8 FACTORIZACIÓN

F

F

F

F

 A

 A

 A

 A

C

C

C

C

T

T

T

T

O

O

O

O

R

R

R

R

I

I

I

I

Z

Z

Z

Z

A

A

A

A

C

C

C

C

I

I

I

I

Ó

Ó

Ó

Ó

N

N

N

N

DEFINICIÓN.-Es la operación que tiene por finalidad transformar

Es la operación que tiene por finalidad transformar

una expresión algebraica racional y entera en otra

una expresión algebraica racional y entera en otra

equivalente, que sea igual al

equivalente, que sea igual al producto de sus factoresproducto de sus factores

primos racionales y enteros. En general, factorizar

primos racionales y enteros. En general, factorizar

significa convertir una suma algebraica en un

significa convertir una suma algebraica en un

pro-ducto de factores.

ducto de factores.

MÉTODOS PARA FACTORIZAR

MÉTODOS PARA FACTORIZAR

(A) FACTOR COMÚN

(A) FACTOR COMÚN

De dos o más expresiones algebraicas, es la parte

De dos o más expresiones algebraicas, es la parte

numérica y/o literal que esté repetida en dichas

numérica y/o literal que esté repetida en dichas

expresiones. El factor común puede ser de tres tipos:

expresiones. El factor común puede ser de tres tipos:

1) Factor común monomio

1) Factor común monomio

2) Factor común polinomio

2) Factor común polinomio

3) Factor común por agrupación

3) Factor común por agrupación

A.1) FACTOR COMÚN MONOMIO.

A.1) FACTOR COMÚN MONOMIO.

Cuando el factor común a todos los términos

Cuando el factor común a todos los términos

del polinomio es un monomio.

del polinomio es un monomio.

Ejemplo: Factorizar:

Ejemplo: Factorizar:

72x

72x2a2a_yybb _{+ 48x+ 48x}a+1a+1_yyb+1b+1 _{+ 24x+ 24x}aa_yy2b2b

El f

El factor actor común común es es 24x24xaa_yybb_{, de esta manera:, de esta manera:}

72x

72x2a2a_yybb _{+ 48x+ 48x}a+1a+1_yyb+1b+1 _{+ 24x+ 24x}aa_yy2b2b

= 24x

= 24xaa_yybb _(3x(3xaa _{+ 2xy + y+ 2xy + y}bb₎₎

Explicación.-Explicación.-Para sacar el factor común monomio:Para sacar el factor común monomio:

en primer lugar se saca el coeficiente común (24),

en primer lugar se saca el coeficiente común (24),

a continuación, se saca las letras comunes

a continuación, se saca las letras comunes

afec-tadas por los menores exponentes (x

tadas por los menores exponentes (xaa_yybb_{), luego se), luego se}

divide cada término del polinomio entre el factor

divide cada término del polinomio entre el factor

común monomio y los resultados se escribe dentro

común monomio y los resultados se escribe dentro

del paréntesis.

del paréntesis.

A.2) FACTOR COMÚN POLINOMIO.

A.2) FACTOR COMÚN POLINOMIO.

Cuando el factor común que aparece es un

Cuando el factor común que aparece es un

polinomio. polinomio. Ejemplo: Factorizar: Ejemplo: Factorizar: (a + 1) (a + 1)77_(a(a22_{+ 1)+ 1)}1010_{- (a + 1)- (a + 1)}55 _(a(a22_{+ 1)+ 1)}1111 El factor común es (a + 1)

El factor común es (a + 1)55_(a(a22_{+ 1)+ 1)}1010_{, así:, así:}

(a + 1) (a + 1)77_(a(a22_{+ 1)+ 1)}1010 _{- (a + 1)- (a + 1)}55 _(a(a22_{+ 1)+ 1)}1111 = (a + 1) = (a + 1)55 _(a(a22_{+ 1)+ 1)}1010 _{[[(a + 1)(a + 1)}22 _{- (a- (a}22_{+ 1)+ 1)]]} efectuando: efectuando: = (a + 1) = (a + 1)55 _(a(a22_{+ 1)+ 1)}1010 _[[aa22_{+ 2a + 1 - a+ 2a + 1 - a}22_{- 1- 1]]} = (a + 1) = (a + 1)55 _(a(a22_{+ 1)+ 1)}1010 _(2a)(2a) Luego: Luego: (a + 1) (a + 1)77 _(a(a22_{+ 1)10 - (a + 1)+ 1)10 - (a + 1)}55 _(a(a22 _{+ 1)+ 1)}1111 = 2a(a + 1) = 2a(a + 1)55 _(a(a22_{+ 1)+ 1)}1010

A.3) FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN.

A.3) FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN.

Cuando no hay un factor común a

Cuando no hay un factor común a todos los tér-todos los

tér-minos del polinomio.

minos del polinomio.

Ejemplo: Factorizar

Ejemplo: Factorizar

x

Efectuando operaciones:

Efectuando operaciones:

x

xmm_xxnn _{+ y+ y}mm_yynn _{+ x+ x}mm_yymm _{+ x+ x}nn_yynn

No hay factor monomio ni polinomio, por lo

No hay factor monomio ni polinomio, por lo

tanto se agrupa términos de 2 en 2:

tanto se agrupa términos de 2 en 2:

(x

(xmm_xxnn _{+ x+ x}mm_yymm_{) + (y) + (y}mm_yynn _{+ x+ x}nn_yynn₎₎

sacando factores comunes en cada paréntesis:

sacando factores comunes en cada paréntesis:

x

xmm_(x(xnn_{+ y+ y}mm_{) ) + + yy}nn _(y(ymm_{+ x+ x}nn₎₎

sacando el factor común binomio:

sacando el factor común binomio:

(x (xnn_{+ y+ y}mm_{) (x) (x}mm_{+ y+ y}nn₎₎

EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIOS RESUELTOS

1.-1.- Factorizar:Factorizar: E =(x+3)(x+2)(x+1) + (x+2)(x+1) + (x+1) E =(x+3)(x+2)(x+1) + (x+2)(x+1) + (x+1) Solución: Solución:

Extrayendo factor común (x + 1)

Extrayendo factor común (x + 1)

E = (x + 1) E = (x + 1) [[(x + 3)(x + 2) + (x + 2) +1(x + 3)(x + 2) + (x + 2) +1]] efectuando: efectuando: E = (x + 1)[x E = (x + 1)[x22_{+ 5x + 6 + x + 2 + 1]+ 5x + 6 + x + 2 + 1]} E = (x + 1)(x E = (x + 1)(x22_{+ 6x + 9)+ 6x + 9)} E = (x + 1)(x + 3) E = (x + 1)(x + 3)22 2.-2.- Factorizar:Factorizar: E = (x + y) E = (x + y)99_{(x - y)(x - y)}55 _{- (x- (x}22_{- y- y}22₎₎77 Solución: Solución: Transformemos previamente: Transformemos previamente: (x (x22_{- y- y}22₎₎77 _{== [[(x + y)(x - y)(x + y)(x - y)]]}77 _{= (x + y)= (x + y)}77 _{(x - y)(x - y)}77 De este modo: De este modo: E = (x + y) E = (x + y)99 _{(x - y)(x - y)}55 _{- (x + y)- (x + y)}77 _{(x - y)(x - y)}77

extrayendo factor común (x + y)

extrayendo factor común (x + y)77_{(x - y)(x - y)}55_::

E = (x + y)

E = (x + y)77 _{(x - y)(x - y)}55 _{[[(x + y)(x + y)}22 _{- (x - y)- (x - y)}22_]]

efectuando por Legendre:

efectuando por Legendre:

