Problema 20: Problema 20:
(Ecología) Un estanque de peces los abastecen cada primavera con dos especias de (Ecología) Un estanque de peces los abastecen cada primavera con dos especias de peces S y T. Hay dos tipos de comida F
peces S y T. Hay dos tipos de comida F11 y y FF disponibles en el estanque. El peso disponibles en el estanque. El peso
promedio de los peces y el requerimiento diario promedio de alimento para cada pe! de promedio de los peces y el requerimiento diario promedio de alimento para cada pe! de cada especia est" dado en el cuadro siguiente#
cada especia est" dado en el cuadro siguiente# E
Essppeecciieess FF11 FF $eso $romedio$eso $romedio
S
S UUnniiddaaddeess % % UUnniiddaaddeess % % lliibbrraass T
T % % UUnniiddaaddeess 1 U1 Unniiddaaddees s lliibbrraass &' tere are si undred o' F
&' tere are si undred o' F11 and tree undred o' F and tree undred o' F everyday. Ho* do you debit supply everyday. Ho* do you debit supply
te pool 'or *at te total *eigt o' 'ises are at least +,, te pool 'or *at te total *eigt o' 'ises are at least +,, pounds-Solucin#
Solucin#
/0u es lo que vamos a /0u es lo que vamos a
2aimi!ar-11 3 la 4antidad de abastecimiento de $eces (ES$E4&E S) en $rimavera en Unidades 3 la 4antidad de abastecimiento de $eces (ES$E4&E S) en $rimavera en Unidades
3 la 4antidad de abastecimiento de $eces (ES$E4&E T) en $rimavera en Unidades 3 la 4antidad de abastecimiento de $eces (ES$E4&E T) en $rimavera en Unidades
2a 5 3 2a 5 3 11 6 6 77.(1) 77.(1) Su8eto a# Su8eto a# 11 6 % 6 % 9 :,, 77.. () 9 :,, 77.. () % %11 6 1 6 1 9 %,, 777.(%) 9 %,, 777.(%) %
%11 6 6 ; +,, lo que queda $lanteado ; +,, lo que queda $lanteado
11< < ; , ; ,
Problema 21: Problema 21:
Un gran8ero tiene ,, cerdos que consumen =, libras de comida especial todos los Un gran8ero tiene ,, cerdos que consumen =, libras de comida especial todos los días. El alimento se prepara como una me!cla de maí! y arina de soya con las días. El alimento se prepara como una me!cla de maí! y arina de soya con las siguientes composiciones#
siguientes composiciones# >ibras por >ibra
>ibras por >ibra de ?limentode ?limento ?limento
?limento 4alcio4alcio $roteína$roteína FibraFibra 4osto (@Alb)4osto (@Alb) 2
2aaíí!! ,,..,,,,11 ,,..,,== ,,..,, ,,..
H
Haarriinna a dde e SSooyyaa ,,..,,,, ,,..:: ,,..,,:: ,,..:: >os requisitos de alimento de los cerdos son#
>os requisitos de alimento de los cerdos son# 11.. 44uuaannddo o mmeennoos s 11B B dde e ccaallcciioo
.. $$oor r llo o mmeennoos s %%,,B B dde e pprrootteeíínnaa %%.. 22""iimmo o CCB B dde e ''iibbrraa
Determine la me!cla de alimentos con el mínimo de costo por día Determine la me!cla de alimentos con el mínimo de costo por día
Solucin#
/0u es lo que vamos a
2inimi!ar-1 3 la 4antidad de 2aí! >ibra por libra de ?limento
3 la 4antidad de Harina de Soya >ibra por libra de ?limento
2in 5 3 ,.1 6 ,.: 77.(1)
Su8etos a#
,.,,11 6 ,.,, 9 (=,)(,.,1) 77.. ()
,.,=1 6 ,.: 9 (=,)(,.%) 777.(%)
,.,1 6 ,.,: ; (=,)(,.,C) ... (+) lo que queda $lanteado
1< ; ,
Problema 22:
Un pequeo banco asigna un m"imo de @,<,,, para prstamos personales y para automviles durante el mes siguiente. El banco cobra una tasa de inters anual del 1+B a prstamos personales y del 1B a prstamos para automvil. ?mbos tipos de prstamos se saldan en periodos de tres aos. El monto de los prstamos para automvil desde ser cuando menos de dos veces mayor que el de los prstamos personales. >a eperiencia pasada a demostrado que los adeudos no cubiertos constituyen el 1B de todos los prstamos personales /4mo deben asignarse los
'ondos-Solucin#
/0u es lo que vamos a
2aimi!ar-1 3 la 4antidad Fondos de prstamos personales
3 la 4antidad 'ondos de prstamos para automvil
2in 5 3 ,.1 6 ,.: 77.(1)
Su8etos a#
(,.1+)(,<,,,)1 6 (,.1)(,<,,,) 9 ,,,, 77.. ()
; ()(,.1+)(,<,,,) 777.(%)
1 ; (,.,1)(,.1)(,<,,,) ... (+) lo que queda $lanteado
1< ; ,
Problema 23:
Una planta armadora de radios produce dos modelos HiFi1 y HiFi en la misma línea de ensamble. >a línea de ensamble consta de tres estaciones. >os tiempos de ensamble en la estaciones de traba8o son#
2inutos por Unidad de 2inutos por Unidad de
Estacin de Traba8o HiFi1 HiFi
1 : +
C C
% + :
4ada estacin de traba8o tiene una disponibilidad m"ima de +G, minutos por día. Sin embargo< las estaciones de traba8o requieren mantenimiento diario< que contribuye al 1,B< 1+B y 1B de los +G, minutos totales de que se dispone diariamente para las estaciones 1< y % respectivamente. >a compaía desea determinar las unidades diarias que se ensamblar"n de HiFi1 y HiFi a 'in de minimi!ar la suma de tiempos no usados (inactivos) en la tres estaciones.
