INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA QUÍMICA E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA METALÚRGICA

“Análisis de Estabilidad Mecánica de Laminaciones

Escalonadas en Recipientes Cilíndricos con Presión

Interna Aplicando el Método del Elemento Finito”

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P r e s e n t a:

Alfredo Morales Reyes

A s e s o r:

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AGRADECIMIENTOS

A ti padre celestial JEHOVÁ por guiarme cada instante en el desarrollo de este proyecto.

Al Dr. Jorge Luis González Velázquez por brindarme la oportunidad de aprender bajo su valiosa dirección una disciplina de la vida de gran valor intelectual, la investigación. Por ser un hombre digno de admiración y ejemplo a seguir, por compartirme su calidad humana, en realidad le estoy muy agradecido.

Dr. José Manuel Hallen López, gracias por preocuparse de que todo avanzara siempre por el camino correcto, y por su autoridad en el desempeño de este trabajo, en verdad gracias.

A los miembros del jurado: Dr. Alfonso García Reynoso Dr. Alexander Balankin Dr. Carlos Gómez Yañez

Por sus valiosas aportaciones en la presente tesis, y su gran labor de investigación y docencia.

Al departamento de Ingeniería Metalúrgica de la ESIQIE por brindarme un espacio de sus instalaciones durante este periodo.

Al IPN y CONACYT por el apoyo económico para realizar éstos estudios de doctorado.

A las entidades COSNET y DGIT, por la beca comisión, pero sobretodo gracias por la confianza depositada en mi para emprender esta tarea.

A mi apreciado Instituto Tecnológico de Puebla, por el impulso profesional, fortaleza para concluir esta enseñanza.

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DEDICATORIAS

A ti esposa, Gabriela Castañeda de Morales, por tu paciencia y comprensión en todo momento que brindaste para lograr este objetivo, gracias amor por darme la oportunidad de amarte.

A ti hija, Valeria Morales Castañeda, por que quizá esto no justifique el poco tiempo que te he brindado, pero si quiero que sepas que tu llanto y tus risas están plasmadas en líneas de este trabajo, eres una niña con la gran virtud de conocer a Dios, no la pierdas.

Madre, Maricela Morales Reyes, por tus enseñanzas y tus oraciones para formarme como un hombre de bien, que Dios te bendiga.

A mis abuelos Carlos Morales Salazar y Carmen Reyes López, por su ejemplo de amor y su fortaleza para superar la adversidad, que en la gloria estén.

Hijo mío, si recibieres mis palabras, Y mis mandamientos dentro de ti,

Haciendo estar atento tu oído a la sabiduría; Si inclinares tu corazón a la prudencia, Si clamares a la inteligencia,

Y a la prudencia dieres tu voz; Si como a la planta la buscares, Y la escudriñares como a tesoros, Entonces entenderás el temor de Jehová, Y hallarás el conocimiento de Dios. Proverbios 2:1-5

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RESUMEN

Múltiples arreglos de grietas con presión interna llamadas laminaciones son a menudo observados en ductos, y su interacción y coalescencia podría afectar significativamente la resistencia residual de la línea conductora. Se analizan laminaciones del tipo planar formadas a diferentes profundidades del espesor del tubo y que generalmente son causadas por el agrietamiento inducido por Hidrógeno. Desde el punto de vista del comportamiento mecánico, poco se sabe en relación a la magnitud de los esfuerzos generados en el entorno de laminaciones, y menos aun sobre la evolución de los campos de esfuerzos y deformación en el área interlaminar en función de la presión del defecto y del tubo.

El objetivo principal de este trabajo es determinar las condiciones de inestabilidad mediante el análisis del comportamiento elasto-plástico, de recipientes cilíndricos sometidos a presión interna con laminaciones presurizadas de diferentes radios contenidas en el espesor y variando la separación de estos defectos en la horizontal y la vertical, aplicando el método del elemento finito en condiciones no lineales del material con una regla de endurecimiento isotrópico.

En las simulaciones se definen las propiedades del material (API5LX52), las cuales se evaluaron en pruebas de tensión, en probetas sanas y probetas con laminaciones escalonadas, instrumentadas mediante galgas extensiométricas para obtener el diagrama esfuerzo deformación.

Los resultados de las simulaciones se presentan en graficas tales como: presión en el defecto & esfuerzo de v Mises en la zona de grietas (región interlaminar), pendiente (coeficiente zona lineal) versus relación tamaño de los defectos, presión de cedencia & relación del radio de los defectos, presión critica (presión interna del defecto que causa plastificación en la región interlaminar) versus radio de laminaciones simétricas. Además se reportan los mapas de esfuerzos de v Mises para el historial de carga de presión y diagramas vectoriales de la dirección del agrietamiento.

Bajo este marco de ideas, en este trabajo se analizó la interacción entre dos laminaciones presurizadas no coplanares, considerando dos grietas acercándose las cuales la presión interna se incrementaba hasta el punto que los campos de esfuerzos condujeran al criterio de interconexión. Para calcular el efecto de la longitud y presión interna de la laminación en la interconexión, una matriz de varias combinaciones de tamaños de laminaciones y presiones en la laminación fue modelada.

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Es importante definir el concepto de la presión critica, como la presión en la laminación que hace que el esfuerzo de v Mises en la región interlaminar, alcance o sobrepase la resistencia ultima del material. Esta condición es asumida donde el punto de iniciación para la formación de la interconexión de la grieta, y por lo tanto el paso previo para el colapso de la sección transversal de la placa, significando la ruptura del tubo con laminaciones no coplanares.

Por la singularidad del esfuerzo en punta de grieta el modelo se construyo con elementos isoparamétricos, con 20 nodos y 3 grados de libertad por nodo. El total de elementos y nodos empleados es de 60000 y 180000 respectivamente, y se emplea el código comercial de elemento finito ANSYS V8.0.

Resalta de esta investigación que para grietas simétricas la función que define el comportamiento mecánico en base a la presión critica y la longitud de la laminación es del tipo hiperbólico. Para laminaciones de longitud menor a 0.25” la presión critica promedio que soportan es del orden de 16 a 18 ksi respectivamente para espesores de 0.625” y 1”, no así en laminaciones mayores a 2.5” ya que la presión critica promedio va de 7 a 2.3 ksi. De acuerdo a la practica recomendada API RP 579 sec. 7 laminaciones mayores de 2.5” de diámetro representan un riesgo elevado, punto que coincide en este trabajo ya que la presión critica que soportan laminaciones de mayor longitud tiende a disminuir.

Se observa la interacción por la proximidad de los dos frentes de grieta en la región interlaminar, lo cual se refleja en la extensión de las iso-superficies y la localización del esfuerzo máximo en esa zona.

El esfuerzo en la región de las puntas de grieta internas se incrementa debido a la interacción de los campos de esfuerzos, situación que se acentúa cuando el espesor del tubo disminuye. La presión critica que soporta un tubo de 24” de diámetro con un espesor 1” y con laminaciones, es un 35% mayor a la que soporta un tubo de igual diámetro con espesor de 0.625”, situación que se asocia a la rigidez del sistema con respecto al espesor remante hacia las superficies libres del tubo.

La función que se obtuvo en el presente trabajo es de utilidad en el análisis de integridad mecánica aplicado a sistemas de transporte de hidrocarburos y específicamente para el grupo de análisis de integridad de ductos del IPN.

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ABSTRACT

Multiple array cracks with internal pressure called laminations are often observed in pipelines and their interaction and coalescence may significantly affect the residual strength of the pipes. In this work, laminations of planar type formed at different depths in the thickness of pipe are analyzed, usually caused by hydrogen induced cracking (HIC). From a mechanical point of view, very little is known regarding to the magnitude of the stresses generated in areas of stepwise laminations and also about the evolution of the stress fields and deformation in the interlaminated areas as a function of the pressure within the crack .

The main goal of this work was assess the instability conditions by means of analysis elastic-plastic behavior of pipes under internal pressure with pressurized laminations of different radius, varying vertical and horizontal separation of cracks fronts, applying the finite element method in non-lineal conditions of the material considering an isotropic hardening law.