E = (x + y) E = (x + y)77_{(x - y)(x - y)}55 _{[[4(x . y)4(x . y)]]} finalmente: finalmente: E = 4xy(x + y) E = 4xy(x + y)77_{(x - y)(x - y)}55 3.-3.- Factorizar:Factorizar: E = (x + 1) E = (x + 1)44_{+ (x + 2)+ (x + 2)}33_{+(x + 3)+(x + 3)}22_{- 7(x + 2) + 2- 7(x + 2) + 2} Solución: Solución: Haciendo x + 1 = a, se obtiene: Haciendo x + 1 = a, se obtiene: E = a E = a44 _{+ (a + 1)+ (a + 1)}33 _{+ (a + 2)+ (a + 2)}22 _{- 7(a + 1) + 2- 7(a + 1) + 2} operando: operando: E = a E = a44_{+ a+ a}33_{+ 3a+ 3a}22 _{+ 3a + 1 + a+ 3a + 1 + a}22 + 4a + + 4a + 4 - 7a 4 - 7a -7 -7 + 2+ 2 simplificando: simplificando: E = a E = a44 _{+ a+ a}33 _{+ 4a+ 4a}22 factorizando: factorizando: E = a E = a22_(a(a22 _{+ a + 4)+ a + 4)} reponiendo el valor de a: reponiendo el valor de a: E = (x + 1) E = (x + 1)22_{[[(x + 2)(x + 2)}22 _{+ (x + 1) + 4+ (x + 1) + 4]]} efectuando: efectuando: E = (x + 1) E = (x + 1)22_[x[x22_{+ 2x + 1 + x + 1 + 4]+ 2x + 1 + x + 1 + 4]} E = (x + 1) E = (x + 1)22_(x(x22_{+ 3x + 6)+ 3x + 6)} 4.-4.- Factorizar:Factorizar: E = x E = xyy_yyxx_{+ xy +x+ xy +x}y+1y+1 _{+ y+ y}x+1x+1 Solución: Solución:

Agrupando en forma adecuada:

Agrupando en forma adecuada:

E = (x

E = (xyy_yyxx _{+ x+ x}y+1y+1_{) + (y) + (y}x+1x+1 _{+ xy)+ xy)}

extrayendo factor común en cada agrupación:

extrayendo factor común en cada agrupación:

E = x

E = xyy_(y(yxx _{+ x) + y(y+ x) + y(y}xx _{+ x)+ x)}

el paréntesis es un factor común, luego:

el paréntesis es un factor común, luego:

E = (y

5.-5.- Factorizar:Factorizar:

 )

 )

)

)

E = x E = x66_{y y + + xx}44_zz33 _{- - xx}66_{z z + y+ y}66_{zz - x- x}44_yy22_{zz - x- x}22_yy55

(

(

–––––––– –– ––––_{––––––––}––––

(

(

- y - y44_zz33 _{+ x+ x}22_yy44_zz –––– ––––– –––– ––––– – ––––––––––– Solución: Solución:

Agrupemos los que tienen igual señal y

Agrupemos los que tienen igual señal y extraigamosextraigamos

factores comúnes: factores comúnes: E = E =xx22_y(xy(x44 _{- - yy}44_{))++ zz}33_(x(x44_{- - yy}44_{))-- xx}22_z(xz(x44_{-- yy}44₎₎ - y - y22_z(xz(x44_{- y- y}44₎₎

extrayendo factor común al

extrayendo factor común al polinomio:polinomio:

E

E = = (x(x44_{- y- y}44_)(x)(x22_{y + zy + z}33_{- x- x}22_{z - yz - y}22_z)z)

agrupando al interior del

agrupando al interior del segundo paréntesis:segundo paréntesis:

E = (x

E = (x44_{- y- y}44_))[[xx22_{(y - z) - z(y(y - z) - z(y}22_{- z- z}22_))]]

E = (x

E = (x22_{+ y+ y}22_)(x)(x22_{- y- y}22_))[[xx22_{(y - z) - z(y + z)(y - z)(y - z) - z(y + z)(y - z)]]}

finalmente:

finalmente:

E = (x

E = (x22_{+ y+ y}22_{)(x + y)(x - y)(y - z)(x)(x + y)(x - y)(y - z)(x}22_{- zy - z- zy - z}22₎₎

6.-6.- Factorizar:Factorizar: E = (a + b + c)(ab + ac + bc) - abc E = (a + b + c)(ab + ac + bc) - abc Solución: Solución: Agrupemos covenientemente: Agrupemos covenientemente: E =

E = [[(a + b) + c(a + b) + c] [] [c(a + b) + abc(a + b) + ab]] - abc- abc

E = c(a + b)

E = c(a + b)22_{+ abc + c+ abc + c}22_{(a + b) + ab(a + b) - abc(a + b) + ab(a + b) - abc}

E = c(a + b)

E = c(a + b)22 _{+ c+ c}22_{(a + b) + ab(a + b)(a + b) + ab(a + b)}

factorizando:

factorizando:

E = (a + b)(ac + bc + c

E = (a + b)(ac + bc + c22 _{+ ab)+ ab)}

agrupando nuevamente:

agrupando nuevamente:

E = (a + b)

E = (a + b) [[c(a + c) + b(a + c)c(a + c) + b(a + c)]]

factorizando dentro del corchete:

factorizando dentro del corchete:

E = (a + b)(a + c)(b + c)

E = (a + b)(a + c)(b + c)

7.-7.- Factorizar:Factorizar:

E = 1 + xy + a(x + y) - (xy + 1)a - x - y

E = 1 + xy + a(x + y) - (xy + 1)a - x - y

Solución:

Solución:

Agrupando:

Agrupando:

E =

E =[[(1 + xy) - (1 + xy)a(1 + xy) - (1 + xy)a]] ++ [[a(x + y) - (x + y)a(x + y) - (x + y)]]

extrayendo factor común en cada

extrayendo factor común en cada corchetcorchete:e:

E = (1 + xy) (1 - a) - (x + y)(1 - a) E = (1 + xy) (1 - a) - (x + y)(1 - a) factorizando (1 - a): factorizando (1 - a): E = (1 - a)(1 + xy - x - y) E = (1 - a)(1 + xy - x - y) E = (1 - a) E = (1 - a)[[(1 - x) - (y - xy)(1 - x) - (y - xy)]] E = (1 - a) E = (1 - a)[[(1 - x) - y(1 - x)(1 - x) - y(1 - x)]] finalmente: finalmente: E = (1 - a)(1 - x)(1 - y) E = (1 - a)(1 - x)(1 - y) 8.-8.- Factorizar:Factorizar: (z - x - y)(2a - b) - (x + y - z)(a + 2b) (z - x - y)(2a - b) - (x + y - z)(a + 2b) Solución: Solución:

Se observa que un factor tiene signo diferente que

Se observa que un factor tiene signo diferente que

el otro, factorizando el signo:

el otro, factorizando el signo:

(z x y)(2a b)

-(z - x - y)(2a - b) - [[-(z - x - y)-(z - x - y)]](a + 2b)(a + 2b)

efectuando los signos y

efectuando los signos y quitando corchetquitando corchetes:es:

(z -x -y)(2a - b) + (z - x - y)(a + 2b) (z -x -y)(2a - b) + (z - x - y)(a + 2b) factorizando: factorizando: (z - x - y)(2a - b + a + 2b) (z - x - y)(2a - b + a + 2b) (z - x - y)(3a + b) (z - x - y)(3a + b) 9.-9.- Factorizar:Factorizar: E = bd(a E = bd(a22_{+ + cc}22_{) ) ++ bbcc((aa}22 _{++ dd}22_{) +) + aadd((bb}22_++cc22₎₎ + ac(b + ac(b22_{+ + dd}22₎₎ Solución: Solución: Efectuando operaciones: Efectuando operaciones: E = E = aa22_{bd + bcbd + bc}22_{d + ad + a}22_{bc + bcdbc + bcd}22 _{+ ab+ ab}22_dd – ––––––– ––––––––

(

(

–––– –––– –––– –––– + + acac22_{d + abd + ab}22_{c + acdc + acd}22 –––– ––––

₍

₍

_–

_–

_–

_–

_–

_–

Factorizando por pares, como se indica:

