2
y radicales
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Para realizar determinadas mediciones necesitamos los
El inventor del ajedrez
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Problemas de ajedrez
“Una leyenda cuenta que el inventor del ajedrez presentó su invento a un
Potencias y radicales
Potencias de exponente entero
Radicales
Operaciones con radicales
Sumar y restar Multiplicar y dividir Potencia y raíz
Racionalización
Denominador con 1 raíz
Potencias de exponente entero
Si a es un número real y n es un número natural, definimos:
an=a⋅a⋅. ..⋅a
n vecesa
−n=
1
a
n=
1
a
⋅
1
a
⋅
.. .⋅
1
a
n veces Ejemplos: 5 2 2 5 2 22
5
3
2
5
3
2
2
2
2
2
5
5
3
3
64
225
=
⋅
=
⋅
⋅
−⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
a)
( )
−1
Producto y cociente de potencias de la misma base Potencia de un producto y de un cociente
Potencia de otra potencia
Potencia negativa de un número fraccionario Casos especiales m n m n a a a ⋅ = + n m m n a a a − =
(
)
n n n b a b a⋅ = ⋅
a
b
n=
a
nb
n( )
an m = an⋅m
a
nb
n
m=
a
n⋅mb
n⋅m
a
b
−n=
b
a
n
1
a
−n=
a
n 1 0 = a a1 =aPotencias de exponente entero
Ejemplos:=
3
2
−4⋅
3
2
3=
3
2
−43=
3
2
−1=
2
3
1=
2
3
b 2⋅
3
4
⋅
2
−33
2⋅
3
8
2=
a
3
2
−4⋅
3
2
3=
=
2⋅
3
4
⋅
2
−33
2⋅
3
8
2=
2⋅
3
4
⋅
2
−33
2⋅
3
28
2=
2⋅3⋅2
−3⋅
3
22
2⋅
3
2⋅
2
2
3=
2⋅3⋅2
−3⋅
3
22
2⋅
3
2⋅
2
6=
Dado un número real a, raíz enésima (o radical de índice n) de a es cualquier número real r que verifique que:
r
a
a
r
n=
n
=
La potencia de exponente fraccionario es el radical de índice n y radicando .
n m
a
ma
n m n ma
a
=
Dos fracciones son equivalentes cuando sus bases son iguales y las
Radicales
Indicamos, el índice, el radicando y la potencia de cada radical.
RADICAL ÍNDICE RADICANDO POTENCIA
3
4
52
4125
27
3
5
4
2
22
4
=
2
35
125
=
33
27
=
5 12
( )
3 2 3 1 2 3 2 34
=
2
=
2
=
2
( )
4 3 4 1 3 4 3 4125
=
5
=
5
=
5
( )
2 3 2 1 3 33
3
3
27
=
=
=
Reducir radicales a índice común 1. Se ponen como potencias de exponente fraccionario. 2. Se reducen a común denominador. 3. Se vuelve a poner en forma de radical.
Extraer factores del signo radical
1. Se ponen como potencias de exponente fraccionario.
2. Si la fracción es impropia se transforma en la suma de un número entero y una fracción propia.
3. Se extrae del radical el factor elevado a la parte entera y se convierte el resto en radical.
Operaciones con radicales
Ejemplos:.
27
,
2
,
5
común
índice
a
Reducir
3 4a)
1. Se ponen como potencias de exponente fraccionario. 2. Se reducen a común denominador. 3. Se vuelve a poner en forma de radical. Reducir radicales a índice comúnEjemplos: 4 3 4 3 1 3 2 1
3
27
2
2
5
5
1.
=
=
=
Reducir radicales a índice común.
27
,
2
,
5
común
índice
a
Reducir
3 4a)
1. Se ponen como potencias de exponente fraccionario. 2. Se reducen a común denominador. 3. Se vuelve a poner en forma de radical.Operaciones con radicales
Ejemplos: 4 3 4 3 1 3 2 13
27
2
2
5
5
1.