In the simulations the real tensile properties of the API5LX52 steel was applied, the properties for the material considering here were determined by tension test according to the ASTM E8. In order to be able to simulate in conditions close to reality, the mechanical properties of the samples with stepwise laminations were evaluated using strain gage for the construction of the stress-strain curves.

The results are presented in graphs such as the evolution of the stress fields in the interlaminar region as a function of the pressure inside the laminations, coefficient lineal zone vs. length of the defects, yield pressure vs. radius of defects, critical pressure (The critical pressure is defined as pressure inside the lamination that causes plastification of the interlaminar region) vs radius non symmetrical laminations. Furthermore the v Mises stress distribution is shown in maps.

Under this frame of ideas, in this work the interaction between two non coplanar pressurized laminations was analyzed considering two approaching cracks in which the pressure inside is increasing up to the point that an interaction of the stress fields lead to a pre established interconnection criterion. To assess the effect of the crack size and pressure inside the lamination in the interconnection, a matrix of several lamination sizes and pressures in the lamination combinations was modeled.

The critical lamination pressure is defined as the pressure in the laminations that makes the von Mises stresses in the interlaminar region to reach or surpass the ultimate tensile strength of the material. This condition is assumed to be the initiation point for the formation of the interconnecting crack, and therefore the previous step for the collapse of the transverse section of the plate, meaning the rupture of a pipe with non coplanar laminations.

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The model was constructed with elements of 20 nodes and 3 degrees of freedom per node. Due to the singularity at the tip of the cracks, the mesh in the interlaminar region was refined by means of bi-quadratic elements. The total elements used were 60000 with 180000 nodes the commercial ANSYS V8.0 software was used for the simulation. The geometrical model is shown in Fig. 3 including a detail of the refinement in the interlaminar region.

It is found that for two approaching stepwise laminations the critical pressure follows a hyperbolic type law. It is observed that for two cracks with lengths OF less than 0.25 inches, the interlaminar region resists a critical pressure between 16 ksi – 18 ksi, respectively for thickness 0.625” and 1”, but laminations of more than 2.5 inches resist, in average, critical pressure from 2.3 ksi to 7 ksi, this coincides well with the assessment criterion given in the API RP 579, that states that HIC blisters and laminations of size greater than 2.5” are considered as severe and should be repaired.

The interaction of the stress field of two approaching non coplanar pressurized cracks will be higher, and therefore it will produce higher stresses in the interlaminar region.

The stress in the internal tip region cracks increase due to the interaction of these fields, this effect is greater when the thickness decreases.

The effect in the critical pressure is more noticeable for the 1” thickness pipe an average of 35% greater than those for the 0.625” thickness pipe. This last effect is due to the fact that thicker pipe walls restrict the displacements in the thickness direction, which turns out into lower stresses ahead of the cracks for a given pressure in the laminations.

A knowledge of the conditions under which two approaching non planar cracks interconnect is therefore of great importance in assessing the structural integrity of a laminated pipe, and the function obtained will be applied by the GAID of IPN.

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CONTENIDO

RESUMEN I

ABSTRACT III

CONTENIDO V

LISTA DE TABLAS VII

LISTA DE FIGURAS VIII

CAPITULO I INTRODUCCIÓN 1

CAPITULO II ANTECEDENTES

2.1 AGRIETAMIENTO INDUCIDO POR HIDRÓGENO AIH 5

2.2 TEORÍAS RELACIONADAS AL DAÑO POR HIDRÓGENO EN ACEROS 7

2.3 COMPORTAMIENTO MECÁNICO DE ACEROS AL CARBON Y SATURADOS POR H 12

2.4 ESTUDIOS DEL COMPORTAMIENTO MECÁNICOEN ARREGLOS DE GRIETAS. 13

2.5 CARACTERÍSTICAS MECÁNICAS Y QUÍMICAS DEL ACERO API5LX52 15

CAPITULO III CONSIDERACIONES TEORICAS MEF

3.1 EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO 16

3.2 FORMULACIÓN DE UN ELEMENTO 17

3.3 FORMULACIÓN DE LA NO LINEALIDAD DEL MATERIAL 22

3.4 RESOLUCIÓN DEL MEF APLICANDO UN SOFTWARE ANSYS V8.0 24

3.5 ECUACIONES CONSTITUTIVAS ELASTO-PLÁSTICAS 25

CAPITULO IV METODOLOGIA DEL ESTUDIO

4.1 METODOLOGÍA 29

4.2 PRUEBAS DE TENSIÓN UNIAXIAL DE PROBETAS CON Y SIN LAMINACIONES 32

4.3 SIMULACIÓN POR MEF 33

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CONTENIDO

4.3.2 DISCRETIZACIÓN 34

4.3.3 CONDICIONES DE FRONTERA 35

4.3.4 PROPIEDADES DEL MATERIAL 36

4.3.5 MONITOREO DE LA CONVERGENCIA 37

4.4 HIPOTESIS 38

CAPITULO V RESULTADOS Y DISCUSIÓN

39 5.1 PRUEBAS DE TENSIÓN

43 5.2 MODELO DE UN CASO DE ESTUDIO

5.3 RESULTADOS GRAFICOS DE LAS SIMULACIONES 49

CAPITULO VI CONCLUSIONES

6.1 CONCLUSIONES 68

CAPITULO VII REFERENCIAS

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LISTA DE TABLAS

Descripción Página

Tabla 1. Identificación de las laminaciones por su forma, localización y origen. 1

Tabla 2. Composición química del acero API5LX52. 15

Tabla 3. Propiedades mecánicas del acero API5LX52. 15

Tabla 4. Matriz de simulaciones, dimensiones de los casos de estudio. 30

Tabla 5. Propiedades mecánicas de probetas sanas 39

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LISTA DE FIGURAS

Descripción Página

Figura 1. Tipos de laminaciones. 1

Figura 2. Modelo de reducción del hidrógeno sobre una superficie metálica. 6

Figura 3. Modelo de la disolución del acero. 7

Figura 4. Propagación de una grieta a través de hidruros estabilizados. 8

Figura 5. Modelo esquemático propuesto por Lynch, flujo plástico localizado. 10

Figura 6a. Modelo de la energía cohesiva, decohesión de enlaces. 11

Figura 6b. Modelo de la energía cohesiva, decohesión de límites de grano. 11

Figura 6c. Modelo propuesto por Zapffee. 11

Figura 7. Interconexión de grietas por AIH formando una grieta escalonada. 13

Figura 8. Esquema de una grieta equivalente. 14

Figura 9. Elemento cuadrilátero bidimensional . 19

Figura 10. Cuadrado bidimensional. 19

Figura 11. Condiciones de fluencia con distintos tipos de endurecimiento del material. 28 Figura 12a. Variables del modelo analizado y esquema del arreglo de grietas. 29

Figura 12b. Variables del modelo analizado y regiones de interés. 30

Figura 13. Detección de defectos mediante ultrasonido. 32

Figura 14. Probetas maquinadas de acuerdo a la norma ASTM E8. 32

Figura 15. Probetas instrumentadas mediante sensores de deformación. 33

Figura 16a. Discretización en la región de las laminaciones, malla en la región de los

defectos. 34

Figura 16b. Discretización en la región de las laminaciones, malla controlada en la

región interlaminar. 34

Figura 17. Presión aplicada al modelo. 35

Figura 18. Condiciones de frontera. 35

Figura 19. Grafica esfuerzo deformación aplicada en las simulaciones. 36

Figura 20. Monitoreo de la solución en forma grafica. 37

Figura 21. Comportamiento mecánico probable del sistema de laminaciones. 38

Figura 22. Diagrama esfuerzo deformación de las probetas 1, 2. 40

(14)

Descripción Página

Figura 24. Gráfica del por ciento de reducción de área versus por separación en la

vertical de los defectos. 41

Figura 25a. Aspecto macro de la fractura de las probetas sin laminaciones. 42

Figura 25b. Fractura macroscópica de una probeta con laminaciones. 42

Figura 26.

Distribución esquemática del esfuerzo de v Mises, en la región interlaminar y puntas de grieta extremas, correspondiente al caso 1, tubo de 24”, espesor 1”, ri=1.5”, rd=.75”, zona elástica.

