1 Juegos con Utilidad Transferible

1 Juegos con Utilidad Transferible

1.1 Introduccion a los Juegos con Utilidad Transferible

Se estudiaran en este apartado situaciones de negociacion coalicional. En una de estas situaciones, un conjunto de jugadores, que dispone de mecan-ismos para establecer acuerdos vinculantes, tiene que decidir como repartir entre ellos los benecios de su cooperacion. A diferencia de los denomi-nados juegos de negociacion no es necesario el acuerdo unanime para que se adopte un acuerdo que conduzca a una cierta asignacion, sino que hay grupos de jugadores (denominadas coaliciones) que son capaces de originar ciertas asignaciones si se ponen de acuerdo. Se supone que los benecios generados por una coalicion se pueden repartir de cualquier forma entre sus miembros, por eso hablamos de negociacion coalicional con utilidad transferible.

Denicion 1 Un juego cooperativo TU (con utilidad transferible) es un par (N; v) donde N = f1;


; ng es el conjunto de jugadores y v : 2N _{! R}

es una funcion que verica que v(;) = 0.

La funcion v se denomina funcion caracterstica del juego. Dada una coalicion S  N, v(S) representa en general el pago que se pueden asegu-rar los jugadores de S, independientemente de como actue el resto de los jugadores.

Vamos a denotar por G(N) el conjunto de todos los juegos cooperativos en los que el conjunto de jugadores es N. En algunas ocasiones, identi-caremos un juego (N; v) con su funcion caracterstica v por cuestiones de simplicidad en la notacion.

Ejemplo 1 (Reparto de un millon) Una persona deja una herencia de un millon de euros a tres herederos con la condicion de que al menos dos de ellos lleguen a un acuerdo sobre como efectuar el reparto, porque en otro caso lo dejara a una institucion.

Esta situacion se puede modelar como un juego TU (N; v) donde N = f1; 2; 3g, v(1) = v(2) = v(3) = 0 y v(1; 2) = v(1; 3) = v(2; 3) = v(N) = 11_.

1_{Para evitar una notacion demasiado engorrosa escribiremos v(1) en lugar de v(f1g),}

Ejemplo 2 (El juego del guante) Tres jugadores estan dispuestos a repartir los benecios derivados de la venta de un par de guantes. El jugador uno tiene un guante izquierdo y los jugadores dos y tres tienen un guante derecho cada uno. Un par de guantes se puede vender por 10 euros. Esta situacion se puede modelar como un juego TU (N; v) donde N = f1; 2; 3g, v(1) = v(2) = v(3) = v(23) = 0 y v(12) = v(13) = v(N) = 1.

Ejemplo 3 (El Parlamento de Aragon, 1991) Se ilustra aqu el hecho de que los juegos TU pueden ser utilizados para modelar situaciones de nego-ciacion coalicional en los que los jugadores negocian con algo mas abstracto que el dinero. Se considera el Parlamento de Aragon surgido tras las elec-ciones de mayo de 1991, cuya composicion era: PSOE (Partido Socialista) 30 diputados, PP (Partido Conservador) 17 diputados, PAR (Partido Regio-nalista de Aragon) 17 diputados, e IU (Coalicion Comunista) 3 diputados. En un Parlamento, las decisiones mas relevantes se toman usando la regla de la mayora simple. Medir el poder de los diferentes partidos en un Parla-mento se convierte en un problema interesante para, por ejemplo, analizar el problema de formacion de coaliciones y puede abordarse como una cuestion de \division" del poder. Una coalicion se dira que tiene el poder si aglutina mas de la mitad de los votos, 34 en este ejemplo. Por tanto, esta situacion se puede modelar como un juego TU (N; v) donde N = f1; 2; 3; 4g (1=PSOE, 2=PP, 3=PAR, 4=IU) y v(S) = 1 si existe T 2 ff1; 2g; f1; 3g; f2; 3gg con T  S y v(S) = 0 en otro caso. Notese que para indicar que S tiene mas de la mitad de los votos denimos v(S) = 1.

