DINAMICA
VIBRACIONES
MECANICAS
AMORTIGUADAS Y SIN AMORTIGUAMIENTO
4 -A 7 DE JUNIO DE 2010
INTEGRANTES: CHIN UVALLE JOSE EFRAIN
CUJ KUK SERGIO ANTONIO
CANCHE CANCHE JOSE GUADALUPE EK CHAN IVAN JESUS
ÍNDICE
CAPITULO 1.- GENERALIDADES ... 3
1.1 introducción. ... 3
CAPITULO 2.- MARCO TEORICO ... 5
2.1 VIBRACIONES SIN AMORTIGUAMIENTO ... 5
2.1.1 Vibraciones libres de partículas. Movimiento armónico simple ... 5
2.1.2 Péndulo simple (solución aproximada) ... 11
2.1.3 Péndulo simple (solución exacta) ... 13
2.1.4 Vibraciones libres de cuerpos rígidos ... 15
2.1.5 Aplicación del principio de conservación de la energía ... 17
2.1.6 Vibraciones forzadas ... 19
2.2 vibraciones amortiguadas ... 23
2.2.1.- vibraciones libres amortiguadas ... 23
2.2.2.- vibraciones forzadas amortiguadas ... 26
CAPITULO 3.-EJERCICIOS RESUELTOS ... 29
CAPITULO 4.- CONCLUSIONES ... 37
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CAPITULO 1.- GENERALIDADES
1.1 introducción.
Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio. La mayoría de las vibraciones en máquinas y estructuras son indeseables debido al aumento de los esfuerzos y a las pérdidas de energía que las acompañan. Por lo tanto, es necesario eliminarlas o reducirlas en el mayor grado posible mediante un diseño apropiado. El análisis de vibraciones se ha vuelto cada vez mas importante en los últimos años debido a la tendencia actual para producir maquinas de más alta velocidad y estructuras más ligeras. Hay razones para esperar que esta tendencia continúe y que una incluso mayor necesidad de análisis de vibraciones genere en el futuro.
El análisis de vibraciones es un tema muy amplio al cual se han dedicado textos completos. En consecuencia, este estudio de limitará a los tipos más simples de vibraciones, a saber, las vibraciones de un cuerpo o un sistema de cuerpos con un grado de libertad.
Una vibración mecánica se produce por lo general cuando un sistema se desplaza de una posición bajo la acción de fuerzas restauradoras (Ya sea fuerzas elásticas, como en el caso de una masa unida a un resorte, o fuerzas gravitacionales, dodo en el caso de un péndulo). Pero el sistema por lo general alcanza su posición original con cierta velocidad adquirida que lo lleva más allá de esa posición. Puesto que el proceso puede repetirse de manera indefinida, el sistema se mantiene moviéndose de un lado a otro de su posición de equilibrio. El intervalo de tiempo requerido para que el sistema realice un ciclo de movimiento completo recibe el nombre de periodo de la vibración. El número de ciclos por unidad de tiempo define la frecuencia y el desplazamiento máximo de un sistema a partir de su posición de equilibrio de conoce como amplitud de la vibración. Cuando el movimiento se mantiene únicamente por medio de fuerzas restauradoras, se dice que la fricción es una vibración libre (secciones 2.2 a 2.6).
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Cuando se aplica una fuerza periódica al sistema, el movimiento resultante de describe como una vibración forzada. (Sección 2.7). Cuando es posible ignorar los efectos de la fricción se afirma que las vibraciones son no amortiguadas. Sin embargo, todas las vibraciones son en realidad amortiguadas hasta cierto grado. Si una vibración libre sólo se amortigua de manera ligera, su amplitud decrece de manera lenta hasta que, después de cierto tiempo, el movimiento se interrumpe. Pero si el amortiguamiento es suficientemente largo para evitar cualquier vibración verdadera, en ese caso el sistema recupera lentamente su posición original (Sección 6.8). Una vibración forzada amortiguada se mantiene siempre y cuando se aplique la fuerza periódica que la produce. Sin embargo, la amplitud de la vibración se ve afectada por la magnitud de las fuerzas de amortiguamiento (Sección 6.9).
1.2 OBJETIVO GENERAL
Aprender y conocer los conceptos acerca sobre las vibraciones mecánicas como son la vibraciones de amortiguamiento y las vibraciones sin amortiguamiento y como poder aplicarlos en la vida cotidiana.
1.3 OBBJETIVO ESPESIFICO
1; Conocer los conceptos de amortiguaciones
2; Aprender sobre las formulas para poder realizar los ejercicios
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CAPITULO 2.- MARCO TEORICO
2.1 VIBRACIONES SIN AMORTIGUAMIENTO
2.1.1 Vibraciones libres de partículas. Movimiento armónico simple
Considere un cuerpo de masa m unido a un resorte de constante k (figura 19.1a). Puesto que en el tiempo presente se considera solo el movimiento de su centro de masa, a este cuerpo se le considerara como una partícula. Cuando la partícula se encuentra en equilibrio estático, las fuerzas que actúan sobre ella son su peso 𝑾 y la fuerza 𝑻 ejercida por el resorte, de magnitud 𝑇 = 𝑘𝛿𝑠𝑡, donde 𝛿𝑠𝑡 denota la elongación del resorte. Por consiguiente,
𝑊 = 𝑘𝛿𝑠𝑡
Supóngase ahora que la partícula se desplaza una distancia 𝑥𝑚 se
seleccionó más pequeña que 𝛿𝑠𝑡, la partícula se moverá hacia arriba y hacia debajo de su posición de equilibrio; se genero una vibración de amplitud 𝑥𝑚. Obsérvese que la vibración también se puede producir si se le imparte una cierta velocidad inicial a la partícula, cuando esta se encuentra en su posición de equilibrio 𝑥 = 0 o, mas generalmente, soltándola desde cualquier posición dada 𝑥 = 𝑥0 con una velocidad inicial dada 𝑣0.
Para analizar la vibración, considérese que la partícula está en una posición 𝑃 en un instante arbitrario 𝑡 (figura 19.1b). Si 𝑥 denota el desplazamiento 𝑂𝑃 medido desde la posición de equilibrio 𝑂 (positivo hacia abajo), se observa que las fuerzas que actúan sobre la partícula son su peso 𝑾 y la fuerza 𝑻 ejercida por el resorte, que, en esta posición, tiene una magnitud 𝑇 = 𝑘(𝛿𝑠𝑡 + 𝑥). Recordando que 𝑊 = 𝑘𝛿𝑠𝑡, la magnitud de la fuerza resultante 𝑭 de las dos fuerzas (positiva hacia abajo) es
6 a) w Equilibrio t=kst No deformado .. ma=mx -Xm P O +Xm X + FIGURA(19.1)B) w Equilibrio T= (st + x) =
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Por lo tanto, la resultante de las fuerzas ejercidas sobre la partícula es proporcional al desplazamiento 𝑂𝑃 medido a partir de la posición de equilibrio. De acuerdo con la convención de signos, se observa que la dirección de 𝑭 siempre es
hacia la posición de equilibrio 𝑂. Si sustituye 𝐹 en la ecuación fundamental 𝐹 = 𝑚𝑎, y puesto que 𝑎 es la segunda derivada de ẍ de 𝑥 con respecto a 𝑡, se escribe
𝑚ẍ + 𝑘𝑥 = 0 (2.2)
Obsérvese que la misma convención de signos se debe usar para la aceleración ẍ y para el desplazamiento 𝑥, es decir, positivos hacia abajo.