43

Figura 27. Mapa del esfuerzo de v Mises, en el entorno de los defectos y en la región

interlaminar, para una presión interna de 1980 psi en la laminación, caso 1. 44 Figura 28. Mapa del esfuerzo de v Mises, en el entorno de los defectos y en la región

interlaminar, para una presión interna de 2205 psi en la laminación, caso 1. 45 Figura 29.

Mapa del esfuerzo de v Mises, en el entorno de los defectos y en la región interlaminar, para una presión interna de 3060 psi en la laminación, al caso 1.

45

Figura 30. Mapa del esfuerzo de v Mises, en el entorno de los defectos y en la región

interlaminar, para una presión interna de 7485 psi en la laminación, caso 1. 46 Figura 31. Laminación escalonada, tubo de 20” de diámetro, espesor 5/8”, API 5LX52. 47 Figura 32. Desplazamiento máximo al centro de la laminación de mayor diámetro. 47 Figura 33. Diagrama vectorial de los esfuerzos principales en la región interlaminar. 48

Figura 34. Trayectoria del agrietamiento. 48

Figura 35.

Grafica del esfuerzo de von Mises versus presión interna en los defectos, para la zona de punta de grieta derecha en la región interlaminar, para un espesor de 1”, dx=1/32”, dy=1/32”,casos 1, 2, 3.

49

Figura 36.

Grafica del esfuerzo de von Mises versus presión interna en los defectos, para la zona de punta de grieta derecha en la región interlaminar, para un espesor de 1”, dx=1/32”, dy=1/32”, casos 4, 5, 6.

50

Figura 37.

50

Figura 38. Pendiente n versus relación del radio de los defectos, para un espesor de 1”,

dx=1/32”, dy=1/32”. 51

Figura 39.

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Figura 40.

52

Figura 41.

53

Figura 42. Pendiente n versus relación del radio de los defectos, para un espesor de 1”,

dx=1/32”, dy=1/16”. 53

Figura 43. Grafica de la presión interna en los defectos que origina la cedencia versus

relación del radio de los defectos, espesor del tubo 1”, dx=dy=1/32”. 54

relación del radio de los defectos, espesor del tubo 1”, dx=1/32”, dy=1/16”. 55

Figura 45.

Grafica del esfuerzo de von Mises versus presión interna en los defectos, para la zona de punta de grieta derecha en la región interlaminar, para un espesor de 0.625”, dx=1/32”, dy=1/32”, casos 19, 20, 21.

56

Figura 46.

56

Figura 47.

57

Figura 48. Pendiente n versus relación del radio de los defectos, para un espesor de

0.625”, dx=1/32”, dy=32”. 57

Figura 49.

58

Figura 50.

Grafica del esfuerzo de von Mises versus presión interna en los defectos, para la zona de punta de grieta derecha en la región interlaminar, para un espesor de 0.625” , dx=1/32”, dy=1/16”, casos 31, 32, 33.

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Figura 51.

59

Figura 52.

Grafica del esfuerzo de von Mises versus presión interna en los defectos, para la zona de punta de grieta derecha en la región interlaminar, para un espesor de 0.625”, dx=1/32”, dy=1/16”.

60

relación del radio de los defectos, espesor del tubo 5/8”, dx=dy=1/32”. 61 Figura 54.

Grafica de la presión interna en los defectos que origina la cedencia versus relación del radio de los defectos, espesor del tubo 5/8”, dx=1/32”, dy=1/16”.

61

Figura 55.

Grafica de la presión interna que alcanza el esfuerzo ultimo del material versus tamaño del defecto simétrico, para espesores del tubo de 1”, 5/8” respectivamente, dx=dy=1/32”.

62

Figura 56.

Grafica de la presión interna que alcanza el esfuerzo ultimo del material versus tamaño del defecto simétrico, para espesores del tubo de 1”, 5/8” respectivamente, dx=1/32”, dy=1/16”.

62

Figura 57.

Grafica del esfuerzo de von Mises versus presión interna en los defectos, para la zona de punta de grieta derecha en la región interlaminar, para un espesor de 0.625”, dx=1/32”, dy=1/32”, ri, rd=0.25”, 0.5”.

63

Figura 58.

Grafica del esfuerzo de von Mises versus presión interna en los defectos, para la zona de punta de grieta derecha en la región interlaminar, para un espesor de 0.625”, dx=1/32”, dy=1/32”, ri, rd=0.125”, 0.625”.

64

Figura 59.

Mapa del esfuerzo de v Mises, en el entorno de los defectos para una presión interna máxima de 10,000 psi en la laminación, correspondiente al caso 1.

65

Figura 60.

Mapa del esfuerzo de v Mises, en el entorno de los defectos para una presión interna máxima de 8000 psi en la laminación, correspondiente al caso 2.

65

Figura 61.

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Figura 62.

66

Figura 63.

66

Figura 64.

Mapa del esfuerzo de v Mises, en el entorno de los defectos, para una presión interna máxima de 5200 psi en la laminación, correspondiente al caso 6.

66

Figura 65.

67

Figura 66.

67

Figura 67.

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CAPITULO I INTRODUCCIÓN 1 INTRODUCCIÓN

Las laminaciones presentes en ductos destinados al transporte de hidrocarburos, son discontinuidades del tipo planar, parcial o totalmente contenidas en el espesor, que pueden tener su origen en el proceso de manufactura de los tubos, durante el colado, rolado y enfriamiento de la placa o bien ser formadas durante el servicio por la absorción de hidrógeno proveniente, ya sea de la reacción de corrosión del acero en un medio amargo o del generado por la protección catódica [1].

En la figura 1 se muestran algunas laminaciones.

Laminación de fabricación Laminación simple

Laminación abultada Laminación escalonada

Figura 1 Tipos de laminaciones

La identificación de las laminaciones se hace por su forma, localización y origen, teniendo los siguientes tipos como se muestra en la tabla 1 [2]:

Tabla 1 Identificación de las laminaciones por su forma, localización y origen. Por su forma Por su localización Por su origen (manufactura)

Planas Simples Aisladas Rolado

Discontinuas Conectadas a soldaduras Bandas de inclusiones

Escalonadas Conectadas a la superficie Traslapes

Inclinadas Combinadas con otros defectos De servicio

Abultadas ampolladas Por absorción de hidrógeno

Las laminaciones en ductos de transporte de hidrocarburos son defectos que muy frecuentemente son causa de reparación o reemplazo de tuberías, con un elevado costo y un alto riesgo. Hasta la

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fecha, no se cuenta con un criterio normalizado de evaluación de la severidad de laminaciones para realizar un análisis de integridad, por lo que los operadores de líneas de conducción adoptan criterios de evaluación establecidos en normas de construcción o realizan cálculos de severidad suponiendo la laminación como una pérdida de espesor [3]. El uso de estos criterios frecuentemente resulta en una sobrestimación de la severidad de las laminaciones, lo que lleva a la realización de reparaciones innecesarias.

En las laminaciones que son causadas por el agrietamiento inducido por hidrógeno (AIH) independientemente de donde se inicien, siempre tienen la posibilidad de que se interconecten formando una sola grieta de mayor tamaño. Al respecto hay dos posibilidades: si dos grietas se forman en el mismo plano, al interconectarse formaran una grieta de mayor tamaño sin escalonamiento y si las grietas se forman en planos a diferentes profundidades, al interconectarse formarán un escalón. También es probable que un defecto por AIH se comience a escalonar en alguno de sus bordes. Cuando la laminación es muy larga o la expansión de la cavidad es excesiva, puede ocurrir que la grieta se deflexione, esto normalmente ocurre hacía la pared interna del tubo formando una grieta combinada en forma de T o L [4].

En principio, si no hay escalonamiento, las laminaciones hacen que el tubo se comporte como un tubo de doble pared. En una pared simple el esfuerzo circunferencial máximo esta en el lado interno y decrece al acercarse a la pared exterior por el efecto de la curvatura. Si el mismo espesor se convierte en doble pared, los esfuerzos se distribuyen mas uniformemente, pues la pared externa sirve de soporte a la interna. En la práctica esto significa que un tubo laminado sin escalonamiento puede resistir mayores presiones internas que un tubo de pared simple del mismo espesor [4].