Solucin#
/0u es lo que vamos a
2inimi!ar-1 3 la 4antidad de Unidades Diarias de HiFi 1
3 la 4antidad de Unidades Diarias de HiFi
2in 5 3 1 6 77.(1)
Su8eto a#
:1 6 + 9 (,.1)(+G,) 77.. ()
C1 6 C 9 (,.1+)(+G,) 777.(%)
+1 6 : ; (,.1)(+G,) ... (+) lo que queda $lanteado
1< ; ,
Problema 24:
Una compaía de productos electrnicos< produce dos modelos de radio< cada uno en una línea de produccin de volumen di'erente. >a capacidad diaria de la primera línea es de :, unidades y la segunda es de C radios. 4ada unidad del primer modelos utili!a 1, pie!as de ciertos componente electrnicos< en tanto que cada unidad del segundo modelos requiere oco pie!as del mismo componente. >a disponibilidad diaria m"ima del componente especial es de G,, pie!as. >a ganancia por unidad de modelos 1 y es @%, y @ ,< respectivamente. Determine la produccin diaria ptima de cada modelo de radio.
Solucin#
/0u es lo que vamos a
2aimi!ar-1 3 la 4antidad de produccin del modelo 1 de Iadio
2a 5 3 %,1 6 , 77.(1)
Su8eto a#
1 9 :, 77.. ()
1,1 6 G 9 G,, 777.(%)
9 C ... (+) lo que queda $lanteado
1< ; ,
Problema 25:
Dos productos se elaboran al pasar en 'orma sucesiva por tres m"quina. El tiempo por m"quina asignado a los productos est" limitado a 1, oras por día. El tiempo de produccin y la ganancia por unidad de cada producto son#
2inutos $or Unidad
$roducto 2"quina 1 2"quina 2"quina % Janancia
1 1, : G @
C , 1C @%
Kota# Determine la combinacin ptima de los productos. Solucin#
/0u es lo que vamos a
2inimi!ar-1 3 la 4antidad de Unidades del $roducto 1
3 la 4antidad de Unidades del $roducto
2in 5 3 1 6 % 77.(1)
Su8eto a#
1,1 6 C 9 1, 77.. ()
:1 6 , 9 1, 777.(%)
G1 6 1C 9 1, ... (+) lo que queda $lanteado
1< ; ,
Problema 26:
Una compaía puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones de radio y televisin locales. Su presupuesto limita los gastos de publicidad de @1,,, por mes cada minutos de anuncio en la radio cuesta @C y cada minuto de publicidad en televisin cuesta @1,,. >a compaía desearía utili!ar la radio cuando menos dos veces m"s que la televisin. >a eperiencia pasada muestra que cada minuto de publicidad por televisin generar" en trminos generales C m"s venta que cada minutos de publicidad por la radio. Determine la asignacin ptima del presupuesto mensual por anuncios por radio y televisin.
Solucin#
2aimi!ar-1 3 la 4antidad de presupuesto mensual para el Iadio
3 la 4antidad de presupuesto mensual para el Televisor
2a 5 3 1 6 77.(1) Su8eto a# C1 6 1,, 9 1,,, 77.. () ; ()(1) 1 ; (C)() 777.(%) 1< ; , Problema 27:
Una compaía elabora dos productos# ? y L. El volumen de ventas del producto ? es cuando menos el :,B de las ventas totales de los dos productos. ?mbos productos utili!an la misma materia prima< cuya disponibilidad diaria est" limitada a 1,, lb. >os productos ? y L utili!an esta materia prima en los índices o tasas de lbAunidad y + lbAunidad< respectivamente. El precio de venta de los productos es @, y @+, por unidad. Determine la asignacin ptima de la materia prima a los dos productos.
