Teoría de las Comunicaciones

Teoría de las Comunicaciones

Claudio Enrique Righetti

Segundo Cuatrimestre del 2013

Departamento de Computación

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires

Teoría de la Información y

Codificación

Fundamentos de T I y C - Fuente de Ruidos y Capacidad de un canal

Entropía (cont)

 La entropía de un mensaje X, que se representa por H(X), es el valor medio ponderado de la cantidad de información de los diversos estados del mensaje.

H(X) = -  p(x) log p(x)

 Es una medida de la incertidumbre media acerca de una variable aleatoria y el número de bits de información.

 El concepto de incertidumbre en H se puede asociar. La función entropía representa una medida de la incertidumbre, no obstante se suele considerar la entropía como la información media suministrada por cada símbolo de la fuente

a) La entropía es no negativa y se anula si y sólo si un estado de la

variable es igual a 1 y el resto 0 .

b) La entropía es máxima, mayor incertidumbre del mensaje, cuando todos los valores posibles de la variable X son equiprobables .

Si hay n estados equiprobables, entonces p_i = 1/n. Luego: H(X) = -  p_i log₂ p_i = - n(1/n) log₂ (1/n) = - (log₂ 1 - log₂ n)

i

H(X)_máx = log₂ n

Propiedades de la entropía

Codificación

 Establecer una correspondencia entre los símbolos de una

fuente y los símbolos del alfabeto de un código.

 Proceso mediante el cual también podemos lograr una representación más eficiente de la información ( eliminar redundancia).

Codificación : condiciones

 Bloque

 Singular

Condición de los prefijos

 La condición necesaria y suficiente para que un código sea

instantáneo es que sus palabras cumplan la condición de los prefijos:



No exista palabra que sea prefijo de otra palabra de

Códigos eficientes

 Asignar palabras más cortas a símbolos más probables

 l _i longitud de la palabra codificada del mensaje m _i

 r : # de símbolos del alfabeto del código

 L =



 L log r  H(s)

 log r : Cantidad promedio máxima de información de un

símbolo del código.

Nos falta encontrar el segundo término pendiente en la definición de cantidad de información: codificador óptimo.

Introduciendo el signo negativo dentro del logaritmo en la expresión de la entropía, ésta nos quedará como:

H(X) =  p(x) log₂ [1/p(x)]

i

La expresión log₂ [1/p(x)] representa el número necesario de bits para codificar el mensaje X en un codificador óptimo.

Codificador óptimo es aquel que para codificar un mensaje X usa el menor número posible de bits.

M = 1 “ ” = 01 A = 000 I = 0010 E = 0011

Letra Frecuencia Ocurrencias 

E 1 vez 3  6  9  15 I 2 veces A 3 veces I E A “ “ M “ “ 3 veces I E A “ “ M 6 veces I E A I E_{Código óptimo:}

Mensaje: MI MAMA ME MIMA

Mensaje: 1 0010 01 1 000 1 000 01 1 0011 01 1 0010 1 000 (33 bits) Pregunta: ¿Con cuántos bits se codificaría si se usara ASCII? Saque conclusiones.

Creación del árbol de frecuencias observadas

Los medios de transmisión….

Modelo de un Sistema de

Comunicaciones

Perturbaciones en la transmisión

 La señal recibida puede diferir de la señal transmitida  Analógico - degradación de la calidad de la señal

 Digital – Errores de bits  Causado por

 Atenuación y distorsión de atenuación  Distorsión de retardo

Atenuación

 La intensidad de la señal disminuye con la distancia  Depende del medio

 La intensidad de la señal recibida:

 Debe ser suficiente para que se detecte

 Debe ser suficientemente mayor que el ruido para que se

reciba sin error

 Crece con la frecuencia

 Ecualización: amplificar más las frecuencias más altas  Problema “menos grave” para las señales digitales