Ejemplo 4 (La profesora visitante) Tres grupos de investigacion pertene-cientes a las universidades de Amsterdam (grupo uno), Tilburg (grupo dos) y Santiago (grupo tres) planean invitar a una profesora de Oregon a impartir un curso de teora de juegos. Para minimizar el coste, coordinan los cursos de forma que la profesora realiza un recorrido de visitas a Amsterdam (1), Tilburg (2) y Santiago (3). Los grupos quieren repartir el coste del viaje. Con ese proposito, se ha estimado el coste en euros de la visita a las distintas coaliciones de grupos: c(1) = 1500, c(2) = 1600, c(3) = 1900, c(12) = 1600, c(13) = 2900, c(23) = 3000 y c(N) = 3000 (para cada S, c(S) indica el coste del viaje a todos los grupos de S). Tomamos N = f1; 2; 3g. (N; c) es un juego TU de los denominados juegos de coste, en los que para cada S, c(S) representa los costes asociados a la formacion de esa coalicion y no los benecios que puede generar. Se puede denir un juego de ahorro asociado

a esta situacion, (N; v) donde para cada S  N, v(S) =X i2S c(i) c(S): De esta forma, v(1) = v(2) = v(3) = 0, v(12) = 1500, v(13) = 500, v(23) = 500 y v(N) = 2000.

Los ejemplos anteriores muestran que un amplio espectro de situaciones se pueden modelar como juegos TU. Veamos ahora una clase de juegos TU especialmente importante.

Denicion 2 Consideremos un juego TU (N; v) 2 G(N). Se dira que (N; v) es superaditivo si, para todo S; T  N con S \ T = ;,

v(S [ T )  v(S) + v(T ):

Se denotara por SG(N) el conjunto de juegos TU superaditivos con conjunto de jugadores N.

La denicion anterior dice que en un juego superaditivo los jugadores tienen autenticos incentivos para la cooperacion en el sentido de que la union de dos grupos cualesquiera, disjuntos, nunca disminuye los benecios. De hecho, gran parte de la teora de juegos TU se ha desarrollado pensando en juegos superaditivos, aunque por simplicidad se presente formulada para la clase completa G(N). Notemos que los juegos de los ejemplos anteriores son todos superaditivos con excepcion del juego (N; c) del ejemplo anterior. Este es un juego de los denominados de coste y que verica una condicion denominada subaditividad.

La meta principal en la teora de los juegos TU es seleccionar, para cada juego TU, una asignacion o un conjunto de asignaciones, que pueda ser acep-tado por todos los jugadores involucrados en el problema. Una primera aproximacion esta basada en la idea de estabilidad: trata de encontrar un conjunto de asignaciones que sea estable en el sentido de que cabe esperar que el acuerdo nalmente adoptado por los jugadores sea un elemento de di-cho conjunto. Esta es la aproximacion subyacente, por ejemplo en el nucleo (Gillies, 1953), los conjuntos estables, introducidos por von Neumann y Mor-genstern (1944) y el conjunto de negociacion (Aumann and M. Maschler,

1964). La segunda aproximacion esta basada en la idea de justicia: trata de proponer para cada juego TU una asignacion que representa un compromiso justo para los jugadores. Esta es la aproximacion subyacente, por ejemplo, en el valor de Shapley (Shapley, 1953), el nucleolo (Schmeidler, 1969) y el -value (Tijs, 1981). Solo se trataran aqu los mas importantes de los conceptos mencionados.

1.2 El Nucleo y Conceptos Relacionados

Para cada juego TU, el nucleo es un subconjunto del conjunto de imputa-ciones del juego, donde una imputacion es una division de v(N) entre todos los jugadores de forma que ningun jugador reciba menos que la cantidad, v(i), que puede garantizarse por s mismo.

