APUNTES Y PROBLEMAS
APUNTES Y PROBLEMAS
DE MATEMÁTICAS ESPECIALES
DE MATEMÁTICAS ESPECIALES
6
6 TTRREEVVEERRIIS S mmuullttiimmeeddiiaa
Introducción
Introducción
Los Apuntes Los Apuntes::
Estos apuntes resumen y adaptan el contenido del libro oficial de Matemáticas Especiales del Curso de Acceso Estos apuntes resumen y adaptan el contenido del libro oficial de Matemáticas Especiales del Curso de Acceso Directo de la UNED
Directo de la UNED.. La experiencia demuestra que el libro es poco asequible para los alumnos La experiencia demuestra que el libro es poco asequible para los alumnos,, de modo que se ha tratado de modo que se ha tratado de hacer unos apuntes comprensibles y
de hacer unos apuntes comprensibles y,, sobre todo sobre todo,, orientados a aprobar el examen orientados a aprobar el examen ,, pues s pues s e ha tenido en e ha tenido en cuencuenta lo queta lo que habit
habitualmeualmente es nte es materia de examemateria de exame nn.. No deb
No debe olvide olvid arse arse que eque estos Apustos Apuntes son un resumen ntes son un resumen del librodel libro ( (aunque completosaunque completos,, es decir es decir ,, no se deja de lado nada no se deja de lado nada de lo que es objeto de examen
de lo que es objeto de examen).). Por ello Por ello,, el el libro debería serlibro debería ser vir vir para profundipara profundizar en zar en algualgunos concnos conceptos queptos que el e el alumnoalumno estime que en
estime que en los Aplos Apuntes han quedado excesivamente untes han quedado excesivamente resumiresumidosdos,,
Los Problemas Los Problemas:: En la
En la colección de Problemas que aquí se colección de Problemas que aquí se ofrece figuran prácticamenofrece figuran prácticamente todote todos los qus los que han e han aparecido en aparecido en exámenes exámenes dede Matemáticas Especiales del Curso de Acceso Directo de la UNED los últimos años
Matemáticas Especiales del Curso de Acceso Directo de la UNED los últimos años – –éstos aparecen con una claveéstos aparecen con una clave ;; por por ejemplo
ejemplo:: J9926 significa Junio 99 J9926 significa Junio 99,, examen tipo B examen tipo B,, pregunta número 6 pregunta número 6 – – junto a otros ideados para junto a otros ideados para ” ” rellenar lagunasrellenar lagunas”” en la en la transición de uno a otro
transición de uno a otro.. Los Los ” ” Problemas de ClaseProblemas de Clase”” son los quson los que el e el TuTutotor autor de esr autor de este material expte material exp lica elica e n n la pizarra la pizarra duradurantente sus tutorías
sus tutorías,, y los y los ” ” Problemas propuestosProblemas propuestos”” se resuelven de forma parecida a los de clase se resuelven de forma parecida a los de clase ( (en en cada uno procada uno propuestpuesto seo se indica el número del problema de clase al que se parece
indica el número del problema de clase al que se parece).). Se da la solución de todos los problemas propuestos Se da la solución de todos los problemas propuestos,, y algunas y algunas indicaciones cuando son difíciles
indicaciones cuando son difíciles.. Estudiar matemáticas consiste básicament Estudiar matemáticas consiste básicamente ee e n n hacer ejerhacer ejer cicios cicios contcontinuaminuamenteente.. Por Por ello
ello,, una vez una vez resuelresueltos los proptos los propuestuestos en os en este material el este material el alumno debería seguir con los del libro oficial alumno debería seguir con los del libro oficial de problemasde problemas..
Material
Material complemcomplementarioentario::
Los Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales se ofrecen gratuitamente en Internet Los Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales se ofrecen gratuitamente en Internet ,, e enn http://www.treveris.es/matematicas.
http://www.treveris.es/matematicas. También se pueden adquirir impresoTambién se pueden adquirir impresos en s en dichdicha págia página webna web .. En ese caso se regala En ese caso se regala,, e enn forma
formato to electrónicoelectrónico,, para imprimir para imprimir :: –
–una nueva colección de cientos de problemas ordenados desdeuna nueva colección de cientos de problemas ordenados desde ” ” dificultad cerodificultad cero”” hasta el nivel requerido hasta el nivel requerido,, escrita de escrita de tal manera que un ejercicio ayuda a resolver el siguiente en la lista
tal manera que un ejercicio ayuda a resolver el siguiente en la lista ,, método original que ha demostrado dar excelentes método original que ha demostrado dar excelentes resultados
resultados.. –
–la solución a los problemas de clase que figuran en el presente materialla solución a los problemas de clase que figuran en el presente material ,, ya ya que aque actualmctualmente sólo se ofrece lente sólo se ofrece l aa solución a los problemas propuestos y
solución a los problemas propuestos y,, en algunos casos en algunos casos,, ayud ayuda para a para resolverlosresolverlos.. Además
Además,, quienes adquieran quienes adquieran el material el material dispondrán de un tudispondrán de un tutor virtual para tor virtual para consultar dudas durconsultar dudas durantante todo el cursoe todo el curso 2000
2000--2001 de forma completamente gratuita en2001 de forma completamente gratuita en http://www.treveris.es/matematicas. http://www.treveris.es/matematicas.
TREVERIS multimedia quiere agradecer a todos los usuarios de este material su confianza TREVERIS multimedia quiere agradecer a todos los usuarios de este material su confianza..
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Apun
Apuntes tes y Proy Pro blemblem as das d e Me Matematem áticátic as Eas E specispeci ales ales 77
Índice
Índice
99 PrimePrimera ra parteparte:: APUNTES APUNTES 11
11 TemaTema 0: 0: Operaciones algebraicas básicas Operaciones algebraicas básicas 19
19 TemasTemas 1 1 y y 2: 2: Números enteros Números enteros,, racionales y reales racionales y reales 27
27 TemasTemas 3 3 y y 4: 4: Conjuntos Conjuntos,, Combinatoria Combinatoria 32
32 TemasTemas 5 5 y y 6: 6: Probabilidad Probabilidad ,, Estadística Estadística 37
37 TemasTemas 7, 8 7, 8 y y 9: 9: Matrices Matrices,, determinantes determinantes,, sistemas de ecuaciones sistemas de ecuaciones 45
45 TemasTemas 10, 11 10, 11 y y 12: 12: Geometría y Geometría y trigonometrítrigonometríaa 50
50 TemaTema 14: 14: Números complejos Números complejos 53
53 TemasTemas 13 13 y y 15: 15: Vectores Vectores 61
61 TemaTema 16: 16: La recta La recta 65
65 TemasTemas 18, 19 18, 19 y y 22: 22: Sucesiones Sucesiones,, límite de sucesiones límite de sucesiones;; introd introd .. al límite de funciones al límite de funciones 68
68 TemasTemas 20 20 y y 21: 21: Funciones y polinomios Funciones y polinomios 75
75 TemaTema 23: 23: Continuidad de funciones Continuidad de funciones 77
77 TemasTemas 24, 26 24, 26 y y 27: 27: Derivadas Derivadas 80
80 TemaTema 25: 25: Estudio Estudio y representay representación de ción de funcionesfunciones;; más sobre límite de funciones más sobre límite de funciones 88
88 TemasTemas 28, 29 28, 29 y y 30: 30: Integrales indefinidas y definidas Integrales indefinidas y definidas
93
93 Segunda Segunda parteparte:: PROBLEMAS PROBLEMAS 95
95 TemasTemas 1 1 y y 2: 2: Números enteros Números enteros,, racionales y reales racionales y reales 97
97 TemasTemas 3 3 y y 4: 4: Conjuntos Conjuntos,, Combinatoria Combinatoria 99
99 TemasTemas 5 5 y y 6: 6: Probabilidad Probabilidad ,, Estadística Estadística 101
101 TemasTemas 7, 8 7, 8 y y 9: 9: Matrices Matrices,, determinantes determinantes,, sistemas de ecuaciones sistemas de ecuaciones 105
105 TemasTemas 10, 11 10, 11 y y 12: 12: Geometría y Geometría y trigonometrítrigonometríaa 107
107 TemaTema 14: 14: Números complejos Números complejos 108
108 TemasTemas 13 13 y y 15: 15: Vectores Vectores 110
110 TemaTema 16: 16: La recta La recta 112
112 TemasTemas 18, 19 18, 19 y y 22: 22: Sucesiones Sucesiones,, límite de sucesiones límite de sucesiones;; introd introd .. al límite de funciones al límite de funciones 113
113 TemasTemas 20 20 y y 21: 21: Funciones y polinomios Funciones y polinomios 114
114 TemaTema 23: 23: Continuidad de funciones Continuidad de funciones 116
116 TemasTemas 24, 26 24, 26 y y 27: 27: Derivadas Derivadas 118
118 TemaTema 25: 25: Estudio Estudio y representay representación de ción de funcionesfunciones;; más sobre límite de funciones más sobre límite de funciones 120
Apuntes y Pro blem as d e Matem átic as E speci ales 9
Apuntes y Pro blem as d e Matem átic as E speci ales 11
Tema 0: Operaciones algebraicas básicas
¾
Generalidades: propiedades conmutativa, asociativa y distributiva
51.- Simplificar: 3a+a ? Ý5a+7 ?aÞ+Ýa+5Þ+4Ý3a ?7Þ+2Ý?3 ?5aÞ?5Ýa ?1Þ (Sol.: ?2a ?31) Para simplificar la expresión anterior deben tenerse en cuenta varias reglas.
