Teoría de Conjunto

b d e f g TEORÍA DE CONJUNTOS AUTOR:

1. Teoría de onjuntos 3

Rela ión de pertenen ia . . . 3

lasi a ión de onjuntos . . . 4

Conjuntos espe iales . . . 5

Rela ión entre onjuntos . . . 6

Ejer i ios de onjuntos espe iales y tipos. . . 8

Cuanti adores . . . 13

Ejer i ios de uanti adores . . . 18

Opera iones entre onjuntos . . . 21

Conjunto poten ia

P (A)

. . . 30

Ejer i ios de Demostra ión de Conjuntos . . . 30

Cardinal de onjuntos . . . 34

Ejer i ios de ardinal de onjuntos . . . 39

Ejer i ios omplementarios . . . 42

Cap´ıtulo

1

Teoría de onjuntos

Deni ión: Un onjunto es la agrupa ión o ole ión de ualquier

tipo de entidades u objetos que tienen propiedades omunes.

Observa ión Para que el onjunto este bien denido se debe basar en

los siguiente.

1. La ole ión de objetos debe de estar bien denida.

2. Ningún objeto del onjunto se debe ontar mas de una vez.

3. El orden en que se en uentra estos objetos are en de importan ia

Nota ión:

1. A los onjuntos los representaremos on las letras mayús ulas,esto

es,

A, B, C, . . .

.

2. los objetos de un onjunto son llamados elementos, y ada

ele-mento es representado por la letra minús ula, esto es,

a, b, c, d, . . .

y estos elemento serán en errado por llaves

{. . .}

.

Rela ión de pertenen ia

La rela ión de pertenen ia (se en uentra, esta,

. . .

), se indi a por la letra griega

∈

, de modo que:

Si

a

esunelementodel onjunto

A

,enton esdenotaremos lapertenen ia on el símbolo griego

∈

, se es ribe omo

a

∈ A

y se lee

a

pertene e al onjunto

A

.

Si

b

no es un elemento del onjunto

A

, enton es denotaremos la perte-nen ia on el símbolo

∈

/

, se es ribe omo

b /

∈ A

y se lee

b

no pertene e al onjunto

A

.

lasi a ión de onjuntos

Los onjuntos de pueden lasi ar en nito e innito.

1. Conjunto Finito: Tiene un número nito de elementos, es de ir,

se en uentran determinados por su longitud o antidad

Unos ejemplo sen illos: en onjunto onformado de las abe edario, el

onjunto onformado de las vo ales, el onjunto onformado de los diez

primerosnúmeros primos, el onjunto onformado delos departamentos

del Perú, El onjunto onformado de los distritos de Huamanga, et

2. Conjunto Innito: Son aquellos onjuntos que nose pueden

on-tar o determinar su longitud.

a) Conjunto innito numerable: Es innito numerable si

a-da uno de sus elementos puede ser indexada por los números

naturales.

b) Conjunto innito no numerable: Es innito no numerable

si sus elementos no puede ser indexada por los números

natu-rales.

Unos ejemplo sen illos: En onjunto de los números naturales, el

on-junto de los números enteros, el onjunto de los números ra ionales, en

onjunto de los números reales, el onjunto delos números omplejos, el

onjunto onformado por las estrellas del universo, et .

Notemos que: Cada onjunto puede ser expresadopor omprensión

y por extensión:

1. Un onjunto es expresado por extensión si se des ribe ada

Sean los onjuntos:

A =

_{{a, b, c, d, e, f, g}}

,

B =

{2, 4, 6, 8, 10, 12, 16}

,

C =

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, . . .}

2. Un onjunto es expresado por omprensión si ada uno de

sus elementos tiene una propiedad en omún (Una fórmula de

or-responden ia).

Sean los onjuntos:

A =

_{x/x

es un número par

}

,

B =

_{{x/x > 100}}

,

C =

_{x/x

es una vo al

}

Conjuntos espe iales

Conjunto va ió: Es aquel que no tiene elementos, y se simboliza

por

∅

y es denido por

∅ = {x/x 6= x}

.

Conjunto unitario: Es el onjunto que tiene uno y sólo un elemento.

Conjunto universal: Es un onjunto jo del ual se toman otros

on-juntos y es representado por

U

Ejemplo 1.0.1. De ir si los onjuntos on va íos, unitarios

1.

A =

{x ∈

N

/x

2

− 1 = 0}

Solu ión:

A

es un onjunto un onjunto unitario pues

x = 1

tal que umpla

x

2

− 1 = 0

2.

B =

{{x}}

Solu ión:

B

esun onjuntounitario porque tieneun sóloelemento y es

{x}

.

3.

C =

{∅}

Solu ión:

C

es un onjunto unitario porque tieneun sóloelemento y es

∅

.

4.

A =

{x ∈

R

/x

2

+ 1 = 0

}

Solu ión:

A

es un onjunto va ió pues no existe un

x

∈

R

tal que umpla

x

2

+ 1 = 0

5.

B =

{x ∈

R

/x =

∞}

6.

C =

{x ∈

Z

/5 < x < 6

}

Solu ión:

C

esun onjunto va ió,porque noexiste un entero entre 5 y 6.

7.

A =

{−2, 0, 1, 2}

,

B =

{1, 3, 5, 6}

,

C =

{0, 2, 4}

Solu ión: El onjunto universo es

U =

{−2, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

.

8.

B =

{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, . . .}

,

C =

{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, . . .}

,

A =

_{{10, 20, 30, 40, 50, 60, . . .}}

Solu ión: El onjunto universo es

U = B

.

9.

A =

{x ∈

N

/0 < x < 8

}

,

B =

{x ∈

Z

/

− 1 < x < 7}

y

C =

_{{x ∈}

N

/

− 5 < x < 0}

Solu ión: El onjunto universo es

U =

{x ∈

Z

/

− 1 < x < 8}

.

Rela ión entre onjuntos

1. Conjunto iguales: Dos onjuntos

A

y

B

son iguales si y sólo si tiene exa tamente los mismos elementos.

Ejemplo 1.0.2. a) Los onjuntos

A =

{x + 3}

y

B =

{2x + 5}

son onjuntos iguales, Halle el valor de

x

.

Solu ión: hallando la igualdad tenemos que

x =

−2

b) Los onjuntos

A =

{x

n

_}

y

B =

{2}

son onjuntos iguales, Halle el valor de

x

.

Solu ión: hallando la igualdad tenemos que

x =

n

√

2

2. Sub onjuntos: Un onjunto

A

esta ontenido o esta in luido en otro onjunto

B

, si y sólo si todos los elemento del onjunto

A

pertene en al onjunto

B

, y será denotado por

A

⊂ B

3. Conjunto disjuntos: Sedi e que los onjuntos

A

y

B

son disjun-tos si no tienen elementos en omún.

Ejemplo 1.0.3. Diga si los siguiente onjuntos son disjuntos.

b)

A =

{x ∈

N

/x

es par

}

y

B =

{x ∈

N

/x

es impar

}

4. Conjunto de onjuntos: También llamado familia de onjuntos,

es el onjunto que tiene omo elementos otros onjuntos.

Ejemplo 1.0.4. Las familias de onjuntos son de la forma:

a)

B =

{{1}, {2}, {3}, {4}}

b)

C =

{{5}, {2}, {3}, {4}}

5. Conjunto poten ia: Sea el onjunto

A

. Se denomina onjunto poten ia al onjunto de todos los sub onjuntos del onjunto

A

, es será denotado por

P (A)

.

Observa ión:Elnúmerodeelementosdel onjunto poten ia

P (A)

es

2

n

, siendo

n

el número deelementos del onjunto

A

. El onjunto va io

∅

yel onjunto

A

sonelementosdel onjuntopoten ias

P (A)

. Ejemplo 1.0.5. Halle el onjunto poten ia de

A =

{1, 2, 3, 4}

. Solu ión: el onjunto tiene

4

elementos, enton es nuestro onjun-to poten ia tendrá

2

4

elementos y el onjuntos es

P (A) =

_{{∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4},}

{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 4, 3}, {4, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}}

Ejemplo 1.0.6. 1. Cuantos de los siguientes onjuntos son va íos.

a)

A =

{x ∈

R

/x = x

∧ x 6= x}

Solu ión: Por deni ión de los númerosreales no puede

o ur-rir que

x = x

∧ x 6= x

, por lo tanto

A

es un onjunto va ío. b)

A =

{x ∈

N

/x

2

+ 3x + 2 = 0

_}

Solu ión: hallemos las solu iones de la e ua ión:

x

2

+ 3x + 2 = 0

_{⇒ (x + 2)(x + 1) = 0}

⇒ x + 2 = 0 ∨ x + 1 = 0

⇒ x = −2 ∨ x = −1

enton es el onjunto es

A =

{x ∈

N

/x =

−2 ∨ x = −1}

, por lo tanto

A

es un onjunto va ío.