El movimiento definido por la ecuación (2.2) se llama movimiento armónico
simple. Se caracteriza por el hecho de que la aceleración es proporcional al desplazamiento y tiene dirección opuesta. Se puede verificar que cada una de las
funciones 𝑥1 = 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑘
𝑚 𝑡) y 𝑥2 = 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑘
𝑚 𝑡) satisface la ecuación (2.2). Estas
funciones, por consiguiente, constituyen dos soluciones particulares de la ecuación diferencial (2.2). La solución general de la ecuación (2.2) se obtiene multiplicando cada una de las soluciones particulares por una constante arbitraria y sumando. Por tanto, la solución general se expresa como
𝑥 = 𝐶1𝑥1+ 𝐶2𝑥2 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑘
𝑚 𝑡 + 𝐶2𝑐𝑜𝑠 𝑘
𝑚 𝑡 (2.3)
Se observa que 𝑥 es una función periódica del tiempo 𝑡 y, por tanto, representa una vibración de la partícula 𝑃. El coeficiente de 𝑡 de la expresión obtenida se conoce como la frecuencia circular natural de la vibración, y esta denotada por 𝜔𝑛. Se tiene
𝑭𝒓𝒆𝒄𝒖𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒏𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂𝒍 = 𝝎𝒏 = 𝒌
𝒎 (2.4)
Si en la ecuación (6.3) se sustituye, 𝑘
𝑚, se escribe
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Esta es la solución general de la ecuación diferencial
ẍ + 𝝎𝒏𝟐𝒙 = 𝟎 (2.6)
La cual se puede obtener a partir de la ecuación (2.2) dividiendo ambos términos entre 𝑚 y observando que 𝑘
𝑚 = 𝜔𝑛
2. Diferenciando ambos miembros de la ecuación
(2.5) con respecto a 𝑡, se obtienen las siguientes expresiones para la velocidad y la aceleración en el instante 𝑡:
𝑣 = ẋ = 𝐶1𝜔𝑛𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛𝑡 + 𝐶2 𝜔𝑛sen 𝜔𝑛𝑡 (2.7) 𝑎 = ẍ = −𝐶1𝜔𝑛2 𝑠𝑒𝑛 𝜔
𝑛𝑡 − 𝐶2𝜔𝑛2cos 𝜔𝑛𝑡 (2.8)
Los valores de las constantes 𝐶1 y 𝐶2 dependen de las condiciones iniciales del movimiento. Por ejemplo, 𝐶1 = 0 si la partícula se desplaza de su posición de
equilibrio y se suelta en el instante 𝑡 = 0 sin la velocidad inicial, y 𝐶2 = 0 si la particula se suelta de la posición 𝑂 en el instante 𝑡 = 0 con una cierta velocidad inicial. En general, si se sustituye 𝑡 = 0 y los valores iniciales 𝑥0 y 𝑣0 del
desplazamiento y la velocidad en las ecuaciones (2.5) y (2.7), se encuentra que 𝐶1 =
𝑣0
𝜔𝑛 y 𝐶2 = 𝑥0.
Las expresiones obtenidas para el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de una partícula se pueden escribir en una forma más compacta si se observa que la ecuación (2.5) expresa que le desplazamiento 𝑥 = 𝑂𝑃 es la suma de las componentes 𝑥 de los dos vectores 𝑪1 y 𝑪2, respectivamente, de magnitud 𝐶1 y 𝐶2, dirigidos como se muestra en la figura 19.2a. Conforme 𝑡 varia, los dos vectores giran en el sentido de las manecillas del reloj; también se observa que la magnitud de su resultante 𝑂𝑄 es igual al desplazamiento máximo 𝑥𝑚. El
movimiento armónico simple de 𝑃 a lo largo del eje 𝑥 se puede obtener, portanto, proyectando en este eje el movimiento de un punto 𝑄 que describe un círculo
auxiliar de radio 𝑥𝑚 con una velocidad angular constante 𝜔𝑛 (lo cual explica el nombre de frecuencia circular natural dado a 𝜔𝑛). Si 𝜙 denota el angulo formado por los vectores 𝑂𝑄 y 𝑪1, entonces
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𝑂𝑃 = 𝑂𝑄 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 + 𝜙 (2.9) La que conduce a nuevas expresiones para el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de 𝑷:
𝑥 = 𝑥𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 + 𝜙 (2.10)
𝑣 = 𝑥 = 𝑥𝑚𝜔𝑛cos(𝜔𝑛𝑡 + 𝜙) (2.11) 𝑎 = 𝑥 = −𝑥𝑚𝜔𝑛2𝑠𝑒𝑛(𝜔
𝑛𝑡 + 𝜙) (2.12)
La curva desplazamiento – tiempo está representada por una curva senoidal (figura 19.2b); el valor máximo 𝑥𝑚 del desplazamiento se llama amplitud de la
vibración, y el ángulo 𝜙 que define la posición inicial de 𝑄 en el circulo se llama
ángulo de fase. En la figura 2.2 se observa que se describe un círculo completo
conforme el ángulo 𝜔𝑛𝑡 se incrementa 2𝜋 𝑟𝑎𝑑. El valor correspondiente de 𝑡,
demostrado por 𝜏𝑛, se llama periodo de la vibración libre, y se mide en segundos. Por consiguiente,
𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 = 𝜏𝑛 = 2𝜋
𝜔𝑛 (2.13) El término 𝑓𝑛 denota el número de ciclos descritos por unidad de tiempo, y se
conoce como la frecuencia natural de la vibración. Por tanto,
𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 = 𝑓𝑛 = 1 𝜏𝑛 =
𝜔𝑛
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La unidad de frecuencia es una frecuencia de 1 ciclo por segundo, que corresponde a un periodo de 1𝑠. En función de unidades base, la unidad de frecuencia es, por tanto, 1/𝑠 o 𝑠−1. Se llama hertz (Hz) en el sistema SI de unidades. De la ecuación (2.4) también se desprende que una frecuencia de 1𝑠−1 o 1 𝐻𝑧 correponde a una frecuencia circular de 2𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠 . En problemas que implican velocidades angulares expresadas en revoluciones por minuto (rpm), se tiene 1 𝑟𝑝𝑚 = 1 60𝑠 −1 = 1 60𝐻𝑧, o 1 𝑟𝑝𝑚 = 2𝜋 60 𝑟𝑎𝑑/𝑠 .
Puesto que 𝜔𝑛 se definió en la ecuación (2.4) en función de la constante 𝑘 del resorte y la masa 𝑚 de la partícula, se observa que el periodo y la frecuencia son independientes de las condiciones iniciales y de la amplitud de la vibración. Obsérvese que 𝜏𝑛 y 𝑓𝑛 dependen de la masa y no del peso de la partícula y, por tanto, son independientes del valor de 𝑔.
Las curvas velocidad – tiempo y aceleración – tiempo se pueden representar por medio de curvas senoidales del mismo periodo que en la curva desplazamiento – tiempo, pero con diferentes ángulos fase. De acuerdo con las ecuaciones (2.11) y (2.12), se observa que los valores máximos de las magnitudes de la velocidad y la aceleración son
𝑣𝑚 = 𝑥𝑚𝜔𝑛 𝑎𝑚 = 𝑥𝑚𝜔𝑛2 (2.15)
Como el punto 𝑄 describe el círculo auxiliar, de radio 𝑥𝑚, a la velocidad angular constante 𝜔𝑛, su velocidad y aceleración son iguales, respectivamente, a las
expresiones (2.15). De acuerdo con las ecuaciones (2.11) y (2.12), se ve, por consiguiente, que la velocidad y aceleración de 𝑃 se pueden obtener en cualquier instante proyectando en el eje 𝑥 vectores de magnitudes 𝑣𝑚 = 𝑥𝑚𝜔𝑛 y 𝑎𝑚 = 𝑥𝑚𝜔𝑛2
que representan, respectivamente, la velocidad y la aceleración de 𝑄 en el mismo instante (figura 19.3).
