Estatica de Fluidos

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(1)2. Estática de Fluidos.. 1. UNIVERSIDAD DE OVIEDO Escuela Superior de Marina Civil de Gijón 2º curso Máquinas Navales Curso 2007-08. Apuntes de Mecánica de Fluidos. 2. ESTÁTICA DE FLUIDOS. plano de formas. distribución de áreas de cuadernas. Julián Martínez de la Calle Área de Mecánica de Fluidos Gijón noviembre 2007. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07.

(2) 2. Estática de Fluidos.. 2.. 2. ESTÁTICA DE FLUIDOS 1. Presión y ecuación fundamental de fluidoestática. 2. Fuerzas de presión sobre superficies. 3. Flotación y estabilidad. 4. Problemas resueltos.. 1. PRESIÓN Y ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE ESTÁTICA DE FLUIDOS. 1.1 1.2 1.3 1.4. Concepto de presión Ecuación fundamental de estática de fluidos. Distribución de presión en: fluidos incompresibles, líquidos barotrópicos y gases. Distribución de presiones en movimientos acelerados sin deslizamiento.. 1.1. CONCEPTO DE PRESIÓN La Estática de Fluidos estudia el comportamiento de un fluido, cuando no hay desplazamientos relativos entre sus partículas, con lo que no existen tensiones tangenciales y el campo de tensiones es exclusivamente normal. El concepto más importante en “fluidoestática” es el de presión, pudiéndose introducir su concepto desde dos aspectos: a partir de la consideración de que en fluidoestática el campo de tensiones es exclusivamente normal y esférico; o bien a partir del concepto más clásico de límite de la fuerza de superficie normal por unidad de área de contacto. PRESIÓN COMO CAMPO DE TENSIÓN NORMAL ESFÉRICO. En el modelo continuo de constitución de los fluidos, el equilibrio de una partícula fluida viene determinado por el equilibrio de las fuerzas que actúan sobre la partícula. Estas fuerzas se pueden considerar de tres tipos: - fuerzas de volumen o fuerzas másicas, debidas a que la masa de la partícula puede estar inmersa en un campo de fuerzas central, que normalmente es el campo gravitatorio. Vienen determinadas por la masa y el vector de aceleración del campo de fuerzas1. - fuerzas de superficie o de contacto, debidas a la interacción del resto del fluido sobre la partícula; que vienen determinadas por el campo de tensión en el que esta inmerso el fluido, y que viene dado por el tensor de tensiones, que agrupa las acciones del resto del fluido en: acciones normales a las superficies de contacto (por unidad de área son las tensiones normales) y en acciones tangenciales a las superficies de contacto (por unidad de área son las tensiones tangenciales)2. - fuerzas de inercia debidas a las aceleraciones de la masa de la partícula en su movimiento3. Las fuerzas de superficie vienen determinadas por el tensor de tensiones, en el que se agrupan las tensiones tangenciales y las tensiones normales. Las tensiones tangenciales dependen del campo de velocidades y del parámetro de viscosidad tangencial del fluido (µ); las tensiones normales dependen del campo de velocidades, del parámetro de viscosidad del fluido (tangencial µ y normal λ), y de la presión termodinámica. En estática de fluidos con el campo de velocidades nulo, las tensiones tangenciales son idénticamente nulas y las tensiones normales coinciden con menos la presión termodinámica. →. 1. Fuerza de volumen = (masa)(aceleración campo central):. 2. Fuerza de superficie = (tensor de tensiones)(vector área):. 3. Fuerza de inercia = (masa)(vector aceleración):. →. d F v = dm ⋅ g →. →. =. →. d F s = T⋅ d A →. →. d F i = dm ⋅ a = dm ⋅ (d v / dt ). _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07.

(3) 2. Estática de Fluidos.. 3. En coordenadas cartesianas y para un fluido newtoniano se tienen las siguientes expresiones para las tensiones tangenciales y normales: ⎛ ∂u ∂v ⎞ τxy = τ yx = µ ⎜ + ⎟ ⎝ ∂y ∂x ⎠ ⎛ ∂u ∂w ⎞ τxz = τzx = µ ⎜ + ⎟ ⎝ ∂z ∂x ⎠. tensiones tangenciales:. ⎛ ∂v ∂w ⎞ τ yz = τzy = µ ⎜ + ⎟ ⎝ ∂y ∂z ⎠. ⎛ ∂u ∂v ∂w ⎞ ∂u σ xx = − p + λ ⎜ + + ⎟ + 2µ x y z x ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎛ ∂u ∂v ∂w ⎞ ∂v σ yy = − p + λ ⎜ + + ⎟ + 2µ ∂y x y z ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠. tensiones normales. ⎛ ∂u ∂v ∂w ⎞ ∂w σzz = − p + λ ⎜ + + ⎟ + 2µ x y z ∂ ∂ ∂ ∂z ⎝ ⎠. campo de velocidad nulo:. u=v=w=0 ⇒. τij = 0. [3.]. σii = − p. La igualdad de las tensiones normales, lleva a que la presión media coincida con la presión termodinámica4:. p=−. σ xx + σ yy + σzz 3. =−. −p − p − p =p 3. [4.]. Con todo en un fluido estático, las tensiones (fuerzas de superficie por unidad de área) vienen determinadas exclusivamente por la presión termodinámica, que genera un tensor esférico de tensiones: 0 ⎤ ⎡− p 0 ⎡1 0 0⎤ = ⎢ ⎥ T = ⎢ 0 − p 0 ⎥ = −p ⎢⎢0 1 0⎥⎥ = −p· I ⎢⎣ 0 ⎢⎣0 0 1⎥⎦ 0 − p⎥⎦ =. [5.]. →. =. →. El tensor de tensiones determina las fuerzas de superficie sobre un elemento de área: d F s = T⋅ d A . =. =. En estática de fluidos, al ser el tensor de tensiones: T = −p· I ; las fuerzas de superficie o de contacto →. =. →. →. vienen determinadas por: d F s = −p· I ⋅ d A = − p·d A ; es decir tiene la dirección del vector área (perpendicular a la superficie), sentido hacía la superficie y de módulo igual al producto de la presión (en el entorno del elemento de área) por el área elemental: →. →. d F s,estática = − p ⋅ d A. 4. [6.]. La presión termodinámica viene determinada por el estado de agitación térmica de las moléculas, y de las fuerzas y distancias intermoleculares: p = p(T,ρ). En el caso de un gas ideal, según la teoría cinética de gases: p=ρv2, en donde “v” es la velocidad promedio en la agitación térmica de una molécula, que viene dada por la ecuación de BOLTZMAN: v2=κT/m, siendo κ la constante de BOLTZMAN (κ=1,380 658 10-23 J/K, T la temperatura absoluta y m la masa de la molécula (m=M/NA, M es la masa molecular y NA el número de Avogadro = 6,022 136 1023), con todo se tiene, la ecuación térmica de estado para el gas ideal: p=ρκT/m=ρkT/(M/NA)=ρ((κ.NA)/M)T, en donde κ.NA es la constante universal de los gases: RU = κ.NA= 8,314 J/molK; denominado como constante de cada gas. R=RU/M, se tiene la ecuación que utilizaremos: P=ρRT _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07.

(4) 2. Estática de Fluidos.. 4. PRESIÓN COMO LÍMITE DE LA FUERZA DE SUPERFICIE NORMAL POR UNIDAD DE ÁREA. El concepto de presión en un fluido estático, se puede establecer a partir del Principio de PASCAL. Se determina la presión media en un fluido sobre una superficie, dividiendo la fuerza normal sobre la superficie por unidad de área; la presión en un punto es el límite de la presión media cuando el área tiende a cero: F p = lim normal A A →0. [7.]. La presión así definida tiene el mismo valor en todas las direcciones del fluido, y por tanto es una magnitud escalar. PASCAL definió esta propiedad, estableciendo como principio que la presión es independiente de la dirección. Una demostración simple del Principio de PASCAL es considerar una partícula fluida de sección triangular y espesor elemental; y establecer la ecuación de equilibrio de fuerzas. Las fuerzas que actúan en un fluido estático son las de superficie (que en fluidoestática son normales a las superficies) y las de volumen (que en campo gravitatorio son verticales y hacia abajo):. z. psds dx senα. ds. psds dx cosα dx dz. py dz dx. α. y ρg ds dx dy /2. x. px dy dx. px es la presión media en la superficie dz dy; py es la presión media en la superficie dz dx; y ps la presión media en la superficie ds dx; el equilibrio de fuerzas lleva a que para cualquier posición (ángulo de inclinación α), cuando las superficies son elementales, las tres presiones son iguales y son la presión en el punto, cuyo entorno es la partícula elemental considerada: ∑ Fx = 0 ⇒ p y (dz dx) − ps (dsdx) sen α = 0; siendo : dssen α = dz; ⇒ p y = ps ∑ Fz =0 ⇒ pz (dydx) − ps (dsdx)cos α−ρ g(dz dx dy / 2)=0 ds cos α = dy ∧ despreciando el último ter min o por inf initesimo superior. ⇒ p z = ps. ⇒ p x = p y = ps = p. 1.2 ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE ESTÁTICA DE FLUIDOS. La ecuación general de equilibrio, aplicada a una partícula fluida, es la expresión de la segunda ley de NEWTON: “suma de fuerzas =0”; cualitativamente la expresión de equilibrio de fuerzas en una partícula fluida es: fuerzas de volumen+fuerzas de superficie+fuerzas de inercia=0. →. =. →. =. fuerza de superficie : d Fs = T·d A = ∇·T dV →. →. →. d Fs+ d Fv+ d Fi = 0. →. →. fuerza de volumen : d Fv = ρ g dV fuerza de inercia :. [8.]. →. →. d F i = -ρ. dv dV dt. Con lo que la ecuación de equilibrio de fuerzas, se puede expresar por unidad de volumen, quedando la ecuación de movimiento de CAUCHY: →. =. →. dv ρ g + ∇⋅T = ρ dt. [9.]. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07.