Regla 1.- Los paréntesis marcan la máxim a pri orid ad en las operaciones algebraicas. Por tanto, s i e s p o s i b l e , debe tratar de simplificarse previamente el contenido de cada paréntesis. En este problema sólo cabe simplificar el primero,
Ý5a+7 ?aÞ; los demás no pueden simplificarse porque no cabe hacer dentro de ellos ningun a operación, como veremos más
abajo.
Simplifiquemos, pues, Ý5a+7 ?aÞ. Esta expresión es un trinomio (polinomio de tres miembros). Los signos +y -separan un polinom io en monomios. El orden en que estén escritos los monom ios de un poli nomio es irrelevante (propiedad conmutativa de la suma (y la resta), Regla 2). Por ejem plo, el trinomio anterior también podía haberse escrito: 7+5a ?a o
?a+7+5a o 7 ?a+5a, etc.
_________ ____
[Esta propiedad es muy útil para evitar errores al hacer sumas de números con distinto signo. Por eje mplo, si piden hacer la s iguiente operación: ?3+5 , podemos ”darle la vuelta” escribiendo: +5 ?3, o, lo que es lo mismo, 5 ?3 (pues un
signo+al principio puede suprimirse). Evidentemente, 5 ?3 es mucho más fácil de interpretar que ?3+5 .]
[También pueden introducirse paréntesis arbitrariamente en el trinomio considerado para asociar monomios, escribiendo, por ejemplo: Ý5a+7Þ?a o 5a+Ý7 ?aÞ (propiedad asoci ativa de la suma (y la resta), Regla 3). Es decir, si hay que efectuar
una suma co n tres sumandos (como es el caso), puede n sumarse primero dos cualesquiera y el resultado sumarlo al tercer sumando.]
[Nota: al emplear l a palabra s u m a nos referimos indistintamente a suma o resta; téngase en cuenta que ”restar” 6 ?2 es lo mismo que sumar los números 6 y ?2 .]
_________ ____
Un monomio pueden constar de letras, números o números y letras. S ó l o s e p u e d e n s u m a r (o r e s t a r ) aquellos monomios en los que todas las letras sean iguales y estén elevadas a iguales potencias ( Regla 4). Por ejemplo , se pueden sumar entre sí los monomio s 5a y ?a, pero no 5a y 7.
De la misma manera, se pueden hac er las siguientes sumas: 5ab ?ab (=4ab); ab2 +2ab2 (=3ab2); ?a c3 +3
a c3 (=2 a
c3 ); ?3 a ?2 a (?5 a) pero no cabría sumar 5ab ?b ni ab+2ab
2 ni ?a c3 +3
a2
c3 ni ?3 a ?2 3a.
De todo lo dic ho debe queda r claro que 5a+7 ?a =4a+7. , con lo que la expresión inicial queda: =3a+a ? Ý4a+7Þ+Ýa+5Þ+4Ý3a ?7Þ+2Ý?3 ?5aÞ?5Ýa ?1Þ
Dentro de los demás paréntesis no sepuede efectuar operación alguna. La única manera de seguir simplificando es qu itar los par ént esis . Para ello hay que seguir ciertas reglas. Un paréntesis con un signo +delante puede quitarse
directamente.(Regla 5). Es el caso del segundo paréntesis. Un signo – delante de un paréntesis permite qui tar el paréntes is pero cambiando e l signo de los mo nomios que hay dentro ( Regla 6). Es el caso del segundo paréntesi s. Un número o letra delante de un paréntesis multiplica (sin olvidar su signo) a todos los mon omios que hay dentro del paréntesis (propiedad distributiva, Regla 7). Es el caso de los paréntesis tercero, cuarto y quinto .
Con lo dicho, l a expresión queda:
=3a+a ?4a ?7+a+5+12a ?28 ?6 ?10a ?5a+5 =?2a ?31
donde se han tenido en cuenta las reglas de la multiplic ación (y división) de signos:
Ý+× += + +×? =? ?× +=? ?×? = +Þ
¾
Operaciones con fracciones
7M u l t i p l i c a c i ó n y d i v i s i ó n
A veces, resolver una expresión algebraic a requiere mani pular fracciones .
Multiplicarlas es fác il: se multiplic an los numeradores entre sí y los denominadores entre sí ( Regla 8).
Para dividir dos fracciones semultiplican en cruz , es decir, el numerador de la primera fracción por el denom inador de l a segunda (resultado que va arriba en la fracción final) y el denomina dor de la primera por el numerador de la segunda (lo cual va abajo) (Regla 9):
12 TREVERIS multimedia 2a2 3 6 3 5 = 6 a2 15 2a2 3 : 3 5 = 1 0a2 9
Otro ejemp lo: efectuar xÝ?3 x
2 Þ (Tener en cuenta primero que esa expresión indica la multiplicación de una cantidad, x,
por un a fracción negat iva; es dec ir, no es una resta; sería una resta si no existiera el paréntes is: x? 3 x
2 . En segundo lugar,
tener en cuenta que el producto escrito se puede poner ta mbién como: x 1 6 ?
3 x 2 .)
Es fácil ver que la solución es ?3 x2 2
7S i m p l i f i c a c i ó n
El resultado de las fracciones hay que simplificarlo si es posible. Por ej emplo, las siguientes pueden simplificarse d i v i d i e n d o a r r i b a y a b a j o p o r e l m i s m o v a l o r (Regla 10):
15 20 =
3
4 [hemos dividido arriba y abajo por 5] 2a
6a = 1
3 [hemos dividido arriba y abajo por 2a; para dividir 6a entre 2a se dividen números entre números y letras
entre letras: 6 entre 2 es 3 y a entre a es 1 (que no se escribe, porque 3×1 =3)]
7S u m a y r e s t a
Para sumar (o restar) fracciones hay que encontrar primero e l míni mo co mún múltip lo (m c m ) de sus denominadores. A su vez, para ello previamente hay que factorizar los denominadores, es decir , convertir cada uno de ellos en producto de factores primos. (Un número primo es aquel que sólo es divisible por sí mismo y por 1; por eje mplo, 2,3,5,7,11,13 y 17 son
primos, pero no lo son 4,6,8,9,10,12, etc.) Una vez factorizados, para calc ular el mcm se toman los factores comunes y no comunes elevados a los mayores exponentes (Regla 11).
Por ejemplo, calcular el mcm de 25, 75 y 100. Primero factorizamos los tres números tratando de dividirlos sucesivamente por números primos empezando por e l 2 y siguiendo con el 3, 5, etc. Por ejempl o, para factorizar 100 se empieza dividiendo
por 2; el resultado Ý50Þse divide de nuevo por 2 Ý=25Þ; como 25 no es ya divisible por 2 probamos con el siguiente primo
(3); tampoco es divisible, pero sí lo es por 5; 25 entre 5 da 5; volvemos a dividir por 5 y el resultado final es 1, que es donde hay que llegar. 100 queda factorizado, entonces, como: 100 =2×2×5×5 (=22 ×52)
Las tres factorizaciones quedan así:
25 =52 75 =52 63 100 =22 652
Todos los factores encontrados son, como se ve, 2, 5 y 3 (elevados a distintas potencias según el número factorizado). El 2 y el 3 son factores no comunes a las tres factorizaciones: los tomamos elevados a los mayores exponentes encontrados
22 y 3; el 5 sí es común; lo tomamos elevado a la mayor potencia encontrada: 52. El mcm se calcula, entonces, efectuando
el producto 22 63 652 =300.
