de la suma 1/2! + 2/3! + 3/4! + 4/5! + … SOLUCIÓN Llamamos ... ! 5 4 ! 4 3 ! 3 2 ! 2 1 + + + + = S Tomando =      + + + + + +       + + + + + = + ⇒ + + + + = ... ! 6 1 ! 5 1 ! 4 1 ! 3 1 ! 2 1 ... ! 6 5 ! 5 4 ! 4 3 ! 3 2 ! 2 1 ... ! 5 1 ! 4 1 ! 3 1 ! 2 1 T S T T T S T ⇒ + = + + = + + + + + = + + + + + = ... 1 1 ! 5 1 ! 4 1 ! 3 1 ! 2 1 1 ... ! 6 6 ! 5 5 ! 4 4 ! 3 3 ! 2 2 por lo que

la suma vale 1

(57)

Como cada domingo, la familia de Lisa desayuna junta. Un domingo cada uno de los miembros de la familia de tomó una mezcla de café con leche, y todos la misma cantidad de mezcla.

Las cantidades de café y de leche variaban de taza en taza, pero siempre había de ambos. Lisa se tomó una cuarta parte de la cantidad total de leche y una sexta parte de la cantidad total de café.

¿Cuántas personas hay en la familia?

SOLUCIÓN

Llamamos C,L y T a las cantidades totales de café, leche y tazas (mezcla) que consumió la familia. Lisa tomó C + L =T

6 4

Llamando n al número de familiares de Lisa, éstos consumieron C + L =nT 6 5 4 3 Operando,

(

)

(

)

      > ⇒ > − ⇒ − = ⇒ − =       + −       + ⇒ = + < ⇒ > − ⇒ − = ⇒ − =       + −       + ⇒ = + 3 0 3 3 6 2 3 6 3 4 3 6 5 4 3 3 6 3 4 3 5 0 5 5 4 2 5 6 5 4 3 6 5 4 5 5 6 5 4 5 n n T n L T nT L C L C T L C n n T n C nT T L C L C T L C

Por tanto, el resto de la familia de Lisa es de n=4 miembros y

(58)

Halla el valor de la expresión

=₁₁−_a−₁₁+_b=_a+_b⇒ 1

= −

⇒_a _b

O sea, el valor pedido es

(59)

(60)

(61)

(62)

SOLUCIÓN

Según los datos que nos indican las dos últimas viñetas, el triángulo rectángulo construido tiene los dos catetos iguales, pues es isósceles

(ángulos de 45º,45º,90º) y, además, los catetos miden 200 metros, pues la altura de vuelo es de 1000 metros y la altura del cono es de 800 metros.

Llamamos m a los metros que recorre Margarita en su caída y h a los metros que

recorre el helicóptero desde que Ramón simula el fallo hasta que tira a su mujer.

Al llevar el helicóptero una trayectoria bisectriz, ésta con la horizontal forma un ángulo de 22,5º 2

º 45

= .

Teniendo en cuenta el triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la bisectriz citada, se verifica que: 1. 200 200 tan22,5º 200

(

1 tan22,5º

)

117,16 200 200 º 5 , 22 tan = −m⇒ −_m= × ⇒_m= × − = metros. 2. ₂₁₆_,₄₈ º 5 , 22 cos 200 200 º 5 , 22 cos = ⇒_h= ⇒_h= h metros. 3. Obsérvese penúltima viñeta, que da la pista.

Concluyendo,

1. Margarita recorre 117,6 metros en su caída

2. El helicóptero recorre 216,48 metros desde la

simulación del fallo hasta que Ramón tira a

Margarita

3. Los zapatos que deja Margarita en la repisa del

helicóptero es una prueba de la implicación de

Ramón en su muerte

(63)

Un número de 9 cifras acaba en 4.

Si multiplicamos el número por 2 y le borramos la primera cifra resulta el mismo valor que si lo multiplicamos por 3 y le borramos la última cifra.

¿Qué número es?