(5) 2. Estática de Fluidos.. 5. En Estática de Fluidos las fuerzas de inercia son nulas ( d v →/ dt = 0 ), y el tensor de tensiones es =. =. esférico ( T = −p· I ); con lo que la ecuación de movimiento de CAUCHY en estática de fluidos es: → =⎞ ⎛ ρ g + ∇·⎜⎜ − p I ⎟⎟ = 0 ⎝ ⎠. [10.]. Desarrollando la ecuación anterior en coordenadas cartesianas, se tiene como expresión de la ecuación de equilibrio de fuerzas para un fluido estático:. ( ). ⎛ −p 0 0 ⎞ ∂ r ∂ r⎞ ⎛ ∂p r ∂p r ∂p r ⎞ j+ k ⎟ ⋅ ⎜ 0 −p 0 ⎟ = − ⎜ i+ j+ k ⎟ = −∇p ⎜ ⎟ ∂ x ∂ y ∂ z ∂y ∂z ⎠ ⎝ ⎠ 0 0 −p ⎝ ∂x ⎝ ⎠ r r r g x i + g y j + gz k ⎛∂ r. ∇ ⋅ −p ⋅ 1 = ⎜ r ρg = ρ. (. i+. r ∇ p = ρg. [11.]. ). La ecuación diferencial que da una expresión de la presión en un punto, en función de las componentes del vector aceleración del campo central de fuerzas, se denomina ecuación fundamental de estática de fluidos; y se obtiene a partir de la ecuación de movimiento de CAUCHY para un fluido estático (ec. 7.): ∂p ∂p ∂p dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ⇒ ∂p ∂p ∧ = gy ∧ = gz ∂y ∂z. p = p(x, y, z) ⇒ dp = ∂p ⇒ = gx ∂x. dp = ρ(g x dx + g y dy + g z dz). [12.]. En el caso particular de que el campo de fuerzas másicas o de volumen, sea exclusivamente el campo →. →. gravitatorio, el vector de aceleración del campo es: g = −g k ; con lo que la ecuación fundamental de fluidoestática en campo gravitatorio es:. dp = -ρ g dz. [13.]. Esta última ecuación es la más utilizada en Estática de Fluidos, pues lo más normal es tener exclusivamente el campo gravitatorio como campo de fuerzas central en donde esta contenida la masa del fluido. En campo gravitatorio, el vector aceleración de campo, es un vector de dirección vertical, con sentido hacia abajo, y de modulo la denominada aceleración de la gravedad con un valor estándar de g = 9, 80665 m/s2. Evidentemente la aceleración gravitatoria, depende de la latitud5 y la cota6. r De la ecuación de fluidoestática: ∇p = ρg , se tiene que la dirección del gradiente de presión viene dada por la de la aceleración local; y como el gradiente de un escalar es siempre perpendicular a las superficies isoescalares (escalar constante), se tiene que las superficies isobáricas, serán perpendiculares en cada punto a la aceleración local. En el caso de campo exclusivamente gravitatorio, las superficie isobáricas son por tanto, perpendiculares al vector aceleración gravitatoria, es decir esferas concéntricas con la Tierra. Evidentemente, a escala humana, son prácticamente planos horizontales (perpendiculares a la vertical del lugar).. 5. En geodesia, se supone la Tierra como un elipsoide de revolución, con lo que el radio de un determinado punto, depende solo de su latitud. Teniendo la siguiente formula empírica para la aceleración gravitatoria terrestre, sobre una masa en una latitud θ: g=9,780 0237 (1+0,005302sen2θ-0,000058sen2(2θ) 6 La fuerza gravitatoria, es la fuerza con la que la Tierra atrae a una masa; su expresión viene dada por la formula de gravitación universal de Newton: G.mT.m/r2, en donde G es la constante gravitatoria universal (G=6,67259 10-11 Nm2/kg2), mT la masa de la Tierra (5,96 1024 kg) y r la distancia desde el centro de la Tierra al cdg de la masa considerada. El radio medio de la Tierra es de 6,37 106 m. La aceleración gravitatoria terrestre media sobre una masa a cota cero, será por lo tanto: g=G.MT/RT2 = 9,8 m/s2 _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07.

(6) 2. Estática de Fluidos.. 6. Otra forma, más intuitiva de obtener la Ec. fundamental de Estática de Fluidos, es a partir de la ecuación diferencial del campo de presiones, en función de sus derivadas parciales. En coordenadas cartesianas:. p = p(x , y, z ). ⇒. ⎛ ∂p ⎞ ⎛ ∂p ⎞ ⎛ ∂p ⎞ dp = ⎜ ⎟dx + ⎜⎜ ⎟⎟dy + ⎜ ⎟dz ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂z ⎠ ⎝ ∂y ⎠. Las derivadas parciales, son las tres componentes del gradiente de presión; y se pueden obtener a partir de balances de las fuerzas elementales que actúan sobre una partícula de fluido estático, en campo gravitacional: En la coordenada “x”, las únicas fuerzas son las debidas a la presión: en la cara anterior se supone que se tiene una presión genérica “p”, con lo que en la cara posterior separada una distancia “dx”, se tendrá un presión distinta: p+dp, en donde la variación de presión solo es debida a la variación de la coordenada “x”, es decir: ∂p ⎞ ⎛ dx ⎟dy·dz ⎜p + ∂x ⎠ ⎝. ⎛ ∂p ⎞ dp = ⎜ ⎟dx ⎝ ∂x ⎠. ∑ dFx = 0 p·dy·dz. ∂p ⎞ ⎛ ⇒ pdydz − ⎜ p + dx ⎟dydz = 0 ∂x ⎠ ⎝. ∂p =0 ∂x. En la coordenada “y”, las únicas fuerzas son las debidas a la presión: en cara izquierda se supone que se tiene una presión genérica “p”, con lo que en la cara derecha separada una distancia “dy”, se tendrá un presión distinta: p+dp, en donde la variación de presión solo es debida a la variación de la coordenada “y”, es decir:. ⎛ ∂p ⎞ dp = ⎜⎜ ⎟⎟dy ⎝ ∂y ⎠. ⎛ ∂p ⎞ ⎜⎜ p + dy ⎟⎟dx·dz ∂y ⎠ ⎝. p·dx·dz. ∑ dFy = 0. ⎛ ∂p ⎞ ⇒ pdxdz − ⎜⎜ p + dy ⎟dxdz = 0 ∂y ⎟⎠ ⎝. ∂p =0 ∂y. En la coordenada “z”, aparte de las fuerzas debidas a la presión, se tiene el propio peso de la partícula. En cara inferior se supone que se tiene una presión genérica “p”, con lo que en la cara superior separada una distancia “dz”, se tendrá un presión distinta: p+dp, en donde la variación de presión solo es debida a la variación de la coordenada “z”, es decir: ∂p ⎞ ⎛ ⎜ p + dz ⎟dx·dy ∂z ⎠ ⎝. ρ·dx·dy·dz. p·dx·dy. ⎛ ∂p ⎞ dp = ⎜ ⎟dz ⎝ ∂z ⎠ ∂p ⎞ ⎛ ∑ dFz = 0 ⇒ pdxdy − ⎜ p + ∂z dz ⎟dxdy − ρgdxdydz = 0 ⎠ ⎝ ∂p = −ρg ∂z Susituyendo los valores de las tres derivadas parciales, en la Ec. diferencial de la distribución de presión, se tiene la Ecuación fundamental de estática en campo gravitacional terrestre:. dp = −ρgdz. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07.