)

A =

{x ∈

Q

/3 < x < 4

}

Solu ión:

A

no es un onjunto va ió pues basta tomar que

x =

3 + 4

2

.

d)

A =

{x ∈

I

/x

2

− 1 = 0}

Solu ión: hallando la e ua ión.

x

2

− 1 = 0 ⇒ (x − 1)(x + 1) = 0

⇒ x − 1 = 0 ∨ x + 1 = 0

⇒ x = −1 ∨ x = 1

enton es el onjunto es

A =

{x ∈

I

/x =

−1 ∨ x = 1}

, por lo tanto

A

es un onjunto va ío.

2. Demuestre que el onjunto

A

es un onjunto va ió.

A =

_{{x ∈ R/x}

8

+ 10x

6

+ 35x

4

+ 50x

2

+ 24 = 0

_}

Solu ión: Basta demostrar que la e ua ión

x

8

+ 10x

6

+ 35x

4

+ 50x

2

+ 24 = 0

no tiene solu ión real. Apli ando la fa toriza ión de Runi se tiene:

(x

2

+ 1)(x

2

+ 2)(x

2

+ 3)(x

2

+ 4) = 0

de esto se on luye que el onjunto

A

es va ió. 3. El onjunto

A =

{x ∈

N

/

x

₋₃

3

+

5

12

<

x

12

+ 2x + 3

}

es un onjunto unitario?

Solu ión: Expresemos el onjunto

A

es forma de extensión.

A =

_{{x ∈}

N

/

−

33

21

< x

}

A =

N 4. Exprese el onjunto

B =

{x ∈

Z

/

2

3

<

x

₋₁

x+3

<

7

9

}

en forma extensa. Solu ión: EL onjunto

B

es equivalente a

B =

_{{x ∈}

Z

/0 <

x

_x+3

−9

_∧

x

_x+3

−15

< 0

_}

enton es

B =

{10, 11, 12, 13, 14}

Ejer i ios de onjuntos espe iales y tipos

Ejemplo 1.0.7. Sea el mapa del perú

1. Denir los siguientes onjuntos por extensión, de los nombres del

mapa.

a) Sea

A

el onjunto de rela ión de nombres del departamento del

b) Sea

B

el onjunto de rela ión de nombres del departamento del Perú que ini ia on la letra

p, n, j, l

) Sea

C

el onjunto de rela ión de nombres del departamento del Perú que ini ia on la letra

t, u, a, s, c

d) Sea

D

el onjunto de rela ión de nombres del departamento del Perú que ini ia on la letra

l, i, j, m, h

e) Sea

E

el onjunto de los departamentos que están junto a los países ve inos.

f) Sea

F

el onjunto de los departamentos que están juntos on Aya u ho.

o éano.

2. Hallar las interse iones de

A

y

G

. 3. Hallar las interse iones de

E

y

G

. 4. Hallar las interse iones de

E

,

D

y

G

. 5. Hallar las interse iones de

C

,

D

y

G

. 6. Hallar la unión de

E

,

D

y

G

. 7. Hallar la unión de

A

y

G

. 8. Hallar la unión de

E

y

G

. 9. Hallar la unión de

A

y

C

. 10. Hallar la unión de

D

y

B

. 11. Hallar

E

− B

. 12. Hallar

B

− A

. 13. Hallar

C

− (A ∪ B)

. 14. Hallar

D

− (B ∩ G)

. 15. Hallar

D

− (B ∩ G)

. 16. Hallar

(A

∪ G) − (B ∩ G)

. 17. Hallar

(A

− G)

△

(C

− F )

. Ejer i ios de apli a ión:

1. Expresa por extensión los siguientes onjuntos:

a)

A =

{

Las letras de la palabra R U F F I N I

}

b)

B =

{x/x ∈

N

, 18 < x < 27

}

)

C =

{x/x

2

− 25 = 0}

d)

D =

{2x + 1/x ∈

N

, 2 < x < 6

}

e)

E =

n

1

2x+5

/x

∈

N

, 1 < x < 9

o

2. Expresar pon omprensión los siguientes onjuntos a)

A =

{3, 5, 7, 9, 11}

b)

B =

{+9, −9}

)

C =

{x/x

3

− 7x + 6 = 0}

d)

D =

{1, 2, 2

3

, 2

5

, 2

7

, . . .

_}

3. Dado el onjunto:

A =

{7, 10, 15, 22, 31, 42, 55, 70}

. Determinar por omprensión, un sub onjunto de

A

, uyos elementos sean los números:

10, 22, 42, 70

4. Determinarpor omprensiónelsiguiente onjunto

{36, 45, 54, 63, 72}

5. Demostrar que el onjunto va ió está ontenido en todo onjunto

(Sug: suponga lo ontrario).

6. ¾

P (

∅)

es va ío? 7.

A =

{m + n, 8, 2m − 2n + 4}

un onjunto unitario,

B =

{x/x = mk, k ∈

Z

_}

,

C =

{x/x = nk, k ∈

Z

_}

. Halle

(B

p

_{∪ C}

p

₎

p

.

8. Estable er la validez de ada una de las siguientes arma iones

a)

{x ∈

Q

/10x

2

− 13x − 3 = 0}

es un onjunto unitario. b)

{x ∈

N

/6 < x < 7

}

es un onjunto va ió

)

{x/x

es múltiplo de 3

}

, es un onjunto innito

9. Para ada uno de los siguientes pares de onjuntos A y B denir

por extensión A y B y de ir si

A

⊂ B

,

B

⊂ A

o ninguna de las anteriores a)

A =

{x ∈

N

|x

es par y

x

2

≤ 143}

y

B =

{x ∈

N

|x + 1

es par y

x

≤ 10}

b)

A =

{x ∈

N

|x

es impar y

x

2

≤ 130}

y

B =

{x ∈

N

|x + 1

es par y

x

≤ 12}

)

A =

{x ∈

N

|x

es impar y

x

2

≥ 4

y

x

2

≤ 141}

y

B =

_{{x ∈}

N

|x − 1

es par y

x

≤ 9}

d)

A =

{x ∈

N

|x

es par y

x

2

≤ 150}

y

B =

_{{x ∈}

N

|x − 1

es impar y

x

≤ 11}

e)

A =

{x|x

es un número entero positivo y

x

2

es par

}

y

B =

_{x|x

es un número entero positivo y

x

es par

}

f)

A =

{x|x

es un número y

x

es múltiplo de 6

}

y

B =

_{x|x

es un número y

x

es múltiplo de 3

}

10. Des ribe por omprensión el onjunto que resulta de las siguientes

opera iones ygrá a enla re ta real.Indi a si el onjuntoobtenido

es un intervalo, y en tal aso represéntalo en la nota ión de

inter-valos a)

[

−1, ∞] ∧ (−3, 2)

b)

(

−∞, 2) ∨ [0, ∞)

)

(

−3, 1] → [2, ∞)

d)

(

−2, 3) ↔ (−∞, 1)

e)

[

−3, 0] ↔ (−2, 3)

11. Indi ar uáles de las siguientes expresiones son falsas:

a)

A =

{A}

, b)

{a, b} = {{a}, {b}}

12. Muestre que los onjuntos

∅

,

{∅}

,

{{∅}}

, ...,

{. . . {∅} . . .}

son dis-tintos

13. Demuestre que

{a} = {b, c}

si y solo si

a = b = c

14. En uentre un onjunto

A

tal que umpla la rela ión

A

⊂ {A}

. 15. Justique que no existe un onjunto

X

tal que umpla

P (X)

⊂ X

16. Dé un ejemplo que umpla tal rela ión

A

0

∈ A

1

∈ A

2

∈ . . . ∈ A

n

. 17. Habrá algún onjunto que umpla tal rela ión

A

0

∈ A

1

∈ A

2

∈

. . .

∈ A

n

∈ A

0

?.

18. Dé un ejemplo de un onjunto innito numerable

A

y también un sub onjunto innito numerable de

A

?

19. Indexar el onjunto de los números pares y los onjuntos de los

números impares on el onjunto de los números naturales.

20. Demuestre on ejemplos que la unión de dos onjuntos innitos

21. Dé un ejemplo de un onjunto innito numerable

A

y demuestre que si

x

∈ A

, enton es el onjunto

A

− {x}

es tambiénnumerable. 22. ¾existe un onjunto

A

tal que

P (A)

sea innito numerable?. Si es

posible dé un ejemplo.