=
=
=
12 9 4 3 12 4 3 1 12 6 2 13
3
2
2
5
5
12
(2,3,4)
m.c.m.
2.
=
→
=
=
=
Reducir radicales a índice común.
27
,
2
,
5
común
índice
a
Reducir
3 4a)
1. Se ponen como potencias de exponente fraccionario. 2. Se reducen a común denominador. 3. Se vuelve a poner en forma de radical.Ejemplos: 4 3 4 3 1 3 2 1
3
27
2
2
5
5
1.
=
=
=
12 9 12 9 12 4 12 4 12 6 12 63
3
2
2
5
5
3.
=
=
=
Reducir radicales a índice común.
27
,
2
,
5
común
índice
a
Reducir
3 4a)
1. Se ponen como potencias de exponente fraccionario. 2. Se reducen a común denominador. 3. Se vuelve a poner en forma de radical. 12 9 4 3 12 4 3 1 12 6 2 13
3
2
2
5
5
12
(2,3,4)
m.c.m.
2.
=
→
=
=
=
Operaciones con radicales
Ejemplos:.
r
Simplifica
7a
47a)
1. Se ponen como potencias de exponente fraccionario.
2. Si la fracción es impropia se transforma en la suma de un número entero y una fracción propia.
3. Se extrae del radical el factor elevado a la parte entera y se convierte el resto en radical.
Extraer factores del signo radical
Ejemplos: 7 47 7 47
1.
a
=
a
.
r
Simplifica
7a
47a)
1. Se ponen como potencias de exponente fraccionario.
2. Si la fracción es impropia se transforma en la suma de un número entero y una fracción propia.
3. Se extrae del radical el factor elevado a la parte entera y se convierte el resto en radical.
Operaciones con radicales
Ejemplos:7
5
6
7
47
2.
=
+
7 47 7 471.
a
=
a
.
r
Simplifica
7a
47a)
1. Se ponen como potencias de exponente fraccionario.
2. Si la fracción es impropia se transforma en la suma de un número entero y una fracción propia.
3. Se extrae del radical el factor elevado a la parte entera y se convierte el resto en radical.
Extraer factores del signo radical
Ejemplos:
7
5
6
7
47
2.
=
+
3 . a
47 7=
a
6 5 7
=
a
6⋅
a
5 7=
a
6⋅
7
a
5 7 47 7 471.
a
=
a
.
r
Simplifica
7a
47a)
1. Se ponen como potencias de exponente fraccionario.
2. Si la fracción es impropia se transforma en la suma de un número entero y una fracción propia.
3. Se extrae del radical el factor elevado a la parte entera y se convierte el resto en radical.
Operaciones con radicales. Suma y resta
Ejemplos:
Para sumar o restar radicales es necesario que sean semejantes.
=
−
+
6 6 63
2
1
3
3
3
4
a)
(
)
6 6 6 63
2
13
3
2
1
7
3
2
1
3
7
−
=
−
=
=
Ejemplos:
=
3
2
−
1
2
4
52
45= 12
45=3
4
5
4 4 45
2
5
2
1
5
2
3
+
−
b)
=
−
+
6 6 63
2
1
3
3
3
4
a)
(
)
6 6 6 63
2
13
3
2
1
7
3
2
1
3
7
−
=
−
=
=
Operaciones con radicales. Producto y cociente
Ejemplos:=
⋅
7 4 327
3
a)
( )
27 25 27 25 27 4 21 7 1 4 3 7 3 4 3 7 1 3 4 3 7 1 4 3 7 4 33
3
3
3
3
3
3
3
27
3
27
3
=
=
=
=
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
+ +Ejemplos:
=
4 5196
800
)
b
(
)
( )
(
)
(
)
1 1 1 3 1 1 2 1 2 1 5 3 1 4 2 4 2 5 3 5 5 4 1 2 2 5 1 3 5 4 1 5 1 4 52
7
7
2
2
7
7
2
2
7
7
2
196
976
.