Factorizando por pares, como se indica:

E = a

E = a22_{b(b(dd++c)c)+ bc+ bcd(d(cc++d) d) + + abab}22_{(d+c)+acd(c+d)(d+c)+acd(c+d)}

extrayendo factor común:

extrayendo factor común:

E = (d + c) (a

E = (d + c) (a22_{+ bcd + ab+ bcd + ab}22_{+ acd)+ acd)}

factorizando por pares:

factorizando por pares:

E = (d + c) [ab(a + b) + cd(b + a)] E = (d + c) [ab(a + b) + cd(b + a)] factorizando (a + b): factorizando (a + b): E = (d + c)(a + b)(ab + cd) E = (d + c)(a + b)(ab + cd) E = (a + b)(c + d)(ab + cd) E = (a + b)(c + d)(ab + cd) 10.-10.- Factorizar:Factorizar: E = (a + b + c) E = (a + b + c)33 _{- a- a}33 _{- b- b}33 _{- c- c}33 Solución: Solución: Agrupando: Agrupando: E = E = [[(a + b) + c(a + b) + c]]33 _{- a- a}33 _{- b- b}33 _{- c- c}33 Efectuando el

Efectuando el corchetcorchete:e:

E =(a + b)

E =(a + b)33 _{+ 3(a + b)+ 3(a + b)}22_{c + 3(a + b)cc + 3(a + b)c}22

+ c

+ c33 _{- a- a}33 _{- b- b}33 _{- c- c}33

efectuando:

efectuando:

E = a

E = a33 _{+ + bb}33_{++ 3a3a}22_{bb + + 33aabb}22 _{+3(a+b)+3(a+b)}22_{c + 3(a+b)cc + 3(a+b)c}22

+ c

+ c33 _-a-a33 _{- b- b}33 _{- c- c}33

reduciendo:

reduciendo:

E = 3ab(a + b) + 3(a + b)

E = 3ab(a + b) + 3(a + b)22_{c + 3(a + b)cc + 3(a + b)c}22

factorizando:

factorizando:

E = 3(a + b)

E = 3(a + b) [[ab ab + c(a + c(a + b) + b) + c+ c22_))]]

efectuando:

efectuando:

E = 3(a + b)(ab + ac + bc +c

E = 3(a + b)(ab + ac + bc +c22₎₎

factorizando por pares:

factorizando por pares:

E = 3(a + b)

E = 3(a + b) [[a(b + c) + c(b + c)a(b + c) + c(b + c)]]

factorizando (b + c): factorizando (b + c): E = 3(a + b)(b + c)(a + c) E = 3(a + b)(b + c)(a + c)

(B) MÉTODO DE IDENTIDADES

(B) MÉTODO DE IDENTIDADES

B.1) DIFERENCIA DE CUADRADOS. B.1) DIFERENCIA DE CUADRADOS.

Es una diferencia de dos cuadrados perfectos.

Es una diferencia de dos cuadrados perfectos.

Para factorizar

Para factorizar, se , se extrae la raíz extrae la raíz cuadrada de loscuadrada de los

cuadrados perfectos y se forma un producto de

cuadrados perfectos y se forma un producto de

la suma de las raíces multiplicada por la

la suma de las raíces multiplicada por la

difer-encia de ellas. En general:

encia de ellas. En general:

a

a2m2m _{- b- b}2n2n _{= (a= (a}mm _{+ b+ b}nn_{) (a) (a}mm _{- b- b}nn₎₎

B.2) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

B.2) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. Se caracteriza por:

Se caracteriza por:

1)

1)Tener 2 términos que son cuadrados perfectos.Tener 2 términos que son cuadrados perfectos.

2)

2) El otro término es el doble producto de lasEl otro término es el doble producto de las

raíces cuadradas de los cuadrados perfectos.

raíces cuadradas de los cuadrados perfectos.

3)

3) Los cuadrados perfectos siempre deben tenerLos cuadrados perfectos siempre deben tener

signo positivo.

signo positivo.

El trinomio de estos caracteres se reduce a un

El trinomio de estos caracteres se reduce a un

binomio al cuadrado así:

binomio al cuadrado así:

a

a2m2m _{±± 2a2a}mm_bbnn _{+ b+ b}2n2n _{= (a= (a}mm_{±± bb}nn₎₎22

B.3) SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS.

B.3) SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS.

Se caracterizan por tener 2 cubos perfectos. Para

Se caracterizan por tener 2 cubos perfectos. Para

factorizar se recuerda el producto notable, así:

factorizar se recuerda el producto notable, así:

a a3m3m _{+ b+ b}3n3n _{= (a= (a}mm_{+ b+ b}nn_)(a)(a2m2m_{- a- a}mm_bbnn_{+ b+ b}2n2n₎₎ a a3m3m _{- - bb}3n3n _{= (a= (a}mm_{- b- b}nn_)(a)(a2m2m _{+ a+ a}mm_bbnn_{+ b+ b}2n2n₎₎

EJERCICIO RESUELTOS

EJERCICIO RESUELTOS

1.-1.- Factorizar:Factorizar: E = x E = x44 _{+ y+ y}44 _{+ 2xy(x+ 2xy(x}22_{+ y+ y}22_{) + 3x) + 3x}22_yy22 Solución: Solución:

Se puede reescribir como:

Se puede reescribir como:

E = (x

E = (x44_{+ y+ y}44_{+ 2x+ 2x}22_yy22_{) ) + + 2xy(x2xy(x}22_{+ y+ y}22_{) + x) + x}22_yy22

factorizando el trinomio cuadrado perfecto:

factorizando el trinomio cuadrado perfecto:

E = (x

toda la expresión es un trinomio cuadrado

toda la expresión es un trinomio cuadrado

per-fecto, así: fecto, así: E = E = [[(x(x22_{+ y+ y}22_{) + xy) + xy]]}22 E = (x E = (x22_{+ xy + y+ xy + y}22₎₎22 2.-2.- Factorizar:Factorizar: E = x E = x66 _{+ 2x+ 2x}55 _{- 3x- 3x}44 _{+ 4x+ 4x}22 _{- 1- 1} Solución: Solución: Descomponiendo -3x

Descomponiendo -3x44_{, así:, así:}

-3x -3x44 _{= x= x}44 _{- 4x- 4x}44 y, reemplazando se obtiene: y, reemplazando se obtiene: E = x E = x66 _{+ 2x+ 2x}55 _{+ x+ x}44 _{- 4x- 4x}44 _{+ 4x+ 4x}22 _{- 1- 1} agrupando: agrupando: E = (x E = (x66_{+ 2x+ 2x}55_{+ x+ x}44_{) - (4x) - (4x}44_{- 4x- 4x}22_{+ 1)+ 1)}

factorizando los trinomios cuadrados perfectos:

factorizando los trinomios cuadrados perfectos:

E = (x

E = (x33_{+ x+ x}22₎₎22_{- (2x- (2x}22_{- 1)- 1)}22

ésta es una diferencia de cuadrados, luego:

ésta es una diferencia de cuadrados, luego:

E = (x E = (x33_{+ x+ x}22_{+ 2x+ 2x}22_{- 1) (x- 1) (x}33_{+ x+ x}22_{- 2x- 2x}22_{+ 1)+ 1)} finalmente: finalmente: E = (x E = (x33_{+ 3x+ 3x}22_{- 1) (x- 1) (x}33 _-x-x22_{+ 1)+ 1)} 3.-3.- Factorizar:Factorizar: E = (a E = (a22_{+ b+ b}22_{- c- c}22_{- d- d}22₎₎22 _{- 4(ab + cd)- 4(ab + cd)}22 Solución: Solución:

Es una diferencia de cuadrados, luego se

Es una diferencia de cuadrados, luego se

transfor-ma en el producto de una sutransfor-ma por una

ma en el producto de una suma por una diferencia:diferencia:

