Ingeniería de la
Madera
Volumen 10 Número 1
Abril, 2014
Revista del Laboratorio de Mecánica de la Madera División de Estudios de Posgrado
Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo
ISSN: En trámite
Características físicas de 12 maderas mexicanas.
Javier Ramón Sotomayor Castellanos | Mariana Ramírez Pérez Desarrollo de la fórmula para calcular el módulo de elasticidad de la madera en pruebas de flexión.
Investigación e Ingeniería de la Madera, Volumen 10, No. 1, enero-abril 2014.
Publicación cuatrimestral editada por la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, Av. Francisco J. Mújica, s/n. Ciudad Universitaria. Código Postal 58030. Teléfono y Fax (443) 322-3500.
www.investigacioneingenieriadelamadera.umich.mx, [email protected]. Editor: Javier Ramón Sotomayor Castellanos. Reserva de Derechos al Uso Exclusivo No. En trámite. ISSN: En trámite. Ambos otorgados por el Instituto Nacional del Derecho de Autor. Responsable de la última actualización de este número, Laboratorio de Mecánica de la Madera, División de Estudios de Posgrado, Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera, Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, Javier Ramón Sotomayor Castellanos. Av. Francisco J. Mújica, s/n. Ciudad Universitaria. C.P. 58030. Teléfono y Fax (443) 322-3500, fecha de la última modificación: 30 de abril de 2014.
Diseño y formación: Laboratorio de Mecánica de la Madera, División de Estudios de Posgrado, Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera.
Portada: Joel Benancio Olguín Cerón y Javier Ramón Sotomayor Castellanos.
Publicado digitalmente en Morelia, Michoacán, México. Abril de 2014.
Consulta electrónica: www.cic.umich.mx,
www.academia.edu, www.researchgate.net y
http://laboratoriodemecanicadelamadera.weebly.com/.
Derechos reservados: ©Laboratorio de Mecánica de la Madera, División de Estudios de Posgrado, Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera y ©Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo.
Editor de la revista:
Javier Ramón Sotomayor Castellanos
Comité editorial:
Luz Elena Alfonsina Ávila Calderón, UMSNH Marco Antonio Herrera Ferreyra, UMSNH David Raya González, UMSNH
Contenido
Características físicas de 12 maderas mexicanas.
Javier Ramón Sotomayor Castellanos y Mariana Ramírez Pérez ... 4
Desarrollo de la fórmula para calcular el módulo de elasticidad de la madera en pruebas de flexión.
Características físicas de 12 maderas mexicanas
Javier Ramón Sotomayor Castellanos1 Mariana Ramírez Pérez2
Resumen
Se determinaron la densidad y las características higroscópicas de doce maderas mexicanas. Asimismo, se propusieron dos criterios de clasificación. El primero se fundamenta en la distribución estadística de resultados experimentales y sus medidas centrales y de dispersión. El segundo se refiere al agrupamiento de especies de acuerdo a magnitudes similares de sus características físicas, referidas en correlaciones estadísticas entre variables dependientes e independientes. Los valores promedio de los parámetros calculados son del mismo orden de magnitud que los de los datos presentados en trabajos anteriores. La relación de anisotropía de la contracción volumétrica fue de 1.83 para las especies estudiadas y califica como media. Un análisis de regresión entre diferentes parámetros observados aportó los siguientes corolarios: las contracciones tangencial y radial no correlacionan con la densidad básica; el punto de saturación de la fibra disminuye linealmente a medida que la densidad aumenta con un coeficiente de determinación de 0.45 para un 95 % de confianza; el máximo contenido de humedad y los espacios vacíos disminuyeron cuando la densidad básica aumentó en una correlación exponencial con un coeficiente de determinación de 0.99. La velocidad de hidratado disminuyó en porcentaje del coeficiente de contracción volumétrica y aumentó en relación con el punto de saturación de la fibra.
Palabras clave: Densidad, Contenido de humedad, Higrocontracción, Punto de saturación de la fibra, Velocidad de hidratado.
1 Profesor, Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera, UMSNH, [email protected] 2
Abstract
The density and hygroscopic properties of twelve Mexican wood species were determined, and based on the results, two classification criteria are proposed. The first classification is based on the statistical distribution of the measurements, as well as on their central and dispersion statistical parameters. The second refers to grouping the species according to similar values of their physical characteristics, based on statistical correlations between dependent and independent variables. The average values of the parameters calculated are in the same order ofmagnitude as the data presented in previous works. The anisotropy ratio of volumetric shrinkage was 1.83 for the species studied and qualifies as medium. A regression analysis between different parameters observed provided the following corollaries: the tangential and radial contractions do not correlate with basic density; the fiber saturation point decreases linearly as the density increases with a coefficient of determination of 0.45 at 95% of confidence; the maximum moisture content and void spaces decreased when basic density increased in an exponential correlation with a coefficient of determination of 0.99. The hydration rate decreased in function of the coefficient of volumetric shrinkage and increased in relation to the fiber saturation point.
Key words: Density, Moisture content, Hygrocontraction, Fiber saturation point, Hydration rate.
Introducción
Los principales criterios para la selección de una especie de madera en el diseño de productos funcionales y en la concepción e ingeniería de edificaciones de madera, se pueden sintetizar en la lógica de selección de materiales propuesta por Ashby et al. (2009), esquematizada en la Figura 1.
Describiendo este enfoque, y partiendo desde lo general y periférico, hacía lo material y central, inicialmente, la biodiversidad propone una disponibilidad de material genético renovable, con variabilidad natural y que actualmente se puede optimizar con fines de sustentabilidad ecológica. Al mismo tiempo, el costo energético de transformación, el cual se refleja en lo económico y depende igualmente de la apreciación estética por parte del usuario del material, está ligado a la aptitud de cada madera para su maquinado, estabilizado y protección. Finalmente, son las características físicas de la madera, derivadas de su composición química y de su estructura anatómica, las que definen la valoración comercial, y son la referencia en el diseño de productos funcionales y elementos constitutivos de estructuras de madera.
Figura 1. Lógica de selección de una especie de madera para su uso en diseño e ingeniería de productos y estructuras (Adaptada de Ashby et al., 2009).
Lógica de selección de la madera como material de ingeniería:
Sustentabilidad ecológica y variabilidad genética
Disponibilidad
Maquinado, estabilizado y protección Economía y estética
Características físicas de la madera
Entre los productos de madera contemporáneos donde el conocimiento de las características físicas de una especie de madera en particular encuentra aplicación, se pueden citar muebles, instrumentos musicales, madera de ingeniería y tableros contrachapados y aglomerados, y otros materiales de Ingeniería reconstituidos a partir de madera como materia prima. Respecto a la industria de la edificación con madera, las características físicas encuentran aplicación en el dimensionado de elementos estructurales, como vigas y columnas, y en componentes de construcciones de madera como lo son vigas laminadas, escaleras, cubiertas, muros y entramados.
Problemática
La densidad y las características tecnológicas de la madera están ampliamente documentadas para la mayoría de especies empleadas en diferentes escalas de transformación. Desde su uso artesanal, hasta la manufactura de madera reconstituida. En México, estas características han sido estudiadas entre otros autores por Fuentes-Salinas (2000), Bárcenas-Pazos y Dávalos-Sotelo (2001), Tamarit-Urias y Fuentes-Salinas (2003), De la Paz Pérez-Olvera y Dávalos-Sotelo (2008), Silva-Guzmán (2008), Silva-Guzmán et al. (2010) y Sotomayor-Castellanos y Ramírez-Pérez (2013).
Uno de los corolarios usuales de las investigaciones sobre el tema de estudio, es la calificación de las características tecnológicas propias de una muestra de madera determinadas experimentalmente. Ese punto de vista se confunde fácilmente con la clasificación o aptitud de toda la madera de ese género y/o especie para un uso en específico, el cual finalmente, es el que tradicionalmente le dan los usuarios, los artesanos o los industriales del ramo.
Sin embargo, cuando el Diseñador y/o el Ingeniero quieren desarrollar un nuevo producto, no existen criterios que les guíen hacia la correcta selección de una
empleada en un producto innovador. De tal forma, que se hace necesario proponer un enfoque racional para la apreciación de una madera basada, en este caso de estudio, en sus propiedades físicas. Es importante recordar que, para una óptima elección de una especie de madera, es recomendable tomar en consideración los criterios de selección discutidos para la Figura 1.
