Slide 1 of 5. Mathematica FS-321. Ajustes de Datos, Análisis Vectorial y Sistemas de Coordenadas. Elaborada por:miguel Ángel Serrano

Ajustes de Datos, Análisis

Vectorial y Sistemas de

Coordenadas.

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Objetivos:

Una vez familiarizado con operaciones básicas en el programa Mathematica se quiere que

el estudiante maneje:

Ajustes de datos, es de importancia debido a que en el transcurso del laboratorio usaremos esta herramienta computacional para tratar los datos experimentales que se tomen.

Análisis Vectorial, de esta manera se podra trabajar con los campos eléctricos y magnéticos que se encuentran al principio del curso.

Realizar cambios entre los sistemas de coordenadas en los cuales trabajan en el curso.

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Ajustes de Datos

Usualmente al hacer la toma de datos de un experimento, estos vienen en pares de datos, a partir de la teoría que describe los datos nosotros podemos relacionarlos a travez de una función, ya sea lineal, exponencial, senoidal, etc. En esta sección aprenderemos a manipu-lar dichos datos con el uso del programa.

Ajuste Lineal:

En un experimento destinado a medir la velocidad del sonido en aire (el sónido producido tenía una frecuecia de 3400 Hz). En dicho experimento se media la distancia desde el parlante hasta el punto donde se produce una figura de Lissajous en un osciloscopio digi-tal.

Los datos tomados siguen la siguiente ecuación lineal: d=n*l

Tomamos n (el número de figura producida) como coordenada x, d (la distancia donde se produce) como coordenada y. Se hará un ajuste lineal para determinar la pendiente (que equivale a la longitud de onda) para posteriormente calcular la velocidad del sonido en aire. datos =881, 10<, 82, 19.8<, 83, 30<, 84, 40<, 85, 50.4<, 86, 61.3<, 87, 71.2<, 88, 82.3<, 89, 91<, 810, 102.3<, 811, 109.2<<; A = ListPlot@datosD 2 4 6 8 10 20 40 60 80 100

Ajuste = LinearModelFit@datos, n, nD

FittedModelB -0.103636+10.1309n F

B = Plot@f@nD, 8n, 0, 11<D 2 4 6 8 10 20 40 60 80 100

Los gráficos anteriores se mirarian mejor si estuvieran unidos para, ademas seria bueno que fueran de distintos colores para poder comparar de mejor manera.

Al representar cantidades físicas estos gráficos se ven incompletos, debemos titular los nombres de los ejes, ademas de poner las unidades respectivas.

G = Plot@f@nD, 8n, 0, 11<, PlotStyle ® RedD; Show@A, G, AxesLabel ® 8"n", "dHcmL"<D

2 4 6 8 10 n 20 40 60 80 100 dHcmL

Finalmente podemos encontrar la velocidad del sonido multiplicando v=l*f

v = 10.1131 * 10 ^H-2L * 3400

343.845

Dado que la longitud de onda es un dato experimental, es necesario encontrar su incer-tidumbre. Esto se puede hacer usando el programa, pero es exclusivo del comando Linear-ModelFit.

Mathematica nos puede proporcionar la incertidumbre relativa, y basta con un despeje

para poder calcular la incertidumbre absoluta.

Dl = 10.131 * Ajuste@"CoefficientOfVariation"D

0.162738

Esto significa que el valor medido de l es:

l=10.1

±

Y propagando el error para encontrar la incertidumbre de la velocidad:

v=343

±6 m

l=10.1

±

Y propagando el error para encontrar la incertidumbre de la velocidad:

v=343

±6 m

Ajustes no lineales:

Los comportamientos de femómenos físicos no siempre se pueden modelar como una función lineal. Sin embargo, si nosotros sabemos el modelo que sigue el fenómeno físico, podemos utilizar el programa para encontrar dicho ajuste con el comando FindFit.

Ejemplo: Suponga que tenemos un objeto a 500m del suelo y lo lanzamos verticalmente hacia abajo, una persona toma mediciones de distancia y tiempo para el objeto. A partir de estos datos queremos encontrar la velocidad inicial, y aceleración efectiva (no usaremos la aceleración debido a la gravedad para no despreciar la resistencia del aire).

Sabemos que los datos de posición y distancia siguen la siguiente ecuación:

Y=Y0-V0*t-(a*t^2)/2 dat2 =880, 500<, 82, 481<, 84, 443<, 86, 388<, 88, 302<, 810, 204<, 812, 71<<; G1 = ListPlot@dat2D 2 4 6 8 10 12 100 200 300 400 500

FindFit@dat2, 500 - V0 * t - 0.5 * a * t^2, 8V0, a<, tD

8V0®2.66574, a®5.476<

G2 = Plot@500 - 2.67 * t - 0.5 * 5.48 * t^2, 8t, 0, 12<, PlotStyle ® RedD

2 4 6 8 10 12 100 200 300 400 500 Ajuste_y_Coordenadas.nb 5

Show@G1, G2, AxesLabel ® 8"tHsL", "YHmL"<D 2 4 6 8 10 12 tHsL 100 200 300 400 500 YHmL 6 Ajuste_y_Coordenadas.nb

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Análisis Vectorial

Las cantidades que utilizamos en la clase no solo se limitan a funciones(o campos

escalares), tambien podemos tener vectores (y vampos vectoriales). A continuación como definir vectores y algunas de las operaciones tanto básicas como avanzadas

Se tienen los siguientes campos escalares: R1= x*y^2*z^3

R2=(x-y*z)/(y*x-z^2)

y los siguientes campos vectoriales: S1=(y*z,x-z^2,2*y-x/z)