Cuanti adores

Fun ión proposi ional: Una fun iónproposi ionales todo

enun i-ado abiertode la forma

P (x)

que tiene la propiedad de onvertiren una proposi ión alser sustituida lavariable

x

por una onstante

c

espe i a. Ejemplo 1.0.8. enun iemos algunas fun iones proposi ionales:

P (x) : x + 5 > 3

,

Q(x) : 2x + 5 = 0

,

R(x) : x

es la apital de Perú, et .

Cada uno de estos ejemplos son fun iones proposi ionales, porque se

onvierten en una proposi ión uando ponemos valores a la variable

x

. Deni ión 1.0.1. 1. Cuanti arSereerea uántosindividuosque

integran el universo es apli able la fun ión proposi ional.

2. Ejempli ar, se reere a enun iar el sujeto de la expresión.

Tipos de uanti adores: Existendostiposde uanti adores

uni-versal y la existen ial.

1. Cuanti ador universal (

∀

): Sellama uanti a ión universal a la lo u ión "para todo

x

 y se símboliza omo "

∀x



El uanti ador "para todo

x

 indi a a la fun ión proposi ional

P (x)

que debe umplir para ualquier elemento o para ualquier

x

para que satisfa elas ondi ionesdelafun iónproposi ional,ylafun ión

proposi- ional

P (x)

unido on el uanti ador "para todo se onvierte es una proposi ión y es representado por

∀x : P (x)

.

Ejemplo 1.0.9. Sea la fun ión proposi ional

P (x) : x

≥ 0

,

enton es on el uanti ador para todo

x

se onvierte en:

∀x ∈

N

:

P (x) =

∀x ∈

N

: x

≥ 0

, esto quiere de ir que tomado ualquier número

x

en N que debe umplir la fun ión proposi ional. Enton es la proposi ión es verdadera.

2. Cuanti ador existen ia (

∃

): Sellama uanti a iónexisten ial a la lo u ión  existe un

x

 y se simboliza omo "

∃x



El uanti ador . ex

iste un

x

 indi a a la fun ión proposi ional

P (x)

que debe umplir para algún elemento o basta en ontrar un

x

para que satisfa e las ondi iones de la fun ión proposi ional, y esta fun ión

proposi ional

P (x)

unido on el uanti ador existe un se onvierte en una proposi ión y es representado por

∃x : P (x)

.

Ejemplo 1.0.10. Sea la fun ión proposi ional

P (x) : x

≥ 0

,

enton es on el uanti ador existe un

x

se onvertida en:

∃x ∈

N

:

P (x) =

_{∃x ∈}

N

: x

≥ 0

, esto quiere de ir que en ontremos un número

x

en N que umpla la fun ión proposi ional. Enton es la proposi ión es verdadera.

Observa ión: onlos uanti adoresylaslógi aproposi iones

pode-mos denir on símbolos las rela iones entre onjuntos.

1. Igualdad de onjuntos

A = B

⇔ ∀x : x ∈ A ↔ x ∈ B

. 2. Sub onjuntos

A

⊂ B ⇔ ∀x : x ∈ A → x ∈ B

. Propiedades: a) Reexividad:

A

⊂ A

b) Antisimétri a:

A

⊂ B ∧ B ⊂ A → A = B

) transitiva:

A

⊂ B ∧ B ⊂ C → A ⊂ C

3. Conjunto Disjunto

A

6= B ⇔

∄

x : x

∈ A ∧ x ∈ B

. 4. Igualdad de onjuntos

A = B

⇔ (A ⊂ B) ∧ (A ⊃ B)

Nega ión de proposi iones on uanti adores

Sea

P (x)

un fun ión proposi ional on extensión

A

, enton es. 1.

∼ [∀x ∈ A : P (x)] ≡ ∃x ∈ A :∼ P (x)

2.

∼ [∃x ∈ A : P (x)] ≡ ∀x ∈ A :∼ P (x)

Cuasi-proposi ión: Es un enun iado, una ora ión de larativa, o una

expresión simbóli a que debe ejempli arseo uanti arse para que sea

Ejemplo 1.0.11. Tenemos una uasi-proposi ión

P (x) :

Los

x

son seres vivos,que na en, re en, sereprodu en ymueren. En este aso podemos ver que no sabemos quien es el

x

, enton es pode-mos denir al

x

omo un valor ono ito que puede ser

x =

hombres de la tierra (este a to se llama ejempli ar).

Apli ando los uanti adores, podemos onvertir el uasi-proposi ión a

una proposi ión, que es:

Todos los hombres de la tierra son seres vivos, que na en, re en, se

reprodu en y mueren.

Algunos hombres de la tierra son seres vivos, que na en, re en, se

re-produ en y mueren.

Hagamos un ejemplo muy sen illo.

Ejemplo 1.0.12. 1. Sea el onjunto

A

{1, 2, 3, 4, 5}

ylas proposi iones.

p :

∃x ∈ A/(x + 2 = 6) → (x − 5 = 8)

.

q :

_{∀x ∈ A/(x + 2 > 2) ∨ (x + 2 < 2)}

.

r :

_{∀x ∈ A, ∃y ∈ A/x + y > 2}

.

Hallar el valor de verdad de

s =

∼ [(p → q) ∧ (q∨ ∼ r)]

.

2. De ir si la proposi iones son verdaderas y luego negar la

proposi- ión. a)

∃x ∈

R

/x

2

> 0

.Solu ión:

∀x ∈

R

/x

2

≤ 0

b)

∀x ∈

N

/x

2

≥ x

. Solu ión:

∃x ∈

N

/x

2

< x

)

∀x ∈

Z

/x > 1

→ x

2

> x

.

3. Sean los onjuntos

A =

{−2, −1, 0, 1, 2}

y

U =

{x ∈ A/x > 2 →

x < 2

_}

. Se dene las proposi iones:

p

:

∀x ∈ U/x > 3 ∨ x < 2

,

q

:

∃x ∈ U/x

2

= 2

_{→ x > 1}

,

s

:

∀x ∈ U/

x

2

₋₄

x+2

= x

− 2

.

Hallar los valores de verdad de

m, n, t

, si sabemos que:

[(

∼ p∧n)∧

Solu ión: hallemos el onjunto

U

en forma de extensión:

U =

{x ∈ A/x > 2 → x < 2}

=

_{{x ∈ A/ ∼ (x > 2) ∨ x < 2}}

=

{x ∈ A/x ≤ 2 ∨ x < 2}

=

{x ∈ A/x ≤ 2}

=

_{{−2, −1, 0, 1, 2}}

enton es los valores de verdad de las proposi iones son:

p :

∀x ∈ U/x > 3 ∨ x < 2 ≡ F

q :

_{∃x ∈ U/x}

2

= 2

_{→ x > 1}

:

∃x ∈ U/ ∼ (x

2

= 2)

∨ x > 1

:

_{∃x ∈ U/x}

2

_{6= 2 ∨ x > 1}

≡ V

s :

∀x ∈ U/

x

2

− 4

x + 2

= x

− 2

:

_{∀x ∈ U/x − 2 = x − 2}

para

x

6= −2

≡ F

Finalmente hallemos los valores de verdad de las proposi iones

m, n, t

:

[(

_{∼ p ∧ n) ∧ (t → s)] → (q ∧ m) ≡ F}

enton es

∼ p ∧ n ≡ V

y

t

→ s ≡ V

y

(q

∧ m) ≡ F

nalmente:

m

≡ F

,

t

≡ F

y

n

≡ V

4. Simbolizar ada uno de las proposi iones y luego negar oralmente:

a) Para todo número real

r

existe un entero

n

tal que

n

≤ r <

n + 1

.

Solu ión:

p :

∀r ∈

Q

,

∃n ∈

Z

/n

≤ r < n + 1

b) Para todo número real

x

, existe un número entero

N

tal que

x

2

< M + 1

siempre que

x < M

.

Solu ión:

p :

∀x ∈

R

,

∃M ∈

Z

/x < M

→ x

2

< M + 1

.

) Para todo número

x

pertene iente al onjunto de los números reales, existe un úni o

y

pertene iente a los números reales, tal que la diferen ia de

x

menos

y

es positiva.

5. Formalizar las uasi-proposi iones omoproposi iones, representar

su nega ión simbóli amente, y para ada aso es ribirla en lenguaje

verbal.

a) No es ierto para algunos

x

que, si les gusta antar y les gusta bailar, se quedan sentados en las estas.