Vamos a aplicar esto. Supongamos la siguiente suma (o resta) de fracciones:
6 25 ? 3 75 + 4 100
Para resolverla se calcu la el mcm de los denominadores (ya lo hemos hecho: mcm =300). Luego se procede así: se escribe un signo igual y una raya larga de fracción en cuyo denominador irá el mcm encontrado. En el numerador irá la suma (o resta, según el signo) de cada uno de los numeradores de las tres fracciones multi plicado por el resultado de dividir el mcm entre el denominado r correspondiente (Regla 12): 6
25 ? 3 75 + 4 100 = 66Ý 3 00 25 Þ?36Ý 30 075 Þ+46Ý 3 0010 0 Þ 300 = 6612?364+463 30 0 = 7 2?12+12 300 = 72 300 = 6 25 (la última
operación ha sido una simplificación, dividiendo numerador y denomin ador por 12). También pueden hacerse operaciones de este tipo que incluyan letras:
4 12 a +
b 36 a2
Las factorizaciones de los denominadores son: 12a =22 63 6a y 36a2 =22 632 6a2
El mcm es, entonces: 32 6a2 622 =36a2
Entonces: 4 12 a + b 36 a2 = 46Ý 3 6a 2 12 a Þ+b6Ý 36 a 2 36 a 2 Þ 36 a2 = 46Ý3aÞ+b6Ý1Þ 36 a2 = 12 a+b 36 a2 En cierto momento hemos tenido que dividir 36 a2
12 a . Para ell o se divi den primero los números (36 entre 12) y luego las letras
(Regla 13) (a2 entre a da a de la misma manera que 52 entre 5 da 5).
Efectuar las siguientes operaciones con fracciones: 52.- 46
100 + 37
25 ?10a = (Sol.:
19 4?1000a
100 Ayuda: 10a se puede convertir en la fracción 10 a 1 ) 53.- ?3 ab + 7 a3b3 = (Sol.: ?3a2b2+7 a3b3 ) 54.- 6Ýa+b 2 Þ 23 + 3a 5 6 7 = 2 21 230 a+ 3 23 b = (Sol.: 221 a+30 b
23 0 Ayuda: primero se resuelve el paréntesis del numerador de la
primera fracción, lo que da 2a+b
2 . Esta fracción se multiplic a por 6, lo que da 6a+3b [tener en cuenta que 6 2a+b
2 es lo
mismo que 6
2 2a+b , por aplicación de la propiedad conmutativa de la multiplicación-división]. Hecho esto nos
encontramos con que debemos sumar la fracción compleja 6a+3b
23 con la fracción compleja 3a 5 6 7
, que hay que empezar reduciendo a fracción simple. Lo explicamos con otro ejemplo: una fracción compleja como la siguiente: ab
c d
se reduce a una simple multiplicando los extremos y dejando arriba el resultado (a 6d ) y multiplicando los medios dejando abajo el resultado
Apuntes y Pro blem as d e Matem átic as E speci ales 13
(b 6c), quedando, pues, la fracción a6d
b6c . Hay fracciones complejas algo ”diferentes”, como a c d
o ab
c . En realidad es lo mismo,
teniendo en cuenta sólo que la primera equivale a a1 c d y la segunda a ab c 1 ). 55.- Simplificar 6ab ?5Ýa+ab+cÞ+1 (Sol.: ab ?5a ?5c+1)
56.- Simplificar a2b ? a2b 2 +aÝabÞ (Sol.: 3 2 a 2b) 57.- Simplificar a 5 ?a 2+1 3 + 6a 5 + 7 3 a 2 (Sol.: 31 5 a)
Efectuar las siguientes operaciones y simplificar al máx imo: 58.- 2Ý3+aÞ?4Ý5+aÞ= (Sol.: ?14 ?2a) 59.- 3 4Ýa+b+cÞ?2a+ 5b 4 + c 2 = (Sol.: ? 5a+8b+5c 4 ) 510.- a+2b 2 +5aÝ2a+2+bÞ?5ab = (Sol.: 21 a+2b+20 a2 2 ) 511.- aÝa2 +1Þ?aÝ2a+3Þ= (Sol.: a3 ?2a ?2a2)
Vamos a practicar ahora con una extensión de la propiedad distributiva. Para multipl icar dos paréntesis que contienen al menos un binomi o cada uno, se multipl ica el primer mon omio del primer paréntesis por el primero del segundo, luego el primer monomio del primer paréntesis por el segundo del segundo; el primero del primero por el tercero del segundo, y así sucesivamente, y todos los resultados van sumados o restados entre sí, según su signo. Al te rminar esta serie, se repite de i gual modo para el segundo monomio del primer paréntesis, luego para el tercero, etc. ( Regla 14). Siempre hay que te ner en cuenta los signos de cada monomio. Si se están multipl ica ndo tres paréntesis, se opera primero con dos de ellos (cualesquiera, ya que el orden de los factores no altera el producto –propiedad conmutativa–) y al resultado sel e mul tiplica el tercer paréntesis. Con un ejemplo lo entenderemos mejor:
Ý?2a+5+7bÞÝ?a+b ?4c?1Þ=2a2 ?2ab+8ac+2a ?5a+5b ?20c?5 ?7ab+7b2 ?28bc?7b = =2a2 ?9ab+8ac?3a ?2b ?20c?5+7b2 ?28bc
Ejercicios
512.- Ýa+5ÞÝb+7ÞÝc?1Þ?5abc?2a+5b ?35c+35 = (Sol.: ?4abc?ab+7ac?9a+5bc) 513.- Ý2a+4bÞ2 = (Sol: 4a2 +16ab+16b2)
514.- Ýa+bÞÝa ?bÞ= (Sol: a2 ?b2)
515.- Ý?a ?b ?cÞÝ2+5b+7aÞ?5ab = (Sol.: ?7a2 ?2a ?17ab ?7ac?5b2 ?2c?5bc?2b)
516.-?Ýa+2 3 b ?cÞÝa+ b 2Þ+Ý5 ?aÞÝ5 ?bÞÝ?3aÞ= (Sol.: 14a 2 ?3a2b+83 6 ab+ac ?75a+ 1 2 bc ? 1 3 b 2) ¾
Factor común
Sacar factor común.es, en cierto modo, una operación inversa a la aplicación de la propiedad distributiva. Consiste en ver qué factores son comunes a los monomio s que forman un polino mio y extraer estos factores de cada mono mio. Lo veremos con un ejemplo:
Sacar factor común en: 5a2 +25a ?75a3.
Aunque con un poco de práctica esta o peración se llega a hacer d e forma a utomát ica, el proceso requeriría una
factorización previa en factores primos: 5 6a 6a+5 65 6a ?5 65 63 6a 6a 6a. Puede comprobarse que lo común a los tres monomios es 5 6a. Estos factores se extraen, pues, de cada mo nomio, m ultiplican do a un paréntesis donde quedarán los factores no extraídos, c on sus signos (Regla 15):
5 6a 6Ýa+5 ?5 63 6a 6aÞ=5aÝa+5+15a2Þ
[Si el resultado obtenido se opera, aplicando la propiedad distributiva, llegaremos de nuevo a la expresión original,
5a2 +25a ?75a3; por eso la operación de sacar factor común puede considerarse recíproca de la de aplicar la propiedad
distributiva.]
Otros ejemplos: sacar factor común en las siguientes expresiones:
6ab+12b2 +12c (Sol.: 6bÝa+2bÞ+12c ) (en el tercer monomi o no se ha podido sacar nada; por tanto, se deja tal
como está)
ab+b2 +a2 (Sol.: aÝb+aÞ+b2 ) (en este caso también podríamos haber sacado factor común b, y habría
quedado bÝa+bÞ+a2 )
A veces pu ede ser út il (o, si mplemente, nos lo pueden exigi r en un problema) sacar det erm inad o factor com ún a unque aparentemente no lo sea. Por ejem plo, sacar factor común 12 x en la siguiente expresión:
7 x+ x2 ?6 Sol.: 12 xÝ7 12 +
1
12 xÞ?6 En estos casos hay que trabajar un poco por tanteo, y siempre comprob ar si lo
hemos hecho bien aplicando l a propiedad distributiva al resultado para ver si nos da la expresión original ( Regla 16). 517.- a) Sacar factor común 17 x en la siguiente expresión: 34 x2 ? 17 x
3 (Sol.: 17 xÝ2 x? 13 )
b) Sacar factor común 17 en la misma expresión (Sol.: 17Ý2 x2 ? 1 3 x)
518.- Sacar factor común todo lo posible en la expresión: 2a2b ?16a3b ?6a4b4 (Sol.: 2a2bÝ1 ?8a ?3a2b3Þ ) 519.- Sacar factor común 2 z en la siguiente expresión: 3 z
2 ? z 2 +4 z 3 (Sol.: 2 z Ý3 4 ? z 2 +2 z 2Þ )
14 TREVERIS multimedia
520.- Sacar factor común ?2 en ?2a ?3b+4c (Sol.: ?2Ýa+3
2 b ?2cÞ ; la comprobación de que está bien se tiene, de
nuevo, al efectuar la operación inversa: ?2Ýa+3
2 b ?2cÞ=?2a ?3b+4c ).