Por otra parte, el estudio de los fenómenos higro-mecánicos de la madera, debido a su complejidad, necesita de técnicas de modelado, que para su validación, requieren de datos experimentales (Muszyński, 2006) los cuales son escasos. En efecto, en la literatura especializada se han propuesto descripciones teóricas que requieren para su validación, de características determinadas experimentalmente (Mackerle, 2005).
La presente investigación tuvo por objetivos determinar la densidad y las características higroscópicas de doce maderas mexicanas. Asimismo, se propusieron criterios de clasificación para la densidad y para las características higroscópicas:
- Densidad básica
- Punto de saturación de la fibra - Higrocontracción tangencial
- Coeficiente de higrocontracción tangencial - Higrocontracción radial
- Coeficiente de higrocontracción radial - Higrocontracción volumétrica
- Coeficiente de higrocontracción volumétrica - Máximo contenido de humedad
- Porcentaje de pared celular - Porcentaje de espacios libres - Velocidad de hidratado
Para lograr estos objetivos, se empleó madera de las especies: Gyrocarpus americanus Swietenia macrophylla Enterolobium cyclocarpum Cedrela odorata Juglans pyriformis Lysiloma spp. Swietenia humillis Caesalpinia platyloba Celeanodendron mexicanum Quercus spp. Albizia plurijuga Platymiscium dimorphandrum
Los criterios de clasificación aquí propuestos comprenden dos enfoques. El primero hace uso de los criterios de clasificación propuestos por Sotomayor-Castellanos y Ramírez-Pérez (2013) basados en la distribución estadística de resultados experimentales y sus medidas centrales y de dispersión. El segundo es una propuesta original de esta investigación. Este enfoque se refiere al agrupamiento de especies de acuerdo a magnitudes similares de sus características físicas contextualizadas en correlaciones estadísticas entre variables dependientes e independientes. La combinación de adjetivos con carácter de axiomas, resulta en una calificación de las características de baja hasta alta y en guías de clasificación que recomiendan en diferentes medidas la aplicación de estos criterios de selección.
La investigación se limita a proporcionar criterios para la selección de las especies estudiadas para su uso como material de ingeniería en la industria de la construcción. Particularmente como elementos de resistencia y función estructural.
Materiales y métodos
Se recolectaron en la región de Arteaga, Michoacán piezas de madera aserrada de 11 especies angiospermas listadas en la Tabla 1. Además, se recolectaron en el Estado de Quintana Roo, piezas de madera del género Lysiloma spp. El género y especie de las maderas fueron establecidos en el lugar de acopio y su identificación botánica se realizó en los Laboratorios de la Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera. Las piezas de madera aserrada se almacenaron durante 36 meses en una cámara de acondicionamiento a una temperatura de 20 °C y con una humedad relativa del aire de 65 %. Antes de proceder a las pruebas físicas, las piezas de madera fueron recortadas en probetas conteniendo únicamente madera de duramen. Las dimensiones iniciales de la sección transversal de las probetas fueron de 20 mm x 20 mm. La longitud en la dirección longitudinal fue en promedio de 60 mm.
El proceso experimental consistió en el procedimiento siguiente:
1. Inicialmente, se pesaron y se midieron las dimensiones de las probetas.
2. Posteriormente, las probetas se depositaron en agua a temperatura de 20 °C durante 72 horas.
3. A continuación, se pesaron y se midieron las dimensiones de las probetas en la condición hidratada.
4. En seguida, las probetas se deshidrataron en un horno con una temperatura de 103 °C durante 48 horas.
5. Finalmente, se pesaron y se midieron las dimensiones de las probetas en la condición deshidratada.
Durante las pruebas de higroscopia, se observó que la orientación de las probetas no estaba alineada con las direcciones radial, tangencial y longitudinal de la madera. Por este motivo, las mediciones de sus aristas se emplearon únicamente para calcular los volúmenes correspondientes a los diferentes contenidos de humedad de la madera y para determinar su densidad básica y su velocidad de hidratado. El análisis estadístico de los resultados se realizó con el programa Statgraphics®.
La higrocontracción tangencial se estimó con la ecuación (Sotomayor-Castellanos y Ramírez-Pérez, 2013):
βT = 10.8 ρ00.44 (1)
Donde:
βT = Higrocontracción tangencial (%)
ρ0 = Densidad básica (kg/m3)
La higrocontracción radial se estimó con la ecuación (Sotomayor-Castellanos y Ramírez-Pérez, 2013):
βR = 5.9 ρ00.44 (2)
Donde:
βR = Higrocontracción radial (%)
ρ0 = Densidad básica (kg/m3)
En las fórmulas (1) y (2), la densidad básica se define como (Fuentes-Salinas, 2000):
ρ0= Wseco
Donde:
ρ0 = Densidad básica (kg/m3)
Wseco = Peso en estado seco (m3)
Vsat = Volumen en estado saturado (m3)
La higrocontracción volumétrica se calculó con la fórmula (Fuentes-Talavera et al., 2002):
βV = (Vsat - Vseco
Vsat ) *100 (4)
Donde:
βV = Higrocontracción volumétrica (%)
Vsat = Volumen en estado saturado (m3)
Vseco = Volumen en estado seco (m3)
El punto de saturación de la fibra se calculó con fórmula (Fuentes-Salinas, 2000):
PSF = βV
0.9 x ρ0 (5)
Donde:
PSF = Punto de saturación de la fibra (%) βV = Higrocontracción volumétrica (%)
ρ0 = Densidad básica (kg/m3)
El coeficiente de higrocontracción tangencial se calculó con la fórmula (Sotomayor-Castellanos et al., 2010):
λT =
βT
Donde:
λT = Coeficiente de higrocontracción tangencial (%/%)
βT = Higrocontracción tangencial (%)
PSF = Punto de saturación de la fibra (%)
El coeficiente de higrocontracción radial se calculó con la fórmula (Sotomayor-Castellanos et al., 2010):
λR = βR
PSF (7)
Donde:
λR = Coeficiente de higrocontracción radial (%/%)
βR = Higrocontracción radial (%)
PSF = Punto de saturación de la fibra (%)
La relación de anisotropía se calculó con la fórmula (Fuentes-Talavera et al., 2002):
βT⁄βR = βT βR (8) Donde: βT/βR = Relación de anisotropía (%/%) βT = Higrocontracción tangencial (%) βR = Higrocontracción radial (%)
El coeficiente de higrocontracción volumétrica se calculó con la fórmula (Sotomayor-Castellanos et al., 2010):
λV = βV
Donde:
λV = Coeficiente de higrocontracción volumétrica (%/%)
βV = Higrocontracción volumétrica (%)
PSF = Punto de saturación de la fibra (%)
El máximo contenido de humedad se calculó con la fórmula (Tamarit-Urias y Fuentes-Salinas, 2003):
MCH = ( 1.53 - ρ0
1.53 * ρ0 ) x 100 (10)
Donde:
MCH = Máximo contenido de humedad (%) ρ0 = Densidad básica (kg/m3)
El porcentaje de pared celular se calculó con la fórmula (Tamarit-Urias y Fuentes-Salinas, 2003):
PC = ( ρ0
1.53 ) x 100 (11)
Donde:
PC = Porcentaje de pared celular (%) ρ0 = Densidad básica (kg/m3)
El porcentaje de espacios vacíos se calculó con la fórmula (Tamarit-Urias y Fuentes-Salinas, 2003):
EV = (1 - ρ0
Donde:
EV = Porcentaje de espacios vacíos (%) ρ0 = Densidad básica (kg/m3)
El contenido de humedad de la madera se calculó con la fórmula (Sotomayor-Castellanos y Ramírez-Pérez, 2013):
CH = ( W1- W2
W2 ) x 100 (13)
Donde:
CH = Contenido de humedad (%)
W1 = Peso de la probeta en estado saturado (kg)
W2 = Peso de la probeta en estado anhidro (kg)
La velocidad de hidratado se calculó con la fórmula:
vh = CHini - CHmax
thid (14)
Donde:
vh = Velocidad de hidratado (% / h)
CHini = Contenido de humedad inicial (%)
CHmax = Contenido de humedad máximo después de 72 horas de hidratado (%)
Resultados y análisis
La Tabla 1 presenta los resultados experimentales de la densidad, de la higrocontracción volumétrica y del coeficiente de higrocontracción volumétrica. Además, ahí se presentan los parámetros estimados empleando las fórmulas propuestas en la sección de metodología.