E =

E = [[(a(a22_{+ b+ b}22_{- c- c}22_{- d- d}22_{) + 2(ab + cd)) + 2(ab + cd)]]}

[

[(a(a22_{+ b+ b}22_{- c- c}22_{- d- d}22_{) - 2(ab + cd)) - 2(ab + cd)]]}

reord

reordenando los términos enando los términos dentro de cada dentro de cada corchcorchete:ete:

E =

E = [[(a(a22_{+ 2ab + b+ 2ab + b}22_{) - (c) - (c}22_{- 2cd + d- 2cd + d}22_))]]

[

[(a(a22 _{- 2ab + b- 2ab + b}22_{) - (c) - (c}22_{+ 2cd + d+ 2cd + d}22_))]]

reduciend

reduciendo los o los trinomios cuadrados perfectos:trinomios cuadrados perfectos:

E =

E = [[(a + b)(a + b)22 _{- (c - d)- (c - d)}22_{][][(a - b)(a - b)}22 _{- (c + d)- (c + d)}22_]]

factorizando las diferencias de cuadrados:

factorizando las diferencias de cuadrados:

E =

E = [[( a+ b) + (c - d)( a+ b) + (c - d)][][(a + b) - (c - d)(a + b) - (c - d)]]

[

[(a - b) + (c + d)(a - b) + (c + d)][][(a - b) - (c + d)(a - b) - (c + d)]]

E

E == ((a+ba+b+c-d)+c-d)((a+ba+b-c-c+d)+d)((a-a-b+b+c+c+dd))((a-a-b-b-c-c-dd))

4.-4.- Factorizar:Factorizar: E = (a + b) E = (a + b)77 _{+ c+ c}33_{(a + b)(a + b)}44 _{- c- c}44_{(a + b)(a + b)}33 _{- c- c}77 Solución: Solución: Haciendo (a + b) = x: Haciendo (a + b) = x: E = x E = x77 _{+ c+ c}33_xx44 _{- c- c}44_xx33 _{- c- c}77

agrupando por parejas:

agrupando por parejas:

E = x E = x44_(x(x33_{+ c+ c}33_{) - c) - c}44_(x(x33_{+ c+ c}33₎₎ factorizando (x factorizando (x33_{+ c+ c}33_):): E = (x E = (x33_{+ c+ c}33_{) (x) (x}44_{- c- c}44₎₎ desarrolland

desarrollando cada o cada paréntesis:paréntesis:

E = (x + c) (x

E = (x + c) (x22_{- xc + c- xc + c}22_)(x)(x22_{+ c+ c}22_{) (x + c)(x - c)) (x + c)(x - c)}

reponiendo el valor de x:

reponiendo el valor de x:

E =

E = ((aa+b+b++cc))[[(a+b)(a+b)22_{- (a+b)c+c- (a+b)c+c}22_{][][(a+b)(a+b)}22_{++ cc}22_]]

(a + b + c)(a + b - c) (a + b + c)(a + b - c) E E = = ((aa ++ b + cb + c))22_{((a a + b + b -- cc))[[(a + b)(a + b)}22_++cc22_{][][(a + b)(a + b)}22 - (a + b)c + c - (a + b)c + c22 _]] 5.-5.- Factorizar:Factorizar: E = (x + y) E = (x + y)33 _{+ 3xy(1 - x - y) - 1+ 3xy(1 - x - y) - 1} Solución: Solución:

Factorizando el signo en el paréntesis:

Factorizando el signo en el paréntesis:

E = (x + y) E = (x + y)33 _{+ 3xy+ 3xy[[-(x + y - 1)-(x + y - 1)]] - 1- 1} quitando el corchete: quitando el corchete: E = (x + y) E = (x + y)33 _{- 3xy(x + y -1) - 1- 3xy(x + y -1) - 1}

agrupando:

agrupando:

E =

E =[[(x + y)(x + y)33 _{-1-1]] - 3xy(x + y - 1)- 3xy(x + y - 1)}

factorizando la diferencia de cubos

factorizando la diferencia de cubos en el en el corchcorcheteete

y luego

y luego desarrollando:desarrollando:

E =

E =[[(x+y)-1(x+y)-1][][(x+y)(x+y)22_{+(x+y)+1+(x+y)+1]]-3xy(x+y-1)-3xy(x+y-1)}

E =

E = (x + (x + y - 1y - 1)(x)(x22_{+ 2xy + y+ 2xy + y}22_{+ x + y + 1 - 3xy)+ x + y + 1 - 3xy)}

E = (x + y - 1)(x E = (x + y - 1)(x22_{- xy + y- xy + y}22_{+ x + y + 1)+ x + y + 1)} 6.-6.- Factorizar:Factorizar: E = (z E = (z22_{- y- y}22₎₎22_(x(x22_{- a- a}22_{) + 4x) + 4x}22_yy22_zz22 Solución: Solución:

Efectuando el cuadrado indicado:

Efectuando el cuadrado indicado:

E = (z E = (z44_{- 2z- 2z}22_yy22_{+ y+ y}44_)(x)(x22_{- a- a}22_{) + 4x) + 4x}22_yy22_zz22 E = z E = z44_xx22_{- 2x- 2x}22_yy22_zz22_{+ x+ x}22_yy44_{- a- a}22_zz44_{+ 2a+ 2a}22_yy22_zz22 - a - a22_yy44_{+ 4x+ 4x}22_yy22_zz22 reduciendo y agrupando: reduciendo y agrupando: E = (z E = (z44_xx22_{+ 2x+ 2x}22_yy22_zz22_{+ x+ x}22_yy44_{) - (a) - (a}22_zz44_{- 2a- 2a}22_yy22_zz22_{+ a+ a}22_yy44₎₎

cada paréntesis es un cuadrado perfecto, que es

cada paréntesis es un cuadrado perfecto, que es

igual a:

igual a:

E = (z

E = (z22_{x + xyx + xy}22₎₎22 _{- (az- (az}22_{- ay- ay}22₎₎22

Es una diferencia de cuadrados que se puede

Es una diferencia de cuadrados que se puede

escribir así: escribir así: E = (z E = (z22_{x + xyx + xy}22_{+ az+ az}22_{- ay- ay}22_)(z)(z22_{x + xyx + xy}22_{- az- az}22_{+ ay+ ay}22₎₎ 7.-7.- Factorizar:Factorizar: E = 2(x E = 2(x44_{+ y+ y}44_{+ z+ z}44_{) - (x) - (x}22_{+ y+ y}22_{+ z+ z}22₎₎22 - 2(x + y + z) - 2(x + y + z)22_(x(x22_{+ y+ y}22_{+ z+ z}22_{) - (x + y + z)) - (x + y + z)}44 Solución: Solución: Sumando y restando (x Sumando y restando (x22_+y+y22_+z+z22₎₎22_:: E = 2(x E = 2(x44_{+ y+ y}44_{+ z+ z}44_{) - 2(x) - 2(x}22_{+ y+ y}22_{+ z+ z}22₎₎22 + + [[(x(x22_{+ y+ y}22_{+ z+ z}22₎₎22_{- 2(x + y + z)- 2(x + y + z)}22_(x(x22_{+ y+ y}22_{+ z+ z}22₎₎ + (x + y + z) + (x + y + z)44_]]

El corchete es el desarrollo de un binomio al

El corchete es el desarrollo de un binomio al

cuadrado, luego: cuadrado, luego: E = 2(x E = 2(x44_{+ y+ y}44_{+ z+ z}44_{) - 2(x) - 2(x}22_{+ y+ y}22_{+ z+ z}22₎₎22 + + [[(x(x22_{+ y+ y}22_{+ z+ z}22_{) - (x + y + z)) - (x + y + z)}22_]]22

factorizando 2 y efectuando el segundo

factorizando 2 y efectuando el segundo

parénte-sis fuera y dentro del corchete:

sis fuera y dentro del corchete:

