ReceptorOptimo1

RECEPTOR OPTIMO:

Ruido en sistemas digitales banda base

Habíamos dicho que el canal producía dos perturbaciones: La interferencia

intersimbólica y el ruido. Para esto recordemos el diagrama básico de un sistema de transmisión banda base:

A continuación veremos solo el efecto del ruido. Supondremos un receptor que tiene un Filtro Pasabanda de ancho de banda apropiado seguido de un

Si una señal binaria, supongamos que va entre 0.5 A y –0.5 A, se contamina con ruido esta cambia de apariencia tal y como se muestra en la gráfica siguiente:

Si el umbral se fija, por ejemplo, en cero, es probable que la decisión respecto a los 1s y 0s resulte errada en varias oportunidades. El parámetro que se debe calcular es la

probabilidad de error por símbolo (para el caso binario un símbolo es igual a un bit). Para el caso general supondremos que los niveles están distanciados A volts. Así: P(error)=P(error/T1)P(T1) + P (error/T0)P(T0)

Donde:

P(T1)=Probabilidad de transmitir un 1 P(T0)=Probabilidad de transmitir un 0 Entonces:

P(error)=P(0.5A+n<Umbral)P(T1) + P(-0.5A+n >Umbral)P(T0) Hacer 0.5A+n, es desplazar la fdp del ruido en 0.5A.

Calcular P(0.5A+n<Umbral) se reduce a determinar el área que se encuentra por debajo del Umbral.

Hacer -0.5A+n, es desplazar la fdp del ruido en -0.5A.

Calcular P(-0.5A+n >Umbral)se reduce a determinar el área que se encuentra por encima del Umbral.

A continuación se observa esto de manera gráfica:

En el ejemplo se ha supuesto que las probabilidades de transmitir 1 y 0 son iguales y que por esto el umbral seleccionado ha sido cero volts.

El área moteada representa P(-0.5A+n >Umbral)P(T0)= 0.5P(-0.5A+n >0) Juatamente para este caso:

P(error)=P(0.5A+n<Umbral)P(T1) + P(-0.5A+n >Umbral)P(T0) P(error)=0.5P(0.5A+n<0)+ 0.5P(-0.5A+n >0)

P(error)=0.5P(n<-0.5A) + 0.5P(n >0.5A)=Q(0.5 A /σ)

Observe que la probabilidad de error disminuye si A crece o si s disminuye, lo cual por cierto es totalmente lógico.

Supongamos ahora una transmisión de tres en niveles (ternaria), con valores (A,0,-A) P(error)=P(error/TA)P(TA) + P (error/T0)P(T0) +P(error/T-A)P(T-A)=

P(error)=P(A+n<Umbral1)P(TA) + (P(n >Umbral1)+ P(n <Umbral2))P(T0) +P(-A+n>Umbral2)P(T-A)

Como se observa existen ahora dos niveles de umbral. Umbral1 correspondería a un umbral entre A y 0; Umbral2 correspondería a un umbral entre 0 y –A. Si fuesen equiprobables los tres niveles, entonces

Umbral1=0.5A Y Umbral2= -0.5 A, con lo cual

P(error)=P(A+n<0.5A)P(TA) + (P(n >0.5A)+ P(n <-0.5 A))P(T0) +P(-A+n>-0.5 A)P(T-A)

P(error)=P(n<-0.5A)0.333 + (P(n >0.5A)+ P(n <-0.5 A))0.333 +P(n>0.5 A)0.333 P(error)=(4/3) Q(0.5 A /σ)

Observe que para la misma distancia entre niveles la probabilidad de error por símbolo da mayor para el caso ternario que para el binario, en presencia de la misma cantidad de ruido.

Para el caso binario

Observe que la potencia para el caso ternario es mayor que para el caso binario.

Para comparar mejor las probabilidades de error, es bueno expresarlas en función de la relación señal a ruido. Lo haremos para un caso genérico M-ario; consideraremos M impar aunque el resultado será idéntico para M par.