11 n W t Q Xm X O FIGURA(19.3) 0 2 am=xm w P W t + Q n Vm= XmWn n
Los resultados obtenidos no se limitan a la solución del problema de una masa conectada a un resorte. Se pueden usar para analizar el movimiento rectilíneo de una partícula siempre que la resultante 𝑭 de las fuerzas que actúan sobre la
partícula sea proporcional al desplazamiento 𝑥 y dirigida hacia 𝑂. La ecuación fundamental de movimiento 𝐹 = 𝑚𝑎 se puede escribir, entonces, en la forma de la ecuación (2.6), la cual es característica de un movimiento armónico simple. Puesto que el coeficiente de 𝑥 debe ser igual a 𝜔𝑛2, la frecuencia circular natural 𝜔𝑛 del movimiento se puede determinar con facilidad. Al sustituir el valor obtenido para 𝜔𝑛 en las ecuaciones (2.13) y (2.14), se obtienen entonces el periodo 𝜏𝑛 y la
frecuencia natural 𝑓𝑛 del movimiento.
2.1.2 Péndulo simple (solución aproximada)
La mayoría de las vibraciones que se presentan en aplicaciones de ingeniería se pueden representar mediante un movimiento armónico simple. Muchas otras, aunque de diferente tipo, se pueden representar de una manera
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permanezca pequeña. Considérese, por ejemplo, un péndulo simple, que consiste en una plomada de masa 𝑚 que pende de una cuerda de longitud 𝑙, el cual puede oscilar en un plano vertical (figura 19.4a). en un instante dado 𝑡, la cuerda forma un t ma n = ma b) T FIGURA(19.4) a) W L
angulo 𝜃 con la vertical. Las fuerzas que actúan sobre la plomada son su peso 𝑾 y la fuerza 𝑻 ejercida por la cuerda (figura 19.4b). al transformar el vector 𝑚𝒂 en componentes tangencial y normal, con 𝑚𝒂𝒕 dirigido hacia la derecha, es decir, en la dirección correspondientes a valores crecientes de 𝜃, y puesto que 𝑎𝑡 = 𝑙𝛼 = 𝑙𝜃 ,
se puede escribir
𝐹𝑡 = 𝑚𝑎𝑡: −𝑊 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑚𝑙𝜃 Como 𝑊 = 𝑚𝑔 y dividiendo entre 𝑚𝑙, se obtiene
𝜃 +𝑔
𝑙 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 0 (2.16)
En el caso de oscilaciones de pequeña amplitud, se pueden remplazar 𝑠𝑒𝑛 𝜃 con 𝜃, expresando en radianes y, por tanto,
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𝜃 +𝑔
𝑙𝜃 = 0 (2.17)
Si se compara con la ecuación (2.6) se ve que la ecuación diferencial (2.17) es la de un movimiento armónico simple con una frecuencia circular natural 𝜔𝑛 igual a
(𝑔/𝑙) 1/2 . La solución general de la ecuación (2.17) se puede expresar, entonces,
como
𝜃 = 𝜃𝑚 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑛𝑡 + 𝜙)
Donde 𝜃𝑚 es la amplitud de las oscilaciones y 𝜙 es un ángulo fase. Con la
sustitución en la ecuación (2.13) del valor obtenido para 𝜔𝑛, se obtiene la siguiente expresión para el periodo de las oscilaciones pequeñas de un péndulo de longitud 𝑙:
𝜏𝑛 = 2𝜋
𝜔𝑛 = 2𝜋
𝑙
𝑔 (2.18)
2.1.3 Péndulo simple (solución exacta)
La formula (2.18) es solo aproximada. Para obtener una expresión exacta para el periodo de las oscilaciones de un péndulo simple, se tiene que regresar a la ecuación (2.16). si se multiplica ambos términos por 2𝜃 y se integra desde un posición inicial correspondiente a la deflexión máxima, es decir, 𝜃 = 𝜃𝑚 y 𝜃 = 0, se
puede escribir 𝑑𝜃 𝑑𝑡 2 =2𝑔 𝑙 (cos 𝜃 − cos 𝜃𝑚) Si se remplazan cos 𝜃 con 1 − 2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃
2 y cos 𝜃𝑚 con una expresión similar, se
despeja 𝑑𝑡 y se integra a lo largo de un cuarto de periodo desde 𝑡 = 0, 𝜃 = 0 a 𝑡 = 𝜏𝑛/4, 𝜃 = 𝜃𝑚 se tiene 𝜏𝑛 = 2 𝑙 𝑔 𝑑𝜃 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑚 2 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 2 𝜃𝑚 0
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La integral del lado derecho se conoce como integral elíptica; no se puede expresar en función de las funciones algebraicas o trigonométricas usuales. Sin embargo, con 𝑠𝑒𝑛 𝜃 2 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑚 2 𝑠𝑒𝑛 𝜙 Se puede escribir 𝜏𝑛 = 4 𝑔𝑙 𝑑𝜙 1−𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑚 2 𝑠𝑒𝑛2𝜙 𝜋/2 0 (2.19)
Donde la integral obtenida, comúnmente denotada por 𝐾, puede calcularse mediante un método numérico de integración. También se puede encontrar en
tabla de integrales elípticas para diferentes valores de 𝜃𝑚/2. Para compara el resultado que se acaba de obtener con el de la sección anterior, se escribe la ecuación (2.19) en la forma 𝜏𝑛 = 2𝐾 𝜋 2𝜋 𝑙 𝑔 (2.20)
La formula (2.20) demuestra que el valor real del periodo de un péndulo simple se obtiene multiplicando el valor aproximado dado en la ecuación (6.18) por el factor de corrección 2𝐾/𝜋. En la tabla 2.1 se dan valores de corrección para diferentes valores de la amplitud 𝜃𝑚. Se observa que en cálculos comunes de ingeniería el factor de corrección se puede omitir siempre que la amplitud no sobrepase de 10°.
Tabla 2.1. Factor de corrección para el periodo de un péndulo simple
𝜃𝑚 0° 10° 20° 30° 60° 90° 120° 150° 180°
𝐾 1.571 1.574 1.598 1.686 1.854 2.157 2.157 2.768 ∞ 2𝐾/𝜋 1.000 1.002 1.008 1.017 1.073 1.180 1.373 1.762 ∞
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2.1.4 Vibraciones libres de cuerpos rígidos
El análisis de las vibraciones de un cuerpo rígido o de un sistema de cuerpos rígidos que posee un grado único de libertad, es similar al análisis de las vibraciones de una partícula. Se selecciona una variable apropiada, tal como una distancia 𝑥 o un angulo 𝜃, para definir la posición del cuerpo o un sistema de cuerpos, y se escribe una ecuación que relaciona esta variable y su segunda derivada con respecto a 𝑡. Si la ecuación obtenida es de la misma forma que la ecuación (2.6), es decir, si se tiene
𝑥 + 𝜔𝑛2𝑥 = 0 O
𝜃 + 𝜔𝑛2𝜃 = 0 (2.21)
La vibración considerada es un movimiento armónico simple. El periodo y la frecuencia natural de la vibración se obtienen, entonces, identificando 𝜔𝑛 y
sustituyendo su valor en las ecuaciones (2.13) y (2.14).