¾
Potencias y raíces
La mayoría de las propiedades de las potencias y raíces se deducen entendiendo bien e l concepto de potencia y dos reglas que veremos más abajo
7M u l t i p l i c a c i ó n y d i v i s i ó n
¾ La regla principal a tener clara es el concepto de potencia, es decir, entender que a3 significa a 6a 6a y que b5 =b 6b 6b 6b 6b.
De aquí se deducen reglas como la del producto de potencia: am 6an =am+n. (Regla 17). Un ejempl o:
a4 6a5 =a4+5 =a9 porque: a4 6 a5 = Ýa 6a 6a 6aÞ6Ýa 6a 6a 6a 6aÞ= a 6a 6a 6a 6a 6a 6a 6a 6a =a9.
Debe tenerse en cuenta que sólo se pueden mult iplicar potencias con la misma base, como en el eje mplo anterior; es decir, no cabe hacer ninguna operación en a2 6b6 excepto si el exponente es el mismo; así, cabe efectuar por ejemplo: 53 663 = 5 66 3 =303 [y en general: ac 6bc = ab c (expresión en la que el paréntesis es imprescindible para no
confundir con abc; en esta última , el exponente sólo afecta a b)].
La división se hace de la siguiente manera: am an =a
m?n (Regla 18). Veamos un ejemplo: a7 a3 =a
4. La razón podemos
entenderla de nuevo si aplicamos el concepto de potencia: a7 a3 =
a6a6a6a6a6a6a
a6a6a =a 6a 6a 6a =a 4.
_________ ____________
[Lo que hemos hecho es lo s iguiente: hemos cancelado tres de los factores a de arriba con tres de los de aba jo; esto se
puede hac er en una fracción siempre que los factores estén mult ipli cand o a los demás, nunc a si están sumando o restando (por ejemplo, no cabe cancelar nada en a+b+c
a a pesar de que el factor a está arriba y abajo. Siempre que surjan dudas
con esto conviene recurrir a un ejemplo semejante en el que sustituyamos las letras por números. Por ejemplo , en la expresión a6a6a6a6a6a6a
a6a6a sustituyamos cada a por un 2: y operemos directamente arriba y abajo: 262622662266226262 = 1 28
8 =16, pero
como 16 =24 queda demostrado que a6a6a6a6a6a6a
a6a6a es a4. Ahora, sustituyamos letras por números en a+ab+c , haciendo por
ejemplo la a igual a 2 , b =5 y c =6 Con estas sustituciones veremos que a+b+c
a no puede ser igual a b+c porque 2+5+6
2 no es igual a 5+6 (=11), sino a 13
2 , pues 2+5+6 =13 . Tambié n cabe aplicar cancelaciones en expresiones como b2 b5 = b6b b6b6b6b6b = 1 b6b6b = 1
b3 . En casos como éste en que la potencia superior es menor que la inferior hay que dejar en el numerador un 1. Para entenderlo, hagámoslo con números; por ejemplo, supongamos que en la expresión b2
b5 hacemos b =2, es decir: 22 25 = 4 32 = 1
8 (la última operación ha sido una simplificación de la fracción dividiendo arriba y abajo por 4).
Pero como 8 =23, escribir 1
8 es como si hubiéramos escrito 1
23 , lo que confirma que b2 b5 =
1 b3 . _________ _____________
521.- Efectuar las siguientes operaciones aplicando las reglas de multiplicació n y división de potencias: a) 23 622 (Sol.: 25); b) 23622
24 (Sol.: 2); a) a36a2
a5 (Sol.: 1); c) a
3 6b2 6a (Sol.: a4b2; en este caso y otros en el que hay potencias de distinta
base se multiplic an entre sí sólo las que tienen la misma base); d) a4b2c
ac (Sol.: a3b2); e) 8a2ab c2b2c2 (Sol.: 1 4abc).
7a ?1=1 a
Si al operar b2
b5 hubiéramos seguido estrictamente la regla de la división de potencias dada más arriba, habríamos llegado a la expresión b?3, mientras que por el método de ir cancelando hemos llegado a 1
b3 . ¿Por qué resultados diferentes? Porque no son diferentes. Si ambas reglas son válidas (y lo son), los resultados deben ser iguales. Es decir, que
b?3 = 1
b3 . Esto es importantísim o y debe tenerse muy en cuenta, porque este tipo de potenci as negativas aparec e muy a menudo. En general, se puede decir que a?1 =1
a , o, lo que es lo mismo: 1a =a?
1 (Regla 19).
Dicho de otro modo: siempre que encontremos una potencia con exponente negativo podemos transformarla en una fracción con un 1 en el numerador y la misma potencia pero con exponente positivo en el den ominador (y también vale lo
inverso a esto). Incluso, cuando convenga, pueden hacerse otros cambios de lugar de la potencia (y, por tanto, de signo del exponente). Por ej emplo, una potencia con exponente positivo sepuede transformar en una fracción con un 1 en el
numerador y la misma potencia con exponente negativo en el denominador.
Dicho de otro modo y generalizando: una potencia puede cambiarse de luga r en numerador y denominador con sólo cambiar el signo del exponente. Así, las expresiones siguientes : 1
2 , 1 2a2 , ? 3 b , y a
b , pueden transformarse, respectivamente, en 2?1, 2a2 ?1, ?
3b?1 y ab?1 (nótese que en la segunda expresión el exponente ?1 afecta tanto al 2 como al a2, pues el
paréntesis así lo ind ica, pero en la tercera y cuarta el exponent e ?1 sólo afecta a la b).
Una expresión como a2c
b3 puede transformarse de muchas formas, como: a
2cb?3, a2 c?1b3 , 1 a?2c?1b3 o b?3 a?2c?1. Po r supuesto, cualquiera de estas transformaciones sólo se llev an a cabo cuando conv iene a la hora de simp lifica r la resolución de un ejercicio. Y una llamada de atención: no se pueden hacer estas transformaciones de este tipo: 1
a2+b en b?1 a2 (y sí en 1 a26b = b?1
a2 ), ya que los cambios de lugar en las fracciones sólo se pueden aplicar a factores (que multiplican o dividen), no a monomios que suman o restan o, en general, a sumandos..
Apuntes y Pro blem as d e Matem átic as E speci ales 15
ejemplo, a4 a =a
4a?1, que, siguiendo la regla de la multiplicaci ón, conduce a: a4+Ý?1Þ =a3, resultado idéntico al que
habríamos llegado aplicando la regla de la división.
522.- Simplificar, dejando e l resultado en el denominador y luego en el numerador: 2abcd 2 16 b2d 4 (Sol:
1 8a?1bc?1d 2 y 8?1ab?1cd ?2)
7P o t e n c i a d e p o t e n c i a s
Para resolver una potencia de potencia se multipli can los exponentes. Es decir: am n =am6n.(Regla 20). Vayamos a
un ejemplo:
Resolver 32 3. (S ol .:=36, lo que podemos demostrar desarrollando las potencias: 32 3 = 32 6 32 6 32 = 3 63 6 3 63 6 3 63 =3 63 63 63 63 63 =36. )
523.- Efectuar y simplificar Ýa?3Þ2
Ýa2Þ?3 (Sol.: 1)
7P o t e n c i a d e u n p r o d u c t o y u n a s u m a
La potencia de un producto (o cociente) de factores es el producto (o cociente) de las potencias de esos factores. Es decir:
ÝabcÞm =ambmcm. 524.- Efectuar Ý4a2b?1Þ?2 (Sol.: b2 16 a4 ) 525.- Efectuar a2b 4 2 (Sol.:a4b2 16 )
La potencia de una suma (o resta) no es la suma (resta) de las potencias de los sumandos. Se puede calcular
convirtiéndola en un producto de la siguiente manera (por ejemplo): a+b 3 = a+b a+b a+b , que se resuelve
multiplicando primero los dos paréntesis y el resultado por el tercero. 526.- Efectuar 3 ?a 2 (Sol.: 9 ?6a+a2)
527.- Efectuar Ý?1 ?a2 +bÞ3 (Sol.: ?a6 ?3a4 +3a4b+6a2b ?3a2 ?3a2b2 +b3 ?3b2 +3b ?1 )
7Prop iedades de las raíces
La principal propiedad de una raíz tipo m
an es que se puede transformar en a nm. (Regla 21). Por ejemplo, 3
a3 =a 3 3 =a1 .
Hecho esto la raíz se puede trat ar como una p otenci a, y esa es la manera más segura de operar co n raíces complicad as. Por ejemplo, efectuar: 2
a5 63
a2 (Sol.: a 52 6a 23 =a 1 96 =6a19; y recordar que para multipli car ambas potencias debe dejarse la mis ma base y sumar los exponentes).