La probabilidad de error es igual a la suma de las áreas marcadas. Para cada campana se suman dos áreas(superior e inferior) menos para las dos extremas. Si son equiprobables

P(error)=(2/M)(M-2) P(n >0.5A)+ (2/M)P(n >0.5A)

P(error)=(2(M-1)/M) P(n >0.5A)=( 2(M-1)/M) Q(0.5 A /σ)

Vemos que cuando M crece la probabilidad de error tiende a 2 Q(0.5 A /σ) Lo cual es peor que ternario y por supuesto peor que binario.

Esta probabilidad es la probabilidad de error por nivel. Por ejemplo en binario 1 nivel es igual a 1 bit. En cambio si tenemos 4 niveles, por ejemplo, equivocarse en un nivel implica varios errores de bit posibles. Como M=2n

En binario:

Si M=7 (3 bits)

0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0

Se está considerando que si se cometió un error en el nivel solo puede estar malo 1 de los bits (el bit 1, el bit 2 o el bit 3) y por eso la probabilidad de error por nivel es el triple de la probabilidad de error por bit.

Supongamos que ahora que queremos diseñar un receptor óptimo el cual se determinaría bajo las siguientes premisas: Se asume que a la entrada del receptor llega una señal que es el pulso modificado por transmisor y canal y (p(t)) y el ruido(n(t)). Al pulso

“modificado” por el filtro HR lo llamaremos y(t),mientras que al ruido filtrado por HR lo

llamaremos nout..

Se busca maximizar la relación [y(t0)/σ] donde el tiempo t0 es un punto de muestreo y

σ es el voltaje r.m.s del ruido nout.

Utilizando la desigualdad de Schwartz

En nuestro caso, podemos definir:

El máximo de la relación ocurre cuando

Se observa que la respuesta en frecuencia del filtro óptimo es: a) Proporcional a P*(f) b) Inversamente proporcional a Gn(f) y presenta una exponencial compleja que representa

un retardo temporal igual al del pulso menos el tiempo to. Con este filtro se logra un

máximo que es igual a

Desarrollaremos un ejemplo completo.

Suponga una transmisión digital con pulsos p(t) que en el canal se contamina con ruido blanco. Determine hRóptimo y la relación [y(t0)/σ] máxima.

Por ejemplo si

Observe que el máximo de la convolución es igual a y(t0)=2ktb/η

En cuanto al ruido:

Aplicando directamente la formula:

FILTRO ADAPTADO

Cuando el ruido es blanco el filtro óptimo se le llama filtro adaptado ya que su respuesta impulsiva toma la forma de p(t). En este caso:

"1" el pulso a la salida lo llamaremos p1o(t); cuando se transmita el "0" el pulso a la

salida lo llamaremos p0o(t)

Se supondrá que a la entrada del sistema esta presente p1(t) o p0(t) mas el ruido n(t) y

que a la salida tenemos p1o(t) o p0o(t) mas el ruido filtrado que llamaremos nout(t).

Vamos a inducir mas que deducir el resultado: CASO A

Suponga que a la salida de un sistema binario se pueden tener solo dos niveles 0.5A y -0.5A mas el ruido. La probabilidad de error se calcula como:

Si los valores 0.5A y -0.5A son equiprobables el umbral es cero, que en realidad se calcularía como:

U=0.5[0.5A + (-0.5A)]=0 Resultando que

Pe=P(n>0.5A)

CASO B

Suponga que a la salida de un sistema binario excitado con +p(t) o -p(t) se tiene a la salida y(t0) 0 -y(t0). La probabilidad de error se calcula como:

Si los valores y(t0) y -y(t0) son equiprobables el umbral es cero, que en realidad se

calcularía como: U=0.5[y(t0) + (-y(t0))]=0 Resultando que

Pe=P(n> y(t0)) CASO C

Suponga que a la salida de un sistema binario excitado con p1(t) o p0(t) se tiene a la

Cuando entra p(t) sale y(t0). Cuando sale 0.5(p1o(t) - p0o(t)), es porque entra 0.5(p1(t) -

p0(t)).

Por lo tanto usaremos las mismas formulas pero donde aparezca p(t) colocaremos 0.5(p1(t) - p0(t)) y donde aparezca P(f) colocaremos 0.5(P1(f) - P0(f))

Asi:

Para el caso de ruido blanco (Filtro adaptado) el filtro óptimo resultara: hR(t)optimo=k/η [p1(t0-t) -p0(t0-t)]

Como p1(t) y p0(t) solo existen en un intervalo (0, tb) hR(t)optimo también, pero la

convolución de los pulsos con hR(t)optimo tiene el doble de duración y es máxima en t0.