Distorsión de retardo



Sólo en medios guiados



La velocidad de propagación en el medio varía con la

frecuencia



Para una señal limitada en banda, la velocidad es

mayor cerca de la frecuencia central



Las componentes de frecuencia llegan al receptor en

distintos instantes de tiempo, originando

Ruido (1)

 Señales adicionales insertadas entre el transmisor y el

receptor

 Térmico

 Debido a la agitación térmica de los electrones

 Aumenta linealmente con la temperatura absoluta (N₀= kT)  Uniformemente distribuido en la frecuencia

 Ruido blanco (N_BW= kTB)

 Intermodulación

 Señales que son la suma y la diferencia de frecuencias originales

y sus múltiplos (mf₁± nf₂)

Ruido (2)

 Diafonía

 Una señal de una línea se mete en otra

 Impulsivo

 Impulsos irregulares o picos

 Ej: Interferencia electromagnética externa (tormenta)  Corta duración

Conceptos relacionados con la

capacidad del canal

 Velocidad de datos

 En bits por segundo

 Velocidad a la cual se pueden transmitir los datos

 Ancho de Banda

 En ciclos por segundo (hertz)

 Limitado por el transmisor y el medio

 Ruido, nivel medio a través del camino de transmisión

 Tasa de errores, cambiar 0 por 1 y viceversa (BER, Bit Erro

Ancho de Banda de Nyquist (Capacidad

teórica máxima)

Para 2 niveles SIN RUIDO

 Velocidad binaria

Para M niveles SIN RUIDO

 Velocidad binaria

 1 Baudio = 1 estado señalización/seg ( también se expresa símbolos/seg )  1 Baudio = 1 bps si M=2

 La relación entre la velocidad de transmisión C y la velocidad de modulación V es:

)

(

2

)

(

bps

B

Hz

C

=

)

(

log

)

(

2

)

(

bps

B

Hz

M

niveles

C

=

M

baudios

V

bps

C

(

)

=

(

)·log

Capacidad de Shannon (1)

 Para un cierto nivel de ruido, a mayor velocidad, menor

período de un bit, mayor tasa de error (se pueden corromper 2 bits en el tiempo en que antes se corrompía 1 bit)

 Relación Señal / Ruido (Signal Noise Ratio, SNR) en dB

 Restricción: no se puede aumentar M cuanto se quiera

porque debe cumplirse:

Ruido

Potencia

Señal

Potencia

SNR

SNR

_

_

log

10

)

log(

10

=

=

SNR

M



1



Capacidad de Shannon (2)

 En principio, si se aumenta el ancho de banda B y la

potencia de señal S, aumenta la velocidad binaria C.

 Pero:

 Un aumento del ancho de banda B aumenta el ruido

 Un aumento de potencia de señal S aumenta las no linealidades

y el ruido de intermodulación

 Por tanto, la velocidad binaria teórica máxima será:

=> 2 2 2 2

2

·

·log

·log

·log

)

(

bps

V

M

B

M

B

M

C

=

=

=

)

1

(

)·log

(

)

(

bps

B

Hz

SNR

C

=



Ejemplo

 Canal entre 3 MHz y 4 MHz

 Relación señal ruido = 24 dB, SNR=102,4=251

Calcular ancho de banda

 Respuesta: B = 1 MHz

 Calcular la velocidad binaria teórica máxima y el número de niveles  Respuesta: SNR = 251

 Respuesta: C = 8 Mbps  Respuesta: M = 16 niveles

Nivel Físico

Fundamentos – segunda Parte

Agenda ( 21-Agosto-2013)

 Medios de Transmisión : guiados y no guiados

 En el dominio de la frecuencia –Fourier (Repaso)  La red telefónica

 Conversión analógica – digital

 Modulación (Modulación Digital / Portadora Analógica)  Codificación ( “Modulación Digital/ Portadora Digital” )

Fourier : si la señal no es periódica ?