(7) 2. Estática de Fluidos.. 7. 1.3 DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES EN CAMPO GRAVITACIONAL.. Para obtener la variación de presión entre dos puntos de un fluido estático, se tiene que integrar la ecuación fundamental [13]: dp=-ρgdz. ∫. p2. dp =. p1. ∫. z2. −ρg ⋅ dz. p 2 − p1 = −g. z1. ∫. z2. ρ ⋅ dz. z1. La integral, se puede resolver, si se conoce la función ρ=ρ(z). Se consideran los siguientes casos: (a) FLUIDO INCOMPRESIBLE: la densidad es constante, y la integral es: p 2 − p1 = −g. ∫. z2. ρ ⋅ dz = −ρg. z1. ∫. z2. z1. dz = −ρg ( z 2 − z1 ). p 2 − p1 = −ρg ( z 2 − z1 ). [14.]. (b) LIQUIDO DE MODULO DE COMPRESIBILIDAD CONSTANTE: barotrópico. La relación entre la densidad y la cota, se determina a partir de la ecuación de fluidoestática (dp=-ρgdz) y del módulo de compresibilidad (K=ρdp/dρ): K=ρ. dp dρ. ρ = ρ1. ⇒. dp=K. dρ = −ρgdz ρ. dρ g = − dz K ρ2. ⇒. K K + ρ1g ( z − z1 ). La variación de presión es:. p 2 − p1 = −g. ∫. z2. ρ ⋅ dz = −g. z1. ∫. z2. z1. ρ1. K K ⋅ dz = ... = K ⋅ ln K + ρ1g ( z − z1 ) K + ρ1g ( z 2 − z1 ). p 2 − p1 = K ⋅ ln. K K + ρ1g ( z 2 − z1 ). [15.]. (c) GAS IDEAL A TEMPERATURA CONSTANTE. La ecuación de fluidoestática: dp=-ρgdz, junto con la ecuación térmica de estado: p=ρRT, permite obtener la variación de la presión entre dos puntos de un gas en función de la temperatura y de la cota:. dp = −ρg ⋅ dz = −. p gdz RT. ⇒. dp -g = dz p RT. ⇒. ∫. p2. p1. dp −g p =R. ∫. z2. z1. dz T. ln. p 2 −g = p1 R. ∫. z2. z1. dz T. La integral se puede resolver si se tiene la variación de la temperatura con la cota: T=T(z). En el caso de temperatura constante, evidentemente se tiene: −g ( z2 −z1 ) p 2 = p1 ⋅ e RT. [16.]. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07.

(8) 2. Estática de Fluidos.. 8. (d). AIRE ATMOSFÉRICO ESTÁNDAR EN LA TROPOSFERA. A cotas menores de 11000m, la temperatura de la atmósfera estándar va disminuyendo linealmente con la cota: T=T0-Bz; en donde la constante B7 tiene un valor de 6,5K/km; es decir en cada kilómetro de ascensión la temperatura disminuye en 6,5ºC. La temperatura a cota cero es de 15 ºC (T0=288,15K). Con la relación entre temperatura y cota, se puede integrar la ecuación que da la distribución de presiones: p −g ln = p0 R. dz −g = R z0 T. ∫. z. T − BZ dz g = ln 0 BR T0 z 0 T0 − Bz. ∫. z. ⎛ T − Bz ⎞ p = p0 ⎜ 0 ⎟ ⎝ T0 ⎠. g / BR. para aire ideal, el exponente g/BR es igual a: 9,8/(0,0065x287)=5,253. Si las condiciones atmosféricas estándar son de 15 ºC y 1013 mbar a cota cero, se tienen los siguientes valores de temperatura y presión a distintas cotas:. 7. cota (km). temperatura(ºC). presión(mbar). T R O P O S F E R A. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11. 15,0 8,5 2,0 -4,5 -11,0 -17,5 -24,0 -30,5 -37,0 -43,5 -50,0 -56,5. 1013,0 898,6 794,9 701,1 616,4 540,3 471,9 410,7 356,1 307,5 264,5 226,5. T R O P O P A U S A. 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20,1. -56,5 -56,5 -56,5 -56,5 -56,5 -56,5 -56,5 -56,5 -56,5 -56,5. 193,5 165,3 141,2 120,6 103,0 88,0 75,1 64,2 54,8 54,0. Si en la troposfera, las propiedades del aire ideal, siguiesen un proceso isentrópico, se tendría un gradiente térmico:. ⎛ ∂T ⎞. ⎜ ⎟ =− ⎝ ∂z ⎠S. ( γ − 1) g γR. =−. (1, 4 − 1) 9, 8 1, 4 ⋅ 287. = −0, 01K / m = 10º C / km ; pero debido a que el aire atmosférico es una mezcla de aire seco y. vapor de agua, se tiene un valor menor del citado gradiente: B = 6,5 ºC / km _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07.

(9) 2. Estática de Fluidos.. 9. 1.4 DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES EN FLUIDOS EN MOVIMIENTO SIN DESLIZAMIENTO. r r En la ecuación de estática de fluidos: ∇p = ρg ; el vector “ g ” representa la aceleración a la que están sometidas las partículas de fluido. Normalmente las partículas están sometidas exclusivamente al campo gravitatorio. Consideraremos dos casos adicionales en donde, además de la acción gravitatoria, se consideran otras acciones que generan fuerzas másicas sobre cada una de las partículas:. ACELERACIÓN LÍNEAL. Consideremos la acción de una aceleración constante sobre una masa de fluido (además de la gravitacional); supongamos que todas las partículas se mueven sin deslizamiento entre ellas. En r r r r coordenadas cartesianas, la aceleración externa será: a = a x i + a y j + a z k ; con lo que la ecuación de equilibrio de fuerzas sobre una partícula es: r r −∇p + ρg = ρa. Con lo que el gradiente de presión será: r r ∇p = ρ ( g − a ). y la ecuación diferencial de la distribución de presiones queda:. dp = ρ ⎡⎣ −a x dx + −a y dx − ( a z + g ) dz ⎤⎦ suponiendo densidad constante, la distribución de presiones es: p = p0 − ρ ⎡⎣ a x x + a y y + ( a z + g ) z ⎤⎦. en donde p0 es la presión en el origen de coordenadas. a x x + a y y + ( a z + g ) z = cte.. Las superficies isobáricas, serán planos de ecuación:. [17.]. Si consideramos el caso particular de que la aceleración externa sea solo horizontal en la dirección de eje “x”, como las superficie isobáricas, son siempre perpendiculares al vector gradiente de presión, se tiene este caso, que son planos inclinados de pendiente –ax/g. r r ∇p = ρ(g − a). ax. r −a. ⎛a ⎞ α = arctg ⎜ x ⎟ ⎝ g ⎠ r r g−a. r g. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07.

(10) 2. Estática de Fluidos.. 10. ACELERACIÓN CENTRIPETA. Si a la masa de fluido, se le somete a una velocidad de giro constante, la acción de la aceleración centrípeta, hace que el gradiente de presiones sea suma de la aceleración gravitatoria y la aceleración centrífuga. Por simplicidad, consideremos que el giro se hace entorno a un eje vertical, con lo que la aceleración centrípeta es horizontal, de dirección radial y módulo ω2r, siendo “r” la distancia de la partícula considerada al eje de giro. Con todo se tienen las siguientes variaciones de presión (en coordenadas cilíndricas):. ⎛→ →⎞ ∇p = ρ⎜⎜ g − a ⎟⎟ = ⎝ ⎠. →. →. g = aceleración gravitatoria = −g ⋅ k. →. a = aceleración centrípeta. ∂p = −ρg ∂z ∂p = ρω2 r dirección radial: ∂r ∂p =0 dirección tangencial: ∂θ. dirección axial:. ⇒. dp =. →. →. − a = aceleración centrifuga = ω 2 r ⋅ u r ∂p ∂p ∂p dr + dz + dθ = (ρω2 r ) dr − (ρ g ) dz + ( 0 ) dθ ∂r ∂z ∂θ. p = p0 +. ρω2 2 r − ρ gz 2. p(r = 0, z = 0) = p0. [18.]. La superficie isobáricas, son paraboloides de revolución (de eje vertical), de ecuación:. −z =. p − p 0 ω2 2 − ⋅r . ρg 2g. [19.]. La superficie libre (presión = p0) es un paraboloide de ecuación: z = (ω2/2g).r2, con origen sobre el eje de giro.. Superficie libre p0. ω. ω2r. ω2r ∇p. g g. ∇p. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07.

(11) 2. Estática de Fluidos.. 11. 2. FUERZAS DE PRESIÓN SOBRE SUPERFICIES.. 2.1. Fuerzas de presión 2.2. Fuerzas sobre superficies planas. 2.3. Fuerzas sobre superficies curvas.. 2.1. FUERZAS DE PRESIÓN.. Consideremos que en el seno de un fluido estático, se localiza una determinada superficie en contacto con parte del fluido; la distribución del campo de presiones (dp=-ρgdz), hace que sobre cada elemento de área de la superficie mojada, se tenga una fuerza elemental de presión, de módulo el valor de la presión “p” (en un punto de elemento de área) por el área elemental “dA”, dirección perpendicular al elemento de área y de sentido hacía el propio elemento de área: →. →. d Fp = −p·d A. Las fuerzas de presión, son fuerzas distribuidas en toda la superficie mojada, su resultante es la suma vectorial de todas las contribuciones elementales de las fuerzas de presión sobre los elementos de área que integran la superficie: →. Fp =. ∫∫. →. − p·d A. A. El punto de aplicación de la resultante de las fuerzas de presión, se denomina centro de presión (c.d.p), y sus coordenadas vienen determinadas por la equivalencia de los momentos del sistema de fuerzas distribuidas y del momento de la resultante, respecto al origen: →. →. rcdp x d Fp =. ∫∫. →. →. − p· r xd A. A. r r dFp − p ⋅ dA. r Fp = −. r. ∫∫ p ⋅ dA A. c.d.p.. r rcdp r A. O. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07.