En trabajos experimentales en relación al comportamiento mecánico de laminaciones se expones en los párrafos que preceden.

En pruebas de tensión uniaxial de placas laminadas con escalonamiento máximo de 20%, los resultados indican que no hay disminución de la resistencia última a la tensión ni del esfuerzo de cedencia [5]. Cuando no existe traslapamiento, la propagación de las grietas es más probable de llevarse a cabo en los vértices internos [6-7].

De acuerdo a Yokobori, la disminución del factor de intensidad de esfuerzos de los vértices internos cuando las grietas se traslapan, esta relacionado a un relajamiento de esfuerzos [8].

Makio Iino, reporta que el AIH se caracteriza por la formación de ampollas, producto de la precipitación de hidrógeno en la interfase matriz inclusión, las cuales se interconectan por la presión

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del hidrógeno y que el agrietamiento se acompaña por una considerable deformación plástica, argumentando que la fractura se desarrolla por la interconexión de microgrietas formadas fuera del plano aproximadamente perpendicular al eje de carga (agrietamiento ortogonal) y es influenciada por la presencia del esfuerzo externo. Añade en su análisis, que el esfuerzo cortante producido por la presión interna del defecto, es disminuido por el esfuerzo cortante inducido en forma opuesta por el esfuerzo externo [9]. Estudios basados en cargado catódico y pruebas de tensión.

A. Ikeda realizó sus investigaciones aplicando MEF para el caso de un tubo bajo condiciones de cargado de Hidrógeno conteniendo grietas en planos paralelos y en ausencia de un esfuerzo externo, y como resultado estimo la configuración de las áreas deformadas y la dirección de los esfuerzos principales del sistema de grietas escalonadas en ausencia de un esfuerzo externo. Destaca el papel de la interacción de las grietas y la interconexión si están muy próximas sin necesidad de la formación de grietas secundarias [10].

Zacaria y Davies, destacan que la presión de hidrógeno en el interior de la grieta actúa de una forma hidrostática, y conforme el tamaño de la grieta se incrementa de un valor nominal ao a un valor ao +

∆a, la presión del H dentro de la grieta disminuirá instantáneamente y dependiendo del criterio de energía de Irwin y de la concentración de Hidrógeno, la propagación de esta grieta ya sea que se detenga o que disminuya lentamente [11].

W. A. Moussa, analiza mediante MEF dos grietas no coplanares traslapadas y separadas en la vertical en una placa sujeta a tensión; proponen un factor de interacción de esfuerzos en la zona interna de los vértices de grieta, concluyendo la influencia que tiene la interacción del tamaño de grietas y la distancia que las separa, obteniendo una función cuadrática de las variables tamaño de grieta y espesor [12].

Desde el punto de vista del comportamiento mecánico, poco se sabe en relación a la magnitud de los esfuerzos generados en áreas de laminación escalonada y sobre la evolución de los campos de esfuerzos y deformación en el área interlaminar en función de la presión en el defecto y en el ducto. Menos aun se tienen resultados respecto de análisis no lineales de esfuerzo versus deformación en las zonas que desarrollan gran deformación plástica al crecer las laminaciones sin interconectarse.

Con el objetivo de analizar el comportamiento de laminaciones escalonadas con presión interna en condiciones más realistas, se modela la interacción de dos grietas presurizadas no coplanares

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contenidas circunferencialmente en el espesor de un tubo presurizado, con una discretización topologicamente controlada y con elementos bi-cuadráticos en la región interlaminar. Para no afectar la sensibilidad del estudio por la diferencia de elementos de un modelo a otro. Por la singularidad del esfuerzo en punta de grieta el modelo se construye con elementos isoparamétricos, con 20 nodos y 3 grados de libertad por nodo [13]. El total de elementos y nodos empleados es de 60,000 y 180,000 respectivamente, y se emplea el código comercial de elemento finito ANSYS V8.0.

El diseño de la matriz de simulaciones es de tipo factorial [14], tal que permita analizar sin ambigüedades el efecto de cada variable (radio de las laminaciones, presión interior de la laminación y espesor del tubo) en el comportamiento elasto-plástico del sistema y establecer un algoritmo para la predicción del inicio de la inestabilidad mecánica.

Los resultados de las simulaciones, se presentan en graficas que relacionan las variables tales como: Presión en el defecto versus esfuerzo de v Mises en la zona de grietas (región interlaminar), pendiente (coeficiente zona lineal) versus relación tamaño de los defectos, presión de cedencia vs relación del radio de los defectos, presión critica (presión interna del defecto que causa plastificación en la región interlaminar) versus radio de laminaciones simétricas. Además se reportan los mapas de esfuerzos de v Mises para el historial de carga de presión y diagramas vectoriales de la dirección del agrietamiento.

Para determinar las propiedades mecánicas del acero API 5L-X52 con y sin laminaciones, se ensayaron probetas de tensión de tubos retirados de servicio en los que por medio de inspección ultrasónica se detectaron las laminaciones; dichas probetas de tensión se instrumentaron con galgas extensiométricas en las direcciones longitudinal y transversal a la fuerza de tensión uniaxial, para obtener la curva de esfuerzo-deformación.

CAPITULO II ANTECEDENTES 2.1 AGRIETAMIENTO INDUCIDO POR HIDROGENO AIH

(22)

El agrietamiento inducido por hidrógeno es una problemática que se presenta en los ductos que transportan hidrocarburos, además de ciertos residuos de H2S, CO2 y H2O. La combinación de estos

elementos producen reacciones de corrosión en las paredes internas del tubo, lo cual limita su vida útil, la reacción de corrosión que ocurre en la tubería se puede representar de la siguiente forma:

) ( 2 2S FeS H gas H Fe + → + ↑ {1}

El hidrógeno que se produce en esta reacción se difunde hacia el interior del tubo, ocasionando problemas de fragilización y agrietamiento. Los átomos de hidrógeno disueltos en el acero tienden a recombinarse y a formar nuevamente moléculas de hidrógeno, proceso que ocurre preferentemente en las inclusiones no metálicas presentes en el material o en la interfase de estas con el metal [15]. Esta reacción genera presiones muy elevadas provocando la formación de grietas en el material.

La estrategia industrial para fabricar aceros resistentes al AIH ha sido eliminar las inclusiones de Sulfuro de Manganeso tipo 2 mediante una drástica reducción del contenido de azufre y el control de la forma de las inclusiones mediante adición de calcio, lo cual hace los sulfuros esféricos, y debido a su dureza permanecen esféricas después del procesamiento [16]. La reducción del contenido de azufre o la adición de cobre al menos del 0.25% en peso son benéficas, pues el primero reduce la formación de inclusiones de sulfuro de Manganeso y el segundo reduce la penetración del hidrógeno. La adición de cobre hasta 1.7% en peso incrementa el punto de fluencia y disminuye la temperatura de transición dúctil frágil, pero a mayor contenido de cobre, alrededor del 2% eleva la temperatura de transición porque se precipita el cobre durante el enfriamiento después de laminado en caliente.

En la corrosión por H2S se involucran diversos y complejos mecanismos que sin embargo, pueden

entenderse mediante la reacción básica de corrosión del Hierro (reacción 1), la cual necesariamente comprende una reacción anódica, (reacción 2) y una catódica (reacción 5) conocidas como reacciones de media celda [17-18].