Solucin#
/0u es lo que vamos a
2aimi!ar-1 3 la 4antidad de Unidades del $roducto ?
3 la 4antidad de Unidades del $roducto L
2a 5 3 ,1 6 +, 77.(1) Su8eto a# 1 6 + 9 1,, 77.. () 1 ; (,.:)(:,) 777.(%) 1< ; , Problema 28:
Una compaía elabora dos tipos de sombreros. 4ada sombrero del primer tipo requiere dos veces m"s tiempo de manos de obra que un producto del segundo tipo. Si todos los sobreros son eclusivamente del segundo tipo. >a compaía puede producir un total de C,, unidades al día. El mercado limita las ventas diarias del primero y segundo tipos a 1C, y ,, unidades. Supngase que la ganancia que se obtiene por producto es @G por el tipo 1 y @C para el tipo . Determine el nMmero de sobreros de cada tipo que debe elaborarse para maimi!ar la ganancia.
/0u es lo que vamos a
2aimi!ar-1 3 la 4antidad de Unidades del Sombrero T&$N 1
3 la 4antidad de Unidades del Sombrero T&$N
2a 5 3 G1 6 C 77.(1) Su8eto a# 1C,1 6 ,, 9 C,, 77.. () 1 ; ()(,,) 777.(%) 1< ; , Problema 29:
Una empresa pequea< cuenta con dos m"quina para elaborar dos productos. 4ada producto tiene que pasar por la m"quina ? y despus por la m"quina L. El producto 1 requiere % oras de la m"quina ? y de la m"quina L< mientras que el producto requiere 1 ora de la m"quina ? y oras de la m"quina L. >a capacidad de las m"quina ? y L son C,, y :C, oras semanales respectivamente. El producto a de8a %C, pesos y el segundo producto L de8a :,, pesos por utilidades. ?nalice usted la situacin de la operacin de esta< dado que por escase! de materia prima no puede producir m"s de 1 unidades del producto.
Solucin#
/0u es lo que vamos a
2aimi!ar-1 3 la 4antidad de Unidades del $roducto ?
3 la 4antidad de Unidades del $roducto L
2a 5 3 %C,1 6 :,, 77.(1) Su8eto a# %1 6 1 9 C,, 77.. () 1 6 9 :C, 77.. (%) 1 6 9 1 77...7.(+) 1< ; , Problema 30:
El grupo O&2$EP?Q< desea acer publicidad para su productos en tres di'erentes medios# radio< televisin y revista. El ob8etivo principal es alcan!ar tantos clientes como sea posible. Han reali!ado un estudio y el resultado es#
Durante el día Durante la noce Iadio Ievistas KMmero de clientes
alcan!ar por unidades de publicidad
C,,<,,, 1<,,,<,,, :C,<,,, C,<,,,
O&2$EP?Q no quiere gastar m"s de @1<,,<,,. ?dem"s en publicidad por televisin no desean gastar m"s de C, mil pesos. Se desean comprar tres unidades de televisin durante el día y unidades durante la noce. $lantee el problema como un modelo de programacin lineal.
Solucin#
/0u es lo que vamos a
2?P&2&5?I-1 3 la 4antidad de clientes $otenciales por día
3 la 4antidad de clientes $otenciales por noce
% 3 la 4antidad de clientes por Iadio
+ 3 la 4antidad de clientes por revistas
2a 5 3 1 6 6 % 6 +77.(1)
Su8eto a# (IESTI&44&NKES DE L?>?K4E) 1 6 6 % 6 + 9 1<,,<,,, 1 6 9 C,<,,, 1 ; +C,<,,, 1 9 C,,<,,, ; G,,<,,, 9 1<,,,<,,, % ; %C<,,, % 9 :C,<,,, + ; ,,<,,, + 9 C,<,,, %1 9 Problema 31:
>a seora 2orales tiene una dieta a seguir< la cual reMne los siguientes requisitos alimenticios.