Denicion 3 Dado un juego (N; v) 2 G(N) se dice que un vector x 2 RN

es una imputacion si satisface las dos condiciones siguientes: 1. xi  v(i), para todo i 2 N.

2. Pn_i=1xi = v(N).

Dado un juego (N; v) 2 G(N), se denotara por I(N; v) el conjunto de imputaciones de dicho juego.

Notemos que para cada (N; v) 2 SG(N), I(N; v) 6= ;. Las imputaciones de un juego (N; v) son asignaciones de v(N) entre los jugadores que satisfacen una condicion de racionalidad individual. El nucleo es el conjunto de imputa-ciones que satisface, ademas, una condicion de racionalidad coalicional.

Es evidente que dadas dos imputaciones x y z distintas, y teniendo en cuenta la segunda propiedad, existiran jugadores que preeran una de ellas frente a la otra. Se formalizara esta idea con la siguiente denicion.

Denicion 4 Sean (N; v) 2 G(N) y x; z 2 I(N; v). Se dice que x domina a z a traves de S 2 2N_{n; si se verica:}

2. P_i2Sxi  v(S).

La primera condicion establece que los jugadores de S preeren el valor que les asigna el vector x al correspondiente en el vector z, mientras que la segunda condicion establece que el vector x es factible para S, en el sentido de que la cantidad total propuesta por x para los jugadores de S no es supe-rior a la cantidad que los jugadores de S pueden garantizarse, v(S).

Se dice que x domina a z si existe una coalicion S 2 2N_{n; tal que x}

domina a z a traves de S.

En Gillies (1953) se introduce el concepto de nucleo.

Denicion 5 Se dene el nucleo de un juego (N; v) 2 G(N) y se denotara por C(N; v) como el siguiente subconjunto de I(N; v),

C(N; v) = fx 2 I(N; v) : X

i2S

xi  v(S); 8S 2 2Ng:

Proposicion 1 Sea (N; v) 2 G(N) un juego TU. 1. Si x 2 C(N; v), entonces x es no dominado.

2. Si, ademas, (N; v) 2 SG(N), entonces C(N; v) = fx 2 I(N; v) : x es no dominadag.

Demostracion Veamos primero 1. Supongamos que x 2 C(N; v) y que existe y 2 I(N; v) y una coalicion no vaca S  N tal que y domina a x a traves de S. Entonces v(S) X i2S yi > X i2S xi  v(S);

lo cual es una contradiccion. Veamos ahora 2. Sea x una imputacion no dominada de (N; v) y supongamos que no pertenece a C(N; v). En tal caso existe S  N tal que P_i2Sxi < v(S). Denamos y 2 Rn como

yi = 8 > > > > < > > > > : xi+ v(S) P j2Sxj j S j si i 2 S; v(i) + v(N) v(S) P j2NnSv(j) j NnS j si i 2 NnS:

Claramente, ya que (N; v) es superaditivo, y 2 I(N; v). Ademas, y domina a x a traves de S, lo cual es una contradiccion. 

Ejemplo 5 Vamos a ver un juego TU que no es superaditivo y tiene una imputacion no dominada que no pertenece al nucleo. Consideremos N = f1; 2; 3g, v(1) = v(2) = 0, v(3) = 1, v(12) = 2, v(13) = v(23) = 1, v(N) = 2. Notemos que v(N) < v(12) + v(3) y ademas C(v) = ;. (1,0,1) es una imputacion no dominada.

Ejemplo 6 Es facil ver que el nucleo del juego de dividir un millon es vaco, a pesar de que es un juego superaditivo. Esto quiere decir que la situacion de negociacion modelada por este juego es fuertemente inestable.

Ejemplo 7 El nucleo del juego del guante es el punto f(1; 0; 0)g, que es la unica imputacion no dominada, es decir, estable. La interpretacion que se puede hacer de este resultado es que el precio de los guantes derechos en el mercado es cero ya que hay demasiados disponibles.