Los valores promedio de los parámetros calculados son del mismo orden de magnitud que los de los datos para maderas mexicanas presentados anteriormente por Fuentes-Salinas (2000), Bárcenas-Pazos y Dávalos-Sotelo (2001), Tamarit-Urias y Fuentes-Salinas (2003), De la Paz Pérez-Olvera y Dávalos-Sotelo (2008), Silva-Guzmán (2008), Silva-Guzmán et al. (2010) y Sotomayor-Castellanos y Ramírez-Pérez (2013).
La relación de anisotropía βT/βR fue de 1.83 para todas las especies y califica como
media. Este resultado es común a todas las maderas por el hecho de que estos
parámetros fueron calculados con las ecuaciones (1) y (2), las cuales son proporcionales entre sí.
Los coeficientes de variación de los parámetros de las doce especies son proporcionales a los coeficientes propuestos para la densidad y las características higroscópicas de maderas mexicanas propuestas por Sotomayor-Castellanos y Ramírez-Pérez (2013).
Un análisis de regresión entre diferentes parámetros observados aportó los siguientes resultados:
- Las contracciones tangencial y radial no correlacionan con la densidad básica.
- El punto de saturación de la fibra disminuye a medida que la densidad aumenta linealmente con un coeficiente de determinación (R2) de 0.45.
- El máximo contenido de humedad y los espacios vacíos disminuyeron cuando la densidad básica aumentó en una correlación exponencial con un coeficiente de determinación (R2) de 0.99.
El análisis subsiguiente comprende dos enfoques. El primero hace uso de los criterios de clasificación propuestos por (Sotomayor-Castellanos y Ramírez-Pérez, 2013). El segundo por el criterio de agrupamiento de cuadrantes, propuesto en esta investigación.
La Tabla 2 presenta la clasificación para cada uno de los parámetros de las doce especies estudiadas. Esta categorización está fundamentada en los criterios de valoración para características higroscópicas propuestos por Sotomayor-Castellanos y Ramírez-Pérez (2013). Los valores de los intervalos de los criterios de clasificación se presentan en la Tabla 3.
Criterio de agrupamiento de especies
La Figura 2 presenta los resultados de la contracción volumétrica de esta investigación y del punto de saturación de la fibra, ambos con su localización relativa respecto a datos de Bárcenas-Pazos (1985) y Tamarit-Urias y Fuentes-Salinas (2003). Los resultados están ordenados en función de la densidad de la madera. Dado que existen valores iguales o similares, aparentemente en el gráfico no se muestran todos los valores y/o puntos correspondientes a los autores referidos. Este efecto de escala aplica de igual forma para la Figura 3. Los puntos señalados como resultados de esta investigación representan los valores promedio para cada una de las doce especies aquí estudiadas.
Con el objeto de simplificar la consulta de la Figura 2, solo se presenta al primer autor y el año de publicación del documento consultado. La información completa de la citas se puede encontrar en la sección de referencias.
Tabla 1. Características físicas. Nombre botánico (Nombre común) Número de probetas ρ0 PSF βT λT βR λR βV λV MCH PC EV kg/m3 % % %/% % %/% % %/% % & % Gyrocarpus americanus (Rabalero) 41 x̅ 350 27.63 6.80 0.25 3.71 0.14 8.68 0.31 221 22.9 77.1 σ 22 4.41 0.19 0.04 0.10 0.02 1.31 0.02 18 1.47 1.47 CV 0.06 0.16 0.03 0.16 0.03 0.16 0.15 0.06 0.08 0.06 0.02 Swietenia macrophylla (Caoba) 16 x̅ 422 24.87 7.39 0.30 4.04 0.17 9.44 0.38 172 27.6 72.4 σ 17 3.94 0.13 0.05 0.07 0.03 1.50 0.02 9.68 1.10 1.10 CV 0.04 0.16 0.02 0.17 0.02 0.17 0.16 0.04 0.06 0.04 0.02 Enterolobium cyclocarpum (Parota) 40 x̅ 469 16.38 7.74 0.50 4.23 0.27 6.92 0.42 148 30.7 69.3 σ 19 3.46 0.14 0.15 0.08 0.08 1.47 0.02 8.78 1.26 1.26 CV 0.04 0.21 0.02 0.30 0.02 0.30 0.21 0.04 0.06 0.04 0.02 Cedrela odorata (Cedro rojo) 40 x̅ 472 22.96 7.75 0.35 4.23 0.19 9.63 0.42 148 30.8 69.2 σ 43 4.26 0.31 0.08 0.17 0.04 1.33 0.04 19.61 2.83 2.83 CV 0.09 0.19 0.04 0.22 0.04 0.22 0.14 0.09 0.13 0.09 0.04 Juglans pyriformis (Nogal) 35 x̅ 546 19.87 8.27 0.48 4.52 0.26 9.71 0.49 118 35.7 64.3 σ 35 4.66 0.24 0.12 0.13 0.07 2.10 0.03 12.60 2.30 2.30 CV 0.06 0.23 0.03 0.25 0.03 0.25 0.22 0.06 0.11 0.06 0.04 Lysiloma spp. (Tzalam) 38 x̅ 568 23.28 8.38 0.38 4.58 0.21 11.48 0.51 119 37.1 62.9 σ 112 5.08 0.75 0.11 0.41 0.06 1.53 0.10 41.56 7.29 7.29 CV 0.20 0.22 0.09 0.29 0.09 0.29 0.13 0.20 0.35 0.20 0.12 Swietenia humillis (Cóbano) 16 x̅ 639 11.91 8.87 0.77 4.84 0.42 6.85 0.58 91 41.8 58.2 σ 16 2.12 0.10 0.14 0.05 0.07 1.20 0.01 4.06 1.07 1.07 CV 0.03 0.18 0.01 0.18 0.01 0.18 0.17 0.03 0.04 0.03 0.02 Caesalpinia platyloba (Chilillo) 19 x̅ 683 20.60 9.13 0.45 4.99 0.24 12.7 0.61 8 44.7 55.3 σ 34 1.87 0.20 0.05 0.11 0.03 0.82 0.03 7.63 2.24 2.24 CV 0.05 0.09 0.02 0.11 0.02 0.11 0.06 0.05 0.09 0.05 0.04 Celeanodendron mexicanum (Guayabillo) 16 x̅ 692 17.81 9.18 0.58 5.02 0.32 11.00 0.62 80 45.2 54.8 σ 48 4.60 0.27 0.27 0.15 0.15 2.66 0.04 9.34 3.11 3.11 CV 0.07 0.26 0.03 0.46 0.03 0.46 0.24 0.07 0.12 0.07 0.06 Quercus spp. (Encino) 32 x̅ 702 23.71 9.24 0.40 5.05 0.22 14.91 0.63 78 45.8 54.2 σ 48 3.29 0.28 0.06 0.15 0.03 1.87 0.04 9.89 3.15 3.15 CV 0.07 0.14 0.03 0.15 0.03 0.15 0.13 0.07 0.13 0.07 0.06 Albizia plurijuga (Parotilla) 16 x̅ 773 13.93 9.64 0.72 5.27 0.39 9.67 0.70 64 50.5 49.5 σ 26 2.68 0.14 0.16 0.08 0.09 1.77 0.02 4.33 1.71 1.71 CV 0.03 0.19 0.01 0.22 0.01 0.22 0.18 0.03 0.07 0.03 0.03 Platymiscium dimorphandrum (Hormiguillo) 23 x̅ 808 10.81 9.83 0.97 5.37 0.53 7.80 0.73 59 52.8 47.2 σ 52 2.85 0.28 0.25 0.15 0.14 1.79 0.05 7.86 3.38 3.38 CV 0.06 0.26 0.03 0.26 0.03 0.26 0.23 0.06 0.13 0.06 0.07
ρ0: Densidad básica; PSF: Punto de saturación de la fibra; βT: Higrocontracción tangencial; λT: Coeficiente de
higrocontracción tangencial; βR: Higrocontracción radial; λR: Coeficiente de higrocontracción radial; βV: Higrocontracción
volumétrica; λV: Coeficiente de higrocontracción volumétrica; MCH: Máximo contenido de humedad; PC: Porcentaje de
Tabla 2. Clasificación de la densidad y características higroscópicas de maderas mexicanas de acuerdo a los criterios propuestos por Sotomayor-Castellanos y Ramírez-Pérez (2013). Nombre botánico ρ0 PSF βT λT βR λR βV λV MCH PC EV Gyrocarpus americanus MB ME ME MB BA BA MB MB MA MB MA Swietenia macrophylla MB AL ME ME BA BA MB BA MA MB MA Enterolobium cyclocarpum BA MB ME MA ME AL MB ME AL BA AL Cedrela odorata BA ME ME ME ME ME MB ME AL BA AL Juglans pyriformis ME MB ME MA ME AL MB ME ME ME ME Lysiloma spp. ME ME ME AL ME ME BA ME ME ME ME Swietenia humillis ME MB ME MA ME MA MB AL ME ME ME Caesalpinia platyloba ME BA ME MA ME ME ME AL BA ME ME Celeanodendron mexicanum AL MB AL MA ME MA BA AL BA AL BA Quercus spp. AL ME AL AL ME ME AL MA BA AL BA Albizia plurijuga AL MB AL MA ME MA MB MA BA AL BA Platymiscium dimorphandrum MA MB AL MA ME MA MB MA MB MA MB
MB: Muy bajo; BA: Bajo; ME: Medio; AL: Alto; MA: Muy alto; ρ0: Densidad básica; PSF: Punto de
saturación de la fibra; βT: Higrocontracción tangencial; λT: Coeficiente de higrocontracción
tangencial; βR: Higrocontracción radial; λR: Coeficiente de higrocontracción radial; βV:
Higrocontracción volumétrica; λV: Coeficiente de higrocontracción volumétrica; MCH: Máximo
contenido de humedad; PC: Porcentaje de pared celular; EV: Porcentaje de espacios libres.