SOLUCIÓN

Sea el número abcdefgh 4

Si lo multiplicamos por 2 su última cifra es 8 . Si lo multiplicamos por 3 y le quitamos la última cifra acabará ahora en la cifra de las unidades de 3h+1

Por tanto 3h+1=8, 3h+1=18 o 3h+1=28 y la única posibilidad es que 3_h+1=28⇒_h=9. El número buscado es abcdefg94

Si lo multiplicamos por 2 la penúltima cifra es 8 . Si lo multiplicamos por 3 y le quitamos la última cifra, la penúltima cifra coincidirá con la de las unidades de 3g+2

La única posibilidad es que 3_g+2=8⇒_h=2. El número buscado es abcdef294

Si lo multiplicamos por 2 la cifra de las centenas es 5 . Si lo multiplicamos por 3 y le quitamos la última cifra, la cifra de las centenas coincidirá con la de las unidades de f3

La única posibilidad es que 3_f =15⇒ _f =5. El número buscado es abcde5294

Si lo multiplicamos por 2 la cifra de las unidades de millar es 0 . Si lo multiplicamos por 3 y le quitamos la última cifra, la cifra de las unidades de millar coincidirá con la de las unidades de 3e+1

La única posibilidad es que 3_e+1=10⇒_e=3. El número buscado es abcd35294

Si lo multiplicamos por 2 la cifra de las decenas de millar es 7 . Si lo multiplicamos por 3 y le quitamos la última cifra, la cifra de las unidades de millar coincidirá con la de las unidades de 3d+1

La única posibilidad es que 3_d+1=7⇒_d =2. El número buscado es abc235294

Si lo multiplicamos por 2 la cifra de las centenas de millar es 4 . Si lo multiplicamos por 3 y le quitamos la última cifra, la cifra de las centenas de millar coincidirá con la de las unidades de c3

La única posibilidad es que 3_c=24⇒_c=8. El número buscado es ab8235294

Si lo multiplicamos por 2 la cifra de las unidades de millón es 6 . Si lo multiplicamos por 3 y le quitamos la última cifra, la cifra de las unidades de millón coincidirá con la de las unidades de 3b+2

La única posibilidad es que 3_b+2=26⇒_b=8_{. El número buscado es 88235294}_a

Si lo multiplicamos por 2 la cifra de las decenas de millón es 7 . Si lo multiplicamos por 3 y le quitamos la última cifra, la cifra de las decenas de millón coincidirá con la de las unidades de 3a+2

La única posibilidad es que 3_a+2=17⇒_a=5. El número buscado es 588235294

En efecto, porque 588235294×2=1176470588⇒17670588 quitándole la primera cifra, y 17670588

1764705882 3

588235294× = ⇒ quitándole la última cifra. El número buscado es

(64)

La fecha del último lunes del mes pasado sumada a la del primer viernes del mes que viene da 37.

Si todas las fechas suceden en el presente año, ¿en qué mes estamos?

SOLUCIÓN

Si ambas suman fechas suman 37 y el primer viernes no va más allá del día 7, el último lunes es, al menos, 30.

Tenemos dos casos: 31 y 6 o 30 y 7.

Si el último lunes del mes anterior es 31, el mes en curso puede tener 28, 29, 30 o 31 días y acabará en lunes, miércoles o jueves, por lo que el primer viernes del mes siguiente será 4, 3, 2 o 1 y no podrá ser 6. Si el último lunes del mes anterior es 30 puede suceder

a) que tenga 30 días. El mes en curso tendrá 31 días por lo que acabará en jueves, por lo que el primer viernes del mes siguiente será 1 y no podrá ser 7.

b) que tenga 31 días y el mes en curso tenga 28, 29, 30 o 31 días por lo que acabará en martes, miércoles, jueves o viernes, por lo que el primer viernes del mes siguiente será 3, 2, 1 o 7. Por lo tanto el mes anterior y en el que nos encontramos deben tener, ambos, 31 días.

Esto sólo puede suceder si el mes anterior es julio y estamos en