Ejemplo 8 Esta claro que el nucleo del juego de ahorros v asociado al pro-blema de asignacion de costes de la visita a las universidades esta dado por

fx 2 I(v) : x1 + x2  1500; x1+ x3  500; x2+ x3  500g

que es un conjunto no vaco.

Antes de analizar el ejemplo del juego del Parlamento de Aragon vamos a introducir nueva herramienta.

Denicion 6 Un juego (N; v) 2 G(N) se dice que es simple si: 1. Para toda S  N, v(S) = 0 o v(S) = 1.

2. v(N) = 1.

3. (N; v) es un juego monotono, esto es, v(S)  v(T ) para todo S; T  N con S  T .

Se denotara por S(N) el conjunto de juegos simples con conjunto de ju-gadores N.

Dado un juego simple (N; v), una coalicion S se denomina ganadora si v(S) = 1. En caso contrario, se dice que S es una coalicion perdedora. Se denotara por W el conjunto de todas las coaliciones ganadoras, es decir, W = fS  N : v(S) = 1g. Es evidente que N es un elemento de W y que si S 2 W y S  T , entonces T 2 W . Una coalicion ganadora es minimal si no contiene a ninguna otra coalicion ganadora. Se denotara por Wm _el

conjunto de todas las coaliciones ganadoras minimales, es decir, Wm _{= fS 2 W : v(T ) = 0; 8 T  Sg:}

Un juego simple puede caracterizarse dando el conjunto de coaliciones ganado-ras, o tambien, dando el conjunto de coaliciones minimales ganadoras. Denicion 7 Sea (N; v) 2 S(N) un juego simple. Se dice que i 2 N es un jugador veto de (N; v) si v(Nnfig) = 0.

Proposicion 2 Sea (N; v) 2 S(N) un juego simple. Entonces C(N; v) 6= ; si y solo si el conjunto V de jugadores veto de (N; v) es no vaco. Ademas, si C(N; v) 6= ; entonces

C(N; v) = fx 2 I(N; v) : xi = 0 8 i 2 NnV g:

Demostracion Tomemos x 2 C(N; v) y supongamos que V = ;. En-tonces, para todo i 2 N,

0 = v(N) v(Nnfig) X j2N xj X j2Nnfig xj = xi  0;

lo cual es imposible. Recprocamente, supongamos que V es un conjunto no vaco y consideremos el conjunto no vaco

fx 2 I(N; v) : xi = 0 8 i 2 NnV g:

Ejemplo 9 En virtud de los resultados anteriores y teniendo en cuenta que el ejemplo del Parlamento de Aragon es un juego simple con un conjunto vaco de jugadores veto, esta claro que el nucleo es vaco. Los ejemplos del juego del guante y de division de un millon son tambien juegos simples.

Hemos visto que hay situaciones de negociacion coalicional que son alta-mente inestables y, por ello, tienen un nucleo vaco. A continuacion propor-cionamos una condicion necesaria y suciente para el caracter no vaco del nucleo de un juego. El correspondiente resultado fue probado independien-temente (aunque no de forma simultanea) por Bondareva (1963)2 _{y Shapley}

(1967)3 _{por lo que es conocido como Teorema de Bondareva-Shapley.}

Denicion 8 Una familia de coaliciones F  2N_{nf;g se denomina}

equi-librada si existe una familia de numeros reales positivos correspondiente (denominados coecientes de equilibrio) fyS : S 2 F g tal que, para todo

i 2 N, _X

S2F; i2S

yS = 1:

Denicion 9 Un juego (N; v) 2 G(N) se denomina equilibrado si, para cada familia de coaliciones equilibrada F con coecientes de equilibrio fyS :

S 2 F g, se tiene que _X

S2F

ySv(S)  v(N):

El hecho de que (N; v) sea equilibrado puede interpretarse de manera aproximada como que las coaliciones \intermedias" no tienen demasiado poder. De esta forma, el caracter equilibrado de un juego puede ser, en cierto sentido, proximo a la estabilidad de la situacion de negociacion coali-cional que modela dicho juego. Esto es lo que precisamente arma el teorema de Bondareva-Shapley.