Tabla 3. Valores de los intervalos de los criterios de clasificación para la densidad y las características higroscópicas de maderas mexicanas (Sotomayor-Castellanos y Ramírez-Pérez, 2013).
Intervalo Límites ρ0 PSF βT λT βR λR βT/βR βV λV MCH PC EV
Muy bajo Máximo 428 20.15 5.44 0.22 3.35 0.13 1.40 10.05 0.33 59.36 27.94 49.02 Bajo Inferior 428 20.15 5.44 0.22 3.35 0.13 1.40 10.05 0.33 59.36 27.94 49.02 Superior 516 22.79 6.69 0.27 4.12 0.17 1.66 11.66 0.41 87.40 33.70 54.78 Medio Inferior 516 22.79 6.69 0.27 4.12 0.17 1.66 11.66 0.41 87.40 33.70 54.78 Superior 692 28.06 9.17 0.37 5.67 0.25 2.19 14.87 0.55 143.48 45.22 66.30 Alto Inferior 692 28.06 9.17 0.37 5.67 0.25 2.19 14.87 0.55 143.48 45.22 66.30 Superior 780 30.70 10.41 0.43 6.44 0.29 2.46 16.48 0.62 171.52 50.98 72.06 Muy alto Mínimo 780 30.70 10.41 0.43 6.44 0.29 2.46 16.48 0.62 171.52 50.98 72.06
ρ0: Densidad básica; PSF: Punto de saturación de la fibra; βT: Higrocontracción tangencial; λT:
Coeficiente de higrocontracción tangencial; βR: Higrocontracción radial; λR: Coeficiente de
higrocontracción radial; βV: Higrocontracción volumétrica; λV: Coeficiente de higrocontracción
volumétrica; MCH: Máximo contenido de humedad; PC: Porcentaje de pared celular; EV: Porcentaje de espacios libres.
Siguiendo la propuesta metodológica de Ashby (1999), en la Figura 2 se observan dos áreas de agrupamiento señaladas por líneas discontinuas. Las mayores o globales, las cuales circunscriben a los valores de Bárcenas-Pazos (1985) y de Tamarit-Urias y Fuentes-Salinas (2003), y las interiores o delimitadas, que agrupan a los valores correspondientes a esta investigación.
No obstante que la distribución de la densidad básica de las especies en estudio se extiende desde 300 kg/m3 hasta 800 kg/m3, los valores correspondientes de la
contracción volumétrica y del punto de saturación de la fibra, se sitúan en la parte inferior de las áreas mayores correspondientes a los datos bibliográficos.
Este enfoque gráfico de comparación de resultados, tiene la ventaja de ser práctico y de mostrar que los resultados obtenidos son comparables con los de trabajos anteriores. Sin embargo, no orientan al Diseñador y al Ingeniero con información más precisa y/o con criterios para una correcta selección de una especie o grupo de maderas para su empleo en la concepción de productos utilitarios y de estructuras de madera. En el mismo contexto, para fines de agrupación en la transformación, la comercialización y el uso de maderas con características equivalentes, es necesario proporcionar información complementaria.
La Figura 3 propone criterios de clasificación basados en la correlación entre parámetros dependientes y complementados por la segmentación de la distribución estadística de los valores de la variable independiente, en este caso la densidad.
El dominio de la variable dependiente, tabulada en el eje de las abscisas, está dividido a partir de la media aritmética, calculada del total de los valores de referencia colectados en la etapa experimental, y segmentada por la desviación estándar correspondiente. El dominio correspondiente a las variables dependientes tabuladas en el eje de las coordenadas, en este caso la contracción volumétrica y el punto de saturación de la fibra, está segmentado por la correlación, en este caso
lineal, entre estas variables y la dependiente. De tal suerte, que con la combinación de segmentaciones se forman cuatro cuadrantes.
Figura 2. Resultados de esta investigación de la contracción volumétrica (βv) y del
punto de saturación de la fibra (PSF) en función de la densidad básica (ρ0) y su
localización respecto a datos de Bárcenas-Pazos (1985) y Tamarit-Urias y Fuentes-Salinas (2003). 0 5 10 15 20 25 0 200 400 600 800 1,000 1,200 βV (%) ρ0 (kg/m3) Bárcenas (1985) Tamarit (2003) Esta investigación (2014) 0 10 20 30 40 50 0 200 400 600 800 1,000 1,200 P S F ( %) ρ0 (kg/m3) Bárcenas (1985) Tamarit (2003) Esta investigación (2014)
Los valores experimentales se pueden entonces agrupar según su posición en alguno de estos cuadrantes. La línea divisoria correspondiente a la media aritmética (x̅) de la densidad básica (ρ0), las líneas asociadas a más y a menos una vez la
desviación estándar (+σ y –σ), las correlaciones lineales, así como las áreas de agrupamiento son presentadas en la Figura 3. En este caso, los valores con los cuales se calcularon los estadígrafos referidos, corresponden a datos de las 332 probetas de las doce especies estudiadas, los cuales conforman una base de datos experimentales derivada de esta investigación.
Una vez situadas las maderas en el segmento correspondiente, a cada especie o grupo de maderas se les asigna una clasificación. Por ejemplo, la Tabla 4 propone los criterios de selección Densidad-Higrocontracción volumétrica para la elaboración y empleo de elementos estructurales para edificaciones de madera. Como resultado, la columna Especie agrupa las maderas con clasificaciones que van desde un empleo no recomendable, hasta óptimo.
Las reglas que explican los criterios en la Tabla 4 son las siguientes: la densidad se considera alta si es mayor que el valor de la media aritmética. La higrocontracción clasifica como alta para valores mayores que los estimados por la ecuación de regresión. Si se considera que la densidad de la madera es un indicador de las propiedades de elasticidad y de resistencia mecánica (Bodig y Jayne, 1982), la mejor (óptima) relación higrocontracción-densidad se sitúa en el cuadrante 4: menor higrocontracción y mayor densidad.
Los índices anteriores, se proponen para el caso de un destino industrial especializado de una especie de madera, como la elaboración de componentes para estructuras de madera, se prefiere una alta densidad combinada con una higrocontracción mínima.
Figura 3. Relaciones contracción volumétrica (βV)-densidad básica (ρ0): βV = 0.0055
ρ0 + 6.7 y punto de saturación de la fibra (PSF) - densidad básica (ρ0): PSF = -0.02
ρ0 + 34.2 y áreas de agrupamiento. Los puntos negros corresponden a 332 probetas
ensayadas en la investigación. Como existen valores iguales o similares, por un efecto de escala, aparentemente en el gráfico no se muestran todos los valores. x̅ : Media aritmética, σ: Desviación estándar.