?l menos + mg. de vitamina ? ?l menos : mg. de vitamina L ? lo m"s % mg. de vitamina D
?sí mismo< la dieta est" 'ormada por pan< queso< buebo< y carne. >a tabla siguiente nos da los requerimientos por vitamina en mg. así como el costo#
4ontenido en mg por gramo de producto
$INDU4TN 4NSTN R&T?2&K? ? R&T?2&K? L R&T?2&K? D
0UESN LUELNS 4?IKE %1 1= C% ,.1C ,.1C ,.%, ,.1, ,.+, ,.%C ,.1+ ,.1C ,.1: Solucin#
/0u es lo que vamos a 2inimi!ar-1 3 la 4antidad a comprar de $?K
3 la 4antidad a comprar de 0UESN
% 3 la 4antidad a comprar de HUERN
+ 3 la 4antidad a comprar de 4?IKE
2in 3 +,1 6 %1 6 1=% 6 C%+77.(1) Su8eto a# ,.,1 6 ,.1C 6 ,.1C% 6 ,.%,+ ; + ,.1G1 6 ,.1, 6 ,.+,% 6 ,.%C+ ; : ,.1,1 6 ,.1+ 6 ,.1C% 6 ,.1:+ ; % 1< < %< + ; , Problema 32:
(&nversiones) ? ulio que es asesor de inversiones< se le presentan + proyectos con sus respectivos costos en un período de tres aos< así como la utilidad total. El requiere maimi!ar la utilidad total disponiendo de @C,<,,, @+<,,, y @%,<,,, en cada uno de los aos siguientes#
$INVE4TN UT&>&D?D TNT?> 4NSTN ?WN 1 4NSTN ?WN 4NSTN ?WN % P1 P X 3 P+ 1,, =, C G, : = C 1+ G 1= C 1+ 1G = Solucin#
/0u es lo que vamos a
2inimi!ar-1 3 la 4antidad de 2aí! >ibra por libra de ?limento
3 la 4antidad de Harina de Soya >ibra por libra de ?limento
2in 5 3 ,.1 6 ,.: 77.(1)
Su8eto a#
,.,,11 6 ,.,, 9 (=,)(,.,1) 77.. ()
,.,=1 6 ,.: 9 (=,)(,.%) 777.(%)
,.,1 6 ,.,: ; (=,)(,.,C) ... (+) lo que queda $lanteado
Disponibilidad#
>as cantidades disponibles por ao se asignan a las di'erentes variables o proyectos ba8o estas restricciones para optimi!ar o maimi!ar la utilidad total.
Problema 33:
Supngase que el Lanco de 4rdito al 4ampesino tiene dos planes de inversin a saber# El primero en el programa de tierras de riego< el segundo en el programa de tierras de temporal. El primer programa regresa un %,B de la inversin al 'in del ao< mientras que el segundo plan regresa un :CB de la inversin< para el trmino de dos aos. >os intereses recibidos en ambos planes son reinvertidos de nuevo en cualquiera de ambos planes. Formule el programa lineal que le permita al banco maimi!ar la inversin total en un seenio< si la inversin es de @ 1,, millones.
Solucin#
/0u es lo que vamos a
2?P&2&5?I-iI 3 la 4antidad de inversin de riesgo a una ao i
iT 3 la 4antidad de inversin Temporal en aos i
donde i 3 1< < %< +< C< :.
2a 5 3 1 6 6 % 6 +77.(1)
Su8eto a# (IESTI&44&NKES DE L?>?K4E) 1I 6 1T 9 1,,<,,, I 6 T 9 1.%,1I %I 6 %T 9 1.%,I 6 1.:C1T +I 6 +T 9 1.%,%I 6 1.:CT CI 6 CT 9 1.%,+I 6 1.:C%T :I 9 1.%,CI 6 1.:C+T 1T< I ; , Problema 34:
Una compaía de per'umes puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones de radio y televisin. Su presupuesto limita los gastos de publicidad a @1<C,, por mes. 4ada minuto de anuncio en la radio cuesta @1C y cada minuto de publicidad en televisin cuesta @=,. >a compaía desearía utili!ar la radio cuando menos dos veces m"s que la televisin. >os datos istricos muestran que cada minuto de publicidad por televisin generar" en trminos generales %, veces m"s ventas que cada minuto de publicidad por radio. Determine la asignacin ptima del presupuesto mensual para anuncios por radio y televisin.