10
196
10.976
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
=
=
− −=
⋅
7 4 327
3
a)
( )
27 25 27 25 27 4 21 7 1 4 3 7 3 4 3 7 1 3 4 3 7 1 4 3 7 4 33
3
3
3
3
3
3
3
27
3
27
3
=
=
=
=
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
+ +Ejemplos:
(
3
⋅
75
)
4=
)
a
=
3⋅
7
5
4=
3⋅5
1 7
4=3
4⋅
5
4 7=3
4⋅
7
5
4Ejemplos:
(
3
⋅
75
)
4=
)
a
=
3⋅
7
5
4=
3⋅5
1 7
4=3
4⋅
5
4 7=3
4⋅
7
5
4=
32
59
)
b
=
3
2⋅9
1 5=
3
2⋅
3
2
1 5=
3
2⋅3
2 5=
2⋅3
2 5
1 3=
2
1 3⋅
3
2 15=
=
2
5 15⋅
3
2 15=
15
2
5⋅
3
2=
15
288
Racionalizar
Ejemplos:
La racionalización consiste en transformar fracciones que tengan radicales en el denominador en otras fracciones
Ejemplos:
=
32
1
)
a
2
2
2
2
2
2
2
1
3 2 3 3 3 2 3 2 3 2 3⋅
=
=
La racionalización consiste en transformar fracciones que tengan radicales en el denominador en otras fracciones
Racionalizar
Ejemplos:=
32
1
)
a
2
2
2
2
2
2
2
1
3 2 3 3 3 2 3 2 3 2 3⋅
=
=
=
45
3
)
b
5
3
5
3
5
3
5
3
4 3 4 3 4 3 4 2⋅
3=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
La racionalización consiste en transformar fracciones que tengan radicales en el denominador en otras fracciones
Ejemplos:
=
+
2
4
3
)
a
=
−
+
2
1
3
2
)
b
Racionalizar
Ejemplos:(
)
14
2
3
12
2
16
2
3
12
2
4
2
4
3
2
4
2
4
2
4
3
2 2−
=
−
−
=
−
−
⋅
=
−
−
⋅
+
=
=
+
2
4
3
)
a
=
−
+
2
1
3
2
)
b
Conjugado del denominador Diferencia de cuadradosEjemplos:
=
+
2
4
3
)
a
(
)
14
2
3
12
2
16
2
3
12
2
4
2
4
3
2
4
2
4
2
4
3
2 2−
=
−
−
=
−
−
⋅
=
−
−
⋅
+
=
Conjugado del denominador Diferencia de cuadrados(
) (
)
(
2
2
2
3
6
)
1
6
3
2
2
2
2
1
6
3
2
2
2
2
1
2
1
3
2
2
1
2
1
2
1
3
2
2 2+
+
+
−
=
−
+
+
+
=
=
−
+
+
+
=
−
+
⋅
+
=
+
+
⋅
−
+
=
Conjugado del denominador=
−
+
2
1
3
2
)
b
Valor numérico de un radical
→
=
→
<
→
=
→
>
=
única.
es
raíz
La
impar
es
a.
b
N
0
a
0.
es
raíz
La
0
a
negativo.
otro
y
positivo
uno
raíz,
la
para
valores
2
0
a
par
es
n
n
verifique
que
b
de
valor
ningún
existe
o
a
nÍndice
Radicando
Valores
n
Ejemplos:
3
4
)
a
→Tieneíndiceimpar,unaúnicaraíz...
587401052
,
1
4
3
=
por redondeoalascentésimas 34
=
1
,
59
3
4
)
−
b
→tieneindiceimpar,tieneunaúnicaraíz...
587401052
,
1
4
3=
−
43
)
c
→tieneindicepar,tienedosraíces...
316047013
,
1
3
...
316047013
,
1
3
4 4=
=
−
−
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