En general, una manera simple de obtener una de las ecuaciones (2.21) es expresar que el sistema de las fuerzas externas es equivalente al sistema de las fuerzas efectivas por medio de una ecuación de diagramas de cuerpo libre para un valor arbitrario de la variable y escribiendo la ecuación de movimiento apropiada. Se recuerda que el objetivo debe ser la determinación del coeficiente de la variable 𝑥 o 𝜃, no la determinación de la variable misma o de la derivada 𝑥 o 𝜃 . Si este coeficiente se hace igual a 𝜔𝑛2
se obtienen la frecuencia circular natural 𝜔𝑛, con la cual se puede determinar 𝜏𝑛 y
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El método descrito se puede usar para analizar vibraciones que verdaderamente están representadas por un movimiento armónico simple, o vibraciones de pequeña amplitud que pueden estar representadas de manera
aproximada por un movimiento armónico simple. Como ejemplo, se determinara el
periodo de las pequeñas oscilaciones de una placa cuadrada de 2𝑏 por lado la cual esta suspendida del punto medio 𝑂 de uno de sus lados (figura 19.5a). la placa se considera en una posición arbitraria definida por el ángulo 𝜃 que la línea 𝑂𝐺 forma con la vertical, y se dibuja una ecuación de diagramas de cuerpo libre para expresar que el peso 𝑾 de las placas y las componentes 𝑹𝒙 y 𝑹𝒚 de la reacción en 𝑂 son equivalentes a los vectores 𝑚𝒂𝒕 y 𝑚𝒂𝒏 y al par 𝐼𝜶 (figura 19.5b). Como la velocidad angular y la aceleración angular de la placa son iguales, respectivamente, a 𝜃 y 𝜃 , las magnitudes de los dos vectores son, respectivamente, 𝑚𝑏𝜃 y 𝑚𝑏𝜃 2, mientras que el momento de par es 𝐼𝜃 . En aplicaciones previas de este método, siempre que fue posible, se trato de suponer el mimo sentido positivo para 𝜃 y 𝜃 para obtener una ecuación de la forma (2.21). Por consiguiente, la aceleración angular 𝜃 se supondrá positiva en sentido
contrario al de las manecillas del reloj, aun cuando esta suposición es obviamente irreal. Si se igualan los momento con respecto a 𝑂, se tiene
+↖ −𝑊 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑚𝑏𝜃 𝑏 + 𝐼𝜃 Como 𝐼 = 1 12𝑚 2𝑏 2+ 2𝑏 2 =2 3𝑚𝑏 2 y 𝑊 = 𝑚𝑔, se obtiene 𝜃 + 3 5 𝑔 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 0 (2.22)
Para oscilaciones de pequeña amplitud, se puede remplazar 𝑠𝑒𝑛 𝜃 por 𝜃, expresado en radianes, y escribir
𝜃 + 3
5 𝑔
𝑏 𝜃 = 0 (2.23)
La comparación con (2.21) demuestra que la ecuación obtenida es la de un movimiento armónico simple, y que la frecuencia circular natural 𝜔𝑛 de las
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oscilaciones es igual a 3𝑔
5𝑏 1/2
. Al sustituir en (2.13), se halla que el periodo de las oscilaciones es 𝜏𝑛 = 2𝜋 𝜔𝑛 = 2𝜋 5𝑏 3𝑔 (2.24)
El resultado obtenido es válido solo para oscilaciones de pequeña amplitud. Una descripción más precisa del movimiento de la placa se obtiene comparando las ecuaciones (2.16) y (2.22). Se observa que las dos ecuaciones son idénticas si se selecciona 𝑙 igual 5𝑏/3. Esto significa que la placa oscilara como un péndulo simple de longitud 𝑙 = 5𝑏/3, y los resultados de la sección 2.1.3 se pueden usar para corregir el valor del periodo dado en (2.24). el punto A de la placa localizado en la línea 𝑂𝐺 a una distancia 𝑙 = 5𝑏/3 de 𝑂, se define como el centro de
oscilación correspondiente a 𝑂 (figura 6.5a).
2.1.5 Aplicación del principio de conservación de la energía
En secciones anteriores se vio que, cuando una partícula de masa 𝑚 se encuentra en movimiento armonico simple, la resultante 𝑭 de las fuerzas ejercidas sobre ella tiene una magnitud proporcional al desplazamiento 𝑥 medido a partir de la posición de equilibrio 𝑂 y su dirección es hacia 𝑂; por consiguiente, 𝐹 = −𝑘𝑥. De acuerdo con los temas anteriores, se ve que 𝑭 es una fuerza conservativa y que la energia potencial correspondiente es 𝑉 = 1
2𝑘𝑥
2, donde 𝑉 se supone igual a cero en la
posición de equilibrio 𝑥 = 0. Como la velocidad de la partícula es igual a 𝑥 , su energia cinética es 𝑇 = 1
2𝑚𝑥
2, y se puede expresar que la energia total de la
partícula se conserva escribiendo.
𝑇 + 𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 1
2𝑚𝑥 2 +1
2𝑘𝑥
2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Si se divide entre 𝑚/2 y, de acuerdo con secciones anteriores, 𝑘/𝑚 = 𝜔𝑛2 donde
𝜔𝑛, es la frecuencia circular natural de la vibración, se tiene
𝑥 2 + 𝜔
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La ecuación (2.25) es característica de un movimiento armónico simple, puesto que se puede obtener a partir de la ecuación (2.6) multiplicando ambos términos por 2𝑥 e integrando.
El principio de conservación de la energía proporciona un método conveniente para determinar el periodo de vibración de un cuerpo rígido o de un sistema de cuerpos rígidos que posee un solo grado de libertad, una vez que se establece que el movimiento del sistema es un movimiento armónico simple o que puede estar representado por un movimiento armónico simple. Con la selección de una variable apropiada, tal como una distancia 𝑥 o un angulo 𝜃, se consideran dos posiciones particulares del sistema:
1. El desplazamiento del sistema es máximo; en tal caso, 𝑇1= 0 y 𝑉1 se puede
expresar en función de la amplitud 𝑥𝑚 o 𝜃𝑚 (si se elige 𝑉 = 0 en la posición de
equilibrio).
2. El sistema pasa por su posición de equilibrio; en tal caso, 𝑉2 = 0 y 𝑇2 se puede expresar en función de la velocidad máxima 𝑥 𝑚 o de la velocidad angular máxima 𝜃 𝑚.
Por tanto, se expresa que la energía total del sistema se conserva, es decir 𝑇1+ 𝑉1 = 𝑇2+ 𝑉2. De acuerdo con la sección (2.15), en un movimiento armonico simple la velocidad máxima es igual al producto de la amplitud y de la frecuencia circular natural 𝜔𝑛; por consiguiente, se ve que la ecuación obtenida se puede
resolver para 𝜔𝑛.
Como ejemplo, considérese otra vez la placa cuadrada de la sección (2.5). En la posición de desplazamiento máximo (figura 6.6a), se tiene
𝑇1 = 0 𝑉1 = 𝑊 𝑏 − 𝑏 cos 𝜃𝑚 = 𝑊𝑏(1 − cos 𝜃𝑚) O, puesto que 1 − cos 𝜃𝑚 = 2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑚
2 ≈ 2 𝜃𝑚
2 2
= 𝜃𝑚2/2 en el caso de
oscilaciones de pequeña amplitud,
𝑇1 = 0 𝑉1 = 1
2𝑊𝑏𝜃𝑚
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Cuando la placa pasa por su posición de equilibrio (figura 6.6b), su velocidad es máxima, y se tiene 𝑇2 =1 2𝑚𝑣𝑚 2 +1 2𝐼𝜔𝑚 2 =1 2𝑚𝑏 2𝜃 𝑚2 + 1 2𝐼𝜃 𝑚 2 𝑉 2 = 0
O, de acuerdo con la sección anterior, como 𝐼 =2
3𝑚𝑏 2, 𝑇2 = 1 2 5 3𝑚𝑏 2 𝜃 𝑚2 𝑉2 = 0 (2.27)
Si se hacen sustituciones de (2.26) y (2.27) en 𝑇1+ 𝑉1 = 𝑇2+ 𝑉2, y como la velocidad máxima 𝜃 𝑚 es igual al producto 𝜃𝑚𝜔𝑛, se puede escribir
1 2𝑊𝑏𝜃𝑚 2 = 1 2 5 3𝑚𝑏 2 𝜃 𝑚2𝜔𝑛2 (2.28) La cual da 𝜔𝑛2 = 3𝑔/5𝑏 y 𝜏𝑛 = 2𝜋 𝜔𝑛 = 2𝜋 5𝑏 3𝑔 (2.29)
Como previamente se obtuvo.
2.1.6 Vibraciones forzadas
Desde el punto de vista de las aplicaciones de ingeniería, las vibraciones más importantes son las vibraciones forzadas de un sistema. Estas vibraciones ocurren cuando un sistema se somete a una fuerza periódica o cuando esta elásticamente conectado a un apoyo que tiene un movimiento alternante.