(12) 2. Estática de Fluidos.. 12. 2.2. FUERZAS DE PRESIÓN SOBRE SUPERFICIES PLANAS.. Consideremos un líquido de densidad constante, y con su superficie libre a presión constante (p0). En el seno del líquido consideremos una superficie plana, sobre la que el líquido ejerce una distribución de fuerzas de presión. Si el plano que contiene a la superficie plana, es un plano horizontal, que esta a una determinada profundidad (h), la determinación de la resultante de las fuerzas de presión, es inmediata, pues la presión es constante en todos los puntos de la superficie mojada, y se tiene: - módulo de la resultante de la fuerza de presión: Fp =. ∫∫ pdA = p∫∫ dA = p ⋅ A A. A. FP = pA. [20.]. en donde “p” es la presión en cualquier punto de la superficie horizontal, y “A” el área mojada - dirección y sentido: la fuerza de presión es normal al área, y como el área esta contenida en un plano horizontal, la dirección será vertical, y el sentido hacía abajo. - Las coordenadas del el centro de presiones serán:. x cdp =. ∫∫ x ⋅ pdA = ∫∫ x ⋅ dA = x. y cdp =. A. A. p⋅A. A. cdg. ∫∫ y ⋅ pdA = ∫∫ y ⋅ dA = y A. A. p⋅A. A. cdg. Es decir, el centro de presiones coincide con el centro de gravedad de la superficie mojada. Evidentemente la coordenada z, es la profundidad a la que esta la superficie plana horizontal (h) La presión en cualquier punto de la superficie mojada es: p=p0+ρgh . Si en la cara no mojada de la superficie plana, se tiene la misma presión que en la superficie libre, se tendrá una fuerza de presión sobre dicha cara no mojada de: p0A; con lo que en definitiva, sobre la superficie plana se tiene una fuerza neta de presión: Fp=ρgh.A, aplicada en el c.d.p, vertical hacía abajo.. presión constante = p0. Fp. z h dFp. A. πhorizontal dA. y. z=cte.. x. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07.

(13) 2. Estática de Fluidos.. 13. Si el plano que contiene a la superficie plana, es un plano inclinado, la presión va aumentando conforme se tiene más profundidad, con lo que sobre los elementos de área más profundos el líquido ejercerá más fuerza de presión: -. dirección y sentido: tanto las fuerzas distribuidas de presión, como su resultante, son normales al plano inclinado y con sentido hacía la superficie mojada.. -. módulo de la resultante de la fuerza de presión: Fp =. ∫∫ pdA = ∫∫ (p A. A. 0. + ρgh)dA = p0 ⋅ A + ρg. ∫∫ h ⋅ dA A. la integral, viene dada por la profundidad del centro de gravedad de la superficie mojada: hcdg. h cdg =. ∫∫ h ⋅ dA. ∫∫ h ⋅ dA = h. ⇒. A. A. A. cdg. ⋅A. con lo que se tiene: Fp =. ∫∫ pdA = ∫∫ (p A. A. 0. + ρgh)dA = p 0 ⋅ A + ρg ⋅ h cdg ⋅ A = ( p0 + ρgh cdg )A. Fp = (p0 + ρgh cdg )A = pcdg ⋅ A. [21.]. es decir, la fuerza de presión, es el producto de la presión en el centro de gravedad de la superficie mojada, por el área mojada. para determinar las coordenadas del el centro de presiones consideremos el sistema de ejes integrado en el plano inclinado que contiene a la superficie mojada:. -. x. πHORIZONTAL. DE LA SUPERFICE LIBRE. PRESION CONSTANTE = P0. α. hG. yG. hP. FP. CDG. yP. A xG. xP. CDP. πINCLINADO QUE CONTIENE A LA SUPERFICIE. y. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07.

(14) 2. Estática de Fluidos.. 14. El momento respecto al eje y de la resultante, es la suma de los momentos elementales de la distribución de fuerzas de presión en toda la superficie mojada: x cdp ⋅ Fp =. ∫∫ x ⋅ ( p A. 0. + ρgh ) dA. la profundidad “h” viene dada por h = y.senα; con lo que se tiene:. x cdp =. y cdp. ∫∫ x ⋅ ( p A. 0. + ρg ⋅ y ⋅ senα ) dA Fp. ∫∫ y ⋅ ( p = A. 0. + ρg ⋅ y ⋅ senα ) dA Fp. =. =. p0. ∫∫ x ⋅ dA + ρg ⋅ senα∫∫ xydA A. A. ( p0 + ρg ⋅ senα ⋅ yG ) ⋅ A. p0. ∫∫ y ⋅ dA + ρg ⋅ senα∫∫ y dA 2. A. A. ( p0 + ρg ⋅ senα ⋅ yG ) ⋅ A. Si en la cara no mojada de la superficie plana, se tiene la misma presión que en la superficie libre, el efecto neto de las fuerzas de presión, es como si actuase exclusivamente la sobrepresión ρgh sobre cada elemento de área de la superficie mojada. Con esta consideración se tiene:. Fp = ρgh G A. x cdp. ∫∫ xydA =. ∫∫ y ⋅ dA = 2. A. ycdp. yG ⋅ A. A. yG ⋅ A. hcdp=ycdp.senα [22.]. 2.3. FUERZAS DE PRESIÓN SOBRE SUPERFICIES CURVAS.. superficie libre. FPZ. FPX FPY. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07.

(15) 2. Estática de Fluidos.. 15. En el caso de que la superficie mojada sea curva, las fuerzas elementales de presión distribuidas a lo largo de la superficie son: r r r r r dFp = − p ⋅ dA = ...cartesianas... = − p dA x ⋅ i + dA y ⋅ j + dA z ⋅ k. (. ). en donde dAx, dAy, dAz, son respectivamente, las proyecciones del elemento de área, sobre los planos x=0, y=0 y z=0; p es la presión en el elemento de área considerado. Las proyecciones elementales dAx y dAy están en la misma horizontal que el propio elemento de área, con lo que están a la misma presión; con lo que se tiene que las componentes horizontales de la resultante de la fuerza de presión son: Fpx = −. ∫∫. Ax. p Ax ⋅ dA x. Fpy = −. ∫∫. Ay. p Ay ⋅ dA y. [23.]. es decir, la componente “x” de la fuerza de presión: Fpx, es la resultante de las fuerzas de presión de la proyección de la superficie curva sobre el plano x=0; y la componente “y”: Fpy, es la resultante de las fuerzas de presión sobre la proyección de la superficie curva sobre el plano y=0. En cuanto a la componente vertical, como la presión en el elemento de área (sobre la superficie curva) es distinta que su proyección en un plano z=0, no se puede seguir el mismo procedimiento; sin embargo, si consideramos solo sobrepresiones sobre la presión de la superficie libre (z=0), se tiene que la componente vertical de las fuerzas de presión, son iguales al peso de la masa de líquido contenida en el volumen engendrado por la traslación vertical de la superficie curva hasta la superficie libre (V*):. Fpz = −. ∫∫. Az. ρg ⋅ z ⋅ dA y = −ρg. ∫∫. Az. z ⋅ dA y = −ρgV*. [24.]. En cuanto al centro de presiones: se obtiene a partir de los centros de aplicación de cada una de las tres componentes: las componentes horizontales tiene su centro de presión, respectivamente, en los centros de presión de las áreas proyectadas; y la componente vertical en el centro de gravedad de volumen engendrado verticalmente (V*).. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07.

(16) 2. Estática de Fluidos.. 16. 3. FLOTACIÓN Y ESTABILIDAD.. 3.1. Principio de ARQUÍMEDES: Empuje hidrostático. 3.2. Curvas hidrostáticas de un buque. 3.3. Estabilidad de cuerpos sumergidos. 3.4. Estabilidad de cuerpos flotantes. 3.5. Ecuación de estabilidad.. 3.1. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES: empuje hidrostático.. La resultante de las fuerzas de presión, distribuidas en toda la superficie de un objeto sumergido, sólo tienen componente vertical, de sentido hacía arriba y modulo, igual al peso del volumen desalojada del líquido, en el que esta sumergido: es el Principio de Arquímedes y a la resultante se le denomina empuje hidrostático. →. →. →. [25.]. Fp = E = ρgV· k. Consideremos un objeto totalmente sumergido en el seno de un líquido. Las únicas fuerzas que el fluido hace sobre el objeto, son las fuerzas de presión, distribuidas en toda la superficie del objeto. π’s y=cte verticales. z. dy. dV. π’s z=cte horizontales. dz. y x. Para determinar la componente horizontal de la resultante de las fuerzas de presión, consideremos el elemento de volumen “dV” que esta contenido entre planos horizontales separados por el elemento de cota “dz” y los planos verticales (y=cte) separados por la distancia elemental “dy”; con lo que se tiene dos superficies (dA1, dA2) mojadas por el líquido, en donde la presión en el centro de los elementos de área es la misma e igual a: p(h) (solo depende de la profundidad). dA1. dA2 h dz. dx _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07.