Solu ión: Pondremos un valor a

x

:

x =

joven

1) Convirtiendo a una proposi ión

No es ierto para algunos jóvenes que, si les gusta antar

y les gusta bailar, se quedan sentados en las estas.

2) simbolizando la proposi ión:

Las proposi iones:

Simbolisando

p :

A un joven le gusta antar en la esta

q :

A un joven le gusta bailar en la esta

r :

A un joven se queda sentado en la esta luego:

No es ierto para algunos, si (

p

y

q

),

r

. No es ierto para algunos,

(p

∧ q) → r

. No es ierto para

∃

,

(p

∧ q) → r

.

∄

: (p

_{∧ q) → r}

(apli ando simpli a ión lógi a)

∄

:

_{∼ p∨ ∼ q ∨ r}

.

3) negando la proposi ión:

∃ : (p ∧ q)∧ ∼ r

4) ahora la nega ión de la proposi ión en letras:

Hay algunos jóvenes que, les gusta antar, bailar y no esta

sentado en la esta.

b) Todos los

y

, o no son arrogantes o son ongeniales. Solu ión: Pondremos un valor a

y

:

y =

hombres

1) Convirtiendo a una proposi ión

Todos los hombre, o no son arrogantes o son ongeniales.

2) simbolizando la proposi ión:

Las proposi iones:

Simbolisando

Q :

Los hombres son ongéniales luego: Todos, o no

P

o

Q

. Todos,

P

△

Q

.

∀ : P

△

Q

.

∀ :∼ [(P ∧ Q) ∨ (∼ P ∧ ∼ Q)]

. 3) negando la proposi ión:

∃ : (P ∧ Q) ∨ (∼ P ∧ ∼ Q)

.

4) ahora la nega ión de la proposi ión en letras:

hay algunos hombres, arrogantes y ongeniales, o no son

arrogantes y no ongeniales.

) Para todos los

x

se umple que si se puede es u har, se puede antar u to ar.

Ejer i ios de uanti adores

1. Si

A) =

{1, 2, 3, 4, 5}

y

B =

{−2, −1, 0, 5, 6, }

, estable er el valor de verdad o falsedad de ada una de las siguientes proposi iones:

a)

∀x ∈ A, ∃y ∈ B : x + y < 3

b)

∃!y ∈ B, ∀x ∈ A : x − y > 1

)

∀x ∈ B, ∀y ∈ A : x < y → x

2

< y

2

d)

∃x ∈ A, ∀y ∈ B : (x − y) ∈ A

2. Dadas las proposi iones:

p =

_{∀x ∈ A, ∃y ∈ A : (x}

2

> xy

_{− 52)}

,

q =

∃x ∈ A, ∀y ∈ A :∼ (x + y 6= 0)

r =

_{∀x ∈ A, ∀ ∈ A :}



x

_x

2

−y

_−y

2

= x + y



,

y el onjunto

A =

{x ∈

Z

:

−50 ≤ x < 50}

. Hallar el valor de verdad de:

(p

∧ q) ↔∼ (r →∼ p)

3. Hallar la nega ión de las siguientes proposi iones:

a) "Para todos los números enteros

a

y

b

, si

a < b

enton es

b



a

 b) "Para todo número real

a

, existe un número natural

n

, tal que si

n > n

0

enton es

n > a



)

∀a ∈

R

,

∀b ∈

R

: ab = 0

↔ (a = 0 ∨ b = 0)

par, enton es

(b + 1)r

es par. e)

∀ ∈ A, ∃y ∈ A : [P (x, y) → Q(y)]

f)

∃x ∈ A : ∃y ∈ B : P (x) ∧ Q(y)

g)

∃x ∈ C : ∀y ∈ B, P (x) ∨ [∼ Q(y)]

4. Demuestre que:

∼ [∀x ∈ A : P (x) → Q(x)] ≡ ∃x ∈ A : P (x)∨ ∼ Q(x)

5. Indi ar la verdad o falsedad de:

∀x ∈

R

,

_{∀y ∈}

R

: (

_{−x)(−y) = xy → xy > 0}

. 6. Dada la proposi ión:

[

_{∃x ∈}

N

: x + 2 = 5]

∧ [∀x ∈

N

; x

2

> x]

. ¾Cuál es valor de verdad de la nega ión?.

7. dada la proposi ión: Si algunos números son impares, todos

los triángulos son equilátero.

a) Exprese simbóli amente la proposi ión.

b) Negar oralmente la proposi ión.

8. Simbolizar ada una de las proposi iones, y luego negarla:

a) Para ada

x

e

y

, si

x

es mayor que

y

enton es no o urre que

y

sea mayor que

x

.

b) Cada número que no es igual a ero es mayor que ero o menor que

ero. Seis dividido por dos no es ero y seis dividido por dos no es

menor que ero. Por tanto, seis dividido por dos es mayor que ero.

) Un número es par si y solo si es divisible por dos. Tres por in o no

es par, pero tres más in o es divisible por dos. Por tanto, tres por

in o no es divisible por dos pero tres más in o es par.

d) Para todo x, x más uno es par o x no es impar. Si uno más tres no

es par, enton es tres más uno no es par.Por tanto, si tres es impar,

enton es tres más uno es par.

e) Tres sumado a ualquier número impar da un número par.

(indi- a ión:Si un númeroes impar, enton es ese númeromás tres es par).

Dos más tres es impar. Si el resultado de sumar tres a dos más tres

f) Para ada x, si x es un número par, enton es x+2 es par. Para ada

x, si x es un número par, enton es x no es un número impar. Dos es

un número par. Por tanto, 2+2 no es un número impar.

g) Para ada y, si y es menor que 9 enton es y es menor que 10. 4+4 es

menor que 9. Por tanto, 4+4 s menor que 10.

h) Para ada x, si x es mayor que uatro, enton es x es mayor que tres.

Uno mas uno no es mayor que tres. Por tanto, uno mas uno no es

mayor que uatro.

i) Cadanúmero positivoes mayor que ero. Unoes un númeropositivo.

Tres es un número positivo. Por tanto, uno y tres son mayores que

ero.

9. Formalizarlas uasi-proposi iones omoproposi iones,representar

su nega iónsimbóli amente,ypara ada asoes ribirlaenlenguaje

verbal.

a) No existen

M

tales que son amigables y les gusta pelear

b) Para todo

x

, si le quitan un órgano vital, enton es vive una vida normal o sufre toda la vida.

) Para algunos

y

,no sevana viviralpolo norte, a menosque su prome-dio de vida disminuya.

d) Nos e umple en ningún aso que los

x

, no sean mamíferos, si sean uadrúpedos

e) No existen

x

que a la vez sean vegetarianos, y no se alimentan de: soya o ereales.

Representa ión grá a de onjuntos:

El diagrama de Venn Euler, sirve para poder visualizar los objetos y/o

U

A

C

B

En el diagrama se puede ver que:

U

es el onjunto Universo, en on-junto

B

es un sub onjunto del onjunto

A

, el onjunto

C

es disjunto on le onjunto

A

y

B

.

Opera iones entre onjuntos

Como hemos visto en lógi a proposi ional, también existe algunas

símbolos que rela iones dos o mas onjuntos.

1. Unión de dos onjuntos (

A

∪ B

): Es un onjunto formado por la reunión de todos los elementos del onjunto

A

y del onjunto

B

. Simbóli amente:

A

∪ B = {x ∈ U/x ∈ A ∨ x ∈ B}

Y en grá a se puede representar omo

U

A

B

2. Interse ión de dos onjuntos (

A

∩B

):Esun onjuntoformado por los elementos que están en el onjunto

A

y en el onjunto

B

.

Simbóli amente:

A

∩ B = {x ∈ U/x ∈ A ∧ x ∈ B}

Y en grá a se puede representar omo

U

A

B

3. Diferen ia dedos onjuntos (

A

−B

):Esta onstituidopor aque-llos elementos de

A

que no pertene en al onjunto

B

.

Simbóli amente:

A

_{− B = {x ∈ U/x ∈ A ∧ x /}

_{∈ B}}

Y en grá a se puede representar omo

U

A

B

4. Diferen ia simétri a de dos onjuntos (

A

△

B

): Es el on-junto formadopor la reunion de aquellos elementosque pertene en

ex lusivamente los elementos de

A

− B

y

B

− A

Simbóli amente:

A

△

B =

{x ∈ U/(x ∈ A ∧ x /

∈ B) ∨ (x /

∈ A ∧ x ∈ B)}

U

A

B

5. Complemento de un onjunto (

CA, A

p

_{, A}

C

): Es aquel

onjun-to formado por todos aquellos elementos del universo

U

que no pertene e al onjunto

A

. Simbóli amente:

CA = {x ∈ U/x /

∈ A}

Y en grá a se puede representar omo

U

A

Veamos algunos ejemplos de opera iones de onjuntos.