Teorema 1 (Teorema de Bondareva-Shapley) Sea (N; v) 2 G(N) un juego TU. Entonces C(v) 6= ; si y solo si (N; v) es equilibrado.

2_{Olga Bondareva (1963) \Some applications of linear programming methods to the}

theory of cooperative games" Problemy Kibernet 10, 119-139 (escrito en ruso).

3_{Lloyd S. Shapley (1967) \On balanced sets and cores" Naval Research Logistics}

Demostracion La demostracion del resultado hace uso de nociones basicas de dualidad en programacion lineal. Sea x 2 C(N; v) y F una familia de coa-liciones equilibrada con coecientes de equilibrio fyS : S 2 F g. Entonces,

X S2F ySv(S)  X S2F X i2S ySxi = X i2N [xi X S2F; i2S yS] = X i2N xi1 = v(N):

Recprocamente, supongamos que v es equilibrado y consideremos el siguien-te problema de programacion lineal (P):

MinimizarP_i2Nxi,

sujeto a P_i2Sxi  v(S); 8S 2 2Nnf;g.

Claramente, C(v) 6= ; si y solo si existe x una solucion optima de (P) con P

i2Nxi = v(N). El dual de (P) es el siguiente problema de programacion

lineal (D):

MaximizarP_S22N_nf;gySv(S),

sujeto a P_S22N_{nf;g; i2S}yS = 1; 8i 2 N,

yS  0; 8S 2 2Nnf;g.

Claramente, (D) tiene, al menos, una solucion optima y, ya que el con-junto de soluciones factibles es no vaco y compacto, y su funcion objetivo es continua. Denamos ahora

F = fS  N : y_S > 0g:

Obviamente F es una familia equilibrada con coecientes de equilibrio fy_S : S 2 F g. Ya que (D) tiene una solucion optima, entonces (P) tiene tambien una solucion optima x y, ademas,

v(N) X i2N xi = X S22N_nf;g y_Sv(S)  v(N):

Ya que v es equilibrado y x es una solucion optima de (P), terminamos la demostracion ya que v(N) =P_i2Nxi. 

Ejemplo 10 Esta claro que el nucleo del juego de ahorros v asociado al problema de asignacion de costes de la visita a las universidades esta dado por

fx 2 I(v) : x1 + x2  1500; x1+ x3  500; x2+ x3  500g

que es un conjunto no vaco.

1.3 El Valor de Shapley

Shapley (1953) quiso proponer para todo juego TU, desde el punto de vista axiomatico, una asignacion que fuese un compromiso justo para todos los jugadores. Para ello introdujo el concepto de valor, esto es, una aplicacion f : G(N) ! Rn_{y enuncio algunas propiedades que un valor justo debera}

ve-ricar. Finalmente, probo que estas propiedades caracterizan un unico valor y encontro una expresion explcita para el mismo. Este valor se conoce como el valor de Shapley. Comenzamos presentando las propiedades para un valor. Denicion 10 Sea (N; v) 2 G(N) un juego TU.

1. i 2 N se llama jugador nulo de (N; v) si para cada S  N, v(S [ fig) = v(S):

2. Dos jugadores i; j 2 N se denominan simetricos en (N; v) si, para cada coalicion S  Nnfi; jg, v(S [ fig) = v(S [ fjg).

Eciencia f satisface eciencia si, para todo (N; v) 2 G(N), X

i2N

fi(N; v) = v(N):

Propiedad de Jugador Nulo f satisface la propiedad de jugador nulo si, para todo (N; v) 2 G(N), y para todo jugador nulo i 2 N, fi(N; v) = 0.