Hay que tener en cuenta que en general no se puede sumar ni restar raíces [no cabe resolver, por ejempl o, 2 a5 +3
a2,
aunque sí se podría sacar algún factor común una vez transformadas en potencias; sólo en casos en que se trate con raíces de igual índice e igual radicando, como por ejemplo 2 3 +5 3 , se puede hacer la suma (=7 3)]. Es decir, la suma de dos raíces no es la suma de las raíces de los sumandos.
Pero la raíz de un producto (cociente) sí es el producto (cociente) de las raíces: abc = a b c (Regla 22).
A veces es conv enie nte ”sacar tod o lo que se pue da d e un a raíz”. P or ejemplo, en a5b se puede sacar algo, ya que a5b = a5 b = a2a2a b = a2 a2 a b (hasta aquí hemos aplicado dos veces la Regla 22) y esto último se puede
simplificar hasta: aa a b =a2 a b.
Una raíz elevada a una potencia es la raíz del radicando elevado a esa potencia (y al revés). Por ejemplo : 5a 3 =5 a3
528.- Tratar de simplificar al máx imo, sacando lo que se pueda de la raíz 16 a2b6
bc (Sol.: 4ab 2 b
c 529.- Tratar de simplificar al máx imo, sacando lo que se pueda de la raíz 2 3a 3
2
(Sol.: 27a3; lo mejor es hacerlo
así: 2 3a 3 2
= 3a 32 2 = 3a 3 =33a3 =27a3 )
7Racionalización
Cuando después de alguna operación quede alguna raíz en un den ominador (como en la solución del ejercicio 28) es conveniente ”racionalizar”, es deci r, eli minar esa raíz. Es fácil: en caso de que sea cuadrada, se multipli can numerador y denominado r de la fracción por esa raíz (recordemos que en una fracción siempre que sem ultipli que arriba y abajo por el mismo factor el valor de ésta no cambia, aunque presente formalmente otro aspecto).
Ejemplo: racionalizar 2 c (Sol.: 2 c = 2 c c c = 2 c Ý cÞ2 = 2 c c2 = 2 c c )
Si la raíz es de otro grado (cúbica, cuarta, etc...) se multipli ca arriba y abajo po r la misma raíz elevada a un grado menos. Ejemplo: racionalizar 2 3 c (Sol.: 2 3 c = 2Ý3 cÞ2 3 cÝ3 cÞ2 = 2Ý3 cÞ2 Ý3 cÞ3 = 2Ý3 cÞ2 c = 23 c2 c )
Si en el denominado r hay una suma, se multipli ca arriba y abajo por el conjugado de esa suma (es decir, por e l mismo monomi o pero con el signo central cambiado). Por ejem plo, racionalicar 2
?3? b : 2 ?3? b = 2Ý?3+bÞ Ý?3? bÞÝ?3+bÞ = ?6+2 b 9?b
116 6 TTRREEVVEERRIIS S mmuullttiimmeeddiiaa 5 530.- Racionalizar 30.- Racionalizar 22 3 3 3 3 (Sol.: (Sol.: 1 1 3 3 22 3 3 3 322) ) yy 33 3 3?? 22 (Sol.: (Sol.: 3 3 33 + +3 3 22)) ¾
¾
Consejos para
Consejos para evitar
evitar errores típicos
errores típicos
7
7¡¡Cuidado Cuidado con con el uel u so so de los paréde los paréntesintesi s s !! Hay que ser riguro
Hay que ser rigurosos con el uso de los paréntesis. Éstos sesos con el uso de los paréntesis. Éstos se usan pausan para indicara indica r prioridr priorid ad o para agrupar una serie dead o para agrupar una serie de términos in
términos in dicadica ndo así ndo así que están sometidos a la misma operacióque están sometidos a la misma operació n. Cuando no son n. Cuando no son estrictamente indispensables no seestrictamente indispensables no se ponen (yponen (y existen unos convenios sobre ello que hay que aprender con la práctica), pero a veces, aunque no estén, en ciertas
existen unos convenios sobre ello que hay que aprender con la práctica), pero a veces, aunque no estén, en ciertas opreaciones hay que tener
opreaciones hay que tenerlos en cuenta. Por ejemplos en cuenta. Por ejemp lo, es un error común no tener en cuenta que el lo, es un error común no tener en cuenta que el numerador de unanumerador de una fracción va en
fracción va entre parétre paréntesis, aunque no ntesis, aunque no ssee indique, indique, operando (mal) como sigue (soperando (mal) como sigue (see trata de una suma de fracciones, dondetrata de una suma de fracciones, donde aplicamos las
aplicamos las Regla 12 viRegla 12 vista sta antes)antes)::
??22++33aa 5 5 ++ a a 10 10 == 2 266ÝÝ??22ÞÞ++226633aa++aa 10 10 ==?? 4 4++77aa 10 10
El error está en no haber considerado que el signo
El error está en no haber considerado que el signo ?? antes de la fracción afecta a odo el numeradoantes de la fracción afecta a odo el numerado r, pues éste r, pues éste es unes un paréntesis. Teniendo esto en cuenta, la forma correcta de hacer la suma anterior es, pues:
paréntesis. Teniendo esto en cuenta, la forma correcta de hacer la suma anterior es, pues:
??22++33aa 5 5 ++ a a 10 10 == ? ? 4 4??66aa++aa 10 10 == ? ? 4 4??5a5a 10 10
En general, siempre que temamos confundirnos podemos escribir paréntesis para no olvidarnos de que están. Por En general, siempre que temamos confundirnos podemos escribir paréntesis para no olvidarnos de que están. Por ejemplo, para evitar confusiones en la suma anterior podemos escribirla así desde el principio:
ejemplo, para evitar confusiones en la suma anterior podemos escribirla así desde el principio:
??ÝÝ22++33aaÞÞ 5 5 ++ a a 10 10 7 7L a p r o p i e d a d d i s t r i b u t i v a e n l a dL a p r o p i e d a d d i s t r i b u t i v a e n l a d i v i s i ó n i v i s i ó n En ocasion
En ocasiones, paes, para simplificar, es útil aplicara simplificar, es útil aplica r la propiedad distributiva en la división, que es equivalente a la r la propiedad distributiva en la división, que es equivalente a la de lade la multiplic
multiplic ación. Asación. Así, del mismo modo í, del mismo modo que efectuamosque efectuamos 22ÝÝ33++22aaÞÞ==66++44aa, , también puede hacetambién puede hacerse rse lo siguiente:lo siguiente: 99??33aa 3
3 ==33 ? ?aa
(otra opción es casar factor común
(otra opción es casar factor común 33 arriba parriba primerrimero y luego cancelarlo con el del o y luego cancelarlo con el del denominadordenominador ).).
7
7L a s f r a c c i o nL a s f r a c c i o n e s a d m i t e n me s a d m i t e n m úúl t i p l e s f o r m a s l t i p l e s f o r m a s Una fracción s
Una fracción see puede escribir de muchas formas, y eso puede escribir de muchas formas, y eso hay que tenerlo en hay que tenerlo en cuenta. Por ejcuenta. Por ej emplo, emplo, todas las formastodas las formas siguientes de la
siguientes de la fracciónfracción 22abab cd
cd son son equivalentes:equivalentes: 2 2abab cd cd ¯¯22 ab ab cd cd ¯¯aa 2 2bb cd cd ¯¯abab 2 2 cd cd ¯¯22abab 1 1 cc 11d d ¯¯22abab 1 1 cd cd etc. etc.
Del mismo modo, un
Del mismo modo, un signosigno ?? delante de una fracción afdelante de una fracción afecta al numerador o al denomiecta al numerador o al denomi nador (no a los dos al mismonador (no a los dos al mismo tiempo: sise
tiempo: sise aplica a uno de ellos aplica a uno de ellos ya no hay que aplicarlo al otrya no hay que aplicarlo al otro; normalmente so; normalmente see hace en el numerador). Por ejemplo, sonhace en el numerador). Por ejemplo, son equivalentes las siguientes expresiones:
equivalentes las siguientes expresiones:
??aa++bb 3 3??cc ¯¯ ? ? ÝÝaa++bbÞÞ 3 3??aa ¯¯ a a++bb ??ÝÝ33??aaÞÞ A su
A su vez, lvez, l a sa segunda egunda expresexpres ión anión an terterior ior es ees equiquivalval entent e a:e a: ??aa??bb 3
3??aa , , y la y la tertercercera, a, a:a: a a++bb
??33++aa .En la segunda y te.En la segunda y tercera rcera fraccionesfracciones
hemos tenido
hemos tenido que escribir parénque escribir paréntesis porque el signo afecta a todo el numerador tesis porque el signo afecta a todo el numerador o denomio denomi nador. En lnador. En l a primera no sa primera no see escriescribebe por convenio.
por convenio.