Ejemplo 1.0.13. 1. Sea

Ω =

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9}

y

A =

{0, 2, 4, 6, 8}

,

B =

{1, 3, 5, 7, 9}

,

C =

{2, 3, 4, 5}

y

D =

{1, 6, 7}

. Determine y exprese en diagrama de Venn los siguientes onjuntos.

a)

A

∪ B

b)

A

∩ B

)

(C

p

_{∩ B) ∪ B}

d)

A

∩ C ∩ D

p

Solu ión: Para la solu ión basta representarlo en el diagrama de

Venn.

2. Si

A

⊂ B

ompletar las siguientes igualdades. a)

A

∪ B = . . .

b)

A

∩ B = . . .

)

A

− B = . . .

3. Si el onjunto

A

es denido por

A =

_{{x ∈}

N

/x

es un número primo y

1 < x < 10

}

, si

U =

N, enton es

A

p

_=?

.

Solu ión:El onjunto

A

expresadoporextensiónes

A =

{2, 3, 5, 7}

, enton es

A

p

₌

N

− {2, 3, 5, 7}

. 4. Sean los onjuntos:

A =

{x ∈

Z

/x = 3n

− 1,

on

n

∈

N

∧ n < 11}

,

B =



x

_∈

Z

/x =

5n

2

,

on

n

∈

N

∧ n < 14



. Cal ular

A

− B

. Solu ión: Los onjuntos

A

y

B

expresado por extensión son:

A =

_{{2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29}}

B =

{5, 10, 15, 20, 25, 60}

.

Finalmente

A

− B = {2, 8, 11, 14, 17, 23, 26, 29}

. 5. Si

A

∪ B = U

, enton es uales son verdaderas.

a)

B = A

p

b)

B = A

− B

)

A

∩ B = ∅

d)

(A

∪ B)

p

₌

_∅

Solu ión: Veamos en el diagrama de Venn.

Universo

A

B

6. Las proposi iones siguientes son verdaderas,

x

∈ A

,

x /

∈ B

,

x

∈ C

,

y

_{∈ A}

,

y

∈ B

,

y /

∈ C

,

z /

∈ A

,

z /

∈ B

,

z

∈ C

. Determinar el valor de verdad de:

a)

y /

∈ B ∧ z ∈ A

.

Solu ión: Veamos los valores de verdad:

y /

_{∈ B ∧ z ∈ A}

V

∧ F

F

b)

x /

∈ C ∨ y ∈ B

.

Solu ión: Veamos los valores de verdad:

x /

_{∈ C ∨ y ∈ B}

V

∨ V

V

)

x

∈ A ↔ y ∈ C

d)

(x

∈ A → z ∈ C) ⇒ (y /

∈ A → z ∈ B)

e)

(z

∈ A → x ∈ B) ⇒ y ∈ B

f)

{x} ⊂ A ↔ y ∈ C

g)

(

{x} ∈ A → {z} ⊂ C) ⇒ (y /

∈ A → {z} ⊂ B)

h)

(

{z} ⊃ A → {x} ⊃ B) ⇒ y ∈ B

Veamos algunos demostra iones por deni ión de las opera iones de

onjuntos.

Ejemplo 1.0.14. Demostrar:

C

⊂ A ∧ C ⊂ B ⇔ C ⊂ (A ∩ B)

Solu ión:

lo haremos por doble in lusión:

A) Probando:

C

⊂ (A ∩ B) ⇒ (C ⊂ A) ∧ (C ⊂ B)

1. Sea un elemento

x

∈ C

2. omo

C

⊂ (A ∩ B)

, enton es

x

∈ (A ∩ B)

3. de 2,

x

∈ A

y

x

∈ B

4. de 3 y 1, impli a que

C

⊂ A

y

C

⊂ B

5. Con luimos que

C

⊂ (A ∩ B) ⇒ (C ⊂ A) ∧ (C ⊂ B)

. B) Probando:

C

⊂ A ∧ C ⊂ B ⇒ C ⊂ (A ∩ B)

6.

C

⊂ A

y

C

⊂ B

7. Sea un elemento

x

∈ C

8. de 7 y hipótesis;

x

∈ A

y

x

∈ B

9. esto es

x

∈ (A ∩ B)

10. Por lo tanto

C

⊂ (A ∩ B)

11. Con luimos que

(C

⊂ A) ∧ (C ⊂ B) ⇒ C ⊂ (A ∩ B)

. Por lo tanto

C

⊂ A ∧ C ⊂ B ⇔ C ⊂ (A ∩ B)

.

Ejemplo 1.0.15. Demostrar que

A

∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

. Solu ión: la igualdad se demostrará por doble in lusión.

A) Probando:

A

∩ (B ∪ C) ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

1. Sea un elemento

x

∈ A ∩ (B ∪ C)

2. por deni ión

∩

y

∪

, se tiene

x

∈ A ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C)

3. por la distributividad de lógi a

(x

∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C)

4. por deni ión

∩

y

∪

,

x

∈ ((A ∩ B) ∪ (A ∩ C))

5. enton es umple:

A

∩ (B ∪ C) ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

B) Probando:

A

∩ (B ∪ C) ⊃ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

6. Sea un elemento

x

∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

7. por deni ión

∩

y

∪

, se tiene

(x

∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C)

8. por la distributividad de lógi a

x

∈ A ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C)

9. por deni ión

∩

y

∪

,

x

∈ A ∩ (B ∪ C)

10. enton es umple:

A

∩ (B ∪ C) ⊃ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Por lo tanto

A

∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

.

Ejemplo 1.0.16. Demostrar:

[(A

− B) − C] ⊂ (A − (B ∪ C))

. Solu ión:

1. Sea un elemento

x

∈ [(A − B) − C]

3. de donde

x

∈ A ∧ x /

∈ (B ∪ C)

4. luego

x

∈ [A − (B ∩ C)]

Por lo tanto

[(A

− B) − C] ⊂ (A − (B ∪ C))

. Ejemplo 1.0.17. Demostrar:

A

△

B = (A

∩ B

p

₎

_{∪ (A}

p

_{∩ B)}

.

Solu ión: la igualdad se demostrará por doble in lusión.

A) Probando:

A

△

B

⊂ (A ∩ B

p

₎

_{∪ (A}

p

_{∩ B)}

.

1. Sea un elemento

x

∈ (A

△

B)

2. por deni ión

△

, se tiene

x

∈ (A − B) ∨ x ∈ (B − A)

3. de esto

(x

∈ A ∧ x /

∈ B) ∨ (x ∈ B ∧ x /

∈ A)

4. de donde

(x

∈ A ∧ x ∈ B

p

₎

_{∨ (x ∈ B ∧ x ∈ A}

p

₎

5. por deni ión de

∩

y

∪

:

x

∈ [(A ∩ B

p

₎

_{∪ (B ∩ A}

p

_)]

6. enton es umple:

A

△

B

⊂ (A ∩ B

p

₎

_{∪ (A}

p

_{∩ B)}

B) Probando:

A

△

B

⊃ (A ∩ B

p

₎

_{∪ (A}

p

_{∩ B)}

7. Sea un elemento

x

∈ [(A ∩ B

p

₎

_{∪ (B ∩ A}

p

_)]

8. por deni ión

∩

y

∪

, se tiene

(x

∈ A ∧ x ∈ B

p

₎

_{∨ (x ∈ B ∧ x ∈ A}

p

₎

9. de esto

(x

∈ A ∧ x /

∈ B) ∨ (x ∈ B ∧ x /

∈ A)

10. por deni ión

△

, se tiene

x

∈ (A − B) ∨ x ∈ (B − A)

11. por deni ión

x

∈ (A

△

B)

12. enton es umple:

A

△

B

⊃ (A ∩ B

p

₎

_{∪ (A}

p

_{∩ B)}

Por lo tanto

A

△

B = (A

∩ B

p

₎

_{∪ (A}

p

_{∩ B)}

.

Enumeremosalgunas propiedades de onjuntos que va simpli ar las

demostra iones de algunos onjuntos

Proposi ión 1.0.1. Sean los onjunto

A

,

B

,

C

. 1. Si

A

⊆ B

enton es

A

∩ B = A

y

A

∪ B = B

2.

A

∪ A = A

y

A

∩ A = A

3.

A

∪ B = B ∪ A

y

A

∩ B = B ∩ A

4.

(A

∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

y

(A

∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

5.

(A

∪B)∪C = (A∪B)∪(A∪C)

y

(A

∩B)∩C = (A∩B)∩(A∩C)

6.