Simetra f satisface la propiedad de simetra si, para todo (N; v) 2 G(N), y para todo par de jugadores intercambiables i; j 2 N, fi(N; v) = fj(N; v).

Aditividad f satisface la propiedad de aditividad si, para todo par de juegos (N; v); (N; w) 2 G(N), f(N; v + w) = f(N; v) + f(N; w).

La eciencia indica que f debe asignar la cantidad v(N) a los jugadores. La propiedad de jugador nulo quiere decir que los jugadores que no generan benecios no deben recibir pago alguno. La aditividad es basicamente un requerimiento tecnico. Simetra requiere tratar identicamente a jugadores iguales.

Teorema 2 Existe un unico valor f : G(N) ! Rn _{que satisface}4 _eciencia,

propiedad de jugador nulo, simetra y eciencia. Este valor, denominado valor de Shapley, esta dado por

i(N; v) =

X

SNnfig

s!(n s 1)!

n! (v(S [ fig) v(S))

para todo (N; v) 2 G(N) y todo i 2 N, donde s denota el numero de jugadores de la coalicion S.

Demostracion Es inmediato probar que  satisface las propiedades de jugador nulo y aditividad. Para comprobar que satisface eciencia conside-remos (N; v) 2 G(N) y notemos que

X i2N i(N; v) = X i2N X SNnfig s!(n s 1)! n! (v(S [ fig) v(S)) = X i2N X SNnfig s!(n s 1)! n! v(S [ fig) X i2N X SNnfig s!(n s 1)! n! v(S) = X SN s(s 1)!(n s)!_n! v(S) X SN; S6=N (n s)s!(n s 1)!_n! v(S) = v(N):

Para comprobar que  satisface simetra consideremos (N; v) 2 G(N) e i; j 2 N simetricos en (N; v) y notemos que

4_{En realidad, Shapley uso una propiedad denominada de soporte, en lugar de las de}

i(N; v) j(N; v) = X SNnfig s!(n s 1)! n! (v(S [ fig) v(S)) X SNnfjg s!(n s 1)! n! (v(S [ fjg) v(S)) = X SNnfig; j2S s!(n s 1)! n! (v(S [ fig) v(S)) X SNnfjg; i2S s!(n s 1)! n! (v(S [ fjg) v(S)) = X SNnfi;jg (s + 1)!(n s 2)! n! (v(S [ fig) v(S [ fjg)) = 0:

Por tanto,  satisface las propiedades requeridas. Veamos ahora que es el unico que los satisface. Para cada coalicion no vaca S  N, vamos a denir un juego TU (N; uS_{) 2 G(N) por}5 uS_{(T ) =} 8 < : 1 si S  T; 0 en otro caso:

Ahora vamos a tener en cuenta que cada (N; v) 2 G(N) se puede ver como un vector

(v(S))S22N_nf;g 2 R2n 1:

Entonces G(N) se puede ver como un espacio vectorial 2n _{1 dimensional.}

Veamos que U(N) = f(N; uS_{) : S 2 2}N_{nf;gg es una base de dicho espacio}

vectorial. Para probarlo, es suciente probar que U(N) es un conjunto de vectores linealmente independientes.

Consideremos entonces P_S22N_nf;gSuS = 0 (S 2 R para todo S 2

2N_{nf;g) y supongamos que existe T 2 2}N_{nf;g con}

T 6= 0. Supongamos sin

perdida de generalidad que no existe T  T con T 6= T , tal que _T 6= 0. Pero entonces P_S22N_nf;gSuS(T ) = T, lo cual no es posible. Tomemos

5_{Un juego denido de esta forma se denomina usualmente juego de unanimidad de}

ahora f que verique eciencia, las propiedades de jugador nulo y simetra. Claramente, para cada i 2 N, cada coalicion no vaca S  N y cada S 2 R

se tiene que fi(N; SuS) = 8 > < > : S jSj si 2 S; 0 en otro caso:

Para acabar, basta tener en cuenta que como f tambien verica aditividad, f esta unvocamente determinado ya que U(N) es una base de G(N). 