/0u es lo que vamos a
2aimi!ar-1 3 la 4antidad de presupuesto mensual para el Iadio
3 la 4antidad de presupuesto mensual para el Televisor
2a 5 3 1 6 77.(1) Su8eto a# 1C1 6 =, 9 1C,, 77.. () ; ()(1) 1 ; (%,)() 777.(%) 1< ; , Problema 35:
Una Tienda de animales a determinado que cada H"mster debería recibirla menos , unidades de proteína. 1,, unidades de carboidratos y , unidades de grasa. Si la tienda vende los seis tipos de alimentos mostrados en la tabla. /0u me!cla de alimento satis'ace las necesidades a un costo mínimo para la
tienda- ?limento $roteínas
(Unidades A Nn!a) (Unidades A Nn!a)4arboidratos (Unidades AJrasa Nn!a) 4osto (Nn!a) ? L 4 D E F , %, +, +, +C %, C, %, , C C, , + = 11 1, = 1, % C : G G Solucin#
/0u es lo que vamos a 2inimi!ar-1 3 la 4antidad a me!clar de ? 3 la 4antidad a me!clar de L % 3 la 4antidad a me!clar de 4 + 3 la 4antidad a me!clar de D C 3 la 4antidad a me!clar de E : 3 la 4antidad a me!clar de F 2in 3 1 6 % 6 C% 6 :+6 GC6 G:77.(1) Su8eto a# ,1 6 %, 6 +,% 6 +,+6 +CC6 %,:9 , ... $INTEXK? C,1 6 %, 6 ,% 6 C+6 C,C6 ,:9 1,, 4?ILNH&DI?TNS +1 6 = 6 11% 6 1,+6 =C6 1,:9 , JI?S? 1< < %< + ; ,
Problema 35:
Una compaía manu'acturera local produce cuatro de'erentes productos met"licos que deben maquinarse< pulirse y ensamblarse. >a necesidades especí'icas de tiempo (en oras) para cada producto son las siguientes#
2aquinado $ulido Ensamble
$roducto & $roducto && $roducto &&& $roducto &R % + 1 1 % 1 1
>a compaía dispone semalmente de +G, oras para maquinado< +,, oras para el pulido y +,, oras para el ensamble. >as ganancias unitarias por producto son @:< @+< @: y @G respectivamente. >a compaía tiene un contrato con un distribuidor en el que se compromete a entregar semanalmente C, unidades del producto 1 y 1,, unidades de cualquier combinacin de los productos && y &&&< segMn sea la produccin< pero slo un m"imo de C unidades del producto &R. /cu"ntas unidades de cada producto debería 'abricar semanalmente la compaía a 'in de cumplir con todas las condiciones del contrato y maimi!ar la ganancia
total-4onsidere que las pie!as incompletas como un modelo de $rogramacin >ineal. Solucin#
/0u es lo que vamos a 2inimi!ar-1 3 la 4antidad a 'abricar del producto &
3 la 4antidad a 'abricar del producto &&
% 3 la 4antidad a 'abricar del producto &&&
+ 3 la 4antidad a 'abricar del producto &R
2in 3 :1 6 + 6 :% 6 G+77.(1) Su8eto a# %1 6 6 % 6 ++ 9 +G, 11 6 1 6 % 6 %+ 9 +,, 1 6 1 6 % 6 1+ 9 +,, 1 ; C, 6 % ; 1,, + 9 C 1< < %< + ; , Problema 36:
Se procesan cuatro productos sucesivamente en dos m"quina. >os tiempos de manu'actura en oras por unidad de cada producto se tabulan a continuacin para las dos m"quinas#
2"quina $roducto 1 $roducto $roducto % $roducto + 1
% % +1
El costo total de producir una unidad de cada producto est" basado directamente en el tiempo de m"quina. Suponga que el costo por ora para las m"quina 1 y es @1, y @1C. >as oras totales presupuestadas para todos os productos en las m"quina 1 y son C,, y %G,. si el precio de venta por unidad para los productos 1< < % y + en @:C< @,< @CC y @+C< 'ormule el problema como modelo de programacin lineal para maimi!ar el bene'icio neto total.
Solucin#
/0u es lo que vamos a 2aimi!ar-1 3 la 4antidad a 'abricar del producto 1
3 la 4antidad a 'abricar del producto
% 3 la 4antidad a 'abricar del producto %
+ 3 la 4antidad a 'abricar del producto +
2a 3 :C1 6 , 6 CC% 6 +C+77.(1) Su8etos a# 1 6 % 6 +% 6 + 9 C,, %1 6 6 1% 6 + 9 %G, 1< < %< + ; , Problema 37:
>a compaía Delta tiene maquinaria especiali!ada en la industria de pl"stico. >a compaía se dispone a iniciar operaciones el primo mes de enero y cuenta con @%,,<,,, y die! m"quinas. >a operacin de cada m"quina requiere de @+<,,,.,, al inicio de un mes para producir y al 'in del mes la cantidad de @=<,,,.,, sin embargo< para cada dos m"quinas se necesita un operador cuyo sueldo mensual es de @%,,,.,, pagando al principio del mes. >a compaía se propone planear su produccin< empleo de operador y compra de maquinaria que debe tener< al principio del mes siete< al m"imo nMmero de m"quina en operacin.
?l principio de cada mes la compaía tiene disponibles tres alternativas para adquirir maquinaria. En la primera alternativa puede comprar m"quina de @,<,,,.,, cada una con un periodo de entrega de una mes. Esto es< si al principio de cada mes OtQ se pide y paga la maquinaria< est" se entregar" al principio del mes t 6 1.
