MATE Dr. Pedro V squez UPRM. P. V squez (UPRM) Conferencia 1/ 21

Dr. Pedro V·squez

Integral deÖnida

Recuerde en la secciÛn anterior, se dedujo que para calcular el ·rea, A, de una regiÛn S en el plano, se usa la fÛrmula:

A= lim n_!∞[f (x " 1)∆x+f (x2")∆x+ # # # +f (xn")∆x] =_nlim !∞ n ∑ i=1 f (x_i")∆x

Es importante seÒalar que la fÛrmula anterior se puede utilizar, inclusive cuando la funciÛn f toma valores negativos.

DeÖnciÛn de integral deÖnida Si f es una funciÛn deÖnida para

a_$x _$b, se divide el intervalo [a, b]en n subintervalos de igual longitud ∆x = b%a

n . Sean x0(=a), x1, x2,# # # , xn(=b)los puntos extremos de los subintervalos y sean x₁", x₂",_{# # #} , x_n" los puntos muestrales de los subintervalos, esto signiÖca que x_i" est· en el i-Èsimo subintervalo

[xi_%1, xi]. Entonces la integral deÖnida de f desde a hasta b es:

Rb a f (x)dx =_nlim_!∞ n ∑ i=1 f (x_i")∆x

si el lÌmite existe y da el mismo valor para cualquier elecciÛn de los puntos muestrales.

Notas:

1. El sÌmbolo R fue introducido por Leibnitz y se le llama el signo de integral. En la notaciÛn R_abf (x)dx, f (x) es el integrando, a y b los lÌmites de integraciÛn; a es el lÌmite inferior y b es el lÌmite superior. dx signiÖca que x es la variable independiente.

2. R_abf (x)dx, es un n˙mero y depende de la variable independiente.

3. La suma _∑n

i=1

f (x_i")∆x es llamada la suma de Riemman. Si f toma

solamente valores positivos, entonces la suma de Riemman se puede interpretar como la suma de las ·reas de los rect·ngulos, ver siguiente Ögura:

Si f toma valores positivos y negativos, entonces la suma de Riemman es

la suma del ·rea de los rect·ngulos que est·n sobre el eje X y la suma del.

·rea de los rect·ngulos que est·n debajo del eje X

4. Aunque se ha deÖnido la integral deÖnida R_abf (x)dx dividiendo el intervalo[a, b]en subintervalos de igual longitud, en algunos casos es ventajoso calcular la integral deÖnida considerando subintervalos de diferente longitud.

Theorem

Si f es una funciÛn continua en [a, b], o si f tiene un n˙mero Önito de discontinuidades de salto, entonces f es integrable; esto es, la integral deÖnida R_abf (x)dx existe.

Ejemplos

1, Si f (x) =x2_{+2x,%2$x $0, halle la suma de Riemman}

considerando n =6 y como puntos muestrales los lados derechos de cada subintervalo. øQuÈ representa la suma de Riemman?

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y

2. La gr·Öca de una funciÛn g se muestra. Estime R4

%2g(x)dx con 6

subintervalos considerando los extremos izquierdos, punto medio y extremos derechos.

Regla del punto medio

El punto muestral x"_i es el punto medio del i-Èsimo intervalo[xi%1, xi] y la

suma de Riemman es una aproximaciÛn a la integral deÖnida:

Rb a f (x)dx & n ∑ i=1 f (x"_i)∆x =∆x[f (x"₁) +_{# # # +}f (x"_n)] donde: ∆x = b%a n y x"i = xi_%1+xi 2 , punto medio de [xi%1, xi].

3.Use la regla del punto medio para aproximar la integral R₀π/2cos4xdx , n =6

Theorem Si f es integrable en [a, b], entonces: Rb a f (x)dx =_nlim_!∞ n ∑ i=1 f (x_i")∆x, donde ∆x = b%a n y xi =a+i∆x. Propiedades: 1 n ∑ i=1 i = n(n+1) 2 2 n ∑ i=1 i2 = n(n+1) (2n+1) 6 3 n ∑ i=1 i3 = " n(n+1) 2 #2 4 n ∑ i=1 c =nc 5 n ∑ i=1 cai =c n ∑ i=1 ai 6 n ∑ (ai 'bi) = n ∑ai' n ∑bi

4. Exprese el lÌmite lim n_!∞ n ∑ i=1 cos xi xi ∆x,

[π, 2π] como una integral

5. Eval˙e R₁4$x2_%4x+2%_dx

Propiedades de la integral deÖnida 1 Rb a f (x)dx = % Ra b f (x)dx 2 Ra a f (x)dx =0 3 Rb a cdx =c(b%a) 4 Rb a cf (x)dx =c Rb a f (x)dx 5 Rb a (f (x) +g(x))dx = Rb a f (x)dx+ Rb a g(x)dx 6 Rb a (f (x)%g(x))dx = Rb a f (x)dx% Rb a g(x)dx 7 Si f (x)(0 para a$x $b, entonces: Rb a f (x)dx (0 8 _{Si f} (_x)(_g(_x)_{para a}$_x $_{b, entonces:} Rb a f (x)dx ( Rb a g(x)dx 9 Si m $f (x)$M para a$x $b, entonces: m(b_%a)_$R_abf (x)dx _$M(b_%a)

6. Exprese la integral ₁ (x_%4 ln x)dx, como un lÌmite, pero no eval˙e.

8.Eval˙e R5

%5 x%

p

25_%x2 _{dx interpretando como ·reas de las regiones}

9. Si R₁5f (x)dx =10 y R₃5f (x)dx _{= %}3.6, halle R₁3f (x)dx =

10. VeriÖque la identidad R₀1p1+x2_{dx $} R1 0

p

1+xdx

11. Estime el valor de R₀2 1 1+x2dx