Considérese en primer lugar el caso de un cuerpo de masa 𝑚 suspendido de un resorte y sometido a una fuerza periódica 𝑷 de magnitud 𝑃 = 𝑃𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡,
donde 𝜔𝑓 es la frecuencia circular de 𝑷 y se conoce como frecuencia circular
forzada del movimiento (figura 6.7). Esta fuerza puede ser una fuerza externa real
aplicada al cuerpo, o una fuerza centrifuga producida por la rotación de alguna parte desbalanceada del cuerpo, medido a partir de su posición de equilibrio, se escribe la ecuación de movimiento
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Como 𝑊 = 𝑘𝛿𝑠𝑡, se tiene
𝑚𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝑃𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡 (2.30) A continuación se considera el caso de un cuerpo de masa 𝑚 suspendido de un resorte conectado a un apoyo móvil cuyo desplazamiento 𝛿 es igual a 𝛿𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡 (figura 6.8). Si el desplazamiento 𝑥 del cuerpo se mide a partir de la posición de equilibrio estático correspondiente a 𝜔𝑓𝑡 = 0, se halla que el alargamiento total del
resorte en el instante 𝑡 es 𝛿𝑠𝑡 + 𝑥 − 𝛿𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡 . La ecuación de movimiento es, por
tanto,
+↓ 𝐹 = 𝑚𝑎: 𝑊 − 𝑘 𝛿𝑠𝑡 + 𝑥 − 𝛿𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡 = 𝑚𝑥 Como 𝑊 = 𝑘𝛿𝑠𝑡, se tiene
𝑚𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝑘𝛿𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓 (2.31)
Se ve que las ecuaciones (2.30) y (2.31) son de la misma forma y que una solución de la primera ecuación satisfará la segunda si se hace 𝑃𝑚 = 𝑘𝛿𝑚.
Una ecuación diferencial como la (2.30) o la (2.31), con el miembro del lado derecho diferente de cero, se conoce como no homogénea. Su solución general se obtiene agregando una solución particular de la ecuación dad a la solución general de la ecuación homogénea correspondiente (con el miembro del lado derecho igual a cero). Se puede obtener una solución particular de (6.30) o (6.31) probando una solución de la forma
𝑥𝑝𝑎𝑟𝑡 = 𝑥𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡 (2.32) Si se sustituye 𝑥𝑝𝑎𝑟𝑡 por 𝑥 en la ecuación (2.30), se obtiene
−𝑚𝜔𝑓2𝑥𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡 + 𝑘𝑥𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡 = 𝑃𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡
La que se puede resolver para la amplitud,
𝑥𝑚 = 𝑃𝑚 𝑘 − 𝑚𝜔𝑓2
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Puesto que, de acuerdo con la ecuación (2.4), 𝑘
𝑚 = 𝜔𝑛
2 donde 𝜔
𝑛 es la frecuencia
circular natural del sistema, se puede escribir
𝑥𝑚 =
𝑃𝑚/𝑘
1−(𝜔𝑓/𝜔𝑛)2 (2.33) Si se sustituye de (2.32) en (2.31), se obtiene de la misma manera
𝑥𝑚 =
𝛿𝑚
1−(𝜔𝑓/𝜔𝑛)2 (2.33
′)
La ecuación homogénea correspondiente a la (2.30) o (2.31) es la ecuación (2.2), que define la vibración libre del cuerpo. Su solución general, llamada función
complementaria, se hallo en secciones anteriores:
𝑥𝑐𝑜𝑚𝑝 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 + 𝐶2𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛𝑡 (2.34) Si se asegura la solución particular (2.32) a la función complementaria (2.34), se obtiene la solución general de las ecuaciones (6.30) y (6.31):
𝑥 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 + 𝐶2𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛𝑡 + 𝑥𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡 (2.35) Se ve que la vibración obtenida se compone de dos vibraciones superpuestas. Los primeros dos términos de la ecuación (2.35) representan una vibración libre del sistema. La frecuencia de esta vibración es la frecuencia natural del sistema, la cual depende solo de la constante 𝑘 del resorte y de la masa 𝑚 del cuerpo, y las constantes 𝐶1 y 𝐶2 se pueden determinar a partir de las condiciones iniciales. Esta vibración libre también se llama vibración transitoria, puesto que en la práctica real se ve amortiguada de inmediato por las fuerzas de fricción.
El último término de la ecuación (2.35) representa la vibración de estado
estable producida y mantenida por la fuerza aplicada o por el movimiento aplicado
del apoyo o soporte. Su frecuencia es la frecuencia forzada generada por esta fuerza o movimiento, y su amplitud 𝑥𝑚, definida por la ecuación (2.33) o por la ecuación (2.33’), depende de la razón de frecuencia 𝜔𝑓/𝜔𝑛. La razón de la amplitud 𝑥𝑚 de la vibración de estado estable a la deflexión estática 𝑃𝑚/𝑘
22
provocada por una fuerza 𝑃𝑚, o a la amplitud 𝛿𝑚 del movimiento del apoyo, se llama factor de amplificación. Con las ecuaciones (6.33) y (6.33’), se obtiene
𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 = 𝑥𝑚 𝑃𝑚/𝑘 = 𝑥𝑚 𝛿𝑚 = 1 1− 𝜔𝑓/𝜔𝑛 2 (2.36)
La figura 6.9 es una grafica del factor de amplificación contra la razón de frecuencia 𝜔𝑓/𝜔𝑛. Se ve que cuando 𝜔𝑓 = 𝜔𝑓, la amplitud de la vibración forzada se vuelve infinita. Se dice que la fuerza aplicada o el movimiento aplicado por el apoyo esta en resonancia con el sistema dado. En realidad, la amplitud de la vibración permanece finita debido a fuerzas amortiguadoras; sin embargo, se debe evitar una situación como esa, y la frecuencia forzada no debe ser seleccionada muy cercana a la frecuencia natural del sistema. Asimismo, se ve que para 𝜔𝑓 < 𝜔𝑛 el coeficiente de 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡 en la ecuación (2.35) es positivo, mientras que para 𝜔𝑓 > 𝜔𝑛 este coeficiente es negativo. En el primer caso, la vibración forzada está en fase con la fuerza aplicada o el movimiento aplicado por el apoyo, mientras que en el segundo, esta 180° fuera de fase.
Por último, se observa que la velocidad y la aceleración en la vibración de estado estable se pueden obtener diferenciando dos veces con respecto a 𝑡 el último término de la ecuación (2.35). Expresiones similares a las de las ecuaciones (2.15) de la sección (2.1) dan sus valores máximos, excepto que estas expresiones ahora incluyen la amplitud y la frecuencia circular de la vibración forzada:
23
2.2 vibraciones amortiguadas
2.2.1.- vibraciones libres amortiguadas
Los sistemas vibratorios considerados en la primera parte de este capítulo se supusieron libres de amortiguamiento. En realidad, todas las vibraciones son amortiguadas hasta cierto grado por fuerzas de fricción. Estas fuerzas pueden ser provocadas por fricción seca, o fricción de coulomb, entre cuerpos rígidos, por fricción fluida cuando cuándo un cuerpo rígido se mueve en un fluido, o por fricción interna entre las moléculas de un cuerpo aparentemente elástico.