Nota El valor de Shapley tiene la siguiente interpretacion. Se puede ver como un vector de ganancias esperadas correspondiente a la siguiente situacion: a) los jugadores acuerdan acudir a cierto punto de negociacion, b) todos los posibles ordenes de llegadas son igualmente probables, y c) a su llegada, cada jugador recibe un pago igual a su contribucion a la coalicion formada por los jugadores que han llegado antes que el. En otras palabras, la propuesta del valor de Shapley para el juego (N; v) 2 G(N) puede tambien escribirse como

i(N; v) = _n!1

X

2(N)

(v(B_{(i) [ fig) v(B}_(i)));

para todo i 2 N, donde (N) es el conjunto de permutaciones de N, y B_(i)

es el conjunto fj 2 N : (j) < (i)g, es decir, el conjunto de jugadores que llegan antes que i cuando el orden de llegada viene especicado por la permutacion . Naturalmente, esta expresion coincide con la que hemos pro-porcionado anteriormente. Cada sumando es de la forma v(S [ fig) v(S) donde S es un subconjunto de N que no contiene a i con lo que basta tener en cuenta que el numero de ordenes para los que S = B_{(i) es s!(n s 1)!,}

donde el primer factor corresponde al numero de permutaciones del conjunto S y el segundo factor a las permutaciones de Nn(S [ fig).

Nota Para cada (N; v) 2 SG(N), el valor de Shapley es una imputacion. En efecto, es eciente y tengamos en cuenta que, para todo i 2 N,

X SNnfig s!(n s 1)! n! = n 1 X s=0 _{n 1} s  s!(n s 1)! n! = 1:

Valor de Shapley del juego del guante  1 2 3 123 0 1 0 132 0 0 1 213 1 0 0 231 1 0 0 312 1 0 0 321 1 0 0  2/3 1/6 1/6

Entonces, ya que (N; v) es superaditivo, para todo i 2 N, i(v) = X SNnfig s!(n s 1)! n! (v(S [ fig) v(S))  X SNnfig s!(n s 1)! n! v(i) = v(i):

Vamos a calcular ahora el valor de Shapley de los ejemplos anteriores. Ejemplo 11 Si consideramos el ejemplo de la division de un millon, no hay jugadores nulos, ademas todos los jugadores son simetricos con lo que el valor de Shapley es (1/3,1/3,1/3). Como se vio el nucleo (que tiene en cuenta la estabilidad) de este juego es vaco aunque el valor de Shapley (que expresa la justicia) propone para el un reparto.

Ejemplo 12 La tabla siguiente recoge los calculos para la obtencion del valor de Shapley del juego del guante.

Se calculan los vectores de contribuciones marginales para los distintos ordenes de llegada de los jugadores, y al promediar se obtiene el valor de Shapley que resulta ser el vector de pagos (2/3,1/6,1/6), distinto del nucleo del juego que era f(1; 0; 0)g:

Este ejemplo muestra que el valor de Shapley de un juego puede estar fuera del nucleo, aun cuando este sea no vaco. En Shapley (1971)6 _se

pro-porciona una clase de juegos para los cuales el valor de Shapley siempre pertenece al nucleo.

Denicion 11 Sea (N; v) 2 G(N) un juego TU. Se dira que el juego (N; v) es convexo si, para cada i 2 N, S; T  Nnfig con S  T ,

v(T [ fig) v(T )  v(S [ fig) v(S):

Todo juego convexo es superaditivo. Ademas, Shapley demostro el si-guiente resultado.