Reacción Catódica:

La reacción catódica sobre el acero al carbón responsable de la corrosión del hierro puede ser atribuido a la evolución del hidrógeno la cual se muestra esquemáticamente en el modelo de la figura 2 y ser representa en la siguiente ecuación [17-18]:

2

(23)

Bolmer propuso una reacción (reacción 3) en la que H2S se disocia produciendo hidrógeno cerca de

la superficie del acero, dicha reacción esta limitada por la difusión del H2S a la superficie,

desarrollándose esta en dos pasos (reacción 4 y 5):

− − _→ ₊ + e H HS S H 2 2 2 2 2 {3} − + → + e H HS S H2 ads {4} 2 H H Hads + ads ⇔ {5}

Posteriormente los iones HS- se combinan con los iones hidronio (H3O+) para formar nuevamente

el H2S y el agua. HS + H3O → H2S +H2O {6} +

−

La evolución de hidrógeno mostrada en la figura es controlada por la secuencia de reacciones en la interface metal solución el modelo anterior muestra las posibles etapas durante la reducción del hidrógeno sobre una superficie metálica. Como puede observarse para que el proceso de reducción de hidrógeno se lleve a cabo se requiere de una atmósfera ácida diluida que provea protones H+ al sistema, los cuales tienden a adsorberse en la superficie del metal etapa 1 lo que provoca una transferencia de electrones del metal hacia los protones absorbidos en la superficie, que a su vez se reducen etapa 2 y posteriormente se combinan para formar hidrógeno molecular etapa 3, para formar junto con otras moléculas una burbuja de hidrógeno gaseosa (etapa 4) [17].

anódo H+ H H2 H H+ Metal catódo e anódo e _E 2 E3 E3 E2 H2 H+ H+ E1 E4 E1 Solución H2 H2

Figura 2. Modelo de reducción del hidrógeno sobre una superficie metálica. Reacción Anódica

En forma general la reacción anódica o de oxidación se caracteriza por el incremento en la valencia del material que se disuelve mientras los electrones liberados se recombinan en el proceso de reducción o reacción catódica. La disolución del acero puede esquematizarse en un sencillo modelo como el que se muestra en la figura 3.

−

+ ₊

→Fe e

(24)

Metal Solución anódo anódo catódo Fe+ Fe+ Fe+ Fe+ H+ H+ H+ H+ H 2 H 2 H 2 H 2 H 2 Fe+ Fe+ e e Fe+

Figura 3. Modelo de la disolución del acero.

Por lo que respecta a la reacción anódica para el sistema Fe-H2 S Lofa y Batrakov propusieron las

siguientes reacciones para explicar la disolución del hierro, en la que la (etapa 2) (reacción 9 ) es la que controla disolución del metal en el ambiente de H2S.

ads FeHS HS Fe+ ⇔( −) {8} e FeHS FeHS )ads 2 ( − → + + {9} − + _→ ₊ HS Fe FeHS 2 {10}

Durante la oxidación del acero los iones metálicos de hierro ( Fe + ) van pasando a la solución, con lo que se lleva a cabo la disolución del acero, que por tratarse de un proceso corrosivo de polarización por activación es fuertemente influenciada por la reducción del hidrógeno [17].

2.2 TEORÍAS RELACIONADAS AL DAÑO POR HIDRÓGENO EN ACEROS

En la actualidad están establecidos varios mecanismos básicos relacionados con daños provocados por la presencia de hidrógeno en los metales. Se mencionan en la literatura tres grandes grupos:

• La fragilización del material como el resultado de los cambios de fase que resultan de la presencia del hidrógeno,

• El mecanismo relacionado con el aumento de la plasticidad local debido a la presencia local debido a la presencia de hidrógeno.

• El mecanismo de decohesión, en donde la decohesión se asocia a la fragilización por hidrógeno con el decremento de la fortaleza del enlace atómico resultado de la concentración local de H.

(25)

Las trampas de hidrógeno son defectos microestructurales que actúan como sitios específicos de atrapamiento de hidrógeno y son capaces de retenerlo, retardando su difusión, las principales trampas que se han observado en el acero son: dislocaciones, limites de grano, vacancias e interfaces matriz-inclusión entre otras, las trampas se clasifican de acuerdo a su energía de interacción, siendo 30 KJ el mínimo valor para que el hidrógeno sea retenido [19].

Otra condición para la fragilización por hidrógeno es que el hidruro que se forme sea una fase frágil que pueda sufrir un fractura por clivaje. Este mecanismo de fragilización por hidrógeno se puede describir como sigue: bajo un esfuerzo aplicado, el potencial químico de los solutos de hidrógeno y de los hidruros se reduce, tal como sucede en la punta de las grietas. Ocurre entonces la difusión del hidrógeno a estas singularidades elásticas y la precipitación del hidruro en la punta de la grieta. La grieta se propaga dentro del hidruro, la formación del cual es acompañada por un alto campo de esfuerzo compresivo local. Sin embargo la gran disminución de KIC permite una rápida propagación

de la grieta cuando el esfuerzo aplicado es solo moderadamente aumentado y la grieta se propaga por clivaje hasta que se alcanza la frontera del hidruro.

En este punto, la grieta entra en una etapa dúctil con un mayor valor de KIC y la grieta se detiene

hasta que se vuelva a formar más hidruro. Este proceso se repite constantemente, resultando en una grieta discontinua que crece a través de la fase de hidruro formada, con la formación de hidruros a lo largo de las caras de la grieta [20]. La figura 4 muestra un modelo esquemático propuesto por Birnbaum [19], para explicar la mecánica de este tipo de daño.

Adsorción Adsorción σ σ H H H H H H H H H H H Propagación Zona de alta concentración de esfuerzos Fractura del Hidruro estabilizado H H H

(26)

En muchos casos la definición de fractura relacionada con el hidrógeno, así como el térmico fractura frágil, esta basada en la perdida de la ductilidad macroscópica y/o la relativamente baja resolución de los estudios de las superficies de fractura. En la literatura se ha sugerido, basado en los análisis fractográficos, que la fragilización por hidrógeno de los aceros es un hecho asociado con el aumento de la plasticidad en la zona de la punta de la grieta. Este punto de vista no había recibido mucha atención sin embargo en años recientes se ha vuelto evidente que la fragilización por hidrógeno debida al aumento de la plasticidad es un mecanismo factible de fractura.

Algunos autores coinciden en la tesis básica de que la presencia de hidrógeno aumenta la plasticidad en la punta de la grieta y provoca la fractura, otros consideran que el efecto del hidrógeno ocurre en el volumen del material así como cerca de la superficie.

El alto campo local de esfuerzos en la punta de la grieta reduce el potencial químico del soluto hidrógeno y como resultado de la difusión su concentración aumenta localmente. La punta de la grieta es también el lugar más probable para que el hidrógeno entre forme una atmósfera, ya que este es el lugar donde la deformación plástica ocurre primero. La resistencia al movimiento de dislocaciones y así el flujo de esfuerzos disminuye presencia del hidrógeno. Así en regiones de alta concentración de hidrógeno el deslizamiento ocurre a un esfuerzo que será menor que el requerido para la deformación plástica en otras partes del material, es decir, ocurre un deslizamiento localizado en la vecindad de la punta de la grieta. En presencia de hidrógeno el proceso de deformación plástica y la fractura resultante tienen lugar a un esfuerzo reducido y la zona plástica fue más limitada en extensión. Así, el hidrógeno causa aumento de la plasticidad a un menor esfuerzo aplicado [20].

Otra teoría propone que el hidrógeno absorbido tiende a absorberse en las superficies libres creadas durante la propagación de una grieta o en las interfaces internas, disminuyendo así la energía de superficie basándose en el criterio de Griffith, el cual considera que el esfuerzo de fractura es proporcional a la raíz cuadrada de la energía de superficie [21].

De acuerdo con la evidencia fractográfica, Beachem [22] propuso una teoría para el agrietamiento asistido por hidrógeno en la cual el efecto del hidrógeno se incrementa debido al constante movimiento de las dislocaciones. En esta teoría el hidrógeno adsorbido en la superficie de la entalla o defecto se difunde de forma asistida por las dislocaciones, a través de los planos de deslizamiento, lo cual provoca el debilitamiento de enlaces y consecuentemente el avance de la grieta a menores niveles de energía. La figura 5 muestra un modelo esquemático propuesto por Lynch [19] para explicar esta teoría.