En el caso de ruido blanco

Si E1=E0=E

Si en cambio p1(t) y p0(t) son ortogonales, el factor λ=0, en cuyo caso:

Si se trata de señales antípodas (λ=-1)

REALIZACIONES PRÁCTICAS DEL FILTRO ADAPTADO Como sabemos:

hR(t)optimo=k/η [p1(t0-t) -p0(t0-t)]

Esto puede implementarse con dos filtros conectados como se muestra:

Matemáticamente:

Evaluemos en t0=tb y coloquemos hk(t)=pk (tb-t)

Hacemos el cambio de variable tb-τ=u

Esto se lograría con el siguiente sistema:

Observe que si po(t)=0 y p1(t)=Constante=k entre o y tb, la multiplicación no es

Para el caso específico NRZ polar, un circuito sencillo que logra este objetivo es el siguiente:

Se cierra momentáneamente el interruptor 1 y luego se cierra el interruptor 2 para descargar.

Calculemos el valor de [y(t0)2/σ2] máximo

2 RC b t 2 b 2 RC b t b

)

e

1

(

A

)

t

(

y

)

e

1

(

A

)

t

(

y

−

=

−

=

El ruido por su parte tiene una

Para comparar este resultado con el obtenido con el receptor óptimo (2A2tb/η) ,

Al graficar esta relación versus Btb, se ve que crece hasta que Btb es igual a 0.2 y luego

comienza a decrecer. Cuando Btb es igual a 0.2 la relación vale 0.814 que es lo que mas

se acerca el comportamiento del filtro RC al óptimo. Observe que si B crece el valor de y(tb) crece pero también crece el ruido, esto implica un compromiso.

Ejercicio:

Encuentre el máximo entre la señal y el ruido cuando el receptor es un filtro pasabajo ideal y se transmiten pulsos NRZ.

Veamos primero que pasa con la señal:

La respuesta impulsiva de un filtro pasabajo ideal de ancho de banda B es igual a h(t)=2Bsinc2Bt

La salida máxima se calcula como y(t)=x(t)*h(t)/máxima

Aplicando la formula de convolución se observa que el producto entre el sinc y el pulso deslizándose, es máximo cuando t=0.5tb. En este caso:

En cuanto al ruido como la DEP es constante solo pasa una porción por el LPF ideal igual a σ2=ηB.

Al comparar la relación entre señal y ruido obtenida en este caso con la obtenida para el caso óptimo y graficarla versus Btb, se ve que crece hasta que Btb es igual a 0.685 y

luego comienza a decrecer. Cuando Btb es igual a 0.685 la relación vale 0.825 que es lo

que mas se acerca el comportamiento del filtro pasabajo ideal al óptimo.

Todo este análisis ha sido realizado considerando solo el efecto del ruido. Si hay Interferencia Intersimbólica habría que aumentar el ancho de banda para reducir la dispersión de los pulsos. Más adelante se considerará este problema y sus posibles soluciones.

Demodulación de señales ASK, PSK, FSK.

en OOK sería 0). Cuando se transmita el "1" el pulso a la salida lo llamaremos p1o(t);

cuando se transmita el "0" el pulso a la salida lo llamaremos p0o(t)

Se supondrá que a la entrada del sistema esta presente p1(t) o p0(t) mas el ruido n(t) y

que a la salida tenemos p1o(t) o p0o(t) mas el ruido filtrado que llamaremos nout(t).

La probabilidad de error se calcula como:

Cuando entra p(t) sale y(t0). Cuando sale 0.5(p1o(t) - p0o(t)), es porque entra 0.5(p1(t) -

p0(t)).