La señal de

Transformada de Fourier

Estas expresiones nos permiten calcular la expresión F(w) (dominio de la frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa







=

F

(

)

e

d

)

t

(

f



=



)

f

(

t

)

e

dt

(

F

Los coeficientes de la Serie Compleja de Fourier en este caso resultan puramente reales:

El espectro de frecuencia correspondiente lo obtenemos (en este caso) graficando c_n contra =n₀.

)

n

(

)

n

(

sen

)

(

c





=

Transformada de Fourier

Notación: A la función F() se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F, es decir

En forma similar, a la expresión qu enos permite obtener f(t) a partir de F(w) se le llama transformada inversa de Fourier y se denota por _F –1 _{,es decir}



_

₌

₌

_

_

d

e

)

(

F

)

t

(

f

)]

(

F

[

F



=



=

F

(

)

f

(

t

)

e

dt

)]

t

(

f

[

F

Transformada de Fourier

Ejemplo. Calcular F(w) para el pulso rectangular f(t)

siguiente

Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función es -p_/ 2 0 p/2 1 f(t) t



















=

t

0

t

1

t

0

)

t

(

f

Transformada de Fourier

Usando la fórmula de Euler

Obsérvese que el resultado es igual al obtenido para cn cuando T , pero multiplicado por T.





₌

=



dt

e

dt

e

)

t

(

f

)

(

F

_e

=

)

e

e

(



=

2

/

p

)

2

/

p

(

sen

p

)

(

F





=



Transformada de Fourier

F

(w)

PCM (Pulse Code Modulation)

 Las señales analógicas son digitalizadas por un dispositivo llamado codec

(coder-decoder), produciendo un número de 8 bits por muestra ( en realidad uno es para señalización) .

 El codec toma 8000 muestras por segundo (125 µseg/muestra) debido

a que el teorema de Nyquist establece que esto es suficiente para

capturar toda la información de un canal telefónico de 4 KHz de ancho de banda

 “”Ancho de banda”” de cada canal de voz = 64 Kbps.

 Como consecuencia, virtualmente todos los intervalos de tiempo en el

Enlaces : “Transporte “

 T1: Utilizado en Norteamérica y Japón. Consiste de 24

canales de voz multiplexados juntos.

 Un frame T1 consiste de 24 x 8 = 192 bits, más un bit

extra para framing, conduciendo a 193 bits cada 125 µseg.

 1 / 0.000125 seg. x 193 bits = 1544000 bps

T1=1,544 Mbps

 ITU tiene también una recomendación para un carrier

Modulación

,

Recordando los Principios básicos :

 La señal analógica utiliza una magnitud con una variación continua.  La señal digital emplea valores discretos, predefinidos

 Módem vs Códec

 Módem (MODulador-DEModulador): convierte de digital a

analógico y viceversa

 Códec (Codificador-DECodificador): convierte de analógico a

digital y viceversa

Modulación

 Proceso de variación de cierta característica de una señal,

llamada portadora, de acuerdo con una señal mensaje, llamada moduladora

 Tipos

 Moduladora Analógica/Portadora Analógica  Moduladora Analógica/Portadora Digital  Moduladora Digital/Portadora Analógica  Moduladora Digital/Portadora Digital

M. Analógica/P. Analógica

Portadora

Señal sinusoidal modulante

Onda de amplitud modulada (DSBTC)

Onda modulada en fase

M. Digital/P. Analógica

 La situación más conocida es la transmisión de datos digitales a través

de la red telefonía, diseñada para transmitir señales analógicas en el rango de frecuencias de voz (300-3400Hz)

 Técnicas

 Desplazamiento de Amplitud (ASK)  Desplazamiento de Frecuencia (FSK)  Desplazamiento de Fase (PSK)

M. Digital/P. Analógica

ASK, los valores binarios se representan mediante dos amplitudes

diferentes de la portadora

0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0

Acos(2f_ct)