En la segunda alternativa< se puede comprar en @1C<,,,.,, cada maquinaria< pero el periodo de entrega es en dos meses. >a Mltima alternativa s comprar en @1,<,,,.,, cada m"quina con un periodo de entrega en tres meses.
Formule un modelo de programacin lineal que permita determinar la política de compra de maquinaria< produccin y pago de operadores en cada mes< de manera tal que al principio del mes siete tenga el m"imo nMmero de m"quina en operacin.
Solucin#
/0u es lo que vamos a 2inimi!ar-1 3 la 4antidad a 'abricar del producto &
3 la 4antidad a 'abricar del producto &&
% 3 la 4antidad a 'abricar del producto &&&
+ 3 la 4antidad a 'abricar del producto &R
2in 3 :1 6 + 6 :% 6 G+77.(1) Su8eto a# %1 6 6 % 6 ++ 9 +G, 11 6 1 6 % 6 %+ 9 +,, 1 6 1 6 % 6 1+ 9 +,, 1 ; C, 6 % ; 1,, + 9 C 1< < %< + ; , Problema 38:
Una compaía de productos químicos que labora las + oras del día tiene las siguientes necesidades de personal tcnico y especiali!ado
$eriodo Hora del día $ersonal tcnico $ersonal
Especiali!ado 1 % + C : : Y 1, 1, Y1+ 1+ Y 1G 1G Y Y , , ,: , +, G, +C C 1, G 1 1C = %
Nbserve que el periodo 1 sigue al periodo :. 4onsidere que cada persona en la compaía labora G oras consecutivas. Suponga que Pt y 5t< denotan el nMmero de
personas tcnicas y especiali!adas< respectivamente< que empie!an a traba8ar al inicio del periodo t en cada día. En esta compaía< el acuerdo sindical establece que en todo momento debe aber por lo menos tres veces el nMmero de personal tcnico que de personal especiali!ado. Estable!ca un modelo de programacin lineal pata determinar el mínimo nMmero de personal tcnico y especiali!ado para satis'acer las necesidades diarias de traba8o en el compaía.
iI 3 la 4antidad de personal tcnico
iT 3 la 4antidad de personalidad especiali!ado
donde i 3 1< < %< +< C< :. 2in 5 3 1 6 Su8etos a# ,1 6 G ; :, +,1 6 1 ; 1, G,1 6 1C ; +, +C1 6 = ; %(+C) C1 6 % ; C 1,1 6 ; %, Problema 39:
Ferrocarriles Kacionales de 2ico tiene al inicio del primo ao la siguiente demanda de locomotoras diesel para ocupar su sistema en todo el país#
Trimestre 1 %
>ocomotoras
Diesel C, G,, G,
>a gerencia de 'errocarriles puede satis'acer su demanda mediante la combinacin de las siguientes alternativas#
a) Uso de la eistencia de locomotoras diesel en estado de traba8o
b) 4ompra de locomotoras al etran8ero las cuales pueden entregarse al principio de cualquier trimestre
c) Ieparar locomotoras en los talleres nacionales con car"cter normal. El tiempo re reparacin es de : meses.
d) Ieportar locomotoras en los talleres nacionales con car"cter urgente. El tiempo de reparacin es de % meses.
>a alternativa b tiene un costo de @C<,,,<,,, por locomotora >a alternativa c tiene un costo de @1,,<,,, por locomotora >a alternativa d tiene un costo de @C,<,,, por locomotora
Se estima que al principio del ao se tendr"n :C, locomotora en estado de traba8o y el presupuesto de operacin para ese ao es de @1,,<,,,<,,, entregado en partidas trimestrales de +,< %,< , y 1, millones respectivamente.
Se supone que al 'inal de cada trimestre el CB de las locomotoras debe mantenerse a reparacin y el CB quedan 'uera de servicio. Formule un problema de programacin lineal que permita determinar la combinacin de políticas que debe tomar en cuenta la gerencias de F.F.4.4. para minimi!ar costos y satis'acer la demanda de locomotoras.