A

⊂ (A ∪ B)

y

A

⊃ (A ∩ B)

. 7. Si

A

⊂ B

enton es

(A

∪ C) ⊂ (B ∪ C)

y

(A

∩ C) ⊂ (B ∩ C)

8.

A

⊂ B ⇔ A ∪ B = B

y

A

⊂ B ⇔ A ∩ B = A

9.

A

∪ A

p

_{= U}

y

A

∩ A

p

₌

_∅

10.

A

∪ ∅ = ∅

y

A

∩ ∅ = ∅

11.

A

∪ U = U

y

A

∩ U = A

12.

A

∩ (A ∪ B) = A

y

A

∪ (A ∩ B) = A

13.

A

− A = ∅

14.

A

− ∅ = A

y

∅ − A = ∅

15.

(A

− B) ⊂ A

16.

A

− B = (A ∪ B) − B = A − (A ∩ B)

17.

B

∩ (A − B) = ∅

18.

A

−(B ∩C) = (A−B)∪(A−C)

y

A

−(B ∪C) = (A−B)∩(A−C)

19.

(A

− B) − C = A − (B ∪ C)

20.

(A

p

₎

p

_{= A}

21.

A

− B = A ∩ B

p

22.

U

p

₌

_∅

y

U =

∅

p

23.

(A

∩ B)

p

_{= A}

p

_{∪ B}

p

24.

(A

∪ B)

p

_{= A}

p

_{∩ B}

p

25.

A

△

A =

∅

26.

A

△

∅ = A

A

△

B = B

△

A

28.

(A

△

B)

△

C = A

△

(B

△

C)

29.

(A

△

B)

∩ C = (A ∩ C)

△

(B

∩ C)

30.

(A

△

B)

∪ (B

△

C) = (A

∪ B ∪ C) − (A ∩ B ∩ C)

Ejemplo 1.0.18. 1. Si

A, B, C

son onjuntos y

C

⊂ A

p

, enton es demostrar que:

{[(C ∪ B) ∩ A] ∪ C

p

} ∩ B ≡ B ∩ C

p

Solu ión:

{[(C ∪ B) ∩ A] ∪ C

p

} ∩ B = {(C ∩ A) ∪ (B ∩ A) ∪ C

p

} ∩ B

=

{∅ ∪ (B ∩ A) ∪ C

p

} ∩ B

pues

C

*

A

= (B

_{∩ A ∩ B) ∪ (C}

p

_{∩ B)}

= (A

_{∪ C}

p

)

_{∩ B}

= C

p

∩ B

pues

A

⊂ C

p

2. Si

A

⊂ B

, simpli ar:

A

∩ {[(B ∪ A) ∩ C ∩ B

p

_]

_{∪ A}

p

_{∪ B}

p

_}

Solu ión:

A

_{∩ {[(B ∪ A) ∩ C ∩ B}

p

]

_{∪ A}

p

_{∪ B}

p

_{} =}

= A

_{∩ {[B ∩ C ∩ B}

p

]

_{∪ A}

p

_}

pues

B

p

_{⊂ A}

p

= A

∩ {∅ ∪ A

p

}

=

_∅

3. Demuestre que:

D

⊂ (A

△

B)

⇒ D = (A ∪ B) − [(A − D) ∪ (B − D] ∪ (A ∩ B)]

Solu ión: Como

A

△

B = (A

∪ B) − (A ∩ B) ⊂ (A ∪ B)

enton es

D

⊂ A ∪ B

y

(A

△

B)

∩ (A ∪ B) = ∅

, demostremos lo que nos piden:

(A

∪ B) − [(A − D) ∪ (B − D] ∪ (A ∩ B)] =

= (A

∪ B) − [(A ∩ B) ∪ ([A ∪ B] − D)]

= [(A

_{∪ B) − (A ∩ B)] − ([A ∪ B] − D)}

= [A

△

B]

∩ ([A ∪ B] ∩ D

p

)

p

= [A

△

B]

∩ ([A ∪ B]

p

∪ D)

= [(A

△

B)

∩ D] ∪ ((A

△

B)

∪ [A ∪ B]

p

)

= (A

△

B)

∩ D

= D

pues

D

⊂ (A

△

B)

CONJUNTO POTENCIA

P (A)

CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS

Conjunto poten ia

P (A)

Es el onjunto onformado por todos los sub onjuntos del onjunto

A

: in luyendo al onjunto va ió y así mismo:

P (A) =

{X : X ⊂ A}

un elemento de

P (A)

es un sub onjunto de

A

, es de ir

X

∈ P (A) ⇔

X

_{⊂ A}

Nota:

1. Al onjunto

P (A)

también se le llama el onjunto de partes de

A

.

2. Si

A

es un onjunto nito ytiene

n

elementos,enton es

P (A)

tiene

2

n

elementos.

3. El onjunto

∅

y

A

son elementos del onjunto

P (A)

.

Ejemplo 1.0.19. 1. Demuestre que

A

⊂ B ⇔ P (A) ⊂ P (B)

Solu ión: Por doble in lu ión

a)

X

∈ P (A) ⇒ X ⊂ A ⇒ X ⊂ B ⇒ X ∈ P (B)

b)

x

∈ A ⇒ {x} ⊂ P (A) ⇒ {x} ⊂ P (B) ⇒ x ∈ B

2. Demuestre que

P (A)

∪ P (B) ⊂ P (A ∪ B)

Solu ión: Sea

X

∈ P (A) ∪ P (B)

enton es,

X

∈ P (A) ∨ X ∈ P (B) ⇒ x ⊂ (A ∪ B) ⇒ x ∈ P (A ∪ B)

Ejer i ios de Demostra ión de Conjuntos

1. Las proposi iones siguientes son verdaderas,

x

∈ A

,

y /

∈ A

,

z

∈ A

,

x

∈ B

,

y /

∈ B

,

z /

∈ B

,

x /

∈ C

,

y

∈ C

,

z /

∈ C

. Determine el valor de verdad de las proposi iones.

a)

{x} ⊂ A ∧ y /

∈ A

. b)

{z} ∈ A

△

{x} ∈ B

.

)

(y /

∈ B ↔ {z} ⊂ B) → [({x} ∈ C

△

y

∈ C) ↔ {z} ⊂ C

d)

[(x

∈ A → z /

∈ B) ∨ (y ∈ B → x ∈ C)] ↔ [(z /

∈ A ∧ x /

∈ B)]

CONJUNTO POTENCIA

P (A)

CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS f)

{[(x ∈ B

△

y

∈ B) ⇔ (x /

∈ C → z ∈ B)]

△

(x /

∈ A∨ ∼ z /

∈

C)

_{} ↔ [∼ (x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∈ C)}

△

(y /

∈ A ∧ y /

∈ B ∧ y /

∈

C)

△

(z

∈ A ∧ z ∈ B ∧ z ∈ C)

△

z

∈ A]

g)

[(

{x} ⊂ A → z /

∈ B) ∨ (y ∈ B → {x} ∈ C)] ↔ [(z /

∈ A ∧ x /

∈

B)]

h)

{({z} ⊂ B ∧ x /

∈ B) ∨ y /

∈ B} ↔ {∼ [({x} ⊂ C ∨ y /

∈ C) ∧ z ∈

A]

_}

i)

{[({x} ∈ B

△

y

∈ B) ⇔ (x /

∈ C → {z} ⊂ B)]

△

(x /

∈ A∨ ∼

z /

∈ C)} ↔ [∼ ({x} ⊂ A ∧ x ∈ B ∧ x ∈ C)

△

(y /

∈ A ∧ y /

∈

B

∧ y /

∈ C)

△

(

{z} ∈ A ∧ z ∈ B ∧ z ∈ C)

△

{z} ⊂ A]

2. Demuestre que:

A

⊂ B ⇔ B

p

⊂ A

p

A

p

△

B = A

⇒ A ⊂ B

(M

⊂ A) ∧ (M ⊂ B) ⇒ M ⊂ A ∩ B

A

_{⊂ B ⇒ A ∪ (B − A) = A}

Para todo onjunto

C

:

(A

− B) ⊂ (A − C) ∪ (C − B)

.

(A

∪ B ∪ C) − (A ∩ B ∩ C) = (A

△

B)

∪ (B

△

C)

A

∩ B = ∅ ⇔ A ⊂ B

p

A

△

B

p

= B

⇒ B ⊂ A

3. Demuestre que:

{a} = {b, c} ⇔ a = b = c

4. Si

M

n

es el onjunto delos números naturales múltiplos de

n

, halle A)

M

2

∩ M

3

B)

M

7

∩ M

8

5. Demuestre que:

A

_{⊂ B ⇒ M ∩ A ⊂ M ∩ B, ∀M}

6. Demuestre que:

P (A

_{∩ B) = P (A) ∩ P (B)}

7. Si

A =

∅

, halle

P (P (A))

.