(17) 2. Estática de Fluidos.. 17. dFy = p(h) ⋅ ( dA1 ) y = cte − p(h) ⋅ ( dA 2 ) y = cte = p(h) ⋅ dx ⋅ dz − p(h) ⋅ dx ⋅ dz = 0. en donde dFy es la fuerza elemental de presión, en la dirección “y”, debida a la presión sobre las superficies mojadas elementales dA1 y dA2; (dA)y=cte, son las proyecciones sobre un plano y=cte de las respectivas áreas elementales. Las dos fuerzas son de igual modulo y dirección, y de sentido contrario, con lo que se compensan. Extendiendo este resultando a toda la superficie mojada, se tiene que la componente “y” de la resultante de las fuerzas de presión, será nula; y evidentemente ocurre lo mismo con la otra componente horizontal “x”. Es decir, la componente horizontal de la resultante de las fuerzas de presión sobre un objeto sumergido, es nula.. Para determinar la componente vertical de la resultante de las fuerzas de presión, consideremos el de volumen “dV” que esta contenido entre los planos verticales (y=cte) separados por la distancia elemental “dy” y los planos verticales (x=cte); con lo que se tiene dos superficies (dA1, dA2) mojadas por el líquido; la presión en el centro del elemento de área más profundo, tendrá una sobrepresión (respecto a la presión en el centro del elemento de área menos profundo) de ρgh, siendo “h” la distancia vertical entre los dos elementos de área. p. z. dA1. dx. dV π’s y=cte verticales. h. dA2. π’s x=cte verticales. p+ρgh dy y x. Sobre el área elemental menos profunda, la componente vertical de la fuerza elemental de presión es: p.dA1z=p.dx.dy, con sentido hacia abajo. p.dx.dy. Sobre el área elemental más profunda, la componente vertical de la fuerza elemental de presión es: (p+ρgh).dA2z=(p+ρgh).dx.dy, con sentido hacia arriba.. h dy. La suma de las dos componentes verticales elementales, da una fuerza elemental, vertical, hacía arriba, y de modulo: dFz = ρg.h.dx.dy = ρg.dV, en donde dV, es el volumen elemental del objeto, contenido en las intersecciones de los 4 planos verticales (2 planos x=cte y 2 planos y=cte). Con lo que resulta que la componente vertical de todas las fuerzas de presión, sobre la superficie mojada del objeto sumergido será:. dx (p+ρgh).dx.dy. r r Fp z = ρg ⋅ V ⋅ k. [26.]. en donde V es el volumen del objeto sumergido.. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07.

(18) 2. Estática de Fluidos.. 18. La deducción realizada anteriormente, evaluando la resultante de las fuerzas de presión distribuidas en toda la superficie del objeto, se puede hacer de una forma inmediata, considerando que la fuerza elemental de presión, sobre un elemento de área del cuerpo (sumergido o flotando) es: →. →. d Fp = − p·d A. Con lo que la resultante de las fuerzas de presión, sobre la superficie mojada del cuerpo es: →. →. →. F p = ∫∫ d F p = ∫∫ − p ⋅ dA A. A. La integral de superficie se extiende a todo el área mojada (A), y a partir del teorema de Gauss, se puede expresar por la integral de volumen, extendida al volumen que encierra el área mojada (V). →. →. F p = ∫∫ − p ⋅ dA = ∫∫∫ − (∇p ) ⋅ dV A. V. El término multiplicador del elemento de volumen, es el gradiente de presión; en cartesianas:. ∇p =. ∂p → ∂p → ∂p → i+ j+ k ∂x ∂y ∂z. En un fluido estático en campo gravitacional, el gradiente de presión tiene solo componente vertical: →. ∇p = −ρg k Con lo que la resultante de las fuerzas de presión es:. →. → →⎞ → → ⎛ Fp = ∫∫∫ − (∇ ⋅ p ) ⋅ dV = ∫∫∫ − ⎜⎜ − ρg ⋅ k ⎟⎟ ⋅ dV =ρg ⋅ k ∫∫∫ dV =ρgV ⋅ k V V V ⎝ ⎠. →. Fp = ρgV ⋅ k. En donde, “V” es el volumen desplazado si el objeto esta flotando, o el propio volumen del objeto si esta sumergido. El término “ρV” representa la masa de fluido desplazado, y finalmente “ρgV” es el peso del fluido desplazado: es decir el empuje hidrostático de ARQUIMEDES.. E=ρg.V. Línea de flotación. Empuje=ρg.V. C. C.D.E.. C. C.D.G.. G. C.D.E.. calado C.D.G.. G. P=mg Peso=mg El centro de aplicación del empuje, es el centro de presión, y coincide con el centro de gravedad del volumen del objeto. Evidentemente, si el cuerpo no es homogéneo, su centro de gravedad, o centro de masa, no tiene porque coincidir con el centro de empuje. En el caso de objetos flotando, la parte inferior del objeto esta sumergido, y la parte superior esta emergida, la separación entre ambas partes, es la intersección del plano horizontal de la superficie libre con la superficie del objeto, y se denomina línea de flotación. La resultante de las fuerzas de presión distribuidas a lo largo de toda la superficie mojada (evidentemente solo la parte sumergida), es una fuerza vertical hacía arriba, de módulo igual al peso del volumen de líquido desalojado, con su centro de aplicación en el centro de gravedad del r r r volumen sumergido8: Fp = E = ρgV* ⋅ k 8. En el caso de un buque, el centro de presión se denomina CENTRO DE CARENA, es el centro de gravedad del volumen sumergido de la carena. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07.

(19) 2. Estática de Fluidos.. 19. Este es el principio de flotación de los buques: el peso total de la embarcación9 y toda su carga, se equilibra por el empuje debido al desplazamiento de agua de la parte sumergida de la carena. Se define desplazamiento (D) al peso total del buque, igual al peso del agua desalojada por la carena. El volumen sumergido o volumen de carena ( ∇ , V) viene determinado por: V(m3 ) =. D(Tm) 1, 025(Tm / m3 ). eslora de flotación π de crujía ρgV línea de flotación. calado. C G D. Los diversos calados10 que adquiere un buque, dependen del desplazamiento, y vienen reflejados en el denominado disco PLIMSOLL, que va dibujado en un costado, con su centro marcado por la mitad de la eslora y la línea de flotación de máxima carga en verano11: FRACOBORDO: Líneas de flotación:. línea de cubierta – línea de flotación verano TD : trópico – agua dulce D: agua dulce T: trópicos V: verano I: invierno ANI: Atlántico Norte en invierno LINEA DE CUBIERTA PROA FRANCOBORDO. R. TD D. E. T V I ANI. 9. DESPLAZAMIENTOS:. DESPLAZAMIENTO EN ROSCA, corresponde al peso del buque vacío (sin tripulación, pertrechos, agua y combustible); DESPLAZAMIENTO EN LASTRE, es el desplazamiento en rosca aumentado por el peso de la tripulación, los pertrechos, el agua y el combustible DESPLAZAMIENTO EN MÁXIMA CARGA, cuando el buque esta cargado hasta la línea de flotación de máxima carga permitida. EL peso muerto (“dead weigth” DWT) es la diferencia entre el desplazamiento en máxima carga y el desplazamiento en rosca.. 10. El calado es la posición de la línea de flotación respecto al punto más profundo de la quilla. A igualdad de desplazamiento de máxima carga, el calado variara con la densidad del agua, con lo que se tendrán calados distintos, en función de la época del año (densidad verano < densidad de invierno) y del lugar (trópicos, Atlántico Norte) y de que se navegue en agua dulce o salada.. 11. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07.

(20) 2. Estática de Fluidos.. 20. 3.2. CURVAS HIDROSTÁTICAS.. En el caso de un buque, en función de la carga, se pueden tener distintos calados, y con ello distintas posiciones del centro de carena. La determinación de los calados y de los centros de carena en función del desplazamiento, tiene la dificultad de la complejidad tridimensional de la geometría de la carena. Utilizaremos un sistema de coordenadas cartesianas, con su origen en el punto más profundo de intersección de la cuaderna maestra (mitad de eslora) con el plano de crujía. Dicha intersección será el eje vertical “z”; los ejes horizontales son: “x” en la dirección longitudinal e “y” en la dirección transversal.. z. línea de flotación. cuaderna maestra. manga (B). π crujía. calado (T) x eslora flotación (L) y DETERMINACIÓN DEL VOLUMEN DE CARENA: a partir de la geometría de la carena, se obtiene el volumen de carena, para cada calado, por integración de elementos de volumen. Consideraremos dos elementos de volumen: (a) elemento de volumen entre dos cuadernas separadas una distancia horizontal elemental; (b) elemento de volumen entre dos líneas de flotación separadas una distancia vertical elemental. (a) elemento de volumen (dV) entre dos cuadernas separadas una distancia horizontal elemental (dx) El área de una cuaderna, situada a una distancia “x” de la cuaderna maestra es:. z. y=B / 2. dx dz (x,y,z). ∫ ∫ y =− B / 2. z =T. dy ⋅ dz =. z =0. ∫. z=T. 2y ⋅ dz. [27.]. z =0. con lo que el elemento de volumen es: dV=AC(x).dx quedando el volumen de carena:. x y. A C (x) =. AC(x) x =L / 2. V=. ∫ ∫ x =− L / 2. z. z =T. z =0. 2y ⋅ dx ⋅ dz =. ∫. x =L / 2. A C (x) ⋅ dx. [28.]. x =− L / 2. y. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07.