0 5 10 15 20 300 400 500 600 700 800 900 βV (%) ρ (kg/m3) 332 probetas de 12 especies
Promedios por especie
Cuadrante 2 Cuadrante 3 Cuadrante 4 βV= f (ρ0) ̅x +σ -σ 0 10 20 30 40 300 400 500 600 700 800 900 P S F ( %) ρ (kg/m3) 332 probetas de 12 especies
Promedios por especie Cuadrante 2 Cuadrante 4 ̅x -σ +σ Cuadrante 1 Cuadrante 3 PSF = f (ρ0) Cuadrante 1
Tabla 4. Criterios de selección Densidad (ρ0) - Higrocontracción volumétrica (βV)
para el empleo de una especie de madera en elementos estructurales en la industria de la edificación.
Parámetros de criterio Cuadrante
Clasificación Especie ρ0 βV Baja resistencia mecánica Alta variación dimensional Cuadrante 1 No recomendable Gyrocarpus americanus Swietenia macrophylla Cedrela odorata Juglans pyriformis Lysiloma spp. Alta resistencia mecánica Alta variación dimensional Cuadrante 2 Aceptable Caesalpinia platyloba Celeanodendron mexicanum Quercus spp. Baja resistencia mecánica Baja variación dimensional Cuadrante 3
Recomendable Enterolobium cyclocarpum
Alta resistencia mecánica Baja variación dimensional Cuadrante 4 Óptima Swietenia humillis Albizia plurijuga Platymiscium dimorphandrum
ρ0: Densidad básica; βV: Contracción volumétrica.
La Tabla 5 propone los criterios de selección Densidad-Punto de saturación de la fibra para la elaboración y empleo de elementos estructurales para edificaciones de madera. Al igual que en la Tabla 4, la columna Especie agrupa las maderas con clasificaciones que van desde no recomendable, hasta óptima.
Las reglas que explican los criterios en la Tabla 5 son las siguientes: la densidad se considera alta si es mayor que el valor de la media aritmética. El punto de saturación de la fibra clasifica como alto para valores mayores que los estimados por la ecuación de regresión. Si se considera que el punto de saturación de la fibra es un indicador de la dificultad para tratamientos de secado y de preservación, la mejor (óptima) relación punto de saturación de la fibra-densidad se sitúa en el cuadrante 4: menor higrocontracción y mayor densidad.
En congruencia de los criterios anteriores de la Tabla 4, las reglas anteriores, se proponen para el caso de un destino industrial especializado de una especie de madera, como la elaboración de componentes para estructuras de madera, donde se prefiere una alta densidad combinada con un bajo punto de saturación de la fibra.
Tabla 5. Criterios de selección Densidad (ρ0) - Punto de saturación de la fibra (PSF)
para el empleo de una especie de madera en elementos estructurales en la industria de la edificación.
Parámetro de criterio Cuadrante
Clasificación Especie ρ0 PSF Baja resistencia mecánica Alto punto de saturación de la fibra Cuadrante 1 No recomendable Gyrocarpus americanus Swietenia macrophylla Cedrela odorata Lysiloma spp. Alta resistencia mecánica Alto punto de saturación de la fibra Cuadrante 2 Aceptable Quercus spp. Caesalpinia platyloba Celeanodendron mexicanum Baja resistencia mecánica Bajo punto de saturación de la fibra Cuadrante 3 Recomendable Juglans pyriformis Enterolobium cyclocarpum Alta resistencia mecánica Bajo punto de saturación de la fibra Cuadrante 4 Óptimo Albizia plurijuga Swietenia humillis Platymiscium dimorphandrum
ρ0: Densidad básica; PSF: Punto de saturación de la fibra.
Si se hace abstracción de los aspectos económicos y de preferencias estéticas del proyecto de diseño y de ingeniería, el Diseñador y/o el Ingeniero necesitan tomar en cuenta las propiedades y/o aptitudes para el maquinado, estabilizado y protección de una especie determinada. De tal forma, que las tablas 4 y 5 pueden ser diferentes para otras características y especies y necesitan complementarse con los criterios de clasificación de la resistencia mecánica de la madera.
más importantes para la valoración de una especie, de acuerdo con Bárcenas-Pazos (1985) y Silva-Guzmán et al. (2010).
Velocidad de hidratado
La Figura 4, esquematiza la velocidad de hidratado para cada una de las especies estudiadas. Un análisis de correlación de tipo potencia demostró que la velocidad de hidratado de la madera disminuye a medida que su densidad aumenta, con un coeficiente de determinación (R2) de 0.47 para un nivel de confianza del 95 %. En
efecto, una especie más pesada requiere más tiempo para absorber humedad. Un análisis de regresión entre las velocidades de hidratado y de deshidratado en función de la densidad básica aportó los siguientes resultados: La velocidad de hidratado disminuye cuando la densidad aumenta con una correlación exponencial con un coeficiente de determinación (R2) de 0.49 para un 95 % de confianza.
Igualmente, la velocidad de deshidratado de la madera disminuye con una correlación exponencial con un coeficiente de determinación de 0.53 proporcionalmente al aumento de la densidad.
Figura 4. Velocidad de hidratado (vh) para las 12 especies estudiadas. 0.20 0.22 0.35 0.38 0.42 0.46 0.47 0.49 0.49 0.51 0.72 1.03 Switenia humillis Platymiscium dimorphandrum Albizia plurijuga Celeanodendron mexicanum Swietenia macrophylla Juglans pyriformis Cedrela odorata Lysiloma spp Quercus obtusata Quercus spp Enterolobium cyclocarpum Gyrocarpus americanus vh(% / h)
La Figura 5a presenta la tendencia de la velocidad de hidratado en función del coeficiente de higrocontracción volumétrica. La correlación es de tipo potencia con un coeficiente de determinación bajo, aún para relaciones entre parámetros físicos de la madera, en las cuales los coeficientes de determinación considerados deseables para fines de predicción, se sitúan alrededor de 0.7 de acuerdo con Bodig y Jayne (1982). Sin embargo, esta correspondencia permite observar que a mayor capacidad para absorber agua, la madera requiere mayor tiempo para hidratarse, pero esta velocidad es específica para cada especie.
Caso excepcional es Gyrocarpus americanus, especie que presenta una velocidad de hidratado comparativamente mayor que las especies estudiadas. De acuerdo a los criterios de selección en función de la densidad, la higrocontracción volumétrica y el punto de saturación de la fibra, esta madera clasifica como no recomendable (Tablas 4 y 5). Es decir, una madera que se hidrata rápidamente puede denotar una densidad baja, un alto punto de saturación de la fibra y una alta variación dimensional. De aquí que se puede intuir que si una especie tiene alta velocidad de hidratado, presentará dificultades una vez en condiciones de servicio, en el caso de estudio, para su correcto funcionamiento como elemento estructural.
Por su parte, Albizia plurijuga, Swietenia humillis y Platymiscium dimorphandrum se sitúan en una posición opuesta de Gyrocarpus americanus, con los valores más bajos de velocidad de hidratado, resultado que se relaciona con altas densidades, baja variación dimensional y bajo punto de saturación de la fibra (Tablas 4 y 5), resultado que coincide con el hecho de que este grupo de maderas se sitúa en los cuadrantes 4 de las Figuras 3a y 3b, y clasifican como óptimas según las Tablas 4 y 5. En decir, una magnitud baja del parámetro vh, sugiere especies con buena
resistencia mecánica y buena estabilidad dimensional, en este caso, propiedades deseables para una especie de madera en usos como elementos estructurales.
coeficiente de determinación R2 = 0.56 para un 95 % de confianza. En este caso, la
correspondencia entre estas variables sugiere que a mayor PSF, la velocidad vh
aumenta. En efecto, un PSF mayor corresponde a un menor porcentaje de pared celular (Figura 6a) y en consecuencia, a un mayor porcentaje de espacios vacíos en la madera (Figura 6b).
Figura 5. Velocidad de hidratado de la madera en función de: a) Coeficiente de higrocontracción volumétrica (λV); y b) Punto de saturación de la fibra (PSF). R2:
Coeficiente de determinación para un 95 % de confianza.
Gyrocarpus americanus vh= 0.1977 λV -1.2 R² = 0.49 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 vh (% / h) λβV (%/%) Swietenia humillis Albizia plurijuga Platymiscium dimorphandrum a) Gyrocarpus americanus vh = 0.0171 PSF 1.11 R² = 0.56 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 0 5 10 15 20 25 30 vh (% / h) PSF (%) Swietenia humillis Albizia plurijuga Platymiscium dimorphandrum b)
Figura 6. a) Porcentaje de pared celular (PC) en función del punto de saturación de la fibra (PSF). b) Porcentaje de espacios vacíos (EV) en función del contenido del punto de saturación de la fibra (PSF). R2: Coeficiente de determinación para un 95
% de confianza.