CONJUNTO POTENCIA

P (A)

CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS

8. Dé un ejemplo de dos onjuntos

A

y

B

en el que se vea que

P (A

_{∪ B)}

*

P (A)

_{∪ P (B)}

9. Simpli ar:

[(A

_{∪ B] − (C − A)] ∩ [(A ∩ B) − (A ∩ C)]}

. 10. Simpli ar:

[(A

_{∩ B) ∪ C}

p

]

p

_{∪ (B ∪ C)}

. 11. Simpli ar:

{[C ∪ (B − A

p

)]

∩ [B − (C ∪ A)

p

]

p

} ∪ B

. 12. Dado los onjuntos

A, B, C

en

U

, simpli ar:

[A

△

(B

△

C)]

△

[C

△

B

p

]

.

13. Sea el onjunto

E =

{∅, a, {a}, {∅, a}}

y los sub onjuntos

B =

{x ∈ E/x 6= ∅ ∧ x 6= {∅, a}}

,

C =

{x ∈ E/x 6= a ∧ x 6= {∅, a}}

,

D =

{x ∈ E/x

una letra del alfabeto

}

. Hallar:

P (B

− C)

,

(C

∩ D) − B

p

.

14. Si

M

n

es el onjunto delos números naturales múltiplos de

n

, halle A)

M

2

∩ M

3

B)

M

7

∩ M

8

15. Sea

U =

{x ∈

N

/0 < x < 11

}

, y los sub onjuntos

A =

{x ∈

U/x

es un número primo

}

,

B =

{x ∈ E/x

es un uadrado perfe to

}

,

C =

{x ∈ U/x

es un impar

}

. Hallar:

(A

∪ C)

p

− B

,

(A

− C)

p

_{∩ B}

, 16. Si

A =

∅

, halle

P (P (A))

.

17. Dé un ejemplo de dos onjuntos

A

y

B

en el que se vea que

P (A

_{∪ B)}

*

P (A)

_{∪ P (B)}

18. Dado los onjuntos

A =

{x ∈

N

/x

3

− 2x

2

− 5x + 6 = 0}

,

B =

{x ∈

N

/2x

2

− 7x + 3 = 0}

,

C =

{{2, 3}

, Si

D = (A

− B) ∪ C

, halle le número de elementos de

P (D)

.

19. Si

A =

{a, ∅, {∅}}

y

B =

{{∅}, {{∅}}, {{∅}}}

. Hallar.

CONJUNTO POTENCIA

P (A)

CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS

b) Hallar el número de elementos de

P (A)

. )

P (A)

∩ P (B)

.

20. Sean los onjuntos

A =

{x ∈

N

/7

− x = 3 ∨ x < 3}

,

B =

_{{x ∈}

N

/5

− x > 2 ∧

6x

₋₂

5

≥ 2}

y

C =

{x ∈

N

/x

es un número perfe to

, x < 10

}

.

Hallar

(A

∪ B) ∩ (C − A)

,

(A

− B) ∪ (B ∩ C)

,

(A

△

B)

∩ (B ∩ C)

21. Sean los onjuntos

A =

{x ∈

N

/x =

k

2

₋₁

2

, k

∈

N

}

,

B =

{x ∈

N

/x

2

= 8x

}

,

C =

{x ∈

N

/x

2

− 32x + 192 = 0}

. Hallar el resultado de

(B

− A) ∩ C

22. Sea una familia de onjuntos

A =

{A

i

/i

∈

N

}

siendo

A

i

onjuntos para ada

i

∈

N. Se dene la unión y la interse ión de la familia de onjuntos omo

B =

n

[

i=1

A

i

y

C =

n

\

i=1

A

i

.

Hallarlaunióne interse ióndelassiguientesfamiliasde onjuntos:

a)

A =



−

1

n

,

1

n



/

para

n

∈

N



b)

A =

{(−n, n) /

para

n

∈

N

}

)

A =

{(0, n) /

para

n

∈

N

}

d)

A =



−n,

1

n



/

para

n

∈

N



e)

A =



1

2

,

1

2

2

,

1

2

3

, . . . ,

1

2

n



/

para

n

∈

N



23. Pruebe que

S

∅ = ∅

24. Demuestre por medio de ejemplos que las siguientes proposi iones

son falsas.

a)

A

− B = B − A

b)

A

⊂ (B ∪ C)

impli a

A

⊂ B

o

A

⊂ C

)

(B

∩ C) ⊂ A

impli a

B

⊂ A

o

C

⊂ A

Cardinal de onjuntos

El número de elementos de un onjunto

A

es representado por

n(A)

a la antidad exa ta de elementos que tiene un onjunto.

Proposi ión 1.0.2. 1. Si

A

∩ B = ∅

, enton es

n(A

∪ B) = n(A) +

n(B)

.

2. Si

A, B

ualesquiera, enton es

n(A

− B) = n(A) − n(A ∩ B)

3. Si

A, B

ualesquiera, enton es

n(A

∪B) = n(A)+n(B)−n(A∩B)

Ejemplo 1.0.20. 1. Una ompañíatiene350 empleados,delos uales

160 obtuvieron un aumento de salario, 100 fueron promovidos y 60

fueron promovidos y obtuvieron un aumento de salario.

a) Cuántos empleadosobtuvieron un aumentopero no fueron

pro-movidos?.

b) Cuántos empleados fueron promovidos pero no obtuvieron un

aumento?.

) Cuántos empleados no fueron promovidos ni obtuvieron un

au-mento?.

2. En una en uesta a 150 personas a er a de tres bebidas gaseosas

Cola Cola, In a Cola, Kola real, resulta que46bebíanlagaseosa

Cola Cola, 36 bebían In a Cola, 28 bebían Kola real, 20 bebían

Cola Cola e In a Cola, 18 bebían Cola Cola y Kola Real,

16 bebían In a Cola y Kola Real, y 10 bebían los tres tipos de

gaseosa. ¾Cuántos

a) No beben ningún tipo de gaseosa?.

b) Beben sólo Co a ola?

) Beben sólo In a ola?

Solu ión: Jóvenes C.C I.C K.R 18 10 10 10 8 6 4 84

3. El

65 %

de la pobla ión de una iudad no ve el anal

A

de T.V. y el

45 %

no ve el anal

B

. Si el

50 %

ve el anal

A

o el anal

B

, pero no ambos ¾Cuál es el por entaje de la pobla ión que ve ambos

anales?.

Solu ión: Toda la pobla ión es el

100 %

.

Sea

A

las personas que ven el anal

A

, y

B

las personas que ven el anal

B

. Enton es

∼ A = 65 %

si y sólo si

A = 35 %

∼ B = 45 %

si y sólo si

B = 55 %

y

B

↔ A = 50 %

U

a

b

c

A

B

de la grá a, se tiene

a + c = 35 %

,

b + c = 55 %

y

a + b = 50 %

enton es

c = 20 %

.

4. Una en uesta de 1000 personas determinó los siguientes

Temprano en la mañana, entre las 5:00 y 7:00A.M., 620 personas

es u han la radio. En la no he, entre las 7:00 y 9:00P.M., 640

personas es u han la radio. Durante el día, entre las 7:00 A.M.

y 7:00P.M., 450 personas lo han e.Durante los tres periodos, 210

personas lo ha en. Temprano por la mañana y por la no he

sola-mente,loha en 220 personas. Solamente durante eldía y temprano

en la mañana, es u han 70 personas. Solamente durante el día y

por la no he, es u han la radio 130 personas.

a) ¾Cuántas personas es u han la radio solamente temprano en

la mañana?

b) ¾Cuántas personas es u hanla radio solamentedurante eldía?

) ¾Cuántas personas es u han la radio solamente en la no he?

Solu ión: Sea los onjuntos:

T

: las personas que es u han la radio temprano por la mañana.

D

: las personas que es u han la radio durante el día.

N

: las personas que es u han la radio por la no he.

a

c

g

T

D

N

b

d

e

f

de los datos tenemos:

T : a + b + e + d = 620

N : d + e + f + g = 640

D : b + c + e + f = 450

: e = 210

: d = 220

: b = 70

: f = 130

Nos piden hallar los valores de

a

,

c

y

g

.

g = 640

_{− 220 − 210 − 130 = 80}

c = 450

_{− 70 − 210 − 130 = 40}

En el siguiente diagrama hallar el onjunto donde esta los elementos.