(21) 2. Estática de Fluidos.. 21. (b) elemento de volumen (dV) entre líneas de flotación separadas una distancia vertical elemental (dz). z. AF(z). dx dz z. x y. x. y. El área limitada por una línea de flotación, situada a una distancia “z” del origen: y=B / 2. A F (z) =. ∫ ∫ y =− B / 2. x=L / 2. dy ⋅ dx =. x =− L / 2. ∫. x =L / 2. 2y ⋅ dx. [29.]. x =− L / 2. con lo que el elemento de volumen es: dV=AF(z).dz; quedando el volumen de carena:. z =T. V=. ∫ ∫ z=0. x =L / 2. x =− L / 2. 2y ⋅ dx ⋅ dz =. ∫. z=T. A F (z) ⋅ dz. [30.]. z =0. El volumen de carena, determinado por la ecuaciones anteriores ([28.] y [30.]), corresponde al volumen de trazado, calculado a partir del plano de formas del buque, en donde se representan las superficies de trazado, que son interiores al forro. El forro a efectos de cálculos se suele considerar como un apéndice, y la no consideración de su volumen, se suele tomar como un cierto margen de seguridad del proyecto. El volumen de carena depende del desplazamiento, que determina los distintos calados que adquiere la carena. La representación V vs T (volumen de carena – calado), es parte de la información contenida en las denominadas curvas hidrostáticas.. calado (T) volumen de trazado volumen total (trazado + é di ). volumen de carena (V). _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07.

(22) 2. Estática de Fluidos.. 22. DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE CARENA: Las coordenadas del centro de carena C(xC, yC, zC), son: xC. distancia longitudinal entre el centro de carena y la cuaderna maestra, viene determinada por la distribución de las áreas de cuadernas: x =L / 2. xC =. ∫ ∫. A C (x) ⋅ x ⋅ dx =. x =− L / 2 x =L / 2. ∫. x=L / 2. A C (x) ⋅ x ⋅ dx. x =− L / 2. [31.]. V. A C (x) ⋅ dx. x =− L / 2. yC. distancia transversal entre el centro de carena y el plano de crujía, que es nula, por la simetría de la carena respecto a la crujía. yC = 0. zC. distancia vertical entre el centro de carena y el origen de coordenadas (punto más profundo de la cuaderna maestra), viene determinada por la distribución de las áreas de flotación:. zC. ∫ = ∫. z=T. A F (z) ⋅ z ⋅ dz. z =0 x =L / 2. ∫ =. z=T. A F (z) ⋅ z ⋅ dz. z =0. [32.]. V. A F (z) ⋅ dz. x =− L / 2. VARIACIÓN DEL CENTRO DE CARENA CON EL CALADO: en función de la carga, la carena adoptara un determinado calado, con lo que el volumen de carena, así como su centro de gravedad (centro de carena) dependerán del calado. Para evaluar estas variaciones, se tienen dos diagramas cartesianos: (a) la representación de las áreas de cuadernas en función de su posición longitudinal. (b) la representación de las áreas de flotación en función de su posición vertical. (a) Curva de áreas de cuadernas en función de su posición longitudinal: representa el área de cada cuaderna en función de su posición longitudinal, desde popa a proa, entre la eslora total del buque. Para cada calado, se tiene una posición de la eslora de flotación, que determina que cuadernas contribuyen a la flotación. Para una determinada eslora de flotación, el volumen de carena es el área bajo la curva AC(x) vs x, hasta la eslora de flotación, y la distancia longitudinal del centro de carena es el centro de gravedad de la citada área: Area curva A C (x) vs x =. AC(x). ∫. A C (x) ⋅ dx = V. L wl. ∫ cdg de el área bajo la curva = ∫. cuaderna maestra popa. proa. xC. A C (x) ⋅ x ⋅ dx. Lwl. A C (x) ⋅ dx. Lwl. eslora de flotación. xC =. que coincide con la distancia longitudinal del centro de carena (cdg del volumen sumergido):. x. ∫ ∫. A C (x) ⋅ x ⋅ dx =. Lwl. A C (x) ⋅ dx. ∫. L/2. A C (x) ⋅ x ⋅ dx. −L / 2. V. Lwl. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07.

(23) 2. Estática de Fluidos.. 23. (b) Curva de áreas de flotación en función de su posición vertical: representa el área de cada superficie de flotación en función de su posición vertical, desde z=0 en la quilla de la cuaderna maestra hasta z=T en la línea de flotación. Para cada calado, se tiene una posición de la línea de flotación, que determina hasta que superficie de flotación se contribuye a la flotación. Para un determinad calado, el volumen de carena es el área bajo la curva AF(z) vs z, y la distancia vertical del centro de carena es el centro de gravedad de la citada área: AF(z) Area curva A F (z) vs z =. ∫. z=T. A F (z) ⋅ dz = V. z=0 T. ∫ cdg de el área bajo la curva = ∫. A F (z) ⋅ z ⋅ dz. 0. T. A F (z) ⋅ dz. 0. z zC. que coincide con la distancia vertical del centro de carena (cdg del volumen sumergido):. T. zC =. ∫. z=T. A F (z) ⋅ z ⋅ dz =. z =0. ∫. T. ∫. A F (z) ⋅ dz. T. A F (z) ⋅ z ⋅ dz. 0. V. 0. VARIACIÓN DEL CENTRO DE CARENA CON LA DENSIDAD. Para un determinado desplazamiento (D), el volumen de carena depende de la densidad del agua: V=D/ρg; con lo que las variaciones de volumen con la densidad son: dV −D 1 = dρ g ρ2. evidentemente un aumento de densidad (dρ>0), da lugar a una disminución del volumen de carena (dV<0) y con ello a una disminución del calado: dV=AF(T).dT; introduciendo la variación de volumen de la ecuación anterior, se tiene: dV =. −D dρ = A F (T) ⋅ dT g ρ2. dT =. − D dρ g ⋅ A F (T) ρ2. [33.]. el desplazamiento (D), se puede poner en función de la geometría del buque, a través del coeficiente de afinamiento del buque, o coeficiente de bloque: CB=V/EBT, con lo que D = ρg ⋅ CB ⋅ E ⋅ B ⋅ T . El área de la línea de flotación (AF(T)), se puede poner en función de la geometría, a través del coeficiente de afinamiento CA=AF(T)/EB; con todo se tiene:. dT =. −ρgC B EBT dρ g ⋅ CA EB ρ2. ⇒. dT −CB dρ = T CA ρ. ⇒. ⎛ρ ⎞ T=T0 ⎜ 0 ⎟ ⎝ ρ⎠. CB / CA. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07.

(24) 2. Estática de Fluidos.. 24. La variación de calado, con la variación de densidad, determina una variación del centro de carena, que viene dado por: dx C A F (T) = ( xF − xC ) dT V. ⇒. dx C = (x C − x F ). dz C A F (T) = ( T − zC ) dT V. ⇒. dz C = (z C − T). dρ ρ. [34.]. dρ ρ. [35.]. De la ecuación [35.], como T>zC, ante un aumento de densidad, la distancia vertical del centro de carena disminuye. De la ecuación [34.], cuando la distancia longitudinal del centro de carena es mayor que la distancia longitudinal del centro de gravedad de la superficie de flotación: xC>xF, se tiene que ante un aumento de densidad, el centro de carena se desplaza hacia proa y por tanto se tiene un trimado positivo (emerge la proa).. 3.3. ESTABILIDAD DE CUERPOS SUMERGIDOS.. Considerando un cuerpo sumergido, en el seno de un líquido, si esta en equilibrio, la suma de fuerzas que actúan sobre él debe ser nula. Sobre el cuerpo actúan dos campos de fuerzas distribuidas: las fuerzas másicas, distribuidas uniformemente en toda la masa del cuerpo; cuya resultante tiene dirección vertical, hacía abajo, de modulo mg, y aplicada en el centro de gravedad de la masa del cuerpo G.; y las fuerzas de presión del líquido, distribuidas en toda la superficie del cuerpo; cuya resultante tiene dirección vertical, hacía arriba, de modulo ρgV, y aplicada en el centro de gravedad del volumen del cuerpo C. En equilibrio, los módulos de las resultantes deben ser iguales. En cambio, según la posición relativa de los dos centros de aplicación, se tienen los siguientes casos de equilibrio:. Empuje=ρg.V. α. C.D.E.. C. C GC. GC G. C.D.G.. G. Peso=mg. EQUILIBRIO ESTABLE: GC>0, el centro de gravedad esta por debajo del centro de empuje, con lo que cualquier desequilibrio, genera un par de fuerzas equilibrantes (adrizantes), que devuelve al cuerpo a su posición de equilibrio inicial. El valor del par adrizante, viene determinado por el ángulo de desequilibrio y la distancia entre el centro de gravedad del cuerpo y el centro de empuje: Par = E ⋅ GC ⋅ senα. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07.