Se pueden hacer transformaciones inversas. Por ejemplo, supongamos que nos dan escrito: Se pueden hacer transformaciones inversas. Por ejemplo, supongamos que nos dan escrito: 55??aa
??22??bb y y queremos queremos cambiar cambiar
est
esta fraccióna fracción, por motivos , por motivos de operatividad, de modo de operatividad, de modo que el que el signo vaya en medio.signo vaya en medio. No No puede h acer puede hacer asasí:í: 55??aa
??22??bb ¯¯?? 5 5??aa 2 2??bb , , ya quya que ele el signo
signo menos que menos que lleva ellleva el 22 sólo le afecta a él, tal como nos lo sólo le afecta a él, tal como nos lo han indicado han indicado (s(sii sersería coía correcrrecto lo siguiente:to lo siguiente: 55??aa
??ÝÝ22??bbÞÞ ¯¯??2255????aabb ). Pero ). Pero
es fácil ver que
es fácil ver que ??22 ? ?bb ¯ ¯ ??ÝÝ22++bbÞÞ. . AhoAhora ra el siel signogno ?? ya afecta a todo el numerador y seya afecta a todo el numerador y se puede hacer la puede hacer la transftransformaciormación: :ón: :
5 5??aa
??ÝÝ22++bbÞÞ ¯¯ ??2255??++aabb
Todo esto es útil en algunos casos
Todo esto es útil en algunos casos en que entendemos meen que entendemos me jor la jor la operación haciendo cambios de este tipo. Por ejemplooperación haciendo cambios de este tipo. Por ejemplo ,, una resta de fracciones la podemos transformar en una suma:
una resta de fracciones la podemos transformar en una suma:
2 2 3 3 ?? 4 4aa 5 5 ¯¯ 2 2 3 3 ++ ??44aa 5 5 == 5 56622++33ÝÝ??44aaÞÞ 15 15 == 1 1 00??1212 aa 15 15 7 7Q u e Q u e n o v a yn o v a y a n u n s i g n o a n u n s i g n o m e n o s y u n o d e m u l t i p l i c a c i óm e n o s y u n o d e m u l t i p l i c a c i ón s e g u i d o s n s e g u i d o s Si n
Si nos os dicen: dicen: ”multi”multiplicar plicar 33 por por ??33aa++22” ” no no escribescribamosamos 33 6 6??33aa++22, , en primer lugar porquen primer lugar porque ello lleva a e ello lleva a confusioconfusiones, nes, yy
en segundo porque
en segundo porque 33 debe multiplicar debe multiplicar a ta todoodo ??33aa++22, , según según ssee despredesprende del enunciado. nde del enunciado. La forma corrLa forma correcta de esecta de escribircribirlo eslo es
3
3 6 6 ??33aa++22 , , (el (el punto spunto see puede omitir), y puede omitir), y la de la de efectuarlo efectuarlo es:es: 3 3 6 6 ??33aa++22 ==??99aa++66
7
7C a m b i a r e l s i g n o u n p r o d u c t o y u n a s u m a C a m b i a r e l s i g n o u n p r o d u c t o y u n a s u m a Si nos dan una m
Si nos dan una m ultiplicacultiplicac ión de factores y nión de factores y nos piden cambiarle eos piden cambiarle e l signo, bal signo, basta cambiar el signo de todo el csta cambiar el signo de todo el c onjunto. Por onjunto. Por ejempl
ejempl o, so, sii nos dicen ”cambiar el signo denos dicen ”cambiar el signo de 22abab” la solución es” la solución es ? ?22abab (y (y nono ??22 ÝÝ??aaÞÞ ??bb ni nada ni nada parecido. parecido. En En realidad.realidad.
cambiar el signo es multuplicar por cambiar el signo es multuplicar por ??11 . .
Apun
Apuntes tes y Proy Pro blemblem as das d e Me Matematem áticátic as Eas E specispeci ales ales 1717
Un
Un producto de producto de factores con signofactores con signo ??admite, por otra parte, múltiples formas. Así,admite, por otra parte, múltiples formas. Así, ??5a5a22bb ssee puede escribpuede escribir, además:ir, además: 5
5 ??aa22bb oo 55 ??aa22 bb, etc. [Obsérvese la importancia del paréntesis. Si en esta segunda expresión no lo hubiéramos escrito, etc. [Obsérvese la importancia del paréntesis. Si en esta segunda expresión no lo hubiéramos escrito
nos habría quedado
nos habría quedado 55 ? ?aa22bb, , que es un binomque es un binom io (formado en esio (formado en este cte casaso por los monomioso por los monomios 55 yy ??aa22bb), ), mientras mientras queque 5 5 ??aa22 bb
es en realidad un monomio.] es en realidad un monomio.]
Esto
Esto en cuanto a la muen cuanto a la mu ltipltip licalica cióció n (y n (y divisióndivisión ). En su). En sumas y mas y restarestas ss see opera opera de forma distinta. Sea el sde forma distinta. Sea el s iguiente triniguiente trin omio:omio:
3
3++55aa ? ?bb al que nos piden que le cambiemos el signo. Multiplicamos para al que nos piden que le cambiemos el signo. Multiplicamos para ello por ello por ??11, y eso implica multiplicar por , y eso implica multiplicar por ??11
cada uno de los monomios
cada uno de los monomios:: ??1 1 33++55aa ? ?bb ==??33 ? ?55aa++bb (en la práctica b(en la práctica basta asta cambiar cambiar el signo de cada uno de losel signo de cada uno de los sumandos o monomios). En el caso siguiente:
sumandos o monomios). En el caso siguiente: 33++55ÝÝaa++11ÞÞ??bb ssee opeopera igual: sera igual: se cambia el cambia el signo de cada sumasigno de cada sumando, pendo, pero hayro hay
que entender que
que entender que 55ÝÝaa++11ÞÞ es todo él un sumando. Cambiar el signo a esa expresión da, pues, es todo él un sumando. Cambiar el signo a esa expresión da, pues, ??33 ? ?55ÝÝaa++11ÞÞ++bb y noy no
??33 ? ?55ÝÝaa ? ?11ÞÞ++bb [Si previamente [Si previamente hubiéramos cohubiéramos convertidonvertido 33++55ÝÝaa++11ÞÞ??bb enen 88++55aa ? ?bb por resoluciópor resolución del paréntn del paréntesis yesis y
hubiéramos cambia
hubiéramos cambia do de do de signo la expresión resulsigno la expresión resultante, habríatante, habríamos obtenidomos obtenido ??88 ? ?5a5a++bb, , lo mismo que al dlo mismo que al desarrolesarrollar lar
118 8 TTRREEVVEERRIIS S mmuullttiimmeeddiiaa
Temas 1 y 2
Temas 1 y 2:: Números enteros
Números enteros,, racionales y reales
racionales y reales
DivisibilidadDivisibilidad ,, factorización factorización,, mínimo común múltiplo mínimo común múltiplo,, máximo común divisor máximo común divisor ,, operaciones algebraicas operaciones algebraicas,, intervalos intervalos,, ecuaciones e inecuaciones
ecuaciones e inecuaciones,, potencias potencias,, ecuaciones de segundo grado ecuaciones de segundo grado,, logaritmos logaritmos,, ecuaciones logarítmicas y ecuaciones logarítmicas y exponenciales
exponenciales
7
7Números
Números
¾
¾ Tipos de Tipos de núnúmeromero s s
ç
ç Naturales Naturales (( N N ):): 1,2,3,4,5,6..1,2,3,4,5,6....
ç
ç Enteros Enteros (( Z Z ): ): todos los naturaltodos los naturales, y además, los del tipoes, y además, los del tipo ? ?4,0,4,0,??7...7...
ç
ç Racionales Racionales ((QQ): ): todos los naturales y entodos los naturales y enteros, y además, los del tipoteros, y además, los del tipo 11 3 3 , , 3 3 11 7 7 , ,?? 4 4 9 9 , ,?? 5 5 81 81 .. .. .. ç
ç Reales ((Reales R R): todos los naturales, enteros y racionales, y además, los del ti): todos los naturales, enteros y racionales, y además, los del ti popo 3. 3.3..., 2,å3..., 2,å ^ ^ .... .. (los (los dos últimos dos últimos ssee llamallama nn irracionales: tienen infinitas
irracionales: tienen infinitas cifracifras decimales s decimales que no que no ssee repiten periódicamente y no repiten periódicamente y no pueden convepueden convertirtirse en una fracción; enrse en una fracción; en cambio, el
cambio, el 3.3.åå33 es equivalente a la fraccies equivalente a la fracciónón 1010 3
3 , , y por esy por eso so see dice que es racional)dice que es racional).. ¾
¾ NúNúmeros primos meros primos Son aque
Son aque llos qullos qu e sólo soe sólo son divisibles (es decir, la dn divisibles (es decir, la d ivisión da un número entero) ivisión da un número entero) por sípor sí mismos y por mismos y por 1. 1. Por ejemplo, Por ejemplo, 5 5 es es
primo, porque sólo es divisible por
primo, porque sólo es divisible por 5 5 y por y por 1 1, pero, pero 6 6 no lo es, pues es divisible, además de por no lo es, pues es divisible, además de por 6 6 y por y por 1 1, por , por 2 2 y por y por 3 3..