(27)

σ σ

Figura 5. Modelo esquemático propuesto por Lynch, flujo plástico localizado

Una de las más viejas y comunes referencias a los mecanismos de fragilización por hidrógeno es la decohesión. En general la decohesión se asocia a la fragilización por hidrógeno con el decrecimiento en la fortaleza del enlace atómico resultado de la concentración local del hidrógeno. Así, la fractura por clivaje ocurre cuando el esfuerzo aplicado excede el esfuerzo cohesivo, que se asume disminuye por la presencia de hidrógeno. En los sistemas en los cuales ocurre fractura transgranular, se espera que la falla sea a lo largo de los planos de clivaje y que exhiban fractografía de clivaje mientras la fractura intergranular debe ocurrir directamente a lo largo de las superficies de las fronteras de grano. En una fractura intergranular los parámetros relevantes son la energía cohesiva y la fuerza cohesiva de la frontera de grano, las cuales está postulado que decrecen por la presencia del hidrógeno así como por la segregación de otros solutos [23]. Existe un gran número de publicaciones relacionadas con los mecanismos de decohesión.

La determinación de la decohesión atómica se realiza en forma cualitativa mediante estudios fractográficos in-situ y se cree que se desarrolla mediante absorción en enlaces y/o decohesión de limite de grano en la figura 6a se presenta un modelo esquemático propuesto por Oriani.[22] Esta teoría puede entenderse como la fractura de un material fragilizado donde la presencia de hidrógeno absorbido, va disminuyendo la resistencia del enlace atómico en la punta de la grieta hasta que la magnitud del esfuerzo local perpendicular al avance de la grieta sobre pasa la resistencia del enlace, extendiendo la grieta. La propagación de la grieta es discontinúa debido a la concentración de hidrógeno requerida en la decohesión atómica [22-24]. La aplicación de este modelo en la fractura dúctil no es fácil de visualizar debido a la generalizada deformación plástica, sin embargo supone que al igual que en la fractura frágil la concentración de hidrógeno ejerce un importante efecto sobre las fuerzas cohesivas de los átomos en las zona cercana a la punta de la grieta permitiendo que esta avance de manera relativamente frágil.

(28)

σ σ Debilitamiento de enlaces Adsorción de H Rompimiento de enlaces σ σ

a) Decohesión de enlaces b) Decohesión de límites de grano Figura 6a. Modelo de la energía cohesiva.

En el mecanismo de la presión interna se asume que la degradación del acero se presenta debido a la acumulación de grandes cantidades de hidrógeno que difunden al interior del acero y se acumula en defectos microestructurales dentro de la red, lo cual eventualmente genera presiones suficientemente altas para nuclear y propagar pequeñas grietas [22-19]. Como puede observarse en esta teoría los factores metalúrgicos tales como, tamaño de grano y forma, tamaño y distribución de inclusiones, tienen una gran influencia sobre el grietamiento causado por presión interna la figura 6b muestra un modelo propuesto por Zapffee [22], en donde se ilustra este tipo de agrietamiento.

Recombinación

Y Acumulación Propagación

Adsorción Difusión Nucleación

(29)

2.3 COMPORTAMIENTO MECÁNICO DE ACEROS AL CARBÓN Y SATURADOS CON HIDRÓGENO.

Miyoshi y Tanaka [25] empleando especimenes típicos de tensión, procedente de un acero con alto contenido de Mn y P, obtenido en laboratorio mediante un horno de inducción de alta frecuencia y forjado posteriormente a 1100°C, realizaron pruebas de cargado catódico con un densidad de corriente 1 mA/cm2 durante diferentes periodos de tiempo. Después del cargado, dichos especimenes fueron ensayados en tensión, empelando una velocidad de deformación de 10-3s-1, reportando la reducción de área afectada por el tiempo de cargado.

Troiano [26] mostró que en aceros de baja resistencia (σy≤ 700 Mpa) el hidrógeno no ejerce un efecto significativo sobre el esfuerzo de cedencia (σy) y que la perdida de ductilidad se manifiesta por disminución de la reducción de área (%R.A.) acentuándose ésta con el incremento de hidrógeno disuelto en el acero. Por otro lado Toh y Baldwin [26] reportan que la disminución del por ciento de reducción de área está fuertemente influenciada por la temperatura, encontrando el efecto mayor de ésta alrededor de 25° C. Estos autores encontraron también que la concentración de hidrógeno ejerce un efecto directamente proporcional sobre la ductilidad y que el por ciento de reducción de área disminuye cuando se incrementa la velocidad de deformación.

Rodríguez [27] reporta para aceros API 5L X-52, reducciones en alargamiento del orden del 50%, cuando el acero se encontraba saturado de hidrógeno ( 100 h de inmersión en agua de mar sintética saturada de H2S ), reportando además variaciones del 5% en los valores de esfuerzo de cedencia y

el esfuerzo último a la tensión.

El efecto del hidrógeno sobre la tenacidad de la fractura del acero API X52, radica en una disminución de la misma y el esfuerzo de cedencia el esfuerzo máximo de fractura y la resistencia al impacto no cambian por la presencia de hidrógeno, en las observaciones fractograficas el hidrógeno fragiliza al acero cambiando el mecanismo de fractura dúctil a frágil [28].

Con respecto al efecto del hidrógeno sobre la tenacidad a la fractura (Kjc) del acero API5LX52 [27],

se reporta que el H disuelto en el acero, provoca una disminución en Kjc del 36% para el acero más

tenaz y del 16% para el de menor tenacidad, basándose en estos resultados, dicho autor sugiere que la magnitud del efecto del hidrógeno sobre Kjc podría estar vinculado, a la tenacidad del acero

cuando este se encuentra libre de hidrógeno. Los valores del límite de cedencia, del esfuerzo de tensión y del coeficiente de endurecimiento permanecen prácticamente constantes, respecto del efecto del hidrógeno sobre las propiedades en tensión, reporta Hernández. Los ductos que

(30)

transportan hidrocarburos amargos generalmente contienen hidrógeno disuelto, que disminuye la tenacidad a la fractura del material APIX52 [29]. Independientemente de cual sea el tipo de daño por hidrógeno que se presente en el material, este se manifiesta macroscópicamente en el deterioro de algunas de sus propiedades mecánicas, tales como reducción de su ductilidad, reducción de la tenacidad a la fractura lo cual provoca la disminución de la vida útil del material.

2.4 ESTUDIOS DEL COMPORTAMIENTO MECÁNICOEN ARREGLOS DE GRIETAS.

Las laminaciones son causadas por el agrietamiento inducido por hidrógeno (AIH). Independientemente de donde se inicien, las laminaciones siempre existe la posibilidad de que se interconecten formando una sola grieta de mayor tamaño. Al respecto hay dos posibilidades: si dos grietas se forman en el mismo plano, al interconectarse formaran una grieta de mayor tamaño sin escalonamiento y si las grietas se forman en planos a diferentes profundidades, al interconectarse formarán un escalón, se muestra esquemáticamente en la figura 7. También es probable que un defecto por AIH se comience a escalonar en alguno de sus bordes. Cuando la laminación es muy larga o la expansión de la cavidad es excesiva, puede ocurrir que la grieta se deflexione, esto normalmente ocurre hacía la pared interna del tubo formando una grieta combinada en forma de T o L [4].

Conexión sin escalón Conexión con escalón S Grieta tipo L Grieta tipo T

Figura 7. Interconexión de grietas por AIH formando una grieta escalonada

En cuanto al análisis del agrietamiento se determino que el problema más relevante es conocer la severidad de grietas combinadas en arreglos T, L, S, se encontró que las grietas S son las más severas, por tener el mayor factor de intensidad de esfuerzo. Y que la posición de la grieta con respecto a los esfuerzos circunferenciales y a la superficie externa o interna del tubo influye significativamente en el campo de esfuerzos alrededor de la punta de la grieta [30].

En pruebas de tensión uniaxial de placas laminadas con escalonamiento máximo de 20% los resultados indican que no hay disminución de la resistencia última a la tensión y ni del esfuerzo de cedencia; por lo que se infiere que las grietas con menos del 20% de escalonamiento no afectan la resistencia del tubo. La presencia de laminaciones reduce la capacidad de deformación lateral de un material sometido a tensión uniaxial hasta en un 37% [5].

(31)

Mattheck y Beller [31-32], abordaron el problema de agrietamiento escalonado introduciendo el concepto de grieta equivalente, en el cual una grieta escalonada es reemplazada por una grieta inclinada que ocupa la misma posición que la grieta escalonada, como se muestra en la figura 8, el análisis lo realizan mediante el MEF asumiendo deformación plana, elementos de ocho nodos, desplazamiento bi-cuadrático, el factor de intensidad de esfuerzos es calculado por la integral de Rice y aplicando la extensión virtual .