E = 2(x E = 2(x44_{+ y+ y}44_{+ z+ z}44_{- x- x}44_{- y- y}44_{- z- z}44_{- 2x- 2x}22_yy22_-2x-2x22_zz22 - 2y - 2y22_zz22_{) +) + [[xx}22_{+ y+ y}22_{+ z+ z}22_{- x- x}22_{- y- y}22_{- z- z}22 - 2xy - 2xz - 2yz - 2xy - 2xz - 2yz]]22 reduciendo: reduciendo: E = -4(x E = -4(x22_yy22_{+ x+ x}22_zz22_{+ y+ y}22_zz22_{) + 4) + 4[[xy + xz + yzxy + xz + yz]]}22

nótese que el signo en el corchete se elimina

nótese que el signo en el corchete se elimina

debido al cuadrado. Factorizando 4:

debido al cuadrado. Factorizando 4:

E = 4

E = 4[[(xy + xz + yz)(xy + xz + yz)22 _{- (x- (x}22_yy22_{+ x+ x}22_zz22_{+ y+ y}22_zz22_))]]

efectuando:

efectuando:

E = 4

E = 4[[xx22_yy22_{+ x+ x}22_zz22_{+ y+ y}22_zz22_{+ 2x+ 2x}22_{yx + 2xyyx + 2xy}22_{z z + + 2xyz2xyz}22

- x

- x22_yy22_{- x- x}22_zz22_{- y- y}22_zz22_]]

reduciendo:

reduciendo:

E = 4

E = 4[[2x2x22_{yz + 2xyyz + 2xy}22_{z + 2xyzz + 2xyz}22_]]

factorizando, finalmente: factorizando, finalmente: E = 8xyz(x + y + z) E = 8xyz(x + y + z) 8.-8.- Factorizar:Factorizar: E =(x E =(x66_{+ x+ x}55_{+ x+ x}44_{+ x+ x}33_{+ x+ x}22_{+ x + 1)+ x + 1)}22 _{- x- x}66 Solución: Solución: Factorizando la diferencia de

Factorizando la diferencia de cuadrados:cuadrados:

E = (x

E = (x66_{+ x+ x}55_{+ x+ x}44_{+ x+ x}33_{+ x+ x}22_{+ x + 1 + x+ x + 1 + x}33₎₎

(x

(x66_{+ x+ x}55_{+ x+ x}44_{+ x+ x}33_{+ x+ x}22_{+ x + 1-x+ x + 1-x}33₎₎

reduciendo y agrupando convenientemente:

reduciendo y agrupando convenientemente:

E =

E =[[(x(x66_{+ 2x+ 2x}33_{+ 1) + (x+ 1) + (x}55_{+ x+ x}22_{) + (x) + (x}44_{+ x)+ x)]]}

[

factorizando sucesivamente: factorizando sucesivamente: E = E = [[(x(x33_{+ 1)+ 1)}22_{+ x+ x}22_(x(x33_{+ 1) + x(x+ 1) + x(x}33_{+ 1)+ 1)]]} [ [xx44_(x(x22_{+ x + 1) + (x+ x + 1) + (x}22_{+ x + 1)+ x + 1)]]} E = (x E = (x33_{+ 1)(x+ 1)(x}33_{+ 1 + x+ 1 + x}22_{+ x)(x+ x)(x}22_{+ x + 1)(x+ x + 1)(x}44_{+ 1)+ 1)} E = (x + 1)(x E = (x + 1)(x22_{- x + 1)- x + 1)[[x(xx(x}22_{+ 1) + (x+ 1) + (x}22_{+ 1)+ 1)]]} (x (x22_{+ x + 1)(x+ x + 1)(x}44_{+ 1)+ 1)} E = (x + 1)(x E = (x + 1)(x22_{--x +1)(x +1)(xx}22_{+1)(x+1)(x+1)(x+1)(x}22_{++x + 1x + 1))} (x (x44_{+ 1)+ 1)} E = (x +1) E = (x +1)22_(x(x22_+1)(x+1)(x22_{+ x +1)(x+ x +1)(x}22_{+ x +1)(x+ x +1)(x}44_{+ 1)+ 1)} 9.-9.- Factorizar:Factorizar: E = ab E = ab22_cc44_{- a- a}44_bb22_{c + ac + a}22_bb44_{c - ac - a}22_bcbc44_{+ a+ a}44_bcbc22_{- ab- ab}44_cc22 Solución: Solución:

Agrupando y factorizando por parejas:

Agrupando y factorizando por parejas:

E = ab

E = ab22_cc22_(c(c22_{- b- b}22_{) + a) + a}44_{bc(c - b) - abc(c - b) - a}22_bc(cbc(c33_{- b- b}33₎₎

descomponiendo en sus factores, diferencia de

descomponiendo en sus factores, diferencia de

cuadrados y diferencia de cubos:

cuadrados y diferencia de cubos:

E = ab E = ab22_cc22_{(c + b)(c - b) + a(c + b)(c - b) + a}44_{bc(c - b)bc(c - b)} - a - a22_{bc(c - b)(cbc(c - b)(c}22_{+ cb + b+ cb + b}22₎₎ factorizando: factorizando: E = abc(c - b)(bc

E = abc(c - b)(bc22_{+ b+ b}22_{c + ac + a}33_{- ac- ac}22_{- acb - ab- acb - ab}22₎₎

–

––– _––––––_–––––– ––_–––––_– –––– _––––_––––_–––_{– ––}––––_–– –

––– ––––

agrupando por parejas en la forma señalada:

agrupando por parejas en la forma señalada:

E = E = ababc(c(cc--b)b)[[cc22_{((bb--aa)+)+ bbcc((b-b- aa)-)-aa((b+b+aa))((b-b-aa))]]} factorizando (b - a) en el corchete: factorizando (b - a) en el corchete: E = abc(c - b)(b - a)(c E = abc(c - b)(b - a)(c22_{+ bc - ab - a+ bc - ab - a}22₎₎ agrupando y factorizando en el

agrupando y factorizando en el tercer paréntesis:tercer paréntesis:

E = abc(c - b)(b - a) [(c + a)(c - a) + b(c - a)]

E = abc(c - b)(b - a) [(c + a)(c - a) + b(c - a)]

finalmente:

finalmente:

E = abc(c - b)(b - a)(c - a)(a + b + c)

E = abc(c - b)(b - a)(c - a)(a + b + c)

10.-10.-Factorizar :Factorizar : E = x E = x33_(x(x33_{+ 2y+ 2y}22_{- x) + y(y- x) + y(y}33_{- 2x- 2x}22_{- y)- y)} Solución: Solución: Efectuando: Efectuando: E = x E = x66 _{+ 2x+ 2x}33_yy22 _{- x- x}44 _{+ y+ y}44 _{- 2x- 2x}22_{y - yy - y}22 efectuando: efectuando: E = (x E = (x66_{+ 2x+ 2x}33_yy22_{+ y+ y}44_{) - (x) - (x}44_{+ 2x+ 2x}22_{y + yy + y}22₎₎

los paréntesis son desarrollos de binomios al

los paréntesis son desarrollos de binomios al

cuadrado: cuadrado: E = (x E = (x33_{+ y+ y}22₎₎22 _{- (x- (x}22_{+ y)+ y)}22 factorizando; finalmente: factorizando; finalmente: E = (x E = (x33_{+ y+ y}22_{+ x+ x}22_{+ y)(x+ y)(x}33_{+ y+ y}22_{- x- x}22_{- y)- y)}

(C) MÉTODO DEL ASPA 

(C) MÉTODO DEL ASPA 

C.1) ASPA SIMPLE.

C.1) ASPA SIMPLE.