¾
¾ F a c t o r i zF a c t o r i za c i óa c i ón e n p r i m o s n e n p r i m o s
Llamar
Llamar emos así emos así a la operaca la operac ión de descomponer un número como producto de factores primos. Para hacerlo, sión de descomponer un número como producto de factores primos. Para hacerlo, see empiempi ezaeza tratando de dividir el
tratando de dividir el númernúmero por o por 2 2; s; sii da un resultado eda un resultado enterntero, so, see divide de divide de nuevo por nuevo por 2 2, y así h, y así hasta que sea posibasta que sea posib le; lule; lu ego ego sese
trata de dividir por
trata de dividir por 3 3 todas las veces positodas las veces posibles, luego por bles, luego por 5,7,11,13,175,7,11,13,17... (en general, por todos los primos). Al final, s (en general, por todos los primos). Al final, sii elel
númer
número no es divisible por nada más o no es divisible por nada más (e(es decir, es primo), lo dividiremos por s decir, es primo), lo dividiremos por ssíí mismo.mismo. Como ejem
Como ejem plo factorizaremos el númeroplo factorizaremos el número 5544 5544; el resultado es; el resultado es 2233 ××3322 ××77××1111, , donde expdonde expresamresamos coos con las n las potencias elpotencias el
número de veces que aparece cada factor en la factorización (así, el
número de veces que aparece cada factor en la factorización (así, el 2 2 aparece tres veces) aparece tres veces) ¾
¾ MáMáximxim o común o común dividivi sor sor ( (mm cc d d )) y mí y mínimnim o o comcom úún n múltiplo múltiplo ( (mm cc m m )) Par
Para hallar a hallar elel m mcdcd de de dos números los factorizaremos, y luegodos números los factorizaremos, y luego multiplicaremos los factores comunes elevados al menor multiplicaremos los factores comunes elevados al menor exponente que tengan
exponente que tengan.. Par
Para hallar a hallar elel mcm mcm de de dos números los factorizaremodos números los factorizaremos, y luegos, y luego multiplicaremos los factores comunes y no comunes multiplicaremos los factores comunes y no comunes elevados al
elevados al maymayor exponenteor exponente.... 5
5Ejemplo 1. Calcular elEjemplo 1. Calcular el m mcdcd y e y ell mcm mcm de los números: de los números: 3153150 3153150 yy 3900 3900. . PrimPrimero los factero los factorizamos:orizamos:
3153150 3153150 ==22××3322 ××5522 ××7722 ××1111××113 3 33990000 = =2222 ××33××5522 ××1313 mcd mcdÝÝ3153150,39003153150,3900ÞÞ ==22××33××5522 ××1313 = =19501950 mcm mcmÝÝ3153150,39003153150,3900ÞÞ ==2222 ××3322 ××5522 ××7722 ××1111××1313 = =63063006306300 El
El mcdmcd en este caso es el número más alto que existe que es divisor al mismo tiempo de en este caso es el número más alto que existe que es divisor al mismo tiempo de 3153150 3153150 yy 3900 3900 (cuando (cuando
decimos que
decimos que es divisor es divisor s see debe entedebe ente nder, evnder, ev identemidentem ente, que la dente, que la d ivisión da un número entero)ivisión da un número entero); es; ese e número esnúmero es 1950 1950. . Y Y elel
mcm
mcm es el númer es el número más pequeño que es múltiplo o más pequeño que es múltiplo al mismo tiempo deal mismo tiempo de 3153150 3153150 yy 3900 3900 , siendo ese número , siendo ese número 6306300 6306300
(compruébese que es divisible por
(compruébese que es divisible por 3153150 3153150 yy 3900 3900).).
¾
¾ O p e r a c i o n e s c o n eO p e r a c i o n e s c o n en t e r o s n t e r o s
ç
ç Se llama Se llama valor absoluto valor absoluto de un número al valor de ese número con signo positivo, independientemente del que tuviera. de un número al valor de ese número con signo positivo, independientemente del que tuviera. El v
El v alor abalor ab soluto sesoluto se exprexpresa eesa entre bantre barras. Arras. Asísí, el v, el v alor alor absoluto deabsoluto de ??33 se se exprexpresaesa ||??33 || y esy es 33. También es cierto que. También es cierto que ||++55 || = =5.5.
ç
çEn adelante, considérese sumar y restar como laEn adelante, considérese sumar y restar como la misma misma operación: restar dos números es lo mismo que sumar al primero operación: restar dos números es lo mismo que sumar al primero el negativo del segundo. Por ejemplo:
el negativo del segundo. Por ejemplo: 55 ? ?33 = =55++ÝÝ??33ÞÞ
ç
çPara Para sumar dos enteros con el misumar dos enteros con el mi smo signo sesmo signo se suman sus suman sus valores absolutos y sevalores absolutos y se deja edeja e l mismo signo; para sumar dosl mismo signo; para sumar dos entero
enteros con distinto sigs con distinto signo, sno, see reresta sta el valor el valor absoluto del mayor menos el absoluto del mayor menos el del mendel men or y seor y se deja el deja el signo del mayor:signo del mayor: 5 555++66 = =1111 5 555 ? ?66 = =??11 5 5??55++66 = =11 5 5??55 ? ?66 = =??1111 ç
Apuntes y Pro blem as d e Matem átic as E speci ales 19
orden no importa ) o asociativa (al sumar tres números se pueden sum ar primero dos de ellos cualesquiera y al resultado sumarle el tercero). Por ejemplo:
5?15+21 =21 ?15 =6 (obsérvese que es más fácil interpretar la segunda suma que la primera; no olvi dar que cada
número debe ir con su signo)
5?5+8 ?9 =Ý?5+8Þ?9 =Ý8 ?5Þ?9=3 ?9 =?6
çUn signo+delante de un paréntesis permite quitar el paréntesis dejando los signos que están dentro del paréntesis; un signo ? ante un paréntesis cambia los signos que están dentro:
53+Ý?8+7 ?9Þ=3 ?8+7 ?9 =?7
53 ? Ý?8+7 ?9Þ=3+8 ?7+9 =13
Según eso se debe entender que podamos hacer las siguientes transformaciones si en algún momento nos conviene: 53+8 =3 ? Ý?8Þ
52 ?4+2 =2 ? Ý4 ?2Þ
53+8 ?5 =3+Ý8 ?5Þ=3 ? Ý?8+5Þ
çPara la mul tiplicació n y división de números con signos se emplean las siguientes reglas: +6+= + ? 6? = + +6? =? ? 6+=?
+: += + ?: ? = + +: ? =? ?: +=?
¾ O p e r a c i o n e s c o n f r a c c i o n e s
$Multiplicac ión: se multiplic an los numeradores y los denominadores:
2 3 × 3 4 × 2 5 = 1 2 60 = 1
5 (la última operación realizada es una simplificación de la fracción, algo que debe
hacerse (siempre que sea posible) dividie ndo arriba y abajo po r el mism o número hasta que no se puedan ob tener núm eros naturales más pequeños)
$División: se multiplic a el numerador de la primera por el denomin ador de la segunda, y el resultado es el numerador de la fracción final; el de nominador de ésta es el producto del denominado r de la primera por el numerador de la segunda:
5 2 3 : 3 4 = 8 9 (irreducible)
$Suma y resta: se busca el mcm de los denominadores, y ese será el d enominador de la fracción final; luego, cada numerador de las fracciones que estamos sumando se multiplicará por el resultado de dividi r el mcm por su denominador; la suma o resta (según el signo) de estos productos será el numerador de la fracción final:
5 1
12 ? 2 8 +
7
24 ?3 los cuatro denomin adores son 12,8,24 y 1, siendo sumcm=24; ese será el denominador de la
fracción final. Se divide a continuación 24 entre 12 (=2) y se multiplica por 1 (que es el numerador de la primera fracción); se hace igual con las otras fracciones, respetando siempre los signos, y queda:
5 1 12 ? 2 8 + 7 24 ? 3 1 = 261?263+761?3624 24 =? 23 8
¾ P r i o r i d a d e s a l a h o r a d e o p e r a r . Para operar en el numerador de la penúltima fracción del ejemplo anterior (2 61 ?2 63+7 61 ?3 624), se deben efectuar primero las multiplicaciones y luego las sumas; esa es una regla de
prioridad. La prioridad principal la marca un paréntesis y, aunque no esté escrito, se entie nde que en expresiones como 4+2 66 el producto está dentro de un paréntesis (se dice que la multiplicación y la división unen, y la suma y la resta separan), por lo que el resultado es 16, no 36. Del mismo modo, en 4+6
2 el resultado es 7, no 5.