Un tipo de amortiguamiento de especial interés es el amortiguamiento viscoso provocado por la fricción fluida a velocidad baja y moderada. El amortiguamiento viscoso caracterizado por el hecho de que la fuerza de fricción es directamente proporcional y opuesta a la velocidad del cuerpo en movimiento. Como ejemplo considérese un cuerpo de masa m suspendido de un resorte de constante k, suponiendo que el cuerpo está conectado al embolo de un amortiguador (figura 19.10). La magnitud de la fuerza de fricción ejercida sobre el embolo por el fluido circundante es igual s c𝒙 , donde la constante c, expresa a en N*s/m o lb*s/ft (conocida como coeficiente de amortiguamiento viscoso), depende de las propiedades físicas del fluido y de la construcción del amortiguador. La ecuación de movimiento es
+↓ ⅀𝑭 = 𝒎𝒂: 𝑾 − 𝒌 𝜹𝒔𝒕+ 𝑿 − 𝒄𝑿 = 𝒎𝑿 Como 𝑊 = 𝒌𝜹𝒔𝒕, se puede escribir
𝒎𝒙 + 𝒄𝒙 + 𝒌𝒙 = 𝟎 (2.38)
Como la sustitución de 𝑥 = 𝑒ℷ𝑡 en la ecuación (2.38) y dividiéndola entre 𝑒ℷ𝑡, se
obtiene la ecuación característica
𝒎ℷ𝟐+ 𝒄ℷ + 𝒌 = 𝟎 (2.39) Y se obtienen las raíces
24 ℷ = −𝒌 𝒎± ( 𝒄 𝟐𝒎) 𝟐− 𝒌 𝒎 (2.40)
Si se define el coeficiente de amortiguamiento critico 𝒄𝒄 como el valor de c hace
que el radical de la ecuación (6.40) sea cero, se puede escribir
(𝒄𝒄 𝟐𝒎) 𝟐− 𝒌 𝒎= 𝟎 𝒄𝒄 = 𝟐𝒎 𝒌 𝒎= 𝟐𝒎𝝎𝐧 (2.41)
Donde 𝝎𝐧 es la frecuencia circular natural del sistema sin amortiguamiento. Se
distinguen tres casos diferentes de amortiguamiento, según sea el valor del coeficiente c.
1.- Sobre amortiguamiento: c˃𝒄𝒄. Las raíces ℷ𝟏 𝒚ℷ𝟐 de la ecuación
característica (19.3) son reales y distintas, y la solución general de la ecuación diferencial (19.38) es
𝑿 = 𝒄𝟏𝒆ℷ𝟏𝒕+ 𝒄
𝟐𝒆ℷ𝟐𝒕 (2.42)
Esta solución corresponde a un movimiento no vibratorio. Como ℷ𝟏 𝒚ℷ𝟐 son negativas, x tiende a cero conforme t se incrementa de manera indefinida. Sin embargo, el sistema realmente recobra su posición de equilibrio después de un tiempo finito.
2.- amortiguamiento crítico: c=𝒄𝒄. la ecuación característica tiene una doble
raíz ℷ = − 𝒄𝒄
𝟐𝐦= −𝝎𝒄, y al solución general de la ecuación (6.38) es
𝑿 = (𝒄𝟏+ 𝒄𝟐𝒕)𝒆−𝝎𝒏𝐭 (2.43)
De nuevo, el movimiento obtenido es no vibratorio. Los sistemas críticamente amortiguados son de especial interés en las aplicaciones de ingeniería, puesto que recobran su posición de equilibrio en el tiempo más corto posible sin oscilación
3.- sub amortiguamiento: c<𝒄𝒄.Las raíces de la ecuación (2.39) son complejas y conjugadas, y la solución general de la ecuación (2.38) es de la forma
25
𝑿 = 𝒆−(𝟐𝒎𝒄 ) 𝒕
(𝒄𝟏𝐬𝐞𝐧𝝎𝒅𝐭 − 𝒄𝟐𝐜𝐨𝐬𝝎𝒅𝐭) (2.44) Donde 𝝎𝒅 está definida por la relación
𝝎𝒅𝟐= 𝒌 𝒎− ( 𝒄 𝟐𝒎) 𝟐 Si se sustituye 𝒌 𝒎= 𝝎𝒅
𝟐 y se recuerda la ecuación (2.41), se escribe
𝝎𝒅 = 𝝎𝒏 𝟏 − (𝒄𝐜 𝒄)
𝟐 (2.45)
Donde la constante c/𝒄𝒄 se conoce como factor de amortiguamiento.
Aun cuando el movimiento en realidad se repite, la constante 𝝎𝒅 se designa
comúnmente como frecuencia circular de la vibración amortiguada. Una sustitución similar a la utilizada en la sección 2.2 permite escribir la solución general de la sección (19.38) en la forma
𝑿 = 𝑿𝟎𝐞− 𝟐𝐦𝐜 𝐭𝐬𝐞𝐧(𝝎𝒅𝐭 + ∅) (2.46)
El movimiento definido por la ecuación (19.46) es vibratorio con amplitud decreciente (figura 19.11), y el intervalo de tiempo 𝒕𝒅 =
𝟐𝛑
𝝎𝒅 que separa dos puntos suspensivos donde la curva definida por la ecuación (19.46) toca una de las curvas limitantes mostradas en la figura 19.11.
De acuerdo con la ecuación con la ecuación (2.45), se observa que 𝝎𝒅 < 𝝎𝒏 y, por tanto, que 𝒕𝒅 es mayor que el periodo de vibración 𝒕𝒏 del sistema no amortiguado correspondiente.
26
Figura (19.11)
2.2.2.- vibraciones forzadas amortiguadas
Si el sistema considerado en la sección anterior se somete a una fuerza periódica
P de magnitud 𝑷 = 𝒑𝒎𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒇𝐭, la ecuación de movimiento se transforma en
𝒎𝒙 + 𝒄𝒙 + 𝒌𝒙 = 𝒑𝒎𝐬𝐞𝐧𝝎𝒇𝐭 (2.47)
La solución general de la ecuación (19.479) se obtiene al agregar una solución particular de ésta a la función complementaria o solución general de la ecuación homogénea (19.38). La función complementaria está dada por las ecuaciones
27
(19.42), (19.43) o (19.44), según sea el tipo de amortiguamiento considerado. Representa un movimiento transitorio que finalmente es amortiguado.
El interés en está sección se centra en la vibración de estado estable representada por una solución particular de la ecuación (6.47) de la forma.