Se utiliza para factores trinomios de la forma:

Se utiliza para factores trinomios de la forma:

ax

ax2n2n _{±± bxbx}nn _{±± cc}

o de la forma: x

o de la forma: x2n2n _{±± bxbx}nn _{±± cc}

Para factorizar, se descompone en dos factores

Para factorizar, se descompone en dos factores

los términos ax

los términos ax2n2n _{o o xx}2n2n_{, según sea el caso. Se, según sea el caso. Se}

coloca

coloca estos estos factores factores en en las las puntas puntas de de lala

izquierda del aspa. El término independiente,

izquierda del aspa. El término independiente,

incluyendo el signo, también se

incluyendo el signo, también se descompone endescompone en

dos factores,los cuales se coloca en las puntas

dos factores,los cuales se coloca en las puntas

de la derecha del aspa. El término central del

de la derecha del aspa. El término central del

trinomio debe ser igual a la suma

trinomio debe ser igual a la suma de los porduc-de los

porduc-tos del aspa. Por último los

tos del aspa. Por último los factores de la nuevafactores de la nueva

expresión son las sumas en forma horizontal de

expresión son las sumas en forma horizontal de

los extremos del aspa.

los extremos del aspa.

Ejemplo: Factorizar:

Ejemplo: Factorizar:

x

x4n4n _{+ 7x+ 7x}2n2n _{+ 12+ 12}

a)

a) xx4n4n _{se descompone en dos factores:se descompone en dos factores:}

x

x2n2n _{. x. x}2n2n

b)

b) 12 tambien se descompone en dos factores:12 tambien se descompone en dos factores:

4

Se pone esto

Se pone estos factores s factores en los extren los extremos izquieremos izquierdodo

y derecho del aspa

y derecho del aspa respectivamenrespectivamente:te:

x

x2n2n ₊₄₊₄

x

x2n2n ₊₃₊₃

c)

c) La suma de los productos:La suma de los productos:

3x

3x2n2n_{+ 4x+ 4x}2n2n _{= 7x= 7x}2n2n

es igual al término central.

es igual al término central.

Nótese que la expresión factorizada es el

Nótese que la expresión factorizada es el

produc-to de la suma, produc-tomada horizontalmente, así:

to de la suma, tomada horizontalmente, así:

x x4n4n _{+ 7x+ 7x}2n2n _{+ 12 = (x+ 12 = (x}2n2n_{+ 4) (x+ 4) (x}2n2n_{+ 3)+ 3)} x x2n2n ₊₄₊₄ x x2n2n ₊₃₊₃

EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIOS RESUELTOS

1.-1.- Factorizar:Factorizar: E = 64x E = 64x1212_yy33 _{- 68x- 68x}88_yy77 _{+ 4x+ 4x}44_yy1111 Solución: Solución: Extrayendo

Extrayendo factor factor común: común: 4x4x44_yy33_::

E = 4x

E = 4x44_yy33_(16x(16x88 _{- 17x- 17x}44_yy44 _{+ y+ y}88₎₎

aplicando aspa simple al paréntesis, donde:

aplicando aspa simple al paréntesis, donde:

16x

16x88 _{= (16x= (16x}44_)(x)(x44_{)) yy}88 _{= (-y= (-y}44_)(-y)(-y44₎₎

16x

16x44 _-y-y44

x

x44 _-y-y44

La expresión propuesta factorizada será:

La expresión propuesta factorizada será:

E = 4x

E = 4x44_yy33_(16x(16x44_{- y- y}44_)(x)(x44_{- y- y}44₎₎

factorizando las diferencias de cuadrados en

factorizando las diferencias de cuadrados en

forma sucesiva: forma sucesiva: E = 4x E = 4x44_yy33_(4x(4x22_{+ y+ y}22_{)(2x + y) (2x - y))(2x + y) (2x - y)} (x (x22_{+ y+ y}22_{)(x + y)(x - y))(x + y)(x - y)} 2.-2.- Factorizar:Factorizar: E = (5x + 4y)

E = (5x + 4y)33_{+ (10x + 8y)+ (10x + 8y)}22 _{+ 15x + 12y+ 15x + 12y}

Solución:

Solución:

Extrayendo factor común 2 en el

Extrayendo factor común 2 en el segundo parén-segundo

parén-tesis y 3 en los dos últimos sumandos:

tesis y 3 en los dos últimos sumandos:

E = (5x + 4y)

E = (5x + 4y)33 _{++ [[2(5x + 4y)2(5x + 4y)]]}22 _{+ 3(5x + 12y)+ 3(5x + 12y)}

haciendo 5x + 4y = a, se obtiene:

haciendo 5x + 4y = a, se obtiene:

E = a

E = a33 _{+ 4a+ 4a}22 _{+ 3a+ 3a}

extrayendo factor común “a” y aplicando aspa el

extrayendo factor común “a” y aplicando aspa el

paréntesis: paréntesis: E = a(a E = a(a22 _{+ 4a + 3)+ 4a + 3)} a a -3-3 a a +1+1 La expresión será: La expresión será: E = a(a + 3)(a + 1) E = a(a + 3)(a + 1) reemplazando el valor de a: reemplazando el valor de a: E = (5x + 4y)(5x + 4y + 3)(5x + 4y + 1) E = (5x + 4y)(5x + 4y + 3)(5x + 4y + 1) 3.-3.- Factorizar:Factorizar: E = 2 E = 22m+52m+5 _{- 3 . 2- 3 . 2}m+2m+2 _{- 35- 35} Solución: Solución:

La expresión se puede escribir como:

La expresión se puede escribir como:

E = 2 E = 22m2m_{. 2. 2}55 _{- 3 . 2- 3 . 2}mm _{. 2. 2}22 _{- 35- 35} E = 32 .(2 E = 32 .(2mm₎₎22 _{- 12 . (2- 12 . (2}mm_{) - 35) - 35} haciendo: 2 haciendo: 2mm _{= a:= a:} E = 32a

aplicando aspa: aplicando aspa: 32a 32a22 _{= = ((88aa) ) . . ((44aa)) --335 5 = = ((++77))((--55))} 8a +7 8a +7 4 4aa --55 La expresión será: La expresión será: E = (8a + 7)(4a - 5) E = (8a + 7)(4a - 5)

reemplazando “a” por su valor:

reemplazando “a” por su valor:

E = (2 E = (233 _{. 2. 2}mm _{+ 7)(2+ 7)(2}22 _{. 2. 2}mm _{- 5)- 5)} finalmente: finalmente: E = (2 E = (2m+3m+3 _{+ 7) (2+ 7) (2}m+2m+2 _{- 5)- 5)} 4.-4.- Factorizar:Factorizar: abcx

abcx22 _-(a-(a22_bb22_{+ c+ c}22_{)x + abc)x + abc}

Solución:

Solución:

Aplicando aspa simple, donde:

Aplicando aspa simple, donde:

abcx abcx22 _{= = ((aabbxx))((ccxx)) aabbc c = = ((--cc))((--aabb))} abx -c abx -c c cxx --aabb

Luego la expresión factorizada es:

Luego la expresión factorizada es:

E = (abx - c)(cx - ab) E = (abx - c)(cx - ab) 5.-5.- Factorizar:Factorizar: E = (a + d) E = (a + d)44 _{- 2(b- 2(b}22_{+ c+ c}22_{)(a + d))(a + d)}22 _{+ (b+ (b}22_{- c- c}22₎₎22 Solución: Solución: Haciendo (a + d)

Haciendo (a + d)22_{= x, y desarrolando el tercer término= x, y desarrolando el tercer término}

(b (b22_{- c- c}22₎₎22 _{== [[(b + c) (b - c)(b + c) (b - c)]]}22 _{= (b + c)= (b + c)}22 _{(b - c)(b - c)}22 se obtiene: se obtiene: E = x E = x22 _{- 2(b- 2(b}22_{+ c+ c}22_{)x + (b + c))x + (b + c)}22 _{(b - c)(b - c)}22

Aplicando aspa simple, donde:

Aplicando aspa simple, donde:

x x22 _{= (x)(x)= (x)(x)} (b + c) (b + c)22_{(b -c)(b -c)}22 _{== [[-(b + c)-(b + c)}22_{] [] [-(b - c)-(b - c)}22_]] x x -(b -(b + + c)c)22 x x --((bb -- cc))22