Teorema 3 Sea (N; v) 2 G(N) un juego convexo. Entonces (N; v) 2 C(N; v):

Ejemplo 13 Si consideramos el ejemplo del Parlamento de Aragon, nota-mos que IU es un jugador nulo y los demas partidos intercambiables, si solo tenemos en cuenta el poder derivado de sus votos. Por tanto, el valor de Shapley es (1/3,1/3,1/3,0).

Ejemplo 14 Las dos tablas siguientes recogen los calculos para la obtencion del valor de Shapley del juego de ahorros y del juego de costes, respectiva-mente, en el ejemplo de la profesora que visita varias universidades.

La propuesta del valor de Shapley para el juego de ahorros es (N; v) = (5000=6; 5000=6; 2000=6):

Estos son los ahorros para los jugadores. De acuerdo con esta asignacion de ahorros, los jugadores tienen que pagar (4000/6,4600/6,9400/6). Este ultimo vector es precisamente (N; c). Para explicar este resultado, notemos que

i(N; v) =

X

SNnfig

s!(n s 1)!

n! (v(S [ fig) v(S)) =

6_{L. S. Shapley (1971) \Cores of convex games", International Journal of Game Theory}

Valor de Shapley del juego de ahorros  1 2 3 123 0 1500 500 132 0 1500 500 213 1500 0 500 231 1500 0 500 312 500 1500 0 321 1500 500 0  5000/6 5000/6 2000/6 Valor de Shapley del juego de costes

 1 2 3 123 1500 100 1400 132 1500 100 1400 213 0 1600 1400 231 0 1600 1400 312 1000 100 1900 321 0 1100 1900  4000/6 4600/6 9400/6 X SNnfig s!(n s 1)!

n! (c(S) c(S [ fig) + c(i)) = c(i) (c):

Finalmente, podemos comprobar que (N; v) 2 C(N; v). Ademas, (N; v) es un juego convexo.

Ejercicios

1. Considerese el juego TU (N; v) dado por N = f1; 2; 3g, v(1) = v(2) = v(3) = 0, v(12) = 4, v(13) = 8, v(23) = 10 y v(N) = 10.

(a) Halla el valor de Shapley.

(c) Utiliza el Teorema de Bondareva-Shapley para probar que C(v) es el conjunto vaco.

(d) Si w(13) = w(23) = 4 y w(S) = v(S) para las demas coaliciones S, dibuja C(w) y halla sus puntos extremos.

2. Considerese el juego TU (N; v) dado por N = f1; 2; 3g, v(1) = v(2) = v(3) = 0, v(12) = v(13) = 4, v(23) = 2 y v(N) = 8.

(a) Halla su valor de Shapley.

(b) Da una imputacion de v que domine a (1,2,5). (c) Dibuja C(v) y halla sus puntos extremos.

(d) Indica razonadamente si ff1; 2g; f1g; f2g; f3gg es una coleccion equilibrada de f1; 2; 3g.

3. Halla el valor de Shapley del juego (N; v) dado por N = f1; 2; 3g, v(1) = v(2) = v(3) = 0, v(12) = v(23) = 1, v(13) = 2, v(N) = 4. Dibuja el nucleo de v y halla sus puntos extremos. Indica razonadamente si el valor de Shapley de v pertenece al nucleo.

4. (Examen, junio 2009) Tres empresas de un polgono industrial quieren conectarse a una lnea de alta tension. Se plantean cooperar al conec-tarse para poder ahorrar costes. La tabla recoge el juego de costes y el juego de ahorros asociado:

S ; f1g f2g f3g f1; 2g f1; 3g f2; 3g f1; 2; 3g

c(S) 0 10 14 13 15 13 15 15

v(S) 0 0 0 0 9 10 12 22

a) Calcula el valor de Shapley del juego de costes (c) e indica el ahorro que consigue cada empresa segun ese reparto.

b) Dibuja el nucleo del juego de ahorros (v) indicando sus puntos ex-tremos.

c) Proporciona una familia equilibrada formada por cuatro coaliciones, especicando unos coecientes de equilibrio para las mismas.