De tal forma que el parámetro vh en función de λv y PSF, tiene la misma tendencia
que PC y EV en función de PSF. Gyrocarpus americanus se distingue y Albizia
plurijuga, Swietenia humillis y Platymiscium dimorphandrum se agrupan.
Gyrocarpus americanus PC = 191.6 PSF -0.56 R² = 0.42 0 20 40 60 80 100 0 5 10 15 20 25 30 P C ( %) PSF (%) Swietenia humillis Albizia plurijuga Platymiscium dimorphandrum a) Gyrocarpus americanus EV = 22.4 PSF 0.34 R² = 0.44 0 20 40 60 80 100 0 5 10 15 20 25 30 E V ( %) PSF (%) Swietenia humillis Albizia plurijuga Platymiscium dimorphandrum b)
En efecto, a mayor magnitud de los espacios vacíos (EV), mayor será la porosidad del material. En consecuencia, menor velocidad de hidratado y en consecuencia mayor dificultad para tratamientos de secado y de impregnación con substancias de protección.
El volumen de espacio vacío interno por unidad de volumen externo que caracteriza a cada especie de madera, predice el volumen máximo de solución preservante que es capaz de absorber. Conociendo esto, se puede variar la concentración de la solución preservante para que se logren los niveles de retención óptimos, siguiendo a Tamarit-Urias y Fuentes-Salinas (2003).
La velocidad de hidratado es un parámetro que informa acerca de la permeabilidad de una madera. Una velocidad de hidratado alta sugiere facilidad para procesos de impregnado en medios y/o con procesos acuosos. Sin embargo, para definir mejor esta característica con su impacto en procesos industriales de estabilización higroscópica, es necesario considerar el fenómeno de absorción en los diferentes escalas jerárquicas de su estructura anatómica y los fenómenos de transporte que afectan la velocidad de hidratado de acuerdo con Eitelberger, Svensson y Hofstetter (2011).
La Figura 7a presenta la relación de la velocidad de hidratado en función del porcentaje del máximo contenido de humedad. En ella se puede observar entre estas dos variables una correlación con un coeficiente de determinación bajo pero que indica que cuando el máximo contenido de humedad de una madera aumenta, su velocidad de hidratado se incrementa. Por su parte, Gyrocarpus americanus se distingue del grupo de especies estudiadas. Un análisis de correlación múltiple resultó en un aumento del coeficiente de determinación obtenido de la correlación simple entre vh y MCH (R2 = 0.48, Figura 7a) a R2 = 0.63 para un nivel de confianza
del 95 %, con el modelo: Vh = -0.0244 + 0.01 PSF + 0.0027 MCH. En efecto, si se
que puede contener más agua y que tiene un punto de saturación alto, la velocidad para absorber humedad será mayor.
Figura 7. Velocidad de hidratado de la madera en función de: a) Máximo contenido de humedad (MCH); y b) Porcentaje de pared celular (PC) y porcentaje de espacios libres (EV). R2: Coeficiente de determinación para un 95 % de confianza.
La Figura 7b presenta la relación de la velocidad de hidratado en función del
Gyrocarpus americanus vh = 0.0133 MCH 0.75 R² = 0.48 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 0 50 100 150 200 250 vh (% / h) MCH (%) a) Gyrocarpus americanus vh = 34.2 PC -1.2 R² = 0.49 vh = 0.0001 EV 1.95 R² = 0.46 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 0 20 40 60 80 100 vh (% / h) PC (%), EV (%) PC EV b)
representadas por las correlaciones entre estas variables convergen hacia valores de la velocidad de hidratado entre 0.2 a 0.4.
Combinando los resultados presentados en la Tabla 1 y los de la Figura 7b, se deduce que cuando la densidad de las especies estudiadas es superior a 600 kg/m3
y presentan velocidades de hidratado bajas, el punto de saturación de la fibra tiende a valores mínimos y los porcentajes de pared celular y de espacios libres fluctúan alrededor del 50 %.
Conclusiones
Se determinaron la densidad y las características higroscópicas de doce maderas mexicanas y se plantearon criterios de clasificación para la densidad y para las características higroscópicas.
Se propuso un enfoque racional basado, en este caso de estudio, en las propiedades físicas, para la apreciación de una especie de madera en diseño e ingeniería.
Los criterios estadísticos y de agrupación de especies propuestos fueron de utilidad para clasificar la densidad y las características higroscópicas de 12 especies de madera.
Agradecimientos
A los alumnos de la Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera, de la UMSNH: Emerson Cárdenas Casas y Juan José Hernández Solís por recolectar y donar el material experimental, y a Luis Fernando Lechuga Bistre por colaborar en la preparación de las probetas. La investigación estuvo patrocinada por la Coordinación de la Investigación Científica, de la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo.
Referencias
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Desarrollo de la fórmula para calcular el módulo de elasticidad de la madera en pruebas de flexión
Javier Ramón Sotomayor Castellanos1 Joel Benancio Olguín Cerón2
Este trabajo tiene por objetivo presentar el desarrollo teórico del comportamiento en flexión de vigas llamadas de Timoshenko. Este enfoque se aplica para vigas solicitadas en flexión tres puntos, donde se consideran los esfuerzos cortantes internos en las vigas. En contraste, se puede también utilizar la perspectiva del análisis de vigas de Euler-Bernoulli, el cual se emplea para el análisis de vigas y probetas de madera solicitadas en flexión simple, es decir, cuando no se consideran los esfuerzos cortantes desarrollados al interior de los especímenes en estudio.
La ecuación desarrollada es equivalente a la ecuación propuesta en las normas de la Asociación Americana de Métodos y Materiales (ASTM, 2009), la Organización Internacional para la Normalización (ISO, 1975) y utilizada entre otros por Bodig y Jayne (1982), para determinar módulos de elasticidad en probetas de madera.
Para establecer la fórmula para calcular el módulo de elasticidad de la madera, realizando pruebas de flexión, se propone partir de las ecuaciones constitutivas y del análisis de equilibrio de momentos y fuerzas presentes en la probeta. Como hipótesis que facilite el análisis, la probeta o viga en estudio se modela como una viga con forma de paralelepípedo, de geometría uniforme y estructuralmente homogénea, sometida a flexión transversal sobre apoyos simples, e idealizando a la madera como un material elástico y de medio continuo.
Para el desarrollo de las ecuaciones constitutivas y el establecimiento de las fórmulas de aplicación práctica, se sintetizó la información de los siguientes autores:
Biblis (1965), Bodig y Jayne (1982), Görlacher (1984), Hernández Maldonado (2010), Newlin y Trayer (1956), Timoshenko (1955) y Villaseñor Aguilar (2007). El texto está sustentado en la Tesis de Maestría de Olguín Cerón (2011).
Ecuación constitutiva
El desplazamiento transversal (deflexión) w(x) bajo cargas estáticas en una viga uniforme de Euler-Bernoulli, es presentado en la Figura 1a. Este sistema está regido por la ecuación:
𝑬𝑰 𝒅
𝒅𝒙 𝒘(𝒙) = 𝒇(𝒙) 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝑳 (1)
Donde:
𝑬 = Módulo de elasticidad.
𝑰 = Momento de inercia de la sección transversal de la viga. 𝑳 = Portada de flexión de la viga.
La función fuerza 𝒇(𝒙) para las cargas aplicadas sobre la viga, mostradas en la Figura 1a, es de la forma:
𝒇(𝒙) = 𝒒(𝒙) + 𝒇𝟎 𝜹(𝒙 − 𝒙𝒇) − 𝝋 𝒅
𝒅𝒙 𝜹(𝒙 − 𝒙𝝋) (2)
Donde:
𝒒(𝒙) = Carga externa distribuida. 𝒇𝟎 = Fuerza puntual aplicada en 𝒙𝒇.
𝝋 = Momento aplicado en 𝒙𝝋.
𝒘(𝒙) = Deflexión del eje neutro de la viga.
Figura 1. a) Diagrama de cargas y deflexión de una viga en flexión. b) Segmento infinitesimal de la viga (Olguín Cerón, 2011).