1. Hallar el onjunto donde esta los elementos.

Universo Z X Y 1 2 3 4

Solu ión: El onjunto donde esta los elementos es:

[(X

_{∩ Y ) ∪ (Y ∩ Z)] − [X ∩ Y ∩ Z] = {1, 2, 3, 4}}

. 2. Hallar el onjunto donde esta los elementos.

Universo Z X Y 7 9

Solu ión: El onjunto donde esta los elementos es:

[Z

− (X ∪ Y )] ∪ [X ∩ Y ∩ Z]

. 3. Sombrear en el diagrama adjunto:

Universo

Z X

Y W

4. Un lub onstade 78 personas, de ellas 50 juegan fútbol, 32 basket y

23 Voley, Además 6 guran en los tres deportes y 10 no pra ti an

ningún. Si

x

es el total de personas que pra ti an exa tamente un deporte,

y

el total de personas que pra ti an exa tamente dos deportes, hallar

x

− y

.

Solu ión: Ha iendo el diagrama de Venn.

Universo Vol Fut Bas m n o p q r s 10

Por datos sabemos que:

x = m + o + s

y = n + q + r

p = 6

También

50 = m + n + p + q

enton es

m + n + q = 44

32 = n + o + p + r

enton es

n + o + r = 26

23 = p + q + r + s

enton es

q + r + s = 17

Sumando las tres e ua iones tenemos:

x + 2y = 87

.

además

m + n + o + p + q + r + s = 78

− 10

enton es

x + y = 62

.

Ejer i ios de ardinal de onjuntos

Demostar Las igualdades siguientes:

1. Si

A

,

B

y

C

son onjunto ni-tos, demostrar que

a)

n(A

△

B) = n(A)+n(B)

−

2n(A

∩ B)

b)

n(A

∪ B ∪ C) = n(A) +

n(B) + n(C)

_{− n(A ∩ B) −}

n(B

_{∩ C) − n(A ∩ C) + n(B ∩}

C

∩ B)

2. Si

A

,

B

y

C

son onjunto ni-tos no disjuntos dosa dos,

de-mostrar que

n[(A

△

B)

△

C] = n(A) +

n(B) + n(C)

_{− 2n(A ∩ B) −}

2n(B

_{∩ C) − 2n(A ∩ C) +}

3n(B

_{∩ C ∩ B)}

Hallar las siguientes problemas

1. El ajero de una Panaderia

grande presentó un reporto

on la nalidad de justi ar

su ontinuidad en el puesto.

Le dijo al propietario: "de los

500 lientesquetuvimos eldía

de ayer, 281 ompraron pan

fran és, 196 ompraron pan

fran es y pan tolete, 87

om-praronpanintegralpantolete,

143 ompraron pan fran es y

pan integral y 36 ompraron

deestos tres tipos depan. Lo

despiden al ajero?

2. Una agen ia de Turismo

re-aliza una en uesta entre 5000

personasparaverlas

preferen- iasenmariadeviajesal

Cus- o, Iquitos y Trujillo: 2400

personas desean viajar por lo

menos al Cus o, 3000 por lo

menos a Trujillo 2100 por lo

menos a Iquitos, 1000 a

Iqui-tos y Trujillo, 800 al Cus o y

al Iquitos, 1500 a Trujillo y al

Cus o y 500 están dispuestos

a realizar las tres ex ursiones.

¾Cuántas personas:

a) indi aron que no

re-alizarían níngunodeestos

tres viajes?

b) no mostraron interés por

el viaje a Iquitos?

) desean ha er dos

ex ur-siones distintas siempre

queningunoseaalCus o?

d) estándispuestos arealizar

sólo dos viajes distintos?

e) viajrian al Cus osi y sólo

sinolohariana Iquitosni

a Trujillo?

3. En una es uesta realizada

so-bre un determinado número

de profesionalesde observa

que: El

72 %

son Matemáti- os, el

52 %

Físi os, el

37 %

Quími a, el

32 %

Físi o-Matemáti os, el

12 %

Físi o-Quími o,el

22 %

Matemáti o-Quími o y el

2 %

Físi o-Matemáti o. Hallar: a) El por entaje de

en ues-tados que siguen una

ar-rera

b) El por entaje de

en ues-tados que tienen otras

arreras.

4. Elregistro entraldeuna

Uni-versidad propor ionó los

sigu-ientes datos respe to a un

grupo de 300 personas del

primer i lo.155estánins rito

en el urso

A

, 170 es le urso

B

y 110 en el urso

C

. 85 es-tán ins ritos en

A

y

B

, 70 es

B

y

C

, 50 en

A

y

C

, y 35 en los tres ursos. Determinar el

número de ins ritos en:

a) El urso

A

pero no en

C

b) Ninguno de lños tres

ur-sos.

5. En una en uesta realizada en

un Super Mer ado a 400 amas

de asa sobre sus preferen ias

de 3 produ tos

A

,

B

y

C

, se obtuvo el siguiente resulto: El

número de amas de asa que

onsumen los produ tos es:

a)

1/4

de los que onsumen

A

b)

1/5

de los que onsumen solamente el produ to

B

)

1/3

de los que onsumen

solamente el produ to

C

d)

1/2

de los que onsumen

los produ tos

A

y

B

e)

1/3

de los que onsumen

los produ tos

B

y

C

f)

1/3

de los que onsumen

los produ tos

A

y

C

Si 40 amas de asa de lararon

no onsumir ninguno de los 3

produ tos hallar:

a) Cuántas amas de asa

sonsumensólo un

produ -to.

b) Cuántas amas de asa

sonsumen al menos dos

produ to.

6. En una en uesta realizada a

290 estudiantes de una

Uni-versidad sibre las mar as de

igarrillos que gustan fumar,

se obtuvo el siguiente

resul-tado: 140 estudiantes gustan

funar Du al, 90 gustan fumar

Premier y 115 gustan fumar

Winston.Elnúmerode

estudi-antes qye fumanllas tres

mar- as de igarrillo es

1/5

de los que fuman Du al y

1/3

de los qye fuman sólo Premier.

El número de estudiantes que

sólo fuma Du al y Premier

Winston. El número de

estu-diantes que sólo fuma Premier

y Winston es 1/2 de los que

sólo fuman Du al y Winston.

Determinar:

a) Cuántos estudiantes

gus-tan fumar una sola mar a

de igarrillos

b) Cuántos preeron fumar

sólo Du al y Winston y

sólo Premier y Winston.

) Cuántos estudiantes no

gustan fumar ninguan de

las tres mar as de

igar-rillos.

7. De una en uesta he ha a 135

personas para estable er

pref-eren ias de le tura de las

riv-istas

A

,

B

,

C

se obtienen lossiguientes resultado.Todos

leen alguna de las tres

revis-tas;todosmenos40,leen

A

;15 leen

A

y

B

pero no

C

; 6 leen

B

y

C

pero no

A

; 10 leen sólo

C

.Elnúmerodelosqueleen

A

y

C

es el doble del número de los que leen las tres revistas.

Elnúmero de los que leen sólo

B

e sel mismo que el total de los que leen

A

y

C

. Según to-dos esto, hallar el número que

los que leen sólo

A

.

8. En una prueba dealgunos

ir- uitos de alumbramiento

elé -tri o se en ontraron 10

defe -tuosos. De estos 7 tenían

la-mentos rotos, 5 tenían

onex-iones defe tuosas y 4 tenían

alambres rotos. Uno de ellos

tenía el lamento roto y la

onexión defe tuosa, pero los

alambres estaban bien; uno

tenía la onexión defe tuosa y

un alambre roto, pero los

la-mentos estaban bien; 2 tenían

lamentos rotos y alambres

rotos, pero las onexiones

es-tamban bien y 3 tenían

sola-mente los lamentos rotos.

a) Cuántos ir uitoseran

de-fe tuososdebidoa las tres

fallas.

b) Cuántos ir uitos tenían

alambres rotos

sola-mente?

9. Cierta ompañía soli itó

jóvenes que hubieran

segui-do ursos en Ingeniería

Civ-il, Me áni a o Industrial para

realizar trabajos rela ionados

son esasespe ialidades.El

ri-terio utilizado para la

sele - ión fue de que hubieran

ll-evado mas de un uros en

di has espe ialidades, treinta

de los postulantes habían

lle-vado urso en Ingeniería

Civ-il, 35 en Ingeniería Industrial,

50 en Ingeniería Me áni a y 3

fueron a eptadopor haber

lle-bado ursos en todas las

ar-reras, mientras que 26 fueron