S2=(x*y*z, x-y-z, z*x^2)

S3=(2*zCos[f], r^2+z^2, r*Tan[f])

S4=(Cos[f]*Sin[q], r^3*Tan[q], r*Sin[q]*Sin[2*f] )

R1 = x * y ^ 2 * z ^ 3;

R2 =Hx - y * zL • Hy * x - z^2L; S1 =8y * z, x - z^2, 2 * y - x • z<; S2 =8x * y * z, x - y - z, z * x^2<;

S3 =82 * z * Cos@fD, r^2 + z^2, r * Tan@fD<;

S4 =8Cos@fD * Sin@qD, r^3 * Tan@qD, r * Sin@qD * Sin@2 * fD <;

Producto punto y producto cruz (no depende del sistema de coordenadas):

Dot@S1, S2D Dot@S2, S1D x2K2 y -x z Oz+x y2z2+Hx-y-zL Ix-z2M x2K2 y -x z Oz+x y2z2+Hx-y-zL Ix-z2M Dot@S1, S3D Ix-z2M Iz2+ r2M +2 y z2Cos@fD + K2 y -x z O rTan@fD Cross@S1, S2D Cross@S2, S1D :-x-2 x y+2 y2+ x2 z -x y z +x3z+2 y z-x2z3, -x2y+2 x y2z-x2y z2, x y z-x2y z-y2z-y z2+x y z3> :x+2 x y-2 y2 -x2 z + x y z -x3z-2 y z+x2z3, x2y-2 x y2z+x2y z2,-x y z+x2y z+y2z+y z2-x y z3>

Gradiente, Divergencia, Rotacional, Laplaciano:

Estos comandos si dependen del sistema de coordenadas por lo cual no se pueden utilizar como los comandos anteriores.

Gradiente, Divergencia, Rotacional, Laplaciano:

Estos comandos si dependen del sistema de coordenadas por lo cual no se pueden utilizar como los comandos anteriores.

Grad@R1, 8x, y, z<, "Cartesian"D 9y2z3, 2 x y z3, 3 x y2z2= Grad@R2, 8x, y, z<, "Cartesian"D :-yHx-y zL Ix y-z2M 2 + 1 x y-z2 , -xHx-y zL Ix y-z2M 2 -z x y-z2 , 2 zHx-y zL Ix y-z2M 2 -y x y-z2 > Div@S1, 8x, y, z<, "Cartesian"D x z2 Div@S3, 8r, f, z<, "Cylindrical"D 2 z Cos@fD r Curl@S4, 8r, q, f<, "Spherical"D

:2 Cos@qDSin@2fD,-Sin@qDSin@2fD +

1 r

Csc@qD I-Sin@qDSin@fD -r Sin@qD2Sin@2fDM, 3 r2Tan@qD

-Cos@qDCos@fD -r3Tan@qD r

>

Gráficos:

V = 9 * 10 ^H-3L * 1 • HSqrt@x^2 + y^2DL; Electrico = - Grad@V, 8x, y<, "Cartesian"D; Gr1 = ContourPlot@V, 8x, -10, 10<, 8y, -10, 10<D;

Gr2 = StreamPlot@Electrico, 8x, -10, 10<, 8y, -10, 10<D; Show@Gr1, Gr2D -10 -5 0 5 10 -10 -5 0 5 10 8 Ajuste_y_Coordenadas.nb

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Sistemas de Coordenadas:

Hasta ahora nosotros hemos definido directamente los vectores, pero en la problemas

encontrados muchas veces nos toca convertir de un sistema de coordenadas a otro.

Mathe-matica tiene una función para hacer dichos cambios directamente.

EJEMPLOS:

Cambie los siguientes campos vectoriales a los demas sistemas coordenados.

T1 =8Hy^2 - x^2L, x * y * z, Hx^2 - z^2L<; T2 = 8z * Sin@fD, -r * Cos@fD, 2 * r * z<;

T1 en cilindricas:

FullSimplify@TransformedField@"Cartesian" ® "Cylindrical", T1, 8x, y, z< ® 8r, f, Z<DD

:r2

Cos@fD I-Cos@fD2+H1+ZLSin@fD2M, 1 2

r2HZ+H2+ZLCos@2fDLSin@fD,-Z2+ r2Cos@fD2>

T1 en esféricas:

FullSimplify@TransformedField@"Cartesian" ® "Spherical", T1, 8x, y, z< ® 8r, q, f<DD

:r2I-Cos@qD3-Cos@fDCos@2fDSin@qD3+Cos@qDCos@fDSin@qD2ICos@fD +r Sin@qDSin@fD2MM, r2Sin@qD

-Cos@fD2Sin@qD2

-1 4

HCos@fD +Cos@3fDLSin@2qD +Cos@qD2I1+r Cos@fDSin@qDSin@fD2M , r2Sin@qD2Sin@fD IH1+r Cos@qDLCos@fD2-Sin@fD2M>

T2 en cartesianas:

FullSimplify@TransformedField@"Cylindrical" ® "Cartesian", T2, 8r, f, z< ® 8x, y, zeta<DD

:x y 1 x2+y2 + zeta x2+y2 , -x2 x2+y2 + y2zeta x2+y2 , 2 x2+y2 zeta> T2 en esféricas:

FullSimplify@TransformedField@"Cylindrical" ® "Spherical", T2, 8r, f, z< ® 8r, q, F<DD

9r Cos@qDSin@qD H2 r Cos@qD +Sin@FDL,