L a) EI b) y x q(x) f0 θ xf xφ φ θ R x y R dθ a a ds θ y
Eje neutro de la viga
En la ecuación (2), en la Figura 1 y en adelante, el desplazamiento de la viga y las fuerzas transversales puntuales o distribuidas son positivos cuando su dirección es hacia arriba. Igualmente, el momento aplicado es positivo cuando va en dirección contraria a las manecillas del reloj.
Condiciones de frontera
Las condiciones de frontera de la viga son:
En el extremo izquierdo:
𝑩𝟎𝟏 [𝒘(𝒙)]𝒙=𝟎 = 𝜶𝟏 𝑩𝟎𝟐 [𝒘(𝒙)]𝒙=𝟎 = 𝜶𝟐 (3)
En el extremo derecho:
𝑩𝑳𝟏 [𝒘(𝒙)]𝒙=𝑳= 𝜷𝟏 𝑩𝑳𝟐 [𝒘(𝒙)]𝒙=𝑳= 𝜷𝟐 (4)
Donde 𝑩𝟎𝟏, 𝑩𝟎𝟐, 𝑩𝑳𝟏 y 𝑩𝑳𝟐 son operadores espaciales diferenciales, y 𝜶𝟏, 𝜶𝟐, 𝜷𝟏 y 𝜷𝟐 representan perturbaciones asociadas a las condiciones de frontera: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝑳.
Caracterización de la viga
La respuesta estática de la viga se define por:
Desplazamiento (deflexión transversal): 𝒘(𝒙) (5)
Rotación (pendiente): 𝜽(𝒙) = 𝒅
Momento de flexión: 𝑴(𝒙) = 𝑬𝑰 𝒅 𝟐 𝒅𝒙𝟐 𝒘(𝒙) (7) Cortante: 𝑸(𝒙) = 𝑬𝑰 𝒅 𝟑 𝒅𝒙𝟑 𝒘(𝒙) (8)
En las relaciones (7) y (8), el momento de flexión 𝑴(𝒙) y la cortante 𝑸(𝒙), son fuerzas internas en la viga.
Reacciones en los soportes
En las fronteras del dominio 0 ≤ x ≤ L de la portada de flexión, se ejercen momentos y fuerzas de reacción a la viga cuando está sujeta a momentos y fuerzas externas (Figuras 1a y 2). Estas reacciones soportan a la viga y de esta forma, la equilibran con respecto a las fuerzas externas aplicadas. Por esta razón, estas condiciones de frontera son también llamadas soportes.
Estas reacciones están representadas por:
𝑴𝒄 = − 𝑬𝑰 𝒅 𝟐 𝒅𝒙𝟐 (𝟎) 𝑹𝒄 = 𝑬𝑰 𝒅𝟑 𝒅𝒙𝟑 (𝟎) En el apoyo izquierdo (x = 0) (9) 𝑴𝒄 = 𝑬𝑰 𝒅𝟐 𝒅𝒙𝟐 (𝑳) 𝑹𝒄 = − 𝑬𝑰 𝒅𝟑 𝒅𝒙𝟑 (𝑳) En el apoyo derecho (x = L) (10)
El problema fundamental en el análisis estático de una viga de Euler-Bernoulli, es el siguiente: Dadas las fuerzas externas sobre una viga y sus condiciones de frontera, determinar la respuesta de la viga en términos de desplazamiento, rotación, momento de flexión y cortante. Esta respuesta es gobernada por la ecuación (1) y las condiciones de frontera señaladas por las relaciones (3) y (4).
Hipótesis de las vigas de Euler-Bernoulli.
Las hipótesis simplificadoras para el estudio de una viga de Euler-Bernoulli son:
a) Hipótesis cinemática: las secciones planas de la viga, normales a su eje neutro, permanecen planas después de que la viga es deformada en flexión.
b) Hipótesis de elasticidad lineal: en estado de deformación, el esfuerzo normal y la deformación de la viga en su dirección longitudinal, satisfacen la ley de Hooke:
𝛔
𝒙 = 𝑬𝛆
𝒙 (11)Donde:
𝛔
𝒙 = Esfuerzo normal a la dirección x.𝛆
𝒙 = Deformación unitaria en la dirección x.c) Hipótesis de las pequeñas deflexiones: la viga es sometida a pequeñas deformaciones, de tal forma que su rotación (Ecuación 6):
𝜽(𝒙) = 𝒅
𝒅𝒙 𝒘(𝒙) (6)
Es una cantidad insignificante en comparación con la unidad.
d) Hipótesis de la flexión simple: la viga es solicitada en flexión simple. Dado que el momento de flexión es constante a lo largo de la portada de la viga, no se generan esfuerzos internos cortantes en ningún segmento de la viga.
Curvatura del eje de la viga
De acuerdo a la hipótesis cinemática a), la deformación normal
𝛆
𝒙, en un segmento infinitesimal de fibra a-a de la viga, esquematizado en la Figura 1b, que se encuentra a una distancia y del eje de la viga es expresada por:𝛆
𝒙 = − 𝛋 𝒚 (12)Donde 𝛋, es la curvatura del eje de la viga y está dada por:
𝛋 = 𝟏 𝑹= 𝒅𝜽 𝒅𝒔 = 𝒅𝟐 𝒅𝒙𝟐 𝒘(𝒙) [𝟏 + (𝒅 𝒅𝒙 𝒘(𝒙)) 𝟐 ] 𝟑 𝟐 (13)
Donde R es el radio de curvatura del eje neutro de la viga (Figura 1b).
De acuerdo a la hipótesis c), de las pequeñas deflexiones: |𝒅 𝒅𝒙 𝒘(𝒙)| « 𝟏 (14) La ecuación (13) se reduce a: 𝛋 = 𝟏 𝑹= 𝒅𝟐 𝒅𝒙𝟐 𝒘(𝒙) (15) Relación Momento-Curvatura
De acuerdo a la hipótesis b), de la elasticidad lineal y empleando las ecuaciones (12) y (15), el esfuerzo normal se define por:
𝛔
𝒙 = − 𝑬 𝒚𝒅𝟐
𝒅𝒙𝟐 𝒘(𝒙) (16)
Por otra parte, de acuerdo a la hipótesis d), de la flexión simple, el momento de flexión de la viga es:
𝑴(𝒙) = − ∫
𝛔
𝒙 𝒚 𝒅𝑨 𝑨 = 𝑬 𝒅 𝟐 𝒅𝒙𝟐 𝒘(𝒙) ∫ 𝒚𝟐 𝑨 𝒅𝑨 = 𝑬𝑰 𝒅 𝟐 𝒅𝒙𝟐 𝒘(𝒙) (17)Donde: 𝑬𝑰 es la rigidez a la flexión de la viga, e I es el momento de inercia de la sección transversal de la viga, en relación al eje z, de la Figura (2), y es equivalente a:
𝑰 = ∫ 𝒚𝟐 𝑨
𝒅𝑨 (18)
De acuerdo a la Figura 2, el área A de la sección transversal de la viga, es definida por su base b multiplicada por su altura h, es decir:
𝑨 = 𝒃 𝟐𝒚 (19)
Con: h = 2 y
Empleando la expresión (19), e integrando la ecuación (18) en función de y, el momento de inercia I de la sección es:
𝑰 = 𝟐 ∫ 𝒃𝒚𝟐 𝑨 𝒅𝒚 = 𝟐 [𝒃𝒚 𝟑 𝟑 ] 𝟎 𝒉 𝟐 = 𝒃𝒉 𝟑 𝟏𝟐 (20)
Figura 2. a) Diagrama de cuerpo libre de la viga. b) Diagrama de cortante. c) Secciones deformadas. d) Distribución de esfuerzo corte. P: Carga (Olguín Cerón, 2011). b L/2 y dA
τ
max h L/2 P y x P/2 P/2 P/2 - P/2 a) c) d) y xEje neutro de la viga Secciones deformadas
b)
y1
z
Como corolario, y de acuerdo con las ecuaciones (15) y (16), la curvatura de la viga y el esfuerzo normal están relacionados al momento de flexión M por las relaciones:
𝛋 = 𝟏 𝑹= 𝑴 𝑬𝑰 (21) y
𝛔
𝒙 = − 𝑴 𝑰 𝒚 (22) Ecuaciones de equilibrioConsiderando un segmento infinitesimal dx, de la viga mostrada en la Figura 3, las ecuaciones de balance de las fuerzas y los momentos aplicados al segmento son:
𝑸 + 𝒒𝒅𝒙 – (𝑸 + 𝒅𝑸) = 𝟎 (23)
− 𝑴 − 𝑸𝒅𝒙 – 𝒒𝒅𝒙 (𝒅𝒙
𝟐 ) + 𝑴 + 𝒅𝑴 = 𝟎 (24)
Considerando que 𝒅𝒙 → 𝟎, la ecuación (24) se reduce a:
𝒅𝑸(𝒙)
𝒅𝒙 = 𝒇(𝒙) (25)
y
𝒅𝑴(𝒙)
Figura 3. Segmento infinitesimal de la viga (Olguín Cerón, 2011).