Grieta real

Grieta equivalente

Figura 8. Esquema de una grieta equivalente.

La manera de extensión de la fractura inducida por hidrógeno de este tipo es considerablemente influenciada por la presencia de un esfuerzo externo, la distribución del esfuerzo cortante inducido es sensiblemente influenciado por el esfuerzo externo aplicado, paralelo al el plano de la laminación. Makio Iino [9] reporta la distribución del esfuerzo cortante alrededor de una grieta presurizada por el hidrógeno y bajo esfuerzo externo.

De acuerdo a Yokobori [8-33], la disminución del factor de intensidad de esfuerzos en los vértices internos cuando las grietas se traslapan esta relacionado a un relajamiento de esfuerzos. La interacción entre dos grietas paralelas produce un incremento del factor de intensidad en modo I tanto en los vértices internos como en los externos, disminuyendo de esta manera el esfuerzo requerido para la propagación de las grietas. Esta interacción también induce un esfuerzo cortante en los vértices internos de las grietas, el cual tiene un efecto importante sobre la dirección de propagación de la grieta [7-34].

(32)

2.5 CARACTERÍSTICAS MECÁNICAS Y QUÍMICAS DEL ACERO API5LX52

En el caso particular del acero del tipo API5LX52 grado tubería (según la denominación del American Petroleum Institute) el estudio de los procesos y mecanismos de fractura por H es de importancia, ya que este material es uno de los más utilizados en la fabricación de tuberías empleadas por la industria petrolera [35-18]. La gran aceptación que ha tenido este acero es dada principalmente por sus excelentes propiedades mecánicas tales como, buena conformabilidad, buena resistencia mecánica y un bajo costo.

La composición química requerida del acero grado tubería según la especificación API5L, se muestra en la tabla 2.

Tabla 2. Composición química del acero API5LX52.

Elemento % peso máximo

C 0.10 S 0.005 Mn 1.05 Cu 0.35 P 0.020 Microaleantes (Nb,V,Ti) 0.011

Las propiedades mecánicas [21-29] se reportan en la tabla 3.

Tabla 3. Propiedades mecánicas del acero API5LX52.

Propiedad Magnitud

Resistencia a la fluencia 52,000 PSI

(358 Mpa),

Resistencia última mínima 66,000 PSI

(455 Mpa),

KJC, orientación CL, no saturada 110 MPa m ½

100.1 Ksi plg ½ KJC, orientación CL, saturada 93 MP a m ½ 84.63 Ksi plg ½ KJC, orientación LC, no saturada 204 MP a m ½ 185.5 Ksi plg ½ KJC, orientación LC, saturada 166 MP a m ½ 151 Ksi plg ½

JIC, orientación CL, no saturada 59.9 E-3 MPa m

342 E -3 Ksi plg

JIC, orientación CL, saturada

42.8 E-3 MPa m 244.5 E -3 Ksi plg JIC, orientación LC, no saturada

203.7 E-3 MPa m 1163 E -3Ksi plg JIC, orientación LC, saturada

77.3 E-3 MPa m 441 E -3Ksi plg

(33)

3.1 EL METODO DEL ELEMENTO FINITO

El MEF es una herramienta poderosa en la resolución numérica de un amplio rango de problemas de ingeniería para resolver un sistema de ecuaciones de gobierno sobre el dominio de un sistema físico continuo. Para el análisis estructural las ecuaciones de gobierno son dadas de la mecánica del medio continuo y de la teoría de la elasticidad. La base del elemento finito consiste en considerar pequeñas partes llamadas “elementos”, los cuales subdividen el dominio del sólido estructural, conectándose unos con otros en un número finito de puntos llamados “nodos”. Este ensamble proporciona un modelo para el elemento estructural, en el cual el dominio de cada elemento asume una solución general simple a las ecuaciones de gobierno [36]. Las ecuaciones derivadas de la teoría de la elasticidad gobiernan la solución para sólidos bidimensionales. Dichas ecuaciones relacionan componentes de desplazamiento, deformación y esfuerzos. Las componentes de desplazamiento en el plano en un sistema coordenado x-y, producen las componentes “u” en la dirección “x” y “v” en la dirección “y”. Las componentes de la deformación en el plano son εγx, εy y γxy.

Las relaciones deformación-desplazamiento se dan en la ecuación:

x u x _δ δ = ε ……….. (1), y v y _δ δ = ε ………. (2), x v y u xy _δ δ + δ δ = γ ……….. (3)

Las componentes del esfuerzo correspondiente a esas deformaciones son σx σy τxy. Las

componentes en al plano σz, σxz, τ yz son cero. Las relaciones esfuerzo-deformación para esfuerzo

plano están dadas por la ecuación:

(4) ⎪ ⎭ ⎥ 2 1

Para deformación plana, las componentes εz, γxz, y γyz son cero. Las relaciones esfuerzo-deformación para esfuerzo-deformación plana están dadas por la ecuación:

⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ε ε ε ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ τ σ σ z y x 2 xy y x 2 v 0 0 0 1 v 0 v 1 ) v 1 ( E L L L L L L L L L L L L L L L L L ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ γ ε ε ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ v (5) ⎣ − − − − + = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ τ σ σ xy y x xy y x 2 v 2 1 0 0 0 ) v 1 ( v 0 v ) 1 ( ) v 2 1 )( v 2 1 ( E L L L L L L L L L L L L L

CAPITULO III CONSIDERACIONES TEORÍCAS MEF

La formulación del elemento finito aproxima la solución del desplazamiento con un elemento por una relación de forma funcional simple con valores en los puntos nodales. Asumiendo esta función para el desplazamiento, derivamos la matriz de rigidez del elemento relacionando desplazamientos nodales con fuerzas nodales.

(34)

3.2 FORMULACION DE UN ELEMENTO

El principio de trabajo virtual establece que si una estructura la cual está en equilibrio con sus fuerzas aplicadas es sujeto a un grupo de pequeños desplazamientos virtuales compatibles, el trabajo virtual hecho por las fuerzas externas es igual a ala energía de deformación virtual de los esfuerzos internos [35-37]. Aplicando este principio al elemento tenemos:

δUe=δWe (6)

Donde δUe es la energía virtual de deformación y δWe es el trabajo virtual de las fuerzas externas

actuando a través de los desplazamientos virtuales.

Usando una función de desplazamiento asumida para el desplazamiento de cualquier punto en el material en todo elemento aproximadamente satisface las ecuaciones de elasticidad. La función de desplazamiento y los valores de los desplazamientos en los puntos nodales prescriben el desplazamiento de cada punto del material sobre el campo del elemento interpola a partir de valores en puntos nodales. Las componentes del campo de desplazamientos son:

{u}= [N]{d} (7) Donde {u} son las componentes del campo de desplazamientos, [N] son las funciones de interpolación y {d} son los valores de las componentes del desplazamiento en puntos nodales para el elemento.

Aplicando las relaciones desplazamientos-deformación ec. 4 a la ec. 7 se tiene:

{ε}= [B] {d} (8) Donde {ε} son las componentes de la deformación y [B] es una matriz que relaciona las componentes de la deformación con los desplazamientos en puntos nodales, y consiste en derivadas de la función de interpolación.

Las componentes del esfuerzo que vienen de las relaciones esfuerzo-deformación pueden escribirse en forma matricial: {σ}=[E] {ε} {σ}=[E] {ε}{d}

Para cualquier grupo de pequeños desplazamientos nodales virtuales {δd} la energía de deformación virtual interna {δUe} es:

δU_e =∫_v

{ } { }

δεT σdV (9) Donde {δε} son las componentes de la deformación virtual producidas por pequeños desplazamientos nodales virtuales, {σ} son las componentes de esfuerzos de volumen diferencial del material en equilibrio y dV indica el elemento de volumen diferencial del medio continuo. El trabajo virtual externo de las fuerzas nodales es:

(35)

{δWe}={δd}T{f} (10)

Haciendo la sustitución para las componentes del esfuerzo y la deformación de las relaciones anteriores tenemos:

{ }

d T

[ ] [ ][ ]

BT E B

{ }

d dV

{ } { }

d T f

v δ = δ

∫

(11)

Donde {δd} son pequeños desplazamientos nodales virtuales des de la configuración de equilibrio y {d} son los desplazamientos nodales actuales del material desde la descarga a la posición de equilibrio.