Solucin#
/0u es lo que vamos a
2inimi!ar-1 3 la 4antidad de Demanda en el trimestre 1
3 la 4antidad de Demanda en el trimestre
% 3 la 4antidad de Demanda en el trimestre %
2in 3 C<,,,<,,,1 6 1,,<,,, 6 C,<,,,% 77.(1) Su8eto a# 1 6 6 % 9 1,,<,,,<,,, C,1 6 G,, 6 G,% ; :C, 1 ; (,.,C)(C,) ; (,.,C)(G,,) % ; (,.,C)(G,) 1< < %< + ; , Problema 40:
Una compaía produce a!Mcar morena< a!Mcar blanca< a!Mcar pulveri!ada y mela!as con el 8arabe de la caa de a!Mcar. >a compaía compra +,,, toneladas de 8arabe a la semana y tiene un contrato para entregar un mínimo de C toneladas semanales de cada tipo de a!Mcar. El proceso de produccin se inicia 'abricando a!Mcar morena y mela!as con el 8arabe. Una tonelada de 8arabe produce ,.% toneladas de a!Mcar morena y ,.1 toneladas de mela!as. Despus el a!Mcar blanca se elabora procesando a!Mcar morena. Se requiere 1 tonelada de a!Mcar morena para producir ,.G toneladas de a!Mcar blanca. Finalmente< el a!Mcar pulveri!ada se 'abrica de la a!Mcar blanca por medio de un proceso de molido especial< que tiene =CB de e'iciencia de conversin (1 tonelada de a!Mcar blanca produce ,.=C toneladas de a!Mcar pulveri!ada). >as utilidades por tonelada de a!Mcar morena< a!Mcar blanca< a!Mcar pulveri!ada y mela!as son de 1C,< ,,< %,< y %C dlares< respectivamente. Formule el problema como un programa lineal.
Solución:
>a produccin de cada tipo de a!Mcar de acuerdo al proceso de produccin se detalla a continuacin por cada tonelada de material empleado.
Producción por tn.
a!.morena mela!a a!.blanca a!.pulveri!ada arabe (1tn) ,.% ,.1
?!. 2orena (1tn) ,.G
?!. Llanca (1tn) ,.=C
Determinamos las variables de decisin#
Pi 3 producto obtenido (toneladas por semana)< donde i# 1< < %< + representa los di'erentes tipos de productos. 1# a!Mcar morena< # mela!a< %# a!Mcar blanca< +# a!Mcar pulveri!ada.
>as restricciones#
P1 A ,.% 6 P A ,.1 93 +,,, (Iestriccin para tn. de 8arabe)
P1 ;3C,,, (Iestriccin para tn. de a!Mcar morena) P% A ,.G ;3 C,,, (Iestriccin para tn. de a!Mcar blanca) P+ A ,.=C ;3C,,, (Iestriccin para tn. de a!Mcar pulveri!ada) P1< P< P%< P+ ;3, (Iestriccin de no negatividad)
>a 'uncin ob8etivo para maimi!ar las utilidades# '.o# ma. ! 3 1C,P1 6 ,,P% 6 %,P+ 6 %CP >a estructura del modelo es la siguiente#
Pi 3 producto obtenido (toneladas por semana) i# 1< < %< + F.N 2a ! 3 1C,P1 6 ,,P% 6 %,P+ 6 %CP
S.a#
P1 A ,.% 6 P A ,.1 93 +,,, (Iestriccin para tn. de 8arabe)
P1 ;3C,,, (Iestriccin para tn. de a!Mcar morena) P% A ,.G ;3 C,,, (Iestriccin para tn. de a!Mcar blanca) P+ A ,.=C ;3C,,, (Iestriccin para tn. de a!Mcar pulveri!ada) P1< P< P%< P+ ;3, (Iestriccin de no negatividad)
Problema 41:
4uatro productos se procesan en secuencia de dos maquinas. >a siguiente tabla proporciona los datos pertinentes al problema.
Tiempo de fabricación por unidad (hora)
Máquina Costo Prod. 1 Prod. Prod. ! Prod. " Capacidad
(#) $ hora (hora)
1 1, % + C,,
C % 1 %G,
Precio de %enta :C , CC +C
Por unidad (#)
Formular el modelo como un modelo de programacin lineal.
Solución:
Determinamos las variables de decisin#
Pi8# unidades producidas por tipo de producto 8# 1< < %< +. utili!ando cada maquina i# 1< .
>as restricciones#
P116 %P1 6 +P1% 6 P1+ 93 C,, (Iestriccin de capacidad de la maq. 1) %P1 6 P 6 1P% 6 P+ 93%G, (Iestriccin de capacidad de la maq. ) >a 'uncin ob8etivo para maimi!ar las utilidades#
2a ! 3 :C(P11 6 P1) 6 ,(P1 6 P) 6 CC(P1% 6 P%) 6 +C(P1+ 6 P+) 1, (P11 6 %P1 6 +P1C 6 P1+) C(%P1 6 P 6 1P% 6 P+) Simpli'icando#
>a estructura del modelo es la siguiente#
Pi8# unidades producidas por tipo de producto 8# 1< < %< +. Utili!ando cada maquina i# 1< .