En general, no es fácil enunciar unas reglas de prioridad, que sólo se aprenden con la práctica. La principal es la ya dicha : la máxim a prioridad la marca un paréntesis, y cuando hay paréntesis anidado s (unos dentro de otros), se deben resolver antes, si es posible, los más internos. El problema suele estribar en que normalmente en los enunciados de los ejercicios se prescinde de los paréntesis cuando no se consideran necesarios (siguiendo convenios universal mente aceptados). Varias normas a tener en cuenta en este sentido son, entre otras:
1. un producto o un cociente se entiende que va dentro de un paréntesis
2. el numerador y el denominador de una fracción se entiende que van cada uno dentro de un paréntesis 3. la propia fracción va toda ella dentro de un paréntesis
4. una raíz equivale a un paréntesis, y también su contenido va dentro de paréntesis
5. los logaritmos y las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc) equivalen a paréntesis
6. se pueden operar dos paréntesis (por ejempl o, multiplicarlos) sin necesidad de resolver cada uno por separado previamente, pero para ello hay que apl icar ciertas reglas especiales según el caso (en algunas ocasiones, la p r o p i e d a d d i s t r i b u t i v a ).
Ilustraremos estas reglas con algunos ejemplos: 5 2+564
4 es como si se escribiera, comb inando las reglas anteriores: Ý
Ý2+Ý564ÞÞ
Ý4Þ Þ; efectuamos primero el paréntesis más
interno Ý5 64Þ, y luego sumamos 2,con lo que queda: 22
4 (habiendo suprimido al final paréntesis innecesarios). 5 2+56a
20 TREVERIS multimedia
simplemente como 5a), y tampoco sepuede sumar con 2. No obstante, se puede aplicar una ”regla especial”, la propiedad
distributiva de l a divis ón respecto a la suma (o resta). Así, Ý2+56aÞ
Ý4Þ puede resolverse como 24 + 5a
4 . En general, la propiedad
distributiva mencionada puede expresarse como: a+b
c =ac +bc .
5Ý2 ?5ÞÝ3+2Þ=?15 (en este caso ya dan los paréntesis en el enunciado del ejercicio; todo lo que hay que hacer es resolver ambos previamente)
5Ý2 ?bÞÝ3+aÞ no se pueden resolver los paréntesis previamente (pues no cabe sumar 3+a), pero se puede aplicar una regla especial para operar con los paréntesis sin necesidad de resolverlos previamente: aplicar la propiedad distributiva de la multiplic ación respecto a la suma: Ý2 ?bÞÝ3+aÞ=6+2a ?3b ?ba (en general: Ýa+bÞÝc+d Þ=ac+ad +bc+bd y
aÝb+cÞ=ab+ac, reglas en las que hay que tener en cuenta los signos de cada elemento).
5 2+5 es como si se hubiera escrito Ý2+5Þ, cuyo resultado es 7 (nótese que 2+5 no es igual a 2 + 5) 5 2 65 es como si se hubiera escrito Ý4 69Þ, cuyo resultado es 36 =6 (nótese que Ý4 69Þ es igual a
4 6 9 =2 63 =6; es decir, la raíz de un producto (o cociente) es lo mismo que el producto (o cociente) de las raíces, pero la
raíz de un a suma (o resta) no es lo mismo que la suma (o resta) de las raíces, como se vio en el anterior ejempl o. 52+6 3+1 es lo mismo que Ý2+6Þ Ý3+1Þ = 84 =2 53+1+84 5?763 es lo mismo que Ý3+1+Ý 8 4 ÞÞ Ý5?Ý763ÞÞ = Ý3+1+2Þ Ý5?21Þ = ?616 =? 6
16 (nótese que el signo ? que estaba en el
denominado r lo hemos puesto delante de la fracción; eso siempre es válido; es decir, es lo mismo escribir ?4 2 que ? 4 2 que 4 ?2 ) 52Ý3+5?aÞ
2Ýa+1Þ es lo mismo que escribir
Ý2Ý3+5?aÞÞ
Ý2Ýa+1ÞÞ =
Ý2Ý8?aÞÞ
Ý2Ýa+1ÞÞ =
Ý16?2aÞ
Ý2a+2Þ Como dentro de los paréntesis no se puede
operar más, se deja así, aunque suprimie ndo los ya innecesarios: 16?2a 2a+2 .
Cuando un numerador y un denominad or contienen factores comunes que están (tanto en el numerador com o en el denominador) multiplicando a todo lo demás, puede n cancelarse.
Por ejem plo, eso ocurría en el anterior eje mplo cuando llegá bamos a 2Ý8?aÞ
2Ýa+1Þ; vemos que arriba y abajo aparece el ”2”
multiplic ando a todo lo demás; entonces, los cancelamos y queda: 8?a
a+1 . (Puede resultar curioso que hayamos llegad o a dos
resultados aparentemente distintos; en realidad son el mismo: 8?a
a+1 es la misma fracción que 16?2a
2a+2 pero la primera está
más simplificada al haber dividido en la segunda cada monomio por 2).
Otros ejemplos : 526566 263 = 566 3 = 5 3 66 =5 6 6
3 [hemos escrito las dos últimas igualdades para indicar otra propiedad: es exactamente lo
mismo multipli car primero 5 por 6 y luego dividir el resultado por 3 que dividir primero 5 entre 3 y multiplicar luego el
resultado por 6 o que efectuar primero la división de 6 entre 3 y después multiplicar el resultado por 5 –compruébese–; en general , si hay sumas o restas eso no es po sible].
5No cabe cancelar el ”2” en 265+3
263 , ya que la expresión equivale a
Ý265Þ+3
263 , lo que nos permite comprobar qu el ”2” del
numerador no mult iplica a todo el resto del numerador, sino sólo a 5.
7Ecuaciones
¾ Intervalos
Los números reales pueden representarse por los infinitos puntos de una recta: –,——,——,——,——,====,====,——,——,——,——,——,—==,====,=== –,–
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
La figura es el segmento de recta que va, aproximadamente, entre el número real ?7 y el 7 (sólo se han escrito los
enteros, pero entre cada dos enteros hay infinitos números reales. Por ejemplo, entre el 3 y el 4 están el 3.5, el 3.23333,
el número ^ o el 10 .
En matemáticas seconsidera ”mayor” (>) todo número que esté a la derecha de uno dado en esa recta, y es menor (<) si está a la izquierda. Por eje mplo (mírese la recta y aplíquese lo dicho, teniendo en cuenta también el significado ordinario de ”mayor” y ”menor”) cabe escribir:
2 >1 (que es equivalente a escribir 1 <2); 2 >?2; 1 >?100; ?2.44 <?1. 1789 0 >?3
Los signos ², ³tienen el significado de ”menor o ig ual” y de ”mayor o igual”, respectivamente, y cabe escribir ?1 ²0
5 ³ ? 49 3 ³3
En la figura, los segmentos destacados con trazo doble se lla man int ervalos. El representado a la derecha puede escribirse
ß?3,?1à y lo leeremos ”intervalo cerrado entre ?3 y ?1” si queremos meter en él los infinitos números reales que hay entre ?3 y
?1 incluidos el ?3 y el ?1 ; o puede escribirse Ý?3,?1Þ, y lo leeremos ”intervalo abierto entre ?3 y ?1”, si no se quiere incluir a
ninguno de los dos. Otras posibilidades son ß?3,?1Þ (cerrado por la izquierda y abierto por la derecha, qu incluye al ?3 pero
no al ?1) y Ý?3,?1à. Estos dos últimos son intervalos semiabiertos. Tamb ién cabe hablar de semirrectas abiertas y cerradas. Por ejem plo, todos los números mayores que 3 incluido el 3 constituyen la semirrecta cerrada x ³3.
Para decir que un número cualquiera x está dentro del intervalo ß?3,?1à escribiremos x 5 ß?3,?1à (se lee ” x pertenece al
intervalo ß?3,?1à) o bien lo indicamos así: ?3 ² x ²?1 (es equivalente escribir ?1 ³ x ³?3).