0 S(t) =

M. Digital/P. Analógica

FSK, los valores binarios se representan mediante dos frecuencias diferentes de la portadora

0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0

Acos(2f₁t) S(t) =

M. Digital/P. Analógica

PSK, los valores binarios se representan mediante dos fases diferentes de la portadora

Acos(2f_ct+ ) S(t) =

Acos(2f_ct)

Velocidad de Modulación

 La Velocidad de Modulación se define como el número de

cambios de señal por unidad de tiempo, y se expresa en baudios ( o símbolos/segundo)

 La Velocidad de Transmisión, expresada en bits/sg, equivale

a la velocidad de modulación multiplicado por el número de bits representados por cada muestra

M. Digital/P. Analógica ( cont.)

Multinivel Se consigue una utilización más eficaz del ancho de banda si cada elemento de la señal transmitida representa más de un bit. Acos(2f_ct+ 45) 11 Acos(2f_ct+ 135) 10 Acos(2f_ct+ 225) 00 Acos(2f_ct+ 315) 01 S(t) =

Este esquema se puede ampliar, ya que se pueden transmitir tres, cuatro, etc. bits por señal transmitida, aumentando el número de fases distintas o incluso para cada ángulo el número de amplitudes (ASK-PSK)

M. Digital/P. Analógica

n = 3

M. Digital/P. Analógica

Modulación Trellis (QAM)

M. Analógica/P. Digital

 Vimos que el proceso de conversión de señales analógicas en digitales

se le denomina digitalización y a los dispositivos que lo levan a cabo

codec

 Métodos

 Modulación por impulsos codificados (MIC/PCM) : que ya

vimos

M. Digital/P. Digital

 Los datos binarios se transmiten codificando cada bit de

datos en cada elemento de señal

 Motivo

 Filtrado de las bajas frecuencias

NRZ

No retorno a cero (NRZ) Consiste en utilizar una tensión negativa para representar un 1 y una positiva para representar un 0

NRZI

No retorno a cero con inversión de unos (NRZI) Los datos se codifican mediante la presencia o ausencia de una transición al principio del intervalo de un 1 ( Por ejemplo se usa en la comunicación de un puerto USB )

Manchester

Bifase (Manchester) Se codifica mediante una transición en la mitad del intervalo de duración del bit: de bajo a alto representa un 1 y de alto a bajo un 0

Manchester Diferencial

Bifase Diferencial (Manchester Diferencial) La codificación de un 0 se representa por la presencia de una transición al principio del intervalo del bit y un 1 mediante la ausencia de transición

Manchester diferencial

M. Digital/P. Digital

Bipolar-AMI Un 0 se representa por ausencia de señal y un 1 se representa mediante un pulso positivo o negativo alternadamente

M. Digital/P. Digital

Pseudoternario Un 1 se representa por ausencia de señal y un 0 se representa mediante un pulso positivo o negativo alternadamente

M. Digital/P. Digital

 Códigos de alta densidad

 Reemplaza secuencia de bits que dan lugar a niveles de tensión

constante por otra que proporcione transiciones para que el receptor este sincronizado

 El receptor debe identificar la secuencia reemplazada y sustituirla

M. Digital/P. Digital

 B8ZS (Bipolar con sustitución de 8 ceros)

 Si aparece 8 bits a cero

 Ultimo valor positivo 0 0 0 + - 0 - +  Ultimo valor negativo 0 0 0 + 0 +

-Bipolar AMI

B8ZS

M. Digital/P. Digital

 HDB3 (Bipolar 3 ceros alta densidad)

 Se reemplaza cadenas de 4 ceros por cadenas con 1 o 2

pulsos.

 Polaridad ultimo pulso Nº pulsos bipolares (cambios

de flancos) de ultima sustitución

Impar Par  Positivo 0 0 0 + - 0 0 -  Negativo 0 0 0 - + 0 0 + Bipolar AMI HDB3 V B V B V