F# N 2a ! 3 +CP11 6 C,P1 6 +,P1 6 :,P 6 1CP1% 6 C,P% 6 CP1+ 6%CP+ S.a#
P116 %P1 6 +P1% 6 P1+ 93 C,, (Iestriccin de capacidad de la maq. 1)
%P1 6 P 6 1P% 6 P+ 93%G, (Iestriccin de capacidad de la maq. ) P11< P1< P1%< P1+< P1< P< P%< P+ ;3, (Iestriccin de no negatividad)
Problema 42:
4on rubíes y !a'iros un empresario produce dos tipos de anillos. Un anillo tipo 1 requiere rubíes< % !a'iros y 1 ora de traba8o de un 8oyero. Un anillo tipo requiere % rubíes< !a'iros y oras de traba8o de un 8oyero. 4ada anillo tipo 1 se vende a +,, dlares< y cada anillo tipo < a C,, dlares. Se pueden vender todos los anillos producidos. ?ctualmente< se dispone de 1,, rubíes< 1, !a'iros y , oras de traba8o de un 8oyero. Se puede comprar m"s rubíes a un costo de 1,, dlares el rubí. >a demanda del mercado requiere de una produccin de por lo menos , anillos del tipo 1 y por lo menos C anillos del tipo . Formular el problema para maimi!ar la ganancia.Z
Solucin#
&equerimiento por unidad
Tipo de anillo Disponibilidad Tipo 1 Tipo Iubíes (unid) % 5a'iros (unid) % Hrsombre 1 , $recio (@Aunid) +,, C,, Demanda (unid) , C Determinamos las variables de decisin#
Pi# cantidad de anillos de tipo i 3 1< >as restricciones#
P1 6 %P Y P% 93 1,, (Iestriccin para la cantidad de rubíes) %P1 6 P 93 1, (Iestriccin para la cantidad de !a'iros)
P1 6 P 93 , (Iestriccin de oras de traba8o de un 8oyero) P1 ;3 , (Iestriccin para la demanda del tipo 1)
P ;3 C (Iestriccin para la demanda del tipo ) >a 'uncin ob8etivo para maimi!ar las utilidades#
2a ! 3 +,,P1 6 C,,P 1,,P% >a estructura del modelo es la siguiente#
Pi# cantidad de anillos de tipo i 3 1< F.N# 2a ! 3 +,,P1 6 C,,P Y 1,,P%
S.a#
P1 6 %P Y P% 93 1,, (Iestriccin para la cantidad de rubíes) %P1 6 P 93 1, (Iestriccin para la cantidad de !a'iros)
P1 6 P 93 , (Iestriccin de oras de traba8o de un 8oyero) P1 ;3 , (Iestriccin para la demanda del tipo 1)
P ;3 C (Iestriccin para la demanda del tipo ) P1< P< P% ;3, (Iestriccin de no negatividad)
Problema 43:
$ara una 8ornada de + oras un ospital esta requiriendo el siguiente personal para el "rea de en'ermería< se de'ine : turnos de + oras cada uno.
Turno 'mero mnimo de personal #,, :#,, + :#,, 1,#,, G 1,#,, 1+#,, 1, 1+#,, 1G#,, 1G#,, ,#,, 1 ,#,, +#,, +
>os contratos laborales son de G oras consecutivas por día. El ob8etivo es encontrar el nMmero menor de personas que cumplan con los requerimientos. Formule el problema como un modelo de programacin lineal.
Solución:
Determinamos las variables de decisin#
Pi 3 4antidad de personal por cada turno i 3 1< < %< +< C< :.
'ecesidades de personal por horario
Horas #,, :#,, :#,, 1,#,, 1,#,, 1+#,, 1+#,, 1G#,, 1G#,, ,#,, ,#,, +#,, P1 P1 P P P% P% P+ P+ PC PC P: P: $ersona l + G 1, 1 +
>as restricciones de personal por turno son# P1 6 P: ;3 +
P1 6 P ;3G P 6 P% ;31, P% 6 P+ ;3 P+ 6 PC ;31
PC 6 P: ;3+
>a 'uncin ob8etivo para minimi!ar la cantidad de personal 2in ! 3 P1 6 P 6 P% 6 P+ 6 P+ 6 PC 6 P:
>a estructura del modelo es la siguiente#
Pi 3 4antidad de personal por cada turno i 3 1< < %< +< C< :. F #N 2in ! 3 P1 6 P 6 P% 6 P+ 6 P+ 6 PC 6 P: S.a# P1 6 P: ;3 + P1 6 P ;3 G P 6 P% ;3 1, P% 6 P+ ;3 P+ 6 PC ;3 1 PC 6 P: ;3 + P1< P< P%< P+< PC< P: ;3 , (Iestriccin de no negatividad)