Por lo tanto en la deducción del filtro óptimo usaremos las mismas formulas pero donde aparezca p(t) colocaremos 0.5(p1(t) - p0(t)) y donde aparezca P(f) colocaremos 0.5(P1(f)

- P0(f))

Asi:

Para el caso de ruido blanco (Filtro adaptado) el filtro óptimo resultara: hR(t)optimo=k/η [p1(t0-t) -p0(t0-t)]

En ese caso

dt

)

t

(

p

E

dt

)

t

(

p

E

dt

)

t

(

p

)

t

(

p

E

E

1

∫

∫

∫

=

=

=

λ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

=

=

2

e

(

E

E

2

E

E

2

1

Q

)

)

t

(

y

(

Q

P

λ

η

σ

Si E1=E0=E podemos llegar a determinar la probabilidad de error como:

Si en cambio p1(t) y p0(t) son ortogonales, el factor λ=0, en cuyo caso:

Se observa que en este ultimo caso se obtiene la menor probabilidad de error, de hecho si empleamos pulsos ortogonales necesitaremos enviar el doble de la potencia para lograr la misma probabilidad de error que usando señales antípodas.

Podemos usar también la realización práctica del filtro adaptado que ya se había visto.Como sabemos:

hR(t)optimo=k/η [p1(t0-t) -p0(t0-t)]

Esto puede implementarse con dos filtros conectados como se muestra:

Matemáticamente:

Evaluemos en t0=tb y coloquemos hk(t)=pk (tb-t)

Hacemos el cambio de variable tb-τ=u

Este sistema podemos usarlo para los 3 tipos de modulación binaria que hemos visto, colocando apropiadamente p1(t) y p0(t). Este tipo de detección se llamará coherente ya

que se necesita coherencia entre las fases de las portadoras de transmisión y recepción para lograr una adecuada demodulación. A continuación veremos los resultados del cálculo de la probabilidad de error para los tres tipos de modulación que hemos definido.

MODULACION ASK: DETECCION SINCRONA:

En ASK el pulso p

(t) es un pulso de radiofrecuencia dado por:

El filtro adaptado es:

con

En ASK el pulso para el cero es nulo, por lo tanto

En bandabase polar antípoda se obtiene

En conclusión:

ASK es 3 dB peor

Si

λ

= 0 y E

= E

= E

,

que es igual a la probabilidad media de error del sistema ASK. Si se usa el

valor mínimo de

λ

= -0.21, entonces:

DETECCION SINCRONA MODULACION PRK

Aquí los pulsos que representan el 1 y el 0 son antípodas, de manera que:

oscilador del receptor tiene un desfasaje respecto al del transmisor, la salida

del detector PRK tendrá un valor de amplitud afectado por el factor Cos

φ

.

La salida seria:

Es decir que, respecto al caso en que no hay error, la salida esta afectada por

el factor cos

Φ

; por lo tanto la energía estará afectada por el cuadrado de este

factor y la probabilidad de error quedaría:

Es decir la probabilidad de error puede crecer enormemente dependiendo del

error de fase presente

Detección no coherente de ASK:

Para eliminar la necesidad de sincronizar las fases de las portadoras de

transmisión y recepción, se utiliza un esquema de detección no-coherente

como el siguiente:

A la salida del detector de envolvente se toma cada t

la decisión de si se

envió un UNO o un CERO.

Para realizar el análisis matemático, consideraremos que en cada intervalo t

lo que llega al receptor es una portadora (de amplitud A o CERO) más el

ruido gausseano pasabanda de media nula y varianza

σ

_{Utilizaremos las}

curso de Comunicaciones I para finalmente encontrar la función densidad de

probabilidades de la envolvente R(t) que es en definitiva lo que interesa.

A Cos

ω

t + R

(t) Cos (

ω

t +

θ

(t)) =A Cos

ω

t + ni(t)Cos

ω

t -

nq(t)Sen

ω

t =

R(t) Cos (

ω

t +

Φ

(t))

En el curso de Comunicaciones I cuando analizamos las componentes en fase

y cuadratura del ruido gausseano pasabanda, concluímos que la función

densidad conjunta era una gausseana. Conociendo este hecho, podemos

conseguir la función densidad conjunta de R(t).

Si las componentes originales ni y nq eran gausseanas con media nula, ahora

lo que cambia es que la componente ni tiene media igual a A.