𝒙𝒑𝒂𝒓𝒕 = 𝒙𝒎𝐬𝐞𝐧(𝝎𝒇𝐭 − 𝛗) (2.48)
Al sustituir 𝒙𝒑𝒂𝒓𝒕 por x en la ecuación (6.47), se obtiene
−𝒎𝝎𝒇𝟐𝒙
𝒎𝐬𝐞𝐧 𝝎𝒇𝐭 − 𝛗 + 𝐜𝝎𝒇𝒙𝒎𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒇𝐭 − 𝛗 + 𝐤𝒙𝒎𝐬𝐞𝐧(𝝎𝒇𝐭 − 𝛗)
= 𝐩𝒎𝐬𝐞𝐧𝝎𝒇𝐭
Si se hace 𝝎𝒇𝐭 − 𝛗 sucesivamente igual a 0 y a 𝜋/2 , se escribe 𝒄𝝎𝒇𝒙𝒎= 𝐩𝒎𝐬𝐞𝐧𝛗 (2.49)
𝒌 − 𝒎𝝎𝒇𝟐 𝒙
𝒎 = 𝐩𝒎𝐜𝐨𝐬𝛗 (2.50)
Si ambos miembros de las ecuaciones (19.49) y (19.50) se elevan al cuadrado y se suman, se obtiene
(𝒌 − 𝒎𝝎𝒇𝟐)𝟐+ (𝒄𝝎𝒇)𝟐 𝒙𝒎𝟐= 𝐏𝟐𝒎 (2.51)
Al resolver la ecuación (19.51) para 𝒙𝒎 y dividiendo las ecuaciones (2.49) y (2.50) miembro a miembro, se obtiene, respectivamente
𝒙𝒎= 𝑷𝒎
(𝑘 − 𝒎𝝎𝒇𝟐)𝟐+ (𝒄𝝎𝒇𝟐)𝟐
𝑡𝑎𝑛𝜑 = 𝒄𝝎𝒇
𝑘 − 𝒄𝝎𝒇𝟐 (2.52)
De acuerdo con la ecuación (2.4), como 𝑘
𝑚 = 𝝎𝒏
𝟐 donde 𝝎
𝒏 es la frecuencia
circular de la vibración libre no amortiguada, y de acuerdo con la (2.41),2𝑚𝝎𝒏 = 𝒄𝒄 , donde 𝒄𝒄 es el coeficiente de amortiguamiento crítico del sistema, se escribe
28 𝑿𝒎 𝑷𝒎/𝒌 = 𝑿𝒎 𝜹𝒎= 1 1−(𝝎𝒇/𝝎𝒏)𝟐 2 + (2𝑐 𝒄𝒄)(𝝎𝒇/𝝎𝒏) 2 (2.53) 𝑡𝑎𝑛𝜑 = 2𝑐 𝒄𝒄)(𝝎𝒇/𝝎𝒏 1−(𝝎𝒇/𝝎𝒏)𝟐 (2.45)
La formula (19.53) expresa el factor de amplificación en función de la razón de frecuencia 𝜔𝑓/𝜔𝑛 y del factor de amortiguación𝐶/𝐶𝑐. Se puede usar para determinar la amplitud de la vibración de estado estable producida por una fuerza aplicada de magnitud 𝑃 = 𝑃𝑚𝑠𝑒𝑛𝜔𝑓𝑡 o por el movimiento del apoyo aplicado𝛿 =
𝛿𝑚𝑠𝑒𝑛𝜔𝑓𝑡. La fórmula (19.54) define, en función de los mismos parámetros, la
diferencia de fase φ entre la fuerza aplicada o el movimiento del apoyo aplicado y la vibración de estado estable resultante del sistema amortiguado. En la figura 19.12, el factor de amplificación se grafico contra la razón de frecuencias para varios valores del factor de amortiguamiento. Se observa que la amplitud de una vibración forzada se puede mantener pequeña seleccionando un coeficiente grande de amortiguamiento viscoso
c
, o manteniendo alejadas las frecuencias natural y forzada.29
CAPITULO 3.-EJERCICIOS RESUELTOS
PROBLEMA RESUELTO 3.1
Un bloque de 50 Kg se desplaza entre guías verticales, como se muestra. Se tira del bloque 40 mm hacia debajo de su posición de equilibrio y se suelta. Para cada una de las disposiciones de los resortes, determínese el periodo de vibración, la velocidad y aceleración máximas del bloque.
SOLUCION
a. Resortes dispuestos en paralelo. En primer lugar, se determina la
constante 𝑘 de un solo resorte equivalente a los dos resortes mediante el cálculo
de la magnitud de la fuerza P requerida para producir una deflexión dada 𝛿. Como con una deflexión 𝛿 laas magnitudes de las fuerzas ejercidas por los resortes son, respectivamente, 𝑘1𝛿 y 𝑘2𝛿, se tiene
𝑃 = 𝑘1𝛿 + 𝑘2𝛿 = (𝑘1+ 𝑘2)𝛿
La constante 𝑘 del resorte equivalente es
𝑘 =𝑃 𝛿 = 𝑘1+ 𝑘2 = 4 𝑘𝑁 𝑚 + 6 𝑘𝑁 𝑚 = 10 𝑘𝑁 𝑚 = 10 4 𝑁 𝑚
30 𝜔𝑛2 = 𝑘 𝑚 = 104 𝑁 𝑚 50 𝐾𝑔 𝜔𝑛 = 14.14 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝜏𝑛 = 2𝜋/𝜔𝑛 𝜏𝑛 = 0.444 𝑠 Velocidad máxima: 𝑣𝑚 = 𝑥𝑚𝜔𝑛 = 0.040 𝑚 (14.14𝑟𝑎𝑑 𝑠 ) 𝑣𝑚 = 0.566 𝑚/𝑠 𝒗𝑚 = 0.566𝑚 𝑠 ↕ Aceleración máxima: 𝑎𝑚 = 𝑥𝑚𝜔𝑛2 = (0.040 𝑚)(14.14 𝑟𝑎𝑑 𝑠 ) 2 𝑎𝑚 = 8.00 𝑚/𝑠2 𝑎𝑚 = 8.00 𝑚/𝑠2 ↕
b. Resortes unidos en serie. En primer lugar, se determina la constante 𝑘 de un solo resorte equivalente a los dos resortes mediante el cálculo del alargamiento
total 𝛿 de los resortes sometidos a una carga estática dada 𝑷. Para facilitar el cálculo, se utiliza una carga estática de magnitud 𝑃 = 12 𝑘𝑁.
𝛿 = 𝛿1+ 𝛿2 = 𝑃 𝑘1+ 𝑃 𝑘2 = 12 𝑘𝑁 4 𝑘𝑁/𝑚+ 12 𝑘𝑁 6 𝑘𝑁/𝑚 = 5 𝑚 𝑘 =𝑃 𝛿 = 12 𝑘𝑁 5 𝑚 = 2.4 𝑘𝑁 𝑚 = 2400 𝑁 𝑚 Periodo de vibración: 𝜔𝑛2 = 𝑘 𝑚 = 2400 𝑁/𝑚 50 𝑘𝑔 𝜔𝑛 = 6.93 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝜏𝑛 = 2𝜋/𝜔𝑛 𝝉𝑛 = 0.907 𝑠 Velocidad máxima: 𝑣𝑚 = 𝑥𝑚𝜔𝑛 = 0.040 𝑚 (6.93 𝑟𝑎𝑑 𝑠 ) 𝑣𝑚 = 0.277 𝑚/𝑠 𝒗𝑛 = 0.277 𝑚/𝑠 ↕ Aceleración máxima: 𝑎𝑚 = 𝑥𝑚𝜔𝑛2 = 0.040 𝑚 (6.93𝑟𝑎𝑑 𝑠 ) 2 𝑎𝑚 = 1.920 𝑚/𝑠2 𝒂𝑚 = 1.920 𝑚/𝑠2 ↕
31
PROBLEMA RESUELTO 3.2
Un cilindro de peso 𝑊 y radio 𝑟 esta suspendido por una cuerda que le da la vuelta, como se muestra. Un extremo de la cuerda está atado directamente a un soporte rígido, mientras que el otro está atado a un resorte de constante 𝑘. Determínese el periodo y la frecuencia natural de las vibraciones del cilindro.
SOLUCION
Cinemática del movimiento. El desplazamiento lineal y la aceleración del
cilindro se expresan en función del desplazamiento angular 𝜃. Si el sentido positivo se selecciona como en el sentido de las manecillas del reloj y se miden los desplazamientos a partir de la posición de equilibrio, se escribe
𝑥 = 𝑟𝜃 𝛿 = 2𝑥 = 2𝑟𝜃
32
Ecuaciones de movimiento. El sistema de fuerzas externas que actúa
sobre el cilindro se compone del peso 𝑾 y de las fuerzas 𝑻𝟏 y 𝑻𝟐 ejercidas por la cuerda. Se dice que este sistema es equivalente al sistema de fuerzas efectivas (o inerciales) representando por el vector 𝑚𝒂 aplicado en 𝐺 y al par 𝐼𝜶.
+↙ 𝑀𝐴 = (𝑀𝐴)𝑒𝑓𝑓 𝑊𝑟 − 𝑇2 2𝑟 = 𝑚𝑎𝑟 + 𝐼𝛼 (2) Cuando el cilindro está en su posición de equilibrio, la tensión en la cuerda es 𝑇0 =1
2𝑊. Se observa que, para un desplazamiento angular 𝜃, la magnitud de 𝑻𝟐
es
𝑇2 = 𝑇0+ 𝑘𝛿 =1
2𝑊 + 𝑘𝛿 = 1
2𝑊 + 𝑘(2𝑟𝜃) (3)
Después de sustituir de (1) y (3) en (2), y puesto que 𝐼 =1
2𝑚𝑟 2, se puede escribir 𝑊𝑟 − 1 2𝑊 + 2𝑘𝑟𝜃 2𝑟 = 𝑚 𝑟𝜃 𝑟 + 1 2𝑚𝑟 2𝜃 𝜃 +8 3 𝑘 𝑚𝜃 = 0
Se ve que el movimiento es armónico simple y, por consiguiente,
𝜔𝑛2 = 8 3 𝑘 𝑚 𝜔𝑛 = 8 3 𝑘 𝑚 𝜏𝑛 = 2𝜋 𝜔𝑛 𝜏𝑛 = 2𝜋 3 8 𝑚 𝑘 𝑓𝑛 = 𝜔𝑛 2𝜋 𝑓𝑛 = 1 2𝜋 8 3 𝑘 𝑚
33
PROBLEMA RESUELTO 3.3
Determínese el periodo de las pequeñas oscilaciones de un cilindro de radio 𝑟 el cual rueda sin resbalarse dentro de una superficie curva de radio 𝑅.