Comprobación para el término central:

Comprobación para el término central:

-(b - c) -(b - c)22_{x - (b + c)x - (b + c)}22_{x = -[(b + c)x = -[(b + c)}22 _{+ (b - c)+ (b - c)}22_]x]x = -2(b = -2(b22_{+ c+ c}22_)x)x por lo tanto: por lo tanto: E = E = [[x - (b + c)x - (b + c)22_{] [] [x - (b - c)x - (b - c)}22_]] reemplazando el valor de x: reemplazando el valor de x: E = E = [[(a + d)(a + d)22_{- (b + c)- (b + c)}22_{] [] [(a + d)(a + d)}22 _{- (b - c)- (b - c)}22_]]

factorizando la diferencia de cuadrados:

factorizando la diferencia de cuadrados:

E = E = [[(a + d) + (b + c)(a + d) + (b + c)][][(a + d) - (b + c)(a + d) - (b + c)][][(a + d)(a + d) + (b - c) + (b - c)]]]](a + d) - (b - c)(a + d) - (b - c)]] finalmente: finalmente: E E = (= (a a ++ d d ++ b b ++ cc))((aa + + dd -- bb - - cc)) ( (a +a + d + d + bb -- cc))((a a ++ d - d - b b + + cc)) C.2) ASPA DOBLE. C.2) ASPA DOBLE.

Se aplica para factorizar polinomios de la forma:

Se aplica para factorizar polinomios de la forma:

ax

ax2n2n _{±± bxbx}nn_yynn _{±± cycy}2n2n _{±± dxdx}nn _{±± eyey}nn _{±± f f} 

y también

y también para algunos para algunos polinomios de polinomios de 4°4° grado.grado. PROCEDIMIENTO:

PROCEDIMIENTO:

Primero se ordena convenientemente; es

Primero se ordena convenientemente; es decirdecir, en, en

forma decreciente para una de las variables, luego

forma decreciente para una de las variables, luego

se traza y ejecuta un aspa simple para los tres

se traza y ejecuta un aspa simple para los tres

primeros términos con rayas continuas o llenas.

primeros términos con rayas continuas o llenas.

A continuación, y pegada a este aspa, se traza otra

de tal modo que el

de tal modo que el

producto de los elementos del

producto de los elementos del

extremo derecho de este aspa–multiplicados

extremo derecho de este aspa–multiplicados

ver-ticalmente sea el término independiente.

ticalmente sea el término independiente.

Finalmente: primer factor es la suma de los

Finalmente: primer factor es la suma de los

ele-mentos tomados horizontalmente de la parte

mentos tomados horizontalmente de la parte

superior; el segundo factor es la suma de los

superior; el segundo factor es la suma de los

ele-mentos tomados horizontalmente de la parte

mentos tomados horizontalmente de la parte

inferior.

inferior.

Ejemplo:

Ejemplo:

Factorizar:

Factorizar:

12x

12x

22

_{- 7xy - 10y}

_{- 7xy - 10y}

22

_{+ 59y - 15x - 63}

_{+ 59y - 15x - 63}

4

4

x

x

-

-

5

5

y

y

+

+

7

7

(

(

I

I

)

)

(

(

I

I

I

I

I

I

)

)

(

(

I

I

I

I

)

)

3

3

x

x

+

+

2

2

y

y

-

-

9

9

verificando los términos:

verificando los términos:

(

(

I

I

)

)

8

8

x

x

y

y

+

+

(

(

I

I

I

I

)

)

4

4

5

5

y

y

+

+

(

(

I

I

I

I

I

I

)

)

-

-

3

3

6

6

x

x

--

1

1

5

5

x

x

y

y

1

1

4

4

y

y

+

+

2

2

1

1

x

x

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

-

-

7

7

x

x

y

y

5

5

9

9

y

y

-

-

1

1

5

5

x

x

EXPLICACIÓN:

EXPLICACIÓN:

1)

1)

A los 3 primeros términos se les aplica un

A los 3 primeros términos se les aplica un

aspa

aspa

simple (I) :

simple (I) :

12x

12x

22

_{- 7xy - 10y}

_{- 7xy - 10y}

22

4

4

x

x

-

-

5

5

y

y

(I)

(I)

3

3

x

x

+

+

2

2

y

y

s

s

e

e

v

v

e

e

r

r

i

i

f

f

i

i

c

c

a

a

(

(

I

I

)

)

:

:

8

8

x

x

y

y

-15xy

-15xy

––––––

––––––

- 7xy

- 7xy

2)

2)

A los término

A los término

s 3°, 4°

s 3°, 4°

y 6°, se

y 6°, se

les aplica un asp

les aplica un asp

a

a

simple (II):

simple (II):

-10y

-10y

22

_{+ 59y - 63}

_{+ 59y - 63}

--

5

5

y

y

+

+

7

7

(II)

(II)

+

+

2

2

y

y

-

-

9

9

s

s

e

e

v

v

e

e

r

r

i

i

f

f

i

i

c

c

a

a

(

(

I

I

I

I

)

)

:

:

4

4

5

5

y

y

+14y

+14y

–––––

–––––

59y

59y

3)

3)

A los t

A los t

érmi

érmi

nos 1°

nos 1°

, 5°

, 5°

y 6°

y 6°

se les a

se les a

plica u

plica u

n aspa

n aspa

simple (III):

simple (III):

12x

12x

22

_{- 15x - 63}

_{- 15x - 63}

4

4

x

x

+

+

7

7

(III)

(III)

3

3

x

x

-

-

9

9

s

s

e

e

v

v

e

e

r

r

i

i

f

f

i

i

c

c

a

a

(

(

I

I

I

I

I

I

)

)

:

:

-

-

3

3

6

6

x

x

+21x

+21x

–––––

–––––

-15x

-15x

Luego la expresión factorizada es:

Luego la expresión factorizada es:

(4x - 5y + 7)(3x + 2y - 9)

(4x - 5y + 7)(3x + 2y - 9)

EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIOS RESUELTOS

1.-1.-

Factorizar:

Factorizar:

15x

15x

22

_{+ 14xy + 3y}

_{+ 14xy + 3y}

22

_{+ 23y + 41x + 14}

_{+ 23y + 41x + 14}

5

5

x

x

+

+

3

3

y

y

+

+

2

2

(

(

I

I

)

)

(

(

I

I

I

I

I

I

)

)

(

(

I

I

I

I

)

)

3

3

x

x

+

+

y

y

+

+

7

7

Verificando los términos:

Verificando los términos:

(

(

I

I

)

)

5

5

x

x

y

y

+

+

(

(

I

I

I

I

)

)

2

2

1

1

y

y

+

+

(

(

I

I

I

I

I

I

)

)

3

3

5

5

x

x

+

+

9

9

x

x

y

y

2

2

y

y

6

6

x

x

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

1

1

4

4

x

x

y

y

2

2

3

3

y

y

4

4

1

1

x

x

La expresión factorizada es:

La expresión factorizada es:

(5x + 3y + 2)(3x + y + 7)

2.-2.- Factorizar:Factorizar:

abx

abx22 _{+ (a+ (a}22_{+ b+ b}22_{)xy + aby)xy + aby}22 _{+ (a - + (a - b)y b)y - (a - - (a - b)x - 1b)x - 1}

a axx ++bbyy ++11 b bxx ++aayy --11 (ax + by + 1)(bx + ay -1) (ax + by + 1)(bx + ay -1) 3.-3.- Factorizar:Factorizar: 6x

6x44_{- 5x- 5x}22_{y - 25yy - 25y}22_{- 5yz - 23x- 5yz - 23x}22_{z + 20zz + 20z}22