Esto implica que:

Conociendo esto, queremos conocer la distribución conjunta pR

Φ

. Sabemos

que:

pero en un cambio de cartesianas a polares, uno sabe que:

Asi:

Como se observa, R y

Φ

no son independientes, por lo tanto debemos calcular

las distribuciones marginales, integrando respecto a cada una de las variables

La marginal p

se calcula:

Pero:

donde I0 es la función de Bessel modificada de primera clase, orden 0 y

argumento AR/

σ

2 y además , I0(0) =1

Esto produce una dependencia con A ( amplitud de la portadora recibida) de

tal manera que podemos dividir el análisis en tres: Cuando A=0 es decir solo

existe ruido, cuando A tiene valores intermedios y cuando la señal domina

frente al ruido. Esto genera tres distribuciones de probabilidad de la

envolvente R(t) diferentes:

1) Caso sin ruido ( A=0)

2) Caso ruido intermedio

Esta es una distribución de Rice

3) Para ruido fuerte ( R>>

σ;

o sea domina la señal)

Esto es prácticamente una gausseana con varianza

σ2

y centrada

aproximadamente en A.

Considere ahora que la señal ASK se va a detectar con un filtro óptimo

seguido de un detector de envolvente. Cuando se transmite un cero, el ruido

tendrá distribución Rayleigh. Cuando se transmita un uno, la distribución

puede ser Rice o Gausseana.

Cuando calculamos la probabilidad de error decimos

Pe=P(e/T1) P(T1) + P(e/T0)P(T0)=P(A+n1<Umbral)P(T1)

+P(n2>Umbral)P(T0).

La probabilidad de error tal que se transmite un 1 (P(e/T1)), deberá ser

calculada usando la distribución de Rice, mientras que la probabilidad de error

tal que se transmite un 0 (P(e/T0)) se calculará usando la distribución de

Rayleigh. En todo caso conviene ubicar el umbral de decisión óptimo.

El umbral se consigue intersectando las dos funciones densidad e igualando

áreas, resultando:

Como se está usando filtro adaptado con E0=0, la relación señal a ruido

resultará:

Para el caso de bajo ruido(Ep/

η)>>1

Esto implica que(A/

σ)>>1

por lo

tanto

(σ/

A

)<<1

En este caso

La probabilidad de error total es la suma de estos dos términos multiplicada

por 0.5, ya que son equiprobables. Bajo las condiciones planteadas ( poco

ruido) el término que sobrevive es 0.5P(e/T0); por lo tanto

Para comparar con el caso banda base, considerando también poco ruido

(Ep/η>>1)

FSK: Detección no coherente:

Cuando vimos modulación FSK se dijo que podía verse como la

superposición de dos ondas ASK de manera que el análisis matemático para la

obtención del error en este caso, se basa en imaginarse dos ramas de detección

ASK y luego haciendo una relación entre la salida de las dos ramas se puede

llegar a la expresion de la probabilidad de error. Esta resulta igual a la de

ASK.

Demodulación de señales Pasabandas M-arias

La clave está en representar el ruido en base a las señales uk(t). Luego la probabilidad de error se pondrá en función de las componentes de ruido encontradas.

Así como:

Si n(t) es un proceso aleatorio gausseano con media nula, entonces todas las componentes ni serán gausseanas de media nula. Por lo tanto

Cuando el ruido pase por cada una de las ramas, a la salida solo existirá la componente ni.

Ejemplo: Determine la probabilidad de error en PRK

El receptor óptimo sería:

En este caso la salida de ruido es la componente n1. La señal en cambio

La probabilidad de error se calcula:

COTA SUPERIOR DE LA PROBABILIDAD DE ERROR POR UNION

Suponga un caso bidimensional( 2 señales ortonormales):

A se puede equivocar pasando a B, C o D. Podíamos decir que:

Al hacer esto estamos considerando una misma región varias veces. Por eso ésta sería una cota superior de la probabilidad de error.

Podemos ver que para el receptor coherente realizado con N ramas, cada una detecta la componente uK(t). Tomando el caso PRK , en el cual obtuvimos:

Podemos asegurar una cota superior de la probabilidad de error por nivel a:

Si hay simetría en la constelación, todas las P (error/Tx) serán iguales, por lo tanto

Si no hay simetría ( Ej. QAM) la cota superior vendrá dada por:

En general, nos basamos en la constelación de la modulación: tomamos, para cada símbolo, los símbolos vecinos a los cuales es probable que se cambie debido a la acción del ruido sobre él. Las distancias a estos símbolos permitirán calcular una cota superior de la probabilidad de error.