SOLUCION
Si 𝜃 denota el angulo que la línea 𝑂𝐺 forma con la vertical, y puesto que el cilindro rueda sin resbalarse, se puede aplicar el principio de conservación de la energia entre la posición 1, donde 𝜃 = 𝜃𝑚, y la posición 2, donde 𝜃 = 0.
Posición 1
Energia cinética. Como la velocidad del cilindro es cero, 𝑇1 = 0
Energia potencial. Si se selecciona un plano de referencia como se
muestra y 𝑊 denota el peso del cilindro, se tiene
𝑉1 = 𝑊 = 𝑊 𝑅 − 𝑟 (1 − cos 𝜃)
Por tratarse de pequeñas oscilaciones 1 − cos 𝜃 = 2𝑠𝑒𝑛2 𝜃
2 ≈ 𝜃
2/2; por
consiguiente,
34
Posición 2. Si 𝜃 𝑚 denota la velocidad angular de la línea 𝑂𝐺 cuando el cilindro pasa por la posición 2, y se observa que le punto C es el centro de rotación instantáneo del cilindro, se escribe
𝑣𝑚 = (𝑅 − 𝑟)𝜃 𝑚 𝜔𝑚 = 𝑣𝑚 𝑟 = 𝑅−𝑟 𝑟 𝜃 𝑚 Energia cinética 𝑇2 =1 2𝑚𝑣𝑚 2 +1 2𝐼𝜔𝑚 2 𝑇2 = 1 2𝑚(𝑅 − 𝑟) 2𝜃 𝑚2 + 1 2 1 2𝑚𝑟 2 𝑅 − 𝑟 𝑟 2 𝜃 𝑚2 𝑇2 =3 4𝑚(𝑅 − 𝑟) 2𝜃 𝑚2 Energia potencial 𝑉2 = 0 Conservación de la energia 𝑇1+ 𝑉1 = 𝑇2+ 𝑉2 0 + 𝑊 𝑅 − 𝑟 𝜃𝑚 2 2 = 3 4𝑚 𝑅 − 𝑟 2𝜃 𝑚2 + 0 Como 𝜃𝑚 = 𝜃𝑚𝜔𝑛 y 𝑊 = 𝑚𝑔, se escribe 𝑚𝑔 𝑅 − 𝑟 𝜃𝑚2 2 = 3 4𝑚 𝑅 − 𝑟 2(𝜃 𝑚𝜔𝑛 )2 𝜔𝑛2 = 2 3 𝑔 𝑅−𝑟 𝜏𝑛 = 2𝜋 𝜔𝑛 𝜏𝑛 = 2𝜋 3 2 𝑅−𝑟 𝑔
35
PROBLEMA RESUELTO 3.4
Un motor de 350 lb esta sostenido por cuatro resortes con constante de 750 lb/in. Cada uno. El desbalanceo del rotor equivale a un peso de 1 oz localizado a 6 in. Del eje de rotación. Si el motor está restringido a moverse verticalmente, determínese a) la velocidad en rpm a la que ocurrirá la resonancia, b) la amplitud de la vibración del motor a 1200 rpm.
SOLUCION
a. Velocidad de resonancia. La velocidad de resonancia es igual a la
frecuencia circular natural 𝜔𝑛 (en rpm) de la vibración libre del motor. La masa de este y la constante equivalente de los resortes de sustentación son
𝑚 = 350 𝑙𝑏 32.2 𝑝𝑖𝑒/𝑠2 = 10.87 𝑙𝑏 ∗ 𝑠2/´𝑝𝑖𝑒 𝑘 = 4 750𝑙𝑏 𝑖𝑛 = 3000 𝑙𝑏 𝑝𝑖𝑒= 36000 𝑙𝑏 𝑝𝑖𝑒 𝜔𝑛 = 𝑘 𝑚= 36000 10.87 = 57.5 𝑟𝑎𝑑 𝑖𝑛 = 549 𝑟𝑝𝑚
36
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 = 549 𝑟𝑝𝑚
b. Amplitud de la vibración a 1200 rpm. La velocidad angular del motor y la
masa equivalente al peso de 1 oz son
𝜔 = 1200 𝑟𝑝𝑚 = 125.7 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑚 = 1 𝑜𝑧 1 𝑙𝑏 16 𝑜𝑧
1
32.2 𝑝𝑖𝑒/𝑠2 = 00.001941 𝑙𝑏 ∗ 𝑠2/𝑝𝑖𝑒
La magnitud de la fuerza centrifuga provocada por el desbalanceo del rotor es
𝑃𝑚 = 𝑚𝑎𝑛 = 𝑚𝑟𝜔2 = 0.001941 𝑙𝑏 ∗ 𝑠 𝑝𝑖𝑒 6 12𝑝𝑖𝑒 125.7 𝑟𝑎𝑑 𝑠 2 = 15.33 𝑙𝑏
La deflexión estática que una carga constante 𝑃𝑚 provocaría es 𝑃𝑚
𝑘 =
15.33 𝑙𝑏
3000 𝑙𝑏/𝑖𝑛 = 0.00511 𝑖𝑛
La frecuencia circular forzada 𝜔𝑓 del movimiento es la velocidad angular del motor, 𝜔𝑓 = 𝜔 = 125.7 𝑟𝑎𝑑/𝑠
Si sustituyen los valores de𝑃𝑚/𝑘, 𝜔𝑓 y 𝜔𝑛 en la ecuación (2.33), se obtiene
𝑥𝑚 = 𝑃𝑚/𝑘
1 − (𝜔𝑓/𝜔𝑛)2=
0.00511 𝑖𝑛
1 − (125.7/57.5)2= −0.001352 𝑖𝑛
𝑥𝑚 = 0.001352 𝑖𝑛 (𝑓𝑢𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒)
Nota. Como 𝜔𝑓 > 𝜔𝑛, la vibración esta 180° fuera de fase con la fuerza centrifuga
debida al desbalanceo del rotor. Por ejemplo, cuando la masa desbalanceada esta directamente debajo del eje de rotación, la posición del motor es 𝑥𝑚 = 0.001352 𝑖𝑛
37
CAPITULO 4.- CONCLUSIONES
2.3 resultados obtenidos
Los resultados obtenidos sobre estos temas son el haber conocido sobre los conceptos acerca de las vibraciones, se aprendió acerca de las formulas que se utilizan para resolver los problemas planteados y saber donde poder utilizarlo en la vida cotidiana.
2.4 Conclusiones
Para poder concluir con el tema de vibraciones con amortiguamiento y vibraciones sin amortiguamiento, se debe saber que estos temas se encuentran al nuestro alrededor como las estructuras las maquinas entre otras, y como ya se sabe sobre los temas de vibraciones se puede saber si las estructuras están bien diseñadas o las pueden corregir de algún modo que no le cueste tanto, por ello es importante aprender bien los conceptos.
38
BIBLIOGRAFIA
[1]Bedford-Fowler/Addison-Wesley. Mecanica para Ingeniero. Mc-graw-Hill. [2]Beer-Johston. Mecanica Vectorial para Ingenieros. Mc-Graw-Hill.