(25) 2. Estática de Fluidos.. 25. Empuje. α G. G GC. C. C. Peso EQUILIBRIO INESTABLE: GC< 0, el centro de gravedad esta por encima del centro de empuje, con lo que cualquier desequilibrio, genera un par de fuerzas desequilibrantes (escorantes), que alejan al cuerpo a su posición de equilibrio inicial. El valor del par escorante, viene determinado por el ángulo de desequilibrio y la distancia entre el centro de gravedad del cuerpo y el centro de empuje: Par = E ⋅ GC ⋅ senα EQUILIBRIO INDIFERENTE: GC=0, el centro de gravedad del cuerpo coincide con el centro de empuje, con lo que cualquier desequilibrio, saca al cuerpo de su equilibrio inicial, y lo deja en un nuevo estado de equilibrio.. 3.4. ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES.. Considerando un cuerpo flotando, en el seno de un líquido; si esta en equilibrio, la suma de fuerzas que actúan sobre él debe ser nula. Sobre el cuerpo actúan dos campos de fuerzas distribuidas: las fuerzas másicas, distribuidas uniformemente en toda la masa del cuerpo; cuya resultante tiene dirección vertical, hacía abajo, de modulo mg, y aplicada en el centro de gravedad de la masa del cuerpo G.; y las fuerzas de presión del líquido, distribuidas en la superficie mojada del cuerpo (superficie de la parte sumergida) cuya resultante tiene dirección vertical, hacía arriba, de modulo ρgV*, y aplicada en el centro de gravedad del volumen desplazado C. Ante un determinado desequilibrio angular, el volumen sumergido se modifica, y con ello su centro de gravedad (centro de flotación o de carena). La condición de equilibrio, viene determinada ahora, por la posición relativa del centro de gravedad másico (que evidentemente no cambia) y del nuevo centro de flotación. Para pequeñas oscilaciones, los nuevos centros de carena, se sitúan en una curva, cuyo centro de curvatura se sitúa en la vertical de equilibrio inicial y se denomina metacentro; su radio de curvatura (medido desde los centros de carena) es la distancia metacéntrica CM.. E=ρg.V. C.D.E.. C. C.D.G.. G. P=mg. línea de flotación. calado. M. C G. α. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07.

(26) 2. Estática de Fluidos.. 26. La gran importancia del metacentro, es que determina el par generado por el peso y por el empuje: Par = E ⋅ GM ⋅ senα. [36.]. en donde “E” es empuje o desplazamiento (coincide con el peso del objeto), “GM” es la distancia desde el centro de gravedad al metacentro y “α” es el ángulo de desequilibrio EQUILIBRIO ESTABLE: GM>0, el centro de gravedad esta por debajo del metacentro, con lo que cualquier desequilibrio, genera un par de fuerzas equilibrantes (adrizantes), que devuelve al cuerpo a su posición de equilibrio inicial. EQUILIBRIO INESTABLE: GM< 0, el centro de gravedad esta por encima del metacentro, con lo que cualquier desequilibrio, genera un par de fuerzas desequilibrantes (escorantes), que alejan al cuerpo a su posición de equilibrio inicial. EQUILIBRIO INDIFERENTE: GM=0, el centro de gravedad del cuerpo coincide con el metacentro, con lo que cualquier desequilibrio, saca al cuerpo de su equilibrio inicial, y lo deja en un nuevo estado de equilibrio. La distancia GM (metacéntrica, entre el centro de gravedad y el metacentro) es siempre mayor que la distancia GC (entre el centro de gravedad y el centro de flotación en el equilibrio inicial). Es interesante señalar, que si GC>0, es decir el centro de gravedad esta por debajo del centro de carena, la distancia metacéntrica (GM) es también positiva (GM>GC), con lo que se tendrá un equilibrio estable. Si GC<0, es decir el centro de gravedad esta por encima del centro de carena, la distancia metacéntrica, podría ser positiva, con lo que se podría tener equilibrio estable, aún con GC<0. 3.5. ECUACIÓN DE ESTABILIDAD.. Consideremos un cuerpo flotando en equilibrio en un líquido; si se le somete a un pequeño desequilibrio angular, se puede obtener una ecuación para la distancia metacéntrica (GM) en función de la distancia de carena (GC) y de la geometría de la línea de flotación. En la posición de desequilibrio, se tiene el peso aplicado en G, y el empuje aplicado en el nuevo centro de flotación C', cuya vertical pasa por el metacentro M. Este sistema de fuerzas, es equivalente a que se tenia en la posición de equilibrio inicial (peso en G y empuje en C) más el efecto de las dos cuñas simétricas respecto al plano de crujía: una cuña emergida y una cuña sumergida.. M. α G C C’. x. dA. M. M α. α. G. G. ≡. C. +. C C´ E. C´. y·senα. α y. E. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07.

(27) 2. Estática de Fluidos.. 27. Sistemas de fuerzas en la posicion de desequilibrio. Peso en G. Peso en G. ≡. Empuje en C´. Empuje en C Efecto de las cuñas. Si los dos sistemas de fuerzas son equivalentes, sus momentos respecto a cualquier punto, son lo mismos; en particular tomando momentos respecto al centro de gravedad: Momentos respecto a G del sistema (signo positivo = levógiro): Peso en G y Empuje en C´:. E ⋅ GM ⋅ senα. −E ⋅ CG ⋅ senα + M CUÑAS. Momentos respecto a G del sistema: Peso en G , Empuje en C y efecto de las cuñas:. el signo negativo del momento del empuje en C, es debido a que su momento respecto a G es dextrógiro; con todo el momento de las cuñas emergida-sumergida es: M cuñas =. ∫. y ⋅ dF =. ∫∫. y ⋅ ρg ⋅ y ⋅ senα ⋅ dA = ρg ⋅ seα. A LF. ∫∫. y 2 ⋅ dA = ρg ⋅ senα ⋅ I x. A LF. en donde Ix es el momento de inercia del área limitada por la línea de flotación respecto al eje de crujía (x); al ser los dos sistemas de fuerzas equivalentes, sus momentos respecto a G serán iguales, lo que lleva a: E·GM·senα = E·(−CG)·senα + ρ g·senα·I X. el empuje es igual al peso del volumen desplazado: E = ρg·VC; y la distancia “CG” e igual a “-GC”, con lo que: GM = GC +. Ix VC. [37.]. es decir, la distancia metacéntrica (entre el centro de gravedad y el metacentro), viene determinada por la suma de dos términos: GC, que es la distancia desde el centro de gravedad al centro de carena (del objeto en equilibrio), y que puede ser positivo o negativo. Ix/VC, que es el cociente entre el momento de inercia del área limitada por la línea de flotación respecto al eje de crujía, y el volumen de carena; evidentemente este cociente es siempre positivo. esto hace, que aunque GC sea negativo (lo que en principio da lugar a un equilibrio inestable), si el cociente Ix/VC es mayor que la distancia anterior, la distancia metacéntrica es positiva, y con ello el equilibrio es estable. El volumen de carena, viene determinado por el desplazamiento. En cambio, para un mismo desplazamiento, el momento de inercia, puede modificarse, por la geometría del área limitada por la línea de flotación. Así, a igualdad de desplazamiento, un monocasco tiene menor estabilidad que el correspondiente catamarán. Considerando carenas límites de coeficientes de bloques unitarios, se tiene:. y L. B. dy. B/2. B/2 A. ∫ ∫ = y ·dA = ∫ ∫. I monocasco =. ( B / 2 ) − ( −B / 2 ) 1 3 y3 ⎤ =L = LB ⎥ 3 ⎦−B / 2 3 12 B/ 2. B/ 2. y 2 ·dA =. y 2 ·L·dy = L. −B / 2. 2. − (A + B) / 2. y 2 ·L·dy = L. 3. ( (A + B) / 2 ) − ( −(A + B) / 2 ) 1 y3 ⎤ 3 =L = L ( A + B) ⎥ 3 ⎦ − (A + B) / 2 3 12 (A + B) / 2. (A + B) / 2. Icatamaran. 3. 3. 3. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07.

(28) 2. Estática de Fluidos.. 28. 4. PROBLEMAS RESUELTOS.. 1. Distribución de presiones es hidrostática. 2. Distribución de presiones en líquidos: incompresibles, barotrópicos. 3. Distribución de presiones en gases. 4. Distribución de presiones en aire atmosférico. 5. Distribución de presiones en campo gravitatorio-inercial. 6. Distribución de presiones con aceleración lineal. 7. Distribución de presiones con aceleración radial. 8. Distribución de presiones en campo gravitatorio-centrifugo. 9. Fuerza de presión en superficies planas. 10. Fuerza de presión en superficies curvas. 11. Fuerzas de presión en compuertas. 12. Fuerzas de presión en superficies curvas. 13. Equilibrio en flotación. 14. Ecuación de estabilidad.. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07.