3x 3x22 _{++55yy --44zz} 2x 2x22 _{--55yy --55zz} (3x (3x22_{+ 5y - 4z)(2x+ 5y - 4z)(2x}22_{- 5y - 5z)- 5y - 5z)} 4.-4.- Factorizar:Factorizar: 2x 2x2m2m _{+ 5x+ 5x}mm_yynn _{- 3y- 3y}2n2n _{+ 7y+ 7y}nn _{+ 7x+ 7x}mm _{+ 6+ 6} 2x 2xmm _-y-ynn ₊₃₊₃ x xmm _+3y+3ynn ₊₂₊₂ (2x (2xmm_{- y- y}nn_{+ 3)(x+ 3)(x}mm_{+ 3y+ 3y}nn_{+ 2)+ 2)} 5.-5.- Factorizar:Factorizar: 28xy - 44y

28xy - 44y22 _{- 23y + 35x + 40- 23y + 35x + 40}

Solución:

Solución:

Se observa que falta un término, que es “x

Se observa que falta un término, que es “x22_{”, se”, se}

completa con 0x

completa con 0x22 _{y se completa el polinomio:y se completa el polinomio:}

0x

0x22 _{+ 28xy - 44y+ 28xy - 44y}22 _{+ 35x - 23y + 40+ 35x - 23y + 40}

O Oxx ++44yy ++55 ( (II)) ((IIIIII)) ((IIII)) 7 7xx --1111yy ++88 E = (4y + 5)(7x - 11y + 8) E = (4y + 5)(7x - 11y + 8)

C.3) ASPA DOBLE ESPECIAL.

C.3) ASPA DOBLE ESPECIAL.

Se utiliza para factorizar polinomios de 4to grado

Se utiliza para factorizar polinomios de 4to grado

de la forma general:

de la forma general:

ax

ax44 _{±± bxbx}33 _{±± cxcx}22 _{±± ddx x ±± ee}

Para factorizar se procede así:

Para factorizar se procede así:

a)

a) Se descompone los términos extremos (primero ySe descompone los términos extremos (primero y

quinto) en sus factores primos con signos adecuados.

quinto) en sus factores primos con signos adecuados.

b)

b) Se efectúa el producto de los factores primosSe efectúa el producto de los factores primos

en aspa y se reduce. De esta manera se obtiene

en aspa y se reduce. De esta manera se obtiene

un té

un términrmino de 2°o de 2°gradgrado.o.

c)

c) A este resultado se le debe sumar algebraica-A este resultado se le debe sumar

algebraica-ment

mente otro tée otro términrmino de 2°o de 2° gradgrado para que seao para que sea

igual al tercer término.

igual al tercer término.

d)

d) Con este otro término de 2do. grado colocadoCon este otro término de 2do. grado colocado

como tercer término del polinomio, se

como tercer término del polinomio, se

descompone en sus factores en forma

descompone en sus factores en forma

conve-niente tal, que cumpla los requisitos del aspa

niente tal, que cumpla los requisitos del aspa

doble:

doble:

•

• Aspa simple entre el primer término y el térmi-Aspa simple entre el primer término y el

térmi-no de segundo grado ubicado como sustituto,

no de segundo grado ubicado como sustituto,

para verificar el segundo término.

para verificar el segundo término.

•

• Aspa simple auxiliar entre el sumando de segun-Aspa simple auxiliar entre el sumando de

segun-do grasegun-do ubicasegun-do y el quinto término para

do grado ubicado y el quinto término para

veri-ficar el 4to. término.

ficar el 4to. término.

e)

e) Los factores se toman en forma horizontal.Los factores se toman en forma horizontal.

Ejemplo: Factorizar: Ejemplo: Factorizar: x x44 _{- 4x- 4x}33 _{+ 11x+ 11x}22 _{- 14x + 10- 14x + 10} Solución: Solución:

Descomponiendo los extremos en sus

Descomponiendo los extremos en sus factores:factores:

x x44_{- 4x- 4x}33 _{+ 11x+ 11x}22 _{- 14x + 10- 14x + 10} x x22 ₊₅₊₅ (I) (I) x x22 ₊₂₊₂ P Paarra a ((II)):: 22xx22 5x 5x22 –––– –––– 7x 7x22

Como el tercer término es 11x

Como el tercer término es 11x22 _{y el producto eny el producto en}

aspa de los extremos es 7x

aspa de los extremos es 7x22_{faltarán 4xfaltarán 4x}22 _{que es laque es la}

cantidad que se debe agregar.

cantidad que se debe agregar.

Se descompone 4x

Se descompone 4x22_{en sus factores en forma conve-en sus factores en forma}

conve-niente y se verifica el segundo y cuarto términos:

niente y se verifica el segundo y cuarto términos:

x x44_{- 4x- 4x}33 _{+ 4x+ 4x}22 _{- 14x + 10- 14x + 10} x x22 _{--22xx ++55} ( (IIII)) ((IIIIII)) x x22 _{--22xx ++22} ( (IIII)) --22xx33 _{(III) - 4x(III) - 4x} -2x -2x33 _-10x-10x – ––––––– –––––––– -4x -4x33 _-14x-14x

Como verificar las condiciones del aspa doble, los

Como verificar las condiciones del aspa doble, los

términos están bien descompuestos.

términos están bien descompuestos.

La expresión factorizada es:

La expresión factorizada es:

(x (x22_{- 2x + 5)(x- 2x + 5)(x}22 _{- 2x + 2)- 2x + 2)}

EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIOS RESUELTOS

1.- Factorizar: 1.- Factorizar: x x44 _{- 10x- 10x}33 _{+ 19x+ 19x}22 _{- 18x + 9- 18x + 9} Solución: Solución:

Descomponiendo los términos extremos:

Descomponiendo los términos extremos:

x x44 _{- 10x- 10x}33 _{+ 19x+ 19x}22 _{- 18x + 9- 18x + 9} x x22 ₊₉₊₉ (I) (I) x x22 ₊₁₊₁ En

En el el aspa aspa (I):(I):

9x

9x22 _{+ x+ x}22 _{= 10x= 10x}22

se observa que faltan 19x

se observa que faltan 19x22_{- 10x- 10x}22 _{= 9x= 9x}22_..

Luego: Luego: x x44_{- 10x- 10x}33_{+ 9x+ 9x}22_{- 18x + 9- 18x + 9} x x22 _{--99xx ++99} ( (IIII)) ((IIIIII)) x x22 _{--xx ++11}

Verificando el aspa doble:

Verificando el aspa doble:

(II) -x

(II) -x33 _{(III) - 9x(III) - 9x}

-9x -9x33 _{- - 9x9x} – ––––––––– –––––––––– -10x -10x33 _-18x-18x

La expresión factorizada es:

La expresión factorizada es:

(x (x22_{- 9x + 9)(x- 9x + 9)(x}22_{- x + 1)- x + 1)} 2.-2.- Factorizar:Factorizar: 2x 2x88_{+ x+ x}66 _{- 16x- 16x}44_{+ 8x+ 8x}22_{- 1- 1} Solución: Solución:

Descomponiendo los términos extremos:

Descomponiendo los términos extremos:

2x 2x88 _{+ x+ x}66 _{- 16x- 16x}44 _{+ 8x+ 8x}22 _{- 1- 1} (I) (I) 2x 2x44 _{+1 +1 == ––––––} x x44 (I) (I) -2x -2x44 x x44 _{-1 -1 == ––––––––} - x - x44

Como el tercer término es -16x

Como el tercer término es -16x44 _{y el productoy el producto}

en aspa de los extremos es -x

en aspa de los extremos es -x44 _{falta -15xfalta -15x}22_{que esque es}

la cantidad que se debe agregar. Se

la cantidad que se debe agregar. Se

descompo-ne -15x

ne -15x22 _{en sus factores en forma convenienteen sus factores en forma conveniente}

y se verifica el

y se verifica el 2do. y 4to. términos:2do. y 4to. términos:

2x 2x44 _-5x-5x22 ₊₁₊₁ ( (IIII)) ((IIIIII)) x x44 _+3x+3x22 _-1-1