Combinando las ecuaciones (17), (25) y (26), se tiene:
𝒇(𝒙) =𝒅𝑸 𝒅𝒙 = 𝒅𝟐𝑴 𝒅𝒙𝟐 = 𝑬𝑰 𝒅𝟒𝒚 𝒅𝒙𝟒 (27)
Identificando el desplazamiento w(x) con la deflexión de la viga y, la ecuación (27) es equivalente a la ecuación (1), por lo tanto:
𝑴 = 𝑬𝑰 𝒅 𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 (28a) 𝑸 = 𝑬𝑰 𝒅 𝟑𝒚 𝒅𝒙𝟑 (28b)
Como corolario, las igualdades (28a) y (28b), se identifican a las ecuaciones (7) y (8). q(x) dx M Q M + dM Q + dQ y x
Flexión tres puntos
Para el caso particular de una viga en flexión solicitada por una carga puntual a mitad de su portada, es decir en flexión tres puntos, la deflexión total de la viga es ocasionada por la fuerza del momento de flexión, combinada con la fuerza cortante. Este enfoque es conocido como análisis de vigas de Timoshenko:
𝒚𝒇𝒍𝒆𝒙 = 𝒚𝑴+ 𝒚𝑸 (29)
Donde:
𝒚𝒇𝒍𝒆𝒙 = Deflexión total de la viga solicitada en medio de la portada.
𝒚𝑴 = Deflexión de la viga ocasionada por el momento de flexión. 𝒚𝑸 = Deflexión de la viga ocasionada por la fuerza cortante.
La deflexión 𝒚𝑴 se puede calcular a partir de la ecuación (28a):
𝑴 = 𝑬𝑰 𝒅
𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐 (28a)
De acuerdo con el diagrama de cortante presentado en la Figura (2b), la ecuación (28a), se puede escribir:
𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐= 𝑴 𝑬𝑰 (30) Con 𝑴 = − 𝑷𝒙 𝟐 (31)
Sustituyendo la ecuación (31) en la ecuación (30), se obtiene:
E integrando la ecuación (32) se llega a: 𝒅𝒚 𝒅𝒙= − 𝑷𝒙𝟐 𝟒𝑬𝑰 + 𝑪𝟏 (33) Donde: 𝑪𝟏 = Constante de integración.
Integrando la ecuación (33), se obtiene:
𝒚 = − 𝑷𝒙 𝟑 𝟏𝟐𝑬𝑰 + 𝑪𝟏𝒙 + 𝑪𝟐 34 Donde: 𝑪𝟐 = Constante de integración. De acuerdo a la ecuación (6): 𝜽(𝒙) = 𝒅 𝒅𝒙 𝒘(𝒙) (6)
Y de conformidad a la Figura (2a), la pendiente de la viga es igual a:
𝒅𝒚 𝒅𝒙= −
𝑷𝒙𝟐
𝟒𝑬𝑰 + 𝑪𝟏 (33)
Al mismo tiempo, empleando la ecuación (33), para 𝒙 = 𝑳/2, donde la pendiente es nula, se obtiene:
𝑪𝟏=
𝑷 𝑳𝟐
𝟏𝟔 𝑬𝑰 (35)
De acuerdo a la ecuación (1), la deflexión y de la viga en 𝒙 = 𝟎, es igualmente nula, y recurriendo a la ecuación (34), se obtiene:
𝑪𝟐= 𝟎 (36)
De tal forma que la deflexión total de la viga a la mitad de su portada es:
𝒚 = − 𝑷𝒙
𝟑
𝟏𝟐𝑬𝑰+ 𝑷𝑳𝟐𝒙
𝟏𝟔𝑬𝑰 (37)
Sustituyendo en la ecuación (37), x por 𝑳/2, se llega a:
𝒚 = − 𝑷𝑳 𝟑 𝟒𝟖𝑬𝑰+ 𝟐𝑷𝑳𝟑 𝟒𝟖𝑬𝑰 (38) Simplificando, se obtiene: 𝒚 = 𝑷𝑳 𝟑 𝟒𝟖𝑬𝑰 (39)
La deflexión y en la fórmula (39), equivale a la deflexión de la viga 𝒚𝑴, en la ecuación (29), ocasionada por el momento de flexión M.
Respecto a la deflexión de la viga ocasionada por la cortante, la deflexión 𝒚𝑸 de la ecuación (29), se puede calcular a partir de la ecuación (8):
𝑸(𝒙) = 𝑬𝑰 𝒅
𝟑
𝒅𝒙𝟑 𝒘(𝒙) (8)
Identificando w(x) con la deflexión, la ecuación (8), se puede expresar igualmente como: 𝑸(𝒙) = 𝑬𝑰 𝒅 𝒅𝒙( 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐) (40) En la ecuación (40), (𝒅𝟐𝒚
Por otra parte, y de acuerdo con Timoshenko (1955), la deflexión ocasionada únicamente por el esfuerzo cortante, se expresa como el deslizamiento entre las secciones transversales y adyacentes de la viga, tal como se ilustra en la Figura 2c, la cual esquematiza la curvatura del eje de la viga producida únicamente por la deformación cortante.
Dado que los esfuerzos no están distribuidos de manera constante a lo largo de la sección transversal de la viga, la sección plana se flexiona localmente. Es decir, la hipótesis cinemática de una viga de Euler-Bernoulli no se verifica. Como resultado, las secciones planas de la viga, normales a su eje neutro, no permanecen planas después de que la viga es deformada en flexión (Figura 2c).
Tal como se esquematiza en la Figura 2c, los pequeños elementos rectangulares alineados al eje neutral se deforman en rombos. En consecuencia, la pendiente de la curva de la deflexión de la viga (𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐), debida únicamente al esfuerzo cortante
τ,
es igual, en cada sección transversal, a la deformación angular con respecto al centroide de la sección transversal de la viga.
Si se define 𝒚𝝉, como la deflexión del eje neutro de la viga, ocasionada únicamente por el esfuerzo cortante, se obtiene la siguiente expresión para la pendiente de la curva en cualquier sección transversal:
𝒅𝒚𝝉 𝒅𝒙 =
τ
𝑮= 𝑲𝑽 𝑨𝑮 (41) Donde:τ
= Esfuerzo cortante. V = Fuerza cortante. A = Sección resistente. G = Módulo de rigidez.𝑉
𝐴= Esfuerzo cortante promedio equivalente a
τ
.K = Factor numérico por el cual el esfuerzo cortante promedio se multiplica para
obtener el esfuerzo cortante en el centroide de la sección transversal. El factor K depende de la geometría de la sección transversal de la viga.
Para el caso de la madera, modelada como un sólido elástico, de medio continuo, macroscópicamente homogéneo y con simetrías materiales y elásticas de carácter ortotrópico, las características elásticas E, G y los parámetros
σ
yτ
, son definidos de acuerdo con el modelo elástico general para la madera sólida propuesto por Hernández Maldonado (2011).Conforme a la Figura 2d, el esfuerzo cortante en cualquier punto a una distancia y1
del eje neutral de la sección transversal, es definido por:
𝛕
= 𝑽 𝒃𝑰∫
𝒚𝒅𝑨 𝒉 𝟐 𝒚𝟏 (42)Para el caso de una sección transversal como la mostrada en la Figura 2d, el segmento diferencial de la sección dA es igual a bdy. Por lo tanto, la integral de la ecuación (42) es: ∫ 𝒚𝒅𝑨 𝒉 𝟐 𝒚𝟏 = ∫ 𝒃𝒚𝒅𝒚 𝒉 𝟐 𝒚𝟏 = |𝒃𝒚 𝟐 𝟐 |𝒚 𝟏 𝒉 𝟐 = 𝒃 𝟐 ( 𝒉𝟐 𝟒 − 𝒚𝟏 𝟐) (43)
Como consecuencia de las relaciones en (43), se observa que el esfuerzo cortante