(29) 2. Estática de Fluidos.. 29. 2.1.. Distribución de presiones: En los líquidos, la diferencia de presiones entre dos puntos viene determinada por la densidad (se supone constante) y por la diferencia de cotas: así puntos más profundos tienen mayor presión. En los gases, por ser su densidad relativamente pequeña, la diferencia de presiones entre dos puntos es despreciable, a no ser que la diferencia de cotas sea grande. Para ilustrar estos conceptos, se considera el recipiente de la figura, que contiene dos líquidos en contacto con aire. DETERMINE:. 1. Las presiones manométricas en los puntos de las 4 superficies libres. 2. La presión atmosférica local (barométrica) 3. Las presiones absolutas en los 4 puntos. 1. AIRE. 1,2 m. 742 mmHg. 4 2. 0,3 m 3. 1000 kg/m3 13555 kg/m3. Hg. agua. RESOLUCIÓN: 1. Presiones manométricas (respecto a la presión atmosférica local):. (1) es un punto de la superficie libre en contacto con la atmósfera, con lo que está a la presión atmosférica local y por tanto su presión manométrica es nula: pm1 = 0. (2) está a 1,2 metros de profundidad, respecto a (1), con lo que su presión será mayor e igual a: pm2 = pm1 + ρ12g h12 = 0 + (1000kg/m3)(9,8m/s2)(1,2m) = 11,760 kPa (3) está en contacto con el mismo aire que el punto (2), con lo que tendrá la misma presión: pm3 = 11,760 kPa (4) está a 0,4 m por encima del punto (3), con lo que su presión será menor e igual a: pm4 = pm3 - ρ34g h34 = 11760 - 13555·9,8·0,3 = -28,092 kPa es decir tiene una presión vacuométrica de 28,092 kPa 2. Presión barométrica (presión atmosférica local): es la diferencia de presiones entre los dos meniscos del barométrico de la figura; el menisco superior esta a la presión de vapor de mercurio a la temperatura ambiente, y el menisco superior esta a la presión atmosférica local: patm = pvaporHg + ρHg·g·h ; como la presión de vapor de mercurio, es muy pequeña, del orden de pascales, se puede considerar que el menisco superior esta prácticamente a presión nula, con lo que se tiene: patm = ρHg·g·h = (13555 kg/m3)(9,8 m/s2)(0,742m)= 98,567 kPa ≈ 986 mbar 3. Presiones absolutas:. p1 = patm = 98,567 kPa p2 = patm + pm2 = 98,567 + 11,760 = 110,329 kPa p3 = patm + pm3 = 98,567 + 11,760 = 110,329 kPa p4 = patm + pm4 = 98,567 - 28,092 = 69,475 kPa. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07.

(30) 2. Estática de Fluidos.. 30. 2.2. Distribución de presiones en líquidos: La presión manométrica a una determinada profundidad, viene determinada por la citada profundidad y por la densidad del agua de mar. Como el módulo de compresibilidad del agua de mar es alto, prácticamente la densidad no varia, y la presión manométrica viene dada por ρgh, solo a grandes profundidades es necesario considerar la variación de la densidad con la profundidad, para poder determinar la presión. DETERMINE:. las presiones manométricas a 1, 10, 100, 1000 y 10000 metros de profundidad en los casos: 1. Considerando la densidad constante (líquido incompresible). 2. Considerando el módulo de compresibilidad constante (líquido barotrópico).. DATOS:. densidad estándar: 1025 kg/m3 módulo de compresibilidad: 2128 MPa. RESOLUCIÓN: 1. Líquido incompresible.. La ecuación fundamental de fluidoestática es: dp = -ρg·dz, cuya integración entre un punto de la superficie libre (z=0) y un punto a una determinada profundidad (z=-h), da la presión manométrica; si la densidad es constante, la integración es inmediata: pm =. ∫. z =− h. −ρg·dz =ρgh. z=0. con ρ = 1025 kg/m3 y g = 9,8 m/s2; se tiene:. h=1m h=10m h=100m h=1000m h=10000m. pm = 1025·9,8·1 = 0,10045 bar pm = 1025·9,8·10 = 1,0045 bar pm = 1025·9,8·100 = 10,045 bar pm = 1025·9,8·1000 = 100,45 bar pm = 1025·9,8·10000 = 1004,5 bar. 2. Líquido barotrópico. En este caso, para poder hacer la integración, es necesario conocer relación entre la densidad y la profundidad: ρ=ρ(h), que viene determinada por el módulo de compresibilidad constante: K=ρ. dp ρg·dh = ... = ρ dρ dρ. pm =. ∫. ⇒. h. ρg·dh =g. 0. ∫. h. 0. ρ0. dρ g = dh ρ2 K. ⇒. ∫. ρ. dρ = 2 ρ0 ρ. ∫. h. 0. g dh K. ⇒ ... ρ=ρ0. K K − ρ0 gh. K K ·dh =... = K·ln K − ρ0 gh K − ρ0 g·h. con ρ = 1025 kg/m3 , g = 9,8 m/s2; K = 2128 MPa se tienen los siguientes valores de presión y densidad: para una profundidad de 1m: h=1m. p m = 2128·106 ·ln. 2128·106 = 0,10045 bar 2128·106 − 1025·9,8·1. ρ=. 1025 = 1025, 0048kg / m3 1 − 1025·9,8·1 6 2128·10. análogamente, para el resto de profundidades: h(m) 1 10 100 1000 10000. pm(bar) 0,10045 1,00450 10,04740 100,68780 1028,98170. ρ(kg/m3) 1025,0048 1025,0484 1025,4841 1029,8614 1075,7800. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07.

(31) 2. Estática de Fluidos.. 31. 2.3. Distribución de presiones en gases: En la troposfera, la temperatura del aire atmosférico estándar, va disminuyendo linealmente con la altitud; a su vez la densidad y la presión también van disminuyendo. DETERMINE:. 1. Ecuación de la densidad en función de la altitud. 2. Ecuación de la presión en función de la altitud. 3. Temperatura, densidad y presión a 11m, 110m, 1100m y 11000m.. DATOS:. condiciones estándar a nivel del mar: t0 = 15ºC; p0 = 1013,25 mbar; ρ0 = 1,225 kg/m3 aire ideal de constante R=287 J/kgK gradiente de temperatura en la troposfera estándar: dT/dz = - 6,51 K/km. RESOLUCIÓN: Ecuaciones:. p = ρRT dp = -ρg·dz T=T0-Bz. Ec. térmica de estado gas ideal: Ec. fluidoestática Ec. aire estándar. [1] [2 ] [3]. 1. Densidad vs altitud : [1] , [3] p = ρR ( T0 − Bz ). d ( ρR ( T0 − Bz ) ) = −ρg·dz. [2 ] ⇒. ∫. -R dρ dz = g-BR ρ T0 − Bz. ρ. − R dρ = ρ0 g − BR ρ. ∫. z. 0. ⇒. RT0 ·dρ − RB·ρdz-RB·zdρ = −ρg·dz. la integración entre un punto a cota cero, y un determinado punto es:. dz T0 − Bz. ⇒. T − Bz ρ -R 1 ·ln = ·ln 0 g-BR ρ 0 − B T0. ⎛ B ⎞ ρ = ρ0 ⎜ 1 − z ⎟ ⎝ T0 ⎠. ⇒. ρ ⎛ T0 − Bz ⎞ =⎜ ⎟ ρ0 ⎝ To ⎠. g − BR BR. g − BR BR. [4]. 2. Presión vs altitud: con la ecuación térmica de estado [1] y la ecuación ρ = ρ(z) [4], se tiene la ecuación: ⎛ T − Bz ⎞ p = ρRT = ρ0 R ( T0 − Bz ) ⎜ 0 ⎟ ⎝ T0 ⎠ [5 ]. g − BR BR. g. g. ⎛ B ⎞ BR p = p0 ⎜ 1 − ·z ⎟ ⎝ T0 ⎠. ⎛ T − Bz ⎞ BR = ...p0 = ρ0 RT0 ... = p0 ⎜ 0 ⎟ ⎝ T0 ⎠. 3. Valores estándar de p,T y ρ a 11m, 110, 1100m y 11000 m. g − BR 9,8 − 6,51·10−3 ·287 = = 4, 2452 BR 6,51·10−3 ·287. para. z = 11 m, se tiene:. g 9,8 = = 5, 2452 BR 6,51·10−3 ·287. T = 288,15 – 0,00651·11= 288,22 K ⎛ 0,00651 ⎞ ρ = 1, 225 ⎜ 1 − ·11 288,15 ⎟⎠ ⎝. 4,2452. = 1, 2237 kg/m 3. ⎛ 0, 00651 ⎞ p = 1013, 25 ⎜ 1 − ·11 288,15 ⎟⎠ ⎝. 5,2452. = 1011,93 mbar. Análogamente se tienen valores de temperatura, densidad y presión a distintas cotas: Altitud (z) 0 11 110 1100 11000 m. Temperatura (T) 288,150 288,078 287,434 280,989 216,540 K. 15,000 14,928 14,284 7,839 -56,610 ºC. Densidad (ρ) 1,225 1,224 1,212 1,101 0,364 Kg/m3. Presión (p) 1013,250 1011,930 1000,112 887,953 226,407 mbar. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 07.