Ya que ambos desplazamientos nodales virtual y actual son independientes de cualquier integración sobre el volumen del elemento, se tiene una ecuación:

{ }

d

(

v

[ ] [ ][ ]

BT E BdV

)

{ } { } { }

d d T f

T ₌ _δ

δ

_∫

(12)

La cual se reduce al cancelar en ambos miembros de la ecuación el término {δd}T

en:

[k]{d}={f} (13) donde la matriz de rigidez del elemento está dada por:

[ ]

k =

∫

v

[ ] [ ][ ]

BT E BdV (14)

Esto provee la formulación para cualquier elemento basado en una función de desplazamiento asumida que puede interpolar para los desplazamientos de valor nodal dentro del elemento. La matriz del elemento depende entonces de la forma de las funciones de interpolación y de sus derivadas para crear la matriz [B].

Para efectuar un análisis bidimensional existen dos formas de elementos: triángulo y cuadrilátero, los cuales a su vez pueden ser elementos lineales o cuadráticos dependiendo del orden de la función polinomial de interpolación de desplazamiento usada con el área del elemento.

La formulación del elemento cuadrilátero deriva de la función de un elemento cuadrado. Usa un sistema de transformación de coordenadas para convertir el cuadrado en un cuadrilátero figura 9. Considerando un cuadrado con nodos en los vértices figura 10, una expresión lógica para las componentes de la función de desplazamiento es:

u=a1+a2x+a3y+a4xy (15)

(36)

Usando las relaciones deformación-desplazamiento se observa que: εx=a2+a4y

εy=a7++a8x (17)

γxy=a3+a4x+a6+a8y

La función satisface la compatibilidad con el elemento por que la función es continua. A lo largo de los bordes del elemento para x=constante ó y=constante, el desplazamiento toma una forma lineal y así una línea recta entre cualquiera de dos de las esquinas. Esto permite que las conexiones del elemento a otros elementos satisfagan la compatibilidad.

1 4 2 3 1 3 4 2 x 1 4 3 2 y v u

Figura 9. Elemento cuadrilátero bidimensional Figura 10. Cuadrado bidimensional

Se realiza el cambio de sistemas coordenados para transformar el cuadrado en forma cuadrilátero fig 14. Al elemento obtenido se le llama cuadrilátero isoparamétrico por que las mismas funciones de interpolación usadas para definir el campo de desplazamientos definen la transformación geométrica. El campo de desplazamientos asumido se muestra en la ecuación 18, donde la interpolación ocurre en el sistema coordenado cuadrado ξ,η. El rango coordenado de ξ y η es –1 a+1. La evaluación de las ecuaciones de los cuatro nodos debe producir el grupo de ecuaciones de interpolación eliminando los coeficientes constantes a favor de los valores nodales.

u=a1+a2ξ+a3η+a4ξη

(18) v=a5+a6ξ+a7η+a8ξη

Adoptando las fórmulas de interpolación de Lagrange para eliminar coeficientes constantes tenemos:

u=N1u1+N2u2+N3u3+N4u4

(19) v=N1v1+N2v2+N3v3+N4v4

(37)

Las fórmulas de interpolación Ni están dadas por la ecuación:

(

−ξ

)(

−η = 1 1 4 1 N₁

)

(

+ξ

)(

−η = 1 1 4 1 N2

)

=

(

1+ξ

)(

1+η 4 1 N3

)

(20)

(

−ξ

)(

+η = 1 1 4 1 N4

)

Usando las mismas fórmulas de interpolación para relacionar las coordenadas de cualquier punto x,y en un elemento a sus coordenadas nodales se tiene:

x=N1x1+N2x2+N3x3+N4x4

(21) y=N1y1+N2y2+N3y3+N4y4

El elemento del sistema coordenado x,y representa la estructura físicamente, y por lo tanto el cálculo de la deformación requiere derivadas parciales de le desplazamiento con respecto a x,y. Las derivadas en el sistema coordenado cuadrado ξ,η se relacionan a través del Jacobiano. Usando la regla de la cadena para derivadas obtenemos:

δξ δ δ δ + δξ δ δ δ = δξ δ y y u x x u u (22) δη δ δ δ + δη δ δ δ = δη δ y y u x x u u

Y expresiones similares para la componente v del desplazamiento. Escribiendo esto en forma matricial se tiene:

[ ]

⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ δ δ δ δ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ δη δ δξ δ y u x u J u u (23)

(38)

[ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ δη δ δη δ δξ δ δξ δ = y x y x J (24)

Debemos tomar las derivadas para definir las deformaciones con respecto a x,y. Por lo tanto:

[ ]

⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ δη δ δξ δ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ δ δ δ δ − u u J y u x u 1 (25)

Ya definidas las componentes de los desplazamientos u-v, y las variables de las coordenadas x-y mediante las fórmulas de interpolación las cuales son función de ξ y η, y de las coordenadas de los puntos nodales. Combinando el producto de esas matrices resulta la matriz [B] que relaciona las deformaciones con desplazamientos nodales [38].

Para calcular la matriz de rigidez del elemento es necesario tomar una integral de volumen del elemento.Como la integración involucra funciones de ξ yη, las variables de integración deben ser ξ y η. La diferencial de área es:

dxdy=(det[J]dξdξdη) (26) Así la integral para la matriz de rigidez del elemento, donde t es el espesor del elemento viene a ser:

[

k

]

1

[ ] [ ][ ]

B T E Bt

(

det

[ ]

J

)

dξdη (27) 1 1 1

∫

−+ + − =

La matriz [B] es una función compleja de productos y cocientes de polinomios de n ξ y η, lo que complica aún más la integral. Para evaluar esta integración debe recurrirse a una integración numérica, siendo el método más frecuentemente usado en algoritmos de elemento finito el de la cuadratura de Gauss [39].

(39)

3.3 FORMULACIÓN DE LA NO LINEALIDAD DEL MATERIAL

La teoría de la plasticidad provee una relación matemática que caracteriza la respuesta elastoplástica de materiales. Existen tres complementos en la teoría del índice independiente de la plasticidad:

a) Criterio de cedencia b) Ley de flujo

c) Ley de endurecimiento

a) Determina el valor del esfuerzo al cual la cedencia sea alcanzado. Para un esfuerzo de multicomponentes, esto se representa como una función de componentes individuales f({σ}), lo cual se interpreta como un esfuerzo equivalente, σe=f({σ}), cuando el esfuerzo equivalente es igual al parámetro de cedencia del material, se desarrolla deformación plástica, f({σ})=σy, si σe < σy el material es elástico y el esfuerzo se desarrollará de acuerdo a las relaciones elásticas de esfuerzo deformación.

b) La ley de flujo determina la dirección de la deformación plástica, {dεpl_{}=λ{δQ/δσ), donde λ}

es un factor plástico, que determina la cantidad deformación plástica, y Q es una función del potencial plástico de esfuerzos, el cual determina la dirección de la deformación plástica. La ley de flujo es un término asociativo y la deformación plástica ocurre en una dirección normal a la superficie de cedencia.

c) La ley de endurecimiento, describe el cambio de la superficie de cedencia, dos reglas de endurecimiento son disponibles:

• Endurecimiento isotrópico, superficie centrada y expande en tamaño. • Endurecimiento cinemática, la superficie se traslada.

Se emplea el criterio de fluencia de von Mises, lo que determina cuando se inicializa la cedencia, denominado esfuerzo equivalente [40]:

σe=

[

(σ −σ ) (+ σ −σ ) (+ σ −σ ) = f( ){ }σ 2 / 1 2 1 3 2 3 2 2 2 1 2 1

]

(28) Se considera que la superficie de carga se expande conservando su forma, es decir, la ec. (29) es la superficie de fluencia para un material con solo endurecimiento isotrópico:

( )≡ ij− 2( p)=0 (29) j i i j j i W f σ σ σ σ κ